江苏省泰州中学2020-2021学年高二10月月度质量检测数学试题

江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．经过两点(0,3),(P Q -的直线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．12m <C ．1m >-D ．2m ≥3．平面内一点M 到两定点()10,3F -，()20,3F 的距离之和为10，则M 的轨迹方程是（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．2212516y x -=D ．2212516x y -=4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线y x m =+与曲线x m 的取值范围是（ ）A ．m =B ．m m ≤C ．m D ．11m -<≤或m =6．已知点P 在圆22:(2)(1)4O x y -+-=上，点()()1,2,2,2A B --，则满足6AP BP ⋅=u u u r u u u r的点P的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．设直线 :10l x y +-=， 一束光线从原点 O 出发沿射线 ()0y kx x =≥ 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M ， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N . 若MN =， 则 k 的值为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．138．已知圆22:16O x y +=，点12,2F ⎛- ⎝，点E 是:2160l x y -+=上的动点，过E 作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与EO 交于点M ，则||MF 的最小值为（ ）A ．32B C D二、多选题9．已知ABC V 中，()1,2A -，()1,0B ，()3,4C ，则关于ABC V 下列说法中正确的有（ ） A ．某一边上的中线所在直线的方程为2y = B ．某一条角平分线所在直线的方程为2y = C ．某一边上的高所在直线的方程为20x y += D ．某一条中位线所在直线的方程为210x y -+= 10．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件C ．过点()1,2P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=D ．设点()()2,3,3,2A B ---，若点P x ,y 在线段AB 上（含端点），则11y x --的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭11．已知圆O ：224x y +=，过圆O 外一点(),P a b 作圆O 的切线，切点为A ，B ，直线OP 与直线AB 相交于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在直线40x y ++=上，则直线AB 过定点()1,1-- B ．当PA PB ⋅u u u r u u u r取得最小值时，点P 在圆2232x y +=上C ．直线PA ，PB 关于直线22ax by a b +=+对称D ．OP 与OD 的乘积为定值4三、填空题12．求过点(1,4)P -且与圆()()22231x y -+-=相切的直线方程为.13．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是14．已知P 为圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点，()()0,0,2,0O B ，则P O B 的最小值为.四、解答题15．已知点()()1,3,5,7A B --和直线:34200l x y +-=． (1)求过点A 与直线l 平行的直线1l 的方程； (2)求过AB 的中点与l 垂直的直线2l 的方程．16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．17．如图，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB OB ==，AB OB ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形木板锯成AMN V ，设直线MN 的斜率为k .(1)用k 表示出直线MN 的方程，并求出M 、N 的坐标；(2)求锯成的AMN V 的面积的最小值.18．如图，圆()22:10C x a x y ay a -++-+=.(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)当4a =时，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆222:O x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点,A B ，都有ANM BNM ∠=∠？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19．已知()0,3A 、B 、C 为圆O ：222x y r +=（0r >）上三点．(1)若直线BC 过点()0,2，求ABC V 面积的最大值；(2)若D 为曲线()()22143x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，试问直线AB 和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.。

则.
因此
．
故选.
二、多选题
9.
【答案】
A,C
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
利用数列的函数特性逐一分析四个选项即可得到答案．
【解答】
解：，若一个常数列是等比数列，则这个数列的各项都为一个相等的常数且不为，则公比一定为，故该选项正确；
，同一个数在数列中能重复出现，例如常数列，故该选项错误；
，数列的第项为，第项为，第项大于第项恒成立，故该选项正确；
求的值；
若（其中），设，求的最小值．
22.已知数列的前项和满足：为常数，且，．
求的通项公式；
设，若数列为等比数列，求的值；
在满足条件的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
14.已知等差数列满足：，．若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则的值为________．
15.已知数列满足，前项和，则________.
16.已知数列通项公式为.
若，则数列最小项的值为________；
若数列为单调递增数列，则的取值范围是________.
四、解答题
17.等差数列中，，.
A.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为
B.同一个数在数列中不能重复出现
C.数列是递增数列
D.数列通项的表达式是唯一的
10.设数列为等差数列，下列数列为等差数列的有( )
A.B.C.D.
