知识的生长点

2021年第4期中学数学教学参考(下旬)'#法新探|挖掘知识生长点，提升学生核心素养—以“角的平分线的性质”为例刘朝红（山东省沂南县教育和体育局）摘要：挖掘角平分线性质的生长点，设计螺旋式上升的探究活动，能够激发学生的学习兴趣，培养逻辑推 理能力，积累数学活动经验，提升学生数学核心素养。

关键词：角平分线；生长点；数学素养文章编号：1002-2171 (2021)4-0038-03《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简 称《课标（2011年版）》）在“教学建议”中指出：“数学 知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把 每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识 的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。

”为了更好地落实这个理论，教师教学时应充分挖掘知识的“生长点”，巧妙设计探究活动，在探究过程中让学生积极观察、思考、探索、交流，进而培养学生学习的兴趣，获取基本经验，提升数学素养。

下面笔 者以人教版教材八年级上册第十二章第3节“角的平 分线的性质”为例进行说明，与各位同行分享。

1知识引人如图1,任意作一个角Z A O B，作出Z A O B的平 分线O C。

在O C上任取一点过点P作O A，O B的垂线，垂足分别为〇，£，测量户0,尸£并作比较，你能得到什么结论？在O C上再取几个点试一试。

通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？《课标（2011年版）》要求探图1索并证明角平分线的性质定理。

教材设计是先让学生动手量一量，从直观上感知两条线段的数量关系后 得到猜想，然后通过演绎推理论证，得到角平分线的性质定理。

结合图1,角平分线的性质用符号语言可表述为：由题设（1)Z1=Z2，（2)P D丄04,尸£丄0召得到结论（3)P D=P£。

紧扣知识生长点作者：张玲罗文清来源：《湖北教育·教育教学》2020年第05期这里的知识生长点是指学生已经具备的相关教学知识，即已经知道了什么。

它是学习新知识的前提和基础。

化生长点为重难点，提升教学的效度。

以“加减计算”为例。

小学阶段，学生经历了从整数“一位→两位→三位→多位，不进位（或不退位）→进位（或退位）”到小数“简单的计算→稍复杂的计算”再到分数“同分母→异分母”的学习过程。

在这个庞大的知识体系中，我们一直在解决两个问题：1.计数单位相同的数才能直接加减。

2.在整数、小数加减中，满十向前一位进一（不够从前一位退一当十）;在分数加减中，满一向整数部分进一，分数部分不够减时从整数部分退一。

以上两点即为知识的生长点，应作为教学的重难点，强力突破。

化生长点为延伸点，拓展教学的宽度。

数学知识的逻辑性、层次性与延续性昭示了某一知识点既是前位知识生长的结果，又是后位知识生长的基础。

以“直柱体的体积”为例，小学阶段学生依次学习了长方体、正方体及圆柱体的体积计算。

三者除了本身存在推理上的因果关系外（长方体体积计算是正方体、圆柱体体积公式推导的前提与基础），还能以“体积=底面积×高”这个公式统一起来。

有的教师可能还会从“长方体的体积=长×宽×高”入手（而公式中的“长×宽”也就是前式中的底面积），对正方体、圆柱体作出类似分析，对三者通用一个公式进行拓展。

教学其实还可再向前迈一步。

教师借助直观图的演示（长方体、圆柱体的高由小变大，让学生感悟到它们好似一片片、一个个小的图形累积起来的），进一步引导学生思考：你感受到了什么？对于它们的体积公式都可用“底面积×高”你又有了什么新的认识？当学生体会到这些图形好像一个个长方形（或一个个圆）向上堆积起来的过程，公式里的底面积就代表那些长方形（或圆）的面积，而高正好就是堆积的高度时，就自然而然地明白了它们都可用“底面积×高”来计算体积了。

教学要抓住知识的“生长点”和“延伸点”——《分数的意义》教学案例分析孙明知识生长点是一种根知识，它是知识的本原雏形或胚胎，具有高生长性高附加值高信息量，有时具有一定的缄默性。

