《何时获得最大利润》
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6.何时获得最大利润
九年级 数学
第二章 二次函数
2.6
何时获得最大利润
授课人： 王秀莲
义安一中
九年级 数学
第二章 二次函数
2.6 何时获得最大利润 某大型商场的杨总到 T恤衫部 去视察，了解的情况如下：已知 成批购进时单价是20元．根据市 场调查，销售量与销售单价满足 如下关系：在一段时间内，单价 是35元时，销售量是600件，而单 价每降低1元，就可以多销售200 件．于是杨总给该部门王经理下 达一个任务，马上制定出获利最 多的销售方案，这可把王经理给 难住了？你能帮他解决这个问题 吗？
60500 60400 60300 60200
60100
60000
O
5
x1
10
x2
15
20
x/棵
九年级 数学
第二章 二次函数
感悟和反思 通过这节课的学习你有哪些 收获？
九年级 数学
第二章 二次函数
作业
1.单价是20元．根据 市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一 段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单 价每降低1元，就可以多销售200件，问销售单价是 多少时获利最多 ？
• • • • •
如果设销售单价为x元，(20≤x≤35的整数) 35- x 每件降价____________ 元 600+200（ 35- x ） 销售量可以表示_________________件 x -20 每件利润__________元 （ x -20 ）[600+200（ 35- x ） ] 获得的总利润y =_________________________
九年级 数学
第二章 二次函数
y (600 - 5 x)(100 x) -5 x 100 x 60000
第二章 二次函数
2.6
何时获得最大利润
授课人： 王秀莲
义安一中
九年级 数学
第二章 二次函数
2.6 何时获得最大利润 某大型商场的杨总到 T恤衫部 去视察，了解的情况如下：已知 成批购进时单价是20元．根据市 场调查，销售量与销售单价满足 如下关系：在一段时间内，单价 是35元时，销售量是600件，而单 价每降低1元，就可以多销售200 件．于是杨总给该部门王经理下 达一个任务，马上制定出获利最 多的销售方案，这可把王经理给 难住了？你能帮他解决这个问题 吗？
60500 60400 60300 60200
60100
60000
O
5
x1
10
x2
15
20
x/棵
九年级 数学
第二章 二次函数
感悟和反思 通过这节课的学习你有哪些 收获？
九年级 数学
第二章 二次函数
作业
1.单价是20元．根据 市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一 段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单 价每降低1元，就可以多销售200件，问销售单价是 多少时获利最多 ？
• • • • •
如果设销售单价为x元，(20≤x≤35的整数) 35- x 每件降价____________ 元 600+200（ 35- x ） 销售量可以表示_________________件 x -20 每件利润__________元 （ x -20 ）[600+200（ 35- x ） ] 获得的总利润y =_________________________
九年级 数学
第二章 二次函数
y (600 - 5 x)(100 x) -5 x 100 x 60000
《何时获得最大利润》(赵丽霞教学设计)
第二章二次函数《何时获得最大利润》教学设计苑陵中学赵丽霞学习目标：1、会根据具体的问题情境列出函数关系式2、会根据函数关系式求最大值学习重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值学习难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学过程：本节课设计了5个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、研讨展示、巩固练习、课堂小结、课堂检测。
第一环节复习回顾活动内容：1、二次函数y=-2（x+3）2-4 的顶点坐标为，当x= 时，y有最值。
2、二次函数y=-x2+2x+3的顶点坐标为，写成y=a（x﹣h）2+k的形式为，当x= 时，y有最值。
活动目的：为后面新课作准备第二环节创设问题情境，引入新课活动内容1：（有关利润的问题，通过自学课本64页解决，可与同桌交流）某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。
根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?设销售单价为x(x≤13.5)元，那么(1)销售量可以表示为；(2)销售额可以表示为；(3)所获利润可以表示为；(4)当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来。
设销售单价为x 元，则与原先的单价相比，降低了(13.5-x)元，而每降低1元，可多售出200件，降低了(13.5-x)元，则可多售出200(13.5-x)件，因此共售出500+200(13.5-x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x-2.5)[500+200(13.5-x)]。
经过分析之后，上面的4个问题就可以解决了。
(1)销售量可以表示为500+200(13.5-x)=3200—200x 。
何时获得最大利润
02
创新生产方式
特斯拉采用先进的生产技术和自动化生产线，提高生产效率，降低人工
成本。Leabharlann 03优化供应链特斯拉与供应商建立紧密的合作关系，确保供应链的稳定性和成本控制。
案例三：星巴克的营销策略
品牌定位 星巴克以高端咖啡品牌定位，通过提供优质咖啡和舒适的 消费环境吸引目标客户。
会员计划 星巴克推出会员计划，通过积分、优惠券等方式增加客户 粘性，提高客户复购率。
竞争导向定价
根据竞争对手的产品价格来制 定价格，保持竞争优势。
价值导向定价
根据产品对客户的价值来制定 价格，提供高性价比的产品。
