2020年石家庄市高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．1a＜1bC．a2＞ab＞b2D．ba＞ab2．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，则a4＝（）A．﹣7B．﹣10C．10D．123．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA4．若函数f(x)=4x+ax(x＞0，a＞0)当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为（）A．12B．24C．16D．365．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE 所成角的余弦值为（）A．14B．15C．2√65D．√1546．在△ABC中，cos2B2=a+c2c，则△ABC为（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．283πB．√223πC．73πD．√7π8．已知数列a1，a2a1，a3a2，⋯，a na n−1是首项为4，公比为12的等比数列，则a4等于（）A．4B．32C．64D．1289．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π3，b＝1，求a+c的取值范围（）A．(1，√3)B．(√3，2]C．（1，2]D．（1，2）10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a m，a n，使得a m•a n＝64，则1m +16n的最小值为（）A．256B．215C．92D．17311．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最小值B．S15是最小值C．S29＝0D．S15是最大值12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB=−√55，则（）A．sin∠CDB=310B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8+4√5D．△ABC为锐角三角形二、填空题13．已知数列{a n}满足a1＝1，3a n+1a n＝a n﹣a n+1，则通项a n＝．14．函数f(x)={−1(x≤0)x(x＞0)，则不等式xf（x）﹣x≤2的解集为．15．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C．△ABC的面积S满足4√33S=b2+c2−a2，若a=√3，则bsinB=．16．对于数列{a n}，定义Hn =a1+2a2+⋯+2n−1ann为{a n}的“优值”，现已知某数列的“优值”H n=2n，记数列{a n}的前n项和为S n，则S20202020=．三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a b=cosA 2−cosB．（Ⅰ）求ac．（Ⅱ）若b ＝4，cos C =14，求△ABC 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos （2C +π3）的值．18．已知等差数列{a n }中，a 6﹣a 2＝8，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =111，求n 的值．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ≠90°，AB ∥CD ，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝DC ＝1． （1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．20．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC 而言，若其内部的点P 满足∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°，则称P 为△ABC 的费马点．如图所示，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，设P 为△ABC 的费马点，且满足∠PBA ＝45°，PA ＝2．（1）求△PAC 的面积； （2）求PB 的长度．21．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c1a1+c2a2+⋯+c na n=b n+1，求数列{c n}的前2020项的和．22．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，D在底面ABC上的射影E在AC上，DF⊥AB于F．（Ⅰ）求证：BC平行平面DEF；（Ⅱ）若∠BAC=∠ADC=π3，求直线BE与平面DAB所成角的余弦值．参考答案一、选择题1．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．1a＜1bC．a2＞ab＞b2D．ba＞ab【分析】利用不等式的基本性质即可得出．解：∵a＜b＜0，则A．c＝0时，ac2＜bc2不成立；B．由已知可得1a ＞1b，因此不成立；C．由已知可得：a2＞ab＞b2，因此正确；D．由已知可得：a2＞b2，∴a2ab＞b2ab，化为ab＞ba，因此不成立．故选：C．2．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，则a4＝（）A．﹣7B．﹣10C．10D．12【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，利用通项公式求和公式可得：3（3a1+3d）＝6a1+7d，a1+d＝﹣1，解得a1，d，即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，∴3（3a1+3d）＝6a1+7d，a1+d＝﹣1，解得a1＝2，d＝﹣3．则a4＝2﹣3×3＝﹣7．故选：A．3．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A ．AC ⊥SBB ．AD ⊥SCC ．平面SAC ⊥平面SBDD ．BD ⊥SA【分析】在A 中，推导出AC ⊥SD ，AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面SBD ，由此得到AC ⊥SB ；在B 中，推导出AD ⊥CD ，AD ⊥SD ，从而AD ⊥平面SDC ，由此得到AD ⊥SC ；在C 中，推导出AC ⊥平面SBD ，从而平面SAC ⊥平面SBD ；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法摔倒导出BD 与SA 不垂直，解：由四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，知： 在A 中，∵SD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥SD ， ∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，∴AC ⊥BD ， ∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ， ∵SB ⊂平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；在B 中，∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ， ∴AD ⊥CD ，AD ⊥SD ，∵SD ∩CD ＝D ，∴AD ⊥平面SDC ， ∵SC ⊂平面SCD ，∴AD ⊥SC ，故B 正确； 在C 中，∵SD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥SD ， ∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，∴AC ⊥BD ， ∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ，∵AC ⊂平面SAC ，∴平面SAC ⊥平面SBD ，故C 正确；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝a ，DS ＝b ，则D （0，0，0），B （a ，a ，0），A （a ，0，0），S （0，0，b ）， DB →=（a ，a ，0），SA →=（a ，0，﹣b ），∵DB→⋅SA→=a2≠0，∴BD与SA不垂直，故D错误．故选：D．4．若函数f(x)=4x+ax(x＞0，a＞0)当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为（）A．12B．24C．16D．36【分析】利用基本不等式的性质即可得出．解：函数f(x)=4x+ax(x＞0，a＞0)当且仅当x＝2时取得最小值，∴f（x）≥2√4x⋅ax=4√a，当且仅当x=√a2=2时取等号，解得a＝16．故选：C．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE 所成角的余弦值为（）A．14B．15C．2√65D．√154【分析】可画出图形，连接BE，从而可得出∠DEB为异面直线AF，BE所成的角，并连接DB，然后可设正方体的棱长为2，从而可得出△BDE三边的长度，根据余弦定理即可求出cos∠DEB的值．解：如图，连接BE，则BE∥AF，则∠DEB为异面直线AF，DE所成的角，连接DB，设正方体的棱长为2，则：BE=DE=√5，BD=2√2，∴在△BDE中，由余弦定理得，cos∠DEB=BE 2+DE2−BD22BE⋅DE=5+5−82×√5×√5=15．故选：B．6．在△ABC 中，cos 2B 2=a+c2c，则△ABC 为（ ） A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【分析】根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos 2B 2=a+c 2c ， ∴12（1+cos B ）=a+c2c， 在△ABC 中，由余弦定理得，12+12•a 2+c 2−b 22ac=a+c 2c，化简得，2ac +a 2+c 2﹣b 2＝2a （a +c ）， 则c 2＝a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：C ．7．一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．√223π C ．73πD ．√7π【分析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积．解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，下底面三角形的外接圆半径r满足：2r=1sin60°⇒r=√33，所以，球半径R=√r2+h2=(33)2+(12)2=√712，∴球的表面积为：4πR2＝4π（√712）2=73π；故选：C．8．已知数列a1，a2a1，a3a2，⋯，a na n−1是首项为4，公比为12的等比数列，则a4等于（）A．4B．32C．64D．128【分析】推导出a na n−1=4×(12)n−1=23﹣n，从而a4=a1×a2a1×a3a2×a4a3，由此能求出a4的值．解：∵数列a1，a2a1，a3a2，⋯，a na n−1是首项为4，公比为12的等比数列，∴a na n−1=4×(12)n−1=23﹣n，∴a4=a1×a2a1×a3a2×a4a3＝4×2×1×12=4．故选：A．9．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π3，b＝1，求a+c的取值范围（）A．