11.关于等差数列和等比数列，下面四个选项中正确的是( )
A.若数列的前项和，则数列为等差数列

2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1. 若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A.S n 单调递减 B.S n 单调递增 C.S n 有最大值 D.S n 有最小值2. 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 若数列{a n }的通项公式是a n =(−1)n (3n −2)，则a 1+a 2+⋯+a 10=( ) A.15 B.12 C.−12 D.−154. 椭圆x 2+2y 2=4的以(1, 1)为中点的弦所在直线的方程是（ ） A.x −4y +3=0 B.x +4y −5=0 C.x −2y +1=0 D.x +2y −3=05. 若不等式x 2+ax +4<0的解集为⌀，则a 的取值范围是( ) A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, −4]∪[4, +∞）D.(−∞, −4)∪(4, +∞)6. 已知x >2，则函数y =4x−2+4x 的最小值是( ) A.6 B.8 C.12 D.167. 已知a =30.3,b =(12)π,c =log 5√6，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c8. 数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，称为斐波那契数列，它是由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即：a n+2=a n+1+a n ，即该数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是( ) A.S 2019=a 2020+2 B.S 2019=a 2021+2 C.S 2019=a 2020−1D.S 2019=a 2021−1二、多选题已知P 是椭圆C:x 26+y 2=1上的动点，Q 是圆D ：(x +1)2+y 2=15上的动点，则( )A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55设有下面四个命题，其中假命题的选项是( ） A.“若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”为真命题 B.若p:∀x ∈R,2x >0,则p 的否定为：∃x ∈R,2x <0 C.“ab ≤1”是‘a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件 D.△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B下列有关命题的说法正确的是( ) A.∃x ∈(0,π)，使得2sin x +sin x =2√2成立B.命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1，则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1C.函数f (x )=√x +1⋅√x −1与函数g (x )=√x 2−1是同一个函数D.若x ，y ，z 均为正实数，且3x =4y =12z ，x+y z∈(n,n +1)(n ∈N )，则n =4定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则f(x)称为“保等比数列函数”．现有定义在 (−∞, 0)∪(0, +∞)上的下列函数中，是“保等比数列函数”的是( ) A.f (x )=x 3 B.f (x )=e xC.f (x )=√|x|D.f (x )=log 2|x|三、填空题方程kx 2+4y 2=4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．已知−1，a ，x ，b ，−4成等比数列，则实数x 的值是________.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有Sn T n=2n−34n−3，则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b 2+b 10=________.命题“∃x ∈[−1,4]，x 2−(a +2)x +5+a <0”为假命题，则实数a 的范围为________. 四、解答题已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1,a 3,a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .设集合A ={x|x 2−2x +1−m 2≤0,m >0}，集合B ={x|12x+2≥1}.(1)求出集合A 和集合B ；(2)设p:x ∈A,q:x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为w =x+32（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3(w +3w )万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为(4+30w)元/件．(1)试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额−成本−推广促销费）(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？已知椭圆L:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (1)求椭圆L 的标准方程；(2)过点Q (0,2)的直线l 与椭圆L 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及|AB|的大小．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列， a 1=1，其前n 项和为S n ，S 4=S 22. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证： a n a n +1<a n +1a n +2;(3)若b n =a n a n+1，数列{b n }的前n 项积为H n ，求证H n <√2n+1.设函数y =ax 2+x −b (a ∈R,b ∈R ).(1)若b =a −54，且集合{x|y =0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值集合；(2)求不等式y <(2a +2)x −b −2的解集；(3)当a >0,b >1时，记不等式y >0的解集为P ，集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠⌀，求1a−1b 的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】数列的函数特性【解析】化简可得{a n}是递减数列，且先正值，后负值；从而判断出S n有最大值．