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对数与对数函数 知识梳理1、对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔= 【扩展】两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为. 2、对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n Mn R =∈3、画出函数2log xy =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象42-2-4-55探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？画出4log y x =，3log y x =，13log y x =和14log y x =提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征函数的性质（1）图象都在y 轴的右边 （1）定义域是（0，+∞） （2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（3）当a ＞1时，log xa y =是增函数，当0＜a ＜1时，log a y x =是减函数. （4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（4）当a ＞1时x ＞1，则log a x ＞00＜x ＜1，log a x ＜0 当0＜a ＜1时x ＞1，则log a x ＜00＜x ＜1，log a x ＜0由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：a ＞10＜a ＜1图象性 质（1）定义域（0，+∞）； （2）值域R ； （3）过点（1，0），即当x =1，y =0； （4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数精讲精练（1）对数运算的例题【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=.【例3】试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.【例4】化简与求值：（1）221(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212++-+ ；（2）2log (4747)++-.【例5】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题） 【例6】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .【例7】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值.（2）对数函数图象和性质的例题【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.【例5】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例6】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<【例7】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？课堂作业（1）对数幂的运算1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .（1）12155-=（2）42log x = （3）1327x =（4）1()644x= （5）lg0.0001x = （6）5ln e x =2．求log log log ,a b c b c Na⋅⋅∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.3．计算331log log 5533+的值.4、判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log aa a xx y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x=- （7）1log log n a a x x n=5. 用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xyz =____________; （2）23log 8a x y =______________________;（3）75log (42)z ⨯=______________; （4）5lg 100=_____________________; 6. 已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 7、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 8、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ ）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -9、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++= 的两根是,αβ，则αβ 的值是（ ）A 、lg5lg 7B 、lg 35C 、35D 、351 10、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、123 C 、122 D 、13311. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。
对数与对数运算法则对数是数学中一个重要的概念，在很多领域中都有广泛的应用，比如数学、物理、工程等。
它能够简化大数值的运算和计算复杂问题，也有助于解决各种类型的方程和不等式。
本文将探讨对数的含义，以及对数运算的法则。
