数学分析中极限的求法总结

数学分析中极限的求法总结

第一篇：数学分析中极限的求法总结

数学分析中极限的求法总结

1.1 利用极限的定义求极限

用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：limfxA的ε-δ 定义是指：ε＞0，δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|xx0

＜δ|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放

大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ

1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1

从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0 |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.xx...xna.例：设limxna则有lim1

2nnn

xn-a于是当证明：因为limxna,对0，N1N1(),当nN1时，n2

xx...xnxx...xnna12a12 nN1nn

0

其中Ax1ax2axN1是一个定数,再由

解得n2AA，n2xx...xn2A ,故取NmaxN1,当nN12+=。n22

1.2 利用极限的四则运算性质求极限

定理[1]：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)当xx0xx0 xx0时也存在且

①limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xx0xx0xx0

②limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xx0xx0xx0

limf(x)f(x)f(x)xx

又若c0，则在xx0时也存在，且有lim.0

xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，0

一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现， 等情况，都

0

不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。

31（）例：求lim x11x31x

解：由于当x1时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等3

1x1x

于和的极限”这一法则，先可进行化简

313(1xx2)(1x)(2x)(2x)

这样得到的新函数当=

1x31x1-x3(1x)(1xx2)(1xx2)

x1时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即

31(2x)lim（）=lim=1 x11x31xx1(1xx2)

1.3 利用函数的连续性求极限

定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义区间内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数值，即

xx0

xx0

limf(x)=f(x0)。

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u(x)在x0连续且u0(x0)，yf(u)在u0处连续，则复合函数yf[(x)]在x0处也连续，从而

xxo

limfxfxo或limfxflimx。

xxo

xxo

lnsinx 例：lim

x

解：复合函数x=



在处是连续的，即有limlnsinx=lnsinln10

22x

1.4 利用无穷小的性质求极限

我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。

4x-7

例：求lim2

x1x3x2

解：当时x1，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒

4x-7x23x2

=。=0，故lim2数的极限lim

x1x1x3x24x-7 1.5 利用单调有界原理求极限

这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。

例：求

n解：令xn

xn1

n，即xn1xn，所

以数列x

n单调递增，由单调有界定理知，A，limxn1，即

A

n

n，所以

n1。2

1.6 利用夹逼准则求极限[3]

已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)；（2）limyna，limzna。

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxna。利用夹逼准则求极

n

n

n

n

限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得ynxnzn。

例：xn

...xn的极限

解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项

xn

...

xn ...



xnn

又因为n，则limxn1。

x

第二篇：极限求法

幂指型复合函数极限的公式法求解及实现 曾晓红，申云成(云南省昭通师范高等专科学校计算机科学系云南昭通657000)【摘 要】：微积分中，两个重要极限无疑是一个比较重要的内容。而常见的幂指型复合函数极限的求解方法比较复杂，针对类问题，介绍一种易于理解的求解方法，并给出求解公式，通过计算机实现求解。【关键字】：幂指型复合函数；公式解法；实现 引言 微积分是数学的一个重要分支，应用范围非常广泛，无论是 计算机科学、工程学、经济学、社会学等的研究都要用到微积分的知识。对微积分而言，极限是一个贯穿始终的重要概念,微积分的创立与发展都和对“极限”概念的认识密切相关。数学分析中，极限的定义是：设函数f(x)在点x0的某一个空心邻域内有定义，a是一个确定的数，若对任给的正数着,总存在某一个正数啄,使得当0

1、类极限求解 求解类型的极限，在高等数学中较为常见，而这类题给人的第一印象就是太繁锁，往往不知道从何下手。正确的解题思路是：利用 求解，把 向 方向变形求解。令 显然，x→∞，则有u→∞，v→∞，故：

2、类极限计算机求解 利用计算机实现上述幂指型函数极限的快速求解，并体现求解的推导过程。如图1所示，上部分是 求解过程的公式推导，下部分是通过输入参数，求解 要求输入的参数是整数。图1求解幂指型函数极限（等待输入参数）图2求解幂指型函数极限（输入参数以后）显示了输入参数后等待求解的界面。由于若要幂指函数中的系数相同，所以，输入分子中的系数后，分母中的系数自动产生。图3显示了计算后的结果。图3求解幂指型函数极限（计算结果）

3、结束语 以上程序具有一定的实际性。一方面，可以帮助学习者掌握一种与众不同的利用 公式求解 的方法；另一方面，可以通过计算机快速求解，验证手工计算结果。参考文献： 1.曾晓红.基于遗传优化和模糊推理PID及MATLAB仿真.微计算机信息.2006.12 2.华东师范大学数学系.数学分析.高等教育出版社.1980 3.李明君.对两个重要极限的再认识和应用.青岛远洋船员学院学报.2000.4 4.李照勤.关于两个重要的幂指型复合函数探讨.河北职业拉术学院学报.第5卷第1期2005.3 5.曾晓红.连续随机数的产生.福建电脑.2006年第四期 6.张洪举.VisualFoxPro6.0~9.0解决方案与范例大全.人民邮电出版社.2006.4

第三篇：浅析极限的若干求法

科技信息 ○高校讲台○ SCIENCE & TECHNOLOGY

INFORMATION

2007 年第 23 期

浅析极限的若干求法

孟金涛

(郑州航空工业管理学院数理系河南 郑州 450015)

摘要: 极限理论是高等数学的基础, 本文给出了极限的若干求法, 并用具体实例加以说明。关键词: 极限;表达式;等价无穷小

极限理论是高等数学的基础, 极限问题是高等数学中困难问题之

a +a +⋯+a

xx

x n

一。中心问题有两个: 一是证明极限的存在性, 二是求极限的值。两个 问题密切相关: 若求出了极限的值, 自然极限的存在性也就证明了。反 之, 证明了存在性, 常常也就为求极限铺平了道路。

利用定义证明极限的存在, 有一先决条件, 即事先要知道极限的 猜测值。通常情况下我们都不知道表达式的极限值, 那么如何根据表

→0

a1

+lim

x→0 +⋯+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)将根式有理化, 于是有原式为

x

解】令 t=-x,则 x→∞时, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函数在有定义的地方都连续,=sin

π

=sin项趋向于零求极限。1+

(1)利用收敛级数的通项趋向于零求极限。(2)利用收敛级数的余 2

π2lim =1。

原极限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×⋯×(n+10)例 9】求下列极限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用导数定义求极限n→∞ n

2×5×8⋯×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】设 f(x)在 x0 处可导, 求lim 0 【(2)xn=⋯+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原极限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收敛级数的性质求极限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+当 x→∞时), 所以正项级数 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收敛, 从而可得通项 xn→0(当 n→∞时)。