中考数学二模试题汇编代数综合题

2024年深圳市中考数学模拟题汇编：代数式
一．选择题（共10小题）
1．下列各式去括号正确的是（）
A．﹣（a﹣3b）＝﹣a﹣3b
B．a+（5a﹣3b）＝a+5a﹣3b
C．﹣2（x﹣y）＝﹣2x﹣2y
D．﹣y+3（y﹣2x）＝﹣y+3y﹣2x
2．已知：关于x，y的多项式ax2+2bxy+3x2﹣3x﹣4xy+2y不含二次项，则3a﹣4b的值是（）
A．﹣3B．2C．﹣17D．18
3．如图，一个窗户的上部是由4个扇形组成的半圆，下部是由4个边长相同的小正方形组
）
成的大正方形，则这个窗户的外框总长为（
A．6a+πa B．12a C．15a+πa D．6a
4．若x m﹣1y2与x2y n的和仍是单项式，则n m的值（）
A．3B．6C．8D．9
5．下列各选项中，不是同类项的是（）
A．3a2b和﹣5ba2B．122和12B2
C．6和23D．5x n和−34
6．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为2的是（
）
A．x＝﹣1，y＝﹣1B．x＝5，y＝﹣1C．x＝﹣3，y＝1D．x＝0，y＝﹣2 7．某种商品每件进价为a元，按进价增加50%出售，现“双十二”打折促销按售价的八折
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2x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标.y5]5(x2+bx+c)过点数学试卷2019年北京市各城区中考二模数学——代数与几何综合题25题汇总y1、（2019年门头沟二模）25．如图25-1，抛物线y=-x2+b x+c与直线y=1y作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；72B CB CP E（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.O N A x PB'y．．．．MP'O N A x P图1D DC F CA O EB x A O B x 3、（2019年平谷二模）25.定义：任何一个一次函数y=px+q，取出它的一次项系数p和常数项q，有序数组[p，q]为其特征数.例如：y=2x+5的特征数是[2，，同理，[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c的特征数。

图25-1备用图（1）直接写出二次函数y=x2-5x的特征数是：_______________。

（2）若特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，求m的值；2、（2019年丰台二模）25.如图，经过原点的抛物线y=-x2+bx（b>2）与x轴的另一交（3）以y轴为对称轴的二次函数抛y=ax2+bx+c的图象经过A(2，m)、B(n，1)两点（其b点为A，过点P（1，2）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对中m﹥0，n<0），连结OA、OB、AB，得到OA⊥OB，S的特征数．△AOB=10，求二次函数y=ax2+bx+c称点为C.连结CB，CP.（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；（3）当b=6时，如图△2，将CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△C B’P’，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.4、(2019年顺义二模)25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=3中，射线 l: y = 3x (x ≥ 0).点 A 是第一象限内一定点，OA = 4 3 ，射线 OA 与射线 l 的MA(1,0) ，B(0, 3) ，这条抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C ，点 P 为射线 CB 上一个动点（不与点 C 重合），点 D 为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD = 60︒ ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的横坐标为 △m ， PCD 的面积为 S ，求S 与 m 之间的函数关系式；（3）过点 P 作 PE ⊥DP ，连接 DE ，F 为 DE 的中点，试求线段 BF 的最小值．5、（2019 年石景山二模）25．在平面直角坐标系 xoy．．．．．夹角为 30°.射线 l 上有一动点 P 从点 O 出发，以每秒 2 3 个单位长度的速度沿射线 l 匀速运动，同时 x 轴上有一动点 Q 从点 O 出发，以相同的速度沿 x 轴正方向匀速运动，设运 动时间为 t 秒.（1）用含 t 的代数式表示 PQ 的长.（2）若当 P 、Q 运动某一时刻时，点 A 恰巧在线段 PQ 上，求出此时的 t 值.（3）定义 M 抛物线：顶点为 P ，且经过 Q 点的抛物线叫做“M 抛物线”.若当 P 、Q 运动 t秒时，将△PQA 绕其某边中点旋转 180°后，三个对应顶点恰好都落在“ 抛物线”上，求此时 t 的值. 解：（1）数学试卷（3）6、（2019 年海淀二模）25. 对于半径为 r 的⊙P 及一个正方形给出如下定义：若⊙P 上存在 到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P 是该正方形的“等距圆”．如图 1，在平面直角 坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（2，4），顶点 C 、D 在 x 轴上，且点 C 在点 D 的左侧.（1）当 r = 4 2 时，①在 P 1（0，-3），P 2（4，6），P 3（ 4 2 ，2）中可以成为正方形 ABCD 的“等距圆”的圆心的是 ；②若点 P 在直线 y = - x + 2 上，且⊙P 是正方形 ABCD 的“等距圆”，则点 P 的坐标为 ；（2）如图 2，在正方形 ABCD 所在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 EFGH 的顶点 F 的坐标为（6，2），顶点 E 、H 在 y 轴上，且点 H 在点 E 的上方.①若⊙P 同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与 BC 所在直线相切，求⊙P 在 y 轴上截得 的弦长；②将正方形 ABCD 绕着点 D 旋转一周，在旋转的过程中，线段 HF 上没有一个点能成为它的 “等距圆”的圆心，则 r 的取值范围是 ．y H GBAEFCO Dx（2）备用图 1图 1图 2备用图 2x 是闭区间 [1,2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)是闭区间 m , n 上的“闭函数”，求此函数的表达式；5 x 2 - [ ] 5 是闭区间 a, b 上的“闭函数”，直接写出实数a ，b [ ] [ ]7、（2019 年西城二模）25.在平面直角坐标系 xOy 中，对于⊙A 上一点 B 及⊙A 外一点 P ，给出如下定义：若直线 PB 与 x 轴有公共点（记作 M ），则称直线 PB 为⊙A 的“x 关联直线”，（1）反比例函数 y =2014数学试卷记作 l PBM .[ ]（1）已知⊙O 是以原点为圆心，1 为半径的圆，点 P （0,2），①直线 l ： y = 2 ，直线 l ： y = x + 2 ，直线 l ： y = 3x + 2 ，直线 l ： y = -2 x + 2 都经1234（3）若二次函数 y = 1的值.4 5 x - 7过点 P ，在直线 l ， l ， l ， l 中，是⊙O 的“x 关联直线”的是；12 3 4②若直线 l是⊙O 的“x 关联直线”，则点 M 的横坐标 x 的最大值是；PBMM（2）点 A （2,0）,⊙A 的半径为 1，9、（2019 年东城二模）25.定义：对于数轴上的任意两点 A ，B 分别表示数 x x ，用 x - x1, 2 1 2表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点 A( x , y ), B( x , y ) 我们把1 12 2①若 P （-1,2）,⊙A 的“x 关联直线” l当 x 最大时，求 k 的值；M②若 P 是 y 轴上一个动点，且点 P的纵坐标 y > 2 ，⊙A 的两条“x 关联pPBM： y = kx + k + 2 ，点 M 的横坐标为 x ，Mx - x + y - y 叫做 A ，B 两点之间的直角距离,记作 d （A ，B ）．1 2 1 2（1）已知 O 为坐标原点，若点 P 坐标为（－ 1，3），则 d (O,P )＝_____________; （2）已知 C 是直线上 y ＝x ＋2 的一个动点，①若 D （1，0），求点 C 与点 D 的直角距离的最小值；②若 E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点， 请直接写出点 C 与点 E 的直角距离的最小值．直线”lPCM, l PDN是⊙A 的两条切线，切y点分别为 C ,D ，作直线 CD 与 x 轴点于点 E ，当点 P 的位置发生变化时， AE 的长 度是否发生改变？并说明理由.8、（2019 年通州二模）24．设 a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤ x ≤ b的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a, b . 对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 m ≤ x ≤n 时，有 m ≤ y ≤n ，我们就称此函数是闭区间 m , n 上的“闭函数”.32 1-2 -1O1 2 x-1 -210、（2019 年朝阳二模）25．如图，在平面直角坐标系中 xOy ，二次函数 y =ax 2-2ax +3 的图象与 xyCA OB xC -2 -1 O A2 x大，请直接写出点 M 的坐标..轴分别交于点 A 、B ，与 y 轴交于点 C ，AB =4，动点 P 从 B 点出发，沿 x 轴负方向以每秒 1 个单位长度的速度移动．过 P 点作 PQ 垂直于直线 BC ，垂足为 Q ．设 P 点移动的时间为 t 秒（t ＞△0）， BPQ 与△ABC 重叠部分的面积为 S ． （1）求这个二次函数的关系式； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （△3）将 BPQ 绕点 P 逆时针旋转 90°，当旋转后的△BPQ 与二次函数的图象有公共点时，求 t 的取值范围（直接写出结果）．11、（2019 年密云二模）25．按右图所示的流程，输入一个数据 x ，根据 y 与 x 的关系式就输出一个数据 y ， 这样可以将一组数 据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含 20 和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（一）新数据都在 60～100（含 60 和 100）之间；（二）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致， 即原数据大的对应的新数据也较大.（1） 若 y 与 x 的关系是 y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当 p1＝ 2 时，这种变换满足上述两个要求；（2） 若按关系式 y=a(x －h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式（不要求对关 系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过 程）12、（2019 年延庆二模）13 、 (2019 年 房 山 二 模 )25. 如 果 一 条 抛 物 线说明理由；（3）在（2）的条件下，若以点 E 为圆心，r 为半径的圆与线段 AD 只有一个公共点，求出 r 的 取值范围．14、（2019 年昌平二模）25．如图，已知点A （1，0），B （0，3），C （-3，0），动点 P （x ，y ）在线段 AB 上，CP 交 y y轴于点 D ，设 BD 的长为 t . B（1）求 t 关于动点 P 的横坐标 x 的函数表达式； 2（2）若 △S BCD ：△S AOB =2：1，求点 P 的坐标，并判断线段 CD 与线段 AB 的数量及位置关系，说明理由； 1（3）在（2）的条件下，若 M 为 x 轴上的点，且∠BMD 最-115、（2019 年怀柔二模）25.在平面直角坐标系 xoy 中，已知 A(3，0)、B(1，2)， 直线 l 围绕△OAB 的顶点 A 旋转，与 y 轴相交于点 P.探究解决下列问题： （1）在图 1 中求△OAB 的面积.（2）如图 1 所示，当直线 l 旋转到与边 OB 相交时，试确定点 P 的位置，使顶点 O 、B 到直线 l 的 距离之和最大，并简要说明理由.（3）当直线 l 旋转到与 y 轴的负半轴相交时，在图 2 中试确定点 P 的位置，使顶点 O 、B 到直 线 l 的距离之和最大，画出图形并求出此时 P 点的坐标. （点 P 位置的确定只需作出图形，不 用证明）.y =ax 2 +bx +c (a ≠ 0)与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线yyB的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛 物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；lPBO Ax（2）如图，△ OAB 是抛物线 y =-x 2 +b x (b >0)的“抛物线 x三角形”，是否存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD ？若 存在，求出过 O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，O A图 1图 2x-2+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y=x-2+1是y与x的“反比例平移函数”．16、（2019年大兴二模）24.已知：二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于点A（–2，0）．（1）求二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴的另一个交点B及顶点M的坐标；（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿水平方向向右运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位的速度沿竖直方向向下运动，当点P运动到原点O时，P、Q同时停止运动.点C、点D分别为点P、点Q关于原点的对称点，设四边形PQCD的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系表达式（不必写出t的取值范围）；（3）在（2）的运动过程中，四边形PQCD能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9，0)、(0，3)．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y=ax+k的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式x-6为；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右侧)，若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．yC BEO D A x17、（2019年燕山二模）25.定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如:y=11x的图象，则y=1（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x(cm)、y(cm)后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．。

【2020 东城二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 西城二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 海淀二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 朝阳二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 + a2x + c 与 y 轴交于点（0，2）． （1）求 c 的值； （2）当 a=2 时，求抛物线顶点的坐标； （3）已知点 A（ 2，0），B（1，0），若抛物线 y = ax2 + a2x + c 与线段 AB 有两个公共点， 结合函数图象，求 a 的取值范围．
1234x
y 4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
1234x
【2020 平谷二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2-2mx-1（m>0）与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴交点 C.
（1）求抛物线的对称轴和点 C 坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成 的区域为图形 W（不含边界）．
【2020 燕山二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 中，抛物线
与 x 轴交于点 A，B(A 在 B 的左侧)．
(1) 求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴；
(2) 已知点 P(2，2)，Q(2＋2a，5a)，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图象，求 a 的取值范围．
【2020 石景山二模】
2020年北京中考 二模26代数综合

