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专题十一指数函数与对数函数知识精讲一知识结构图二.学法指导1.正确区分na n与(na)n：(1)(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；(2)na n中的a可以是全体实数，na n的值取决于n的奇偶性．2. 带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3．指数幂运算的常用技巧（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.4.判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.5．求指数函数的解析式常用待定系数法．6.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．7．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.8.性质alog a N＝N 与log a a b ＝b 的作用 (1)a log a N＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式．(2)log a a b ＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数．9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，底数不同时，利用换底公式把底数换成相同，再找真数间的联系． 10.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. 11.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．13．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．三.知识点贯通知识点1 根式运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n例题1.(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．【答案】(1)－1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.【解析】(1)∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.](2)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.知识点二 利用分数指数幂的运算性质化简求解1.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)2.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)3.幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 例题2：化简求值：知识点三 指数函数的概念1.一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 例题3 .已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. 【答案】19【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19知识点四 指数函数的性质及运用 1.指数函数的性质R例题4．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.【解析】(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 例题5. 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1； (4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．【解析】(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，因为函数y ＝0.6x 在R 上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1， 所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3； 当0<a <1时，y ＝a x 在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3. 知识点五 对数运算性质的应用 对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 例题6.计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.【解析】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12(lg 2＋lg 9－lg 10)lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.知识点六 对数的换底公式1.若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .例题7.(1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解析】(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.(2)∵18b ＝5，∴b ＝log 185. 又log 189＝a ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .知识点七 对数函数的概念1.函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 例题8.若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.知识点八 对数函数的图象与性质(0，＋∞)例题9.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； 【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． 例题10.比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54. 五 易错点分析易错一 指数幂运算中的条件求值例题11.已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【解析】(1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194. 误区警示已知条件求值时，注意把条件作为整体，找条件与所求结论的关系，根据关系利用合适的公式求解。
专题09 函数与方程考点53 函数的零点1．函数的零点对于函数y ＝f （x ），把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数y ＝f （x ）的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点． 3．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．【例】求函数f （x ）＝2x＋lg （x ＋1）－2的零点个数．【解析】解法一：∵f （0）＝1＋0－2＝－1<0，f （2）＝4＋lg3－2>0，由零点存在性定理，f （x ）在（0,2）上存在实根又f （x ）＝2x ＋lg （x ＋1）－2在（0，＋∞）为增函数，故f （x ）有且只有一个零点． 解法二：（数形结合）在同一坐标系中作出g （x ）＝2－2x和h （x ）＝lg （x ＋1）的图象（如图所示），由图象可知有且只有一个交点，即函数f （x ）有且只有一个零点．1．下列函数没有零点的是 A ．f （x ）＝0 B ．f （x ）＝2 C ．f （x ）＝x 2－1 D ．f （x ）＝x －1x【答案】B【解析】函数f （x ）＝2，不能满足方程f （x ）＝0，因此没有零点．2．若y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是 A ．若f （a ）·f （b ）<0，不存在实数c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0B ．若f （a ）·f （b ）<0，存在且只存在一个实数c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0C ．若f （a ）·f （b ）>0，不存在实数c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0D ．若f （a ）·f （b ）>0，有可能存在实数c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0 【答案】D【解析】由零点存在性定理可知选项A 不正确；对于选项B ，可通过反例“f （x ）＝x （x －1）（x ＋1）在区间[－2，2]上满足f （－2）·f （2）<0，但其存在三个零点：－1，0，1”推翻；选项C 可通过反例“f （x ）＝（x －1）·（x ＋1）在区间[－2,2]上满足f （－2）·f （2）>0，但其存在两个零点：－1，1”推翻． 【解题技巧】确定函数f （x ）的零点所在区间的常用方法（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f（a ）·f （b ）<0．若有，则函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内必有零点．（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 3．下列图象表示的函数中没有零点的是．【答案】A【解析】B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点． 4．根据表格中的数据，可以断定函数f （x ）＝e x－x －2的一个零点所在的区间是．A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）【答案】C【思路归纳】确定函数的零点（方程的根）是否在区间（a,b ）时，通常利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号．（1）先求f （a ），f （b ）；（2）判断f （a ）f （b ）的符号；（3）若f （a ）f （b ）<0,则零点在区间内，否则，不在区间内。
．指数函数y ＝a x
，当，a ＝12，a ＝10，a
时间：45分钟，满分：分) 一、选择题(本大题共小题，每小题5分，共30分)
．函数f (x )＝πx
与x
的图象关于( )
，x≥0
，所以选B.
