圆锥曲线3

二,直线与圆锥曲线： 例2：P59，例2 直线与圆x2 y2 4交于A、B两点，与双曲 线x2 y2 1交于C、D两点，若线段AB为线 段CD的三等分时，求直线l的方程。
变1：已知直线l1、l2是过定点P(- 2,0)的两条互相垂直的 直线，且l1、l2与双曲线y2 x2 1各有两个交点，分别 为A1、B1和A2、B2，（1）求直线l1的斜率k1的取值范围； （2）若 | A1B1 | 5 | A2B2 |,求l1、l2的方程。
一,圆锥曲线定义的应用：
1、椭圆
x a
2 2

y2 b2
1(a
b
0)上有一动点P，OP
PA
（O为坐标原点，A为长轴的一个端点），求椭圆的
离心率的取值范围。
y
P
x
Oห้องสมุดไป่ตู้
A
年7月飞抵目的地与土星会合，进入环绕土星运行的轨道。同年月，惠更斯号着陆器将脱离卡西尼号探测器飞向土卫六，穿过其云层，在土卫六上软着陆，然 后将探测到的数据通过环土飞行的卡西尼号轨道器传回地球。卡西尼号进入环土星轨道后的任务是：环土星飞行7圈，就地考察土星大气、大气环流动态，并 多次飞临土星的多颗卫星，其中飞掠土卫六近旁次，用雷达透过其云气层绘制土卫六表面结构图，预计可发回近距离探测土星、土星环和土卫家族的图像万 帧。惠更斯号将成为第一个在一颗大行星的卫星上着陆的探测器。它将在.小时的降落过程中，用所带仪器分析土卫六的大气成分，测量风速和探测大气层内 的悬浮粒子，并在着陆后维持工作状态小时，揭示土卫六上是否有水冰冻结的海洋和是否存在某种形态的生命。它所收集到的数据和拍摄的图像通过卡西尼 号探测器传回地球。卡西尼-惠更斯号已在年7月日到达土星，并且开始使用雷达测量土卫六表面地形的工作；卡西尼探测器在年月日飞跃到土卫六上方并且 拍摂下很多高分辨率的土；中华财经行情 中华财经行情 ；卫六表面图像，展现了人眼从来没有见过的明暗斑块。卡西尼号在年 月日圣诞节释放出了惠更斯号，惠更斯号在年月日进入土卫六大气层进行详细探测。惠更斯号探测器可在土卫六的大气中烧毁前将相关数据发回。惠更斯号 探测器在年月日登陆土卫六。7年月，卡西尼轨道探测器在靠近土卫六的第8次飞行中看到“安大略卫星湖”,但当时还不能确认其为液态。随着“安大略卫星 湖”的突破性发现,专家认为,土卫六其他地区众多与“安大略卫星湖”相似的“坑”也可能是湖泊。9年月美国宇航局证实，土卫六“泰坦”地表上存在着液 体。“卡西尼号”太空探测器捕捉到由土卫六表面湖泊所反射的太阳光线。这一发现，证实了土卫六表面存在液体的说法。科学家们由此认为，土卫六表面 一些地区应该分布着许多大型湖泊状盆地，就是在这些地区存在液体。土卫六是土星最大的卫星，与地球有许多相似之处，也正是这一点引起了科学家们的 极大兴趣。近年来，科学家们已经建立了关于土卫六的完整理论。他们认为，土卫六表面存在液烃(NGLs)海洋或湖泊。土卫六也被认为是太阳系中除地球之 外唯一存在液体的行星状天体。虽然“卡西尼号”传回的数据并不能证明其表面存在巨大的海洋，但是它却明显透露了这样一讯息，即土卫六两极附近地区 存在大型湖泊。自从“卡西尼”号探测器在年开始环绕土卫六运转后，科学家们一直在寻找“镜面反射”现象。但是，土卫六的北半球一直处在冬季的黑暗 之中，而科学家们认为北半球的湖泊比南半球

圆锥曲线的性质与结论知识讲解一、直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系 位置关系：相交、相切、相离．判定条件：设直线l ：0Ax By C ++=，椭圆方程C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．24b ac ∆=-，0∆>⇔相交，直线与椭圆有两个交点； 0∆<⇔相离，直线与椭圆无交点； 0∆=⇔相切，直线与椭圆有一个交点．2.直线与双曲线的位置关系位置关系：相交、相切、相离；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切； 判定条件：设直线l ：0Ax By C ++=，双曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=． 若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交，直线与双曲线有两个交点； 0∆<⇔相离，直线与双曲线无交点； 0∆=⇔相切．直线与双曲线有一个交点．若0a =，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点，l 与双曲线的渐近线平行．3.直线与抛物线的位置关系位置关系：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切； 判定条件：设直线l ：0Ax By C ++=，抛物线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=． 若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交； 0∆<⇔相离； 0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点，l 与抛物线的对称轴平行．4.圆锥曲线的弦：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长方法：1）将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；2）如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为1212||AB x y =-=-．两根差公式：如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则12x x -==0∆>）． 注意：（1）讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（x 或y ），若消去y 得到20ax bx c ++=，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是：①二次项系数a 可能有0a =或0a ≠两种情况，只有当0a ≠，才能用∆判断根的个数；②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切．（2）在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较．（3）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．二、圆锥曲线的常用结论1.椭圆1）点P 处的切线PT 平分12PF F △在点P 处的外角.2）PT 平分12PF F △在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3）以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.5）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P、2P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b+=. 6）椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.7）椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ，2(,0)F c ，00(,)M x y ).8）AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