【解答】解：∵无穷等差数列{a n}的首项a1>0，公差d<0，∴{a n}是递减数列，且先正值，后负值；∴{a n}的前n项和为S n先增加，后减小；∴S n有最大值.故选C.2.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：例如等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{a n}不是递增数列，所以充分性不成立．)n−1为递增数列，若a n=−1⋅(12<1不成立，所以必要性不成立，但q=12故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.3.【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：∵a n=(−1)n(3n−2)，∴a1+a2+⋯+a10=−1+4−7+10−⋯−25+28=(−1+4)+(−7+10)+⋯+(−25+28)=3×5=15．故选A.4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题直线的一般式方程中点坐标公式【解析】设直线l的方程为y−1=k(x−1)，代入椭圆的方程化简，由x1+x2=4k2−4k1+2k2=2解得k值，即得直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y−1=k(x−1)，即kx−y+ 1−k=0，代入椭圆的方程化简得(1+2k2)x2+(4k−4k2)x+2k2−4k−2=0，∴x1+x2=4k2−4k1+2k2=2，解得k=−12，故直线l的方程为x+2y−3=0.故选D．5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4<0的解集为⌀，∴Δ=a2−16≤0⇒−4≤a≤4．故选A.6.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】y=4x−2+4x=4x−2+4(x−2)+8，利用基本不等式zhij求解即可.【解答】解：∵ x >2， ∴ x −2>0，∴ y =4x−2+4x =4x−2+4(x −2)+8 ≥2√4x−2⋅4(x −2)+8=16，当且仅当4x−2=4(x −2)，即x =3时等号成立，∴ 函数y =4x−2+4x 的最小值是16. 故选D . 7.【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 对数值大小的比较 对数的运算性质 【解析】【解答】解：∵ a =30.3>30=1， b =(12)π<(12)1=12，c =log 5√6>log 5√5=12，且c =log 5√6<log 55=1,∴ a >c >b . 故选C . 8.【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n =(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+(a 5−a 4)+ (a 6−a 5)+⋯(a n+2−a n+1) =a n+2−a 2=a n+2−1， 所以S 2019=a 2021−1， 故选D .【答案】 B,C【考点】 椭圆的离心率 点与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】由椭圆的方程可得a ，b ，c 的值，可得A ，D 不正确，可得圆D 的圆心离左顶点最近，进而可得C 正确，B 正确 【解答】解：由椭圆方程可得，a 2=6，b 2=1，则c 2=a 2−b 2=5，则焦距2c =2√5，A 不正确； 离心率e =ca =√5√6=√306，B 正确； 设P(x, y)(−√6≤x ≤√6)，D(−1, 0)，r 2=15， 则|PD|2=(x +1)2+y 2 =(x +1)2+1−x 26=56(x +65)2+45≥45>15，所以圆D 在C 的内部，且|PQ|的最小值为√45−√15=√55，故C 正确，D 不正确. 故选BC . 【答案】 A,B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 命题的否定【解析】A ，利用向量的数量积判断其真假；B ，根据全称命题的否定形式判断；C ，根据充分条件与必要条件的概念判断；D ，利用正弦定理判断． 【解答】解：A ，若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”，当a →与b →的夹角为0时，也满足题意，所以该命题为假命题，故A 错误；B ，若p:∀x ∈R ，2x >0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误；C ，若ab ≤1成立，则a ≤1或b ≤1成立；反之，若a ≤1或b ≤1成立，则ab ≤1成立不正确，故“ab ≤1”是“a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件，故C 正确；D ，命题△ABC 中，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得sin A >sin B ，故D 正确. 故选AB ．B,D【考点】全称命题与特称命题 命题的真假判断与应用 基本不等式在最值问题中的应用 对数的运算性质判断两个函数是否为同一函数【解析】利用三角函数的定义，全称命题的否定，函数的定义，以及对数的运算性质判断即可. 【解答】 解：A ，由于2sin x+sin x =2√2，解得：sin x =√2∉(0,1]，所以不存在x ∈(0,π)，使得sin x =√2. 故选项A 错误；B ，由全称命题的否定为特称命题可知： 命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1， 则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1. 故选项B 正确；C ，由于函数f(x)的定义域为：{x +1≥0，x −1≥0，解得：x ≥1，函数g(x)的定义域为：x 2−1≥0， 解得：x ≥1或x ≤−1，则函数f(x)与函数g(x)的定义域不同. 故选项C 错误；D ，令3x =4y =12z =k(k >1)， 则x =lg klg 3，y =lg klg 4，z =lg klg 12， 所以x+y z =lg k lg 3+lg klg 4lg k lg 12=1lg 3+1lg 41lg 12=lg 12lg 3+lg 12lg 4 =lg 3+lg 4lg 3+lg 3+lg 4lg 4=lg 4lg 3+lg 3lg 4+2∈(n,n +1)，n ∈N . 因为1<lg 4lg 3<2，0<lg 3lg 4<1， 所以3<x+y z <5.又lg 4lg 3+lg 3lg 4>2， 所以4<x+y z<5，所以n =4. 故选项D 正确. 故选BD . 