＝d x的图象如图所示，( )
，于是0<1－1
a
<1，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在0<a <1，于是1－1
a
<0，故D 选项正确．
个小题，每小题5分，共15分)
，x
，
x
，x ，
⎪
＋1
x ＜－＋1
x ≥－
⎭⎪⎫x ＋1(x ＜－1)的图象作出，＝2x ＋1(x ≥－1)的图象作出，
x 的图象向下平移一个单位后，再把位于的图象无交点，即方程无解；|3x －1|的图象有唯一的交点，即方程有一解；1|的图象有两个不同交点，即方程有两解．能力提升
图象的大致形状是( )
R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎨⎧
a x
，x >0，
－a x ，x <0.
当x >0时，函数是一个指数函数，因
<0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x <0)的图象关于－x )(a >0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
2，419.
，＋∞)上是增函数．
⎭
⎪⎫
419，
⎭⎪⎫＝419.
＝
. ∵0≤x1≤x2，∴31x－32x<0，且。
专题06 指数函数考点29 根式的化简运算根式（1）定义：如果n x a =，那么x 称为a 的n 次方根.（2,a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数=nn a )(a .【例】计算： 3－22＋3－23＋4－24.【解析】∵3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2， ∴原式＝－22＋3－23＋4－24＝|1－2|＋(1－2)＋|1－2| ＝2－1＋1－2＋2－1＝2－1．1．4a -2＋（a –4）0有意义，则a 的取值范围是 A ．a ≥2 B ．2≤a <4或a >4 C ．a ≠2D ．a ≠42．5－26的平方根是 A ．3＋ 2 B ．3－ 2C ．2－ 3D ．3－2，2－3【答案】D ．【解析】∵5－26＝（3－2）2，从而5－26的平方根是3－2和2－3，从而选D 项． 3．下列各式正确的是 A ．（－3）2＝－3B ．4a 4＝a C ．22＝2 D ．3（－2）3＝2【答案】C 【解析】由于（－3）2＝3，4a 4＝|a |，3（－2）3＝－2，故A 、B 、D 错误，故选C ．【易错易混】解题时注意符号． 4．下列式子中成立的是 A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3【答案】C【解析】要使a －a 有意义，则a ≤0， 故a －a ＝－（－a ）－a ＝－（－a ）2·（－a ）＝－－a 3，故选C ．5．（a －b ）2＋5（a －b ）5的值是A ．0B ．2（a －b ）C ．0或2（a －b ）D ．a －b【答案】C【解析】分类讨论，当a－b≥0时，原式＝（a－b）＋（a－b）＝2（a－b）；当a－b<0时，原式＝－（a－b）＋（a－b）＝0．【易错易混】na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a|，n为偶数a，n为奇数，要解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式，还是偶次根式．6．当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果是A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x【答案】C【解题技巧】为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．1．当a、b∈R，下列各式总能成立的是A．（6a－6b）6＝a－b B．8（a2＋b2）8＝a2＋b2C．4a4－4b4＝a－b D．10（a＋b）10＝a＋b【答案】B【解析】本题可以通过取特殊值排除，最后确定正确选项．如取a＝0，b＝1，A不成立；取a＝0，b＝－1，C 不成立；取a＝－1，b＝－1，D不成立；因为a2＋b2≥0，所以B正确．2．计算：－x3＝A．x－x B．－x xC．－x－x D．x x【答案】C【解析】由已知，得－x3≥0，所以－x3＝－x x2＝－x·x2＝－x·|x|＝－x－x，选C．3．若xy≠0，那么等式x2y3＝－xy y成立的条件是A．x>0，y>0 B．x>0，y<0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0【答案】C【解析】∵xy ≠0，∴x ≠0，y ≠0．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2y 3>0－xy >0y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <0y >0．选C ．4．求下列各式的值： （1）3（－6）3＋4（5－4）4＋3（5－4）3；（2）x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9（－3<x <3）． 【答案】（1）–6；（2）–4孤独的根三初中我们就认识了根式，其中有个名字叫“根三”，高中我们还要更加深入认识根式，它的名字还是叫“根三”．是根式中的一员，我们知道它是一个无理数，近似值约为1．