(1，√3)B．(√3，2]C．（1，2]D．（1，2）【分析】由已知结合余弦定理及基本不等式可求a+c的范围，然后再结合三角形的两边之和大于第三边即可求解．解：由余弦定理可得，cos B=12=a2+c2−12ac，所以（a+c）2﹣2ac﹣1＝ac即（a+c）2＝1+3ac≤1+3×(a+c2)2，当且仅当a＝c时取等号，解可得，a+c≤2，又a+c＞b＝1，综上1＜a+c≤2．故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a m，a n，使得a m•a n＝64，则1m +16n的最小值为（）A．256B．215C．92D．173【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n＝2n．求得m+n＝6，1 m +16n=16（m+n）（1m+16n）=16（17+nm+16mn），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．解：S n＝2a n﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2，n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，又S n＝2a n﹣2，相减可得a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m•2n＝64，得m+n＝6，所以1m +16n=16（m+n）（1m+16n）=16（17+nm+16mn）≥16（17+2√16）=256，当且仅当nm =16mn时取等号，即为m=65，n=245．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m+16n＞256，验证可得，当m＝1，n＝5时，1m +16n取得最小值为215．故选：B．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最小值B．S15是最小值C．S29＝0D．S15是最大值【分析】由S11＝S18，可得：11a1+11×102d＝18a1+18×172d，化为：a1+14d＝0＝a15，根据a1＞0，可得d＜0，即可判断出结论．解：由S11＝S18，可得：11a1+11×102d＝18a1+18×172d，化为：a1+14d＝0＝a15，∵a1＞0，∴d＜0，∴S14，S15是最大值，S29=29(a1+a29)2=29a15＝0．∴CD正确．故选：CD．12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB=−√55，则（）A．sin∠CDB=310B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8+4√5D．△ABC为锐角三角形【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．解：在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB=−√55，所以sin∠CDB=2√55．如图所示：设CD＝x，则CB＝2x，在△BCD中，利用余弦定理：cos∠CDB=−√55=x2+9−(2x)22×3×x，整理得√5x2−2x−3√5=0，解得x=√5（负值舍去）．所以CD=√5，CB＝2√5，进一步求出cos B=2√5)2√5)22×3×25=2√55．在△ABC中，利用余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC cos B，解得：AC＝2√5，所以：l△ABC=8+2√5+2√5=8+4√5．S△ABC=12×8×2√5×√55=8．cos ∠ACB =√5)2√5)22×25×250，所以△ABC 为钝角三角形． 故选：BC ． 二、填空题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，3a n +1a n ＝a n ﹣a n +1，则通项a n ＝ 13n−2．【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．解：数列{a n }满足a 1＝1，3a n +1a n ＝a n ﹣a n +1， 可得1a n+1−1a n=3，可得数列{1a n}是等差数列，首项为1，公差为3，所以1a n=1+3（n ﹣1），所以a n =13n−2． 故答案为：13n−2．14．函数f(x)={−1(x ≤0)x(x ＞0)，则不等式xf （x ）﹣x ≤2的解集为 [﹣1，2] ．【分析】由已知函数解析式可把原不等式进行转化即可求解．解：当x ≤0时，由xf （x ）﹣x ≤2可得，﹣x ﹣x ≤2，解可得，x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0， 当x ＞0时，由xf （x ）﹣x ≤2可得，x 2﹣x ≤2，解可得，﹣1≤x ≤2，此时0＜x ≤2， 综上可得，x 的范围[﹣1，2] 故答案为：[﹣1，2]15．在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ．△ABC 的面积S 满足4√33S =b 2+c 2−a 2，若a =√3，则bsinB= 2 ．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan A ，进而可求A ，然后结合正弦定理即可求解．解：因为4√33S =b 2+c 2−a 2，所以4√33×12bcsinA =2bc cos A ，则tan A =√3，因为A 为三角形的内角，故A =13π，因为a =√3，由正弦定理可得，b sinB =a sinA =√3√32=2．故答案为：216．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为{a n }的“优值”，现已知某数列的“优值”H n =2n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20202020=20232．【分析】先由题设条件得到a1+2a 2+⋯+2n−1a n =n •2n ，再利用a 1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=(n −1)⋅2n−1，两式相减求出a n ＝n +1（n ≥2），检验n ＝1时是否适合，然后求出S 20202020即可．解：由题意知H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn =2n，即a1+2a 2+⋯+2n−1a n =n •2n ，又当n ≥2时，有a1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=(n −1)⋅2n−1，两式相减得：2n ﹣1a n ＝n •2n ﹣（n ﹣1）•2n ﹣1＝（n +1）•2n ﹣1， 整理得a n ＝n +1（n ≥2），当n ＝1时，有a 1＝1×2＝2也适合， ∴a n ＝n +1，S 2020=2020(2+2021)2，∴S 20202020=20232．故答案为：20232．三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a b=cosA 2−cosB．（Ⅰ）求ac．（Ⅱ）若b ＝4，cos C =14，求△ABC 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos （2C +π3）的值．【分析】（I ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求； （II ）由余弦定理可求a ，然后结合三角形的面积公式可求； （III ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解． 解：（I ）因为ab =cosA 2−cosB=sinA sinB，所以2sin A ﹣sin A cos B ＝sin B cos A ，所以2sin A ＝sin A cos B +sin B cos A ＝sin （A +B ）＝sin C ， 由正弦定理可得，ac =sinA sinC =12；（II ）由余弦定理可得，14=a 2+16−4a 28a，整理可得，3a 2+2a ﹣16＝0， 解可得，a ＝2，因为sin C =√154，所以S △ABC =12absinC =12×2×4×√154=√15；（III ）由于sin2C ＝2sin C cos C ＝2×√154×14=√158，cos2C ＝2cos 2C ﹣1=−78．所以cos （2C +π3）=12cos2C −√32sin2C =12×(−78)−√32×√158=−7−3√516．18．已知等差数列{a n }中，a 6﹣a 2＝8，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =111，求n 的值．【分析】（1）利用已知条件，求出数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式． （2）化简通项公式，利用裂项相消法，求解数列的和，然后求解n 即可． 解：（1）设数列{a n }的公差为d ， 因为a 6﹣a 2＝8，所以4d ＝8，解得d ＝2，因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 62=a 1a 21， 即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1＝5， 所以a n ＝2n +3；（2）由（1）知b n =1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)， 所以b n =12(12n+3−12n+5)， 所以S n =12[(15−17)+(17−19)+⋯+(12n+3−12n+5)]=n5(2n+5)， 由n 5(2n+5)=111，得n ＝25．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ≠90°，AB ∥CD ，PA⊥平面ABCD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝DC ＝1． （1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．【分析】（1）证明BC ⊥AC ，PA ⊥BC ，推出BC ⊥平面PAC ，即可证明平面PAC ⊥平面PBC ．（2）设点D 到平面PBC 的距离为d ，利用V P ﹣BCD ＝V D ﹣PBC ，转化求解即可． 【解答】（1）证明：由已知得AC =√AD 2+CD 2=√2，BC =√AD 2+(AB −CD)2=√2，AB ＝2，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC ，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， ∵PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ， ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．（2）解：由（1）得BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AC ，BC =√2，PC =√12+(√2)2=√3， 设点D 到平面PBC 的距离为d ， ∵V P ﹣BCD ＝V D ﹣PBC ， ∴13×12×DC ×AD ×PA =13×12×PC ×BC ×d ，∴13×12×1×1×1=13×12×√3×√2×d ，解得d =√66，∴点D 到平面PBC 的距离为√66．20．