【答案】 A,C【考点】等比数列的性质 【解析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a n ⋅a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论． 【解答】解：由等比数列性质知a n ⋅a n+2=a n+12， ①当f(x)=x 3时，f(a n )f(a n+2)=a n 3a n+23=(a n+12)3=(a n+13)2=f 2(a n+1)， 故A 正确；②当f(x)=e x 时，f(a n )f(a n+2)=e a n ⋅e a n+2=e a n +a n+2≠e 2a n+1=f 2(a n+1)， 故B 不正确；③当f(x)=√|x|时，f(a n )f(a n+2)=√|a n |⋅|a n+2|=√a n+12=f 2(a n+1)， 故C 正确；④当f(x)=log 2|x|时，f(a n )f(a n+2)=log 2|a n |log 2|a n+2| ≠log 2|a n+1|2=f 2(a n+1)， 故D 不正确； 故选AC . 三、填空题【答案】 (0, 4) 【考点】椭圆的标准方程 【解析】将方程化为标准方程，由焦点在x 轴上可得k 的取值范围． 【解答】解：方程化简为：x 24+y 2k=1，由于椭圆的焦点在x 轴上， 所以k ∈(0, 4). 故答案为：(0, 4). 【答案】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵−1，a，x，b，−9成等比数列，∴实数x=−√(−1)×(−4)=−2.故答案为：−2.【答案】1941【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】利用等差数列的通项公式性质可得：a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)，可得a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9 b1+b11+a3b1+b11，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=(a1+a n)n2．∴a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)=a9b3+b9,∴a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9b3+b9+a3b2+b10=a9b1+b11+a3b1+b11=a3+a9b1+b11=a1+a11b1+b11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=S11T11=2×11−34×11−3=1941.故答案为：1941.【答案】[−4,4]【考点】不等式恒成立问题命题的真假判断与应用基本不等式解：∵对任意的x∈[−1,4]，x2−(a+2)x+5+a≥0恒成立，即a(x−1)≤x2−2x+5恒成立．当x=1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈(1,4]时，a≤x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1.∵1<x≤4，∴0<x−1≤3，∴x−1+4x−1≥4，当且仅当x−1=4x−1时，即x=3时取$`` = "$,∴a≤4，当x∈[−1,1)时，a≥x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1=−(1−x+41−x)，∴0<1−x≤2令t=1−x，则t∈(0,2]，∵函数y=−(t+4t)在t∈(0,2]上单调递增，∴当t=2，即x=−1时，函数y=−(t+41)取到最大值−4，∴a≥−4.综上所述，a的取值范围是[−4,4]．故答案为：[−4,4].四、解答题【答案】解：(1)由题设知公差d≠0，由a1=1,a1，a3，a9成等比数列，得1+2d1=1+8d1+2d，解得d=1或d=0（舍去），故{a n}的通项a n=1+(n−1)×1=n．(2)b n=1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1 n+1=nn+1．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解答】解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1=1,a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1+2d 1=1+8d1+2d ，解得d =1或d =0（舍去），故{a n }的通项a n =1+(n −1)×1=n ． (2)b n =1an a n+1=1n (n+1)=1n −1n+1，T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n +1=1−1n +1=nn+1．【答案】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0， 则{(10−x )(x +2)≥0,x +2≠0.所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【考点】集合的包含关系判断及应用 元素与集合关系的判断 【解析】【解答】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0，所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【答案】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x2−18x+3=632−12(x +36x +3) =33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 函数最值的应用【解析】（1）根据利润公式得出y 关于x 的函数； （2）利用基本不等式得出最大利润 【解答】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x 2−18x+3=33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【答案】解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∴ x 1+x 2=−16k4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的离心率向量的数量积判断向量的共线与垂直待定系数法求直线方程 直线的一般式方程 【解析】 【解答】 解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∴ x 1+x 2=−16k 4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【答案】(1)解：设公差为d ,∵ S 4=S 22，∴ 1+1+d +1+2d +1+3d =(1+1+d)2, 解得，d =2或d =0(舍去)， ∴ a n =2n −1.22∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<12×34×⋯×2n−12n×23×45×⋅⋅⋅×2n2n+1=12n+1，∴12×34×…×2n−12n<√2n+1n∈N∗)，∴H n<√2n+1．