桁架求解的几种方法
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§3-5 静定平面桁架
FNDE = −5.4 KN ⇒ FNDF = 37.5 KN
E
-33KN -5.4KN
∑F ∑F
x y
=0 =0
【例3.8】 试求桁架的内力图
4 4
O
7
O O O
2
3m
1 9
7 6 8 3 2
O O O6 N1 N1 N1 1 9 8 3 O N2 P
5
2m
P
5
Step2：求各杆内力
4m 4m 0
根据以上假设，理想桁架中各杆 均为二力杆（轴力杆、链杆） 实际桁架 理想桁架
按理想平面桁架计 算得到的应力 实际桁架与理想桁 架间的差异引 起的 附加内力
主内力
次内力
弦杆
上弦杆 下弦杆 竖杆 斜杆
2 桁架的组成
腹杆
节间长度、跨度、桁高 3 桁架的分类
平行弦桁架 按外形分 折弦桁架 三角形桁架 梁式桁架 (无推力桁架) 按支座反力 的性质分 拱式桁架 (有推力桁架)
综上所求，得： FNa = −16 .67 KN
FNb = −26 .67 KN FNc = 16 .67 KN
【例3.10】 试求1、2、3、4杆
的内力
P
I
Step2： 截面法求指 定杆内力
Ⅰ—Ⅰ截面
P
J 4 Ⅰ a
Ⅰ
H G 3 1 A a B a
Ⅱ P Ⅲ P
a F 2 E I
P
J
∑ MG = 0 ⇒
1 桁架定义及其特点
实际桁架 结点 轴线 荷载 材料 介于铰于刚结之间 不能绝对平、直；各杆也不一定完 全相交于一点。有个结合区 非结点荷载：自重、荷载、支反力 弹塑性材料 理想桁架（计算简图） 所有结点为理想铰，光滑、无摩擦 绝对平直、一平面内、通过铰的中心 （理想轴） 结点荷载 线弹性材料，小变形
桁架内力计算
二、 截面法 （1）一般先研究整体，求支座约束力； （2）根据待求内力杆件，恰当选择截面（直 截面或曲截面均可）； （3）分割桁架，取其一部分进行研究，求杆 件内力； （4）所截杆件的未知力数目一般不大于3。
21
一、节点法 （1）一般先研究整体，求支座约束力； （2）逐个取各节点为研究对象； （3）求杆件内力； （4）所选节点的未知力数目不大于2，由此 开始计算。
练习1
判断结构中的零杆
F F
F
FP
2015-3-5
15
结点法
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
۞
练习2
计算桁架各杆件内力
2F a
4×a
第一步：求支座反力 第二步：判断零杆和单杆，简化问题 第三步：逐次去结点，列平衡方程 第四步：自我检查
16
2015-3-5
结点法
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
目 ≤ 独立方程数（即2个）；
小结
基本思路：尽可能简化问题，一般先求支座反力，
然后逐次列结点平衡方程。
2015-3-5 10
结点法
۞
例题1
如图所示为一施工托架计算简图，求图示 荷载作用下各杆轴力(单位：kN)。
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
8 A
1.5m
8
C 6 E8 G F
8
B
截面法
基本概念
۞ 例题2
求图示桁架25、34、35三杆内力（单位：kN)。 10 20
I 4
7 2m 8
结点法
10
3
a
截面法 联合法 小结
1
2
5 I8 m
6
解： 1）求支座反力。2）截面法，取分离体受力 分析，求内力。
21
一、节点法 （1）一般先研究整体，求支座约束力； （2）逐个取各节点为研究对象； （3）求杆件内力； （4）所选节点的未知力数目不大于2，由此 开始计算。
练习1
判断结构中的零杆
F F
F
FP
2015-3-5
15
结点法
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
۞
练习2
计算桁架各杆件内力
2F a
4×a
第一步：求支座反力 第二步：判断零杆和单杆，简化问题 第三步：逐次去结点，列平衡方程 第四步：自我检查
16
2015-3-5
结点法
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
目 ≤ 独立方程数（即2个）；
小结
基本思路：尽可能简化问题，一般先求支座反力，
然后逐次列结点平衡方程。
2015-3-5 10
结点法
۞
例题1
如图所示为一施工托架计算简图，求图示 荷载作用下各杆轴力(单位：kN)。
基本概念 结点法 截面法 联合法 小结
8 A
1.5m
8
C 6 E8 G F
8
B
截面法
基本概念
۞ 例题2
求图示桁架25、34、35三杆内力（单位：kN)。 10 20
I 4
7 2m 8
结点法
10
3
a
截面法 联合法 小结
1
2
5 I8 m
6
解： 1）求支座反力。2）截面法，取分离体受力 分析，求内力。
2-6-1平面简单桁架的内力计算-节点法
平面简单桁架的内力计算平面简单桁架节点1、各杆件为直杆， 各杆轴线位于同一平面内；2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内； 4、各杆件自重不计或均分布在节点上在上述假设下， 桁架中每根杆件均为二力杆，称为理想桁架。