7320508075689…，假如可以，把人生比作算术． 我想我会，如3般孤独 3这个数字，如此纯良美好 可我的3呵，却顶着个根号隐居在这个绝望的窠臼——我多么希望自己能是个9！ 因为这层艰险，9不会害怕 只需轻轻运算，就全部消化 可阳光永远照不到这儿因为我是1．7320…从我出生的那一刻起就有个名字叫无理……快看！是什么在我眼前闪？莫不是另一个？轻盈的脚步，与你如此相称我们在一起，于是彼此相见……就这样成为一个整数不用再对着“有理”羡慕仿佛有魔棒轻轻挥过我们，从这尘世的枷锁解脱——终于粉碎这头顶的拘禁而你我的心，从此更加靠近！考点30 根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂的互化（1）1na=（2）mmna==（3）-1mnmnaa=【例】若xy≠0，那么等式x2y3＝－xy y成立的条件是A．x>0，y>0 B．x>0，y<0C．x<0，y>0 D．x<0，y<0【答案】C【解析】∵xy≠0，∴x≠0，y≠0．由⎩⎪⎨⎪⎧x2y3>0－xy>0y>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x<0y>0．选C．【解题技巧】解答本题是注意被开方数的取值范围．1．已知x5＝6，则x等于A． 6 B．56C．－56 D．±56【答案】B【解析】由根式的定义知，x5＝6，x＝56，选B．【规律小结】化简计算时常将根式化为分数指数幂，求函数定义域时，为方便观察各式的取值范围，常将分数指数幂化成根式．2．下列各式中成立的一项是A．（nm）7＝n7m17 B．12（－3）4＝3－3C．4x3＋y3＝（x＋y）34 D．39＝33【答案】D【解析】（n m）7＝n 7m －7；12（－3）4＝33；4x 3＋y 3＝（x 3＋y 3）14．3．已知a ＝32，b ＝3，则b 3a a 2b 6的值为 A ．1 B ． 3 C ．3 D ．2【答案】A【解析】b 3aa 2b 6＝b 3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 6 12＝b 3aab 3＝1． 【解题指南】若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 4．【答案】53x ，13x -53x =13131x x-==；0m na a （＞）可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数幂的分母．5．用根式分别表示表示45x =，2132x y -=___________．1．使代数式（|x |－1）－ 13有意义的x 的取值范围是 A ．|x |≥1 B ．－1<x <1 C ．|x |>1 D ．x ∈R ，且x ≠±1【答案】D【解析】（|x |－1）－ 13＝13|x |－1，∴|x |－1≠0，即x ≠±1．∴x 的取值范围是x ∈R ，且x ≠±1．2．用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）．（1（2．【答案】（1）1223ab a b （+）；（2）1332a b （+）．【解析】（11223ab a b =（+）．（221333342a b a b ==（+）（+）． 3．已知0<x <1，x 2－3x ＋1＝0，则x 12－x 12-的值为A ．1B ．－1C ．1或－1D ．－ 54．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两个实数根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值． 【答案】55． 【解析】（1）∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a >b >0，∴a >b ．则⎝⎛⎭⎪⎫a － b a ＋ b 2＝a ＋b －2 ab a ＋b ＋2 ab ＝6－2 46＋2 4＝210＝15． ∴a － ba ＋ b＝15＝55．幂的玄机有一天，一个叫杰米的百万富翁，碰上一件很奇怪的事．一个叫韦伯的人对他说：“我想和你定个合同，我将在整整一个月每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？！你说话算数？”合同生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产，指数爆炸让杰米吃了大苦头．这其中的奥妙玄机在哪呢？考点31 指数幂的运算指数幂的运算性质 （1）a a aαβαβ+=；（2）()a a αβαβ=；（3）()ab a b ααα=；．【例】若a >1，b >0，a b＋a –b＝22，则a b －a –b等于 A ． 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2【答案】D【方法技巧】平方法在求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．1．下列各式运算错误的是 A ．（－a 2b ）2·（－ab 2）3＝－a 7b 8B ．（－a 2b 3）3÷（－ab 2）3＝a 3b 3C ．（－a 3）2·（－b 2）3＝a 6b 6D ．[－（a 3）2·（－b 2）3]3＝a 18b 18【答案】C【解析】对于A ，（－a 2b ）2·（－ab 2）3＝a 4b 2·（－a 3b 6）＝－a 7b 8，故A 正确；对于B ， （－a 2b 3）3÷（－ab 2）3＝－a 6b 9÷（－a 3b 6）＝a6－3b 9－6＝a 3b 3，故B 正确；对于C ，（－a 3）2·（－b 2）3＝a 6·（－b 6）＝－a 6b 6，故C 错误；对于D ，易知正确，故选C ．