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝2．（1）求△PAC的面积；（2）求PB的长度．【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得∠PAB＝15°，∠PAC＝30°，可得在△PAC中，∠PCA＝30°，可得PA＝PC＝2，利用三角形的面积公式即可求解△PAC 的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin45°，sin15°的值，在△PAB中，由正弦定理可得PB的值．解：（1）由已知可得∠PAB＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠PAC＝45°﹣15°＝30°，在△PAC中，∠PCA＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴PA＝PC＝2，∴△PAC的面积S=12PA•PC•sin∠PAC=12×2×2×√32=√3．（2）∵sin15°＝sin（45°﹣30°）=√22×√32−√22×12=√6−√24，sin45°=√22，∴在△PAB中，由正弦定理PBsin15°=PAsin45°，可得PB=2sin15°sin45°=2×√6−√2422=√3−1．21．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c1a1+c2a2+⋯+c na n=b n+1，求数列{c n}的前2020项的和．【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式求得a1＝2．则a n可求．设等比数列{b n}的公比为q，求得q与b2，则{b n}的通项公式可求；（2）由（1）知，a n=2n，b n=2n．代入得c1a1+c2a2+⋯+c n−1a n−1+c na n=2n+1，即可求得数列{c n}d的通项公式；数列{c n}的前2020项的和S2020=8+2×23+3×24+⋯+ 2020×22021=4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．然后利用错位相减法求解．解：（1）依题意得：b32=b2b4，∴(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)，∴a12+12a1+36=a12+16a1+28，解得a1＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．设等比数列{b n}的公比为q，∴q=b3b2=a4a2=84=2，又b2＝a2＝4，∴b n=4×2n−2=2n；（2）由（1）知，a n=2n，b n=2n．∵c1a1+c2a2+⋯+c n−1a n−1+c na n=2n+1，①当n≥2时，c1a1+c2a2+⋯+c n−1a n−1=2n，②由①﹣②得，c n a n=2n ，即c n =n ⋅2n+1，又当n ＝1时，c 1=a 1b 2=23不满足上式， ∴c n ={8，n =1n ⋅2n+1，n ≥2； 数列{c n }的前2020项的和S 2020=8+2×23+3×24+⋯+2020×22021 ＝4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．设T 2020=1×22+2×23+3×24+⋯+2019×22020+2020×22021，③ 则2T 2020=1×23+2×24+3×25+⋯+2019×22021+2020×22022，④ 由③﹣④得：−T 2020=22+23+24+⋯+22021−2020×22022=22(1−22020)1−2−2020×22022=−4﹣2019×22022．∴T 2020=2019×22022+4，∴S 2020=T 2020+4=2019×22022+8．22．如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA ＝DB ＝DC ，D 在底面ABC 上的射影E 在AC 上，DF ⊥AB 于F ．（Ⅰ）求证：BC 平行平面DEF ；（Ⅱ）若∠BAC =∠ADC =π3，求直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出EF ∥BC ，由此能证明BC ∥平面DEF ．（Ⅱ）在△DEF 中过E 作DF 的垂线，垂足H ，由EF ⊥平面DAB ，得∠EBH 即所求线面角，由此能求出直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值． 解：（Ⅰ）证明：因为DA ＝DB ＝DC ，所以E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC ， 因为EF ⊂平面DEF ，BC ⊄平面DEF ，所以BC ∥平面DEF ．（Ⅱ）解：在△DEF 中过E 作DF 的垂线，垂足H ，由（Ⅰ）知EF ⊥平面DAB ，∠EBH 即直线BE 与平面DAB 所成角， 由F 是AB 的中点，AB ⊥EF 得EA ＝EB ， 设AC ＝2，∠BAC =π3，则DE =√3，EF =√32，EF =√152EH =√155，所以直线BE 与平面DAB 所成角的正弦值为sin∠EBF =EH EB =√155，所以直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值为√105．。

河北省石家庄市2020年（春秋版）高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M N（）A . [0,1]B . (0,1]C . [0,1)D . (-,1]2. （2分）已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足，且f'(x)g(x)<f(x)g'(x)，，若数列的前n项和等于，则n＝（）A . 7B . 6C . 5D . 43. （2分） (2016高二上·仙桃期中) 点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC=BD，且AC与BD成90°，则四边形EFGH是（）A . 菱形B . 梯形C . 正方形D . 空间四边形4. （2分）(2018·山东模拟) 函数的图像大致是（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·河北模拟) 如图所示，在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A .B . 2C .D . 46. （2分） (2019高一上·郏县期中) 下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·吉林期末) 已知某个几何体的三视图如下图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A . 288+36B . 60C . 288+72D . 288+88. （2分） (2018高二上·莆田月考) 若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是（）A . (- ,+∞)B . [- ,1]C . (1,+∞)D . (-∞, ]9. （2分）设f（x）=x2﹣2x﹣3（x∈R），则在区间[﹣π，π]上随机取一个实数x，使f（x）＜0的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）若二面角M﹣l﹣N的平面角大小为π，直线m⊥平面M，则平面N内的直线与m所成角的取值范围是（）A . [ ， ]B . [ ， ]C . [ ， ]D . [0， ]11. （2分） (2015高一下·天门期中) 若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值是（）A . ﹣5B . ﹣4C . ﹣3D . ﹣212. （2分）(2017·兰州模拟) 已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P 为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·苏州期末) 如图，为了探求曲线y=x2 ， x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为________．14. （1分） (2015高二上·福建期末) 已知F1 ， F2是椭圆 1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|•|PF2|=2 m，则该椭圆离心率的取值范围为________．15. （1分） (2016高二上·重庆期中) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和平面ABCD所成的角的度数为________．16. （1分）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分） (2017高二上·海淀期中) 如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，．（I）求证：平面．（II）求证：平面．（III）求四面体的体积．18. （15分） (2016高一下·福州期中) 某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．19. （15分） (2015高三上·务川期中) 已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．20. （10分）(2017·内江模拟) 如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（1）求证：GH∥平面ADPE；（2） M是线段PC上一点，且PM= ，求二面角C﹣EF﹣M的余弦值．21. （10分）(2017·苏州模拟) 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx （x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1 ， B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22. （10分）(2020·许昌模拟) 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数图象过点，求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

