高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计

《曲线和方程》教案【课题】曲线和方程【教材】人教版普通高中课程标准实验教科书——数学选修2-1【教学目标】◆知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

◆能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识；◆情感目标：1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程【教学方法】问题探索和启发引导式相结合【教具准备】多媒体教学设备【教学过程】一、感性认识阶段——以旧带新，提出课题师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。

下面看一个具体的例子：（出示幻灯片2）借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：（出示幻灯片3）（出示幻灯片4，引导学生类比、推广并思考相关问题）幻灯片31、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。

即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。

也即：幻灯片2画出方程0=-y x 表示的直线师：以上问题就是本节课研究的内容：曲线和方程（板书课题）。

二、分化本质属性阶段——运用反例揭示内涵师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。

曲线与方程教案一、教学目标1. 了解曲线的基本概念和性质；2. 掌握曲线的方程的求法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1. 曲线的基本概念和性质（1）曲线的定义曲线是指平面上的一条不断变化的线条，可以是直线、圆、椭圆等等。

（2）曲线的性质曲线有很多性质，其中比较重要的有：• 曲线的长度：曲线的长度是指曲线上所有点的连线的长度之和； • 曲线的斜率：曲线的斜率是指曲线在某一点的切线的斜率；• 曲线的凸性：曲线的凸性是指曲线在某一点的切线与曲线的交点在曲线的上方或下方。

2. 曲线的方程的求法（1）直线的方程直线的方程可以表示为 y =kx +b 的形式，其中 k 是直线的斜率，b 是直线的截距。

（2）圆的方程圆的方程可以表示为 (x −a )2+(y −b )2=r 2 的形式，其中 (a,b ) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。

（3）椭圆的方程椭圆的方程可以表示为(x−a )2a 2+(y−b )2b 2=1 的形式，其中 (a,b ) 是椭圆的中心的坐标。

3. 应用实例（1）例题一已知一条直线的斜率为 2，截距为 3，求该直线与 x 轴、y 轴的交点坐标。

解：直线与 x 轴的交点坐标为 (32,0)，与 y 轴的交点坐标为 (0,3)。

（2）例题二已知一个圆的圆心坐标为 (2,3)，半径为 4，求该圆的方程。

解：该圆的方程为 (x −2)2+(y −3)2=16。

（3）例题三已知一个椭圆的中心坐标为 (2,3)，长轴长度为 6，短轴长度为 4，求该椭圆的方程。

解：该椭圆的方程为 (x−2)29+(y−3)24=1。

三、教学方法本教案采用讲授、练习、讨论等多种教学方法，注重理论与实践相结合，注重学生的主动参与和思考。

四、教学评价本教案注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，能够提高学生的数学素养和综合能力，是一份优秀的教学资源。

高中数学《曲线和方程》第一课时说课稿高中数学《曲线和方程》第一课时优秀说课稿范文作为一名无私奉献的老师，很有必要精心设计一份说课稿，借助说课稿可以提高教学质量，取得良好的教学效果。

那么应当如何写说课稿呢？以下是小编整理的高中数学《曲线和方程》第一课时优秀说课稿范文，仅供参考，大家一起来看看吧。

高中数学《曲线和方程》第一课时说课稿1一、教材分析1、教材背景作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时侧重对所求方程的检验。

本课为第二课时主要内容有：解析几何与坐标法；求曲线方程的方法（直译法）、步骤及例题探求。

2、本课地位和作用承前启后，数形结合。

曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后面平面曲线学习的理论基础，是解几中承上启下的关键章节。

“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式。

“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题。

体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题，是数形结合的典范。

后继性、可探究性。

求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x，y）横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动展现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢？通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性。