2021年各城区(chéngqū)中考二模数学——代数综合题23题汇总1、〔2021年门头沟二模〕23. 二次函数图象的对称轴为直线．〔1〕恳求出该函数图像的对称轴；〔2〕在坐标系内作出该函数的图像；〔3〕有一条直线过点p(1,5)，假设该直线与二次函数223y x x=-++只有一个交点，恳求出所有满足条件的直线的关系式.2、〔2021年丰台二模〕23.如图,二次函数经过点〔-1,0〕和点〔0，-3〕.〔1〕求二次函数的表达式；〔2〕假如一次函数的图象与二次函数的图象有且只有一个公一共点，求m的值和该公一共点的坐标；（3）将二次函数图象y轴左侧局部沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余局部组成一个新的图象，该图象记为G ，假如直线与图象G有3个公一共点，求n的值. 3、〔2021年平谷二模〕23．关于x 的一元二次方程．〔1〕求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；〔2〕关于x 的二次函数的图象经过和两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线沿x轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线．设抛物线2C交x轴于M、N两点〔点M在点N的左侧〕，点P(a，b)为抛物线2C在x轴上方局部图象上的一个动点.当∠MPN≤45°时，直接写出a的取值范围．4、(2021年顺义二模) 23．关于的一元二次方程．〔1〕求证：方程总有两个实数根；〔2〕假设m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；〔3〕在〔2〕的条件下，设抛物线与x轴交点为A、B〔点B在点A 的右侧〕，与y轴交于点C．点O为坐标原点，点P在直线BC上，且OP =BC，求点P的坐标．5、〔2021年石景山二模〕23. 关于x 的一元二次方程．〔1〕求证：无论为何值时，方程总有一个根大于；〔2〕假设函数与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；〔3〕在〔2〕的条件(ti áoji àn)下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线翻折，得到新的函数图象．在轴上分别有点(t ，0)，(0，2t )，其中，当线段与函数图象G 只有一个公一共点时，求的值．解：6、〔2021年海淀二模〕23．关于x 的方程：①和②，其中.〔1〕求证：方程①总有两个不相等的实数根； 〔2〕设二次函数的图象与x 轴交于、两点〔点A 在点B 的左侧〕，将A 、B 两点按照一样的方式平移后，点A落在点处，点B 落在点处，假设点'B 的横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值； 〔3〕设二次函数，在〔2〕的条件下， 函数，的图象位于直线左侧的局部与直线〔〕交于两点，当向上平移直线y kx =时，交点位置随之变化，假设交点间的间隔 始终不变，那么的值是________________.7、〔2021年西城二模〕23．经过点〔1，1〕的直线l ：与反比例函数G 1:的图象交于点，B 〔b ，-1〕，与y 轴交于点D ．〔1〕求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式； 〔2〕反比例函数G 2::，①假设点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，假设EA =EB ，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公一共点M ，N 〔点M 在点N 的左侧〕，假设，直接写出t 的取值范围．8、〔2021年通州二模〕无9、〔2021年东城二模〕23．：关于x 的一元二次方程．〔1〕求证：无论m 取何值，此方程总有两个实数根； 〔2〕设抛物线，证明：此函数图像一定过x 轴，轴上的两个定点〔设x 轴上的定点为点A ，y 轴上的定点为点C 〕；〔3〕设此函数的图像与x 轴的另一交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求m 的取值范围．10、〔2021年二模〕23．在平面(píngmiàn)直角坐标系xOy中，点P(m，0)为x轴正半轴上的一点，过点P做x轴的垂线，分别交抛物线y=-x2+2x和y=-x2+3x于点M，N．〔1〕当时，；〔2〕假如点P不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP，PM，．PN，MN中恰好有三条线段相等时，求m的值．11、〔2021年密云二模〕23. P〔﹣3，m〕和Q〔1，m〕是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．〔1〕求b的值;〔2〕判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，假设有，求出它的实数根；假设没有，请说明理由;〔3〕将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k〔k是正整数〕个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．12、〔2021年延庆二模〕13、(2021年房山二模) 23. 关于的一元二次方程有实数根，为正整数. 〔1〕求k的值；〔2〕当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，将平移后的二次函数图象位于轴左侧的局部沿x轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象G ．当直线与图象G有3个公一共点时，请你直接写出的取值范围.14、〔2021年昌平二模〕23．抛物线.〔1〕求证：无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点；〔2〕假设抛物线与x轴交于A(m,0)、B〔n,0〕两点，m、n、a均为整数，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(n－l，n＋l〕、Q(0,a〕，求一次函数的表达式.15、〔2021年怀柔二模〕23．如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的左侧〕，与y 轴交于点C ．〔1〕求点A 、B 的坐标(zu òbi āo)；〔2〕设D 为y 轴上的一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求D 点的坐标；〔3〕：直线y=>0)交x 轴于点E ，M 为直线上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k 的取值范围．16、〔2021年大兴二模〕23．：关于x 的一元二次方程.〔1〕当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；〔2〕假设k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．17、〔2021年燕山二模〕23. 关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．〔1〕求k 的取值范围；〔2〕当k 取最小的整数时，求抛物线的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； 〔3〕将(2)中求得的抛物线在x轴下方的 局部沿x轴翻折到x轴上方，图象的 其余局部不变，得到一个新图象． 请你画出这个新图象，并求出新图象 与直线有三个不同公一共点时m 的值．内容总结（1）2021年各城区中考二模数学——代数综合题23题汇总 1、〔2021年门头沟二模〕23. 二次函数图象的对称轴为直线． 〔1〕恳求出该函数图像的对称轴 （2）假设没有，请说明理由（3）〔2〕当取最小的整数时，求抛物线 的顶点坐标以及它与轴的交点坐标。

202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题： （一）定直线+动抛物线 1.（2020密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点；②变：开口大小方向在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点． （1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点D 的坐标； （3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线 C 2：y=ax 2-2（0a ）与线段AE 恰有一个公共 点，结合函数的图象，求a 的取值范围．26．（1）解：∵直线y=kx +3经过点B （3，0） ∴3k+3=0 k=-1 ……1分∴y=-x +3与y 轴的交点，即为点C （0，3） ……2分 （2）解：∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0）和点C （0，3） ∴ y=x 2+bx+3∴ 9+3b +3=0 b=-4∴抛物线C 1的函数表达式为y = x 2-4x+3 ……3分∴y =（x -2）2-1∴顶点D 的坐标为（2，-1） ……4分（3）解：∵点E 是点D 关于原点的对称点∴点E 的坐标为（-2，1） 当y=ax 2-2经过点E （-2，1）时，a =当y=ax 2-2经过点A （1，0）时，a =2∴a 的取值范围是 ≤a <2 ……………6分4343（1）定线段（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠． （1）当m =3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A （1，2）．试说明抛物线总经过点A ；（3）已知点B （0，2），将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m 的取值范围．26．解：（1）把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得223653(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2分 （2）当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=． ∵点A （1，2），∴抛物线总经过点A ．………………………………………………3分（3）∵点B （0，2），由平移得C （3，2）．① 当抛物线的顶点是点A （1，2）时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由（1）知，此时， m =3．……………………………………4分 ② 当抛物线过点B （0，2）时，将点B （0，2）代入抛物线表达式，得2m -1=2．∴m =32>0．此时抛物线开口向上（如图1）． ∴当0<m <32时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．………5分③当抛物线过点C （3，2）时，将点C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．此时抛物线开口向下（如图2）． ∴当-3<m <0时，抛物线与线段BC只有一个公共点． ………………… 6分 综上，m 的取值范围是m =3或0<m <32或-3<m <0．图2图1（1）定线段（2）动抛物线：①不变：与y 轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2）．（1）求c 的值；（2）当a =2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A （-2,0），B (1,0),若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2），∴c =2.（2）当a =2时，抛物线为2422++=x x y ，∴顶点坐标为（-1,0）. （3）当0a ＞时，①当a =2时，如图1，抛物线与线段AB 只有一个公共点.②当21+=a 时，如图2，抛物线与线段AB 有两个公共点.结合函数图象可得212a <+≤. 当0a ＜时，抛物线与线段AB 只有一个或没有公共点.综上所述，a 的取值范围是212a <+≤.图1图2（二）含同参的动线段+动抛物线 4.（2020房山二模26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在y 轴动 （2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点A 、B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围. 26．（1）对称轴-1=22-=aax ……………………………………1分（2）∵4AB =A （-3，0），B （1，0） ……………………………………2分 把（1，0）代入表达式：0=c +2a +a 得：a 3-=c ……………3分 ∴C （0，-3a ）∴ D （0，-3a+1）, 31D y a =-+ …………………………4分 （3）当0a >时将点()4,4P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--, 45a =∴当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点…5分当0a <时抛物线的顶点为()1,4a -- 当44a -=时1a =- …………………6分综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点.5.（2020燕山二模26）（1）动线段：一个端点定（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点A ，B (A 在B 的左侧)． (1) 求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．26．解：(1) ∵24y ax ax =-＝(4)ax x -，∴抛物线与x 轴交于点A (0，0)，B (4，0)． 抛物线24y ax ax =-的对称轴为直线：422ax a-=-=．………3分 (2) 24y ax ax =-＝2(4)a x x -＝2(2)4a x a --， 抛物线的顶点坐标为(2，－4a )． 令5y a =，得245ax ax a -=，(5)(1)0a x x -+=，解得1x =-，或5x =，∴当5y a =时，抛物线上两点M (－1，5a )，N (5，5a )．①当0a >时，抛物线开口向上，顶点位于x 轴下方，且Q (2＋2a ，5a )位于点P 的右侧，如图1，当点Q 与点N 重合或位于点N 右侧时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时2＋2a ≥5，14xyNMQ P图3 14xyNMQP 图214xy NMQP O解得32a≥．②当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2＋2a，5a)位于点P的左侧，(ⅰ)如图2，当顶点与点P重合或位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时－4a≤2，解得12a≥-．(ⅱ)如图3，当顶点位于点P上方，点Q与点M重合或位于点M左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2＋2a≤－1，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a<-≤，或32a≤-．…………………6分6.（2020丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243=-+y ax ax a 与y 轴交于点A . （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点P (a ，0)，Q (0，2-a )，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数 图象，求a 的取值范围．26.解：（1）令x =0，则y =3a.∴点A 的坐标为（0，3a ）. ………………………………………………1分（2）令y =0，则ax 2-4ax +3a =0. …………………………………………2分 ∵a ≠0， ∴解得121,3x x ==.∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）. …………4分 （3）①当a <0时，可知3a ≥a -2. 解得a ≥-1. ∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3. .......….........….....………7分二、定抛物线（部分图象）与动抛物线的交点问题： 7.（2020海淀二模26）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， 与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点， 结合函数图象，求a 的取值范围. 26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3的图象与与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0, 3).∵y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， ∴将(3,0)A -代入y =mx 2+2mx +3可得9630m m -+=.∴ m = -1.∴该函数的表达式为y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数y =mx 2+2mx +3的图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F ，∴F 的端点为A , B ，并经过抛物线y =mx 2+2mx +3的 顶点C （其中C 点坐标为(-1,4)）. ∴可画F 如图1所示.∵二次函数y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为x =-1，且与F 只有一个公共点,∴可分别把A , B , C 的坐标代入解析式y =x 2+2x +a 中. ∴可得三个a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图2所示.∴结合函数图象可知：二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点时， a 的取值范围是-3≤a <3或a =5.图 2三、整点问题8.（2020平谷二模26） 含同参的动线段+动抛物线。

最新北京市各区初三数学二模代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；（3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=．∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．……………………………………………………1分∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ，∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ，∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分 ∵m n -=(5)t -+2(54)t t --+-269t t =-+ 2(3)0t =-≥，∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点，∴点E 应在线段BD 上．∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方， ∴只需0n ≥， 即2540t t -+-≥． ∵当2540t t -+-=时， 解得1t =或4t =．∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤．海淀27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式. 西城 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分房山27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．房山27.解：(1)∵1=∆CAP S ，C()1,12-，∴1121=⨯AP ,∴AP =2，∵P 为AB 中点，P （-1，0）， ∴A （-3,0），B （1,0）； -----------1分∴过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为：322-+=x x y ----------------------2分(2)抛物线322-+=x x y 沿x 轴翻折所得的新抛物线关系式为322+--=x x y ，∵1==∆∆APC APQ S S ,∴点Q 到x 轴的距离为1，且Q 点在图象G 上（27题图1）∴点Q 的纵坐标为1 ∴1322=+--x x 或1322=-+x x .----------------------------------3分解得：311+-=x ，312--=x ，513+-=x ,514--=x -----4分∴所求Q 点的坐标为：)1,31(1+-Q ，)1,31(2--Q ，)1,51(3+-Q ，)1,51(4--Q ----5分27题图227题图1 (3)如图（27题图2）∵N （0，-1）,∴点N 关于x 轴对称点N ′（0，1）， ∵点D (0,-3)，∴点D 关于对称轴的对称点D ′（-2，-3），∴直线N ′D ′的关系式为y =2x +1, -----------------------------------6分∴E （-0,21）当x =-1时，y =-1，∴F （-1,-1） ----------------------------------7分直线与抛物线交点：朝阳27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．朝阳27．解：（1）∵抛物线()2296y x m x =-++-的对称轴是2x =，∴922(2)m +-=⨯-．∴1m =-． ……………………………………………………………1分∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分 ∴22(2)2y x =--+．∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为()2232y x =--+……………………4分∵()()222223x x --=--，∴52x =． ∴A （52，32）．………………………5分（3）702b <≤．……………………………7分丰台27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（3，0）． （1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．丰台27.（1）将()3,0A 代入，得1m =．-------1分∴抛物线的表达式为223y x x =--．∴B 点的坐标()1,0-．-------2分 （2）y 的取值范围是45y -≤<．-------5分（3）当x =21时，y =415-. 代入1y kx =+得219-=k .当x =-1时，y =0,代入1y kx =+得k =1.结合图象可得，k 的取值范围是1=k 或192k <-. -------7分怀柔27.已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点. (1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k ≠0)经过A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围; (3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.怀柔27.解：(1)把A （-1,0）、B （0，-3）两点带入y 1 得： y 1=x 2-2x-3………………………………1分顶点坐标（1，-4） ………………………………………2分 (2)把C （4，m ）代入y 1, m=5，所以C （4，5）， ……………………………………3分把A 、C 两点代入y 2 得：y 2 =x+1.………………………………………………4分如图所示：x 的取值范围：x<-1或x>4 . …………………………………………………5分 (3)设直线AC 平移后的表达式为y=x+k得： x 2-2x-3=x+k ………………………………………6分 令Δ=0，k=-421 所以平移后直线的表达式：y=x-421. ………………………7分xyO–5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567顺义27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=． （1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围. 顺义27． 解：（1）[]22224(21)42441(21)b ac m m m m m ∆=-=-+-⨯=-+=- -----1分∵不论m 为任何实数时 ，总有2(21)0m ∆=-≥，∴该方程总有两个实数根 . --------------------------------------------------2分（2）24(21)(21)2b b ac m m x -±-+±-==∴12x m =， 21x =………………………………………………….… 4分 不妨设点(1,0)B ，依题意则点(3,0)A - ∴ 32m =-∴ 抛物线的表达式为223y x x =+-…………….…………………5分（3）134b >……………………………………………...………………….…7分 抛物线与抛物线交点东城27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.东城27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分 （3）414m <≤或4m =-. …………7分抛物线与双曲线交点 平谷27．反比例函数()0ky k x=≠过A （3,4），点B 与点A 关于直线y =2对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）．（1）求反比例函数的表达式； （2）求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx m =-++在2-ky x=无公共点，求m 的取值范围．平谷27．（1）∵反比例函数ky x=过A （3,4）， ∴12k =． ∴12y x=．…………………………………………………………………………1 （2）∵点B 与点A 关于直线y =2对称，∴B （3,0）． (2)∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）∴9303b c c ⎧-++=⎨=⎩．∴23b c ⎧=⎨=⎩．……………………………………………………………………………3 ∴223y x x =-++． (4)（3）12y x=， 令2x =-时,6y =-，即()26,--令2x =时,6y =，即()26, (5)当2y x bx m =-++过()26,--时，2m =． 当2y xbx m =-++过()26,时，6m=． (6)∴26m ＜≤ (7)两个直接写出结果的问题：昌平27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A .（1）求直线y=kx +b 的表达式；（2）将直线y=kx +b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx +b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E直接写出m 的取值范围.昌平27．解：（1）∵直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y=kx +b 的表达式为： 1.y x =-+…………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =.…………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤<……………5分②40.m -≤≤………………………………………………………………………………7分石景山27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值． 石景山27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-= ∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．……2分（2）令，则()021222=-+-+m m x m x()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x ∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y ∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分 （3）0=b 或3-=b ．……………………………………………………..7分如何找对称点：通州27. 已知：二次函数c b x -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c b x -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。