关于平面桁架的几点假设：有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）求解桁架内力的方法1、节点法2、截面法桁架的每个节点都受一个平面汇交力系作用。
为了求每一个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部未知的杆件内力的方法。
例题 已知: P =10kN,尺寸如图；求: 桁架各杆件受力. 解: 取整体，画受力图.取节点A ，画受力图. ∑=0x F ∑=0y F ∑=0B M 0=Bx F 042=−Ay F P kN5=Ay F 0=−+P F F By Ay kN 5=ByF ∑=0y F030sin 01=+F F Ay kN 101−=F (压)∑=0x F 030cos 012=+F F kN 66.82=F (拉)取节点C ,画受力图. ∑=0x F 030cos 30cos 0'104=−F F kN 104−=F (压)∑=0y F ()030sin 04'13=+−−F F F kN 103=F (拉)取节点D ,画受力图.∑=0x F 0'25=−F F kN 66.85=F (拉) 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）取节点C ,画受力图. ∑=0x F 030cos 30cos 0'104=−F F kN 104−=F (压)∑=0y F ()030sin 04'13=+−−F F F kN 103=F (拉)取节点D ,画受力图.∑=0x F 0'25=−F F kN 66.85=F (拉)有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
截面法求桁架杆件内力
截面法1截面法可以快速求出某一内力，通常取结构 的一部分为隔离体，其上力系为平面一般力系。
每个隔离体上有3个独立平衡方程。
一般表示 为： ∑ FX = 0 投影法 ∑ FY = 0 力矩法 ∑M = 0 计算要点： 尽量使一个方程解一个未知数，避免求解 联立方程。
一. 力矩法例：求图示桁架1、2、3杆的轴力。
2VAVB解：由整体平衡条件求得支座反力 VA=VB HA=0作Ⅰ--Ⅰ截面,截开1、2、3杆的轴力 取截面以左为隔离体。
Ⅰ3Ⅰ（1）求1杆轴力N1K14选取未知力N2和N3 延长线的交点K1作 为取矩点。
N1 对K1点取矩，由 ∑MK1 = 0 从而求出所求未知 力N1。
VA（2）求2杆轴力N2N2 K2 VAY252X2由∑MK2 = 0 ,比例关系从而求出所求未知力Y2。
2杆轴力N2（3）求3杆轴力N3Y3 N3 X3K3 VA6由 ∑MK3 = 0比例关系从而求出所求未知力X3。
3杆轴力N3力矩法要点：7欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 隔离体上除所求未知力外，其余未知力的延 长线均交于某一点K。
对K点取矩，从而求出所求未知力 。
（1）选择其余未知力延长线的交点K作为取矩 点，从而用∑MK=0，求出指定杆内力。
（2）将斜杆的内力放在某一个合适的点上分 解，使其一个分力通过取矩点K。
例1. 求图示桁架杆件a、b、c的轴力890kN30kN作Ⅰ—Ⅰ截面Ⅰ9Ⅰ求NaNa 求Na时，对另 外两个未知力的 交点C取矩，10C由 ΣMc＝0，得 Na×4＋30×8＝030kN解得： Na =－ 60kN求NbD Xb E Yb Nb30kN11求Nb时，对点D取矩。
将Nb 其在E点处分解 为水平和竖向分量。
由ΣMD＝0，得 Yb×12＋40×4 － 30×12＝0 解得 Yb＝16.67 kN由比例关系得到：N b = 2Yb = 2 × 16.67 = 23.57kN求NcYc XcD Nc12求Nc时，对点E取矩。
力法计算桁架例题
用力法计算桁架例题在工程力学中，桁架是一种由杆件组成的结构，常用于建筑和桥梁等工程中。
力法是一种经典的计算桁架结构的方法，通过平衡力和力矩来求解杆件上的应力。
本文将会通过一个例题来演示如何使用力法计算桁架结构的应力。
问题描述：假设有一个由杆件组成的桁架结构，如下图所示：A||5kN|----C----|| | |2m 2m 2m| | |B----D----|||E已知杆件AB和BC上有力F1，杆件CD和DE上有力F2，杆件BE上有力F3，且F1 = 10kN，F2 = 20kN，F3 = 15kN。
通过力法计算：1.杆件上的内力大小和方向。
2.结构的稳定性。
解决方案：首先，我们需要给结构中的每个节点编号，并为每个杆件标记力的初始方向。
我们为每个节点选取坐标系，如下图所示：A||5kN↓----C----↑| | |↓ ↓ ↑B----D----↑||E接下来，我们根据平衡条件和力矩平衡条件，在每个节点上建立力的平衡方程。