同时，本课内容又为后面的轨迹探求提供方法的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法。

数学建模与示范性作用。

曲线的方程是解析几何的核心。

求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范。

数学的文化价值。

解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例。

《曲线与方程》教学设计第二课时◆教学目标1.初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程，提升学生的数学建模素养．2.能根据曲线的方程研究曲线的性质的方法，提高学生的数学运算、逻辑推理的素养．◆教学重难点◆教学重点：求曲线的方程及由方程研究曲线的性质．教学难点：能根据曲线的方程研究曲线的性质的方法．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习曲线与方程第二课时求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质．（2）本节是在上一节的基础上继续研究曲线与方程，而本节通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化．数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、探究新知问题2：已知21,l l 是平面内两条相互垂直的直线，且曲线C 是到21,l l 的距离的乘积等于1的点组成的集合．建立适当的平面直角坐标系，写出曲线C 的方程；预设的答案:如果以21,l l 分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，则P 到x 轴的距离为||y ，到y 轴的距离为||x ，因此),(y x P 在曲线C 上的充要条件是为||y ||x =1，就是曲线的方程．注意：（教师讲解）在求方程之前，必须首先建立坐标系，否则，曲线不能转化为方程．在具体问题中有两种情况:一是所研究的问题已给定了坐标系.此时在给定的坐标系中求方程即可;二是原题中没有确定坐标系，此时必须首先选取适当的坐标系.坐标系选取适当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单.通常选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等．设计意图：通过根据几何条件求出曲线的方程，提升学生数学建模，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．问题3：已知21,l l 是平面内两条相互垂直的直线，且曲线C 是到21,l l 的距离的乘积等于1的点组成的集合．根据曲线的方程，说出曲线具有的性质，然后作出曲线C.预设的答案:(1)0=x 或0=y 时，方程②不可能成立，这说明曲线C 与两坐标轴都没有交点．(2)如果),(y x 是方程②的一组解，则),(y x -也是方程②的一组解，又因为),(y x -与),(y x 关于y 轴对称，这说明曲线C 关于y 轴对称.类似地，可知曲线C 关于x 轴以及原点都对称．(3)由于|y |||x =1，所以||x 越来越大时，|y |越来越小且接近于0，||x 越来越小且接近于0时，|y |越来越大．作图如下：设计意图：通过根据方程研究曲线的几何性质，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．三、初步应用例3已知动点M 到)2,1(A 的距离与到点)6,3(B 的距离相等，求M 的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：设M 的坐标为),(y x ，依照条件可知||||MB MA =，由两点之间的距离的公式可知2222)6()3()2()1(-+-=-+-y x y x ，两边平方并化简，得0102=-+y x ，上式就是M 的轨迹方程，因此轨迹曲线是直线．设计意图：本例是求轨迹方程，并通过方程探究曲线性质的问题，要注意规范求曲线方程的一般步骤，提升学生的逻辑推理素养．例2： 已知动点M 到)0,0(O 的距离与到)0,3(A 的距离之比是21，求M 的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状．师生活动：学生根据所学知识解答．预设的答案：设M 的坐标为),(y x ，依照条件可知21||||=MA MO ，由两点之间的距离公式可知，上式可用坐标表示为21)3(2222=+-+y x y x ，两边平方并化简，得03222=-++x y x ，可以检验，上式就是M 的轨迹方程．将左边配方可得4)1(22=++y x ，所以可知轨迹是圆心为)0,1(-且半径为2的圆．设计意图：利用求动点的轨迹方程，培养学生全面分析问题的能力．问题6：通过上面两个例题总结求轨迹方程的一般步骤？师生活动：小组讨论，学生自己先给出答案，教师总结．预设的答案：(1)设动点M 的坐标为),(y x (如果没有平面直角坐标系，需先建立)；(2)写出M 要满足的几何条件，并将该几何条件用M 的坐标表示出来；(3)化简并检验所得方程是否为M 的轨迹方程．设计意图：通过总结求轨迹方程的一般步骤，培养学生总结问题的能力．四、归纳小结，布置作业问题5：求轨迹方程的一般步骤是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：(1)设动点M 的坐标为),(y x (如果没有平面直角坐标系，需先建立)；(2)写出M 要满足的几何条件，并将该几何条件用M 的坐标表示出来；(3)化简并检验所得方程是否为M 的轨迹方程． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解求轨迹方程的一般步骤． 布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1已知曲线C 的方程是x 4＋y 2＝1．关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论： ①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线y ＝x 对称；③曲线C 所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是 ．设计意图：考查讨论曲线的几何性质．2画出方程y ＝x 2－2|x |＋1的曲线．设计意图：考查学生对曲线的几何性质的应用．3．曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2公共点的个数为 ．设计意图：考查学生对曲线交点个数的判断．参考答案：1．①③ [将方程中的x 换成－x ，y 换成－y 方程不变，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；将方程中的x 换成y ，y 换成x ，方程变为y 4＋x 2＝1与原方程不同，故②错误；在曲线C 上任取一点M (x 0，y 0)，x 40＋y 20＝1，∵|x 0|≤1，∴x 40≤x 20， ∴x 20＋y 20≥x 40＋y 20＝1，即点M 在圆x 2＋y 2＝1外， 故③正确．故正确的结论的序号是①③．]2．[解] ∵y ＝x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2＝||x |－1|，易知x ∈R ，y ≥0．用－x 代替x ，得||－x |－1|＝||x |－1|＝y ，所以曲线关于y 轴对称．当x ≥0时，y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ＞1)，1－x (0≤x ≤1)，分段画出该方程的图像，即为y 轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程y ＝x 2－2|x |＋1的图像，如图所示．3．1 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2，y ＝－x ＋2，得－x ＋2＝1－x 2，两边平方并整理得(2x －1)2＝0，所以x ＝22，y ＝22，故公共点只有一个⎝⎛⎭⎫22，22．。

