一参数方程(教案)
、
知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)
1. 曲线的参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的
函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)
在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程?2. 参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参
数得到普通方程?
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方
程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在
y g(t)
参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致?
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3. 圆的参数方程
设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在
圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。
y rsi n
这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转
过的角度。
圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,
x a r cos
它的参数方程为：(为参数)。
y b r sin
4?椭圆的参数方程
以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为
2 ）o
注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和
这一点的旋转角
区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外
（即
在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。 但当0
x bCOt
(为参数，其中 (0,2 )e 且 y acsc
以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 2 2px （p 0）的参数方程为
2 x
2
a
2
b 2
1(a
x b 0）,其参数方程为
y
acos
bsin
（为参数），其中参数 称为离
心角; 焦点在
y 轴上的椭圆的标准方程是
2
y 2
a
2
x 2 1(a b 0),其参数方程为
b
bcos
asin
为参数）,其中参数 仍为离心角，通常规定参数
的范围为 € [0 ,
相应地也有0
2，在其他象限内类似。
5.双曲线的参数方程 以坐标原点
（不要求掌握） O
为中心，焦 占
八
轴上的双曲线的标准方程为
2 x
2 2
a b 匸1(a
0,b 0）,其参数
x asec
(为参数),其中 y bta n
[0,2 )且
2'
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是
2 y 2
a
2
x b 2 1（a 0,b 0）,其参数方程为
y y tan (x X o ),而过M o (X 0,y o ),倾斜角为 的直线I 的参数方程为
注：直线参数方程中参数的几何意义： 过定点M 0(x ),y 0)，倾斜角为
X x 0 t cos
的直线I 的参数方程为
(t 为参数)，其中t 表示直线I 上以
y y o tsin
定点叫为起点，任一点 M(x,y)为终点的有向线段
的数量，当点在 M 上
方时，t >0；当点M 在凶0下方时，t v 0；当点M 与M o 重合时，t =0。 我们也可以把参数t 理解为以M o 为原点，直线I 向上的方向为正方向的数 轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 、题型探究
探究一：把参数方程化为普通方程
(1 )化G, C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;
的距离的最小值。
G 为圆心是(-4 , 3),半径是1的圆。
G 为中心是坐标原点，焦点在 上‘轴上，长半轴长是 8,短半轴长是3的椭圆。 W
3
I = — ? 丿 m - 6
M(-2 十十一sin 的
(H)当 2时，尸(-44)一0隔匚帖&3过刃，故 2
C 3为直线x-2y-7=0 , M 到G 的距离
7.直线的参数方程
经过点M 0(X o ,y 。)，倾斜角为 (
丿的直线1的普通方程是
X X t cos y y o tsin
例1 :已知曲线C :
W 嚟化为參数)
C 2： fx = BcosO
（y = S^inO
为參数)
(2)若C i 上的点P 对应的参数为
Q 为C 2上的动点，求 PQ 中点M 到直线
解答：（I ） C 1
+ ?
=1,C 2 :
2 2
x y +
64 9
探究二：椭圆参数方程的应用
例2:在平面直角坐标系xoy 中，点p(x,y)是椭圆3十歹 1
的最大值
故可设动点 P 的坐标为(「：；＞；一'.川匸)，其中-1
--匚：因此，s=x+y=C ：g'环:+ ''
0 +
=2si n(
)所以，当
探究三：直线参数方程的应用
例3:过点?”. 作倾斜角为上的直线与曲线?亠甘 丄交于点M,N, 求|PM||PN|的最小值及相应
的
*買=冷2 y%仙药逾
解析：设直线为 卜-门血业 ，代入曲线并整理得