河北省石家庄市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若x是纯虚数，y是实数，且2x﹣1+i=y﹣（3﹣y）i，则x+y等于（）A . 1+ iB . ﹣1+ iC . 1﹣ iD . ﹣1﹣ i2. （2分）二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x 在[0，2π]内的值为（）A . 或B . 或C . 或D . 或3. （2分）已知随机变量ξ：B（10，0.04），随机变量ξ的数学期望E（ξ）=（）A . 0.2B . 0.4C . 2D . 44. （2分）将5名实习老师全部分配到高三年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）A . 30种B . 90种C . 180种D . 270种5. （2分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程x2+ax+b=0没有实根B . 方程x2+ax+b=0至多有一个实根C . 方程x2+ax+b=0至多有两个实根D . 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根6. （2分） (2018高二下·重庆期中) 通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015则有（）以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，附表及公式0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828（）A . 90%B . 95%C . 99%D . 99.9%7. （2分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A . (,0)B . (,0)C . (,0)D . (,0)8. （2分）的展开式中常数项为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·信阳期末) 设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）B . （﹣1，0）∪（1，+∞）C . （﹣1，0）∪（0，1）D . （0，1）∪（1，+∞）10. （2分）下面说法中正确的是（）A . 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值B . 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平C . 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平D . 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值11. （2分）若X～N（﹣1，62），且P（﹣3≤X≤﹣1）=0.4，则P（X≥1）等于（）A . 0.1B . 0.2C . 0.3D . 0.412. （2分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段总有公共点，则斜率k的取值范围为（）A . [﹣1，1]B . （﹣1，1）C . （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2020·重庆模拟) 甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为________.14. （1分）如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量 4.543 2.5由散点可知，用水量y与月份x之间由较好的线性相关关系，其线性回归方程是 =0.7x+a，则a等于________．15. （1分） (2020·湖南模拟) 第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行。

河北省石家庄二中2019-2020学年高二数学下学期线上期中试题（含解析）一､选择题1.已知集合{}220P x x x =-≥，{}224xQ x =<≤，则P Q =（ ）A. [)0,1B. []1,2C. ()1,2D. {}2【答案】D 【解析】 【分析】 计算(][),02,P =-∞+∞，(]1,2Q =，再计算交集得到答案.【详解】{}(][)220,02,P x x x =-≥=-∞⋃+∞，{}(]2241,2xQ x =<≤=，故{}2P Q =.故选：D .【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2.设复数z 满足()12i z i -=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）B. 1i -C. 1i +D. 1i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则直接计算得到答案. 【详解】()12i z i -=，则()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+. 故选：D .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.若函数()y f x =的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，值域为{|120}y y y ，-≤≤≠，则()y f x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域，以及函数的图象之间的关系，分别进行判定，即可求解，得到答案．【详解】由题意，对于A 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确；对于B 中，函数的定义域和值域都满足条件，所以是正确的；对于C 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确；对于D 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确；【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，其中解答中熟记函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，逐项进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.设()f x 是可导函数，且满足()()211lim 22x f x f x∆→∆+-=-∆，则()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A. 4- B. 4C. 2D. 2-【答案】D 【解析】根据导数定义得到()()()'0211lim122x f x f f x∆→∆+-==-∆，得到答案.【详解】()()()'0211lim 122x f x f f x∆→∆+-==-∆，故()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为2-. 故选：D .【点睛】本题考查了导数的定义，切线斜率，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.()f x =[]1,1a a -+，0.22b =，2log 0.2c =，则（ ）A c a b <<B. b c a <<C. a b c <<D.b ac <<【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域计算得到1a =，0.20221b =>=，22log 0.2log 10c =<=，得到答案.【详解】()f x =220x x -≥，即02x ≤≤，故1a =，0.20221b =>=，22log 0.2log 10c =<=，故c a b <<.故选：A .【点睛】本题考查了函数定义域，指数对数函数的单调性比较大小，意在考查学生对于函数知识的综合应用.6.设函数()y f x =在R 上有意义，对给定实数N ，定义函数()()()(),,N f x f x Nf x N f x N ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()N f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数()22f x x =-，1N =-，则()N y f x =的值域为（ ）A. []1,2B. []1,2-C. (],1-∞D. (],1-∞-【答案】D 【解析】计算得到()()(212,1,x x f x x -⎧-∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩，分别计算分段函数值域得到答案.【详解】根据题意：()()(212,1,x x f x x -⎧-∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩，故当()3,x ⎡∈-∞+∞⎣，()221N f x x=-≤-，当(x ∈，()1N f x =-，故函数值域为(],1-∞-. 故选：D .【点睛】本题考查了分段函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.若函数()331f x x ax b =-++的极大值为7，极小值为3，则()f x 的单调递减区间是（ ） A. ()0,2 B. ()1,1-C. ()1,0-D. ()2,1--【答案】B 【解析】 【分析】求导得到()2'33fx x a =-，得到单调区间，故极大值为(f ，极小值为f，计算得到答案.【详解】()331f x x ax b =-++，则()2'33f x x a =-，函数有极大值极小值，故0a >.取()2'330f xx a =-=得到x=函数在(-∞上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，故极大值为((3317f b =++=，极小值为3313f b =-+=，解得1a =，4b =.故单调区间为()1,1-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数的极值，函数单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 利用排除法：由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当2x π=时，22sin12021142f ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭，选项B 错误， 本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9.定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数为()f x '满足()2f x x '>恒成立，则不等式()()()2222f x x f x x -+<+-的解集为（ ）A. ()2,+∞B. ()1,+∞C. (),2-∞D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】设()()2g x f x x =-，判断函数单调递增，变换得到()()2g x g x -<，根据单调性解得答案.【详解】设()()2g x f x x =-，则()()''20g x fx x =->恒成立，函数单调递增.()()()2222f x x f x x -+<+-，即()()2g x g x -<，故2x x -<，即1x >.故选：B.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2g x f x x =-判断单调性是解题的关键.10.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足()()2log f x x =--，0x <，若函数()y f x a =-有两个零点，其中01a <<，分别记为()1212,x x x x <，则124x x +的取值范围是（ ） A. [)4,5 B. ()4,5C. 52,2⎛⎤⎥⎝⎦D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】计算当0x >时，()2log f x x =，画出函数图像，根据图像得到121122x x <<<<，121=x x ，1211144x x x x +=+，根据函数14y x x=+的单调性得到答案. 