九年级数学上册《俯角和仰角的问题》教案

第2课时俯角与仰角￿※教学目标※【知识与技能】￿1.了解仰角、俯角、方位角的概念.￿2.能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.￿【过程与方法】￿能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的思想方法.￿【情感态度】￿感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义.￿【教学重点】￿解直角三角形在实际中的应用.￿【教学难点】￿将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.※教学过程※一、复习引入￿1.什么是解直角三角形？￿2.解直角三角形的依据是什么？￿二、探索新知￿1.仰角、俯角.￿（1）几个概念：①铅垂线；￿②水平线；③视线；④仰角:视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角；⑤俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角.￿（2）应用.￿【例1】如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.（精确到0.1米）￿解：在Rt△CDE中，￿∵CE=DE×tanα￿=AB×tanα￿=10×tan52°￿≈12.80(米)，￿∴BC=BE+CE=DA+CE￿≈1.50+12.80=14.3(米).￿￿答：旗杆BC的高度约为14.3米.￿￿2.方位角.￿【例2】如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面B处生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向的C处，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？￿￿分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里.￿￿解：过A作AE⊥BC延长线于E，设AE=EC=x,则BE=x.￿∵BC=2×40=80,￿∴BC=BE-CE=(-1)x=80.￿∴x=40(+1)≈109.3<120.￿答：A城会受台风影响.￿￿三、巩固练习￿1.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）￿A.250mB.250m￿C.mD.250m￿2.￿两座建筑物DA与CB，其地面距离DC为50.4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°，测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.（精确到0.1米）￿3.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度，已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离CD是1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）.请求出旗杆MN的高度.（参考数据：≈1.4,≈1.7,结果保留整数）￿￿答案：1.A￿2.由题意知，在矩形ADCE中，CE=AD，AE=CD=50.4米.在Rt△ADC中，∠DAC=90°-β=55°，￿则AD=≈35.3(米).在Rt△ABE中，∠BAE=20°,AE=50.4米,则BE=AE×tan20°=50.4×tan20°≈18.3(米).故CB=CE+BE=AD+BE≈35.3+18.3=53.6(米).答：建筑物DA的高约为35.3米，CB的高约为53.6米.￿￿3.12m￿四、归纳小结￿1.解决仰角、俯角、方位角有关的问题时，常用的两个基本图形.￿￿2.通常学习两个例题及练习，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体地说，就是利用正切解直角三角形，从而把问题解决.￿※课后作业※￿教材第117页习题24.4第3、4题.。