成本控制策略
生产成本控制 通过提高生产效率、降低生产 损耗等方式来降低生产成本。 采购成本控制 通过优化供应商选择、降低采 购成本来降低产品成本。 销售成本控制 合理分配销售资源，降低销售 成本，提高销售利润。
文化营销 星巴克注重品牌文化和价值观的传播，通过举办文化活动、 推出限量版产品等方式吸引消费者。
案例四：苹果的市场定位
01
高品质产品
苹果始终坚持高品 质的产品设计和技 术创新，以满足消 费者对品质的追求。
02
精准定位
苹果对目标客户进 行精准定位，针对 不同客户群体推出 具有差异化的产品
和服务。
03
差异化竞争优势
通过创新、品牌、渠道等方面建立差异化竞争优势，提高自身竞 争力。
应对竞争变化
关注竞争对手的变化，及时调整自身策略，保持竞争优势。
产品生命周期
产品开发阶段 产品推广阶段 产品成熟阶段 产品衰退阶段 在产品开发阶段，注重研发和创新，提高产品质 量和降低成本，为后续销售打下基础。 在产品推广阶段，加大市场宣传和营销力度，提 高产品知名度和市场占有率。 在产品成熟阶段，注重维护客户关系和品牌形象， 保持稳定的销售业绩。 在产品衰退阶段，考虑产品的升级换代或退出市 场，以降低损失。
北师大版九年级下册数学《何时获得最大利润》二次函数说课教学课件复习
4.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶点 坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值，是 1 。
活动探究1
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段 时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每 降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售 单价是多少时，可以获利最多？
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
销售额可表示为: x500 20013.5 x 元; 所获利润可表示为:x 2.5500 20013.5 x元;
当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最大利 润是9112.5 元.
活动探究2
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则 y=〔 800-10(30-x) 〕·x =-10x2+1100x =-10(x-55)2+30250
∴当x=55时，y最大=30250
答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元
选做题
4.
答案：
4
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值，
4ac b2
是 4a 。
复习提问
2. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ，顶点 坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y的最小值是 5 。
3. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ，顶点 坐标是 (-4 ，-1) 。当x= -4 时，函数有最 大 值，是 -1 。
课件
学习目标（1分钟）
1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程， 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。
活动探究1
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段 时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每 降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售 单价是多少时，可以获利最多？
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
销售额可表示为: x500 20013.5 x 元; 所获利润可表示为:x 2.5500 20013.5 x元;
当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最大利 润是9112.5 元.
活动探究2
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则 y=〔 800-10(30-x) 〕·x =-10x2+1100x =-10(x-55)2+30250
∴当x=55时，y最大=30250
答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元
选做题
4.
答案：
4
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值，
4ac b2
是 4a 。
复习提问
2. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ，顶点 坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y的最小值是 5 。
3. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ，顶点 坐标是 (-4 ，-1) 。当x= -4 时，函数有最 大 值，是 -1 。
课件
学习目标（1分钟）
1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程， 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。
2.4.2何时获得最大利润上课课件
解:
假设销售单价为x(x≥30)元,销售利润为y元,则 y= -20(x-35)2+4500
y 4500 4420
若规定销售单价不得高于 33元,则如何提高售价,可 在半月内获得最大利润?