【高中数学】“曲线与方程”教学设计说课稿一、教学内容与内容解析1．内容：“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容：理科选修2-1的2.1.1的内容,主要包括（1）曲线的方程与方程的曲线概念；（2）求曲线的方程的一般方法(步骤)；（3）坐标法的基本思想与研究的基本问题.2．内容解析：在平面直角坐标系建立以后，点坐标(有序实数对)；平面曲线(点的集合或轨迹)二元方程.因此, 曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是曲线的方程的一种几何表示。

曲线和方程的这种相互表示，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一结合。

曲线与方程的相互转化，丰富了研究几何问题数学方法，产生一门新数学学科---解析几何，其方法论的意义影响深远，更便于人们在数字化时代，用计算机工具研究处理几何问题。

研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系（方程），并通过代数运算处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质以及研究他们之间的相互关系，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，通过这一部分内容学习，可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．“曲线和方程”是解析几何中最基本（奠基）内容，是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础。

不但为学习椭圆、双曲线、抛物线内容做准备，而且为学习研究其他曲线提供了理论和方法的准备．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.本节中的“曲线与方程”的概念，它是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的思想方法提升、深化，是研究问题“由特殊到一般，再到特殊”整个过程的一个阶段。

它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数关系）间的一一对应关系，并根据曲线与方程的对应关系，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要求学生能通过方程来处理一些简单的几何问题，从而达到培养学生“初步通过研究方程来研究曲线的几何性质”目的。

高中数学说课稿：《曲线和方程》第一课时优秀说课稿模板曲线和方程说课教案（第一课时）四川省科学城一中秦美蓉1．对教材地位与作用的认识在高中数学教学中，作为数学思想应向学生渗透，强化的有：函数与方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；等价转化及运动变化思想。

不是所有的课都能把这些思想自然的容纳进去，但由于“曲线和方程”这一节在教材中的特殊地位，它把代数和几何两个单科自然而紧密地结合在一起，因而上述思想能用到大半，这不能不引起我们教师的重视。

“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“依形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，用代数的方法研究几何问题。

”曲线与方程”是解析几何中最为重要的基本内容之一.在理论上它是基础,在应用上它是工具,对全部解析几何的教学有着深远的影响，另外在高考中也是考察的重点内容，尤其是求曲线的方程，学生只有透彻理解了曲线与方程的含义，才算是找到了解析几何学习得入门之路。

应该认识到这节“曲线和方程”得开头课是解析几何教学的“重头戏”！2．教学目标的确定及依据(大纲的要求)通过本小节的学习,要使学生了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点,理解曲线的方程和方程的曲线的意义,初步掌握求曲线的方程的方法.所以第一课我在教学目标上是这样设定的: 1）．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系,领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；2）．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力；3）会证明已知曲线的方程。