【详解】当0x >时，0x -<，故()()2log f x f x x =--=，即()()22log ,00,0log ,0x x f x x x x ⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩，()0y f x a =-=，即()f x a =，01a <<，根据图像知：121122x x <<<<，且12ln ln x x ，则121=x x ，1211144x x x x +=+，函数14y x x=+1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()11144,5x x +∈. 故选：B.【点睛】本题考查了求零点范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11.已知函数()()22,02,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A. ()()320192f f -+=-B. ()f x 在区间[]4,5上是增函数C. 若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D. 若函数()y f x b =-在(),4-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则61i i x =∑=6【答案】ABCD 【解析】 【分析】0x ≥时，()()2f x f x =-，函数为周期为2的周期函数，画出函数图像，根据函数图像依次判断每个选项得到答案.【详解】当[)0,2x ∈时，20x -<，故()()()()2222222f x f x x x x x =-=----=-+，当0x ≥时，()()2f x f x =-，函数为周期为2的周期函数，画出函数图像，如图所示：()()()()3201931312f f f f -+=-+-=-+=-，A 正确；函数在[]4,5上单调递增，B 正确；函数1y kx =+过定点()0,1，根据图像知：直线1y kx =+与x 轴的交点在()2,4之间，故11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，C 正确；根据图像知，不妨设123456x x x x x x <<<<<，则122x x +=-，342x x +=，566x x +=， 故61i i x =∑=6，D 正确.故选：ABCD .【点睛】本题考查了函数的周期，分段函数，函数的零点问题，函数单调性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =，下列命题为真命题的是（ ）A. ()()()F x f x g x =-在32⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减 B. ()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4- C. ()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,0- D. ()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”2y ex e =- 【答案】ABCD 【解析】 【分析】求导得到()3221'x F x x +=得到单调区间得到A 正确，根据题意得到240k b ∆=+≤，240b k ∆=+≤，计算得到BC 正确，fh e ==，计算公切线为y e =-，再验证得到D 正确，得到答案.【详解】()()()21F x f x g x x x =-=-，则()322121'20x F x x x x +=+=<，解得x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，A 正确；()2f x x kx b =≥+，故240k b ∆=+≤，易知0b ≤；()1g x kx b x=≤+，故210kx bx +-≤，0k =，0b =时成立，k 0<时，240b k ∆=+≤， 故0k ≤，且240b k ∆=+≤，故421664k b k ≤≤-，解得4k ≥-，故[]4,0k ∈-，同理可得[]4,0b ∈-，故BC 正确；fh e ==，故若存在，则一定为在)e 处的公切线，()'2f x x =，故'f =，()2'eh x x=，'h =，故公切线方程为：y e =-，现证明满足：设()2x x e K =-+，则()'2K x x =-，函数在(-∞上单调递减，在)+∞上单调递增，故()min 0K x K ==，故2x e ≥-恒成立，设()ln 2H x e x e =-+，则())2'x e H x x x-==，函数在(-∞上单调递增，在)+∞上单调递减，故()max 0H x H ==，故2ln e x e ≤-，故D 正确.故选：ABCD .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二､填空题13.若复数z 满足243z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z =______. 【答案】52i +【解析】 【分析】计算2435z i i -=+=，化简得到答案. 【详解】2435z i i -=+=，故52z i =+. 故答案为：52i +.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 14.已知集合(){}22,1A x y xy =+=，(){},B x y y x ==，则A B =______.【答案】,,2222⎧⎫⎛⎛⎪⎪-- ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭【解析】 【分析】解方程组221x y x y⎧+=⎨=⎩得到答案.【详解】221x y x y⎧+=⎨=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故,,2222A B ⎧⎫⎛⎛⎪⎪=--⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭. 故答案为：,,2222⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭. 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =+，若()()22f a f a -<，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()1,2- 【解析】 【分析】计算得到函数解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，画出函数图像，根据图像得到函数单调递增，故22a a -<，解得答案.【详解】当0x <时，0x ->，()()22f x f x x x =--=-+，故()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数单调递增，()()22f a f a -<，即22a a -<，解得1a 2-<<.故答案为：()1,2-.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.16.设()ln f x x =，若函数()()h x f x ax =-在区间()0,8上有三个零点，则实数a 的取值范围______. 【答案】3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】()f x ax =，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点()8,ln8的斜率，根据图像得到答案.【详解】()()0h x f x ax =-=，故()f x ax =，画出图像，如图所示：当直线与函数相切时，设切点为()00,x y ，此时()ln f x x =，()1'f x x=，故01a x =，00y ax =，00ln y x =，解得0x e =，01y =，1a e=； 当直线过点()8,ln8时，斜率为3ln 28k =，故3ln 218a e<<. 故答案为：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三､解答题17.已知集合(){}2log 33A x x =+≤，{}213B x m x m =-<≤+. （1）若2m =-，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}31A B x x ⋂=-<≤；（2）[][)1,24,m ∈-+∞【解析】 【分析】（1）计算{}35A x x =-<≤，{}51B x x =-<≤，再计算交集得到答案. （2）A B A ⋃=，故B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，计算得到答案.【详解】（1）(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤，{}51B x x =-<≤， 故{}31A B x x ⋂=-<≤.（2）{}35A x x =-<≤，A B A ⋃=，故B A ⊆， 当B =∅时，213m m -≥+，解得4m ≥； 当B ≠∅时，4m <，故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤.综上所述：[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.已知函数()3255f x x ax x =--+(a 为常数)在点()()1,1f 处的切线斜率为4-.（1）求实数a 的值以及此切线方程； （2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值. 【答案】（1）1a =，440x y +-=；（2）8 【解析】 【分析】（1）求导得到()2'325f x x ax =--，()'14f =-，解得1a =，再计算切线方程得到答案.（2）求导得到单调区间，计算()()(){}max max 1,3f x f f =-，得到答案.【详解】（1）()3255f x x ax x =--+，则()2'325f x x ax =--，()'13254f a =--=-，故1a =，()10f =，故切线方程为：()41y x =--，即440x y +-=. （2）()3255f x x x x =--+，故()()()2'325135f x x x x x =--=+-，故函数在[]3,1--上单调递增，在51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.()()(){}{}max max 1,3max 8,88f x f f =-==，故当1x =-或3x =时函数有最大值为8.【点睛】本题考查了函数的 切线和最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 19.已知函数f （x ）=（log 2x ﹣2）（log 4x ﹣）． （1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f （x ）≤mlog 2x 对于x∈[4，16]恒成立，求m 得取值范围．【答案】（1）[﹣，1]；（2）m≥． 【解析】试题分析：（1）利用换元法令t=log 2x ，t∈[0，2]，得f （t ）=（t ﹣2）（t ﹣），利用二次函数性质可得f （0）≥f（t ）≥f（）， 进而求出值域；（2）由（1）可整理不等式为t+﹣3≤2m 恒成立，只需求出左式的最大值即可，利用构造函数g （t ）=t+，知在（，+∞）上递增，求出最大值．解：令t=log 2x ，t∈[0，2]， ∴f（t ）=（t ﹣2）（t ﹣） =（t ﹣2）（t ﹣1）， ∴f（0）≥f（t ）≥f（）， ∴﹣≤f（t ）≤1， 故该函数的值域为[﹣，1]； （2）x∈[4，16]， ∴t∈[2，4]，∴（t ﹣2）（t ﹣1）≤mt， ∴t+﹣3≤2m 恒成立， 令g （t ）=t+，知在（，+∞）上递增，∴g（t ）≤g（4）=， ∴﹣3≤2m， ∴m≥．