2016北京市各区初三数学二模 代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x 轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥； （3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=． ∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．……………………………………………………1分 ∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ，∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ，∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分∵m n -=(5)t -+2(54)t t --+-269t t =-+2(3)0t =-≥，∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点，∴点E 应在线段BD 上．∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方， ∴只需0n ≥， 即2540t t -+-≥．∵当2540t t -+-=时， 解得1t =或4t =．∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤．海淀27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由； （2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式. 西城 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分房山27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标． （3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．房山27.解：(1)∵1=∆CAP S ，C()1,12-，∴1121=⨯AP ,xy12345–1–2–3–4–512345–2–3–4–5oxy 12345–112345–2–3–4–5o∴AP =2，∵P 为AB 中点，P （-1，0）， ∴A （-3,0），B （1,0）； -----------1分∴过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为：322-+=x x y ----------------------2分 (2)抛物线322-+=x x y 沿x 轴翻折所得的新抛物线关系式为322+--=x x y ，∵1==∆∆APC APQ S S ,∴点Q 到x 轴的距离为1，且Q 点在图象G 上（27题图1）∴点Q 的纵坐标为1 ∴1322=+--x x 或1322=-+x x .----------------------------------3分解得：311+-=x ，312--=x ，513+-=x ,514--=x -----4分∴所求Q 点的坐标为：)1,31(1+-Q ，)1,31(2--Q ，)1,51(3+-Q ，)1,51(4--Q ----5分27题图227题图1 (3)如图（27题图2）∵N （0，-1）,∴点N 关于x 轴对称点N ′（0，1）， ∵点D (0,-3)，∴点D 关于对称轴的对称点D ′（-2，-3），∴直线N ′D ′的关系式为y =2x +1, -----------------------------------6分∴E （-0,21）当x =-1时，y =-1，∴F （-1,-1） ----------------------------------7分直线与抛物线交点：朝阳27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛xyQ 1Q 3Q 2Q 412345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5CPA oxyN'D'12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5EFDN o物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．朝阳27．解：（1）∵抛物线()2296y x m x =-++-的对称轴是2x =，∴922(2)m +-=⨯-．∴1m =-． (1)分 ∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分∴22(2)2y x =--+．∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分（2）由题意得，平移后抛物线表达式为()2232y x =--+……………………4分∵()()222223x x --=--，∴52x =． ∴A （52，32）．………………………5分（3）702b <≤．……………………………7分丰台27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（3，0）．（1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．丰台27.（1）将()3,0A 代入，得1m =．-------1分∴抛物线的表达式为223y x x =--． ∴B 点的坐标()1,0-．-------2分 （2）y 的取值范围是45y -≤<．-------5分（3）当x =21时，y =415-. 代入1y kx =+得219-=k .当x =-1时，y =0,代入1y kx =+得k =1. 结合图象可得，k 的取值范围是1=k 或192k <-. -------7分怀柔27.已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点. (1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k≠0)经过 A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围; (3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.xyO–5–4–3–2–112345–4–3–2–11234567怀柔27.解：(1)把A （-1,0）、B （0，-3）两点带入y 1 得： y 1=x 2-2x-3………………………………1分 顶点坐标（1，-4） ………………………………………2分 (2)把C （4，m ）代入y 1, m=5，所以C （4，5）， ……………………………………3分把A 、C 两点代入y 2 得：y 2 =x+1.………………………………………………4分如图所示：x 的取值范围：x<-1或x>4 . …………………………………………………5分 (3)设直线AC 平移后的表达式为y=x+k得： x 2-2x-3=x+k ………………………………………6分 令Δ=0，k=-421 所以平移后直线的表达式：y=x-421. ………………………7分顺义27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=． （1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围.顺义 27． 解：（1）[]22224(21)42441(21)b ac m m m m m ∆=-=-+-⨯=-+=- -----1分∵不论m 为任何实数时 ，总有2(21)0m ∆=-≥，∴该方程总有两个实数根 . --------------------------------------------------2分（2）24(21)(21)22b b ac m m x a -±-+±-==∴12x m =， 21x = ………………………………………………….… 4分 不妨设点(1,0)B ，依题意则点(3,0)A -∴ 32m =-∴ 抛物线的表达式为223y x x =+- …………….…………………5分 （3）134b >……………………………………………...………………….…7分 抛物线与抛物线交点东城27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB 上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m=-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.东城27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分 （3）414m <≤或4m =-. …………7分抛物线与双曲线交点平谷27．反比例函数()0ky k x=≠过A （3,4），点B 与点A 关于直线y =2对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）．（1）求反比例函数的表达式； （2）求抛物线的表达式；k y x=（3）若抛物线2y x bx m =-++在22x -≤<的部分与无公共点，求m 的取值范围．平谷27．（1）∵反比例函数ky x=过A （3,4）， ∴12k =． ∴12y x=．…………………………………………………………………………1 （2）∵点B 与点A 关于直线y =2对称，∴B （3,0）． (2)∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）∴9303b c c ⎧-++=⎨=⎩．∴23b c ⎧=⎨=⎩．……………………………………………………………………………3 ∴223y x x =-++． (4)（3）12y x=，令2x =-时,6y =-，即()26,--令2x =时,6y =，即()26, (5)当2y x bx m =-++过()26,--时，2m =．当2y xbx m =-++过()26,时，6m=． (6)∴26m ＜≤ (7)两个直接写出结果的问题：昌平27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A . （1）求直线y=kx +b 的表达式；Oy x-6-5-4-3-2-1654321-11-2-3-4-5234512Ox-2-3-4-1-1443132y（2）将直线y=kx +b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx +b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E 两点，当3252DE ≤≤时，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.昌平27．解：（1）∵直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y=kx +b 的表达式为： 1.y x =-+…………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =.…………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤<……………5分②40.m -≤≤………………………………………………………………………………7分石景山27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值． 石景山27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-= ∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．……2分 （2）令，则()021222=-+-+m m x m x()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x ∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y ∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分 （3）0=b 或3-=b ．……………………………………………………..7分如何找对称点：通州27. 已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）. （1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。

代数综合题（2017昌平二模）27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(42≠-=m mx mx y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）.（1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）过点B 的直线l 与y 轴交于点C ，且2tan =∠ACB ，直接写出直线l 的表达式；（3）如果点)(1n x P ，和点)(2n x Q ，在函数)0(42≠-=m mx mx y 的图象上，PQ=2a 且21x x >，求26221+-+a ax x 的值.（2017房山二模）26.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点(1,0)P -，1,1)，(0,3)D -， A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1CAP S ∆=.（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APQ APC S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．（2017通州二模）27．已知：二次函数1422-++=m x x y ，与x 轴的公共点为A ，B .（1）如果A 与B 重合，求m 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当1=m 时，求线段AB 上整点的个数；②若设抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n ，当1<<8n 时，结合函数的图象，求m 的取值范围.（2017朝阳二模）27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2-2mx +2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）点C ，D 在x 轴上（点C 在点D 的左侧），且与点B 的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．（2017西城二模）27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+2ax -3a (a >0)与x 轴交于A ，B 两点(点A在点B 的左侧).（1）求抛物线的对称轴及线段AB 的长；（2）若抛物线的顶点为P ，若∠APB =120 °，求顶点P 的坐标及a 的值； （3）若在抛物线上存在点N ，使得∠ANB =90°，结合图形，求a 的取值范围．（2017东城二模）27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+. （1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点()1,0A -，()1,0B ，且该抛物线与线段AB 始终有交点，请直接写出m 的取值范围.（2017丰台二模）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线12212+-+=a x ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为﹣1． （1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标； （3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ，B 两点），先向下平移 3个单位，再向左平移m （0>m ）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线PP′ 无交点，求m 的取值范围．（2017石景山二模）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），对称轴与x 轴交于点3,0（），且4AB =. （1）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标； （2）将抛物线1C 平移，得到的新抛物线2C 的 顶点为(0,1)-，抛物线1C 的对称轴与两 条抛物线1C ，2C 围成的封闭图形为M . 直线:(0)l y kx m k =+≠经过点B .若直 线l 与图形M 有公共点，求k 的取值范围.（2017顺义二模）27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线2y x bx c =-++在第一象限内的部分记为图象G ，如果过点P （-3，4）的直线y =mx +n （m ≠0）与图象G 有唯一公共点，请结合图象，求n 的取值范围．备用图（2017平谷二模）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24440y mx mx m m =-++≠的顶点为P ．P ，M 两点关于原点O 成中心对称． （1）求点P ，M 的坐标；（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿x 轴翻折，翻折后的图象在05x ≤≤的部分记为图象H ，点N 为抛物线对称轴上的一个动点，经过M ，N 的直线与图象H 有两个公共点，结合图象求出点N 的纵坐标n 的取值范围．（2017怀柔二模）27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与y 轴交于点A ,并且经过点B(3，n). （1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线2441y ax ax a =-+- (a ＞0)与线段AB 有唯一公共点， 求a 的取值范围．。

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代数综合题2018昌平二模26。

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)． （1)求点A 和点B 的坐标;（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点,过点P 作x 轴的垂线,垂足为点D ． ①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤,求抛物线的表达式；②若D 点坐标(4，0),当PD AD >时，求a 的取值范围.2018朝阳二模26.已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ． （1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1,y1）,B（x2，y2）,设t ≤ x1 ≤ t+1，当x2≥3时，均有y1 ≥ y2,请结合图象，直接写出t的取值范围．2018东城二模26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()230=+-≠经过点()y ax bx aA-和点1,0 ()B，．45（1)求该抛物线的表达式；（2)求直线AB关于x轴的对称直线的表达式;（3）点P是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线l，直线l与该抛物线交于点M,与直线AB交于点N．当PM PN＜时，求点P的横坐标xP 的取值范围．2018房山二模26。

2023北京初三二模数学汇编代数综合(第26题)一、解答题1.（2023·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴是直线3x =．（1）求出该抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当0a >时，对于任意的正数t ，若点()()123,,32,t y t y −+在该抛物线上，则1y _________2y （填“>”“<”或“=”）；（3）已知点()()0,3,7,3A B ．若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，求a 的取值范围． 2.（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 都在抛物线()2280y ax ax a =−+<上，且112x −<<，217m x m −<<+．（1）当2m =−时，比较1y ，2y 的大小关系，并说明理由； （2）若存在1x ，2x ，满足12y y =，求m 的取值范围．3．（2023·北京海淀·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线220y ax bx a a =+++>（）过点（1，4a ＋2）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）过抛物线与y 轴的交点作y 轴的垂线l ，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，得到图形G ，()11M a y −−，，()21N a y −+，是图形G 上的点，设12t y y =+. ①当1a =时，求t 的值； ②若69t ≤≤，求a 的取值范围．4.（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点()11,y −在抛物线2y x ax =−上． （1）求1y 的值（用含a 的式子表示）； （2）若1a <−，试说明：10y <；（3）点()21,y ，()32,a y −在该抛物线上，若1y ，2y ，3y 中只有一个为负数，求α的取值范围． 5.（2023·北京房山·统考二模）平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax x a =−+的对称轴为直线x n =。

