专业课程设计学习材料源信号分离Source Signal Separation第一部分 简单介绍一、 目标我们的目标就是学习源信号分离理论的基础知识和源信号分离时涉及的相关学科知识，最终从观测信号中将源信号分离开来。
注意：此时信号源和混合形式可能是未知的。
-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.500.050.10.150.20.250.30.350.40.45图1 源信号波形-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.000.050.10.150.20.250.30.350.40.45-2.0-1.00.01.02.000.050.10.150.20.250.30.350.40.45图2 混合信号波形-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0图3 分离信号波形二、分离方法1、FFT 法；条件：不同源信号占有不同的频带2、自适应滤波方法；条件：已经信号的某些特征3、盲信号分离方法；条件：遵从某些统计假设条件三、盲分离的基本模型盲信号分离的基本模型如图（1）所示。
)(1t )(2t y )(t y m图1 盲信号分离的基本模型其中：)(1t s ，)(2t s ，……，)(t s n 为n 个源信号；)(1t x ，)(2t x ，……，)(t x m 为m 个观测信号；)(1t y ，)(2t y ，……，)(t y n 为待求解的n 个分离信号；)(1t n ，)(2t n ，……，)(t n m 为m 个噪声信号，T t ,,2,1 =。
将其分别写成矩阵形式为：T 21)](,),(),([)(t s t s t s t n =s （1）T 21)](,),(),([)(t x t x t x t m =xT 21)](,),(),([)(t y t y t y t n =yT 21)](,),(),([)(t n t n t n t m =n向量)(t s 、)(t x 、)(t y 、)(t n 分别称作源信号、观测信号、分离信号、噪声信号。
通常意义的盲信号分离是指只有观测信号)(t x 已知，并且)(t x 中含有目标源信号和混合系统的未知信息，而目标源信号特性、源信号的混合信息、噪声信号对观测者来说都是未知的。
盲信号分离的任务就是利用某些统计假设条件完成从)(t x 中估计源信号波形及参数，使得分离信号满足)()(t t s y ≈。
图（1）的盲信号分离模型可以概括表示为通式（2）和式（3）的数学模型，分别称为系统混合模型和系统分离模型)()]([)(t t t n s f x += （2）)]([)(t t x g y = （3）式中：T 21],,,[][n f f f =⋅f 表示未知混合系统的混合函数；T m 21]g ,,g ,[g ][ =⋅g 表示分离系统的分离函数；没有噪声的情况下，][⋅f 和][⋅g 互为反函数，此时混合系统与分离系统互为逆系统。
依据混合系统的混合方式，盲信号分离问题分为线性瞬时混合盲信号分离、线性卷积混合盲信号分离及非线性瞬时混合盲信号分离三种主要形式，线性瞬时混合盲信号分离是最简单、最经典的盲信号分离模型，其理论和算法的发展最完善、最系统、最成功。
令A f =⋅][,B g =⋅][即得线性瞬时混合模型的数学表达式：)()()(t t t n As x += （4）)()(t t Bx y = （5）其中：A 为n m ⨯混合系数矩阵，称为系统混合矩阵；B 为m n ⨯分离系数矩阵，称为系统分离矩阵。
线性瞬时混合表示接收器“同时”接收到多个源发射来的信号，信号传输过程无延迟滤波仅有缩放作用，本论文主要针对线性瞬时混合模型进行研究。
第2部分 盲信号分离理论基础BSS 是盲信号处理领域的研究内容之一，主要目标是从观测信号中获得源信号的最佳估计。
它是统计信号处理、信息论及神经网络等多学科相结合的综合性分支内容，涉及概率统计、矩阵论、信息论、泛函及人工神经网络等学科基础知识，本章主要总结BSS 理论的基础知识和研究盲信号分离时涉及的相关学科知识，为进一步研究BSS 问题做准备。
2.1 线阵列信号的盲分离数学模型若测量向量)(t x 来自间距为d 的m 个各向同性阵元组成的均匀线列阵，n 个点源向量)(t s 位于远场，来自n θθθ,,,21 方向，记为T 21],,,[n θθθ =θ，如图（2.1）所示。
图2.1线列阵接收模型Fig2.1 The model of linear array receive signals以阵元1x 作为参考阵元，式（1-4）与式（1-5）可写为：)()()()(t t t n s θA x += （2-1）)()()(t t x θB y = （2-2）T n a a a )](,),(),([)(21θθθ =θA （2-3）]e e e 1[)(/c dsin 1)--j(m /c dsin -j2/c dsin -j i i i θωθωθωθ =i a （2-4） )(i a θ表示阵列对第i 个源的方向向量；ω为中心角频率；令c d /sin θτ=，τ表示期望信号波前到达相邻两阵元的时间差。