3
■n
咖 + (V10 tPsaX + -=0
|磁| 犁=|花 | 二一
尸戈，则 ......................... l-Fsm 3^
所以当川「二1时，即 探究四：圆的参数方程的应用
3
0 二 L 0 = r 5 ,sin 5
从而cos 时,d 取得最小值 3
u =-
4
，此时 2
上的一个动点，求s=x+y
解答:
2
X 2 —+ y
= 1 因椭圆
的参数方程为
工盘叫0於数)
的值。
X = 2 4- -/2 EOJ H V
— Vi siTk it* 例4:已知曲线C 的参数方程是 相交于两点A B
(1) 求曲线C 的普通方程；
(2) 求弦AB 的垂直平分线的方程(3)求弦AB 的长
Jt - 2 = -J2 GMi^1
_ _
f- , q no -纣十h =￡
』m
3tn 存
'为参数)，且曲线C 与直线 ? =0
解答：(1)由L
所以，曲线C 的普通方程为(x — 2) 2+y 2
=2 O
'，|PM| |PN|的最小值为
, 梧
-
(2 )因为-，所以AB 的垂直平分线斜率为:. 又垂直平分线过圆心(2, 0),所以其方程为
(3) 圆心到直线 AB 的距离-一二三一；，圆的半径为r= 所以 T - I - 二二一 探究五：参数方程的综合应用
x+y 的最值，
例6: 过点(2,1)的直线被圆 x 2+y 2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是
_________ ;截得的最短弦所在的直线方程是 ______________ ;
例7:若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0 ,则x-2y 的最大值为 ____________________
已知点P ( x ，y )是圆
x 2 y 2 6x 4y 12 0 上动点,
(1) 2 2
x y 的最值,
(3) P 到直线x+y-仁0 的距离d 的最值。
x 2
y 2
6x 4y 12
0 即(x
2 2
3) (y 2)
1 , 用参数方程表示为
{:
3 cos 2 sin
由于点P 在圆上，所以可设 P (3+cos 0, 2+sin 0), (1) x 2 y 2
(3 cos )2 (2 sin )2
14 4 si n 6 cos
14 2.13 sin(
)
(其中tan
=1.5)
??? x 2
y 2的最大值为14+2 5 -
,最小值为14- 2
⑵ x+y= 3+cos
值为5 - J ：
0 + 2+s in 0 =5+ 2 sin (
)? x+y 的最大值为 5+ ■--，最小
显然当sin (
(3)
时，d 取最大值，最小值，分别为 1 2 2 , 1 2 2 .
四、反思感悟
五、课时作业一、选择题
1若直线的参数方程为x 1 2t
y 2列为参数），则直线的斜率为（D）
223
A .
B . C—D
332
2.下列在曲线
3
.
将参数方程
A
.
4、A. 方程
一个定点
二、填空题
x 5.直线
y x si n2
y cos
（为参数）上的点是（B ）
sin
2 sin2
.2
sin
2(2
4tx
3)
2ty 5t2
C . (2, . 3)
D . (1^3)
为参数）化为普通方程为（C
? 一个椭
圆
2(0 y 1)
0 （t为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是（
D
） C .一条抛物线 D .一条直线
4t
（t为参数）的斜
率为
5t
t t
x e e
6 ?参数方程
t t 仇为参数）的普通方程为
_________________________ 。
y 2（e t e t
）
x 1 3t
7 ?已知直线 h ：
（t 为参数）与直线l 2 ：2x 4y 5相交于点 B ，又点
y 2 4t
A （1,2），则 A
B _0.5__
x 2 cos
. ------- , ----------- 丁
8、已知
.（为参数），则（x 5） （y 4）的最大值是6。 y sin
-
x cos
y 2 2y 的一个参数方程为
（为参数）
y 1 sin
2
%会癞被圆x 2 y 2 4截得的弦长为 両
2
（t 为参数）
1 S
2
三、解答题
11. （ 2012年高考23）.（本小题满分10分）选修4 — 4;坐标系与参数方程
x = 2cos 6
已知曲线C 的参数方程是y = 3sm （ 6
为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 2的极坐标方程是 p =2.正方形ABC
D 的顶点都
n
在C 上，且A B 、C 、D 以逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2 ,—）.
（I ）求点A B C 、D 的直角坐标;
（n ）设P 为G 上任意一点，求|PA| 2+ |PB| 2 + |PC| 2+ |PD| 2的取值范围。
5 4
（23）解：（I ）依题意，点A , B , C , D 的极坐标分别为（2, ）、（2, 5 ）、（2, 4
）、
9.曲线x 2
10 .直线x
3 6 3
11
⑵6).
所以点A, B , C , D的直角坐标分别为（1, 3）、（3,1）、（ 1, 3）、（ 3, 1）；
2 2 2 2
(n)设P 2cos ,3sin ，则| PA | | PB | | PC | | PD |
=(l-2cos0『—3sin°) +(—>/J_2cos0)+1 l-3sin (p\ +(-l-2cos°f + (—曲一3sin?) +(右一2cos0)+(-l-3sin
=16cos2 0+36sin' 0+16 = 32 + 20sin2 0G [32,52].
所以\PA\2 ^\PB\2+ PC|24|J3Z)|2^ 取值范圏为[32,52