【考点】数列的求和等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】【解答】(1)解：设公差为d,∵S4=S22，∴1+1+d+1+2d+1+3d=(1+1+d)2, 解得，d=2或d=0(舍去)，∴a n=2n−1.(2)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2，∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<1×3×⋯×2n−1×2×4×⋅⋅⋅×2n=1，∴ 12×34×…×2n−12n<√2n+1n ∈N ∗)，∴ H n <√2n+1．【答案】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0， 1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀；3∘当a >12时，1a<2，此时不等式的解集为(1a,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t >1，此时b =t+23，所以1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a−1b有最大值为12．【考点】集合关系中的参数取值问题 基本不等式在最值问题中的应用 一元二次不等式的解法 【解析】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时△=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，对于任意正数t ，−2∈Q . 又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t ＞1，此时b =t+23， 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b 有最大值为12．解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0，1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀； 3∘当a >12时，1a <2，此时不等式的解集为(1a ,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }， 对于任意正数t ，−2∈Q .又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)，试卷第21页，总21页 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2) =9tt+16t +10≤12， 当且仅当t =16t ，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b有最大值为12．。

泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，1.经过两点的直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）A. B.CD.3.平面内一点到两定点的距离之和为10，则的轨迹方程是（）A. B.C. D.4.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A.米B.米C.米D.米5.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.或6.已知点在圆上，点，则满足点的个数为（ ）A.3B.2C.1D.07.设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交()()0,3,P Q -30 60 120 1502224240x y mx y m m ++-+-=m 0m <12m <1m >-2m ≥M ()()120,3,0,3F F -M 2212516x y +=2212516y x +=2212516y x -=2212516x y -=y x m =+x =m m =m ≥m ≤m <<11m -<≤m =P 22:(2)(1)4O x y -+-=()()1,2,2,2A B --6AP BP ⋅=P :10l x y +-=O ()0y kx x =≥l l x于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）A.B. C. D.8.已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为（ ）A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的德6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知中，，则关于下列说法中正确（ ）A.某一边上的中线所在直线的方程为B.某一条角平分线所在直线的方程为C.某一边上的高所在直线的方程为D.某一条中位线所在直线的方程为10.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D.设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（）A.若点在直线上，则直线过定点M x y N MN =k 3223121322:16O x y +=12,2F ⎛-+ ⎝E :2160l x y -+=E O ,A B AB EO M MF ∣32ABC V ()()()1,2,1,0,3,4A B C -ABC V 2y =2y =20x y +=210x y -+=sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=()1,2P x y 30x y +-=()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 11y x --(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭O 224x y +=O (),P a b O A B OP AB D P 40x y ++=AB ()1,1--B.当取得最小值时，点在圆上C.直线，关于直线对称D.与的乘积为定值4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出过点且与圆相切的直线方程__________.（写出一条直线即可）13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.14.已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知点和直线.