圆锥曲线三角形面积圆锥曲线三角形面积概述：圆锥曲线是指由一个平面直线依次与一个固定点和一条固定曲线相交所形成的曲线。

其中，圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在这些圆锥曲线中，我们可以找到许多三角形，而这些三角形的面积计算方法也有所不同。

一、椭圆1. 椭圆的定义椭圆是指平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P构成的集合。

2. 椭圆三角形面积计算方法对于任意一条椭圆弧AB，我们可以将其看作一条半径为a、焦距为c （c^2=a^2-b^2）的椭圆上弧AB。

则以焦点F1为顶点、以弧AB所在直线为底边的三角形ABC面积为：S = 1/2 * BC * AF1 = 1/2 * b * a其中，BC为弧AB所在直线与x轴正半轴夹角余弦值，即cos(θ)，AF1为焦点F1到直线BC距离。

二、双曲线1. 双曲线的定义双曲线是指平面上到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a的所有点P构成的集合。

2. 双曲线三角形面积计算方法对于任意一条双曲线弧AB，我们可以将其看作一条半径为a、焦距为c（c^2=a^2+b^2）的双曲线上弧AB。

则以焦点F1为顶点、以弧AB所在直线为底边的三角形ABC面积为：S = 1/2 * BC * AF1 = 1/2 * b * a其中，BC为弧AB所在直线与x轴正半轴夹角余弦值，即cosh(θ)，AF1为焦点F1到直线BC距离。

三、抛物线1. 抛物线的定义抛物线是指平面上到一个固定点F和一条固定直线L距离相等的所有点P构成的集合。

2. 抛物线三角形面积计算方法对于任意一条抛物线弧AB，我们可以将其看作一条以焦点F为中心、以L轴为对称轴的抛物形上弧AB。

则以焦点F为顶点、以弧AB所在直线为底边的三角形ABC面积为：S = 2/3 * b * AF1其中，b为弧AB所在直线与L轴夹角正切值，即tan(θ)，AF1为焦点F到直线BC距离。

结论：通过以上计算方法，我们可以得出圆锥曲线三角形面积的计算公式。

高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题例1 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=√32，直线x+√3y-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑：（1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式（3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。

变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.（1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率（2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围.题型二最值问题例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）.（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值.例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）.经过点（1，√22（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值.思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解.变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .变式3 椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.（1）求椭圆C的方程（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√32，求△AOB面积的最大值.题型三定点问题例4 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（−√3，0），F2（√3，0），且经过点A（√3，12）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点B（4，0）的一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′，证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.思维总结：求圆锥曲线综合问题的一般步骤（1）求出圆锥曲线方程（一般根据待定系数法或定义法）；（2）设直线方程并于曲线方程联立，得到关于x或y的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系（或求出交点坐标）；（4）将第三步得出的关系式代入，解决范围、最值或定点、定值等问题；（5）反思回顾，考虑方程有解条件和图形的完备性.变式4 已知椭圆C：x 22+y2=1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D.（1）求四边形QAHB（O为坐标原点）的面积的取值范围；（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.题型四定值问题例5 设F1，F2为椭圆x 24+y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足M F1⊥M F2，已知△M F1F2的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设C的上顶点为H，过点（2，-1）的直线与椭圆交于R，S两点（异于H），求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.思维总结：圆锥曲线定值问题的常见类型及解题思路（1）求代数式为定值：根据题意设出条件，得到与代数式中参数相关的等式，代入代数式中，从而化简得出定值.（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得到相关的解析式，利用题设条件化简、变形得出定值.（3）求线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再根据题目中的条件对解析式进行化简、变形得出定值.变式5 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，且过点A（2，1）.（1）求C的方程；（2）点M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.题型五证明问题例6 设椭圆E：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为√22，△AB F2的周长为4√6. （1）求椭圆E的方程；（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.思维总结：圆锥曲线中证明问题常见的有以下两种：（1）位置关系：如证明直线与曲线相切，直线间的平行，垂直，直线过定点等；（2）数量关系：如存在定值，恒成立，相等等。