高等数学-第七版-课件-第七章极限7-1 关于实数集完备性的基本定理

第七章实数的完备性1. 教学框架与内容教学目标①掌握实数集完备性的基本定理内容．②掌握实数集完备性的基本定理等价性证明．③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.教学内容①实数完备性基本定理内容及其之间的相互等价性．②有界闭区间上连续函数性质的证明.2. 重点和难点①正确理解基本定理的含义及适用范围.②基本定理等价性证明.③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.3. 研究性学习选题● 完备性基本定理的应用, 以区间套定理和有限覆盖定理为例.小组进行一次交流：叙述实数完备性基本定理的应用.●举例用不同完备性定理证明同一命题, 体会不同完备性定理的奥妙之处. 进行一次研讨：举一例说明不同完备性定理的不同应用.4. 综合性选题, 写读书笔记■整理完备性定理等价性证明.■整理每个完备性定理适用范围.5. 评价方法◎课后作业，计10分.◎研究性学习布置的两个选题合计30分.●完备性基本定理的应用（计15分）●用不同完备性定理证明同一命题（计15分）◎读书笔记计60分.●完备性定理等价性证明总结（计30分）●完备性定理适用范围总结（计30分）§1 实数基本定理的陈述一、确界原理定理1 非空有上(下)界数集必有上(下)确界.二、单调有界原理定理2 单调有界数列必收敛.例 1 确界原理⇒单调有界原理.三、闭区间套定理1、 区间套设{[,]}n n a b 是一闭区间序列，若满足条件1) 对任意n ，有11[,][,]n n n n a b a b ++⊂，即11n n n n a a b b ++≤≤≤，2) lim 0n n n b a →∞-=，即n →∞时，区间长度趋于0， 则称该闭区间序列为一个(递缩)闭区间套，简称为区间套，区间套还可表示为1221n n a a a b b b ≤≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤≤.注 1 区间套{[,]}n n a b 涉及两个数列{},{}n n a b ，其中{}n a 递增，{}n b 递减且{}n a 有 上界1b , {}n b 有下界1a ，从而由单调有界原理{},{}n n a b 均收敛，不妨设n a a →，n b b →. 故a b ≤且由0n n a b -→有b a =.2、区间套定理定理3 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则存在唯一R ξ∈，使得n N ∀∈，[,]n n a b ξ∈，即区间套必有唯一的公共点.例 2 单调有界定理⇒区间套定理. (注意唯一性)注 2 若区间套{[,]}n n a b ，n n b a -→0，则应有何结论……推论 设ξ为区间套{[,]}n n a b 所确定的点，则对任给0ε>，存在N ，使得n N >时， [,](,)n n a b U ξε⊂.注 3 区间套定理中，区间套均为闭区间，而对开区间套未必成立，如11{(0,)}n n∞=. 例 设{(,)}n n a b 是一个严格开区间套，即1221n n a a a b b b <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<⋅⋅⋅<<,且lim 0n n n b a →∞-=，证明: 存在唯一的R ξ∈，使得(,)n n a b ξ∈,n N ∀∈.四、Cauchy 收敛准则1、基本列 (Cauchy 列)若数列{}n a 满足0ε∀>，存在N ∈N ，使得,m n N ≥时m n a a ε-<, 则称{}n a 为基本列或Cauchy 列.注 3 {}n a 为Cauchy 列0,,,,n p n N n N p a a εε+⇔∀>∃∈N >∀∈N -<.例 证明 1) 20.9sin0.90.90.9n n x =+为Cauchy 列 2) 22211112n a n=++⋅⋅⋅+为Cauchy 列. 例 不用Cauchy 准则证明:1) Cauchy 列必为有界列.2) 若Cauchy 列有收敛子列,则其本身必收敛.2、Cauchy 收敛准则定理 4 数列{}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列例3 区间套定理⇒Cauchy 收敛准则.1、聚点设S R ⊂为数集，ξ为定点(ξ可能属于S ，可能不属于S )，若ξ的任何 邻域内均含有S 的无穷多个点，则ξ称为S 的一个聚点.例 1) 1{,}E n N n=∈有唯一聚点0. 2) [0,1)的聚点集为[0,1].3) [0,1)中的有理数的聚点集[0,1].4) 有限点集无聚点.2、聚点等价条件ξ为S 的聚点00,(,)S εξε⇔∀>≠∅(ξ的任何邻域内中有S 中异于ξ的点);⇔S 中存在异于ξ的点列{}n a ，n a ξ→;⇔S 中存在互不相同的点列{}n a ，n a ξ→.例 设S 为有上界集，sup S S ∉，则{},sup n n a S a S ∃⊂→.[sup S S ∉，则sup S 为S 的一个聚点]定理5 (Weierstrass定理)实数中任一有界无限点集S至少有一个聚点. 例 4区间套定理⇒聚点定理.推论有界数列必有收敛子列----致密性定理.六、致密性定理定理6有界数列必有收敛子列.例 5致密性定理⇒Cauchy收敛准则.七、(Heine Borel -)有限覆盖定理1、开覆盖设开区间族{(,),}G I a b λλλλ==∈∧(∧为一指标集)，设S 为一数集，若对任,x S λ∈∃∈∧，使x I λ∈，则称区间族G 覆盖了S ，或称区间族G 是数集S 的一个覆盖，记作(,)S a b λλλ∈∧⊂.若∧为有(无)限集，则称覆盖为有(无)限覆盖S .若∑为的∧子集，且{(,),}a b λλλ∈∑也覆盖S ，则称{(,),}a b λλλ∈∑为G 的一个子覆盖. 特别地，若∑是有限集, 则称为G 的一个有限子覆盖.例 1) {(,),(0,1)}22x x G x x x =-+∈覆盖了区间(0,1)，但其不能覆盖[0,1]？ 2) 若f 在(,)a b 上连续，则0ε∀>，对每一个(,)x a b ∈都存在正数 (,)0x x δδε=>，使得当'(,)(,)x x x x U x x x δδδ∈=-+有(')()f x f x ε-<， 从而开区间族{(,x G x x δ=-),(,)}x x a b δ+∈就为(,)a b 上的一个无限开覆盖.一般称(,)x I x x x x δδ∈⋃-+为I 上的一个自然覆盖.2、有限覆盖定理定理7 设G 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则可从G 中选中有限子覆盖来覆盖[,]a b .例 6 闭区间套定理⇒有限覆盖定理.§2 完备性定理等价性证明确界原理 ?⇐ Cauchy 收敛准则 ⇐ 致密性定理⇓ ⇑ ⇑单调有界定理 ⇒ 区间套定理 ⇒ 聚点定理⇓ ?⇑有限覆盖定理 ⇒例 7 Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理.例 8 有限覆盖定理⇒聚点定理.例 9 聚点定理⇒区间套定理.例 10 Cauchy 收敛准则 ⇒ 有界单调定理.实数完备性命题都可以用于确定某个具有某种性质的点.1、 单调有界定理与Cauchy 收敛准则通常用于判断数列的收敛性. (即收敛数列的极限点).2、 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点.3、 致密性定理是同聚点原理一般将数列过渡到子列(可要求子列具有某种收敛性).4、 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点性质(局部性质).方法是 假设I 具有某种性质P ，对分I ，得到两个子区间，可要求其一必须仍满足性质P ，如此可得到区间套{}n I 及公共点α，由α的任一邻域必包含某n I ，则得到的任一邻域具有性质P .5、 有限覆盖定理主要在于把局部性质扩展成整体性质。