对节点A应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: -F_BC + F_BE = 0∑F_y = 0: -5kN + F_AB + F_AC = 0对节点B应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: -F_AB - F_BE = 0∑F_y = 0: F_BC - F_BD = 0对节点C应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: F_BC - F_CD = 0∑F_y = 0: -F_AC + F_CD = 0对节点D应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: F_CD - F_DE = 0∑F_y = 0: F_BD - F_DC = 0对节点E应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: -F_BE = 0∑F_y = 0: F_DE = 0然后，我们根据杆件上的受力情况，可以列出每个杆件上的应力方程。
根据杆件的定义，我们可以根据受力方向写出杆件的应力为正或者负。
桁架的内力计算
图1 屋架节点荷载的计算桁架的内力计算当桁架只受节点荷载时，其杆件内力一般按节点荷载作用下的铰接桁架计算。
这样，所有杆件都是轴心受压或轴心受拉杆件，不承受弯矩。
具体计算可用数解法（节点法或截面法）、图解法（主要是节点法）、图解法（主要是节点法）、计算机法（常用有限元位移法）等。
实际桁架节点为焊缝、铆钉或螺栓连接，具有很大的刚性，接近于刚接。
按刚接节点分析桁架时，各杆件将既受力又受弯矩。
但是，通常钢桁架中各杆件截面的高度都较小，仅为其长度的1/15（腹杆）和1/10（弦杆）以下，抗弯刚度较小；因而按刚接桁架算得的杆件弯矩M 常较小，且杆件轴心力N 也与桁架计算结果相差很小。
故一般情况都按铰接桁架计算。
对少数荷载较大的重型桁架，例如铁路桥梁等，当杆件截面高度超过其长度的1/10时，次应力份额逐渐增大，可达10～30%或以上，必要时应作计算。
目前用计算机计算刚接桁架已无困难。
据上所述，檩条或大型屋面板等集中荷载只作用在屋架节点处时，可按铰接桁架承受节点荷载计算杆件内力，例如图1。
这时节点荷载值即为檩条或边肋处的集中荷载值，按式上一小节公式，即：100011122F qA qbd d F qA qb d d d F qA qb == ==++== 来计算。
该图中檐口檩条集中荷载F 0在桁架计算时可归并入F 1内（或端节间按伸臂梁而将F 0（1＋d 1/ d ）并入F 1，－F 0 d 1/d 并入第二节点F ）；另外在计算上弦杆的支座截面时，除考虑轴心压力外还考虑偏心弯矩M e ＝F 0 d 1。
当檩条或屋面板等布置未与屋架节点相配合，屋面板没有边肋而是全宽度支图2 承受节间荷载的屋架 承于屋架上弦（上弦均布荷载）、或其它特殊情况时，桁架将受节间荷载，例如图1。
这时桁架内力计算可按下列近似方法：(1)把所有节间内荷载按该段节间为简支的支座反力关系分配到相邻两个节点上作为节点荷载，据此按铰接桁架计算杆件的轴心力。
7.2桁架内力的计算
FGC
P 2
P 2
P 2
P 2
C
FGC
G
P
FGD
FGB
E
FAx FAy A
D
GP
FBy
B
例题
例题8
§7 力系的平衡
4.取节点A
Fiy 0 FAE sin 60 FAy 0
3 FAx P, FAy 4 P
FAE
3 P 4
2 P 32
P
FEC FAE 2 C
Fix 0 FAD FAE cos 60 FAx 0
ED=DG=DB=a ，求CD
杆的内力。
例题
例 题 10
§7 力系的平衡
C
解：1.判断零杆
ED杆为零杆。
m
2.以m-m截面切开，取右半部分：
A
E
0
D
GP
B
MiB 0
FCD a P
3a0 2
FCD
3P 2
FGC
FCD
m
GP
பைடு நூலகம்FAD
B
D
例题
例 题 11
§7 力系的平衡
图示桁架各杆长均为1m，P1=10kN , P2=7kN , 求杆 EG的内力。
1.15
kN
(受拉)
例题
例 题 12
P3 P2 P1
3a
§7 力系的平衡
P4
P5
4a ①
桁架结构受力 如图，试求其 中①杆的内力。
例题
例 题 12
P3 P2 P1
m 3a
§7 力系的平衡
P4
解： 1.受力分析：
P5
此桁架S= 27 ,n=15 ,
结构力学 静定桁架的内力计算
2b
F Ay= 2 F P
(b)
参照图(b)计算如下：
见图(b),未知杆力在隔离体上的一 般表示。
MD 0
F NG 1 h C(F P bF 2 P2 b2 F P2 b )
由几何关系得：h 2 b 代入上式，
5
FNGC 5FP
MG 0
FNE Db 2(2FPF 2P)b3FP
图(d)：
在反对称荷载下，桁架应具有反对称 的内力分布，即在桁架的对称轴两侧 的对称位置上的杆件，应有大小相等、 性质相反的轴力。
考查结点E：见图(f) EJ为零杆，继而JA、 JB为零杆。
(f )
§6.3 桁架内力计算的截面法
➢截面法：用一个假想的截面，将桁架 截成两部分，取其任一部分为隔离体 ，建立该隔离体的平衡方程，求解杆 轴力的方法。
利用该结点的对称性，且由水平方 向的投影方程得：
FNa
2 2 FP
(a)
§6.4 组合结构的内力分析
❖既有梁式杆又有桁架杆的结构称作 组合结构。见图6-4-1所示。
图6-4-1
组合结构内力计算的一般途径是： 先计算桁架杆，再计算梁式杆。
例6-4-1
计算图(a)所示组合结构，求出二力 杆中的轴力，并作梁式杆的弯矩图。
D
F NDC
F NGE
G
A
K
F NKH
FP FP
(c)
由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面