0
33
35
X
拓展
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如 果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先来看涨价的情况． （1）设每件涨价x元，则每星期卖出（300－10x）件，单件商品的利 润为（60+x － 40）元 y = （60＋x）(300－10x) －40 （300－10x） 怎样确定x的 取值范围？ 即
议一议
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙 子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接 受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.问增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量最多？ 等量关系：橙子的总产量=每棵橙子树的产量×橙子树的数量
3. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ，顶点 坐标是 (-4 ，-1) 。当x= -4 时，函数有最 大 值，是 -1 。 4.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶点 坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值，是 1 。
探究
服装厂生产某种品牌的T恤成本是每件10元。根据市场调 查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件， 并且表示单价每降低0.1元，愿意多经销500件。请你帮助 分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
《何时获得最大利润》教学课件
2.6 何时获得最大利润
复习提问
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线， 二次函数 的图象是一条 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 它的对称轴是 直线
b 直 x =− 线 它的对称轴是 2a，顶点坐是
4ac −4a ；当
2 . 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线 ， 的图象是一条 2
2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团， 某旅行社组团去外地旅游， 人起组团 人起组团， 某旅行社组团去外地旅游 每人单价800元。旅行社对超过30人的团 元 旅行社对超过 人的团 每人单价 给予优惠，即旅行团每增加一人， 给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的 单价就降低10元 单价就降低 元。当一个旅行团的人数是 多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元. 设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y 则 y=〔 800-10(30y=〔 800-10(30-x) 〕·x =-10x2+1100x =-10(x-55)2+30250 10(x∴当x=55时，y最大=30250 x=55时 答：一个旅行团有55人时，旅行社可 一个旅行团有55人时， 55人时 获最大利润30250 30250元 获最大利润30250元
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 100棵橙子树 600个橙子 现准备多种一些橙子树以提高产量, 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就 会减少.根据经验估计,每多种一棵树, 会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树 就会少结5个橙子. 就会少结5个橙子. 如果增种x棵树 果园橙子的总产量为y 棵树， 如果增种 棵树，果园橙子的总产量为 那么y与 之间的关系式为 之间的关系式为： 个,那么 与x之间的关系式为： 那么 y=(600-5x)(100+x )=-5x²+100x+60000
复习提问
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线， 二次函数 的图象是一条 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 它的对称轴是 直线
b 直 x =− 线 它的对称轴是 2a，顶点坐是
4ac −4a ；当
2 . 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线 ， 的图象是一条 2
2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团， 某旅行社组团去外地旅游， 人起组团 人起组团， 某旅行社组团去外地旅游 每人单价800元。旅行社对超过30人的团 元 旅行社对超过 人的团 每人单价 给予优惠，即旅行团每增加一人， 给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的 单价就降低10元 单价就降低 元。当一个旅行团的人数是 多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 多少时，旅行社可以获得最大营业额？
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元. 设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y 则 y=〔 800-10(30y=〔 800-10(30-x) 〕·x =-10x2+1100x =-10(x-55)2+30250 10(x∴当x=55时，y最大=30250 x=55时 答：一个旅行团有55人时，旅行社可 一个旅行团有55人时， 55人时 获最大利润30250 30250元 获最大利润30250元
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 100棵橙子树 600个橙子 现准备多种一些橙子树以提高产量, 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就 会减少.根据经验估计,每多种一棵树, 会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树 就会少结5个橙子. 就会少结5个橙子. 如果增种x棵树 果园橙子的总产量为y 棵树， 如果增种 棵树，果园橙子的总产量为 那么y与 之间的关系式为 之间的关系式为： 个,那么 与x之间的关系式为： 那么 y=(600-5x)(100+x )=-5x²+100x+60000
《何时获得最大利润》教学课件
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.
现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种
树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就
会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就
会少结5个橙子. 如果增种x棵树，果园橙子的总产量为y 个,那么y与x之间的关系式为： y=(600-5x)(100+x )=-5x² +100x+60000
1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
课堂练习
1.某商店购进一批单价为20元的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用品,如果以单
价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据
销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 200 13.5 x 件;
销售额可表示为: x 500 200 13.5 x
元;
所获利润可表示为: x 2.5 500 200 13.5 x 元;
验证猜想
解： y=(600-5x)(100+x )
=-5x²+100x+60000 =-5(x-10)2+60500
∵当x=10时，y最大=60500 ∴增种10棵树时， 总产量最多，是60500个
“二次函数应用” 的思路
回顾本课“最大利润”和 “最高产量” 解决问题的过程，你能总结一下解决 此类问题的基本思路吗？
当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最大利
润是 9112.5 元.
