2018年高考数学江苏专版训练：3个附加题专项强化练(二) 随机变量、空间向量、抛物线(理科)含解析

3个附加题专项强化练(一) 选修4系列(理科)A 组1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知圆O 的直径AB ＝4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE ＝2CD ，求△OCE 的面积．解：设CD ＝x ，则CE ＝2x . 因为CA ＝1，CB ＝3，由相交弦定理，得CA ·CB ＝CD ·CE ， 所以1×3＝2x 2，解得x ＝62. 取DE 的中点H ，连结OH ， 则OH ⊥DE .因为EH ＝32CD ＝364，所以OH 2＝OE 2－EH 2＝22－⎝⎛⎭⎫3642＝58，所以OH ＝104.又因为CE ＝2x ＝6，所以△OCE 的面积S ＝12OH ·CE ＝12×104×6＝154.B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成点(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：(1)由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋3a ＝3，2b －6＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1 1－1－5－1 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3. 所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1－5 4.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ2＝x 2＋y 2，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，由ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2， x 2＋y 2－2(x ＋y )＝2，故圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y－1＝0，该直线的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. D ．[选修4－5：不等式选讲] 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，即－x 2－3x >0，解得－3＜x ≤－2；当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2， 即x 2＋x >0，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2，即x 2＋3x －4>0，解得x ≥2. 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}． 2．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，圆O 是△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BC 的中点，连结AD并延长，与以C 为切点的切线交于点P ，求证：PC PA ＝BDAC .证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线， 所以∠PCD ＝∠PAC ，又∠P 是公共角， 所以△PCD ∽△PAC ， 所以PC PA ＝CD AC ，因为点D 是劣弧BC 的中点， 所以CD ＝BD ，即PC PA ＝BDAC .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32 d ，若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值．解：因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32 d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.所以矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4，令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．解：由题意，直线l 的普通方程为2x ＋y ＝9， 椭圆C 的普通方程为y 29＋x 2a 2＝1(0＜a ＜3)，椭圆C 的准线方程为y ＝±99－a 2， 故99－a 2＝9，解得a ＝22(负值舍去)． D ．[选修4－5：不等式选讲]求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值． 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2 x ， 由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝25，当且仅当4sin x ＝3|cos x |，即sin x ＝35，|cos x |＝45时等号成立，所以y max ＝5.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5. 3．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M .(1)若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度；(2)若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN . 解：(1)设AM ＝t ，则BM ＝8－t (0<t <8)， 由切割线定理可得BC 2＝BM ·BA .∴16＝8(8－t )，解得t ＝6，即线段AM 的长度为6. (2)证明：由题意，∠A ＝∠MNB ，∠B ＝∠B ， ∴△BMN ∽△BCA ，∴BN BA ＝MN CA ， ∵AB ＝2AC ，∴BN ＝2MN . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，由题意得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320 25 1120.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解：法一：在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即所求弦长为2 2.法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截弦长的端点坐标分别为(0,0)，(2,2)，所以直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为22＋22＝2 2.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)． 证明：a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝a 4＋6a 2b 2＋b 4－4a 3b －4b 3a ＝a 4－4a 3b ＋6a 2b 2－4b 3a ＋b 4 ＝(a －b )4，∵a ≠b ，∴a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)>0， ∴a 4＋6a 2b 2＋b 4>4ab (a 2＋b 2)．4．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，弦CA ，BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD .求证：∠DEA ＝∠DFA .证明：连结AD ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝90°， 又EF ⊥FB ， ∴∠AFE ＝90°， ∴A ，F ，E ，D 四点共圆， ∴∠DEA ＝∠DFA .B ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 3 b 的一个特征值λ＝－1及对应的特征向量e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，求矩阵M 的逆矩阵．