实数完备性的证明第一部分七个定理的证明1. 单调有界定理区间套定理证明：已知a n a n 1 （n），a n b n b l，由单调有界定理知｛a n｝存在极限，设lim a n = r，同理可知｛b n｝存在极限，设lim b n = rn ，由lim ( b nna n ) =0 得r r =0即r rn,有a n b n，令n ，有a n r r b n , n ,有a n r b n。

下面证明唯性。

用反证法。

如果不然。

则r i r2 , 同时对任意 a A , a r i , a D对任意b 有b r i b r2，不妨设r i r2 ,令r' r i r2 显然r i r' r22r A , r' B,这与A | B是R的一个分划矛盾。

唯-性得证。

定理证完。

2. 区间套定理确界定理证明：由数集A非空，知a A，不妨设a不是A的上界，另外，知b是A的上界，记［a i，b i ］=［a，b］，用a i，b i的中点电虫二等分［a i，b i］，如果引b i是A的上界，2 2则取［a2，b2】=［a i a i b i ］；如果a i b i不是A的上界，则取［a?，2 2b2】=［a S , b i］；用a2 , b2的中点邑匹二等分［a2 , b2】……如此继2 2续下去，便得区间套［a n , b n］。

其中a n不是A的上界，b n是A的上界。

n i由区间套定理可得，唯一的r ［a n, b n］，使lim a n = lim b n = r。

x A ,n nn nn i由 x b n ( n=1，2，)，同理可证非空有下界数集有下确界。

定理证完 3. 确界定理T 有限覆盖定理证明：设E 是闭区间［a , b ］的一个覆盖。

定义数集A={x a |区间［a ，x ］在E 中存在有限子覆盖}从区间的左端点x a 开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数 集A 的定义可见，若x A,则整个区间［a ，x ］ A.若A 无上界，则b A,那么［a ，b ］在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界，由确界定理可得r,使r=supA 。