它是原有认知结构中影响新知识学习的一个最关键的因素，对开展教学，特别是探究问题成功与否起着重要作用。

根据奥苏伯尔的有意义学习理论，学生认知结构中已有的适当知识对新知识有意义学习起固着作用。

根据学生已有的知识状况进行教学是教育心理学最基本的原理。

学生头脑中的已有知识至少包括如下两类：已有知识经验是新知识的生长点，其二，已有知识经验可作为获取新知识的工具。

找到知识生长点有助于找到新知识的源头活水，激发探究新知识的欲望。

每一个知识点既是已学知识的延伸点，又是后续学习的生长点。

《分数的意义》是学生在学习了除法，借助操作、直观初步认识了分数（基本是真分数），知道了分数各部分的名称，会读写简单的分数。

以上这些都是学生学习本课新知的“生长点”。

本节课的教学，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，简单了解分数产生的过程。

知道把一个物体、一个计量单位平均分成若干份，取这样的一份或几份，可以用分数来表示的；重点是使学生理解不仅一个物体，一个计量单位可用自然数1来表示，许多物体组成的一个整体也可用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”，进而总结概括出分数的意义。

本课的重点难点是学生对单位“1”的理解。

这是学生本课将要学习的新知，也是旧知的延伸点。

教学片断:上课开始，姜老师说我们玩一个拍掌游戏，请大家用掌声来表示计算的结果。

师：把8个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：啪、啪、啪、啪四下清脆的掌声师：把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：啪、啪两下清脆的掌声师：把1个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：没有反应师：为什么不拍了？生：二分之一怎么拍？生：不是一个整数。

引出分数的产生：在分物、测量或计算时往往不能得到一个整数的结果，这时候我们就用一个分数来表示。

抓住新知识的生长点，让学生经历“数学化”的过程
《儿童乐园》本课是在上一节“有多少块糖”的基础上，结合“儿童乐园”的现实情境，在计算相同加数连加时引入乘法算式，使学生初步体会学习乘法的必要性。

尽管大部分学生对乘法并不陌生，甚至好多人已经会背诵乘法口诀，但对于乘法的意义并不了解，更不清楚乘法是怎么产生的，为什么学了加法还要再学乘法等。

因此，教学中我从学生的已有经验出发，“儿童乐园”是儿童熟悉的现实世界。

“你喜欢哪项活动？请选择自己喜欢的活动算一算有多少人参加了这项活动，并在练习本上写一写。

”这样把孩子们引到解决他们身边数学问题的数学活动中去。

在汇报交流中，请孩子们把自己的想法都记录在黑板上：坐飞机的一共有多少人？2+2+2+2=8（人）；乘小火车的一共有多少人？4+4+4+4+4+4=24（人）；坐在椅子上说话的有多少人？3+3=6（人）……从而把孩子们从现实世界引向符号世界。

这些相同加数的连加算式就是本课的思维对象——乘法的生长点。

“可喜欢划船的人可多着了，肖老师也喜欢划船。

如果有20条船，每只船上也坐着3人，坐船的一共有多少人”，此时孩子们真切地感受到学习乘法的必要性。

接着，我又引导孩子们把连加算式2+2+2+2=8（人）改写成乘法算式“2x4=8（人）或4x2=8（人）”，随后，让每个孩子动笔继续把黑板上其他连加算式都改写成乘法算式，并追问：“当遇到求几个相同加数的和时，你
会采用加法计算还是乘法计算？”孩子们的回答也不出所料“当然用乘法计算，这样不需要写那么长的算式，简便多了。

”孩子们真正地经历了数学化的过程。

小学数学知识点教学的“生长点”与“延伸点”的探究摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调培养学生核心素养，使其具备面向未来社会和个人发展所需的能力。

随着教育体系的不断发展，小学数学教学依托核心素养的革新成为关注的重点内容。

这也要求小学数学教师在教学中不仅要设计合适的教学内容和方法，还要根据素质教育的要求，深入剖析学科知识特点，做好知识点的“生长与延伸”，增强学生学习体验的同时，培养他们良好的数学思维，提升知识综合运用能力。

基于此，本文立足小学数学，从以下几个方面展开论述，以期为广大教师后续教学工作开展提供价值参考。

关键词：小学数学；知识“生长”与“延伸”；策略研究引言：数学作为一门逻辑学科，对学生逻辑思维、科学发展观等品质的发展有着十分重要的指导作用。

现阶段学生已初步建立了数学基础知识和解决问题的能力，然而受教育资源、教育环境等因素的影响，部分学生难以将知识建立有机联系，难以正确运用所学知识解决实际问题。

基于此，为弥补当下教学存在的短板，教师可从“生长点、延伸点”等方面入手，探索知识间的关联，并做好教学内容、方法的革新，从而更好地引导学生进行知识学习，促进其能力、素养的协同发展。