还记得本章一开始涉及的“种多少棵 橙子树”的问题吗？
何时获得最大利润
最大利润的含义
最大利润
最大利润是指企业在一定时间内通过 生产和销售产品或提供服务所获得的 最大的收益。
利润最大化的意义
利润最大化是企业的主要目标之一， 它可以帮助企业实现资源的最优配置 ，提高企业的竞争力和市场地位。
研究目的和意义
研究目的
研究何时获得最大利润可以帮助企业制定合理的生产和销售 策略，实现资源的优化配置，提高企业的盈利能力和市场竞 争力。
算法基础。
利用二次函数求解最大利润
确定变量
首先需要确定影响最大利润的变量。这些变量可能是产品 的售价、成本、市场需求等。
建立二次函数
根据这些变量之间的关系，可以建立一个二次函数来描述 最大利润。这个二次函数可能是关于售价、成本、需求等 变量的二次多项式。
求导数
通过求导数，可以找到这个二次函数的极值点，也就是最 大利润点。
是企业或个人在一定时期内销售产品或提供服务所获得的收入扣除成本后的余 额。
销售量
表示企业在一定时期内销售出去的产品或服务的数量。
利润和销售量的关系建模
利润 = 销售收入 - 成本
由于销售收入 = 销售量 × 单价，因此利润 = (销售量 × 单价) - 成本
当成本不变时，销售量越大，利润越高。但是，当销售量达到一定水平时，再增加销售量， 利润反而会下降。这是因为随着销售量的增加，固定成本（如设备、场地等）逐渐增加，导 致单位产品的成本上升。
研究表明，成本结构对利润也 有重要影响。高固定成本的公 司需要更高的销售量来覆盖固 定成本，而低固定成本的公司 可以在更少销售量下实现盈利 。
对未来研究的展望
01
进一步探讨市场份额与利润的关系
未来的研究可以进一步探讨市场份额与利润之间的复杂关系。例如，市
二次函数最大利润
y＝x2 开始，然后是 y＝ax2.y＝ 2 2 2 2 教学活动 1 ax +c，最后是 y=a(x-h) ，y＝a(x-h) +k，y＝ax +bx+c，掌握了二 次函数的三种表示方式．本节课我们将进一步用二次函数来研究 获取最大利润的实际问题。 （出示多媒体课件，复习巩固二次函数的有关性质）
17 2 ) 9112 .5 4
b 100 10 ∵ 2a 2 (5) 4ac b 2 4 (5) 60000 1002 60500 4a 4 (5)
∴当 x=10 时，y 最大=60500． [师]回忆一下我们前面的猜测正确吗? [生]正确． （2） 、议一议 (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的 关系． (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上? (学生思考后多媒体课件显示） 3、实践应用 某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销 售，那么半个月内可以售出 400 件。根据销售经验，提高销售单 价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减 少 20 件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？ 解：设销售单价提高 x 元，销售利润为 y 元，则 y=(x+30-20)（400-20x) ＝-20x2+200x+4000 =-20（x-5）2+4500 ∴当 x=5 时，y 最大 =4500 答：当售价提高 5 元时，半月内可获最大利润 4500 元
《何时获得最大利润》教学设计方案
课题名称 科 目 教学时间
何时获得最大利润 数学 1 课时(40 分钟） 年 级 九年级
在九年级下册第二章前五节中学生已研究了二次函数的图像与性 质，掌握了研究二次函数常用的方法，能用配方法或公式法求二 次函数的最值。而何时获得最大利润是运用二次函数解决实际问 学习者分析 题，学生的兴趣较浓，积极性较高。在此条件下只要对学生适时 引导，采用适当的方法学生便可掌握本节内容，从而发展其数学 应用能力。
17 2 ) 9112 .5 4
b 100 10 ∵ 2a 2 (5) 4ac b 2 4 (5) 60000 1002 60500 4a 4 (5)
∴当 x=10 时，y 最大=60500． [师]回忆一下我们前面的猜测正确吗? [生]正确． （2） 、议一议 (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的 关系． (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上? (学生思考后多媒体课件显示） 3、实践应用 某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销 售，那么半个月内可以售出 400 件。根据销售经验，提高销售单 价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减 少 20 件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？ 解：设销售单价提高 x 元，销售利润为 y 元，则 y=(x+30-20)（400-20x) ＝-20x2+200x+4000 =-20（x-5）2+4500 ∴当 x=5 时，y 最大 =4500 答：当售价提高 5 元时，半月内可获最大利润 4500 元
《何时获得最大利润》教学设计方案
课题名称 科 目 教学时间
何时获得最大利润 数学 1 课时(40 分钟） 年 级 九年级
在九年级下册第二章前五节中学生已研究了二次函数的图像与性 质，掌握了研究二次函数常用的方法，能用配方法或公式法求二 次函数的最值。而何时获得最大利润是运用二次函数解决实际问 学习者分析 题，学生的兴趣较浓，积极性较高。在此条件下只要对学生适时 引导，采用适当的方法学生便可掌握本节内容，从而发展其数学 应用能力。
何时获得最大利润1ppt
如果增种x棵树，果园橙子 的总产量为y个,那么y与x之间的 关系式为：
y=(600-5x)(100+x ) =-5x² +100x+60000
验证猜想
解： y=(600-5x)(100+x ) =-5x² +100x+60000 =-5(x-10)2+60500 ∵当x=10时，y最大=60500 ∴增种10棵树时， 总产量最多，是60500个
课堂点睛 “二次函数应用” 的思 路
回顾本课“最大利润”和 “最高产量”解决问题 的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？ 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
课堂练习