代数(d àish ù)综合题【2021昌平二模】27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于A ，B 两点〔点A 在点B的左侧〕.〔1〕求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴； 〔2〕过点B 的直线l 与y 轴交于点C ，且，直接写出直线l 的表达式；〔3〕假如点和点在函数)0(42≠-=m mx mx y 的图象上，PQ=2a 且，求的值.【2021房山二模】27. 对于一个函数，假如它的自变量x 与函数值y 满足：当-1≤x ≤1时，-1≤y ≤1，那么称这个函数为“闭函数〞. 例如：y =x ，y =-x 均是“闭函数〞(如右图所示).是“闭函数〞，且抛物线经过点A (1，-1)和点B (-1， 1) .〔1〕请说明a 、c 的数量关系并确定b 的取值；〔2〕请确定a 的取值范围.【2021通州二模】27．：二次函数，与x 轴的公一共点为A ，B .〔1〕假如A 与B 重合，求m 的值； 〔2〕横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当时，求线段AB 上整点的个数；②假设(jiǎshè)设抛物线在点A，B之间的局部与线段AB所围成的区域内〔包括边界〕整点的个数为，当时，结合函数的图象，求的取值范围.【2021二模】27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．〔1〕求点A，B的坐标；〔2〕点C，D在x轴上〔点C在点D的左侧〕，且与点B的间隔都为2，假设该抛物线与线段CD有两个公一共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【2021海淀二模】27．抛物线与轴交于A，B两点〔A点在B点的左侧(zuǒ cè)〕，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕假设CD∥x轴，点D在点C的左侧，，求点D的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，将抛物线在直线x=t右侧的局部沿直线x=t翻折后的图形记为G，假设图形G与线段CD有公一共点，请直接写出t的取值范围．【2021东城二模】xOy中，抛物线.〔1〕当抛物线的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；〔2〕不管m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；〔3〕假设有两点，，且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m 的取值范围.【2021燕山二模】27. 在平面直角坐标系xoy中，抛物线经过点A(0，-3)，B(4，5).〔1〕求此抛物线表达式及顶点(dǐngdiǎn)M 的坐标；〔2〕设点M 关于y 轴的对称点是N ，此抛物线在A ，B 两点之间的局部记为图象W(包含A,B两点)，经过点N 的直线l ：与图象W 恰一个有公一共点，结合图象，求m 的取值范围.【2021西城二模】27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+2ax -3a (a >0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B的左侧).〔1〕求抛物线的对称轴及线段AB 的长；〔2〕假设抛物线的顶点为P ，假设∠APB =120 °，求顶点P 的坐标及a 的值； 〔3〕假设在抛物线上存在点N ，使得∠ANB =90 °，结合图形，求a 的取值范围．【2021石景山二模】 27．在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，〔点A 在点B 的左侧〕，对称轴与x 轴交于点，且.〔1〕求抛物线1C 的表达式及顶点坐标； 〔2〕将抛物线1C 平移，得到的新抛物线的顶点为，抛物线1C 的对称轴与两条抛物线1C ，2C 围成的封闭图形为.直线经过点B .假设直线与图形M 有公一共点，求的取值范围.【2021怀柔(huáiróu)二模】 27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线与y 轴交于点A ,并且经过点B(3，n).〔1〕求点B 的坐标； 〔2〕假如抛物线(a ＞0)与线段AB 有唯一公一共点，求a 的取值范围．【2021顺义二模】27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过A〔﹣1，0〕，B 〔3，0〕两点． 〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕抛物线2y x bx c =-++在第一象限内的局部记为图象G ，假如过点P 〔-3，4〕的直线y =mx +n 〔m ≠0〕与图象G 有唯一公一共点，请结合图象，求n 的取值范围．【2021平谷二模】27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为P．P，M两点关于原点O成中心对称．〔1〕求点P，M的坐标；〔2〕假设该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；〔3〕在〔2〕的条件(tiáojiàn)下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在的局部记为图象H，点N为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公一共点，结合图象求出点N的纵坐标n的取值范围．【2021门头沟二模】27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线x=1〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点，在抛物线上，假设，请直接写出n的取值范围；〔3〕设点为抛物线上的一个动点，当时，点M关于y轴的对称点形成的图象与直线〔〕有交点，求的取值范围.【2021丰台二模】27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B两点〔点A 在点B 左侧〕，且点A 的横坐标为﹣1． 〔1〕求a 的值；〔2〕设抛物线的顶点(dǐngdiǎn)P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；〔3〕将抛物线在A ，B 两点之间的局部〔包括A ，B 两点〕，先向下平移 3个单位，再向左平移m 〔〕个单位，平移后的图象记为图象G ，假设图象G 与直线PP′无交点，求m 的取值范围．内容总结（1）代数综合题【2021昌平二模】27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于A ，B 两点〔点A 在点B 的左侧〕. 〔1〕求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴 （2）①当时，求线段AB 上整点的个数（3）〔2〕假设该抛物线经过原点，求抛物线的表达式O y x-1-2-4-3-6-5-1-2-4-6-5-3124365124365。

新世纪教育网精选资料 版权全部 @新世纪教育网2012 年北京市中考数学二模分类汇编——代数综合题整数根、系数是整数1.（昌平23．）已知 m 整数，方程 2x2mx 1 =0 的两个根都大于 -1 且小于3，当方程2的两个根均 有理数 ，求m 的 ．23．解：y2 x 2 mx1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵ 2x2mx 1 0 的两根都在 1和3之 ，2∴ 当 x1 ， y0 ，即： 2 m 1 0 ．⋯⋯⋯⋯ 2 分当 x3 ， y0 ，即： 9 3 m 1 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2212 2∴m 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分3∵ m 整数，∴ m2， 1，0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分① 当 m2 ，方程 2x 22x1 0，48 12 ，∴ 此 方程的根 无理数，不合 意．② 当 m1 ，方程 2x2x 10， x 11， x 21，切合 意．2③ 当 m0 ，方程 2x 2 10 ， x2 ，不切合 意．2合①②③可知，m1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2.（房山） 23．）已知：对于2x 的方程 mx － 3( m － 1) x ＋2m －3=0.⑴当 m 取何整数 ，对于 x 的方程 mx 2－ 3( m －1) x ＋ 2m － 3=0 的根都是整数；⑵若抛物ymx 23( m 1)xm 3 向左平移一个 位后， 反比率函数2yk(k 0) 上的一点（ -1,3 ），x①求抛物 ymx 2 3(m 1) x 2m 3 的分析式；②利用函数 象求不等式k kx 0的解集 .xy 解：⑴43 ⑵①2- 4②23．解：⑴当 m=0 时， x=1---------------------------- 1 分当 m ≠ 0，可解得 x 1=1， x 2=2m323-----------------2 分m m∴ m 1， 3 时， x 均有整数根 --------------------------------------3分综上可得 m 0， 1， 3 时， x 均有整数根⑵①抛物线向左平移一个单位后获得 y= m( x ＋ 1) 2－ 3( m － 1)( x ＋ 1) ＋ 2m － 3 -------------4 分 过点（ -1,3 ）代入解得 m= 3y∴抛物线分析式为2----------5 分4y= 3x － 6x ＋ 3②k=－ 1× 3=－ 3-----------------------6 分3 ∴x>1 或－ 1<x<0----------------------- 7分21x-4-3-2 -1O1234- 1- 2 - 3 - 43.（平谷 23）已知抛物线 y x 2 mx m 2 ．（1）求证此抛物线与 x 轴有两个不一样的交点；（2）若m 是整数， 抛物线 yx2mx m 2 与 x轴交于整数点， 求 m3 2的值；（ ）在（ ）的条件下，设抛物线极点为 A ，抛物线与 x 轴的两个交点中右边交点为B ．若 M 为坐标轴上一点，且 MAMB ，求点 M 的坐标．23．解：（ 1）证明：令 y0，则 x 2 mx m 2 0 ．由于m 2 4m 8 ( m 2)2 4 0 ， ·············1 分因此此抛物线与x 轴有两个不一样的交点．··············2 分（ 2）由于对于 x 的方程 x 2 mxm 20 的根为 x m( m 2)24 ，由 m 为整数，当 (m 2)2 4 为完整平方数时，此抛物线与2x 轴才有可能交于整数点．设 (m2) 2 4 n 2 （此中 n 为整数）， ··························3 分因此 [ n (m 2)][ n ( m 2)] 4 ．由于n (m 2) 与 n (m 2) 的奇偶性同样，n m 2 ，n m 2，因此2 或2；解得 m 2 ．，当 m 2 ，关于x的方程x2mx m 20 有整数根．所以m 2 ...................................5分（3）当m 2，此二次函数分析式y x2 2 x(x 1)21，点 A 的坐（1，1）．抛物与 x 的交点O(0， 0)、 B(2，0)．抛物的称与x 交于M1，M 1(10)，．在直角三角形AM 1O 中，由勾股定理，得AO 2 ，由抛物的称性可得，AB AO2．又( 2)2( 2)222222，即OAAB O B．因此△ ABO 等腰直角三角形．且M 1A M1B ．因此M1(1，0) 所求的点．····························6分若足条件的点M 2在y上， M 2坐(0，y)．A 作 AN ⊥ y 于 N ，AM2、BM2．M2A M2B．由勾股定理，有M2A2M 2N2AN 2； M2B2M 2O2OB2．即( y 1)2 12y 222．解得y 1．因此 M 2 (0，1) 所求的点．·······················7 分上所述足条件的M 点的坐（ 1，0）或（0，1）．4.（沟 23）已知抛物y＝ ax2＋ x＋ 2.(1)当 a＝－1 ，求此抛物的点坐和称；(2) 若代数式－ x2＋ x＋2 的正整数，求x 的；(3) 若 a 是数，当 a＝ a1，抛物 y＝ax2＋ x＋ 2 与 x 的正半订交于点M(m ，0)；当a＝ a2，抛物 y＝ ax2＋x＋ 2 与 x 的正半订交于点N(n， 0). 若点 M 在点 N 的左，比 a1与 a2的大小 .y 4 3 2 123. 当 a=-1 ， y=-x 2+x+2 ，∴ a=-1,b=1,c=2.-4-3-2-1O 1 2 3 4 x-1-2( 1 ， 9)，称直 x=1-3∴抛物的点坐. ⋯⋯2分2 42-4 (2) ∵代数式 -x2+x+2 的正整数，∴函数y=-x 2+x+2的正整数 .又因函数的最大9，∴ y 的正整数只好1或2. 4当 y=1 ， -x2+x+2 ＝1，解得x115， x215⋯⋯⋯⋯3 分22当 y=2 ， -x 2+x+2 ＝2，解得 x 3=0,x 4=1. ⋯⋯⋯⋯⋯4 分1515∴ x 的 x 1， x 2，0或 1.22（3）当 a ＜ 0 ，即 a 1＜ 0， a 2＜ 0.点 M 的抛物 y=a 1x 2+x+2 的 称 x1 ,2a 1点 N 的抛物 y=a 2x 2+x+2 的 称 x1 . ⋯⋯⋯⋯5分2a 2∵点 M 在点 N 的左 ，且抛物 点 (0,2)1 在直 x1 ∴直 x的左 ⋯⋯⋯⋯⋯6 分2a 1 2a 21 1∴＜. ∴ a 1＜ a 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分2a 12a 25．（ 柔 23）已知抛物yx 2(2m 1)x m 2 1 (m 常数 ) ．（ 1）若抛物y x2(2m 1)x m 2 1 x交于两个不一样的整数点， 求 m 的整数 ；与 （ 2）在（ 1） 条件下，若抛物 点在第三象限， 确立抛物 的分析式；（ 3）若点 M(x 1，y 1)与点 N(x 1＋k ，y 2)在（ 2）中抛物 上 (点 M 、N 不重合 ), 且 y 1=y 2. 求代数式 x 1216+6 x 1 +5-k 的 .k+1223．解：（ 1）由 意可知， △ = 2m-1-4( m 2 -1)=5 － 4m ＞ 0， . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分又抛物 与 x 交于两个不一样的整数点，∴ 5－ 4m 平方数，k 2 =5 － 4m ， 足要求的 m1，－ 1，－ 5，－ 11，－ 19⋯⋯ ∴ 足 意的 m 整数 的代数式 -n 2 +n+1 (n 正整数 ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 2）∵抛物 点在第三象限，∴只有 m=1 切合 意，抛物 的分析式y=x 2 +x . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（ 3）∵点 Mx 1,y 1 与 N x 1 k,y 2 在抛物 y=x 2 +x 上，∴ y 1 =x 12 +x 1 ， y 2 =(x 1 +k)2 +x 1 +k ∵ y 1y 2 ,∴ x 12 2+x 1 = x 1 +k +x 1 +k.整理，得 k 2 x 1 +k +1 =0∵点 M 、 N 不重合，∴ k ≠ 0.∴ 2x 1 =－ k － 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2∴ x 1216+6 x 1 +5-k =k +116-3(k+1)+5-k =6. ⋯⋯⋯ 7 分4k +1k +16 ．在平面直角坐 系xOy中，抛物 21的 点 M ，直y 2x ，点 P n ，04x 上的一个 点， 点P 作 x 的垂 分 交抛物 y 1 2x21和直 y 2x 于点4A ，点 B.⑴直接写出 A ， B 两点的坐 （用含n 的代数式表示）；⑵ 段 AB 的 d ，求 d 对于 n 的函数关系式及 d 的最小 ，并直接写出此 段OB 与 段 PM 的地点关系和数目关系；(3) 已知二次函数 y ax 2bxc （ a ， b ， c 整数且 a0 ）， 全部 数x 恒有x ≤y ≤2x21，求 a ， b ， c 的 .425．解： (1) A(n ，2n 21) ， B( n ，n) .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2 分4(2) d =AB= y Ay B = 2n 2n 1 .y41∴ d = 2(n1 )2 1 = 2( n 1 )2 1.﹍﹍3 分4 8 4 8 A∴ 当 n 1， d 获得最小1.﹍﹍ 4分M B481 O P1x当 d 取最小 ， 段 OB 与 段 PM 的地点10关系和数目关系是 OB ⊥PM 且 OB=PM. (如 10)﹍﹍﹍﹍﹍ 5 分(3) ∵ 全部 数 x 恒有x ≤ y ≤ 2x 2 1 ，4∴ 全部 数 x ， x ≤ ax2bxc ≤ 2x 21都建立 . ( a0 )①4 当 x0 ，①式化0≤ c ≤1.4∴整 数 c的0.﹍﹍﹍﹍﹍6分此 ， 全部 数 x ， x ≤ ax2bx ≤ 2x21都建立 .( a0 )4x ax 2bx,②即bx 2 x21 . ③对一确实数x 均建立 .ax24由②得 ax 2b 1 x ≥ 0( a 0 ) 对一确实数 x 均建立 . a 0,④ ∴b20.⑤11由⑤得整数 b 的值为 1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7 分此时由③式得， ax2x ≤ 2x21对一确实数 x 均建立 . ( a 0 )4即 (2 a)x2x1≥ 0 对一确实数 x 均建立 . ( a0 )4当 a=2 时，此不等式化为x1≥ 0，不知足对一确实数x 均建立 .4当 a ≠2时，∵ (2 a) x2x1≥ 0 对一确实数 x 均建立， ( a0 )42 a 0,⑥ ∴( 1)24 (2 a)1 ⑦20.4∴ 由④，⑥，⑦得 0 < a ≤1.∴ 整数 a 的值为 1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8 分∴ 整数 a ， b ， c 的值分别为 a 1 ， b 1， c0 .利用数形联合研究交点、方程的根1.（东城 23.） 已知对于 x 的方程 (1m) x 2 (4 m) x3 0 ．（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（ 2）若正整数 m 知足 8 2m 2，设二次函数 y (1 m) x 2(4 m) x 3 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿x 轴翻折， 图象的其他部分保持不变， 获得一个新的图象．请你联合这个新的图象回答：当直线 y kx3 与此图象恰巧有三个公共点时，求出 k 的值（只要要求出两个知足题意的k 值即可）．23.解：（ 1）(4 m) 212(1m)(m 2分2 )．⋯⋯2由意得， (m2)2＞0且1 m 0．∴符合意的m的取范是m2且 m 1的全部数．⋯⋯ 3分（2）∵ 正整数m足8 2m 2，∴ m 可取的 1 和 2 ．又∵ 二次函数 y (1 m) x2(4 m) x 3 ，∴m =2．⋯⋯4分∴二次函数y - x22x 3．∴ A 点、 B 点的坐分（ -1,0）、（ 3,0）．依意翻折后的象如所示．由象可知切合意的直y kx 3 点A、B．可求出此k 的分 3 或 -1．⋯⋯ 7 分注：若学生利用直与抛物相切求出k=2 也是切合意的答案．2.（海淀23）已知抛物y (m1)x2(m2) x 1 与x交于A、 B 两点．（1）求 m 的取范；（2）若 m>1, 且点 A 在点 B 的左， OA : OB=1 : 3, 确立抛物的分析式；（3）（ 2）中抛物与y 的交点C，点 C 作直 l //x ,将抛物在y 左的部分沿直l 翻折 , 抛物的其他部分保持不，获得一个新象. 你合新象回答: 1b 与新象只有一个公共点P( x0, y0)且 y07 ,求 b 的取范 .当直yx3y87654321-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x23. 解：（ 1）∵ 抛物y(m1)x 2( m2) x1 与x交于A、B两点，ì①?m - 1 ? 0,?⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ í2②??D = ( m - 2) + 4( m- 1) > 0.由①得 m 11 ，由②得 m 10 ，∴ m 的取范是m 10且 m 1 1 ．⋯⋯⋯⋯ 2 分（ 2）∵ 点 A、 B 是抛物y(m1)x2(m2) x 1 与x的交点，∴令 y 0 ，即 (m 1)x2( m 2) x 1 0 ．解得x1 1 ， x21．m 1∵ m1，∴10 1. m 1∵点 A在点 B左，∴点 A的坐(1,0) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分1,0) ，点B的坐 (m1∴ OA= 1，OB=1．m 1∵OA : OB=1 : 3，∴1 3 .m1∴m= 4 ．3∴ 抛物的分析式y1x22x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分33（ 3）∵ 点 C 是抛物y 1 x2 2 x 1 与y的交点，3 3∴点 C 的坐(0,- 1).依意翻折后的象如所示．令 y 7 ，即1x22x 1 7 ．33解得 x1 6 , x24．∴新象点 D(6,7) .当直y1 D 点，可得 b 5 .x b3当直 y1x b C 点，可得 b1y．837D1 x 1 x2 2 x6当直y b(b1)与函数 y1(x0)533343的象有一个公共点P(x0, y0)，得21121B2Axb 1 .-4 -3 -2 -1O 1 234567x0x0x0-1C l 333-2整理得 x023x03b30.-3-4 -5由D=(-3)2- 4(- 3b - 3) = 12b+ 21 = 07-6，得 b-7．4-8合象可知，切合意的 b 的取范1b 5或b < -7．⋯⋯⋯⋯⋯7 分4通州 22．已知对于x的方程mx2(3m 1)x2m 20（ 1）求：无m取任何数，方程恒有数根.（ 2）若对于x的二次函数y mx2(3m 1)x2m 2 的象坐原点（0,0），求抛物的分析式 .（ 3）在直角坐系xoy 中，画出（2）中的函数象，合象回答：当直 y x b 与（ 2）中的函数象只有两个交点，求 b 的取范.22. .解：（ 1）分两种状况 .①当 m0 ，方程x20x 2 ，方程有数根,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(1 分)②当 m0 ，一元二次方程的根的判式3m 129m26m 18m28m m22m 1 4m 2m 2＝ m2≥ 0 不m何数，≥ 01建立，方程恒有数根⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(2 分)合①、②可知m 取任何数，方程 mx23m 1 x2m20 恒有数根⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(3 分)（2）二次函数y mx2(3m1)x2m 2的象与（ 0,0）2m20m1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(4 分)二次函数分析式：y x22x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(5 分)（3）在（ 2）条件下，直y x b 与二次函数象只有两个交点，合象可知y x22x1当 y1y ，y x b得 x2 3x b 0由9 4b 0得 b 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(6 分) 49上所述可知：当b，4直 y x b 与（2）中的象有两个交点. ⋯⋯⋯⋯ .(7 分 )23. （延）已知 :对于 x 的一元二次方程mx2 - 2m 2 x m - 1 0（）(1)若此方程有根 ,求 m 的取范 ;(2)在 (1)的条件下 ,且 m 取最小的整数 ,求此方程的两个根 ;(3) 在 (2)的前提下 ,二次函数y mx2（-2m2）x m - 1 与x有两个交点,接两点的段 ,并以条段直径在x 的上方作半P,直l的分析式y=x+b,若直l 与半 P 只有两个交点 ,求出 b 的取范 .23. （ 1）解：∵对于 x 的一元二次方程有根∴ m≠ 0，且△≥ 0⋯..1 分∴△ =（ 2m+2）2-4m（ m-1）=12m+4≥ 0解得 m≥-132D1∴当 m≥-，且 m≠ 0 此方程有根 ,⋯⋯ ..2 分C3E（ 2）解：∵在 (1)的条件下 ,当 m 取最小的整数 ,AO P5∴ m=1⋯⋯⋯⋯ ..3 分∴原方程化： x2-4x=0x（ x-4 ） =0x1=0，x2=4 ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯⋯ ..4 分2（ 3）解：如所示：①当直l 原点O与半P有两个交点，即b=0 ⋯⋯⋯ 5 分②当直 l 与半P相切于D点有一个交点，如由意可得Rt △ EDP、Rt △ ECO是等腰直角三角形，4∵DP=2∴EP= 2 2 ⋯⋯⋯⋯.6分∴OC= 2 2-2即 b= 2 2 - 2∴当 0≤ b＜2 2 - 2 ，直l与半P只有两个交点。