（1）求过点与直线平行的直线的方程；（2）求过的中点与垂直的直线的方程.16.（15分）已知以点为圆心的圆与__________，过点的动直线与圆相交于两点.从①直线相切；②圆关于直线对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.（1）求圆的方程；（2）当的方程.17.（15分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为.PA PB ⋅P 2232x y +=PA PB 22ax by a b +=+OP OD ()1,4A -22:(2)(3)1C x y -+-=22112x y m m+=--y m P 22(1)(1)1x y -+-=()()0,0,2,0O B PO ()()1,3,5,7A B --:34200l x y +-=A l 1l ,A B l 2l ()1,2A -()2,0B -l A ,M N270x y ++=22(3)20x y -+=210x y --=A MN =l ABO 1AB OB ==AB OB ⊥11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭P MN AMN V MN k（1）用表示出直线的方程，并求出的坐标；（2）求锯成的的面积的最小值.18.（17分）如图，圆C ：.（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19.（17分）已知为圆上三点.（1）若直线过点，求面积的最大值；（2）若为曲线上的动点，且.试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.k MN M N ､AMN V ()2210x a x y ay a -++-+=C y C 4a =C x ,M N M N 222:O x y r +=M ,A B ANM BNM ∠∠=()0,3,,A B C 22:9O x y +=BC ()0,2ABC V D ()22(1)43x y y ++=≠-AD AB AC =+AB AC数学学科答案（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.【答案】C【解析】由题意知，经过的直线的斜率为设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C 2.【答案】C 3.【答案】B【解析】平面内一点到两定点的距离之和为，所以的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为.故选：B.4.【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，则圆心在轴上，设圆的半径为，则圆的方程为，拱顶离水面3米，水面宽12米，圆过点，圆的方程为，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，当水面下降1米后，水面宽度为.PQ k ==()0180θθ≤<tan k θ==120θ=120 M ()()120,3,0,3F F -106>M 5,3,4a c b =====y 2212516y x+=y r 222()x y r r ++= ∴()6,3-221536(3),,2r r r ∴+-+=∴=∴221522524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(),4t -244,t t =∴=±∴故选：C.5.【答案】D【解析】因为曲线，即，表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图，当直线，即与曲线相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去）当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，，综上可得，或，故选：D 6.【答案】B【解析】设点，则，由，得，即，故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆，又点在圆上，，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点有2个.故选：B.7.【答案】B0x =≥()221,0x y x +=≥y x m =+0x y m -+=1d m =m =y x m =+0x y m -+=11m -<≤11m -<≤m =(),P x y ()()1,2,2,2AP x y BP x y =+-=+-AP BP ⊥()()22212(2)3466AP BP x x y x y x y ⋅=+++-=++-+= 22325(2)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭P 3,22⎛⎫-⎪⎝⎭52P 22:(2)(1)4O x y -+-=59222+=51222-=1922<<P【解析】如图，设点关于直线的对称点为：则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即为入射点，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件.故，O l ()11,A x y ()1111102211x y y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩1111x y =⎧⎨=⎩()1,1A ()0y kx x =≥l 1k ≠-10y kx x y =⎧⎨+-=⎩111x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1,,11k P P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭AP 111111APkk k k k -+==-+AP ()111y x k-=-0y =1x k =-()1,0M k -0x =11y k =-10,1N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN =22113(1)136k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭21113236k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1136k k +=23k =32k =32k =y 23k =故选：B.8.【答案】B【解析】如图，设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点的坐标代入，化简得（不同时为0，故点的轨迹是以为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解析】对于A ，线段的中点为，又，所以边上的中线所在直线的方程为，故A 正确；对于B ，由A 知，只能为的角平分线，假设为的角平分线，在上任取一点，直线的方程为：，即.