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30 元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提 高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销 售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内 获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(40-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
500 20013.5 x 件; 销售额可表示为: x500 20013.5 x 元; 所获利润可表示为:x 2.5500 20013.5 x 元; 当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最大利 润是9112.5 元.
销售量可表示为 :
∴当x=55时，y最大=30250
y=(600-5x)(100+x ) =-5x² +100x+60000
验证猜想
解： y=(600-5x)(100+x ) =-5x² +100x+60000 =-5(x-10)2+60500 ∵当x=10时，y最大=60500 ∴增种10棵树时， 总产量最多，是60500个
课堂点睛 “二次函数应用” 的思 路
回顾本课“最大利润”和 “最高产量”解决问题 的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？ 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
课堂练习
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30 元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提 高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销 售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内 获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(40-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
500 20013.5 x 件; 销售额可表示为: x500 20013.5 x 元; 所获利润可表示为:x 2.5500 20013.5 x 元; 当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最大利 润是9112.5 元.
销售量可表示为 :
∴当x=55时，y最大=30250
2.6何时获得最大利润 课件5(数学北师大版九年级下册)
何时获得最大利润 某商店经营T恤衫,已知成批购进时 单价是2.5元.根据市场调查,销售量 与销售单价满足如下关系:在某一时 间内,单价是13.5元时,销售量是500 件,而单价每降低1元,就可以多售出 200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时, 可以获利最多?
何时获得最大利润 设销售价为x元(x≤13.5元),那么 销售量可表示为 : 500 20013.5 x 销售额可表示为:x500 20013.5 x
果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结 （600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量
Y=(100+x)(600-5x)=-5x² +100x+60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可 以使果园橙子的总产量最多？
11 1 121 4 5 x/ 棵 4 6 5 7 6 8 7 9 810 9 1 X/ 棵 11 2 23 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 6 1 62 y/个 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 13 1 6 3 0 4 5 5
独立 作业
知识的升华
P61 习题2.6 1,2题.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
•
生活是数学的源泉.
跳水运动与抛物线
某跳水运动员进行10米跳台跳水训 练时,身体(看成一点)在空中的运动 路线是经过原点O的一条抛物线.在 跳某规定动作时,正常情况下,该运 动员在空中的最高处距水面32/3米, 入水处距池边的距离为4米,同时,运 动员在距水面高度为5米以前,必须 完成规定的翻腾动作,并调整好入 水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式； (2)在某次试跳中,测得运动员在空 中运动路线是(1)中的抛物线,且运 动员在空中调整好入水姿势时,距 池边的水平距离为18/5米,问此次跳 水会不会失误？并通过计算说明理 由.
何时获得最大利润 设销售价为x元(x≤13.5元),那么 销售量可表示为 : 500 20013.5 x 销售额可表示为:x500 20013.5 x
果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结 （600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量
Y=(100+x)(600-5x)=-5x² +100x+60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可 以使果园橙子的总产量最多？
11 1 121 4 5 x/ 棵 4 6 5 7 6 8 7 9 810 9 1 X/ 棵 11 2 23 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 6 1 62 y/个 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 13 1 6 3 0 4 5 5
独立 作业
知识的升华
P61 习题2.6 1,2题.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
•
生活是数学的源泉.