截断的三根杆的轴力后，即可依次按
结点法求出所有杆的轴力。
❖ 方法1：
见图(d) ，由结点H的结点单杆 EH上的轴力，再由结点E（当 杆EH轴力已知时，杆a既是结 点E上的结点单杆）可求出杆a 的轴力。
F Ay= 2 F P
(b)
参照图(b)计算如下：
见图(b),未知杆力在隔离体上的一 般表示。
MD 0
F NG 1 h C(F P bF 2 P2 b2 F P2 b )
由几何关系得：h 2 b 代入上式，
5
FNGC 5FP
MG 0
FNE Db 2(2FPF 2P)b3FP
图(d)：
在反对称荷载下，桁架应具有反对称 的内力分布，即在桁架的对称轴两侧 的对称位置上的杆件，应有大小相等、 性质相反的轴力。
考查结点E：见图(f) EJ为零杆，继而JA、 JB为零杆。
(f )
§6.3 桁架内力计算的截面法
➢截面法：用一个假想的截面，将桁架 截成两部分，取其任一部分为隔离体 ，建立该隔离体的平衡方程，求解杆 轴力的方法。
利用该结点的对称性，且由水平方 向的投影方程得：
FNa
2 2 FP
(a)
§6.4 组合结构的内力分析
❖既有梁式杆又有桁架杆的结构称作 组合结构。见图6-4-1所示。
图6-4-1
组合结构内力计算的一般途径是： 先计算桁架杆，再计算梁式杆。
例6-4-1
计算图(a)所示组合结构，求出二力 杆中的轴力，并作梁式杆的弯矩图。
D
F NDC
F NGE
G
A
K
F NKH
FP FP
(c)
由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面
截断的三根杆的轴力后，即可依次按
结点法求出所有杆的轴力。
❖ 方法1：
见图(d) ，由结点H的结点单杆 EH上的轴力，再由结点E（当 杆EH轴力已知时，杆a既是结 点E上的结点单杆）可求出杆a 的轴力。
简单桁架内力的计算方法
25您的位置：在线学习—>在线教程—>教学内容上一页返回目录下一页3.4 静定平面桁架教学要求掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法3.4.1 桁架的特点和组成3.4.1.1 静定平面桁架桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。
这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。
实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对它们进行精确的分析是困难的。
但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。
因此，为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定：（1）桁架的结点都是光滑的铰结点。
（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。
（3）荷载和支座反力都作用在铰结点上。
通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。
3.4.1.2 桁架的受力特点桁架的杆件只在两端受力。
因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。
在杆的截面上只有轴力。
3.4.1.3 桁架的分类（1）简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。
（图3-14a）（2）联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。
（图3-14b）（3）复杂桁架：不属于前两类的桁架。
（图3-14c）3.4.2 桁架内力计算的方法桁架结构的内力计算方法主要为：结点法、截面法、联合法结点法――适用于计算简单桁架。
截面法――适用于计算联合桁架、简单桁架中少数杆件的计算。
联合法――在解决一些复杂的桁架时，单独应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时需要将这两种方法进行联合应用，从而进行解题。
工程力学第5节 平面静定桁架的内力计算
F1 sin 30 G 0
n
Fiy 0
i1
F1 cos 30 F2 0
得 F1 40 kN（拉） F2 34.6 kN（压）
节点 B：
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
F2 F6 0
得
F3 G 0
F6 34.6 kN（压） F3 20 kN（拉）
i1 n
Fiy 0
i1
FS1 sin 60 FS4 sin 60 0 FS1 cos 60 FS4 cos 60 FS3 0
解得
FS4 FS1 2F（压） 校核计算结果
将各杆内力计算结果列表如下
杆号
1
2
3
内 力 2F 1.73F 2F
半部分为研究对象进行受力分析，列平衡方程：
n
M E (Fi ) 0
FS1 1sin 60 FAy 1 0
i1
n
M D (Fi ) 0
i1 n
Fiy 0
i1
F1
1 2
FS3
1
sin
60
FAy
2 3
0
FAy FS2 sin 60 F1 0