考点：函数恒成立问题．20.已知函数()122x x b f x a+-+=+是定义域为R 的奇函数.（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()2220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2a =，1b =；（2）112k <- 【解析】 【分析】 （1）根据()1002bf a-+==+和()()f x f x =--，代入计算得到答案. （2）()11221x f x =-++，确定函数单调递减，故221133612k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】（1）()122x x bf x a+-+=+，函数为奇函数，故()1002b f a -+==+，则1b =， ()1212x x f x a +-+=+，()12112222x xx xf x a a --+-+-+-==++⋅，()()f x f x =--，故2a =. （2）()1211122221x x xf x +-+=-+++=，根据复合函数单调性知函数单调递减， ()()2220f t t f t k -+-<，即()()222f t t f t k -<-+，故222t t t k ->-+，即221133612k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭，故112k <-.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，利用单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用.21.已知函数()21ln 2f x a x x =-，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在[]1,e 上恒小于0，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，函数单调递减，当0a >时，函数在(上单调递增，在)+∞上单调递减；（2）a e < 【解析】 【分析】（1）求导得到()2'x af x x-+=，讨论0a ≤和0a >两种情况，计算得到答案.（2）讨论0a ≤，01a <≤，21a e <<，2a e ≥四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案.【详解】（1）()21ln 2f x a x x =-，则()2'a x af x x x x-+=-=，0x >，当0a ≤时，()2'0x af x x-+=<恒成立，函数单调递减； 当0a >时，()('x x f x x+-=-，函数在(上单调递增，在)+∞上单调递减.综上所述：当0a ≤时，函数单调递减；当0a >时，函数在(上单调递增，在)+∞上单调递减.（2）当0a ≤时，函数单调递减，故()()max 1102f x f ==-<恒成立，故0a ≤； 当0a >时，1≤，即01a <≤，函数在[]1,e 上单调递减，故()()max 1102f x f ==-<，成立，故01a <≤；若1e <<，即21a e <<，函数在⎡⎣上单调递增，在e ⎤⎦上单调递减，故()max ln 02af x fa ==<，解得0a e <<，故1a e <<；e ≥，即2a e ≥，函数在[]1,e 上单调递增，故()()2max 02e f x f e a ==-<，故22e a <， 故无解.综上所述：a e <.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.22.已知函数()2ln f x x a x =++，其中0a >.（1）若()f x 的图象与直线22y x =+有唯一交点，求a 的值； （2）若对任意(]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()1212112020f x f x x x -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）a e =；（2）02019a <≤ 【解析】 【分析】（1）化简得到ln a x x =，设()ln xh x x=，求导得到单调性，画出函数图像，根据图像得到答案.（2）()f x 单调递增，不妨设1201x x <<≤，化简得到()()212120202020f x f x x x +<+，故函数()()2020g x f x x=+(]0,1上单调递减，计算得到答案.【详解】（1）()2ln 22f x x a x x =++=+，即ln a x x =，当1x =时不成立，故1x ≠，ln x a x=，设()ln x h x x =，则()()2ln 1'ln x h x x -=，故函数0,1上单调递减，在()1,e 上单调减，在[),e +∞上单调递增，且()h e e =，画出函数图像，如图所示：根据图像知a e =. （2）()10af x x'=+>恒成立，故函数单调递增，不妨设1201x x <<≤， 则()()1212112020f x f x x x -<-，即()()2112112020f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 即()()212120202020f x f x x x +<+，故函数()()2020g x f x x=+在(]0,1上单调递减.()()2220202020''10a g x f x x x x =-=+-≤，故2020a x x≤-， 2020y x x=-在(]0,1上单调递减.故min 2019y =，故02019a <≤.【点睛】本题考查了根据切线求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科）注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 .2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 写在本试卷上无效 .3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 .4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .第 I 卷( 选择题 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合A. B.M={5， 6， 7 }C.， N={5， 7， 8 }D.，则2.若 F(5 ，0) 是双曲线(m 是常数）的一个焦点，则 m的值为3.已知函数 f(x) ，g(x) 分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44.的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605.的值为A. 1B.C.D.6.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要的条件7.—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8.从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059.程序框图如右图，若输出的 s 值为位，则 n 的值为A. 3B. 4C. 5D. 610.已知a是实数，则函数_的图象不可能是11.已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线 l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域的概率为 P. 则下列结论正确的是A. 不论边长 AB， CD如何变化， P 为定值；B.若- 的值越大， P 越大；C. 当且仅当 AB=CD时， P 最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.M12.设不等式组表示的平面区域为D n a n表示区域 D n中整点的个数 ( 其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第 II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题? 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题?第 24 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.复数（i为虚数单位 ) 是纯虚数，则实数 a 的值为 _________.14.在ABC 中，，，则 BC 的长度为 ________.15.己知 F1 F 2是椭圆（ a>b>0) 的两个焦点，若椭圆上存在一点P 使得，则椭圆的离心率 e 的取值范围为 ________.16.在平行四边形 ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中 ABCD-A 1 B1 C1 D1中有=________三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.( 本小题满分 12 分）已知 S n是等比数列 {a n} 的前 n 项和， S4、S10、S7成等差数列 .(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18.( 本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出 . 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过 a 的部分按照平价收费，超过 a的部分按照议价收费）. 为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 ( 单位 :t) ，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准 &则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III) 若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量 ( 看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II) 中最低标准的人数为x，求x 的分布列和均值 .19.( 本小题满分 12 分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1交于AB=1，， D 为AA1中点， BD与点0，C0丄侧面 ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20.( 本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1 ，定点 F(0 ，1) ，过平面内动点 P 作 PQ丄 l 于 Q点，且?(I )求动点P的轨迹E的方程；P 的纵坐标(II)过点P作圆的两条切线，分别交x 轴于点 B、 C，当点y0>4 时，试用 y0表示线段 BC的长，并求PBC面积的最小值 .21.( 本小题满分 12 分）已知函数( A, B R， e 为自然对数的底数），.(I )当 b=2 时，若存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(II)当a>0时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过C1于点，求证.线段PQ的中点作 x 轴的垂线交请考生在第 22? 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.