2022年北京中考数学分类汇编——代数综合1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．2022年北京中考数学分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣求解．（2）由抛物线的对称性及m＝0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．（3）分别将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3），解不等式组．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．（2）∵m＝0，y1＝y3，∴（﹣2，y1），（2，y3）关于抛物线对称轴对称，∴抛物线关于y轴对称，即a＝0，∴y＝x2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），∴y2＝1为函数最小值，∴y1＞y2．（3）将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）代入y＝x2﹣2ax+1得y1＝m2﹣4m﹣2am+4a+5，y2＝m2﹣2am+1，y3＝m2﹣4m+2am﹣4a+5，∵y1＞y2＞y3，∴m2﹣4m﹣2am+4a+5＞m2﹣2am+1＞m2﹣4m+2am﹣4a+5，解得m﹣1＜a＜1，∵m＞1，∴0＜a＜1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，根据抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；（3）根据题意得：y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，由于当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，可得﹣＜at＜+，当a＜0时，+＜t＜﹣，可得＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，可得0＜a＜．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，故c的值为﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得：ax2﹣2ax﹣2＝﹣6，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，∵抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＜0，即a（a﹣4）＜0，∵a≠0，∴当a＜0时，a﹣4＞0，即a＞4，此时，无解；当a＞0时，a﹣4＜0，即a＜4，∴0＜a＜4，综上所述，a的取值范围为0＜a＜4；（3）∵点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，∴y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，∴|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，∵当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，∴﹣＜a（2t﹣1）＜，∴﹣＜at＜+，∵a≠0，∴当a＜0时，+＜t＜﹣，∴，解得：＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，∴，解得：0＜a＜；综上所述，a的取值范围是＜a＜0或0＜a＜．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后将x＝3代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），进而判断出x A＜0，x B＞6，得出AB＝|x B﹣x A|＞6，判断出此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出a≤，＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．再根据y顶点【解答】解：（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1，令x＝0，则y＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3，∴x A＜0，x B＞6，∴AB＝|x B﹣x A|＞6，∵AB≤4，∴此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），∵AB≤4，∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，∴a≤，∵抛物线与x轴有两个交点，＝﹣9a+1＜0，∴y顶点∴a＞，∴＜a≤．【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．【分析】（1）由抛物线的对称轴公式即可得出答案；（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（a+2）x+2a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣﹣1，即直线x＝﹣﹣1；（2）y＝x2+（a+2）x+2a，整理得：y＝（x+2）（x+a），当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+a）＝a﹣1，当x＝a时，y2＝（a+2）（a+a）＝2a2+4a，当x＝1时，y3＝（1+2）（1+a）＝3a+3，∵y1＜y2，∴a﹣1＜2a2+4a，解得：a＞﹣或a＜﹣1，∵y2＜y3，∴2a2+4a＜3a+3，解得：﹣＜a＜1，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1，∴a的取值范围为：﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式：x＝﹣，即可得到答案；（2）分三种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；（2）①当a＜x2＜x1时，y1＞y2，则a+1＜1﹣2a，即a＜0；②当x1﹣a＞a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜；③当x1﹣a＜a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞，综上，a＜0或a＞．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定a的范围是本题的难点．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝﹣1，再将点（1，1）代入y＝﹣x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）求得函数y＝﹣x+2在x＝﹣1时的函数值为3，根据点（﹣1，3）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，∴k＝﹣1，又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（1，1），∴﹣1+b＝1．∴b＝2，∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+2；（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3，把点（﹣1，3）代入y＝mx﹣1，得m＝﹣4，∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝﹣x+2的值，∴﹣4≤m≤﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．7．（2022•密云区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，2）．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．【分析】（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2可得答案；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2，即可解决问题；（3）由（1）得，b＝﹣a，则二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，再分当x＜或x＞，分别可得答案．【解答】解：（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2得，a+b+2＝2，∴b＝﹣a；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2得，a+a+2＝0，∴a＝﹣1，∴b＝1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；（3）由（1）得，b＝﹣a，∴二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，∵a＜0，∴当x＜时，y随x的增大而增大，∵x1＝﹣2，y1＞y2，∴x2＜﹣2，当x＞时，y随x的增大而减小，∵P（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点坐标为（3，y1），∴x2＞3，综上：x2＜﹣2或x2＞3．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）①先将m＝﹣3代入抛物线的解析式，并利用对称轴公式可得结论；②抛物线开口向上，根据离对称轴距离越远，函数值越大可列不等式解答；（2）根据平移的性质可得Q的坐标，把n＝2代入抛物线的解析式，分三种情况：抛物线过点P，顶点在PQ上，过点Q结合图象可解答．【解答】解：（1）①当m＝﹣3时，y＝x2﹣3x+n，对称轴是：直线x＝﹣＝；②∵抛物线的对称轴是直线x＝，且开口向上，则点与对称轴的距离越大函数值越大，∵点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，∴|x2﹣|＜|﹣1|，∴1＜x2＜2；（2）∵点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q，∴Q（2，1），∵n＝2，∴y＝x2+mx+2，当抛物线经过点P（﹣1，1）时，1＝1﹣m+2，∴m＝2，当抛物线的顶点在PQ上时，x＝﹣，y＝﹣+2，则y＝1，即﹣+2＝1，解得：m1＝2，m2＝﹣2，当抛物线经过点Q时，4+2m+2＝1，解得：m＝﹣，此时与抛物线有2个交点，则当m＜﹣时，符合题意，综上所述，结合函数图象，得m≥2或m＜﹣或m＝﹣2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，对称轴公式，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．9．（2022•大兴区二模）关于x的二次函数y1＝x2+mx的图象过点（﹣2，0）．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．【分析】（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx，即可得出m的值；（2）根据图象y1与y2仅交于（0，0），故图象y3＝kx+b过（0，0），从而得出b的值；②根据y1与y3只有一个交点得x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，根据Δ＝0，可得答案．【解答】解：（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx得，0＝（﹣2）2﹣2m，解得m＝2，∴二次函数的表达式为y1＝x2+2x；（2）①∵y1＝x2+2x和y2＝﹣x2+2x，令y1＝y2，∴x2+2x＝﹣x2+2x，∴x＝0，∴图象y1与y2仅交于（0，0），∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，∴y1﹣y3≥0，y3﹣y2≥0，∴x＝0时，y1＝y2＝y3＝0，∴y3＝kx+b过（0，0），∴b＝0，②由①知，y3＝kx，联立方程组，∴x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，∵两图象只有一个交点，∴Δ＝（2﹣k）2＝0，∴k＝2．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，利用数形结合思想确定直线过原点是解题的关键．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．【分析】（1）①把（4，﹣1）代入解析式，确定b＝﹣4a，再把b＝﹣4a代入对称轴公式计算即可；②根据对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，判定抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），代入解析式确定a，b的值即可；（2）根据x＝﹣＝t，得到b＝﹣2at，从而解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）分别代入解析式，根据y3＞y1＞y2，列出不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）①若抛物线过点（4，﹣1），∴﹣1＝16a+4b﹣1，∴b＝﹣4a，∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝2；②∵当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，抛物线的对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，∴抛物线必过点（﹣1，0）和（5，0）．∴把（5，0），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1（a＞0）得：，解得，抛物线的表达式为，如图所示：（2）∵x＝﹣＝t，∴b＝﹣2at，∴解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）的坐标分别代入解析式，得：y3＝a﹣2at﹣1，y1＝16a+8at﹣1，y2＝4a+4at﹣1，∵y3＞y1＞y2，∴，解得：，∴t的取值范围是﹣3＜t＜﹣．【点评】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式求解即可；（2）把m＝1代入即可；（3）翻折图象，出画图形，直接①②写出结论即可．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝＝；（2）m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（3）画出y＝x2﹣2x﹣3的图象，把x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到图象M，如图，①y＝x+1与图形M公共点的个数是3个；②k＞2，或．当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与y＝x2﹣2x﹣3的图象相切时，k（x+2）﹣1＝x2﹣2x ﹣3，∴k1＝2﹣6，k2＝﹣2﹣6，∴k＞2或或k＜﹣2﹣6．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，画出正确的图形，利用数形结合是解题的关键．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，解得m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；（2）∵y＝x2﹣3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，∴n2﹣3n+1＝4﹣n，解得n1＝﹣1，n2＝3，∵n≤x≤1，∴n的值为﹣1；（3）根据平移的性质可知，a＝1，∵当x＜2时，y随x的增大而减小，∴h≥2．∵平移后的图象经过原点O，∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，∴k≤﹣4．【点评】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣计算；（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1，当x＝0时，y＝1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2；（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣＜1，解得：b＞﹣2，当1＞y2时，1＞1+b+1，解得：b＜﹣1，∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．。