• 因为只有三个独立平衡方程，因此作假想截面时， 一般每次最多只能截断三根杆件。
注意
• 由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所 以应用节点法必须从只含两个未知力大小的节点开 始计算。
例2-15 平面桁架的受力及尺寸如图所示， 试求桁 架各杆的内力。
解 1）先求支座反力：以整体桁架为研究对象进行
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A
斜杆
竖杆
上弦杆
下弦杆
B
d
节点长度 跨度
图5-3
最高点的距离H称为桁高。
弦杆上相邻两结点之间的区 间称为节间，其间距d称为节 间长度。
H
4．桁架的分类： (1) 按几何外形分 1） 平行弦桁架、2） 折弦桁架、3） 三角形桁架，分别 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 (2) 按有无水平支座反力分 1）梁式桁架 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 2）拱式桁架 如图5-4(d)所示。 (3) 按几何组成分 1) 简单桁架 由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元 体组成的桁架，如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 2) 联合桁架 由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成 规则而联合组成的桁架，如图5-4(d)、(e)所示。 3) 复杂桁架 不属前两种方式组成的其他桁架，如图5-4(f) 所示。
)×3+60×6-10×6-
(3) 求b杆内力时，应以a、c两杆的交点O为矩心， 为 此，应求出OA之间的距离，设为x，由比例关系： x 3 3 可得， x = 6m 同样，将FNb在E点分解为水平和竖直方向的两个分力， 由ΣMO =20，得 2 (FNb× /2)×9+( FNb× /2)×3+10×6+20×9 - 60×6 = 0 2 FNb = 10 = 14.1 kN (4) 为求FNd，作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分为隔离体，如图 5-8(a)、(c)所示。因被截断的另两杆平行，故采用投 影方程计算。由ΣFy = 0，得 FNd×4/5+60-10-20-20 = 0 FNd = -10×5/4 = -12.5 kN
故知反力计算无误。 2.计算a杆内力。 (1) 作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分为
FA=40kN
a A G III 20kN II H III 20kN I 20kN
6x3m =18m F B= 20kN
C
隔离体，由ΣMF=0，得： F ×4-20×3-40×3 = 0，
图5-12
4m
B
(2) 取结点H为隔离体，由ΣFx = 0， 得：FNGH =FNHC = 45 kN (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，仍取左部分为隔离体，由ΣMF = 0，得 FNa×3/ 13 ×4+45×4-40×3 = 0， FNa = -513 = -18.0 kN 在该题中，若取截面Ⅲ-Ⅲ所截取的一部分为隔离体(图 5-12)，由于ED杆为零，FNED = 0。 由平衡方程ΣMC = 0，可得 FNa×2/ 13 ×3+FNa×3/ ×2+20×3 = 0， 13 FNa = -513 = -18.0 kN 可见，按后一种方法计算更简单。
FNC E F Nb FNa
3m
4m
E
10kN
F F N FG
E
10kN
o
F Nd D A C D F NDH
A
C
60kN
x=6m
3m
3m
60kN
图5-8
2.计算各杆内力。 (1)作截面Ⅰ-Ⅰ，如图5-8(a)所示，取左部分为隔离 体，如图5-8(b)所示。为求a杆内力，可以b、c两杆的交点 E 为矩心，由方程ΣME = 0，得
II
例5-4 求图5-12所示桁架中 a杆的内力。 解： 1.求支座反力。 ΣMB = 0, FA=(20×15+20×12+20×9) /18=40kN(↑)
II
F
I a H
F
c b A D F II
4d d
B I
E F
C
图5-11
I E F
ΣMA = 0, FB=20 kN(↑)
校核;ΣFy=40+20-20-20-20 = 0
(c)
4kN
D FNDC 2kN
F NAD
4kN 2 2kN E F NEG F NEC 4 2kN 2kN 4kN 2 2kN C 4kN 4kN
(e)
由对称性可知
图5-7