设)(~t s 、)(~t x 、)(~t n 分别为)(t s 、)(t x 与)(t n 的解析形式。
均匀线列阵接收远场信号，可将式（2-1）表示为：)(~)(~)()(~t t t ns θA x += （2-5） 其中，T 21)](s ~,),(s ~),(s ~[)(~t t t t n =sT 21)](~,),(~),(~[)(~t x t x t x t m =xT 21)](~),(~),(~[)(~t n t n t n t m=n 在水声信号处理领域中系统混合矩阵)(θA 是基阵对n 个目标入射方向的响应向量构成的n m ⨯矩阵，又称为基阵的阵列流形。
相应的系统分离模型可表示为：)(~)()(~t t x θB y = （2-6）)(θB 是m n ⨯的分离矩阵，)(~t y 是分离信号)(t y 的解析形式。
盲信号分离的任务就是寻找合适的分离矩阵)(θB ，使式（2-6）成立，再取)(~t y 的实部，即：))(~(Re )(t al t y y =，)(t y 恰好是独立源信号)(t s 的一个估计，即ˆ()()t t =y s。
2.2 盲信号分离的代价函数及优化准则在BSS 问题中，不仅需要建立系统数学模型，还要考虑BSS 算法的代价函数，使得BSS 的分离系统对应于代价函数的极值点（极大值点或极小值点），再选用某种优化算法寻找代价函数的极值点。
当代价函数达到极值点后，对应的系统即为待求解的分离系统。
BSS 算法的代价函数大都是建立在独立分量分析（Independent complement Analysis ：ICA ）数学模型基础之上，ICA 是为了解决盲分离问题而提出并发展起来的一类信号处理技术，现已成为解决盲分离问题的有力工具。
然而ICA 和BSS 方法并不能完全等同或相互替代，BSS 比ICA 具有更宽广的适用范围，原因是：ICA 只在源信号相互独立的条件下适用，而对BSS 而言，即便源信号之间存在相关甚至完全相关，依然可能采用其它方法分离信号；BSS 的目的是分离源信号，而ICA 的目的是寻找某种变换，保证输出信号的各分量之间尽可能地相互独立；另外，很多情况下BSS 方法经常使用随机向量的二阶统计量（SOS ），而ICA 则常常使用更高阶的统计量（HOS ）。
如果源信号之间满足相互独立的假设条件，ICA 和BSS 方法可以用相似甚至相同的数学模型来描述，并使用相似的或相同的算法实现源信号的分离，因此，BSS 和ICA 二者极其相似而又相互区别。
根据中心极限定理，独立随机变量和的分布比其中任何一个随机变量更接近高斯分布，因此非高斯性可以作为随机信号相互独立性的度量。
目前，ICA 理论的优化准则主要有基于信息论的优化准则和基于高阶累积量的优化准则。
2.2.1 基于信息论的代价函数及优化准则基于信息论的评价准则主要包括最大似然估计准则、最大熵准则、信息最大化法准则、最小互信息准则和负熵最大化准则，分别介绍如下。
2.2.1.1 最大似然准则最大似然估计（maximum likwlihood estimator ：MLE ）是检测理论中常用的一种统计检测方法，它的目标是根据观测数据样本估计信号的参数。
K-L 散度（Kullback-Leibler divergence ）用来度量随机变量概率密度函数的相似程度，也就是衡量各种分布之间的接近程度。
设)(1x p 和)(2x p 是关于随机向量X 的两种不同分布的概率密度函数，则)(1x p 相对于)(2x p 之间的散度定义为：)](log[)( )](log[)()( )](log[)()](log[)( ])()(log[)()](|)([2211211111211121i i Ti i i Ti i i T i i i i Ti i x p X H x p x p X H x p x p x p x p x p x p x p x p x p KL --≈--=-==∑∑∑∑==== （2-7）)](log[)()( 111i Ti i x p x p X H ∑=-= （2-8）当)(1x p 与)(2x p 同分布时，0)](|)([21=x p x p KL ；式（2-8）是X 的自信息量的平均值，称为熵，用来描述随机事件的不确定性程度。
使用K-L 散度作为最大似然估计的似然函数，建立似然函数的代价函数。
针对式（2-1）的混合模型，设)(x p X 为观测向量)(t x 的概率密度，)(s p S 为源信号)(t s 的概率密度，由概率论及矩阵论理论，知)(x p X 与)(s p S 满足：)(det /)()(-1A x A x s x p p = （2-9）则观测信号)(t x 的似然函数定义为：()[][][]()A x x A x xx x x A x x x x det log )(log )()(log )()(log E )(1-===⎰⎰-d p p d p p p L s （2-10）令式（2-2）的分离矩阵满足1-=A B 时，根据矩阵论理论将对数似然函数改写为：[]()[]{}()B Bx B x Bx x B x det log )(log 1det log )(log )()(1+≈+=∑⎰=Ti s s p T d p p L （2-11） T 为独立同分布观测信号的快拍数。