解：由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 3b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a 3－b ＝－1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝－1，3－b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2.∴det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 2＝1×2－2×3＝－4，∴M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1234 －14.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2y ＝t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝3cos θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：由题意知，直线l 的普通方程为2x －y －2＝0，由ρ2＝x 2＋y 2，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，它表示圆． 由圆心⎝⎛⎭⎫32，0到直线l 的距离d ＝15＝55＜32，得直线l 与曲线C 相交． D ．[选修4－5：不等式选讲]设x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ≥xy ＋yz ＋zx .证明：∵x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1， ∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ＝z x 2＋x y 2＋y z2， ∴由柯西不等式可得⎝⎛⎭⎫z x 2＋x y 2＋y z 2(xy ＋yz ＋zx )≥⎝⎛⎭⎫xyz x＋xyz y ＋xyz z 2＝⎝⎛⎭⎫xyz x＋xyz y ＋xyz z 2＝(xy ＋yz ＋zx )2. ∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx . B 组1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，∠ACB ＝∠ADC .求证：AD ·BC ＝2AC ·CD .证明：∵∠ACB ＝∠ADC ，AD 是⊙O 的直径， ∴AD 垂直平分BC ，设垂足为E ， ∵∠ACB ＝∠EDC ，∠ACD ＝∠CED ， ∴△ACD ∽△CED ， ∴AD CD ＝AC CE ， ∴AD ·12BC ＝AC ·CD ，∴AD ·BC ＝2AC ·CD . B ．[选修4－2：矩阵与变换]在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)．则A ′B ――→＝(2,2)，A ′B ′――→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4.所以点B ′的坐标为(－1,4)． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ∈R,4a 2＋b 2＋2c 2＝4，求2a ＋b ＋c 的最大值． 解：由柯西不等式，得[(2a )2＋b 2＋(2c )2]·⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫122≥(2a ＋b ＋c )2. 因为4a 2＋b 2＋2c 2＝4，所以(2a ＋b ＋c )2≤10. 所以－10≤2a ＋b ＋c ≤10，所以2a ＋b ＋c 的最大值为10，当且仅当a ＝105，b ＝2105，c ＝105时等号成立． 2．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F .求证：AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .证明：如图，连结AD ，因为AB 为圆O 的直径，所以AD ⊥BD . 又EF ⊥AB ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， 所以BD ·BE ＝BA ·BF .连结BC ，则∠AFE ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠EAF ， 得△ABC ∽△AEF ， 所以AB AE ＝AC AF ，即AB ·AF ＝AE ·AC ，所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·(BF －AF )＝AB 2. B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，由题意，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2.矩阵M 的另一个特征值为2. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin α，y ＝1－cos 2α(α为参数)．求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解：由题意得，直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ，① 曲线C 的普通方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])，②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6(舍去)．故P 点的直角坐标为(0,0)． D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 证明：法一：(基本不等式)∵a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a 2c ≥2a ， ∴a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ＋a 2c ≥2a ＋2b ＋2c ，∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 法二：(柯西不等式)由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥(b ＋c ＋a )2，∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 3．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD 分别交AB 于点E ，F .求证：PE ·PC ＝PF ·PD . 证明：连结PA ，PB ，CD ，BC . 因为点P 为弧AB 的中点， 所以∠PAB ＝∠PBA . 又因为∠PAB ＝∠PCB ，所以∠PCB ＝∠PBA . 又∠DCB ＝∠DPB ，所以∠PFE ＝∠PBA ＋∠DPB ＝∠PCB ＋∠DCB ＝∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆． 所以PE ·PC ＝PF ·PD . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 把曲线C 变换成曲线C 1，求曲线C 1的方程．解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210所对应的变换T 作用下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2，代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2⎝⎛⎭⎫x ′－y ′22＝1，即x ′2＋y ′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 则点A ⎝⎛⎭⎫2，π2的直角坐标为(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0. AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以点B 的直角坐标为(－1，1). 所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4. D ．[选修4－5：不等式选讲]求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值． 