第二章解直角三角形2.5 解直角三角形的应用第一课时解决俯角、仰角相关问题教学设计教学目标1.了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题；2.进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系.教学重点及难点重点：了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题；难点：进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系.教学准备多媒体教室、直尺或三角板.教学过程【新课导入】东方明珠塔是上海市的一个标志性建筑.为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200m处的地面上，安放高1.20m的测角仪支架，测得东方明珠塔顶的仰角为60°48′.根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，CD为测角仪的支架，CD=1.20m，CB=200m，∠ADE=60°48′.利用以上数据，你能求出AB的长吗？【探究新知】1.仰角和俯角在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2.想一想（1）如图，一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中A 处发现海面上有一目标B ，仪器显示这时飞机的高度为1.5m ，飞机距目标4.5KM .求飞机在A 处观测目标B 的俯角（精确到1′）.解：如图，AC 是飞机的高度，∠α是飞机在A 处观测目标B 的俯角.连接BC ，则AC ⊥BC ，垂足为点C .在Rt △ABC ，AC =1.5km ，AB =4.5km .由sinB =315.45.1==AB AC ，得 ∠B ≈ 19°28′，即∠α=19°28′.所以，飞机在A 处观测目标B 的俯角为19°28′.（2）武汉长江二桥为斜拉索桥，AB 和AC 分别是直立塔AD 左右两边的两根最长的钢索.已知AB =AC ，BC =100m ，AB 与BC 的夹角为30°，求钢索AB 的长及直立塔AD 的高（精确到0.1m ）.解：由题意可知，△ABC 为等腰三角形，AD 为底边BC 上的高.BD =DC =21BC =50m ，∠ABC =30°. 在Rt △ABD 中，由cosB =ABBD ，得 ).(7.5730cos 50cos m B BD AB ≈︒== 由,tan BD AD B =得 AD =BD ·tanB =50tan 30°≈ 28.9(m ).所以，钢索AB 的长约为57.7m ，直立塔AD 的高约为28.9m .设计意图：布置学习任务，让同学们在探究讨论以及思考的过程中理解什么是仰角和俯角，并体会运用解直角三角形的技巧来解决实际问题的思想与方法.【应用新知】典例精析例1 两建筑物AB 和CD 的水平距离为45m ，从A 点测得C 点的俯角为30°，测得D •点的俯角为60°，求建筑物CD 的高度．解：过C 作CE ⊥AB 于E ．在Rt △ADB 中，BD =45m ，∠ADB =60°，∴AB =（m ）．在Rt △ACE 中，CE =45m ，∠ACE =30°，∴tan ∠ACE =AE CE，∴AE =（m ）．∴CD =AB -AE =-m ）．例2 海中有一小岛，它的周围8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在B 点测得小岛在北偏东60°方向上，航行10海里后到达C 点，此时测得小岛在北偏东45°方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？解：过M 作MN ⊥BC 于N ，设MN =x ，则CN =x ，在Rt △BMN 中，tan 30°=10MN x BC CN x =++，x =5+1）．∵51）>8，∴船继续向东航行无触礁危险．实战练习1.如图，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD 为100m ，塔高CD 为m ，则下面结论中正确的是（ ）.A .由楼顶望塔顶仰角为60°B .由楼顶望塔基俯角为60°C .由楼顶望塔顶仰角为30°D .由楼顶望塔基俯角为30°答案：C .2.如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足，则， tan tan 45°,∵AC +BC =AB ，∴PC ·tan 30°+PC ·tan 45°=100，，50)3045APC BPC ∠=∠=°，°AC PC =·30BC PE =°，·1100PC ⎫∴=⎪⎪⎝⎭(()503503 1.73263.450PC ∴=⨯->≈≈答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．设计意图：针对本节课学习的内容进行巩固，让学生在练习过程中具备解决关于三角函数相关实际问题的能力.【课堂小结】知识点：1.俯角和仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2.利用解直角三角形的思想解决实际问题.板书设计：2.5解直角三角形的应用第一课时解决俯角、仰角相关问题1.俯角和仰角；2.利用解直角三角形的思想解决实际问题.设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识.。