(),M x y :AOE MOA V V OA OM OEOA=2||OA OE OM =⋅2222||16||OEOA OM OM x y ==+22221616,x y E x y x y ⎛⎫ ⎪++⎝⎭E :2160l x y -+=2215(1)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,x y )M 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭22115(21)20224⎛⎫-+++-=> ⎪⎝⎭F MF =-=BC ()2,2()1,2A -BC 2y =2y =A ∠2y =A ∠2y =(),2M a AB 1y x =-+10x y +-=直线的方程为：，即，则到直线的距离为：则到直线的距离为：因为，故B 错误；对于C ，因为，而直线的高所在直线的方程为：，故C 错误；对于D ，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，直线的方程为：，即，所以D 正确；故选：AD.10.【答案】AD【解析】对于A ：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A 正确.对于B ：当时，直线与直线的斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B 错误.对于C ：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，AC ()1212y x -=+250x y -+=(),2M a AB 1d (),2M a AC 2d 12d d ≠()4212040,1,23121131AC AB CB k k k ---====-==-----AC ()2122y x x =--=-+BC ()2,2E AC ()1,3F AB ()310,1,210FD D k -==-FD 12y x -=210x y -+=θ[]tan sin 1,1θα=-∈-0πθ≤<π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-10x y -+=20x y +-=1,1-1-210a x y -+=20x ay --=20a a +=0a =1a =-1a =-y kx =()1,2P 2k =2y x =1x ya a+=()1,2P 3a =30x y +-=所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C 错误；对于D ：如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，Q 点，点是线段（含端点）上任一点，，或的取值范围是.故D 正确.故选：AD.11.【答案】ACD 【解析】【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线关于直线对称，而与直线垂直，即可判断C ，根据锐角三角函数即可求解D.【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径，可得圆的方程为，化简得，联立圆，可得直线的方程为，即，令，且，解得，即直线恒过定点，故A 正确，，()1,2P x y 30x y +-=2y x =()1,1Q 11y x --PQ k ()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 13123Q 4,12134AQ BQ k k ++==-==-+34k ∴≥14,1y k x -≤-∴-(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭OP AB P ,PA PB OP 22ax by a b +=+0OPbx ay -=(,4)P m m --P A O B OP 2222442222m m m m x y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2240x y mx m y +-++=224x y +=AB ()440mx m y -++=()440m y x y -++=y x =440y +=1x y ==-AB ()1,1--()()2222PA PB OA OP OB OP OA OB OP OA OP OB OP OA OB OP OA OB⋅=-⋅-=⋅+-⋅-⋅=⋅+-- ()2222232cos 2842cos 1812OA OB AOP OP AOP OP OP OP=⋅∠+-=∠-+-=+-由于，当且仅当时，即时等号成立，故此时点在圆上，故B 错误，由于直线，关于直线对称，而方程为，由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C 正确，设，则，，所以，故D 正确，故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】或，答案不唯一13.【答案】14.【解析】设，取四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.2232OP OP +≥ 2232OP OP = 2OP = P 22x y +=PA PB OP OP 0bx ay -=22ax by a b +=+0bxay -=PAPB 22ax by a b +=+AOP θ∠=cos OA OP θ=cos OD OA θ=2cos 4cos OA OP OD OA OA θθ===4(y =34130x y +-=)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),,C m n PO =22222()()x y x m y n ⎡⎤⇒+=-+-⎣⎦()22224420x mx y ny m n ⇒-+-++=1111,,,2222m n C ⎛⎫==⇒ ⎪⎝⎭)PO PC PB =+≥=15.解析：（1）的斜率为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.（2）的中点坐标为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.16.【解析】（1）选①：因为圆与直线相切，所以圆，因此圆的方程为；选②：因为圆与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆的半径为所以圆的方程为.（2）两种选择圆的方程都是，当过点的动直线不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得显然当过点的动直线存在斜率时，设为，直线方程为，因为，所以有，即方程为：.34200x y +-=34-1l l ∥134k =-()3314y x -=-+3490x y +-=,A B ()2,2-2l l ⊥243k =()4223y x +=-43140x y --=A 270x y ++=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(3)20x y -+=210x y --=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(1)(2)20x y ++-=()2,0B -l 2x =-2x =-22(1)(2)20x y ++-=2y =(22+--=()2,0B -l k ()220y k x kx y k =+⇒-+=MN =22132024k ⎛+⨯=⇒= ⎝3460x y -+=综上所述：直线的方程为或.17.