解：易知函数f (x )的定义域为[0,4]，且f (x )≥0.由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2]≥(5·x ＋2·4－x )2， 即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2， 所以5x ＋8－2x ≤6 3. 当且仅当2×x ＝54－x ，即x ＝10027时取等号． 所以函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为6 3. 4．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB ＝∠D .证明：因为B ，C 是圆O 上的两点， 所以OB ＝OC . 故∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D .因此∠OCB ＝∠D .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －20 1，设曲线C ：(x －y )2＋y 2＝1在矩阵A 对应的变换下得到曲线C ′，求C ′的方程．解：设P (x 0，y 0)为曲线C 上任意一点，点P 在矩阵A 对应的变换下得到点Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2y 0，y ＝y 0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 2＋y ，y 0＝y ，又(x 0－y 0)2＋y 20＝1，∴⎝⎛⎭⎫x 2＋y －y 2＋y 2＝1，即x 24＋y 2＝1， ∴曲线C ′的方程为x 24＋y 2＝1. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时点P 的直角坐标为(3,0)．D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd ＝1，求证：a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d .证明：因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd ＝1,所以a 5＋b ＋c ＋d ≥44a 5bcd ＝4a .①同理b5＋c＋d＋a≥4b，②c5＋d＋a＋b≥4c，③d5＋a＋b＋c≥4d，④将①②③④式相加并整理，得a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d.当且仅当“a＝b＝c＝d＝1”时等号成立．。

第60课离散型随机变量及其概率分布[最新考纲]要求内容A B C离散型随机变量及其分布列√超几何分布√1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则下表称为离散型随机变量X的概率分布.X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋p n＝1.3．常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其概率分布为X 0 1P 1－p p(2)超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝r)＝C r M C n－rN－MC n N(r＝0,1,2，…，l)．即X 01…lP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C l M C n－l N－MC n N其中l＝min(n，M)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的概率分布中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的概率分布由下表给出，则它服从两点分布．()X 2 5P 0.30.7(4)服从超几何分布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是________．(填序号)①一颗是3点，一颗是1点②两颗都是2点③一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点④甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点④[甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果．]3．设随机变量X的概率分布如下：X 1234 5P 112161316p则p等于________．14[由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p＝1.∴p＝1－34＝1 4.]4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.10[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为1n，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.]5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为________.X 01 2P 0.10.60.3 [依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2.则P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3.故X的概率分布为X 01 2P 0.10.60.3]离散型随机变量概率分布的性质设离散型随机变量X的概率分布为X 0123 4[解]由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.列表P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3.因此η＝|X－1|的概率分布为[规律方法] 1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数．2．若X是随机变量，则η＝|X一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出概率分布．[变式训练1]随机变量X的概率分布如下：其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________. 【导学号：62172326】2 3[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，所以2b＋b＝1，则b＝13，因此a＋c＝23.所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝23.]离散型随机变量的概率分布(2015·安徽高考改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布．[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X的概率分布为X 200300400P 11031035[规律方法] 1.求随机变量的概率分布的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格，写出概率分布，其中的关键是第(2)步．2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列与组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用概率分布的性质求P(X＝400)的概率，简化了计算．[变式训练2] (2016·天津高考改编)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的概率分布．[解] (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X 的概率分布为X 0 1 2 P415715415超几何分布为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布. 【导学号：62172327】[解] (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以，事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)．