《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。

实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。

实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。

下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。

第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。

它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。

证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。

接下来我们来证明M是S的上确界。

首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。

其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε<s≤M。

这两点都可以使用导致上确界的性质来证明。

因此，我们证明了确界定理。

第二个定理是区间套定理。

它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。

证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。

其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。

因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。

第三个定理是柯西收敛准则。

它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，<ε。

证明如下：首先，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的有界性。

其次，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的单调性。

因此，根据实数完备性的定义，实数序列的柯西收敛准则是实数序列收敛的充分必要条件。

第四个定理是实数域的离散性。

它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。

证明如下：假设a和b是两个实数，并且a<b。

第七章实数的完备性§1 关于实数完备性的基本定理一、问题提出定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6．定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3 (区间套定理）设为一区间套：．则存在唯一一点定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖．定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下：：(1)～(3) 基本要求类：(4)～(7) 阅读参考类：(8)～(10) 习题作业类二、回顾确界原理的证明我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或(,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能.1 非空有上界的数集E 必存在上确界.证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈∀,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界；（2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划.ο1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈∀,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ；ο2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出；ο3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈∃,使得x a <,而E 内每一元素属于A ,所以b x a <<.ο4 由ο3的证明可见A 无最大数.所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c .E x ∈∀,由ο1知A x ∈,即得c x <.这表明c 是E 的一个上界.若b 是E 的一个上界,则B b ∈,由此得b c ≤,所以c 是上界中最小的,由上确界定义,c 为集合E 的上确界,记作 E c sup =.推论 非空的有下界的集合必有下确界.事实上,设集合}{x E =有下界b ,则非空集合}|{'E x x E ∈-=有上界b -,利用集合'E 上确界的存在性,即可得出集合E 的下确界存在.定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题,我们可以利用上确界的存在性,得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性.若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界,我们称该全序集是完备的.定理1刻划了实数集是完备的.例1 证明实数空间满足阿基米德原理.证明 0>>∀a b ,要证存在自然数n 使b na >.假设结论不成立,即b na ≤, ），，Λ21(=n ,则数集}{na E =有上界b ,因此有上确界c ,使c na ≤），，Λ21(=n ,也就有c a n ≤+)1(），，Λ21(=n ,或 a c na -≤ ），，Λ21(=n .