圆中常见的辅助线

圆中常见的辅助线LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD证明:过O作OE⊥AB于E∵O为圆心，OE⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：AC BD=证明：（一）连结OC、OD∵M、N分别是AO、BO的中点∴OM = 12AO、ON =12BO∵OA = OB ∴OM = ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD∴Rt△COM≌Rt△DON∴∠COA = ∠DOB∴AC BD=（二）连结AC、OC、OD、BD∵M、N分别是AO、BO的中点∴AC = OC BD = OD∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD=3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM 证明：连结OM、ON∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点∴OM⊥AB ON⊥CD∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o －∠OMN∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B.求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例：如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点 ∴AB BC =∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC ∴△ODC ≌△OEC∴CD = CE三.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC = PC,PB 的延长线交⊙O 于D ，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADP = 90o ∵AC = PC∴AC = CD =12AP例（2005年自贡市）如图2，P 是⊙O 的弦CB 延长线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C 。

求证：PA 是⊙O 的切线。

证明：作⊙O 的直径AD ，连BD ，则∠=∠∠=︒C D ABD ,90 即∠+∠=︒D BAD 90∴∠+∠=︒C BAD 90∵∠=∠C PAB∴∠+∠=︒BAD PAB90即AP AD⊥∴PA为⊙O的切线。

四．遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：BC CF BE EF=五.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF 交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图）六.有弦中点时，常构造三角形中位线.例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =12 AD证明：作直径CF，连结DF、BF ∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴AD BF=∴AD = BF∵OE⊥BC O为圆心 CO = FO∴CE = BE ∴OE =12 BF∴OE =12 AD七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图，△ABC内接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC = AD·AE证明：连结BE∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1∴∠3 =∠2∵四边形ACBE为圆内接四边形∴∠ACD =∠E∴△ABE∽△ADC∴AE AB AC AD=∴AB·AC = AD·AE八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证：CE∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o∴∠C＋∠D = 180o∴CE∥DF九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例1：如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.求证：PA、PB为⊙O的切线证明：连结OA∵PO为直径∴∠PAO = 90o ∴OA⊥PA∵OA为⊙O的半径∴PA为⊙O的切线同理：PB也为⊙O的切线例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE，过O作OF⊥CD于F∵OE为半径，AB为小圆的切线∴OE⊥AB∵OF⊥CD, AB = CD∴OF = OE∴CD为小圆的切线练习：如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E,求证：PE是⊙O的切线十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD 为直径的⊙O切AC于E，求AD长.解：连结OE，则OE⊥AC∵BC⊥AC ∴OE∥BC∴OE AO BC AB=在Rt△ABC中，15==∴15915 OE AB OB OEAB--==∴OE = OB = 45 8∴BD = 2OB = 45 4∴AD = AB－DB = 15－454=154答：AD的长为15 4.练习：如图，⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC = CD十一．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。

十二．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。

在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。

十三．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

十四．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。

十五．遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；②利用圆内接四边形的性质；③利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。

1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。

例1. 如图1，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 、B 分别作直线CD 、EF ，且CD∠=∠∠=∠DAB E CAB F ，∠+∠=DAB CAB 180 ∠+∠=E F 180 两相交圆的连心线 利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。

例2. ⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，两圆的半径分别为62和43，公共弦长为12。

求∠O AO 12的度数。

图2分析：公共弦AB 可位于圆心O 1、O 2同侧或异侧，要求∠O AO 12的度数，可利用角的和或差来求解。

解：当AB 位于O 1、O 2异侧时，如图2。

连结O 1、O 2，交AB 于C ，则O O AB 12⊥。

分别在Rt AO C ∆1和Rt AO C ∆2中，利用锐角三角函数可求得 ∠=∠=O AC O AC 124530 ， 故∠=∠+∠=O AO O AC O AC 121275 当AB 位于O 1、O 2同侧时，如图3图3则∠=∠-∠=O AO O AC O AC 121215 综上可知∠=O AO 1275 或15例2：已知，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦AC 切⊙O 2于A ，过B 作直线交两圆于D 、E 。

求证：DC ∥AE 。

分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得∠D=∠CAB , 由切线知∠CAB=∠E,即∠D=∠E 即得证。

练习：如图⊙O 1和⊙O 2都经过A 、B 两点。

经过点A 的直线CD 与⊙ O 1交于点C ，与⊙ O 2交于点D ；经过点B 的直线EF 于⊙ O 1交于点E ，与⊙ O 2交于点F 。

求证：CE∥DF.例、如图8，在梯形ABCD 中，以两腰 AD 、BC 分别为直径的两个圆相交于M 、N 两点， 过M 、N 的直线与梯形上、下底交于E 、F 。

求证： MN ⊥AB 。

分析：因为MN 是公共弦，若作辅助线O 1O 2，C DE M N G A BO O F 图必有MN ⊥O 1O 2，再由O 1O 2是梯形的中位线，得O 1O 2如图4，⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，A 是⊙O 1上的一点，直线AC 切⊙O 2于C ，交⊙O 1于B ，直线AP 交⊙O 2于D 。