人教版高中数学高一A版必修4 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.填要点·记疑点1.两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝2.两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝ .tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan(α＋β)(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β)探要点·究所然情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.解　设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，在Rt△ABD中，探究点一　两角和与差的正切公式的推导当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得探究点二　两角和与差的正切公式的变形公式思考　两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习：直接写出下列式子的结果：1(2)tan 75°＝；例1　求下列各式的值：(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟　公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示出第三个.跟踪训练1　求下列各式的值：例2　若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值.解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，反思与感悟　此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.∴△ABC为等腰钝角三角形.反思与感悟　三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练3　已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A ＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.证明　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C.即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.4当堂测·查疑缺 123BB2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定解析　(1＋tan A)·(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B＋tan A tan B＝2.呈重点、现规律(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.3.公式T(α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.。

互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较cos(α-β)与cos(α+β),并且注意到α+β与α-β之间的关系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得 cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C (α+β))2.两角和与差的正弦公式sin(α-β)=cos(2π-α+β)=cos ［(2π-α)+β］ =cos(2π-α)cosβ-sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ-cosαsinβ,即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(S (α-β))在上式中,以-β代β可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S (α+β))3.正确理解和差角的正弦公式(1)公式对于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin(α±β)的意义.例如sin(α+β)是两角α与β的和的正弦,它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如α=3π,β=6π时,sin(3π+6π)=sin 2π=1, sin 3π+sin 6π=23+21=213+≠1. ∴sin(3π+6π)≠sin 3π+sin 6π. 只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ,例如,当α=0,β=6π时, sin(0+6π)=sin 6π=21,sin0+sin 6π=0+21=21, ∴sin(0+6π)=sin0+sin 6π. 在学习时一定要注意:不能把sin(α+β)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°-sin70°cos40°,要能观察出此式等于sin(20°-50°)=-sin30°=-21. (4)灵活运用和(差)角公式.例如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin(α+β),cos(α+β)展开,而应就整个式子,直接运用公式sin ［(α+β)-β］=sinα,这也是公式的逆用.4.两角和与差的正切公式的推导当cos(α+β)≠0时,将公式S (α+β),C (α+β)的两边分别相除,有tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++.当cosα·cosβ≠0时,将上式的分子、分母分别除以cosα·cosβ,得 tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+(T (α+β)). 由于tan(-β)=ββββcos sin )cos()sin(-=-=-tanβ. 在T (α+β)中以-β代β,可得tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-(T (α-β)). 5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围.因为y=tanx 的定义域为x≠2π+kπ,k ∈Z . 所以T (α±β)只有在α≠2π+kπ,β≠2π+kπ,α±β≠2π+kπ时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T (α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能利用公式T (α-β),所以改用诱导公式.(2)注意公式的逆向运用 ββαββαtan )tan(1tan )tan(++-+=tan ［(α+β)-β］=tanα, ααααtan 45tan 1tan 45tan tan 1tan 1︒-+︒=-+=tan(45°+α). (3)变形应用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),如tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β),tan(α+β)-tanα-tan β=tanαtanβtan(α+β).活学巧用1.在△ABC 中,若sinAsinB ＜cosAcosB,则此三角形的外心位于它的( )A.内部B.外部C.一边上D.不确定 解析:cosAcosB-sinAsinB ＞0,即cos(A+B)＞0,∴-cosC ＞0.∴cosC ＜0.∴C 为钝角.∴△ABC 为钝角三角形.∴三角形的外心位于它的外部.答案:B2.化简下列各式:(1)cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α); (2)sin(x+3π)+2sin(x-3π)-3cos(32π-x); (3))cos(cos cos 2sin cos 2)sin βαβαβαβα+--+(. 解析:(1)原式=cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)=cos ［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=22. (2)原式=sinxcos 3π+cosxsin 3π+2sinxcos 3π-2cosxsin 3π-3cos 32πcosx-3sin 32πsinx =23sinx-23cosx+23cosx-23sinx=0. (3)原式=βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos 2sin cos 2sin cos cos sin +-=+--+ =)cos()sin(βαβα--=tan(α-β). 答案:(1)22;(2)0;(3)tan(α-β). 3.已知cos(α+β)=-31,cos2α=-135,α、β均为钝角,求sin(α-β). 解析:∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=- 31＜0,cos2α=-135＜0. ∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=322)31(1)(cos 122-=---=+--βα,sin2α=1312)135(12cos 122-=---=--α. ∴sin (α-β)=sin ［2α-(α+β)］=sin2αcos(α+β)-cos2α·sin(α+β) =(-1312)×(-31)-(-135)(322-)=3921012-. 答案:3921012-. 4.求下列各式的值. (1)︒︒+︒-︒15tan 75tan 115tan 75tan(2))25tan()305tan(1385tan 55tan ︒-︒--︒-︒ (3)︒+︒-15tan 3115tan 3.解:(1)原式=tan(75°-15°)=tan60°=3.(2)原式=)25tan )(36055tan(1)36025tan(55tan ︒-︒-︒-︒+︒-︒=︒︒+︒-︒25tan 55tan 125tan 55tan =tan(55°-25°)=tan30°=33. (3 ︒+︒-15tan 3115tan 3=︒︒+︒-︒15tan 60tan 115tan 60tan =tan(60°-15°)=tan45°=1. 答案:(1)3;(2) 33;(3)1. 5.化简求值:(3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°)·tan10°.解:原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°)·tan10°,因为tan10°=tan(40°-30°)=︒︒+︒-︒30tan 40tan 130tan 40tan 所以1+tan40°tan30°=︒︒-︒10tan 30tan 40tan . 同理,1+tan40°tan50°=︒︒-︒10tan 40tan 50tan , 1+tan50°tan60°=︒︒-︒10tan 50tan 60tan . 所以原式=(︒︒-︒10tan 30tan 40tan +︒︒-︒10tan 40tan 50tan +︒︒-︒10tan 50tan 60tan )·tan10° =tan40°-tan30°+tan50°-tan40°+tan60°-tan50°=-tan30°+tan60° =332333=+-. 6.tan12°+tan33°+tan12°tan33°的值为_______________.解析:因为tan45°=tan(12°+33°)=︒︒-︒+︒33tan 12tan 133tan 12tan =1, 所以原式=tan12°tan33°+1-tan12°tan33°=1.答案:1。