这表明a c -是集合E 的上界,与c 是上确界矛盾.所以总存在自然数n ,使b na >. 三、等价命题证明下面来完成(1)～(7)的证明． (一) 用确界定理证明单调有界定理设}{n x 单调上升,即ΛΛ≤≤≤≤≤n x x x x 321,有上界,即M ∃,使得M x n ≤.考虑集合}|{N n x E n ∈=,它非空,有界,定理2推出它有上确界,记为nN n x a ∈=sup .我们验证 nn x a ∞→=lim .0>∀ε,由上确界的性质,N ∃,使得N x a <-ε,当N n >时,由序列单调上升得n N x x a ≤<-ε,再由上确界定义,ε+<≤a a x n ,有 εε+<<-a x a n ,即ε<-a x n ,也就是说 nN n n n x a x ∈∞→==sup lim . 同理可证若}{n x 单调下降,有下界,也存在极限,且nN n n n x x ∈∞→=inf lim .若集合E 无上界,记作+∞=E sup ；若集合E 无下界,记作+∞=E inf ,这样一来,定理2证明了的单调上升（下降）有上界（下界）的序列}{n x ,必有极限)inf (sup n N x n N x x x ∈∈的定理现在有了严格的理论基础了.且对单调上升（下降）序列}{n x ,总有)inf (sup lim n Nx n Nx n n x x x ∈∈+∞→=.(二) 用单调有界定理证明区间套定理由假设（1）知,序列}{n a 单调上升,有上界1b ；序列}{n b 单调下降,有下界1a .因而有1lim c a n n =+∞→,2lim c b n n =+∞→. n n b c c a ≤≤≤21.再由假设（2）知0)(lim 12=-=-+∞→c c a b n n n ,记c c c ==21. 从而有nn n n b c a +∞→+∞→==lim lim .若还有*c 满足n n b c a ≤≤*,令+∞→n ,得c c =*.故c 是一切],[n n b a 的唯一公共点.证毕.这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：（1） 要求],[n n b a 是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不一定成立.如)1,0(),(n b a n n =.显然有 )1,0()11,0(n n ⊂+, 但 φ=+∞=)1,0(1n n I .如果开区间套是严格包含： n n n n b b a a <<<++11,这时定理的结论还是成立的.(2)若],[],[11n n n n b a b a ⊂++），，Λ21(=n ,但0)(lim ≠-+∞→n n n a b ,此时仍有1lim c a n n =+∞→,2lim c b n n =+∞→,但21c c <,于是对任意的c ,21c c c ≤≤,都有],[1n n n b a c +∞=∈I . 全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集,则称该全序集是完备的,定理3刻划实数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）.定理3也给出通过逐步缩小搜索范围,找出所求点的一种方法.推论 设为一区间套,．则当时,恒有．用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论．例2 序列}{n x 由下列各式a x =1,b x =2,221--+=n n n x x x ），，Λ43(=n所确定（见下图）.证明极限n n x+∞→lim 存在,并求此极限.1x 3x 5x 4x 2x x证明 当b a =时,a x n =,故ax n n =+∞→lim .当b a ≠时,若取),min(1n n n x x a +=,),m ax (1n n n x x b +=,），，Λ21(=n .则由条件,显然可得一串区间套：],[],[11n n n n b a b a ⊂++ ），，Λ21(=n .由已知条件)(212111--+--=-+=-n n n n n n n x x x x x x x ,于是，)(0||21||21||21||21||112121211+∞→→-=-==-=-=-=------+n a b x x x x x x x x a b n n n n n n n n n n Λ由区间套定理,存在c 满足： n n n n b c a +∞→+∞→==lim lim .注意到],[n n n b a x ∈,所以 c x n n =+∞→lim . 下面来求c .由)(2111-+--=-n n n n x x x x ,令132-=k n ，，，Λ得一串等式： )(211223x x x x --=-； )(212334x x x x --=-；ΛΛΛΛΛΛ)(21211-----=-k k k k x x x x .将它们相加,得 )(21112x x x x k k --=--,令+∞→k ,得)(2112x c x c --=-所以)2(31323121b a x x c +=+=.(三) 用区间套定理证明确界原理证明思想：构造一个区间套,使其公共点即为数集的上确界．设, 有上界．取；,再令如此无限进行下去,得一区间套．可证：因恒为的上界,且,故,必有,这说明是的上界；又因,故,而都不是的上界,因此更不是的上界．所以成立．［证毕］*(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”．对采用逐次二等分法构造区间套,的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．由区间套定理,．导出矛盾：使记由［推论］,当足够大时,这表示用中一个开区间就能覆盖,与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖．说明当改为时,或者不是开覆盖时,有限覆盖定理的结论不一定成立.例如：1) ．是开区间的一个无限开覆盖,但不能由此产生的有限覆盖．2) ．是的一个无限覆盖,但不是开覆盖,由此也无法产生的有限覆盖．