则P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114.所以随机变量X 的概率分布为[规律方法] 1.超几何分布是一种特殊的概率分布，其分布列可由公式直接给出．具有两个特点：(1)是不放回抽样问题；(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布应用的条件：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数ξ的概率分布，其实质是古典概型问题．[变式训练3] 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的概率分布．[解] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的概率分布为X 01 2P 715715115[思想与方法]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[易错与防范]1．对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1,2，…，n )，其作用是求随机变量取某个值的概率或检验所求离散型随机变量的概率分布是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．3．概率分布的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．课时分层训练(四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．设随机变量X 的概率分布为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710. 【导学号：62172328】[解] (1)由概率分布的性质，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a＝1，所以a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.2．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7 9.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布．[解](1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，P(X＝k)＝C k5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其概率分布为3.(2017·南京模拟)十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的概率分布．[解](1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142. 所以X 的概率分布为4.盒内有大小相同的9个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布.【导学号：62172329】[解] (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的概率分布为：(建议用时：15分钟)1．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，求随机变量ξ的概率分布．[解] 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的概率分布是2.300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的概率分布．[解](1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P(A)＝A23A34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20.P(X＝0)＝14，P(X＝5)＝2A24＝16，P(X＝10)＝1A24＋A22A34＝16，P(X＝15)＝C12·A22A34＝16，P(X＝20)＝A33A44＝14.所以，随机变量X的概率分布为3．x＋y＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．(1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y 的值；(2)当x＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．[解](1)由题意知P＝C1x C1y C11C26C14＝xy60≤160⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝320，当且仅当x＝y时等号成立，所以，当P取得最大值时x＝y＝3.(2)当x＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则P(ξ＝0)＝C24C12C26C14＝1 5，P(ξ＝1)＝C12C14C12＋C24C12C26C14＝715，P(ξ＝2)＝C22C12＋C12C14C12C26C14＝310，P(ξ＝3)＝C22C12C26C14＝130.所以红球个数ξ的概率分布为4.PM2.5入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．[解](1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分分，考试时间分钟). 【选做题】在，，，四小题中只能选做题，每小题分，共分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．. (选修：几何证明选讲)如图，△是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点.若＝，∠＝°，且＝，＝，求的长．. (选修：矩阵与变换)已知α＝为矩阵＝,－))属于λ的一个特征向量，求实数，λ的值及.. (选修：坐标系与参数方程)自极点任意作一条射线与直线ρθ＝相交于点，在射线上取点，使得·＝，求动点的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．. (选修：不等式选讲)已知≥，∈.求证：－＋＋－≥.【必做题】第，题，每小题分，共分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．.在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球和个黑球，乙箱子里装有个白球和个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)() 求在一次游戏中摸出个白球的概率；() 在两次游戏中，记获奖次数为，求的数学期望．已知抛物线的方程为＝(＞)，点(，)在抛物线上． () 求抛物线的方程； ()过点(，)作直线交抛物线于不同于的两点，.若直线，分别交直线：＝＋于，两点，求线段最小时直线的方程．(二)(苏州市～学年第一学期高三期初调研试卷).解：因为弦切角∠＝∠＝°，＝，所以△为等边三角形． 由切割线定理，得＝·＝，(分) 所以＝＝＝，＝－＝，＝－＝. 由相交弦定理，得·＝·＝，＝÷＝.(分).解：由条件可知，＝λ，所以解得＝λ＝.(分)因此＝， 所以＝＝.(分).解：设(ρ，θ)，(ρ′，θ)，∵·＝，∴ρρ′＝. ∵ρ′θ＝，∴·θ＝.则动点的极坐标方程为ρ＝θ.(分)∵极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ，得ρ＝ρθ.∴＋－＝.(分).证明：因为＋≥－，所以－＋＋－≥－＋－(－)＝－.(分)又≥，故－≥. 所以－＋＋－≥.(分).解：() 记“在一次游戏中摸出个白球”为事件.()＝)＝.(分) 故在一次游戏中摸出个白球的概率为.(分) () 的所有可能取值为，，. 记“在一次游戏中摸出至少个白球”为事件. ()＝()＋＋)＝＋＝. (＝)＝×＝. (＝)＝·×＝， (＝)＝×＝. 的分布列为(分) 故在一次游戏中摸出个白球的概率为.(分)() 的所有可能取值为，，.。