1.对数的含义：对数最基本的定义是，对于一个正数a，如果b是一个正数且满足a 的b次方等于另一个正数x，那么b就是以a为底x的对数，记为log_a(x)。
其中a被称为对数的底数，x被称为真数，b被称为对数。
用数学语言描述对数，可以写作a^b=x，等价于log_a(x)=b。
2.对数运算的法则：对数运算有一系列的基本法则，可以简化对数的运算和推导。
2.1对数的互换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m×n)=log_a(m)+log_a(n)。
这条法则允许我们将乘法变成加法。
2.2对数的逆运算性：如果a>0且a≠1，那么对于正数m和任意正数b，有：a^(log_a(m))=m。
换句话说，当对数与指数运算发生时，可以互相抵消。
2.3对数的对换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。
这条法则允许我们将除法变成减法。
2.4对数的幂次性：如果a>0且a≠1，那么对任意正数m和正数b，有：log_a(m^b)=b×log_a(m)。
换句话说，可以通过幂次运算将对数与指数运算进行交换。
2.5对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，有：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。
这条法则允许我们将对数底数的换成任意值，并以其他常见的底数来计算。
3.对数运算的应用：3.1科学计数法：对数可以简化大数值的表示。
通过对数运算，我们可以将一个很大或很小的数字表示为以10为底的对数形式。
例如，1,000,000可以写成log_10(1,000,000)=63.2方程的求解：对数可以帮助解决一些涉及指数和幂函数的方程。
对数函数的运算法则对数函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，具有许多重要的运算法则。
在本文中，将详细介绍对数函数的运算法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法法则以及对数的换底法则。
1.对数的乘法法则：对数的乘法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的和等于这两个数的乘积的对数。
具体表达式为：log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)。
例如，log_2(4 * 8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 52.对数的除法法则：对数的除法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的差等于这两个数的商的对数。
具体表达式为：log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)。
例如，log_2(16 / 4) = log_2(16) - log_2(4) = 4 - 2 = 23.对数的幂法法则：对数的幂法法则是指，在相同底数下，一个数的对数与这个数的幂之间存在关系。
具体表达式为：log_a(x^b) = b * log_a(x)。
例如，log_3(4^2) = 2 * log_3(4)。
4.对数的换底法则：对数的换底法则是指，可以通过换底公式将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
具体表达式为：log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)。
例如，log_2(16) = log_10(16) / log_10(2)。
通过运用以上的对数函数的运算法则，可以简化对数函数的运算和求解过程。
对数函数的运算法则在数学的各个领域中都有广泛的应用，特别是在解决指数增长、复利计算、数据压缩等问题中具有重要作用。
此外，还有一些其他的对数函数的运算法则值得注意，包括：- 对数的对数法则：log_a(log_a(x)) = 1，即对数的反函数是指数函数。
-对数函数的性质：对数函数的图像为一条增长缓慢的曲线，且在定义域内满足单调性和有界性。
对数的运算法则及公式是什么对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、数据处理和各个领域中都具有广泛的应用。
对数的运算法则及公式是用来简化对数运算的规则和公式，使得计算更加简便和高效。
本文将介绍对数的运算法则及常用的公式，并附上相应的解释和例子。
一、对数的基本概念在开始介绍对数的运算法则及公式前，首先需要了解对数的基本概念。
对数是指数运算的逆运算，可以将指数问题转化为对数问题。
具体来说，对于给定的正数a和正数b，如果满足以下等式：b = a^x那么x就是以a为底，b为值的对数，记作x = loga b。
其中，a被称为对数的底数，b被称为对数的真数，x被称为对数的指数。
二、对数的运算法则1. 对数相乘法则loga (b * c) = loga b + loga c对数相乘法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数分别取对数后相加。
例如，log2 (4 * 8) = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5。
2. 对数相除法则loga (b / c) = loga b - loga c对数相除法则表明，两个数的商的对数等于这两个数分别取对数后相减。
例如，log10 (100 / 10) = log10 100 - log10 10 = 2 - 1 = 1。
3. 对数的幂法则loga (b^c) = c * loga b对数的幂法则表明，一个数的指数的对数等于这个数取对数后再乘以指数。
例如，log3 (2^4) = 4 * log3 2 = 4 * 0.63 = 2.52。
三、对数的公式1. 换底公式对于任意的正数a、b和c，换底公式可以表示为：loga b = logc b / logc a换底公式可以用来将任意底数的对数转换为以其他底数的对数。
例如，log3 9 = log10 9 / log10 3 = 0.95。