实用文档Oxy1234-1-2-1-212345xyO2019-2020年中考二模数学——代数综合题23题汇总1、（xx 年门头沟二模）23. 已知二次函数图象的对称轴为直线． （1）请求出该函数图像的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图像；（3）有一条直线过点p (1,5)，若该直线与二次函数只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式.2、（xx 年丰台二模）23.如图,二次函数经过点（-1,0）和点（0，-3）.（1）求二次函数的表达式； （2）如果一次函数的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值和该公共点的坐标；（3）将二次函数图象y 轴左侧部分沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G ，如果直线与图象G 有3个公共点，求n 的值.3、（xx 年平谷二模）23．已知关于x 的一元二次方程． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）关于x 的二次函数的图象经过和两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线．设抛物线交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．4、(xx 年顺义二模) 23．已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =BC ，求点P 的坐标． 5、（xx 年石景山二模）23. 关于的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论为何值时，方程总有一个根大于；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与轴有且只有一个交点，求的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线翻折，得到新的函数图象．在轴上分别有点(t ，0)，(0，2t )，其中，当线段与函数图象只有一个公共点时，求的值．解：6、（xx 年海淀二模）23．已知关于的方程：①和2(9)2(1)3x m x m --++=②，其中.（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将、两点按照相同的方式平移后，点落在点处，点落在点处，若点的横坐标恰好是方程②的一个根，求的值；（3）设二次函数22(9)2(1)y x m x m =--++，在（2）的条件下， 函数，的图象位于直线左侧的部分与直线（）交于两点，当向上平移直线时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则的值是________________.7、（xx 年西城二模）23．经过点（1，1）的直线l ：与反比例函数G 1:的图象交于点，B （b ，-1），与y 轴交于点D ．（1）求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式；（2）反比例函数G 2::，①若点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，若EA =EB ，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公共点M ，N （点M 在点N 的左侧），若，直接写出t 的取值范围．xy 1234432112344321O 12345-1-2-3-4-5-5-4-3-2-154321yxO实用文档8、（xx 年通州二模）无9、（xx 年东城二模）23．已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）设抛物线，证明：此函数图像一定过轴，轴上的两个定点（设轴上的定点为点A ，轴上的定点为点C ）； （3）设此函数的图像与轴的另一交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求的取值范围．10、（xx 年朝阳二模）23．在平面直角坐标系xOy 中，点P (m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别交抛物线y =-x 2+2x 和y =-x 2+3x 于点M ，N ． （1）当时， ；（2）如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．11、（xx 年密云二模）23. 已知P （﹣3，m ）和Q （1，m （1）求b 的值;（2）判断关于x 的一元二次方程2x 2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由;（3）将抛物线y=2x 2+bx+1的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．12、（xx 年延庆二模）13、(xx 年房山二模) 23. 已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数. （1）求的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于轴左侧的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线与图象G 有3个公共点时，请你直接写出的取值范围.14、（xx 年昌平二模）23．已知抛物线2(31)2(1)(0)y ax a x a a =-+++≠.（1）求证：无论a 为任何非零实数，该抛物线与x 轴都有交点；（2）若抛物线2(31)2(1)y ax a x a =-+++与x 轴交于A (m ,0)、 B （n ,0）两点，m 、n 、a 均为整数，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点P (n －l ，n ＋l ）、Q (0,a ），求一次函数的表达式.15、（xx 年怀柔二模）23．如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为y 轴上的一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求D 点的坐标；（3）已知：直线y=>0)交x 轴于点E ，M 为直线上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k 的取值范围．yxN MOPxyCBAO实用文档16、（xx 年大兴二模）23．已知：关于的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k . （1）当方程有两个相等的实数根时，求的值；（2）若是整数，且关于的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．17、（xx 年燕山二模）23. 已知关于的一元二次方程032)1(222=--++-k k x k x 有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当取最小的整数时，求抛物线32)1(222--++-=k k x k x y 的顶点坐标以及它与轴的交点坐标； （3）将(2)中求得的抛物线在轴下方的 部分沿轴翻折到轴上方，图象的 其余部分不变，得到一个新图象． 请你画出这个新图象，并求出新图象 与直线有三个不同公共点时的值．39499 9A4B 驋22978 59C2 姂24849 6111 愑L37713 9351 鍑{36289 8DC1 跁p35927 8C57 豗 21277 531D 匝}34141 855D 蕝-32717 7FCD 翍。

