下载文档原格式
三反证法与放缩法学习目标1・理解并掌握反证法、换元法与放缩法；2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式.1.将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法•2.证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理，得到和命题的条件或己讦明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.3.在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思考感悟运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式.课堂互动讲练考点突破反证法证明不等式设0<«v2,0v方v2,0vcv2, 求证: (2 —a)9C, (2—&)•«, (2—c)•方不可能同时大于1.【思路点拨】结论若是“都是”、“都不是”、“至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题，往往考虑反证法，本题“不大于”的反面是“大于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”・【ss】sa ^(2—a )・C V L(2—b)・avL(2lc)・0VL s(2—a)・c ・(2—b)・a ・(2—c)・bvl ・CD・・• 0AaA290AT2©<CA292—a+a7・・・(2—a )・a /A( 2) H l ・ 回«“(2—3&A L (2—c )・c/Al ・・・・(2—a )a ・(2—3&・(2—c)・c /A L wIr ㊀m^M. •••s ^^ 暑•【名师点评】当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.变式训练1已知f(x)=x2+px+q,⑴求证：/(1)+/(3)-2/-(2)=2；⑵求证：旷(1)1,『(2)1,『(3)1中至少有一个不小于12-证明：(1加1)+/(3)-欲2)=(l+〃+q)+(9+切+q) —2(4+2p+q)=2・⑵假设肛1)1，『(2)1,『(3)1都小于言・则『⑴ l+2『(2)l+|/(3)lv2・而f(l)l+2『(2)l + !A3)IM/⑴+/(3)—欲2)=(l+p+q)+(9+3p+q)—(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果.・・・『(1)1、『(2)1、『(3)1中至少有一个不小于乞已知 0>0，6>0, C>0,且 0+方 2=c2.求证:当〃 M3时,a tl +b n <c n.岁点二Ih换元法证明不等式【思路点拨】条件中的^+b2=c2可化为(夕尸L/ + (£)2=1,满足这个关系的务可以用三角代换，变成三角函数式的证明.【证明】sinA=_, cosA=-，c c0<sinA<l,0<cosA<l,/. sin A+cos"A=sin" 一2A «siii2A+cos" 一2A POS%<sin2A+COS2A = 1,即(#)"+(£)"vl・:.a n+b n<c n.④对于pl —込可设工=cos 〃或x=sin 仇【名师点评】 如果两个非负数的和为1,就可用 某个角的正、余弦表示这两个数，使两个变量变成一个以角为变量的三角函数式，三角代换的规律②若 a 2+b 2=r 2(r>0)9 可设 a=rcosa, ③若 r 2^a 2+b 2^R 2(R>r>0),可设 a=ccosa, b =csimz(/WcWR)；x=cos 伏 y=sin 〃；fe=rsina ；为:・号巴+半+1+卡・・・GWZ+9ZZ启z+ra启 s +1+a +ys o e a +9z u le 「z +£0。
三反证法与放缩法1．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1反证法阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】 C教材整理2放缩法阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是()【导学号：32750039】A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2hC．|a－b|＜h D.|a－b|＞h【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用反证法证“至多”“至少”型命题(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2.【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2.1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．[再练一题]1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．【证明】a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数．即a，b，c，d中至多有三个是非负数.利用放缩法证明不等式已知a n＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n＜32.【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．【自主解答】∵当n≥2时，a n＝2n2＞2n(n－1)，∴1a n＝12n2＜12n(n－1)＝12·1n(n－1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n，∴1a1＋1a2＋…＋1a n＜1＋1211×2＋12×3＋…＋1n(n－1)＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＝32－12n＜32，即1a1＋1a2＋…＋1a n＜32.1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．[再练一题]2．求证：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．【证明】∵k2＞k(k－1)，∴1k2＜1k(k－1)＝1k－1－1k(k∈N＋，且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得1 22＜11·2＝1－12，132＜12·3＝12－13，…，1n2＜1n(n－1)＝1n－1－1n.因此1＋122＋132＋…＋1n2＜1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＝1＋1－1n＝2－1n.故不等式1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．[探究共研型]利用反证法证明不等式探究1【提示】证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．探究2反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？【提示】常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：常见词语至少有一个至多有一个唯一一个是有或存在全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上不是不存在不全不都是【精彩点拨】本题中的条件是三边间的关系2b＝1a＋1c，而要证明的是∠B 与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．【自主解答】∵a，b，c的倒数成等差数列，∴2b＝1a＋1c.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b＞a＞0，b＞c＞0，∴1b＜1a，1b＜1c，∴2b＜1a＋1c，这与2b＝1a＋1c相矛盾．∴假设不成立，故∠B＜90°成立．1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B ≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[再练一题]3．若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.【导学号：32750040】【证明】 法一 假设a ＋b >2， a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0， 故取等号的条件为a ＝b ＝0，显然不成立， ∴a 2－ab ＋b 2>0.则a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>2(a 2－ab ＋b 2)， 而a 3＋b 3＝2，故a 2－ab ＋b 2<1， ∴1＋ab >a 2＋b 2≥2ab ，从而ab <1， ∴a 2＋b 2<1＋ab <2，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab <2＋2ab <4， ∴a ＋b <2.这与假设矛盾，故a ＋b ≤2. 法二 假设a ＋b >2，则a >2－b ， 故2＝a 3＋b 3>(2－b )3＋b 3， 即2>8－12b ＋6b 2，即(b －1)2<0， 这显然不成立，从而a ＋b ≤2.法三 假设a ＋b >2，则(a ＋b )3＝a 3＋b 3＋3ab (a ＋b )>8. 由a 3＋b 3＝2，得3ab (a ＋b )>6，故ab (a ＋b )>2. 又a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2， ∴ab (a ＋b )>(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)， ∴a 2－ab ＋b 2<ab ，即(a －b )2<0.这显然不成立，故a＋b≤2.[构建·体系]反证法与放缩法—⎪⎪⎪⎪⎪—反证法与放缩法的定义—反证法的一般步骤—证明不等式—放缩的技巧1．实数a，b，c不全为0的等价条件为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.【答案】 D2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为()A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0C．a，b，c不全是正数 D.abc＜0【解析】a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.【答案】 C3．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是()A．综合法B．放缩法C．分析法 D.反证法【解析】由分析法的证明过程可知选C.【答案】 C4．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N＋)的大小关系是________.【导学号：32750041】【解析】 A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥＝nn ＝n .【答案】 A ≥n5．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋yx <2中至少有一个成立．【证明】 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋yx <2中至少有一个成立．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