一、做好知识点的“生长”，培养学生思考意识知识的延伸能够提高学生的学习体验，并激发他们的探究意识。

在实际教学中，教师要充分利用多种教育资源，简化抽象的数学知识，从而提高学生学习积极性。

以“分数”相关知识为例，在实际教学中，教师可摆脱以往“直授式”的教学模式，引入日常生活中的例子，如分割苹果、平均分配糖果等，让学生初步感受分数在实际中的应用。

随后，教师可以生活案例为线索，引导学生在问题中思考、总结知识，如：把一块巧克力平均分给三个人，每人分到块，如果再平均分给其他两个人，他们分到的是多少？学生思考过程中，教师可让学生利用手中的画笔表示每个人分得蛋糕的数量，同时阐述原因。

通过这种方式，能够让学生逐步挖掘、理解分数的性质特点，并学会用分数解决实际问题。

一、结合生活情境，了解学生知识起点师：今天高老师也给你们带来一个笔筒（实物），大家猜一猜多少钱？生1：10元。

生2：8元5角。

生3：7.5元。

师：每个人都希望自己能够猜中价钱，是不是？现在请把你自己猜的价格写在老师发给你的价格标签纸上。

（标签纸就是超市中常见的标签纸，和生活结合很紧密）教师巡视：选择典型的价格标签，作为展示的对象。

【赏析：高老师首先以生活情境的形式引入，符合中低年级段学生的心理特点，很快就把学生的注意力、好奇心集中起来。

数学问题很自然就在“你猜这个笔筒多少钱？”中提出来了。

通过学生猜价格的过程，老师就可以初步了解学生对小数的初步认识到了什么样的程度。

一个简单的设计，在无痕的活动中就了解了学生的知识起点，为后续的教学提供了基础。

】二、汇报展示，进一步了解学生的“生长点”师:黑板上是几位同学猜的价格标签：请他们给大家介绍一下分别代表什么意思。

生：9.5元表示9元5角。

生：9.50元也表示9元5角。

生：后面的0表示什么意思？是没有？还是0分？生：“分”？我怎么平时从来———高雅老师《小数的初步认识》教学片断与赏析hi感悟名师109 . All Rights Reserved.没有见到过分啊？师：同学们！在人民币的单位中有元、角、分，只是因为现在的货物的价格很少用到分这个单位了，但它也是存在的。

生：9.98元就表示9元9角8分。

师：为什么9.98元中的前面两个都是9，一个表示元一个表示角呢？生：因为第一个9在小数点的前面，第二个9在小数点的后面第一位，因为位置不一样，所以表示的意思就不一样了。

生：我知道了小数点前面的数字代表元，小数点后面第一位表示角，小数点后面第二位表示分。

师：你们刚才写的价格中，像9.5、9.50、9.98这样的数就叫小数。

【赏析：老师在巡视的过程中就是在了解学生的知识起点，最后展示在黑板上的几种情况就代表了不同学生的知识基础。

在汇报的过程中，更是充分了解学生对小数的相关知识达到了一个什么样的程度。

知识生长点与结合点是提高教学效果的“催化剂”课堂教学是一个有多种层次结构的系统，包括教材中知识结构、学生的认知结构和课堂的教学结构。

教材的知识结构是学习和形成学生的认知结构的必要前提，课堂的教学结构则是促进教学的知识结构向学生的认知结构转化中介和动力，只有当三种结构的形成协调统一、和谐一致的关系时，才能获得最佳的教学效果。

如何才能实现知识、认知和教学和谐一致呢？笔者认为，只有找到课堂教学中三者的结合点，作为学生获得知识、增长能力的生长点，才能达到实现三者的和谐统一。

一、分析知识生长点，建立知识生长树学生的认知结构是学生头脑中现有知识的数量、清晰度和组织方式。

在初中学习化学的时候，教师已经引导学生熟知物质结构、性质和用途之间的关系。

但是随知识内容的增多，高中阶段若仅仅从物质结构、性质和用途之间关系去认识，他们就感到知识又多又乱，如一团乱麻，所以有必要根据高中知识深广度的特点，分析学生认识化学的知识生长点，才能有利于提高课堂教学效果。