2018年江苏省高考数学模拟试卷（2）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 若集合2{|11},{|20}M x x N x x x =-≤≤=-≤，则M N = ▲ ．2． 已知复数(2)z i i =--，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限. 3． 某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4． 双曲线22132x y -=的离心率为 ▲ ．5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6． 从2个黄球，2个红球，一个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲ ．7． 若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．8． 在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9． 若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e xf -<)(的解集为 ▲ ．10. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点 分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅=u u u r u u u r▲ ．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 13． 设实数1m ≥，不等式||2x x m m -≥-对[1,3]x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+ ，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值：(2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求以| |a 、| |b 为边，夹角为θ的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分）如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形 小山（P 为圆弧TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及 CD 上的长方形停车场PQCR ..（1）设PAB θ∠=,试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； （2）求停车场PQCR 面积的最大值及最小值. .18．(本小题满分14分）如图，点A （1，3）为椭圆1222=+ny x 上一定点，过点A 引两直线与 椭圆分别交于B 、C 两点.（1）求椭圆方程;（2）若直线AB 、AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形.()i 求直线BC 的斜率；()ii 求△ABC 的面积最大值，并求出此时直线BC 的方程.19．(本小题满分16分）已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn.（1）若12k =，且20172017S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1,2n k S =-求.20．(本小题满分16分）已知函数'()ln ,()f x x a x f x =+为()f x 的导数，()f x 有两个零点1212,,()x x x x < ，且1202x x x +=.（1）当3a =-时，求 ()f x 的单调区间； （2）证明：'0()0f x > ；（3）证明：02(,),t x x ∃∈使得'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）.求证：∠CBE =∠BDE ．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a A 203，A 的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-10311b A （1）求a,b 的值；（2）求A 的特征值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为2cos 72sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下， 圆N 是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知x,y,z 都是正数且xyz =8,求证：(2+x )(2+y )(2+z )≥64【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．23．对于给定的大于1的正整数n ，设2012nnx a a n a n a n =++++ ，其中i a ∈{0,1,2,,1n - }， 1,2,,0,,1i n n =- ，且0n a ≠，记满足条件的所有x 的和为A n .（1）求A 2（2）设n A =(1)()2n n n f n -，求f （n ）.2018年江苏省高考数学模拟试卷（2）参考答案一、填空题1．[]0,1 2．四 3．16 43 5．286． 4/5. 1—（2222C C +）/25C =4/5 .7．圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高. 8． 64. 先得公比q 2=4,知7a =64 .9． (,-∞-e). 11()ln 1,(0,),(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) . 10. [1,7].根据可行域知，目标函数化为z=x-y+3(去掉绝对值是关键） 11． -8/9.令f(x)-g(x)=0,化简得2sin()0,,,66x x k k Z πππππ+=+=∈则15((66M N -，故OM ON ⋅=u u u r u u u r 158((669-⋅12. -9或-1/9.设斜率为k,-k,则两条直线方程为kx-y+1-k=0,kx+y-1-k=0,两条弦心距为12d d ==弦长12l l ==代入弦长之比 得231030k k -+=，求出k=3,或k=-1/3,故结果为-9或-1/9.13． 7(1,2][,)2+∞ .（1）当12m ≤≤时，不等式显然成立；（2）当3m ≥时，由1(1)32(2)3m m m m -≥-⎧⎨-≥-⎩得72m ≥；（3）当23m <<时，由02m ≥-得m<2, 矛盾， 综上，7[1,2][,)2m ∈+∞ ..切化弦得22232()c a b =+，222221cos 263a b c a b C ab ab +-+==≥，于是知sinC . 二、解答题15．(1)因为⊥ a b ，所以=0⋅ a b ，所以π2sin sin 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即5sin 02θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan 5θ=．(2)由 a ∥ b ，得π2sin sin 13θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2ππ2sin cos2sin cos sin 133θθθ+=，即()11cos 2212θθ-=， 整理得，π1sin 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以ππ266θ-=，即π6θ=． 所以三角形的面积1sin 302=16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC 平面ABC BC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ． 因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB .又因为CP ⊥PB ，且PB AB B = ，,AB PB ⊂平面PAB , 所以CP ⊥平面PAB ，又因为PA ⊂平面PAB ， 所以CP ⊥PA ．（2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ．又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ． 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ， 所以l //平面PBC ．17.(1)S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ）＝8100sin θcos θ－9000（sin θ＋cos θ）＋10000 , θ∈[0，2π]. （2）由（1）知S P Q C R ＝f （θ）＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000 ,θ∈[0，2π] . 