2.内力计算。 (1) 取结点A为隔离体，如图5-7(b)所示。 2 ΣFy = 0, F 2 4 0 FNAE = -4 = -5.66 kN 2 ΣFx = 0, FNAD+FNAE× 2 /2 = 0 FNAD = -(-42 )×2 /2 = 4 kN (2) 取结点D为隔离体，如图5-7(c)所示。 ΣFx = 0, FNDC = 4 kN； ΣFy = 0, FNDE = 2 kN (3) 取结点E为隔离体，如图5-7(d)所示。 ΣFy = 0, 4 2 × 2 /2-2-FNEC× 2 /2 = 0, FNEC = 2 2 = 2.83 kN ΣFx = 0, FNEG+FNEC× 2 /2+42 × /2 = 0, 2 FNEG = -22 ×2 /2-4 = -6 kN (4) 由对称性可知另一半桁架杆件的内力。 (5) 校核。 取结点C为隔离体，如图5-7(e)所示。 ΣFx = 4+2 2 ×2 /2-22 × /2-4 = 0 2 ΣFy = 2 2 × 2 /2+2-4 = 0 C结点平衡条件满足，故知内力计算无误。
F N1 F N1= 0
F N4= F N3
(a)
(b ) FN1 F N2= F N1
(c)
F N2= 0
F N2= 0
FN3
F N2= F N1
(d )
F
(e)
F N1
F N1 F (f) FN3
F N2= 0 F N1= F F N3= F F N2= F N1 F N2= F N1 F N 4 = -F N 3
x 6 4
如前所述，用截面法求桁架内力时，应尽量使截断的杆件不超过三 根，这样所截杆件的内力均可利用同一隔离体求出。特殊情况下，所作 截面虽然截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一根外，其 余各杆汇交于同一点或互相平行，则该杆的内力仍可首先求出。 例如图5-9(a)所示桁架中，作截面Ⅰ-Ⅰ，由ΣMC=0，可求出a杆内 力。又如图5-9(b)所示桁架中，作截面Ⅱ-Ⅱ，由ΣX = 0，可求出b杆内 力。图5-10所示的工程上多采用的联合桁架，一般宜用截面法将联合杆 DE的内力求出。即作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分或右部分为隔离体，由 ΣMC=0求出FNDE。这样左、右两个简单桁架就可用结点法来计算。
60×3-10×3-FNa×3 = 0， FNa = 50 kN
(2) 求上弦杆c的内力时，以a、b两杆的交点D为矩心， 此时要计算FNc的力臂不太方便，为此将FNc分解为水平和
竖直方向的两个分力。则各分力的力臂均为已知。 10 10
由ΣMD=0，得 (FNc×1/ 20×3=0
10
Байду номын сангаас
)×3+(FNc×3/
(a) (b )
A C
A B B
图5-1
2．计算简图中引用的基本假定
（1）桁架中的各结点都是光滑的理想铰结点。
（2）各杆轴线都是直线，且在同一平面内并通过铰的中心。 （3）荷载及支座反力都作用在结点上且在桁架平面内。
上述假定，保证了桁架中各结点均为铰结点，各杆内只有
轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。实 际桁架与上述假定是有差别的。如钢桁架及钢筋混凝土桁架 中的结点都具有很大的刚性。此外，各杆轴线也不可能绝对 平直，也不一定正好都过铰中心，荷载也不完全作用在结点
应用上述结论可判定出图5-6(a)、(b)、(c)所示结构中 虚线各杆均为零杆。这里所讲的零杆是对某种荷载而言 的，当荷载变化时，零杆也随之变化，如图5-6(b)、(c)所 示。此处的零杆也决非多余联系。
F F F F
(a)
(b)
(c)
图5-6
例5-1 用结点法计算图57(a)
所示桁架各杆的内力。
I
(a)
C
(b )
F II a F B F F A
b
I F C
II F
F
A
F
I
F
F
F
B D I E
图5-9
图5-10
§截面法和结点法的联合应用
结点法和截面法是计算桁架内力的两种基本方法。两 种方法各有所长，应根据具体情况灵活选用。 例5-3 试求图5-11所示桁架中a、b及c杆的内力。 解：从几何组成看，桁架中的AGB为基本部分，EHC 为 附属部分。 (1) 作截面Ⅰ-Ⅰ，取右部分为隔离体，由ΣMC=0，得 FNa×d + F×d = 0 FNa = -F (2) 取结点G为隔离体，由ΣFy = 0，得 FNc = -F 由ΣFx = 0，得 FNFG = FNa = -F (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分为隔离体，由ΣMA=0，得 2 FNb× d+F×d-F×d = 0， FNb = 0
图5-5 (3) X型结点。四杆结点两两共线，如图5-5(c)所示，当结点 不受外力时，则共线的两杆内力相等且符号相同。 (4) K型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在 该直线同侧且与直线夹角相等，如图5-5(f)所示，当结点不 受外力时，则非共线的两杆内力大小相等但符号相反。
以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
图5-4
§5-2 结点法
桁架计算一般是先求支座反力后计算内力。计算内力时 可截取桁架中的一部分为隔离体，根据隔离体的平衡条件 求解各杆的轴力。如果截取的隔离体包含两个及以上的结 点，这种方法叫截面法。如果所取隔离体仅包含一个结 点，这种方法叫结点法。 当取某一结点为隔离体时，由于结点上的外力与杆件内 力组成一平面汇交力系，则独立的平衡方程只有两个，即 ΣFx=0，ΣFy=0。可解出两个未知量。因此，在一般情况 下，用结点法进行计算时，其上的未知力数目不宜超过两 个，以避免在结点之间解联立方程。 结点法用于计算简单桁架很方便。因为简单桁架是依次 增加二元体组成的。每个二元体只包含两个未知轴力的 杆，完全可由平衡方程确定。计算顺序按几何组成的相反 次序进行，即从最后一个二元体开始计算。