4.4 解直角三角形的应用第1课时仰角、俯角相关问题【课堂引入】1.肖颖的教室在教学楼的二楼，一天，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在地面上可以利用解直角三角形求得旗杆的高吗？他望着旗杆顶端和旗杆底部，测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图4—4 —15,/ CAE / DAE在测量中分别叫什么角呢？图4 —4 —15［答案：仰角和俯角］【探究1】（多媒体出示）鼓励学生独立解决问题，让学生先讨论，教师再给出答案，目的是让学生对仰角、俯角有比较清楚的认识•活动- ' .1.［嘉兴中考］如图4—4—16,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a , AC= 7米，则树高BC 为_7tan a_米.活动实践探究交流新知【探究2】（多媒体出示）2.—棵树AC在地面上的影子BC为10米，如图4 —4—17①，在树影一端B测得树顶A的仰角为45 °,则树高是多少米？如图②，若一只小鸟从树顶A看树影BC的顶端B的俯角为60 °,则树高是多少米？（精确到1米）［答案：10米17米］图4—4 —171.探究1直接根据仰角的意义，求树高.2 •本活动的设计意在引导学生通过自主探究，合作交流，使其对具体问题的认识从形象到抽象，训练学生能从实际问题中抽象出数学知识.旨在培养学生发现问题的意识；提高学生的抽象思维能力，同时也为后续解直角三角形的应用奠定基础.3 .归纳总结主要是把解直角三角图4—4—16【活动总结】（1）弄清题中仰角和俯角的概念，然后根据题意画出图形，建立数学模型. 形的应用条理化，是知识的一次升华，培养学生的概括能力，（2）将实际问题中的数量关系转化为解直角三角形中各突出教学重点元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.图4—4— 20【拓展提升】例2如图4— 4— 21,为了测量顶部不能达到的建筑物 AB 的高度，在地平面上取一点 C,用测量仪测得 A 点的仰角 为45°,再向远处走20米取一点D,使点D 在BC 的延长线 上，此时测得A 的仰角为30°,已知测量仪的高为 1.5米, 求建筑物AB 的高度.（3）解非直角三角形常见的添辅助线的方法：①通过作 高构造直角三角形；②利用图形本身的性质， 如等腰三角形 顶角平分线垂直于底边构造直角三角形. 【应用举例】例1［襄阳中考］如图4— 4— 18,在建筑平台的顶部C 处，测得大树 AB 的顶部A 的仰角为45 °，测得大树 AB 的底部B 的俯角为30°,已知平台的高度 CD 为5 m 则大 树的高度为_（5 + 5_护）_ m 结果保留根号）.［解析］ 如图4— 4— 19，作CEL AB 于点E ,则/ACE =45°,/ BCE= 30°, BE = CD= 5 m 先在 Rt ^ BCE 中求出 CE 的长，再在 Rt △ ACE 中求出AE 的长.活动开放 训练 体现 应用认真审题是解题的 关键，通过运用一元 一次方程的概念，学 会解决简单的问 题.采取启发式教学 发挥学生的潜能•变式 如图4一 4一 20,线段AB, CD 分别表示甲、乙两 幢楼，AB 丄BD, CD L BD,从甲楼顶 A 测乙楼顶C 的仰角a =30°,已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼 的高•［答案：（8』3+ 15）米］例3主要是利用俯角构建直角 三角形和一次方程， 从而求水下深度.B图4— 4hB D 图 4— 4— 19图4—4 —21［答案：(10 . 3+ 11.5)米］例3 ［河南中考］在中俄"海上联合——2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°,位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68° .试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据：sin 68 °~ 0.9 ,cos68°~ 0.4 ,tan68° ~2.5 , . 3^ 1.7)图4—4 —22［答案：潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米］活动四：课堂总结反思【当堂训练】1. 教材P126练习中的T1, T2.2. 教材P129习题4.4中的T3, T4, T5.当堂检测，及时反馈学习效果.【知识网络】提纲挈领，重点突出._______视线解n侑［阳形的城仰侑、硏川£仰仰、帕仰问题】直问燉_「海平面。

4.4 解直角三角形的应用第1课时 仰角、俯角问题一．教学三维目标(一)、知识目标使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)、能力目标逐步培养分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点和疑点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、教学过程（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°斜边的邻边A A ∠=cos(3)边角之间的关系：tanA=（二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．例1．.如图，已知AB 、CD 分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B 处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，那么大楼AB 的高度为（ ）A ．3 米B ．3米C ．3米D ．60米例2：如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡的邻边的对边A A ∠∠斜边的对边A A ∠=sin角∠ADB ＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47,tan50°≈1.20）例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式sinA=来解决的两个实际问题即已知和斜边，求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．（三）．巩固练习7.热气球探测器显示，热气球在点A 处看到某小山底部点C 的俯角为30°，后垂直上升一定高度至点B ，看到点C 的俯角为60°，热气球与小山的水平距离为1800米，如图11，求热气球垂直上升的高度AB.（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）斜边的对边A ∠α∠32．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)四、布置作业。