在教学中，物质的结构知识可从原子结构（原子的构成及核外电子排布规律、原子结构示意图电子式、电子排布式、轨道表示式）、分子结构（分子空间结构及成键方式、电子式、结构式、结构简式）和晶体结构（结构中粒子及相互作用、晶体空间结构）入手作为知识生长点。

物质的化学性质可从类别通性、氧化还原性及特殊性质入手作为知识生长点。

如二氧化硫的化学性质包括三方面：其一，具有酸性氧化物的一般通性如与水、碱、碱性氧化物进行反应，类似于二氧化碳，其二，从价态讲，二氧化硫既具有氧化性，又具有还原性，通过实验探究，二氧化硫以还原性为主，如使酸性高锰酸钾溶液、氯水、溴水、碘水褪色。

其三，特殊性，如二氧化硫能使品红褪色。

再如，化学计算教学中应以物质的量为知识生长点形成知识网（如下图）。

教学中如果以这样的知识结构进行引导教学，有利于学生对知识的理解和加工，进而形成内化的知识结构。

二、找准知识生长点，激发学生兴趣在教学中，找准学生的“知识生长点”，使教学符合学生的认知规律，有助于激发学生对问题的兴趣。

科学前概念:科学知识的生长点摘要：对于科学教师而言，采用恰当的教学策略，充分利用好学生的科学前概念，能引领学生自主探究，在探究中摈弃糟粕吸取精华，真正提升科学教学的有效性。

在浙教版七（下）《牛顿第一定律》的教学中，前概念对于学生克服旧观念、催生新知识所起的作用显得尤为突出。

为此，本文紧紧围绕《牛顿第一定律》的教学过程，描述了初中学生科学前概念的表现及特点，揭示了初中生科学前概念的成因，提出了科学前概念转化的策略，强调了科学前概念是学生进行探究活动的基础和生长点。

关键词：牛顿第一定律；前概念；转化策略所谓科学前概念，是指学生在学习新科学概念前，在原先的学习、生活中，对各种自然现象和过程在头脑中反复建构所形成的但不一定有科学性的概念。

这些概念中，有一些是能正确反映科学世界的，另有一些是有悖于科学的错误概念。

鉴于前概念在《牛顿第一定律》的教学中起着举足轻重的作用以及复习的需要。

一、《牛顿第一定律》教学中前概念的表现及成因经过教学实践及调查发现，对初中生学习《牛顿第一定律》产生负作用的前概念通常表现为：1.错误的观念在学习《牛顿第一定律》之前，学生已经积累了很多与力有关的生活经验，但这些生活经验往往存在着从表面上看很符合事实但经不起科学推敲的错误之处。

尽管在学习《牛顿第一定律》之前，学生已经在课堂上学习了较为系统的力的初步知识，但由于心理定势的作用，长期积累下来的错误观念还是频频出现：（1）有力才会运动（2）物体不受力的作用就要停下来（3）运动方向一定与力的方向一致（4）力可以脱离施力物体而存在后两点在学生迫切需要“自圆其说”时，往往暴露的一览无余。