第1页共13页计算32()x -的正确结果是()（A）－x 6；（B）－x 5；（C）x 6；（D）x 5．下列实数中，最小的数是（）（A）0；（B）2-；（C）（D）1．下列实数中，有理数是()；（C）；下列运算正确的是（）（A）632a a a =+；（B）235+=a aa ；（C）236·=a a a ；（D）()236=aa.6-的绝对值是（）(A)6-；(B)6；(C)16-；(D)16．中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果将零下2℃记作-2℃，那么3℃表示()（A）零上3℃；（B）零下3℃；（C）零上5℃；（D）零下5℃．下列根式中，与18互为同类二次根式的是()．（A）2；（B）3；（C）5；（D）6．下列各对数中互为倒数的是（）（A）3和13；（B）2-和2；（C）3和13-；（D）2-和12．下列分数中，能化成有限小数的是（）（A）26；（B）212；（C）216；（D）218．下列实数中，比3大的有理数是（）.（A）3-；（B）π；（C）722；（D）17．页代数式24xy的次数是()（A）1；（B）2；（C）3；（D）4．下列二次根式中，最简二次根式的是()；；6-的相反数为()．（A）61；（B）6；（C）6±；（D）61-.3-的倒数是（）（A）3；（B）0.3-；（C）31；（D）31-.下列单项式中，2xy的同类项是()（A）32x y；（B）2x y；（C）22xy；（D）232x y.5的相反数是()A．51-；B．5-；C．55-；D．5-．2=的解是()A．4x=；B．5x=；C．6x=；D．7x=．下列计算中，正确的是()23+23´；23；0.7=.是同类二次根式的是（）；；下列计算正确的是()（A）347()a a=；（B）268a a a⋅=；（C）336a a a+=；（D）842a a a÷=．下列运算结果错误．．的是（）（A）132-=÷mmm；（B）632)(mm=；第2页共13第3页共13页（C）235m m m ⋅=；（D）532m m m =+．下列无理数中，在2-与0之间的数是()（A）1-（B）1-（C）1-+；（D）1+用换元法解方程31122=---x x x x 时，如果设y x x =-21，那么原方程可化为关于y 的方程是（）.（A）0132=-+y y ；（B）0132=--y y ；（C）0132=+-y y ；（D）0132=++y y．下列计算正确的是（）（A）6212a a a ⋅=；（B）6236a a a ⋅=；（C）624a a a ÷=；（D）224+a a a =．下列各式中，计算结果是6a 的是()（A）33a a +；（B）23a a ⋅；（C）122a a ÷；（D）23()a．下列关于x 的方程一定有实数解的是()．（A）012=+x ；（B）012=+-x x ；（C）012=+-bx x （b 为常数）；（D）012=--bx x （b 为常数）．）（A）1和2之间；（B）2和3之间；（C）3和4之间；（D）4和5之间.下列运算中，计算结果正确的是（）(A)326(2)4a a =；(B)222(2)24a b a ab b +=++；(C)632a a a ÷=；(D)2233a a -=．单项式28ab -的系数是()．（A）8-；（B）2；（C）3；（D）8．下列关于x 的方程一定有实数解的是()（A）2490x +=；（B）220x x +-=；1x=-；（D）12 11 xx x+=--．设a是一个不为零的实数，下列式子中，一定成立的是（）（A）32a a->-；（B）32a a>；（C）32a a->-；（D）32a a>．下列关于9的算术平方根的说法正确的是()（A）9的算术平方根是3与－3；（B）9的算术平方根是－3；（C）9的算术平方根是3；（D）9的算术平方根不存在．一元二次方程210x--=的根的情况是（）（A）有两个不相等的实数根；（B）有两个相等的实数根；（C）只有一个实数根；（D）没有实数根．下列方程中，有实数根的是（）（A）2210x x++=；（B）210x x++=；（C）01=+x；（D）111-=-xxx.计算：x2•=-)3(2xy．计算：aa3+2=．计算：124=_____．函数1()1f xx=+的定义域是．计算：12x x+=．因式分解：24x-＝．计算：()23ab=．=.计算：8-的立方根是．计算72xx⋅=．计算：23()a-=.第4页共13页页计算：2--=．计算：32aa⋅=．15的倒数是．计算：=÷24xx．因式分解：23a a-=．分解因式：24a a-=．=.已知1)(-=xxf，那么=)5(f．已知()f xx=，那么f=．分解因式：228-+x=.化简分式bab b+的结果为．=．如果分式32-x有意义，那么实数x的取值范围是．已知()23f x x=-，那么(3)f=．分解因式：29a-=．因式分解：2a ab-=．已知2()1f xx=-，那么f=．因式分解：224x y-=．函数2+=xy的定义域为．计算：222a b b-+=（）．已知关于x的方程0=+4+2mxx有两个相等的实数根，那么m 的值为．第5页共13页1=的根是．3=的根是x=．如果关于x的一元二次方程240x x k-+=有实数根，那么k的取值范围是．已知()211f xx=+，那么()1f-=．x=的根是．如果关于x的方程022=+-mxx有两个相等的实数根，那么m 的值是．分式13x-中字母x的取值范围是.不等式组1023xx x-⎧⎨-<⎩≥的解集是．因式分解：aa-3=．不等式组26,20xx>-⎧⎨-+>⎩的解集是．方程xx-=的解是．已知1()f x x-=，那么f=．已知1)(2-=xxxf，那么=)5(f．分式方程01112=-+-xxx的解是．如果关于x的方程022=-+kxx有两个相等的实数根，那么k=.方程x=的解是．第6页共13页如果关于x的方程230x x m-+=有两个相等的实数根，那么实数m=．已知关于x的方程230x x k-+=无实数根，那么k的取值范围是．如果方程17=-+xx，那么=x．不等式组2310xx-<⎧⎨-<⎩的解集是．不等式组2622xx>⎧⎨->⎩，的解集是．方程组223203x xy yx y⎧-+=⎨+=⎩的解是.方程xx=2+的解是．如果关于x的方程0242=+-cxx有实数根，那么实数c的取值范围是．方程x=的解是．已知关于x的一元二次方程220x x m--=没有实数根，那么m 的取值范围为．不等式组32,12x xx x-<⎧⎪⎨≤+⎪⎩的解集是．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<122,43xxxx的正整数解是．如果关于x的一元二次方程230x x c-+=有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为．已知关于x的方程022=--mxx有两个不相等的实数根，那第7页共13么m的取值范围是．如果关于x的二次三项式25x x k-+在实数范围内不能因式分解，那么k的取值范围是．已知关于x的方程032=++mxx有两个相等的实数根，那么m 的值等于．计算：13813272sin45-+-1⎛⎫⎪︒⎝⎭．计算：2102182π-⎛⎫--⎪⎝⎭计算：01)1(2345sin223π---+︒---）（计算：220231112-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭（）．先化简，再求值：2214422m m mm m m m-÷-++++，其中3m=．第8页共13页页先化简再求值：2113()422aa a a+-¸-+-，其中a=计算：11214--⨯+计算：18)12023(1218031⨯--++.12211()82--++计算：201(tan60(3)2-+-︒--+π．计算：12021()(2023)184π-+-+．先化简:22141369xx x x-⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭，然后从3-、2-、0、2、3中选一个数代入求值．第9页共13页化简求值：2244221x x xx x x-+-÷--（），其中x=计算：()232721320233110-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--π.计算：(110218231π--+-+计算：2282(362x x xx x x x+--÷---+．解方程组：224152 5.，x yx y⎧-=⎨-=⎩解方程组：22210,2 4.x yx xy y--=⎧⎨++=⎩②①解方程组：222620x yx xy y-=⎧⎨--=⎩①②第10页共13第11页共13页①②解不等式组：()()2111361.22x x x x -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，并求出它的正整数解.解方程组：22+6+94,38.x xy y x y ⎧=⎨-=⎩解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--≤-；，52157353131x x x x 将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．解方程组：⎩⎨⎧=+-=+425222y xy x yx 解方程组：222 1 1 . x y y x y ⎧--=-⎨-=⎩，①②-212334-1x第12页共13页解方程组：⎩⎨⎧=+-=-425322y xy x y x ②①已知反比例函数ky x=的图像经过点（1-,4）．（1）求k 的值；（2）完成下面的解答过程．解不等式组311x k.x +⎧⎪⎨⎪⎩＞，①＞②解：解不等式①，得；在方格中画出反比例函数ky x=的大致图像，根据图像写出不等式②的解集是；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是．解不等式组253 2.x x x -≥-⎧⎨<+⎩；d，并把解集在数轴上表示出来；4-3-2-1-012340－4－3－2－112页解方程组：22229024x yx xy y⎧-=⎨-+=⎩①②解方程：228122xx x x-=--．解不等式组：632,22(1)511,xxx x+⎧-⎪⎨⎪+<+⎩≤并把解集在数轴上表示出来．求不等式组的365(2)221132x xx x+>-⎧⎪--⎨-≤⎪⎩整数解．解方程组：⎩⎨⎧=-=+.09,222yxyx55-4-3-2-1-01234第13页共13第1页共24页计算32()x -的正确结果是()（A）－x 6；（B）－x 5；（C）x 6；（D）x 5．C下列实数中，最小的数是（）（A）0；（B）2-；（C）（D）1．B下列实数中，有理数是()；（C）；B下列运算正确的是（）（A）632a a a =+；（B）235+=a aa ；（C）236·=a a a ；（D）()236=aa.D6-的绝对值是（）(A)6-；(B)6；(C)16-；(D)16．B中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果将零下2℃记作-2℃，那么3℃表示()（A）零上3℃；（B）零下3℃；（C）零上5℃；（D）零下5℃．A下列根式中，与18互为同类二次根式的是()．（A）2；（B）3；（C）5；（D）6．下列各对数中互为倒数的是（）（A）3和13；（B）2-和2；（C）3和13-；（D）2-和12．A下列分数中，能化成有限小数的是（）（A）26；（B）212；（C）216；（D）218．C下列实数中，比3大的有理数是（）.（A）3-；（B）π；（C）722；（D）17．C代数式24xy的次数是()（A）1；（B）2；（C）3；（D）4．C下列二次根式中，最简二次根式的是()；；C6-的相反数为()．（A）61；（B）6；（C）6±；（D）61-.3-的倒数是（）（A）3；（B）0.3-；（C）31；（D）31-.D下列单项式中，2xy的同类项是()（A）32x y；（B）2x y；（C）22xy；（D）232x y.第2页共24页第3页共24页C5的相反数是()A．51-；B．5-；C．55-；D．5-．D2=的解是()A．4x =；B．5x =；C．6x =；D．7x =．C下列计算中，正确的是()23+23´；23；0.7=.Bx=是同类二次根式的是（）；；B下列计算正确的是()（A）347()a a =；（B）268a a a ⋅=；（C）336a a a +=；（D）842a a a ÷=．B下列运算结果错误．．的是（）（A）132-=÷m m m ；（B）632)(m m =；（C）235m m m ⋅=；（D）532m m m =+．D下列无理数中，在2-与0之间的数是()（A）1-（B）1-（C）1-+；（D）1+B页用换元法解方程31122=---xxxx时，如果设yxx=-21，那么原方程可化为关于y的方程是（）.（A）0132=-+yy；（B）0132=--yy；（C）0132=+-yy；（D）0132=++yy．B下列计算正确的是（）（A）6212a a a⋅=；（B）6236a a a⋅=；（C）624a a a÷=；（D）224+a a a=．C下列各式中，计算结果是6a的是()（A）33a a+；（B）23a a⋅；（C）122a a÷；（D）23()a．D下列关于x的方程一定有实数解的是()．（A）012=+x；（B）012=+-xx；（C）012=+-bxx（b为常数）；（D）012=--bxx（b为常数）．）（A）1和2之间；（B）2和3之间；（C）3和4之间；（D）4和5之间.B下列运算中，计算结果正确的是（）(A)326(2)4a a=；(B)222(2)24a b a ab b+=++；(C)632a a a÷=；(D)2233a a-=．A单项式28ab-的系数是()．（A）8-；（B）2；（C）3；（D）8．第4页共24第5页共24页下列关于x 的方程一定有实数解的是()（A）2490x +=；（B）220x x +-=；1x =-；（D）1211x x x +=--．B设a 是一个不为零的实数，下列式子中，一定成立的是（）（A）32a a ->-；（B）32a a >；（C）32a a ->-；（D）32a a>．A下列关于9的算术平方根的说法正确的是()（A）9的算术平方根是3与－3；（B）9的算术平方根是－3；（C）9的算术平方根是3；（D）9的算术平方根不存在．C一元二次方程210x --=的根的情况是（）（A）有两个不相等的实数根；（B）有两个相等的实数根；（C）只有一个实数根；（D）没有实数根．A下列方程中，有实数根的是（）（A）2210x x ++=；（B）210x x ++=；（C）01=+x ；（D）111-=-x xx.AA 中22Δ424110b ac =-=-⨯⨯=所以有两个相等的实数根；B 中22Δ414110,b ac =-=-⨯⨯<无解；C1=-不成立，无解；D 中x=1时增根；故选A.计算：x 2•=-)3(2xy ．第6页共24页226y x-计算：a a 3+2=．5a计算：124=_____．2函数1()1f x x =+的定义域是．1x ≠-计算：12x x+=．3x因式分解：24x -＝．(2)(2)x x +-计算：()23ab=．26ab=.2计算：8-的立方根是．2-计算72xx ⋅=．9x 计算：23()a -=.6a -计算：2--=．-2页计算：32aa⋅=．5a15的倒数是．5计算：=÷24xx．2x因式分解：23a a-=．)(3a a-分解因式：24a a-=．(4)a a-=.2-已知1)(-=xxf，那么=)5(f．2已知()f x=，那么f=．分解因式：228-+x=.)2)(2(2-+-xx化简分式bab b+的结果为．11a+=．第7页共24第8页共24页12-如果分式321-x 有意义，那么实数x 的取值范围是．23≠x 已知()23f x x =-，那么(3)f =．3分解因式：29a -=．(3)(3)a a +-因式分解：2a ab -=．()a a b-已知2()1f x x =-，那么f =．13+因式分解：224x y -=．(2)(2)x y x y -+函数2+=x y 的定义域为．2-≥x 计算：222a b b -+=（）．2223a ab b -+已知关于x 的方程0=+4+2m x x 有两个相等的实数根，那么m的值为．41=的根是．2x=3=的根是x =．11页如果关于x的一元二次方程240x x k-+=有实数根，那么k的取值范围是．4k≤已知()211f xx=+，那么()1f-=．12x=的根是．2x=如果关于x的方程022=+-mxx有两个相等的实数根，那么m 的值是．1分式13x-中字母x的取值范围是.3≠x不等式组1023xx x-⎧⎨-<⎩≥的解集是．13x≤<因式分解：aa-3=．)1)(1(-+aaa不等式组26,20xx>-⎧⎨-+>⎩的解集是．3-<x<2方程xx-=的解是．x=已知1()f x x-=，那么f=．第9页共24第10页共24页已知1)(2-=x xx f ，那么=)5(f．45分式方程01112=-+-xx x 的解是．1-=x 原方程变为21111x x x-=--.去分母,得1=0x +,解得1x =-.经检验1x =-是原方程的根如果关于x 的方程022=-+k x x 有两个相等的实数根，那么k =.-1因为关于x 的方程022=-+k x x 有两个相等的实数根，所以()22424101b ac k k =-=-⨯⨯-==- 解得，故答案为-1.方程x =的解是．2x=两边平方,得22x x +=,整理得220x x --=,解得122,1x x ==-,02x x >∴=故答案为:2.如果关于x 的方程230x x m -+=有两个相等的实数根，那么实数m =．94关于x 的方程23m 0x x -+=有两个相等的实数根,2Δ40b ac ∴=-=,第11页共24页即2(3)410m --⨯⨯=,解得94m =.故答案为:94.已知关于x 的方程230x x k -+=无实数根，那么k 的取值范围是．94k>关于x 的方程230x x k -+=无实数根,2Δ40b ac ∴=-<,即2(3)410k --⨯⨯<,解得94k >.故答案为:94k >.如果方程17=-+x x ，那么=x．21x =+,两边平方,得()271x x +=+,整理得260x x +-=,解得122,3x x ==-,检验：当2x =时,方程左边21===右边,则2x =为原方程的解;当3x =-时,方程左边()35=-=≠右边,则3x =-不是原方程的解;所以原方程的解为2x =.故答案为:2.不等式组2310x x -<⎧⎨-<⎩的解集是．312x -<<由23x -<得:32x >-,由10x -<得:1x <,则不等式组的解集为312x -<<,故答案为:312x -<<.不等式组2622x x >⎧⎨->⎩，的解集是．4x>解不等式26x >,得:3x >,解不等式22x ->,得:4x >,则不等式组的解集为4x>,方程组223203x xy yx y⎧-+=⎨+=⎩的解是.⎩⎨⎧==12yx，⎪⎩⎪⎨⎧==2323yx223203x xy yx y⎧-+=⎨+=⎩由(1)得:()()20x y x y--=,0203,x y x y-=-=或由(3)和(2)组成两个二元一次方程组:020,33x y x yx y x y⎧-=-=⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解得:1221322,132x xyy⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩,所以原方程组的解是1221322,132x xyy⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩故答案为:1221322,132x xyy⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩.方程xx=2+的解是．x=2方程两边平方得,22x x+=,整理得220x x--=,解得12x=,21x=-.经检验,21x=-是原方程的增根,12x=是原方程的根.所以原方程的根为2x=.故答案为2x=.如果关于x的方程0242=+-cxx有实数根，那么实数c的取值范围是．2≤c第12页共24页第13页共24页根据方程没有实数根,得到241680,b ac c ∆=-=- 解得：2c .∴实数c 的取值范围是:2c方程x =的解是．x=1两边平方,得221x x -=,整理得2102x x +-=,解得121x x ==,故答案为:x=1.已知关于x 的一元二次方程220x x m --=没有实数根，那么m的取值范围为．1m <-因为关于⨯的方程220x x m --=没有实数根,所以()2Δ(2)410mn =--⨯⨯-<即440m +<，解得1m <-故答案为m 1<-不等式组32,12x x x x -<⎧⎪⎨≤+⎪⎩的解集是．12<≤-x 由32x x -<得:1x <,由12xx + 得:2x - ,则不等式组的解集为21x -< ,故答案为:21x -<.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<122,43x x x x 的正整数解是．3=x ，4=x 解第一个不等式得:2x >,解第二个不等式得:4x ,所以不等式组的解集为:24x < ,所以x 的正整数解为：34、,如果关于x 的一元二次方程230x x c -+=有两个不相等的实数根，那么c 的取值范围为．第14页共24页94c＜根据题意㥂2Δ(3)40c =-->,解得94c <,即c 的取值范围为94c <.已知关于x 的方程022=--m x x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．1->m 根据题意得：Δ440,m =+>解得:1m >-,如果关于x 的二次三项式25x x k -+在实数范围内不能因式分解，那么k 的取值范围是．254k>关于x 的二次三项式25x x k -+在实数范围内不能分解因式,就是对应的二次方程250x x k -+=无实数根,225Δ(5)42540,.4k k k ∴=--=-<∴>已知关于x 的方程032=++m x x 有两个相等的实数根，那么m的值等于．94根据题意得2340m ∆=-=，解得94m =.故答案为：94.计算：13813272sin 45-+-1⎛⎫⎪︒⎝⎭．原式1212323-++-=...............................6分122323+++-=...........................................2分2122-=.....................................................2分页计算：2102182π-⎛⎫--⎪⎝⎭12021(82π--+411)=-+-………………………………………（8分）412=-+-5=……………………（2分）计算：01)1(2345sin223π---+︒---）（原式=1)32(222231--+⨯--．=132223--+-+．…………………（8分）=1．……………………………………………（2分）计算：220231112-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭（）．原式=413131----+-（每一项各2分，共8分）7-=．（2分）先化简，再求值：2214422m m mm m m m-÷-++++，其中3m=．原式=222122m m mm m m+-⋅-++（）…………………………………（3分）=122m mm m--++……………………………………………………………（2分）=12m+……………………………………………………………………（2分）把3m=312+=………………………（3分）第15页共24页先化简再求值：2113()422aa a a+-¸-+-，其中a=原式=113(2)(2)22aa a a a骣+÷ç-¸çç+-+-桫（2分）=(1)(2)2(2)(2)3a a aa a+---´+-（2分）=12a+（2分）当a==2-.（2+2分）计算：11214--⨯+11--……………………………（2分+2分+2分+2分）=0．……………………………………………………………（2分）计算：18)12023(1218031⨯--++.原式=231122⨯--+(8分)=2321-+(1分)=221-(1分)12211()82--++141-+-····························································（8分）=2．··········································································································（2分）计算：201(tan60(3)2-+-︒--+π．原式22=- (4)分411=+- (4)分4=…………………………………………………………2分第16页共24页计算：12021()(2023)184π-+-+．原式=1611++-=16-．先化简:22141369xx x x-⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭，然后从3-、2-、0、2、3中选一个数代入求值．原式)2)(2()3(3)2(2-++⋅++-=xxxxx………………（5分）xx-+=23………………（2分），、、，，∵223,0223--≠∴≠-≠+≠+xxxx………………（1分）当x＝0时，原式＝23-+＝23，当x＝3时，原式＝3233-+＝6-．……………（2分）化简求值：2244221x x xx x x-+-÷--（），其中x=原式=2221x xx x x--÷-（）（）（）2212x xx x x-=⋅--（）（）21xx-=-．把2x==-代入，原式=224213--=--．计算：()232721320233110-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--π.原式=323131-+--+=1-．计算：(110218231π--+-+原式=121-+……………………………每个2分=2 (2)分计算：2282(362x x xx x x x+--÷---+．第17页共24第18页共24页原式=2(2)82[(2)(3)(2)(3)2x x x x x x x x ++-⋅+-+--………………………………(6分）=2(2)2(2)(3)2x x x x x -+⋅+--……………………………………………(2分）=23x x --．……………………………………………(2分）解方程组：224152 5.，x y x y ⎧-=⎨-=⎩由①得③，15)2)(2(=-+y x y x .............................3分将②代入③中，得，32=+y x .........................................2分原方程组化为⎩⎨⎧=-=+5232y x y x ，...........................................2分解此二元一次方程组，得⎩⎨⎧-==12y x ................................2分所以，原方程组的解是⎩⎨⎧-==12y x . (1)分解方程组：22210,2 4.x y x xy y --=⎧⎨++=⎩②①由②得：2+4x y =（）…………2分，得：+2x y =或+2x y =-．………2分原方程组可化为21,2,x y x y -=⎧⎨+=⎩21,2.x y x y -=⎧⎨+=-⎩……………………………2分解这两个方程组，得原方程组的解为115,31,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩221,1.x y =-⎧⎨=-⎩………………………4分第19页共24页①②解方程组：222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②由②得+0x y =或20-=x y ．···························································（2分）原方程组可化为260.x y x y -=⎧⎨+=⎩，或2620.x y x y -=⎧⎨-=⎩，···············································（2分+2分）解得原方程的解是1122x y =⎧⎨=-⎩，；2242x y =⎧⎨=⎩，.························································（2分+2分）解不等式组：()()2111361.22x x x x -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，并求出它的正整数解.由①得62(2)x --≥x ；∴x ≤103.（3分）由②得12x x -<；∴13x >.（3分）∴不等式组的解集：13x <≤103.（2分）∴正整数解是x=1、2、3.解方程组：22+6+94,38.x xy y x y ⎧=⎨-=⎩由①得，23=+y x 或23-=+y x …………………………（2分）将它们与方程②分别组成方程组，得：32,38.x y x y +=⎧⎨-=⎩32,38.x y x y +=-⎧⎨-=⎩…………………………………………………（4分）分别解这两个方程组，得原方程组的解为115,1;x y =⎧⎨=-⎩223,5.3x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．……………………………………（4分）（代入消元法参照给分）页解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--≤-；，52157353131xxxx将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．解不等式（1）得2x≤．·································································（3分）解不等式（2）得12x>-．··········································································（3分）解集在数轴上正确表示．············································································（2分）所以，不等式组的解集是：122x-<≤．························································（1分）它的整数解是0，1，2················································································（1分）解方程组：⎩⎨⎧=+-=+425222yxyxyx由②得2=-yx或2-=-yx(2分)得方程组⎩⎨⎧=-=+252yxyx和⎩⎨⎧-=-=+252yxyx(2分)解得⎩⎨⎧==1311yx，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==373122yx(4分)所以原方程组的解是⎩⎨⎧==1311yx，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==373122yx(2分)解方程组：222 11 .x y yx y⎧--=-⎨-=⎩，①②由方程②，得1x y=+．③…………………………………(2分）将③代入①，得22(1)21y y y+--=-．…………………………………(2分）解得11y=-，22y=．………………………………(4分）将11y=-代入③，得1x=；将22y=代入③，得23x=．-21234-10x第20页共24。