( 本小题满分 10 分) 选修 4-1 几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交 CE 于 D 点，，BE2=DE-EC.( I ) 求证 :；( I I ) 求证： A、E、B、 C 四点共圆 .23.( 本小题满分 10 分) 选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为：（为参数）；射线C2的极坐标方程为：, 且射线 C2与曲线 C1的交点的横坐标为(I )求曲线C1的普通方程；(II)设 A、 B为曲线 C1与 y 轴的两个交点， M为曲线 C1上不同于 A、 B 的任意一点，若直线 AM与 MB分别与 x 轴交于 P,Q 两点，求证 |OP|.|OQ| 为定值 .24.( 本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲设函数(I) 画出函数(II)若不等式，的图象；恒成立，求实数 a 的取值范围.2020 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学 ( 理科答案 )一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.114. 1 或 215.1,116. 24( AB 2AD 2AA12 ) .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ） 当 q 1 ， 2S 10 S 4 S 7所以 q1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..2 分2a 1 1 q 10a (1 q 4 ) a 1 1 q 7由2S 10S 4 S 7 , 得11 q1 q 1 qQ a 10, q 1 2q 10q 4 q 7， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .4 分2a 1 q 8 a 1q 2 a 1q 5 ，2a 9a 3 a 6 ，所以 a 3, a 9, a 6 成等差数列 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( Ⅱ ) 依 意 数列a n 3的前 n 的 T n ,T n = a 13 a 23 a 33 K a n 313 q 3 ( q 2 )3 K ( q n 1 )3 = q 3 (q 3 )2 K (q 3 )n 1 (q 3 )1 2 3K (n 1) =( q 3)n(n 1)2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又由（Ⅰ）得 2q 10q 4 q 7 ，2q6q31 0 ，解得 q31(舍）,q31. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分21n n 12所以 T n2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .12 分18. 解: （Ⅰ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（Ⅱ）月均用水量的最低 准 定 2.5 吨 . 本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位，占 本 体的 20%，由 本估 体，要保 80%的居民每月的用水量不 超 出 准 ， 月 均 用 水 量 的 最 低 准 定 2.5 吨 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅲ）依 意可知, 居民月均用水量不超 （Ⅱ）中最低 准的概率是4，X ~ B(3, 4) ，55P( X 0) (1)31 P( X 1) C 314 (1) 2 12 5 1255 5125P( X 2) C 32 (4 )2( 1 ) 48 P( X 3) ( 4 )364⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5 51255125分布列X0 12 3 P1 12 48 64125 125125 125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分E( X ) 3412⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分5519. 解：（Ⅰ）因 ABB 1A 1 是矩形，D AA 1 中点， AB1 ， AA 12 ，AD 2 ,2所 以 在 直 角 三 角 形 ABB 1中 , tan AB 1 BAB 2BB 1 ,2 在 直 角三 角 形 ABD 中 , tan ABDAD 2AB 1 2 ,所以 AB 1 B = ABD ,又 BAB 1AB 1 B 90o ，BAB 1ABD90o ，所以在直角三角形 ABO 中，故 BOA 90o ，即 BDAB 1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分又因 CO 侧面 ABB 1 A 1 ， AB 1 侧面 ABB 1 A 1 , 所以 CO AB 1 所以， AB 1面 BCD , BC 面 BCD ,故 BC AB 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ） 解法一：如 ，由（Ⅰ）可知，OA, OB, OC 两两垂直，分 以 OA, OB, OC x 、 y 、 z 建立空 直角坐 系 O xyz .在RtVABD中 ， 可求得OB6, OD6 , OC OA3 ，363在 RtVABB 1 中，可求得 OB 12 3 ，3故D 0,6,0 , B 0,6,0, C 0,0,3 ,633B 12 3,0,03uuur6,0 uuur6 , 3uuur 2 3 , 6,0所以 BD0,, BC0, , BB 123 333uuuur uuur uuur 2 3 , 2 6 , 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 可得， BC 1 BC BB 13 3 3uuur uuuur平面 BDC 1 的法向量 mx, y, z ， m BD0,m BC 1 0 ，23 x 2 6 y3z 0即333，取 x 1, y0, z 2 ，6y 02m 1,0,2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又 面 BCD n 1,0,0 ， 故 cos m, n15 ，55所以，二面角C 1BD C 的余弦5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 5解法二： 接 CB 1 交 C 1B 于 E , 接 OE ，因CO侧面 ABB1 A1，所以BD OC ，又BD AB1，所以BD面 COB1，故BD OE所以EOC 二面角C1BD C 的平面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分BD6， AB13， AD AO1， OB12AB12 3 , 2BB1OB1233OC OA 1AB13，33在 RtVCOB1中， B1C OC 2OB121415，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分333又EOC OCE cos EOC OC 5 ，CB15故二面角 C1 BD C 的余弦 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分520.解：（Ⅰ） P x, y ， Q x, 1 ，uuur uuur uuur uuur∵QPgQF FP gFQ ，∴ 0, y 1 g x,2x, y 1 g x, 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分即 2 y 1x2 2 y 1 ，即x2 4 y ，所以点 P 的迹 E 的方程x2 4 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）解法一： P (x0 , y0 ), B(b,0), C(c,0)，不妨 b c ．直 PB 的方程:y y0( x b) ，化得y0 x( x0b) y y0 b0 ．x0 b又心 (0, 2) 到 PB 的距离2，2( xb)y0b2，y02(x0b)2故 4[ y02( x0 b)2 ]4( x0b)24( x0b) y0 b y02b 2，易知 y0 4 ，上式化得( y0 4) b2 4 x0 b 4 y00 ，同理有 ( y04)c24x0c 4 y0 0 ．⋯⋯⋯⋯ 6 分所以b c4x0 ，bc 4 y0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分y04y0 4(b c)216(x2y2 4 y)．000( y04)2因 P (x0 , y0 ) 是抛物上的点，有 x02 4 y0，(b c)216y02，b c4y04．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分( y04)2y0所以 S PBC 1(b c)y0 2 y0y02[( y04)168] 2y04y044 16832 ．当 ( y04) 216 ，上式取等号，此x042, y0 8 ．因此 S PBC的最小32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分解法二： P(x0 , y0 ) ,y0x02， PB 、 PC 的斜率分k1、k2，4PB ：y x02k1 ( x x0 ) ，令 y0得x B x0x02，同理得 x C x0x02；44k14k2所以 | BC | | x B x C| |x02x02|x02|k1k2 | ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6分4k24k14k1 k2下面求 | k1k2 | ,k1 k22| k1 x0 2x02|由 (0, 2) 到PB ：y x0k1( x x0 ) 的距离2，得4 2 ，4k121因 y0 4 ，所以 x0216 ，化得 ( x024)k12x0(4x02)k1( x02)2x020 ，24同理得 ( x024)k22x0(4x02)k2( x02)2x020 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分24所以 k1、 k2是 ( x024) k 2x0(4x02) k( x02) 2x020 的两个根.24x 0 x 024)x 2)22 2 x 021)(2 ( 0 x 0x 0 (所以 k 1k 2,k 1k 2 416 ,x 024x 02 4x 024| k 1 k 2 |(k 1 k2 ) 24k 1k 2x 02， |k 1 k 2 |1，x 024k 1k 2x 02116| xx|x 02|k1k2 |x 02 1 y1 4 y 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分BC4k 1k 24 x 021y 0 1 y 0 4164所以 S PBC1| BC | y 02 y 0 y 0 2[( y 0 4)16 48]2y 0 4y 04 16832 ．当 ( y 0 4) 2 16 ，上式取等号，此 x 0 4 2, y 0 8 ．因此 S PBC 的最小 32． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21. 解 : （Ⅰ）当 b2 ，若 F (x)f ( x) g( x)ae 2 x 2e x x ，F (x) 2ae 2 x2e x 1 ，原命 等价于 F (x)2ae 2x2e x 1⋯0 在 R 上有解．