2．概念之间有混淆虽然学生掌握的某些前概念本身并没有科学性的错误，甚至在原先的学习中算是掌握的好的，但一旦接下来学习与之“相近”的概念时却往往会出现混淆现象。

相近的科学概念之间区别虽小，但彼此之间的“小”区别却是体现各自本质意义的。

也正因为“小”，初中学生就更加难以区别。

找准知识的生长点数学评课1.引言1.1 概述概述随着教育改革的不断深入和发展，评课已经成为教师们不可或缺的一项重要工作。

评课不仅可以帮助教师们总结教学经验，改进教学方法，更可以促进知识的生长。

而数学作为一门基础学科，其评课更是举足轻重。

因此，本篇长文将围绕"找准知识的生长点"这一主题，重点探讨数学评课的重要性和方法。

在教学中，知识的生长点是指学生在学习过程中掌握新知识、发展新能力、解决新问题的关键节点。

找准知识的生长点，能够充分发挥学生的主体作用，推动其知识的积累和能力的提升。

因此，教师们需要深入了解每个学生的学习特点和水平，有意识地引导学生从已有的知识出发，逐步拓展和发展新的知识。

这就需要教师们进行有效的数学评课，以便更好地指导学生的学习。

数学评课是教师们通过对自己的教学进行全面、系统地检查和评价，进而改进教学的一种重要方法。

它包括教师自我评价、同事评价、学生评价等多方位的评估内容。

通过数学评课，教师们可以发现自己教学中的不足之处，找出学生知识的生长点，进而针对性地改进教学策略、优化知识传授方式。

同时，数学评课还可以培养教师们的反思意识和自主学习能力，使他们在教学过程中不断地自我完善和提高。

对于学生而言，数学评课也具有重要意义。

通过评课，学生们能够了解自己的学习情况和不足之处，进而有针对性地调整自己的学习策略。

同时，学生还可以通过评课了解优秀同学的学习经验和方法，借鉴借助，提升自己的学习能力。

因此，数学评课不仅有助于教师们找准知识的生长点，也为学生们提供了一个相互学习、共同进步的平台。

总而言之，数学评课在找准知识的生长点方面具有重要作用。

它可以帮助教师们改进教学方法，优化学习过程，同时也为学生们提供了一个自我反思和改进的机会。

通过数学评课，我们可以更好地指导学生的学习，促进他们的知识积累和能力发展。

因此，我们应该重视数学评课的实施，不断总结经验，不断改进教学，努力找准知识的生长点。

旧知识的延伸点与新知识的生长点1 ．在初中数学新知识的教学中，小学内容的第一个延伸是方程思想对于方程来说，从原来的简单的没有负数参与运算的一元一次方程到初中要解决一般性的一元一次方程、一元二次方程及一些一次的方程组，这是从小学到中学一个很明显的延伸。

2 ．在初中数学新知识的教学中，小学内容的第二个延伸是树立一种模型的思想因为小学阶段只是用方程解决一些简单的实际问题，让学生初步体会到方程能够帮助我们解决一些较难的问题。

但到了中学，我们要学习一些数学模型，比如说一元一次方程模型、一元二次方程模型等。

初中数学教师要善于让学生把实际问题中抽象出数学问题，然后建立一个模型，并解这个模型，最后应用这个模型解决实际问题。

通过这样的数学建模的一般过程，让学生体会到一元一次方程的模型可以帮助我们解决很多实际生活中的问题，一元二次方程的模型在解决一些极大值、极小值中起到了非常重要的作用等等。

3．在初中数学新知识的教学中，小学内容的第三个延伸是联系在初中阶段，我们还有一个非常重要的一个内容就是函数和不等式。

所以我们在初中要让学生初步体会到方程与函数、不等式的一些联系，这种联系到高中会进一步得到加强，例如方程可能还会跟一些几何的东西进行研究，比如说圆锥曲线的一些方程等等。

4 ．在初中数学新知识的教学中，小学内容的第三个延伸是让学生进一步树立符号意识⑴正确把握中小学数学中关于符号运算的特点是初中数学教学的关键小学数学数概念的发展是以自然数，小数、分数（实际上是正分数）、百分数、负数的顺序展开的。

在掌握数概念的基础上，学习四则运算。

并且，在小学高年级，引入了“简易方程”，使学生初步认识了“用字母表示数”。

中学数学中首先接触的“有理数”的概念，通过全面地对“负数”的学习，完成有理数系的扩充；随后，引入无理数，完成实数系的扩充；进一步地，由解方程引入虚数，完成复数系的扩充。

但是，初中数学与小学数学的一个根本不同在于：中学在完成数系扩充的同时，把重点放在了“用字母表示数”上，因为它是现代数学的根基，是形成符号化、形式化数学思想的基础，有此基础之后，中学数学可以学习代数式、方程、不等式，以及函数等内容，也正是这些内容构成了中学数学的核心。

数学学习内容分析包括数学知识的产生背景与生长点一、数学知识的产生背景人类对自然现象的探索早在远古时代，人们就开始观察周围的自然现象，如天体运动、植物生长等，并试图通过归纳和抽象的方法来揭示其中的规律。