本节课的教学目标定在“初步掌握”的水平上，但“初步”绝不等同于“含糊”，它反应在学生的学习行为上，即要求学生能答出曲线与方程间必须满足的两个关系，才能称作“方程的曲线”和“曲线的方程”，两者缺一不可，并能借助实例进一步明确这二者的区别。

知识的学习与能力的培养是同步的，在具体操作上结合图形分析与反例，来辨析“两个关系”之间的区别，从认识特例到归纳出曲线的方程和方程的曲线一般概念，因而在形成概念的过程中，培养学生分析、抽象、概括的思维能力.会证明已知曲线的方程就能更进一步的理解曲线和方程概念的含义并为下节课求曲线的方程打基础.3.如何突破重难点本小节的重点是理解曲线与方程的有关概念与相互联系，以及求曲线方程的方法、步骤.只有深刻理解了曲线与方程的含义，才能真正掌握好求曲线轨迹方程的一般方法，进一步学好后面的内容．曲线和方程的概念比较抽象，由直观表象到抽象概念有相当难度，对学生理解上可能遇到的问题是学生不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和”“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系各自所起的作用。

课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节) 一、内容和内容解析1．教学内容《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．2．地位与作用本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．二、目标和目标解析本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系；2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．三、教学问题诊断分析1．问题诊断学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面；（2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用．2．重难点重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解3.突出重点、突破难点的策略本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循概念学习的规律，使学生在过程中感受数形结合，从特殊到一般，化归与转化的数学思想．具体表现在：（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将“章头图”、“章导言”融入其中，产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；（2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论—互动修正”生成概念；（3）学生自主举例，辨析概念，联系已学知识，完成对概念的“结构化”．四、教学支持条件分析1．学情分析本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生，数学基础扎实，思维较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升．2．教学策略与教法、学法本课采取“探究—发现”教学模式．教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现，并归纳概括．学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构．教具：多媒体PPT课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔五、教学过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：教学内容师生活动（预设）设计说明一、创设情景，引入概念播放一段和笛卡尔的传说有关的广告视频．师：不知大家有没有看过下面这则广告？生（齐）：（观看视频）师：其实，这则广告的创意源自于一位伟大数学家的爱情传说，大家知道他是谁吗？生（齐）：笛卡尔．师：是的．那你了解笛卡尔优美的画面和音乐吸引学生注意力，富于文化的广告创意调动学生的积极性，暗藏其中的故事情节激发学生的思考和好奇心，情景创设为引【阶段小结】教师引导下，学生交流自己对定义的认识．程的曲线在第一、二象限．师：能否用定义加以说明？生14：如点（-4,-1）在曲线上，但不是方程F的解；（-4,1）的坐标是方程的解，以它为坐标的点不在曲线上．师：其实，要解决曲线与方程的关系的判断，除了教材上定义之外，还有其他的一些表述，请你在学习定义的基础上谈谈自己对曲线与方程关系的判断方法．生15：（预设）检查曲线上的点和方程的解之间的关系．师：不错，但注意准确性．应该是曲线上的每一个点和方程的每一个解的关系．生16：（预设）看曲线上是否有不是方程的解为坐标的点，看曲线是否包括了方程的所有解为坐标的点．师：很好，这种判断方法相当于是看曲线是否纯粹地列出了方程的解为坐标的点，无多余的点，而方程的解是否完备地通过曲线体现了，没有漏掉解．