2. 对数的积公式loga (b * c) = loga b + loga c对数的积公式是对数相乘法则的另一种形式，它表示对数值相乘等于对数分别相加。
对数的加减乘除运算规则1.对数的加法规则：对数的加法规则可以表示为：logₐM + logₐN = logₐ(MN)这意味着，在同一底数 a 下，两个对数的和等于这两个对数所对应的数的乘积的对数。
举个例子，假设 log₂4 + log₂16 = log₂(4 * 16) = log₂64 = 6、这个规则可以用于合并对数中的加法。
2.对数的减法规则：对数的减法规则可以表示为：logₐM - logₐN = logₐ(M/N)这意味着，在同一底数 a 下，两个对数的差等于被减数对应的数除以减数对应的数的对数。
举个例子，假设 log₃27 - log₃3 = log₃(27/3) = log₃9 = 2、这个规则可用于拆分对数中的减法。
3.对数的乘法规则：对数的乘法规则可以表示为：logₐM^p = p * logₐM这意味着，在同一底数 a 下，一个数的对数的幂等于该幂乘以该数的对数。
举个例子，假设 log₅(3^2) = 2 * log₅3 = 2log₅3、这个规则可以用于简化求幂的对数。
4.对数的除法规则：对数的除法规则可以表示为：logₐ(M/N) = logₐM - logₐN这意味着，在同一底数 a 下，一个数的对数的商等于该数的对数减去另一个数的对数。
举个例子，假设 log₂(8/2) = log₂8 - log₂2 = 3 - 1 = 2、这个规则可用于简化求商的对数。
值得注意的是，以上四个规则只适用于对数的底数相同的情况。
换句话说，加减乘除规则只适用于对数公式中底数相同的情况下。
此外，还有一些特殊的对数规则，如对数的乘方规则、对数的开方规则、对数的换底公式等。
但这些规则与对数的加减乘除运算规则有些许不同，不在本文的讨论范围内。
总结起来，对数的加减乘除运算规则是数学中重要的基本规则之一、它们可以帮助我们简化和解决复杂的对数运算问题，从而提高计算效率和准确度。
对数函数的运算法则对数函数是数学中常见的一类函数，它在许多科学领域都有广泛的应用。
在对数函数的运算中，有一些基本的法则和性质可以帮助我们简化计算和推导。
本文将介绍对数函数的常用运算法则，包括对数的加减法、乘除法、指数运算法则以及对数函数的换底公式。
一、对数的加减法对数函数的加减法法则可以用以下两个公式表示：1. 对数的加法法则：loga (mn) = loga m + loga n这个公式表示，在同一个底数a下，两个数的乘积的对数等于它们分别的对数之和。
例如，log2 (8×16) = log2 8 + log2 16 = 3 + 4 = 72. 对数的减法法则：loga (m/n) = loga m - loga n这个公式表示，在同一个底数a下，两个数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
例如，log10 (100/10) = log10 100 - log10 10 = 2 - 1 = 1二、对数的乘除法对数函数的乘除法法则可以用以下两个公式表示：1. 对数的乘法法则：loga (m^p) = p*loga m这个公式表示，在同一个底数a下，一个数的指数乘积的对数等于指数与底数的对数之积。
例如，log3 (9^2) = 2*log3 9 = 2*2 = 42. 对数的除法法则：loga (m^p/n^q) = p*loga m - q*loga n这个公式表示，在同一个底数a下，两个数的指数商的对数等于被除数的指数与底数的对数之差。
例如，log5 (25^2/5^3) = 2*log5 25 - 3*log5 5 = 2*2 - 3*1 = 4 - 3 = 1三、指数运算法则对数函数的指数运算法则可以用以下两个公式表示：1. 指数和对数的互换：a^loga m = m这个公式表示，在同一个底数a下，以底数为底的对数和指数可以互相抵消，得到原来的数。
例如，2^log2 8 = 82. 对数的指数运算：loga (a^m) = m这个公式表示，在同一个底数a下，以底数为底的对数函数和指数函数可以互相抵消，得到原来的指数。
对数之间的运算法则对数是数学中常用的一种运算方法，它有着独特的运算法则。
本文将介绍对数之间的运算法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法法则以及对数的换底法则。
一、对数的乘法法则对数的乘法法则是指两个数的对数相加等于这两个数的乘积的对数。
例如，log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)。
这个法则可以帮助我们简化复杂的乘法运算，将乘法转化为加法运算。
二、对数的除法法则对数的除法法则是指两个数的对数相减等于这两个数的商的对数。
例如，log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)。
这个法则可以帮助我们简化复杂的除法运算，将除法转化为减法运算。
三、对数的幂法法则对数的幂法法则是指一个数的对数与指数相乘等于这个数本身。
例如，log_a(b^c) = c * log_a(b)。
这个法则可以帮助我们求解指数运算中的对数值。
四、对数的换底法则对数的换底法则是指用一个底数的对数表示另一个底数的对数。
换底法则可以将对数从一个底数转化为另一个底数的对数。
具体来说，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
这个法则在实际计算中非常有用，可以将对数运算转化为常用的底数进行计算。
通过运用对数之间的运算法则，我们可以简化复杂的数学运算，提高计算的效率。
同时，对数法则的应用也有助于我们理解数学中的一些概念和关系，拓宽数学思维。
在实际运用中，对数的乘法法则和除法法则常常被用于处理大数乘除运算，例如在科学计算、金融领域中的复利计算等。
对数的幂法法则则可以用于求解指数方程，解决一些与指数相关的问题。
对数的换底法则则可以将不常用的底数转化为常用的底数，方便计算和比较。
对数之间的运算法则是数学中重要且实用的工具。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更加灵活地运用对数进行计算，并且深入理解数学中的一些概念和关系。
在实际应用中，对数运算法则可以帮助我们简化复杂的数学计算，提高计算的效率和准确性。