斜杆
竖杆
上弦杆
下弦杆
B
d
节点长度 跨度
图5-3
最高点的距离H称为桁高。
弦杆上相邻两结点之间的区 间称为节间，其间距d称为节 间长度。
H
4．桁架的分类： (1) 按几何外形分 1） 平行弦桁架、2） 折弦桁架、3） 三角形桁架，分别 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 (2) 按有无水平支座反力分 1）梁式桁架 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 2）拱式桁架 如图5-4(d)所示。 (3) 按几何组成分 1) 简单桁架 由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元 体组成的桁架，如图5-4(a)、(b)、(c)所示。 2) 联合桁架 由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成 规则而联合组成的桁架，如图5-4(d)、(e)所示。 3) 复杂桁架 不属前两种方式组成的其他桁架，如图5-4(f) 所示。
)×3+60×6-10×6-
(3) 求b杆内力时，应以a、c两杆的交点O为矩心， 为 此，应求出OA之间的距离，设为x，由比例关系： x 3 3 可得， x = 6m 同样，将FNb在E点分解为水平和竖直方向的两个分力， 由ΣMO =20，得 2 (FNb× /2)×9+( FNb× /2)×3+10×6+20×9 - 60×6 = 0 2 FNb = 10 = 14.1 kN (4) 为求FNd，作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分为隔离体，如图 5-8(a)、(c)所示。因被截断的另两杆平行，故采用投 影方程计算。由ΣFy = 0，得 FNd×4/5+60-10-20-20 = 0 FNd = -10×5/4 = -12.5 kN
故知反力计算无误。 2.计算a杆内力。 (1) 作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分为
FA=40kN
a A G III 20kN II H III 20kN I 20kN
6x3m =18m F B= 20kN
C
隔离体，由ΣMF=0，得： F ×4-20×3-40×3 = 0，
图5-12
4m
B
(2) 取结点H为隔离体，由ΣFx = 0， 得：FNGH =FNHC = 45 kN (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，仍取左部分为隔离体，由ΣMF = 0，得 FNa×3/ 13 ×4+45×4-40×3 = 0， FNa = -513 = -18.0 kN 在该题中，若取截面Ⅲ-Ⅲ所截取的一部分为隔离体(图 5-12)，由于ED杆为零，FNED = 0。 由平衡方程ΣMC = 0，可得 FNa×2/ 13 ×3+FNa×3/ ×2+20×3 = 0， 13 FNa = -513 = -18.0 kN 可见，按后一种方法计算更简单。
FNC E F Nb FNa
3m
4m
E
10kN
F F N FG
E
10kN
o
F Nd D A C D F NDH
A
C
60kN
x=6m
3m
3m
60kN
图5-8
2.计算各杆内力。 (1)作截面Ⅰ-Ⅰ，如图5-8(a)所示，取左部分为隔离 体，如图5-8(b)所示。为求a杆内力，可以b、c两杆的交点 E 为矩心，由方程ΣME = 0，得
II
例5-4 求图5-12所示桁架中 a杆的内力。 解： 1.求支座反力。 ΣMB = 0, FA=(20×15+20×12+20×9) /18=40kN(↑)
II
F
I a H
F
c b A D F II
4d d
B I
E F
C
图5-11
I E F
ΣMA = 0, FB=20 kN(↑)
校核;ΣFy=40+20-20-20-20 = 0
(c)
4kN
D FNDC 2kN
F NAD
4kN 2 2kN E F NEG F NEC 4 2kN 2kN 4kN 2 2kN C 4kN 4kN
(e)
由对称性可知
图5-7
2.内力计算。 (1) 取结点A为隔离体，如图5-7(b)所示。 2 ΣFy = 0, F 2 4 0 FNAE = -4 = -5.66 kN 2 ΣFx = 0, FNAD+FNAE× 2 /2 = 0 FNAD = -(-42 )×2 /2 = 4 kN (2) 取结点D为隔离体，如图5-7(c)所示。 ΣFx = 0, FNDC = 4 kN； ΣFy = 0, FNDE = 2 kN (3) 取结点E为隔离体，如图5-7(d)所示。 ΣFy = 0, 4 2 × 2 /2-2-FNEC× 2 /2 = 0, FNEC = 2 2 = 2.83 kN ΣFx = 0, FNEG+FNEC× 2 /2+42 × /2 = 0, 2 FNEG = -22 ×2 /2-4 = -6 kN (4) 由对称性可知另一半桁架杆件的内力。 (5) 校核。 取结点C为隔离体，如图5-7(e)所示。 ΣFx = 4+2 2 ×2 /2-22 × /2-4 = 0 2 ΣFy = 2 2 × 2 /2+2-4 = 0 C结点平衡条件满足，故知内力计算无误。