通过对概念的应用，将学生对曲线的方程（方程的曲线）这一概念的多角度理解进行梳理，引导学生在说出自己对曲线与方程关系的理解的基础上对概念再认识．四、课堂检测，课外延伸【课堂检测】请将以下四个方程和右边的图形用连段连接起来：||0x y-=||0x y-=220x y-=师：接下来请看课堂检测．请将以下四个方程和四个曲线配对，并简要说明理由．生17：观察方程中解的正负和曲线上点的坐标的正负，可以筛选答案．师：不错．如果我们要用概念检验曲线和方程之间的关系，该如何分析呢？比如第一个方程和第一幅图．生17：第一支曲线上的部分点的坐标不是第一个方程的解，所以方程不是曲线的方程．课堂检测的作用是检测学生在对定义的理解是否深入，应用是否灵活．学生根据范围直接进行配对，体现了其对曲线与方程关系掌握的灵活性．0x y -=【课外延伸】 1． 查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔在其中所做出的贡献． 2． 广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于(1sin )r a θ=-与心形曲线的关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．师：大家想知道本课之初视频背后的故事吗？ 生（齐）：想． （播放视频） 师：广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于(1sin )r a θ=-与心形曲线的关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．《曲线与方程》衔接了直线、圆与圆锥曲线，了解圆锥曲线的发展历史，更有利于激发学生使用方程研究圆锥曲线的兴趣，更加积极地学习解析几何一眼就问题的方法． 对于笛卡尔的爱情传说，学生一定是很有兴趣的，其中涉及到的极坐标系作为本课最后的一个说明即拓展了学生视野，也将高中解析几何的直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、坐标系与参数方程四个部分都出现在了本课中．附：板书设计六、目标检测设计§2．1．1曲线与方程（第1课时）一、情景创设 二、作图探究2201y x --=- 22(1)y x -=- 2(1)y x x => 0xyxyxy210x y --= 221x y +=曲线的方程（方程的曲线） 方程的解 曲线上的点PPT 展示区1．曲线上的点的坐标满足方程; 2．以方程的解为坐标的点在曲线上．三、正反实例 例1例2（1）（2）1xy在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：本课的教学目标达成情况如下：此外，课堂中我还设计了以下目标检测环节： 1.课堂检测请将以下四个方程和图形用连段连接起来：||0x y -= ||0x y -= 220x y -=0x y -=2.课外延伸（1）查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔和坐标系在其中所做出的贡献．（2）广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中关于(1sin )r a θ=-与心形曲线的关系，便是曲线与方程对应关系的体现，它涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》坐标系与参数方程中学习． 设计意图:课堂检测的目的是检测教学效果．再次感受方程的不同导致曲线的不同之间，曲线的差异对应方程的差异，理解数形结合思想．学会使用概念对曲线与方程的关系进行界定．《中国学生发展核心素养》总体框架中谈到，“文化是人存在的根和魂”，文化基础包括“人文底蕴”、“科学精神”，本课内容承载着这两个要素，曲线与方程的关系体现了解析几何核心思想，而解析几何是近代数学的里程碑．课外延伸旨在通过让学生自主查阅资料拓展视野，了解数学史，感受数学文化，发展数学核心素养．结尾部分让学生了解笛卡尔的信件便使用了“曲线与方程的对应关系”这一知识，激发学生兴趣，并不经意地提及了坐标系及参数方程这一解析几何的板块．《曲线与方程》教学设计说明本课时作为《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要内容是曲线的方程（方程的曲线）的概念．学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．结合以上情况，我制定了本堂课的目标就是结合实例了解曲线与方程的对应关系，感悟数形结合思想.对本课的设计，我作以下说明：1．关于设计定位．如果将曲线的方程（方程的曲线）这一概念直接呈现给学生，然后进行对应练习，学生很可能只会机械记忆判断曲线与方程对应关系的两个条件，无法理解他们在揭示这种关系时各自所起的作用．我在设计这堂课时始终坚持两条思路．一条是以曲线的方程（方程的曲线）这一组概念的知识技能为目标的“明线”，一条是以经历一个完整的“从典型事例中抽象出新的数学概念”体验过程为目标的“暗线”．让数学思想方法似甘露一样浸润学生心田．2．遵循概念学习的规律．