整数根、系数是整数问题1.（昌平23．）已知m 为整数，方程221x mx +-=0的两个根都大于-1且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．23．解： 设221y x mx =+-． ………………………………1分 ∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间，∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．…………2分当32x =时，0y >，即：931022m +->． ……………3分∴ 1213m -<<．…………………4分∵ m 为整数，∴ 210m =--，，． …………………………5分 ① 当2m =-时，方程222104812x x --=∆=+=，， ∴ 此时方程的根为无理数，不合题意．② 当1m =-时，方程212121012x x x x --==-=，，，符合题意．③ 当0m =时，方程2210x -=，x =综合①②③可知，1m =-．…………………… 6分2.（房山）23．）已知：关于x 的方程mx2－3(m －1)x ＋2m －3=0.⑴当m 取何整数值时，关于x 的方程mx2－3(m －1)x ＋2m －3=0的根都是整数；⑵若抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 向左平移一个单位后，过反比例函数)0(≠=k x ky 上的一点（-1,3），①求抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 的解析式；②利用函数图象求不等式0>-kx x k的解集.解：⑴⑵①②23．解：⑴当m=0时，x=1----------------------------1分当m ≠0，可解得x1=1，x2=m mm 3232-=------------------2分 ∴31±±=，m 时，x 均有整数根--------------------------------------3分综上可得310±±=，，m 时，x 均有整数根 ⑵①抛物线向左平移一个单位后得到y= m(x ＋1)2－3(m －1)(x ＋1)＋2m －3-------------4分过点（-1,3）代入解得m=3∴抛物线解析式为y= 3x2－6x ＋②k=－1×3=－3-----------------------6∴x>1或－1<x<0-----------------------73.（平谷23）已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．23．解：（1）证明：令0y =，则220x mx m -+-=．因为248m m ∆=-+2(2)40m =-+>， 1分 所以此抛物线与x 轴有两个不同的交点． 2分（2）因为关于x 的方程220x mx m -+-=的根为2(2)4m m x ±-+=，由m 为整数，当2(2)4m -+为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点．设22(2)4m n -+=（其中n 为整数）， 3分所以 [(2)][(2)]4n m n m +---=． 因为 (2)n m +-与(2)n m --的奇偶性相同，所以2222n m n m +-=⎧⎨-+=⎩，；或222 2.n m n m +-=-⎧⎨-+=-⎩，解得 2m =．经检验，当2m =时，关于x 的方程220x mx m -+-=有整数根． 所以 2m =...................................5分 （3） 当2m =时，此二次函数解析式为222(1)1y x x x =-=--，则顶点A 的坐标为（11-，）．抛物线与x 轴的交点为(0)O ，0、(20)B ，． 设抛物线的对称轴与x 轴交于1M ，则1(10)M ，．在直角三角形1AM O中，由勾股定理，得AO =，由抛物线的对称性可得，AB AO ==．又2222+=， 即 222OA AB OB +=．所以 △ABO 为等腰直角三角形．且11M A M B =．所以1(1)M ，0为所求的点． 6分若满足条件的点2M 在y 轴上时，设2M 坐标为(0)y ，．过A 作AN y ⊥轴于N ，连结2AM 、2BM ．则22M A M B =．由勾股定理，有22222M A M N AN =+；22222M B M O OB =+．即 2222(1)12y y ++=+． 解得 1y =．所以2(0)M ，1为所求的点． 7分综上所述满足条件的M 点的坐标为（10，）或（01，）．4.（门头沟23） 已知抛物线y ＝ax2＋x ＋2.(1)当a ＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x2＋x ＋2的值为正整数，求x 的值； (3)若a 是负数时，当a ＝a1时，抛物线y ＝ax2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点M(m ，0)；当a ＝a2时，抛物线y ＝ax2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点N(n ，0). 若点M 在点N 的左边，试比较a1与a2的大小. 23. 当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2.∴抛物线的顶点坐标为(21，49)，对称轴为直线x=21.……2分(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为49，∴y 的正整数值只能为1或2.当y=1时，-x2+x+2＝1，解得2511+=x ，2512-=x (3)分当y=2时，-x2+x+2＝2，解得x3=0,x4=1.……………4分∴x 的值为2511+=x ，2512-=x ，0或1.（3） 当a ＜0时，即a1＜0，a2＜0.经过点M 的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为121a x -=,经过点N 的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为221a x -=.…………5分∵点M 在点N 的左边，且抛物线经过点(0,2)∴直线121a x -=在直线221a x -=的左侧……………6分-4-3-2-1-4-3-2-143214321Oxy∴121a -＜221a -. ∴a1＜a2.…………………………………7分 5．（怀柔23）已知抛物线22(21)1y x m x m =+-+- (m 为常数) ． （1）若抛物线22(21)1y x m x m =+-+-与x 轴交于两个不同的整数点，求m 的整数值；（2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；（3）若点M(x1，y1)与点N(x1＋k ，y2)在（2）中抛物线上 (点M 、N 不重合), 且y1=y2. 求代数式21116+6+5-+1x x k k ⋅的值.23．解：（1）由题意可知，△=()222-1-4(-1)m m =5－4m ＞0，.…………………1分又抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，∴5－4m 为平方数，设k2 =5－4m ，则满足要求的m 值为1，－1，－5，－11，－19…… ∴满足题意的m 整数值的代数式为2-++1n n (n 为正整数). …………………………3分 （2）∵抛物线顶点在第三象限， ∴只有m=1符合题意，抛物线的解析式为2=+y x x .…………………4分（3）∵点M ()11,x y 与N ()12,x k y +在抛物线2=+y x x 上， ∴2111=+y x x ，2211=(+)++y x k x k∵,21y y = ∴()221111+=+++.x x x k x k整理，得()12++1=0k x k∵点M 、N 不重合，∴k ≠0.∴2x1 =－k －1.……………………………………6分∴21116+6+5-+1x x kk ⋅=()2+116-3(k+1)+5-4+1k k k ⋅=6.………7分6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.25．解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+. ∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.﹍﹍∴ 当14n =时，d 取得最小值18. ﹍﹍当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图10) ﹍﹍﹍﹍﹍ 5分(3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +，∴ 对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠)①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.∴ 整数c 的值为0.﹍﹍﹍﹍﹍ 6分此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠)即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩对一切实数x 均成立. 由②得()21ax b x+-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴ ()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩由⑤得整数b 的值为1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠)即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠)当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立. 当a≠2时，∵21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)④ ②∴ 2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴ 由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴ 整数a 的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分∴ 整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =. 利用数形结合研究交点、方程的根1.（东城23.） 已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=． （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．23.解：（1）2(4)12(1)m m ∆=--- 2(2)m =+．……2分由题意得，2(2)m +＞0且10m -≠ ．∴ 符合题意的m 的取值范围是⑥21m m ≠-≠且的 一切实数． ……3分（2）∵ 正整数m 满足822m ->， ∴ m 可取的值为1和2 ．又∵ 二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+， ∴ m =2．……4分∴ 二次函数为2-23y x x =++． ∴ A 点、B 点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）．依题意翻折后的图象如图所示．由图象可知符合题意的直线3y kx =+经过点A 、B ．可求出此时k 的值分别为3或-1．……7分注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案．2.（海淀23）已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．（1）求m 的取值范围；（2）若m>1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线y =公共点P(x0, y0)且 y0≤7时, 求b 的取值范围23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点， ∴210,(2)4(1)0.m m m由①得1m ， 由②得0m，∴ m 的取值范围是0m 且1m． …………2分（2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点， ∴ 令0y =，即2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，211x m =-．∵1m >，∴ 10 1.1m >>--∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分∴ OA=1，OB=11m -．∵ OA : OB=1 : 3，∴ 131m =-.∴ 43m．∴抛物线的解析式为①②………………………1分212133y x x =--． ………………………………………4分 （3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1).依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即 2121733x x --=．解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7).当直线13y x b=+经过D 点时，可得5b =. 当直线13y x b=+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(0)33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P(x0, y0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 203330.x x b ---=由2(3)4(33)12210b b ，得74b =-．结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或74b． ……………7分通州22．已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y x b =+ 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围. 22. .解：（1）分两种情况讨论. 当0m =时，方程为x 20-=2=∴x ，方程有实数根,………………………………………….(1分)②当0m ≠，则一元二次方程的根的判别式()()2222314229618821m m m m m m m m m ∆=----=-+-+=++⎡⎤⎣⎦＝()21m +≥0不论m 为何实数，∆≥0成立，∴方程恒有实数根 ………………………………………….(2分)综合①、②可知m 取任何实数， 方程()231220mx m x m --+-=恒有实数根………………….(3分)（2） 二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象与经过（0,0）∴022=-m∴1=m ………………………………………….(4分)∴二次函数解析式为：x x y 22-=………………………….(5分)（3）在（2）条件下，直线y x b =+与二次函数图象只有两个交点，结合图象可知212y x x y x b ⎧=-⎨=+⎩当1y y =时，得230x x b --= 由940b ∆=+=得94b =-………………………….(6分)综上所述可知：当49->b 时，y x b =+解得m ≥31-∴当m ≥31-，且 m ≠0时此方程有实根,……..2分（2）解：∵在(1)的条件下,当m 取最小的整数, 2EPAOC D∴原方程化为：x2-4x=0x （x-4）=0 x1=0，x2=4 ………….. …………..4分（3）解：如图所示：①当直线l 经过原点O 时与半圆P 有两个交点，即b=0………5分②当直线l 与半圆P 相切于D 点时有一个交点，如图由题意可得Rt △EDP 、Rt △ECO 是等腰直角三角形，∵DP=2 ∴EP=22………….6分 ∴OC=2-22 即b=2-22∴当0≤b ＜2-22时，直线l 与半圆P 只有两个交点。

代数综合题26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式； ②若D 点坐标（4，0），当PD AD >时，求a 的取值范围.26.已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ． （1）该二次函数图象的对称轴是直线；（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A （0，4），B （2，0），C （－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射线DA 方向平移，使图象再次经过点B .①求平移后图象顶点E 的坐标；②直接写出此二次函数的图象在A ，B 两点之间（含A ，B 两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.26．在平面直角坐标系xOy22y x hx h =-+的图象的顶点为点（1）当1h =-时，求点D （2）当1x ≤≤≤1-≤1（用含h 的代数式表示m ）26．在平面直角坐标系xOy ,,A B C （1）若1,3m n =-=，则点12,D D （2）是否存在点C ，使得点,,A B 的坐标；若不存在，说明理由.26．在平面直角坐标系中，点D是抛物线223y ax ax a =--()0a >的顶点，抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）求点A ，B 的坐标；（2）若M 为对称轴与x 轴交点，且DM =2AM ，求抛物线表达式； （3）当30°<∠ADM <45°时，求a 的取值范围．OxD 32018石景山二26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =++≠经过点()34,A -和()02,B ．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．26.抛物线M ：241y ax ax a =-+-(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数C 1：()332--+=x m mx y （m ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . (1)求点A 和点C 的坐标； (2)当AB =4时，①求二次函数C 1的表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△DAC 的周长最小，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将(2)中抛物线C 1向上平移n 个单位，得到抛物线C 2，若当0≤x ≤25时，抛物线C 2与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy 中，有一抛物线其表达式为222y x mx m =-+.（1）当该抛物线过原点时，求m 的值； （2）坐标系内有一矩形OABC ,其中(4,0)A 、(4,2)B .①直接写出C 点坐标；②如果抛物线222y x mx m =-+与该矩形有2个交点，求m 的取值范围.26．在平面直角坐标系中，二次函数y （1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数(0)y kx b k =+≠x 轴上同一点，探究实数k ，b （3）将二次函数221y x ax a =+++的图象向右平移2个单位，若点P （x 0，m ）和Q （2，n ）在平移后的图象上，且m >n ，结合图象求x 0的取值范围．x。