【答案】（1）.（2）.【解析】【小问1详解】设直线，因为直线过点，所以，即，所以，又因为，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故.【小问2详解】因为，所以，所以，因为，设到直线的距离为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.18.【答案】（1）或（2）存在，【解析】（1）因为由，可得由题意得l 3450x y -+=2x =-()()1212121:,,,1,4241414MN k k k k l y kx M N k k ⎛⎫--+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭14:MN y kx b =+MN 11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1142k b =⋅+142k b =-1:42MN k l y kx =+-()()1,1,1,0A B :OA y x =:1AB x =142k y kx y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩()()21412141k x k k y k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩1421k y kx x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩1214x k y =⎧⎪⎨+=⎪⎩()()212121,,1,41414k k k M N k k ⎛⎫--+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11,22OP BP k k ==-1122k -≤≤131,22k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2132144k k AN +-=-=M AN d ()()212314141k k d k k --=-=--()()2113223(23)22441321k k k S AN d k k ---=⋅=⨯⨯=--()()()()21414(1)111111132184184k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-==+-+≥+=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦()1141k k =--12k =S 14225440x x y y -+-+=220x x y -+=224x y +=()22010x x a x y ay a =⎧⎨-++-+=⎩20,y ay a -+=，所以或，故所求圆的方程为或.（2）Q 令，得，即，求得，或，所以.假设存在圆，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入得，设，从而.因为的斜率之和为而因为，所以，的斜率互为相反数，即，所以，即.当直线与轴垂直时，仍然满足，即的斜率互为相反数.综上，存在圆，使得.19.解：（1）方法一设直线的方程为将代入得，令，则当，即时，方法二直线过点面积等于面积的一半设到直线的距离为，则2Δ()40a a =--=4a =0a =C 225440x x y y -+-+=220x x y -+=4a =∴0y =2540x x -+=()()140x x --=1x =4x =()()1,0,4,0M N 222:O x y r +=AB x AB ()1y k x =-222x y r +=()22222120k x k x k r +-+-=()()1122,,,A x y B x y 2221212222,11k k r x x x x k k-+==++NA NB ､()()()()()()122112121214144444k x x x x y y x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦+=----()()()()()2222122112212222821414258258111k r k r x x x x x x x x k k k ----+--=-++=⨯-⨯+=+++ANM BNM ∠∠=NA NB ､1212044y y x x +=--228201r k-=+24r =AB x ANM BNM ∠∠=NA NB ､22:4O x y +=ANM BNM ∠∠=BC ()()11222,,,,y kx B x y C x y =+2y kx =+229x y +=()221450k x kx ++-=12112ABC S x x =⋅⋅-==V 21k t +=1ABC S t ==≥V 1t =0k =ABC V BC ()0,2,ABC ∴V OBC V O BC d (]0,2d ∈设，则当，即时，（2）设直线和直线的斜率之积为，设，则①，因为为圆上，所以化简得整理得②因为，所以从而，又因为为曲线上的动点所以，展开得，将①代入得，化简得，将②代入得1124ABC OBC S S BC d d ==⋅==V V (]20,4t d =∈ABC S =V 4t =2d =ABC V AB AC ()0m m ≠()()()112200,,,,,B x y C x y D x y 121233y y m x x --⋅=()()1212133x x y y m =--()()22122221233y y m x x --=,B C 222:O x y r +=222211229,9x y x y +=+=()()()()22122221233,99y y m y y --=--()()()()122123333y y m y y --=++()()2121223191m y y y y m +=-+--AD AB AC =+ ()()()112200,3,3,3x y x y x y -+-=-()1212,3D x x y y ++-D ()22(1)43x y y +-=≠-()()22121224x x y y +++-=()()()2222112212121222444x y x y x x y y y y +++++-++=()()()12121229933240y y y y y y m++--+-+=()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=，整理得因为，所以，从而又，所以()()()()()()2121223119239101m m y y m y y m m ⎡⎤+⎢⎥+-+--++++=-⎢⎥⎣⎦()212501m m y y m +⋅+=-1233y y +-≠-120y y +≠250m m +=0m ≠15m =-。