曲线与方程的概念的获得应该符合学生的认知规律，在情景中认识到研究“曲线与方程的关系”的必要性，在对典型丰富的事例的探究过程中，归纳概括出特征、性质，并将自然语言逐步转化为数学语言．因此遵循概念教学的规律，设计了“感知概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的教学过程．3．实现教材中本章“章头图”、“章导言”的教育价值和作用．作为《圆锥曲线与方程》的第一课时，适当对本章学习内容进行展望是很有必要的，本课的创设情境部分很好的整合了“章头图”、“章导言”与本节内容，产生认知冲动，很好的实现了“章头图”、“章导言”的教育价值和作用．4．浸润数学文化、渗透数学思想、鼓励数学阅读、发展核心素养．文化基础是核心素养的重要内容，包括“人文底蕴”和“科学精神”两个方面，如何在数学学习过程中根据恰当素材进行人文情怀的塑造，是每一位数学教育工作者应该重视的内容．本课的内容体现了解析几何的基本数学思想——数形结合思想，是解析几何的核心概念，课堂中适度安排数学史、数学文化相关内容能够让学生体会数学发展的过程，发展数学素养．5．关于多媒体技术的使用教学中平板电脑充当投影仪的作用，但较传统投影仪有着记录学生活动过程，节约展示时间的优势．因此，根据需要适当选择媒体辅助可以更好的实现教学目的．注重教学实际提升概括能力1、思考深入，认识准确：教师正确理解了教材，确定了合理的教学重点和难点．“曲线的方程”强调只能是表示了“曲线”的方程，不能是随意的方程；“方程的曲线”强调只能是有“方程”的曲线而不能是任意曲线．教学中教师将“让学生初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义”作为重点和难点，无疑是合理和准确的．教师正确理解了学生实际．学生在学完必修2之后，对直线、圆与它们的方程的关系有了一定的认识，但理解深度还需要一次“理性认识”的飞跃，才有助于学习后面的圆锥曲线以及参数方程和极坐标. 教师充分认识到学生的基础，设计问题都源自学生的最近发展区．这体现了教师的数学理解水平和研究能力．2、设计科学，推进有效：本节课的教学设计切合要求与实际，思考深入，素材选取与呈现科学，教学环节预设针对性强，为成功实施教学提供了保障．教师充分利用“章导言”引入，让学生感知学习的必要性，激发学生求知欲．选取合理的切入点设计教学内容．教师从学生熟悉的直线方程、圆方程入手，让学生利用所学知识作出方程的解为坐标的点汇聚而成的图形．这一在学生的最近发展区的教学内容设计，能够促进学习水平的提高．针对学习过程进行教学环节预设，为处理课堂教学中的“生成”奠定了基础．为让学生得出曲线与方程的概念，教师教学始终围绕“方程与直线、圆”的关系展开，让学生自己总结提炼并书写概念，并引导学生自己作正反辨析．实践表明，这样的设计，符合内容特点、针对学生学习实际，考虑了学生学习活动中思维发展的可能，为高效处理课堂教学中的“生成”奠定了坚实的基础，也一定程度地提升了学生的抽象概括能力．课堂教学分为创境引入、感知提炼、正反辨析、应用检测等环节．这节课看起来并不热闹，但学生都是经过自主思考后的表达．辨析环节让学生教学生的做法自然而有效地促进了全体学生共同提高．教学的最后提出了让学生查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔在其中所做出的贡献，既有数学文化和数学史的学习，也引导提升学生的数学阅读能力．3、检测及时，效果良好：课堂教学考虑了教学目标的达成情况．设计目标检测及时了解学生学习效果，为后期教学提供的真实的数据依据．总体来说，这是一堂近乎完美的概念教学课，很好地反映了教师在安排中的深思熟虑和教育追求，给教师以启发，给学生以启迪。

§2.1.1曲线与方程教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义2．会判定一个点是否在已知曲线上，并会证明曲线方程。

教学重点： 曲线和方程的概念教学难点： 曲线和方程概念的理解课 型： 新授课教 具： 多媒体教学方法： 启发式教学过程一、复习回顾在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系。

二、讲授新课1．曲线与方程关系举例：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上。

又如，以),(b a 为圆心、r 为半径的圆的方程是222)()(r b y a x =-+-。

这就是说，如果),(00y x M 是圆上的点，那么它到圆心的距离一定等于半径，即r b y a x =-+-2020)()(，也就是22020)()(r b y a x =-+-，这说明它的坐标),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解；反过来，如果),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解，即22020)()(r b y a x =-+-，也就是r b y a x =-+-2020)()(，即以这个解为坐标的点到点),(b a 的距离为r ，它一定在以为圆心),(b a 、r 为半径的圆上的点。

2．曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。