跳水运动与抛物线
某跳水运动员进行10米跳台跳水训 练时,身体(看成一点)在空中的运动 路线是经过原点O的一条抛物线.在 跳某规定动作时,正常情况下,该运 动员在空中的最高处距水面32/3米, 入水处距池边的距离为4米,同时,运 动员在距水面高度为5米以前,必须 完成规定的翻腾动作,并调整好入 水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式； (2)在某次试跳中,测得运动员在空 中运动路线是(1)中的抛物线,且运 动员在空中调整好入水姿势时,距 池边的水平距离为18/5米,问此次跳 水会不会失误？并通过计算说明理 由.
(整理)初中数学九年级下册《26何时获得最大利润》
量就相应减少20件。
若销售单价提高x元时，半个月内获得的利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式。
销售单价提高多少时，才能在半个月内获得最大利润？最大利润是多少？（三）巩固新知某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。
根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
销售单价是多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（四）新知应用某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子，且增加的橙子树最多不得超过20棵。
假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个，请写出y与x之间的关系式,并回答下列问题. (1)我们曾经利用列表的方法得到一个猜测，增种多少棵橙子树时，总产量最大？x 1 … 8 9 10 11 12y …猜测的结论：当增种______棵橙子树时，橙子的总产量最大，最大产量为______个。
(2)现在请你用所学知识验证一下你的猜测是否正确。
(3)请画出函数的图象。
(4)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，提高了学生的运算能力和运算技巧思考并独立完成，并交流结论提高学生运用函数图象解决实际问题的能力学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。
教师指导纠正。
北师大版初中数学《何时获得最大利润》导学案
何时获得最大利润导读单班级：姓名：组名：设计者：审核人：教学目标(一)教学知识点1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.教学重点1.探索销售中最大利润问题.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值,发展解决问题的能力.教学难点运用二次函数的知识解决实际问题一、有关利润问题某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?设销售单价为x(x≤13.5)元,那么(1)销售量可以表示为________;(2)销售额可以表示为________;(3)所获利润可以表示为________;(4)当销售单价是________元时,可以获得最大利润,最大利润是________.二、1做一做还记得本章一开始的"种多少棵橙子树"的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测,现在验证一下你的猜测是否正确?你是怎么做的?与同伴进行交流.2已知一个矩形的周长是24cm.(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式.(2)画出这个函数的图象.(3)当a长多少时,S最大?Ⅵ.活动与探究某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40~70元之间.市场调查发现:若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱,价格每升高1元,平均每天少销售3箱.(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式.(注明范围)(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价).(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求当x=40,70时W的值.在坐标系中画出函数图象的草图.(4)由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润为多少?。
北师大版数学九年级下册二次函数的应用第2课时何时获得最大利润课件
知识迁移，活学活用
小结：解题的关键是要理清楚材料中的数量 关系，将实际问题转化为数学模型，利用已学的 数学知识解决实际问题.
具体步骤如下： （1）根据题意，列出二次函数表达式，注意 实际问题中自变量x的取值范围. （2）将二次函数表达式配方为顶点式的情势. （3）根据二次函数图象及其性质，在自变量 的取值范围内求出函数的最值.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可 以获利最多？
视察学生，合理指点
解：批发价为x元时，获利y元.
则单件利润为（x-10）元，
降价后的销售量为
5
000
+
13 - x 0.1
×
500
件.
则
y
=
(
x
-
10)
5
000
+
13 - x 0.1
×
500
= 5 000( 000(- x2 + 24x - 140)
= -5 000[( x - 12)2 - 4].
所以，当批发价是12元时，获利最多.
知识迁移，活学活用
某旅社有客房120间，每间房的日租金为 160元时，每天都客满，经市场调查发现，如 果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天 出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每 间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金 的总收入最高？最高总收入是多少？
分析：客房日租金的总收入=客房的日租金 ×客房出租的间数.
知识迁移，活学活用
解：设客房的日租金增加x个10元，则客房每天的 出租数减少6x间，设客房日租金的总收入为y元， 则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19 440. ∵x ≥0，且120-6x＞0，∴0 ≤ x＜20. 当x=2时， y有最大值19 440. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）. 即旅社将每间客房的日租金提高到180元时，客房 日租金的总收入最高，最高总收入为19 440元.
