随机变量及其分布函数习题

1 第2章 随机变量及其分布

习题 2

1．设有函数

其它，,0,0,sin)(xxxF

试说明)(xF能否是某随机变量的分布函数。

解：

不能，易知对21xx，有：

),()(}1{}{}{12221xFxFxXPxXPxXxP

又)()(,0}{1221xFxFxXxP，因此)(xF在定义域内必为单调递增函数。

然而)(xF在),0(上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。

2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。在筐中同时取3只，以X表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X的分布列。

解：X的可能值为3，4，5，6，7。在7只篮球中任取3个共有37C种取法。

}3{X表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故3515673211)3(37CXP

}4{X表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有23C种取法，故

35356732113)4(3723CCXP。

}5{X表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有24C种取法，故

3565673212134)5(3724CCXP，

}6{X表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中

2 任取2个，共有25C种取法，故

35105673212145)6(3725CCXP，

}7{X表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有26C种取法，故

35155673212156)7(3726CCXP。

3. 设X服从)10(分布，其分布列为,)1(}{1kkppkXP ,1,0k 求X的分布函数，并作出其图形。

解：X服从（0-1）分布，其分布律为：

X 0 1

P p1 p

当0x时，0}{)(xXPXF

当10x时，pXPxXPXF1}0{}{)(

当1x时，,1)1(}1{}0{}{)(ppXPXPxXPXF

即有：

1100,1,1,0)(xxxpXF

（没有图。。。）

4．将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次所得点数之和，以Y表示两次中得到的小的点数，试分别求X与Y的分布列。

解 以21XX分别记第一次，第二次投掷时的点数，样本空间为

}6...,21;6...,21|)({2121，，，，XXXXS

个样本点共有3666

12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,221所有可能的取值为XXX

3 12)66(11)56(),65(10)46(),55(),64(9)36(),45(),54(),63(8)26(),35(),44(),53(),62(7)16(),25(),34(),43(),52(),61(6)15(),24(),33(),42(),51(5)14(),23(),32(),41(4)13(),22(),31(3)12(),21(2)11(),(21取，取，，取，，，取，，，，取，，，，，取，，，，，，取，，，，，取，，，，取，，，取，，取，分别为：易知当XXXXXXXXXXXXX

故X的分布列如下：

Y的取值为1,2,3,4,5,6

Y的分布列为：

5．试求下列分布列中的待定系数k

（1）3,2,1,4}{~..mmkmPvr

（2）3,2,1,34}{~..mkmPvrm

（3）0,,2,1,0,!}{~..mmkmPvrm为常数。

解：（1）由分布列的性质有

6114342411kkkk，

所以 。116k

（2）由分布列的性质有

kkmP2)3131(4}{121， X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 1/35 1/36

Y 1 2 3 4 5 6

P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

4 所以 21k。

或解

由

...,3,2,1,34)31(34)(1mkkmPmm所以服从几何分布，

故有

21,31134kk。

（3）由分布列的性质有

kemkmkmPmmmmm000!!}{1，

所以 ek。

6．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p失败的概率为)10(1ppq。

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布列。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）

（2）将试验进行到出现r次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布列。（此时称X服从以r,p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。以X表示他首次投中时累汁已投篮的次数，写出X的分布列，并计算X取偶数的概率。

解（1）此试验至少做一次，此即X可能值的最小值。若需做k次，则前k-1次试验均失败最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为

,...3,2,1,)1(}k{11kpppqXPkk。

（1）此试验至少做r次，若需做k次，则第k次比为成功，而前k-1次中有r-1次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为

,...1,,)11(}{rrkqprkkXPrkr。

（2）先写出X的分布律。它是题（1）中p=0.45的情形。所求的分布律为

,...2,1,)55.0(45.0}{1kkXPk。因),(}{}{kjkXjX故X取偶数的概率为311155.0155.045.0)55.0(45.0}2{)}2({211211kkkkkXPkXPU.

7．有甲、乙 两个口袋，两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放

5 入乙袋，再从乙袋任取4个球，求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数X的分布列。

解：分为以下两种情况，即从甲袋中取一球放入乙袋，取出的球为白球的概率为53，黑球为52。

（1）假设取出的是白球，乙袋此时为4白球2黑球。从中取出4球，黑球数可为0,1,2，概率如下

151)0(460244CCCXP,

158)1(461234CCCXP,

156)2(462224CCCXP.

（2）假设取出的是黑球，乙袋此时为3白球3黑球，从中取出4球，黑球数可为1,2,3.概率如下

153)1(461333CCCXP,

159)2(462323CCCXP,

153)3(463313CCCXP.

综合以上两种情况，又已知从甲袋取出为白球的概率为53，黑球是52.所以

25215352)3(25121595215653)2(25101535215853)1(25115153)0(XPXPXPXP

分布列为

X 0 1 2 3

kP 251 2510 2512 252

6 8. 设X服从 Poisson 分布，且已知}2{}1{XPXP，求}4{XP。

解：由于),(~X即X的分布律为,...,2,1,0,!}k{kekXPk

于是有,2}2{,}1{2eXPeXP由条件},2{}1{XPXP可得方程,22ee 解得0.2(舍去) 所以),2(~X于是0902.0e!42}4{2-4XP(查表)。

9．一大楼装有5套同类型的空调系统，调查表明在任一时刻t每套系统被使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2套系统被使用的概率是多少?

（2）至少有3套系统被使用的概率是多少?

（3）至多有3套系统被使用的概率是多少?

（4）至少有1套系统被使用的概率是多少？

解： 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则

)1.0,5(~bX。

（3）所求的概率为

0729.0)1.01(1.0)25(}2{32XP。

（4）所求的概率为

}5{}4{}3{}3{XPXPXPXP

54231.0)1.01(1.0)45()1.01(1.0)35(

00856.000001.000045.00081.0

（5）所求的概率为

99954.000001.000045.01}5{}4{1}3{XPXPXP

（6）所求的概率为

40951.0)1.01(1}0{1}1{5XPXP

10. 在纺织厂里一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某段时间内每个纱锭上的纱被扯断的概率是0.005,求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。

7 解：设纱被扯断的概率是P，P=0.005.用X表示在某段时间内的纱断次数，所求的概率为kkCXP800k100k800)005.01()005.0()10(，

而利用柏松定理，4,005.0,800nppn，有：

10,...,2,1,0,!4)10(kekXPk，查表得：

9972.00053.00132.00298.00595.01042.01563.01954.01954.01465.00733.00183.0P

11．一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布。求

（1）每分钟恰有7次寻呼的概率。

（2）每分钟的寻呼次数大于10的概率。

解：,...)1,0(,!4)(4kekkXPk

（1）0596.08893.09489.0!64!74)6()7(4647eeXPXP

（2）0028.09972.01!1041)10(1410eXP

12. 某商店出售某种商品,据历史记载分析,月销售量服从泊松分布，参数为5，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率满足顾客的需要。

解：设表示商品的月销售量，则由服从参数为5的泊松分布，其概率分布为

,...2,1,0,!5)(5kekkPk

由题意，应确定 m 使得,001.0}{,999.0}{mPmP或

即

001.0}{}{1mkkPmP，

查泊松分布表得 m+1=14,或 m=13，即在月初进货时，至少要库存13件此种商品。

13．确定下列函数中的待定系数a，使它们成为分布密度，并求它们的分布函数。