令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2].∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2）.答:停车场面积的最大值和最小值分别为 14050－90002 （m 2）和950（m 2）.APC BD18． (1)把点A （1，3）代入1222=+n y x 得n ＝6，故椭圆方程为22126x y +=. （2）（i ）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直，因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为1k 、2k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-162)1(3221y x x k y得点B 的横坐标为33261211++-=k k x （1=x 为点A 的横坐标），∴点B 的纵坐标为3632321121++-=k k k y ，即)36323,33261(21121211++-++-k k k k k B . 同理可得点C 的坐标为)36323,33261(22222222++-++-k k k k k C ∵ 021=+k k ,∴ 直线BC 的斜率为3=BC k .(ii)设直线BC 的方程为m x y +=3，代入方程16222=+y x 得0632622=-++m mx x ， ∴ 212332||m BC -=又点A 到直线BC 的距离为2||m d =∴ 36)6(63)12(63||212222+--=-=⋅=m m m d BC S ∴ 当62=m ，即6=m 或6-=m 时，△ABC 面积取得最大值为3. 此时，直线BC 的方程为63±=x y .19．⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，故12017201720172016(1)2a a =+⨯⨯-，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112mm m a aa -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-,1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++；③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++ 12341()()()n n a a a a a a -=++++++ 12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++ 123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式， 综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．20．(1) '3()3ln ,()x f x x x f x x-=-=，可得f (x)的单调减区间为（0,3），单调增区间为（3，+∞）. (2) 设2(1)()ln (1)1x x x x x ϕ-=->+，可证此函数在（1，+∞）是增函数，且(1)0ϕ>，令211x x x =>，代入得到211221ln ln 2x x x x x x -+<-，D而由21112221ln ,ln ln ln x x x a x x a x a x x -=-=-⇒=-->122x x +-,故有12''12012122(22()()1102x x x x af x f x x x x +-+==+>+=++. (3)令2200()ln()x G x x x x x =--，'2020(,),()ln 0,xx x x G x x ∈=>G(x)是增函数， 令201x t x =>，则有0022()[ln (1)]01()[ln (1)]0G x x t t G x x t t =--<⎧⎪⎨=-->⎪⎩（用到lnx<x-1）, 由零点定理知，存在02(,),()0t x x G t ∈=， 即20202020ln ln ln ln 111x x x x aatx x t x x --=⇔+=+-- 即'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.A .因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， 又CA CB =，所以2CB CE CD =⋅， 即CB CDCE CB=， 又BCD BCD ∠=∠， 所以BCE D ∽DCB D ， 所以∠CBE =∠BDE ．B ．（1）因为A A －1＝⎣⎡⎦⎤302a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1023＋ab a＝⎣⎡⎦⎤1001． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23． （2）由（1）得A ＝⎣⎡⎦⎤3021，则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．C ．（1）⊙M ：227(()422x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3()22,(2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：223(()122x y -+-=（2）PQ =MN -3=431-=.D ．因为x 为正数，所以2＋x同理 2＋y2＋z ．（5分）所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥= 因为xyz ＝8， 所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64．22．( 1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率：p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3， P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=，ξEξ==1．23．⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为004x =++，024x =++，104x =++，124x =++, 它们的和是22． ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a - 各有n 种取法；n a 有1n -种取法， 由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a - ,n a 的不同取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=- ，即满足条件的x 共有(1)nn n -个，当0a 分别取0,1,2,,1n - 时，121,,,n a a a - 各有n 种取法，n a 有1n -种取法，故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n --++++--= ；同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n --++++--⋅=⋅ ； n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n --++++--⋅=⋅ ； n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n nn ----++++--⋅=⋅ ；当n a 分别取1,2,,1i n =- 时，0121,,,,n a a a a - 各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n +-+++-⋅=⋅ ； 所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n n n +---+++++⋅ ； 21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n nn n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-．。