例如，古埃及人利用尼罗河的水位变化来计算农作物的产量；古印度人则通过观察日月星辰的运动来制定历法。

这些早期的数学实践为后来的数学发展奠定了基础。

农业和手工业的发展随着农业和手工业的发展，人们对数量关系的需求日益增强。

例如，需要计算土地的面积、农作物的产量等。

这时，人们开始运用简单的算术方法来解决这些问题。

在中国，商代晚期(公元前16世纪)出现了甲骨文，其中就包含了一些简单的算术运算。

这表明当时人们已经开始运用数学知识来解决实际问题。

商业和贸易的繁荣随着商业和贸易的繁荣，人们对测量和计算货币、货物数量的需求也越来越大。

例如，需要计算商品的价格、运费等。

这时，人们开始运用更为复杂的算术方法，如加减乘除、百分比等。

同时，商人和手工艺人也开始运用几何知识来计算和描述物体的形状、尺寸等。

科学革命的到来17世纪末至18世纪初，伴随着科学革命的到来，数学得到了空前的发展。

牛顿、莱布尼茨等人提出了微积分理论，为现代数学的发展奠定了基础。

同时，欧拉、高斯等人又在数论、代数等领域取得了重要成果，推动了数学的繁荣。

二、数学知识的生长点数学方法的发展随着数学知识的积累，人们逐渐发现了许多有效的数学方法。

例如，代数方法用于解决线性方程组等问题；几何方法用于求解平面图形的性质等。

此外，人们还发现了一些新的数学方法，如概率论、统计学等，它们在现实生活中具有广泛的应用价值。

数学理论的完善在数学发展的过程中，人们逐渐建立了一套完整的数学理论体系。

这个体系包括了基本概念、基本原理和基本方法等。

例如，实数论、复数论、微积分等都是现代数学的基本理论。

这些理论为数学的应用提供了理论依据，推动了数学的发展。

数学应用的拓展随着科技的发展，人们对数学的需求越来越大。

怎样寻找新知识的生长点摘要：找好找准新知识的生长点，对于激发学生学习热情、增强学习信心、提高学习能力有非常重要的意义。

怎样寻找新知识的生长点，本文作了一些有益的探讨。

关键词：寻找新知识生长点讲授新课以向学生传授新知识为主要特点，但如何传授新知识是一门较难把握的艺术。

如果我们照本宣科、平铺直叙，难免会让学生感到枯燥无味，进而丧失学习兴趣和积极性，达不到教学目的。

怎样激发学生学习兴趣和积极性呢？俗话说，良好的开端等于成功的一半。

找好新知识的生长点显得至关重要。

怎样寻找新知识的生长点？一、从生活、生产、科研需要寻找新知识的生长点生活是数学的源泉。

今天，人类生活的空间越来越广阔，内涵也越来越丰富。

这绚丽多彩的生活正是数学的温床，而人类又不断把数学应用于实践，使自己的生活更加丰富美满。

生活就是这样相互影响、相互促进、不断发展的。

因此，许多新知识可从生活的需要找到其生长点。

“近朱者赤，近墨者黑”，说明了交友要慎重，对接近的人要分类选择，由此我们引入了集合的概念。

安装日光灯，怎样才能使灯管与地面平行？由此我们引入了线面平行的概念。

外出“打的”需付的车费，如何计算？由此，我们引入了分段函数的概念；从计算一条线路上车站个数、车票和票价的种数，引入了排列组合概念；掷骰子观察可能出现的点数，引入了等可能概念。

计算物体在某一时刻的运动速度，引入了函数的导数概念。

在初中阶段学生认识的角，最大是周角360°。

我们在生活中，有过这样的经历：用扳手上紧或松动螺丝的旋转方向相反，且旋转往往不是一周而是多周，因此，角的概念必须推广。

轮子在旋转时，我们只需用轮子上一条“半径”的运动就可描写整个轮子的运动。

所以，在角的概念推广时，我们可以用一条射线放在平面上的旋转方向（顺时针或逆时针）及旋转量去定义角的大小。

特殊的，射线的旋转量为0，则认为形成“零角”。

这样，角就有正角、负角、零角了。

二、从用数学运算解决问题的需要寻找新知识的生长点我们都知道，在实数范围内，像x2+1=0这样简单的方程也无解。

知识生长规律知识就像一颗种子，埋在我们的脑海里，等待着合适的阳光、水分和土壤，然后生根发芽、茁壮成长。

你看那小孩子，刚开始牙牙学语，对这个世界充满了好奇，什么都想知道，什么都敢问，这就是知识的种子在悄悄播下呀！随着他们慢慢长大，学习认字、读书，就像给种子浇了水、施了肥，让它开始有了生机。