2．下列各式中正确的个数是（1）n a n＝（n a ）n＝a （n 是奇数且n >1，a 是实数）； （2）na n ＝（na ）n＝a （n 是正偶数，a 是实数）；（3）3a 3＋b 2＝a ＋b （a ，b 是实数）． A ．0 B ．1 C ．2D ．3【易错易混】对指数幂的运算，要分清开方、乘方等的运算顺序，用好分数指数幂的运算法则与性质及一些乘法公式．3．计算（2a －3b －23）·（－3a －1b ）÷（4a －4b －53）得 A ．－32b 2B ．32b 2C ．－32b 73D ．32b 73 【答案】A【解析】原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2．【解题技巧】指数幂运算的一般原则（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．4．614－3338＋40.062 5－（3＋π）0的值是 A ．0 B ．12 C ．1D ．32【答案】B【解析】原式＝52－32＋0．5－1＝12．5．计算0．25－0．5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫127－13－416的值为 A ．7B ．3C ．7或3D ．5【答案】B【解析】0．25－0．5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫127－13－416 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－424＝2＋3－2＝3． 6．完成下列式子的化简：（1）（a －2b －3）·（－4a －1b ）÷（12a －4b －2c ）； （2）23a ÷46a ·b ×3b 3．1．计算++–，结果是A ．1B ．2C ．D ．【答案】B 【解析】原式=++–1=++1–1=2．2．⎝⎛⎭⎪⎫1＋1232⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12的值等于 A ．1－1264 B ．2－1263 C ．12－1265 D ．34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1232【答案】B【解析】原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1232＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1232＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1264＝2－1263．3．已知11225a a -+=，则21aa +的值=__________． 【答案】1234．已知67x ＝27,603y＝81，求3x －4y的值．【答案】–2【解析】观察目标可以得到对条件进行如下变形， ∵67x＝27，∴67x＝33，∴3367x =，同理，由603y＝81得43603y=， 两式相除得34233x y--=，∴3x －4y＝－2．举一反三有一天，“至圣先师”孔子对他的学生说：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”意思是说，我举出一个墙角，你们应该要能灵活的推想到另外三个墙角，如果不能的话，我也不会再教你们了．后来，大家就把孔子说的这段话变成了“举一反三”这句成语，意思是说，学一件东西，可以灵活的思考，运用到其他相类似的东西上！考点32 指数函数指数函数的概念:函数y ＝a x（a >0,且a ≠1）叫做指数函数． 【特别提醒】（1）底数是大于0且不等于1的常数； （2）指数函数的自变量必须位于指数的位置上； （3）a x的系数必须为1；（4）指数函数不会是多项式，如y =2x+1不是指数函数．【例】已知函数f （x ）是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，则f （3）＝________．A ．5B ．25C ．125D ．250【思路归纳】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式；将x =3代入解析式，即可求出f （3）．1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有①底数a ≥0；②指数x ∈N ＋；③底数不为0；④y ＝a x（a >0，a ≠1，x ∈N ＋）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】D【解析】由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D ． 2．下列各函数中，是指数函数的是 A ．y ＝（－3）xB ．y ＝－3C ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x【答案】D【解析】根据指数函数的定义，y ＝a x（a >0且a ≠1），可知只有D 项正确．故选D ． 3．函数y ＝5x，x ∈N ＋的值域是 A ．R B ．N ＋C ．ND ．{5，52，53，54，…}【易错易混】注意自变量的取值，准确写成集合的形式。