F N1 F N1= 0
F N4= F N3
(a)
(b ) FN1 F N2= F N1
(c)
F N2= 0
F N2= 0
FN3
F N2= F N1
(d )
F
(e)
F N1
F N1 F (f) FN3
F N2= 0 F N1= F F N3= F F N2= F N1 F N2= F N1 F N 4 = -F N 3
x 6 4
如前所述，用截面法求桁架内力时，应尽量使截断的杆件不超过三 根，这样所截杆件的内力均可利用同一隔离体求出。特殊情况下，所作 截面虽然截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一根外，其 余各杆汇交于同一点或互相平行，则该杆的内力仍可首先求出。 例如图5-9(a)所示桁架中，作截面Ⅰ-Ⅰ，由ΣMC=0，可求出a杆内 力。又如图5-9(b)所示桁架中，作截面Ⅱ-Ⅱ，由ΣX = 0，可求出b杆内 力。图5-10所示的工程上多采用的联合桁架，一般宜用截面法将联合杆 DE的内力求出。即作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分或右部分为隔离体，由 ΣMC=0求出FNDE。这样左、右两个简单桁架就可用结点法来计算。
60×3-10×3-FNa×3 = 0， FNa = 50 kN
(2) 求上弦杆c的内力时，以a、b两杆的交点D为矩心， 此时要计算FNc的力臂不太方便，为此将FNc分解为水平和
竖直方向的两个分力。则各分力的力臂均为已知。 10 10
由ΣMD=0，得 (FNc×1/ 20×3=0
10
Байду номын сангаас
)×3+(FNc×3/
(a) (b )
A C
A B B
图5-1
2．计算简图中引用的基本假定
（1）桁架中的各结点都是光滑的理想铰结点。
（2）各杆轴线都是直线，且在同一平面内并通过铰的中心。 （3）荷载及支座反力都作用在结点上且在桁架平面内。
上述假定，保证了桁架中各结点均为铰结点，各杆内只有
轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。实 际桁架与上述假定是有差别的。如钢桁架及钢筋混凝土桁架 中的结点都具有很大的刚性。此外，各杆轴线也不可能绝对 平直，也不一定正好都过铰中心，荷载也不完全作用在结点
应用上述结论可判定出图5-6(a)、(b)、(c)所示结构中 虚线各杆均为零杆。这里所讲的零杆是对某种荷载而言 的，当荷载变化时，零杆也随之变化，如图5-6(b)、(c)所 示。此处的零杆也决非多余联系。
F F F F
(a)
(b)
(c)
图5-6
例5-1 用结点法计算图57(a)
所示桁架各杆的内力。
I
(a)
C
(b )
F II a F B F F A
b
I F C
II F
F
A
F
I
F
F
F
B D I E
图5-9
图5-10
§截面法和结点法的联合应用
结点法和截面法是计算桁架内力的两种基本方法。两 种方法各有所长，应根据具体情况灵活选用。 例5-3 试求图5-11所示桁架中a、b及c杆的内力。 解：从几何组成看，桁架中的AGB为基本部分，EHC 为 附属部分。 (1) 作截面Ⅰ-Ⅰ，取右部分为隔离体，由ΣMC=0，得 FNa×d + F×d = 0 FNa = -F (2) 取结点G为隔离体，由ΣFy = 0，得 FNc = -F 由ΣFx = 0，得 FNFG = FNa = -F (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，取左部分为隔离体，由ΣMA=0，得 2 FNb× d+F×d-F×d = 0， FNb = 0
图5-5 (3) X型结点。四杆结点两两共线，如图5-5(c)所示，当结点 不受外力时，则共线的两杆内力相等且符号相同。 (4) K型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在 该直线同侧且与直线夹角相等，如图5-5(f)所示，当结点不 受外力时，则非共线的两杆内力大小相等但符号相反。
以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
图5-4
§5-2 结点法
桁架计算一般是先求支座反力后计算内力。计算内力时 可截取桁架中的一部分为隔离体，根据隔离体的平衡条件 求解各杆的轴力。如果截取的隔离体包含两个及以上的结 点，这种方法叫截面法。如果所取隔离体仅包含一个结 点，这种方法叫结点法。 当取某一结点为隔离体时，由于结点上的外力与杆件内 力组成一平面汇交力系，则独立的平衡方程只有两个，即 ΣFx=0，ΣFy=0。可解出两个未知量。因此，在一般情况 下，用结点法进行计算时，其上的未知力数目不宜超过两 个，以避免在结点之间解联立方程。 结点法用于计算简单桁架很方便。因为简单桁架是依次 增加二元体组成的。每个二元体只包含两个未知轴力的 杆，完全可由平衡方程确定。计算顺序按几何组成的相反 次序进行，即从最后一个二元体开始计算。