何时获得最大利润4ppt
x/棵 y/个 x/棵 y/个
1 2 3 4 5 6 7
60095
8 60480
60180
9 60495
60255
10 60500
60320
11 60495
60375 60420 60455
12 13 14
60480 60455 60420
当增种10棵橙子树时，可以使果园橙子总产量最多。
例2：某果园有100棵橙子树,每一棵 树平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量, 据经验估计,每 多种2棵树,平均每棵树就会少结10个 橙子. （1）种多少棵橙子树,可以使果园橙 子的总产量最多？最多为多少？ （2）增种多少棵橙子,可以使橙子的 总产量在60400个以上?
y=(40-x)(28+1.2x) (0 ≤ x ≤10) . y=-1.2(x-25／3)2+3610／3 当x= 25／3时,最大面积3610／3
D N P
F Q A
M E
解:在AB上取一点P,过点P作CD、DE的垂线， 得矩形PNDM。延长NP、MP分别与EF、CF 交于Q、S.设PQ=x厘米（0≤x≤10）, 那么PN=40-x。由△APQ∽△ABF，得 AQ=1.2x，PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x. C B S 那么矩形PNDM的面积:
例3：龙城公园要建造圆形喷水池.在水池中 央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心, OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在 各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状 较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到 最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少 要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水 池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流 的最大高度应达到多少m(精确0.1m)？
1 2 3 4 5 6 7
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8 60480
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9 60495
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10 60500
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60375 60420 60455
12 13 14
60480 60455 60420
当增种10棵橙子树时，可以使果园橙子总产量最多。
例2：某果园有100棵橙子树,每一棵 树平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量, 据经验估计,每 多种2棵树,平均每棵树就会少结10个 橙子. （1）种多少棵橙子树,可以使果园橙 子的总产量最多？最多为多少？ （2）增种多少棵橙子,可以使橙子的 总产量在60400个以上?
y=(40-x)(28+1.2x) (0 ≤ x ≤10) . y=-1.2(x-25／3)2+3610／3 当x= 25／3时,最大面积3610／3
D N P
F Q A
M E
解:在AB上取一点P,过点P作CD、DE的垂线， 得矩形PNDM。延长NP、MP分别与EF、CF 交于Q、S.设PQ=x厘米（0≤x≤10）, 那么PN=40-x。由△APQ∽△ABF，得 AQ=1.2x，PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x. C B S 那么矩形PNDM的面积:
例3：龙城公园要建造圆形喷水池.在水池中 央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心, OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在 各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状 较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到 最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少 要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水 池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流 的最大高度应达到多少m(精确0.1m)？
何时获得最大利润的说课课件
下降1元后：（500+200*1）件
下降2元后：（13.5—2）元
下降2元后：（500+200*2）件
下降3元后：（13.5—3) 元
下降3元后：（500+200*3）件
设销售单价为X元,所获利润为Y元
下降（13.5—X）元后：X元
下降（13.5—X）元后：500+200*(13.5—X)件
分析： 通过一步步的探 销售量可以表示为__50_0_+_2_0_0_*(_1_3_.5_—__X_)__； 索，明确目标求 销售额（销售总收入）可以表示为 _[_5_0_0+_2_0_0_*_(1_3_.5_—__X_)_] ；X 出销售单价与利 所获利润与销售单价之间的关系式可以表示: 润分的析关最系大，利进润_而________Y_=_[5_0_0_+_2_0_0_*(_1_3_.5_—__X_)]_（__X_—__2._5_）_______
（二）教学难点
从实际问题中抽象出二次函数模型
二、学情分析
现在的中学生对一切充满好奇， 对新鲜事物总想了解它，利用这个心 理特点，引导学生自主探索生活中的 二次函数的数学问题。而且，九年级 学生已初步掌握函数的基础知识，积 累了研究函数性质的方法及用函数观 点解决实际问题的初步经验。但由于 学生对二次函数的应用意识较淡薄， 运用二次函数解决问题的能力需提高。
一、教材分析
2、教学目标 （过程与方法）