我们学习知识不也是这样嘛！一开始可能懵懵懂懂，但一点点积累，就像给种子不断提供养分，它就会慢慢长大。

就好比学骑自行车，一开始总是摇摇晃晃，还会摔倒，但摔着摔着不就会了嘛！这就是知识在生长啊。

再想想我们学习一门新的语言，刚开始可能连字母都认不全，发音也怪怪的，可是坚持下去，每天学一点，慢慢地就能说一些简单的句子了，这不就是知识在成长的过程吗？知识的生长还需要我们不断地探索和思考。

遇到问题别退缩，多问几个为什么，就像给知识的种子松松土，让它能更好地扎根。

你说要是遇到难题就放弃，那知识怎么能长大呢？而且啊，知识可不是孤立存在的。

就像一片森林，各种树木花草相互依存。

不同的知识领域也是相互关联的呀！学了历史，能让我们更好地理解文学作品；懂了科学，能帮助我们明白生活中的许多现象。

这不就像森林里的生物们相互作用一样吗？我们也要像照顾小树苗一样耐心地对待知识的生长。

不能急于求成，得一步一个脚印。

今天学一点，明天学一点，总有一天会发现自己已经拥有了一片茂密的知识森林。

知识的生长还需要我们去分享。

把自己学到的知识告诉别人，就像把种子撒向更多的地方，让知识能在更多人的心里生根发芽。

这多有意思呀！你想想，要是大家都把自己的知识捂得紧紧的，那这个世界还怎么进步呢？所以呀，我们要大方地分享，让知识的阳光照耀到每一个角落。

咱们每个人都可以成为知识的园丁，用心去浇灌、培育那一颗颗知识的种子。

让它们在我们的脑海里长成参天大树，为我们的人生增添光彩。

别小看每一个小小的知识点，它们汇聚起来可就是无穷的力量呢！你难道不想拥有这样一片属于自己的知识森林吗？那就从现在开始，努力让知识生长吧！让我们在知识的海洋里尽情遨游，去探索更多的未知，收获更多的惊喜！。

知识的来源与发展在信息爆炸的时代，我们每天都面临着大量的知识碎片和信息噪音。

那么，我们应该如何从这些碎片中获取有价值的知识，以及知识是如何发展起来的呢？本文将探讨知识的来源与发展，并提出一些相关的思考。

一、知识的来源知识的来源可以追溯到人类社会的起源。

最开始，人们通过观察自然界中的事物，积累了一些简单的经验知识。

这些知识是从直接的感观中获取的，比如火的危险性和食物的可食用性。

这些早期的知识被传承下来，成为人类的基本生存智慧。

随着社会的发展和科技的进步，人们逐渐开始运用理性思维和科学方法来获取知识。

科学方法通过实验、观察和推理等手段，帮助人们认识到更深层次的事物规律和原理。

科学知识的积累，不断推动着人类社会的进步和发展。

此外，知识还可以通过学习和教育来获取。

学校教育、职业培训以及社区活动等都提供了丰富的学习机会，使得我们能够从他人的经验和知识中学到更多。

通过学习，我们可以更好地理解和应用已有的知识，并为自己的思考做出更深入的基础。

二、知识的发展在人类历史的长河中，知识的发展是一个渐进的过程。

每一代人在前人的基础上进行创新和突破，从而扩展了人类的知识边界。

科学是知识发展的重要驱动力之一。

科学家们通过实验和理论推演，不断揭示着自然界的奥秘。

从牛顿的引力定律到爱因斯坦的相对论，从达尔文的进化论到居里夫人的放射性研究，每一次科学的突破都给人类带来了新的认识和理解。

另外，社会的进步也推动了知识的发展。

随着交通、通信和全球化的快速发展，不同国家和文化之间的交流与融合越来越密切。

这种跨文化的交流促进了知识的共享和传播，使得各种领域的知识得以互相借鉴和交叉学习。

同时，互联网的普及更加深化了知识的发展。

互联网提供了大量的信息资源和学习平台，使得每个人都能够轻松获取到各种领域的知识。

通过搜索引擎、在线课程和社交媒体等工具，人们可以与全球知识共同体保持联系，并分享自己的见解和经验。

然而，虽然知识的发展取得了巨大的成就，我们也需要保持对知识的批判性思维。