人教版初中仰角俯角教案教学目标：1. 理解解直角三角形在实际问题中的应用。

2. 掌握与测量有关的几个概念，如仰角、俯角等。

3. 学会利用解直角三角形解决实际问题。

教学重点：1. 掌握与测量有关的几个概念。

2. 解直角三角形解决简单实际问题。

教学难点：1. 解直角三角形解决实际问题。

教学准备：1. 教材。

2. 教学PPT。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直角三角形的相关知识，如直角三角形的定义、性质等。

2. 提问：直角三角形在实际问题中有何应用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解与测量有关的几个概念，如仰角、俯角等。

讲解示例：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线之上的角叫仰角；视线在水平线之下的角叫俯角。

2. 讲解如何利用解直角三角形解决实际问题。

讲解示例：如图，两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离。

测量者在与河同侧的河岸边选定一点，测出AB=60米，则AC等于40米。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材中的练习题。

2. 讲解练习题，引导学生巩固所学知识。

四、拓展与应用（10分钟）1. 让学生思考：如何利用仰角、俯角解决实际问题？2. 让学生举例说明，并进行讲解。

五、课堂小结（5分钟）1. 让学生总结本节课所学内容。

2. 教师进行补充和总结。

六、作业布置（5分钟）1. 让学生完成教材中的课后作业。

2. 让学生结合生活实际，寻找有关仰角、俯角的问题，并进行解答。

教学反思：本节课通过讲解与测量有关的几个概念，如仰角、俯角等，让学生掌握了与测量有关的基本知识。

同时，通过讲解如何利用解直角三角形解决实际问题，让学生学会了将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识进行解答。

在课堂练习环节，学生独立完成练习题，巩固了所学知识。

在拓展与应用环节，学生通过举例说明了如何利用仰角、俯角解决实际问题，提高了学生的应用能力。

总之，本节课达到了预期的教学目标，学生掌握了与测量有关的几个概念，学会了利用解直角三角形解决实际问题。

24.4 第2课时仰角、俯角问题（说课稿）一、教材分析本节课是初三数学华东师大版上册九年级数学教材中的第24.4节，主要内容为仰角、俯角问题的学习与探讨。

本节课是在平面直角坐标系中，以角度的概念为基础，引入仰角、俯角的概念，并通过具体问题进行实际运用。

学生在初中阶段已经掌握了平面直角坐标系的基本知识，对角度的概念也有一定的了解。

因此，本节课的内容相对简单，但需要学生运用已学知识进行复杂的问题分析和解决。

二、教学目标1.知识与技能：–了解仰角、俯角的概念及其在实际问题中的应用；–能够根据已知条件，求解仰角、俯角的大小。

2.过程与方法：–通过讲解和示范，引导学生理解仰角、俯角的概念；–组织学生进行实例分析和讨论，培养其问题分析和解决能力；–引导学生运用已学知识，进行问题求解。

3.情感态度价值观：–培养学生对数学问题解决的兴趣和信心；–培养学生的合作意识和团队精神；–培养学生的实际运用数学知识的能力。

三、教学重点和难点1.教学重点：–仰角、俯角的概念及其应用；–运用角度知识解决实际问题。

2.教学难点：–运用已学知识解决复杂问题；–培养学生的问题分析和解决能力。

四、教学准备1.学具准备：–白板、黑板、彩色粉笔；–教学PPT和示例题目卡片。

2.教材准备：–九年级上册初三数学华东师大版教材；–初三数学华东师大版配套练习册。

3.学生准备：–学生已预习相关知识点，做好课前准备。

五、教学过程1. 导入（5分钟）通过提问学生对角度的概念进行复习和回顾，引导学生思考角度在数学中的重要性，并与平面直角坐标系相结合，引出本节课的主题：仰角、俯角问题。

2. 讲解与示范（15分钟）通过教学PPT，讲解仰角、俯角的概念，以及其在实际问题中的应用。

通过示例图形和具体问题，引导学生理解仰角、俯角的含义，并掌握如何根据已知条件求解仰角、俯角的大小。

3. 实例分析与讨论（20分钟）教师组织学生分组，发放示例题目卡片，要求学生在小组内讨论和分析问题，并给出解答思路和步骤。