（1）通过教师的提问，引导学生自主探讨， 用观察法、归纳法、图像法，逐步分析二 次函数图象的顶点坐标与函数最值的关系， 让学生懂得利用二次函数知识解决实际问 题。
（2）通过课堂的训练，让学生懂得求解二 次函数的一般方法，再结合生活中例子， 引导学生抽象出二次函数的数学模型，让 学生体会函数的思想方法和数形结合的思 想。
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探究新知、得出结论
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。 根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在 一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而 单价每降低1元，就可以多售出200件。 设销售价为x元(x≤13.5元)，那么 5003200 200 13200 .5 x 销售量可表示为 ： x 件；
2 x500 200 13 . 5 x 元； 3200 x 200 x 2 x200 500 2.5x 200 13 .5 x 元； 所获利润可表示为： 3700 x 8000 当销售单价为 9.25 元时，可以获得最大利润,最大 利润是 9112.5元。
展示课题、提出目标 展示课题、明确ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ标：
• 二次函数(六) 何时获得最大利润
• 本节课学习目标：
• 1、经历探索Ｔ恤衫销售中最大利润等问题的过程， •
体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受 数学的应用价值； 2、学习分析和表示实际问题中变量之间的二次函 数，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大 （或小）值，发展解决问题的能力。
• 儿童商场购进一批M型服装，销售时每件标
价为75元，按八折销售仍可获利50%。商 场现决定对M型服装开展促销活动，每件在 八折的基础上再降价x元销售，已知每天销 售数量y（件）与降价x(元）之间的函数关 系为 y 20 4 x( x f 0) （1）求M型服装的进价；（2）求促销期间 每天销售M型服装所获得利润w的最大值。
温故而知新
利润= 售价－进价 总利润= 每件利润×销售额
某水果店销售一批水果，每箱进价为40元，售价60元， 20 每天可卖50箱。(1)每箱利润是__元，一天的总利润是 ______ 元。(2)由于积压时间不能太长，所以该店决定 1000 降价出售，若降价5元，则每天可多售出10箱。设现在 售价为x元（40＜x＜60)，则现在每天可卖出________ (120 2 x) (170 2 x) 箱，每天共卖出 ________箱，每箱的利润为 ______元， ( x 40) ( x 40)(170 每天的总利润为 _____________ 元。 2 x)
每人单价800元。旅行社对超过30人的团给 予优惠，即旅行团每增加1人，每人的单价 就降低10元。你能帮助算一下，当一个旅 行团的人数是多少时，旅行社可以获得最 大营业额？
作业
P66 问题解决 第2题（做练习本上） 第3题（选做题，做书上）
强化训练、巩固新知
何时获得最大利润
1、便民商店经营一种商品，在销售过程中发 现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间 的关系满足 y=-2(x-20)² +1558 ,由于某种原因， 价格只能满足 15≤x ≤22 ，那么一周可获得的 最大利润是_____1558 元。 2、若某种商品的利润y（元）与售价x(元)之 间的关系式是 y=-x² +8x+9 ，且售价x的范围是 24 元。 1≤x ≤3 ，则最大利润是____
探究 探究新知、得出结论
何时获得最大利润
出售某种手工艺品，若每个获利 x 元， 一天可售出 (8-x) 个，请你分析： 4 当x=_____ 元时，一天出售该种手工艺品的总 16 元。 利润最大，最大利润是____
探究新知，得出结论 何时获得最大利润
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是 2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满 足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元 时，销售量是500件，而单价每降低1元，就 可以多售出200件。 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以 获利最多?
形成评价、反馈矫正
通过本节课的学习，你学到了什么？
本节课我们学会了用二次函数知识解决销 售中最大利润的问题，增强了应用数学知识的 意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经 验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识 的应用价值，发展了解决问题的能力。
形成评价、反馈矫正 形成评价、反馈矫正
• 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，
销售额可表示为：
强化训练、巩固新知
何时获得最大利润
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以 单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的 减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少 20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大 利润？
强化训练、巩固新知
复习旧知
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
对称轴和顶点坐标公式：
b 直线x 2a
b 4ac b 2 , 2a 4 a
＜ 时，函数有最大值；当a___0 ＞ 当a___0 时，函数有最小值。
诊断评价、铺垫引入 诊断评价、铺垫引入：
1、二次函数y=( x-1)²+2 当 x=___ 1 时，函数 取最小值___ 2 ； 2、二次函数y= -2 x²+ 8x-3 ，当 x=____ 2 时， 5 。 函数取最 大值___