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分法一：当 a ⋯0 ， 然成立；当 a0 ， F ( x)2ae 2x 2e x1 2a(e x1 )2 (1 1 )1 12a 2a∴ (10 ，即 a 0 ．)22a 合所述a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2法二：等价于 a1 ( 1)2 1 在 R 上有解，即2 e xe x∴ a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2，x 2x1（Ⅱ） P( x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) ，不妨 x 1x 2x 0 ，2ae2x2bex2x 2 ， ae2 x 1bex1x 1 ，两式相减得： a(e 2 x 2 e 2 x 1) b(e x 2e x 1 ) x 2 x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分整理得x 2 x 1x 2 x 1 a(e x 2e x 1)(e x 2e x 1)b(e x 2 e x 1 )⋯ a(e x 2e x 1 )g2e 2b(e x 2e x 1)x2x 2 x 1x 1⋯2ae 2b ，于是ex2ex1x 2x 1x 2 x 1xx 1x 2 x 1f ( x 0 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分e 2⋯2ae2 be 2xxe 2e 1x 2x 1x 2 x 1x 2x 1x 2 x 1而e2e2xe xx x1e21e 2 1tt令 txx 0 ， G (t)e 2 e 22 1ttttG (t ) 1 e 2 1 e 2 1 12e 2 e 22 2 2t ，1 0 ，∴y G (t) 在 (0,) 上 增，ttttG(t)e 2 e 2t G(0) 0 ，于是有 e 2e 2t ，t即 e t 1 te 2 ，且 e t1 0 ，t t∴e21，e t 1即 f ( x 0 ) 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分考生在第 22～ 24 三 中任 一 做答，如果多做， 按所做的第一 分22． 修 4-1几何 明明： ( Ⅰ) 依 意，DEBE ， 11 ，BEEC所以 DEB : BEC , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 得 3 4,因 4 5 ,所以 35 , 又 26 ，可得 EBD :( Ⅱ) 因ACD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分因 EBD : ACD ，所以EDBD , 即 ED AD , 又 ADECDB , ADE : CDB ,AD CD BD CD所以 48 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因 1231800 ，因 2 78 ，即 274 ，由 ( Ⅰ ) 知 35 ，所以1745 180 0 ,即 ACBAEB 1800 ,所以 A 、 E 、 B 、 C 四点共 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 23． 修 4-4 ：坐 系与参数方程2x2解： ( Ⅰ) 曲 C 1 的普通方程 2y 1 ，射 C 2 的直角坐 方程 yx( x 0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分可知它 的交点6 , 6 ，代入曲 C 1 的普通方程可求得 a 2 2 .3 32所以曲 C 1 的普通方程xy 2 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2( Ⅱ) | OP | | OQ | 定 .由 ( Ⅰ ) 可知曲 C 1 ，不妨AC 1 的上 点，M (2 cos ,sin ) , P(x P ,0) ， Q ( x Q ,0) ,因 直 MA 与 MB 分 与 x 交于 P 、 Q 两点，所以 K AMK AP , K BM K BQ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由斜率公式并 算得x P12 cos， x Q 2 cos, sin1sin所以 | OP | |OQ | x P x Q2. 可得| OP | | OQ |定 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分24.修 4-5 ：不等式解 : ( Ⅰ) 由于 f ( x)3x7,x 2,⋯⋯⋯⋯ 2 分3x5x 2.函数的象如所示 : （略）⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分( Ⅱ) 由函数y f ( x) 与函数y ax 的象可知 ,当且当1a 3, 函数 y ax 的象与函数y f ( x)象没有交2点, ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分所以不等式 f (x) ax 恒成立,a 的取范1 ,3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2。

石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。

河北省石家庄市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）复数（是虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A .B .C .D .2. （2分）一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A . A与B是互斥而非对立事件B . A与B是对立事件C . B与C是互斥而非对立事件D . B与C是对立事件3. （2分）如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A . 32 34 32B . 33 45 35C . 34 45 32D . 33 36 354. （2分） (2017高二下·成都期中) 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x （万元）8.28.610.011.311.9支出 y （万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程 = x+ ，其中 =0.76， =y﹣ x，据此估计，该社区一户收入为 14 万元家庭年支出为（）A . 11.04 万元B . 11.08 万元C . 12.12 万元D . 12.02 万元5. （2分）下面使用类比推理正确的是（）A . “若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”B . “若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a·b)c=ac·bc”C . “若(a+b)c=ac+bc”类推出“(c≠0)”D . “(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”6. （2分）所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电. 属于哪种推理？（）A . 演绎推理B . 类比推理C . 合情推理D . 归纳推理7. （2分） (2016高二下·银川期中) 对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）A . 92%B . 24%C . 56%D . 5.6%8. （2分） (2016高一下·连江期中) 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．此人停留期间空气质量优良的天数只有1天的概率（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·安徽期中) 某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A . 35种B . 24种C . 18种D . 9种10. （2分） (2016高二下·河南期中) 按照图1﹣﹣图3的规律，第10个图中圆点的个数为（）个．A . 40B . 36C . 44D . 5211. （2分） (2016高一下·江门期中) 若b<a<0，则下列结论不正确的是（）A .B .C .D .12. （2分）已知直线，是平面，给出下列命题：（1）若,则；②若,则；③若,则；④若a与b异面，且，则b与相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a ，b都垂直.其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·盐城期中) 若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=________．14. （1分）(2018·内江模拟) 的展开式中，的系数是________.（用数字作答）15. （1分）向面积为S的三角形△ABC内投一点P，则的面积小于的概率是________．16. （1分） (2018高二下·泰州月考) 气象台统计, 6月1日泰州市下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为 ,设为下雨, 为刮风,则 ________．三、解答题： (共5题；共50分)17. （10分）(2017·张掖模拟) 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65]支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否95%的把握认为以45岁为界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828．18. （5分）某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i（i=1，2，3）次射击时击中目标得4﹣i分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19. （10分）已知数列满足 .（1）写出，，，并推测的表达式.（2）用数学归纳法证明所得的结论.20. （15分） (2017高二上·湖北期末) 甲、乙、丙三人投篮的水平都比较稳定，若三人各自独立地进行一次投篮测试，则甲投中而乙不投中的概率为，乙投中而丙不投中的概率为，甲、丙两人都投中的概率为．（1）分别求甲、乙、丙三人各自投篮一次投中的概率；（2）若丙连续投篮5次，求恰有2次投中的概率；（3）若丙连续投篮3次，每次投篮，投中得2分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外1次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为丙连续投篮3次后的总得分，求ξ的分布列和期望．21. （10分） (2015高二下·营口期中) 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球．乙箱子里装有1个白球、2个黑球．每次游戏从这两个箱子里随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏结束后，①摸出3个白球的概率？②获奖的概率？（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共5题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。