* (五) 用有限覆盖定理证明聚点定理设为实轴上的有界无限点集,并设．由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点,则．现反设中任一点都不是的聚点,即在内至多只有．这样,就是的一个无限开覆盖．用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9,存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设,内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．所以,有界无限点集必定至少有一个聚点．［证毕］推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列．即若为有界数列,则使有．子列的极限称为原数列的一个极限点,或称聚点注数列的聚点与一般点集的聚点,含义稍有不同．数列的聚点定义为：“,在内含有中无限多个项,则为的一个聚点．”在此意义下,对于数列它有两个收敛子列:和,．它们的极限和就是的两个聚点．证}{n a 有界,则存在数11,y x 使得11y a x n ≤≤对n ∀成立.将],[11y x 二等分为]2,[111y x x +、],2[111y y x +,则其中必有一个含有数列}{n a 的无穷多项,记为],[22y x ；再将],[22y x 二等分为]2,[222y x x +、],2[222y y x +,同样其中至少有一个含有数列}{n a 的无穷多项,把它记为],[33y x ,……一直进行这样的步骤,得到一闭区间套]},{[n n y x ,其中每一个],[n n y x 中都含有数列}{n a 的无穷多项,且满足：⑴ ],[11y x ⊃],[22y x ⊃⊃Λ],[n n y x ⊃…⑵111lim()lim02n n n n n y x y x -→∞→∞--==则由闭区间套定理,ξ∃使得 =∞→n n a lim =∞→n n b lim ξ 下证}{n a 中必有一子列收敛于实数ξ先在],[11y x 中选取}{n a 的某一项,记为1n a ,因],[22y x 中含有}{n a 中的无穷多项,可选取位于1n a 后的某一项,记为2n a ,12n n >.继续上述步骤,选取k n a ],[k k y x ∈后,因为],[11++k k y x 中含有无穷多项,可选取位于kn a 后的某一项,记为1k n a +且kk n n >+1,这样我们就得到}{n a 的一个子列}{k n a 满足k n k y a x k ≤≤,Λ,2,1=k由两边夹定理即得 =∞→k n n a lim ξ.证明 设b x a n ≤≤,用中点21ba c +=将[]b a ,一分为二,则两个子区间[]1,c a 和[]b c ,1中至少有一个含有}{n x 中无穷多项,选出来记为[]11,b a ,在其中选一项1n x .用中点2112b a c +=将[]11,b a 一分为二,则两个子区间[]21,c a 和[]12,b c 中至少有一个含有}{n x 中无穷多项,选出来记为[]22,b a ,在其中选一项2n x ,使得Λ,12n n >.最后得一区间套[]k k b a ,,满足[][]k k k k b a b a ,,11⊂++,k k k a b a b 2-=-,[]kk k k n n n b a x k >∈+1,,.由区间套定理,c b a k k k k ==∞→∞→lim lim ,又由于kn k b x a k ≤≤,有c x k n k =∞→lim .*(六) 用聚点定理证明柯西准则必要性: 已知收敛,设．由定义,,当时,有．从而有．充分性: 已知条件： 当时．欲证收敛．．首先证有界．对于当时,有令,则有．．由致密性定理,存在收敛子列,设．．最后证,由条件,当时,有．于是当（同时有）时,就有．证 “⇒” }{n a 收敛,则存在极限,设a a n n =∞→lim ,则0>∀ε,N ∃,当N n >时有2/||ε<-a a n ⇒当N m n >,时有ε<-+-≤-||||||a a a a a a n m m n“⇐”先证有界性,取1=ε,则N ∃,N m n >,⇒1||<-m n a a特别地,N n >时 1||1<-+N n a a ⇒1||||1+<+N n a a设}1|||,|,|,||,m ax {|121+=+N N a a a a M Λ,则n ∀,Ma n ≤||再由致密性定理知,}{n a 有收敛子列}{k n a ,设aa k n k =∞→lim0>∀ε,1N ∃,1,N m n >⇒||/2n m a a ε-<K ∃,K k >⇒2/||ε<-a a k n取),m ax (1N K N =,当N n >时有11N n N N +≥+>⇒ εεε=+<-+-≤-++2/2/||||||11a a a a a a N N n n n n故aa n k =∞→lim .Cauchy 列、基本列（满足Cauchy 收敛准则的数列）*(七) 用柯西准则证明单调有界原理 设为一递增且有上界M 的数列．用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若无极限,则可找到一个子列以为广义极限,从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．对于单调数列,柯西条件可改述为：“ 当 时,满足”．这是因为它同时保证了对一切,恒有 ．倘若不收敛,由上述柯西条件的否定陈述：,对一切,,使．依次取把它们相加,得到．故当时,可使,矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ] 例1 用单调有界定理证明区间套定理．即已知：1 ）单调有界定理成立；2 ）设[]{}nnba,为一区间套．欲证：[],,2,1,,Λ=∈ξ∃nbann且惟一．证证明思想：构造一个单调有界数列,使其极限即为所求的ξ．为此,可就近取数列{}na（或{}n b）．由于,1221bbbaaann≤≤≤≤≤≤≤≤ΛΛΛ因此{}na为递增数列,且有上界（例如1b）．由单调有界定理,存在ξ=∞→nnalim,且Λ,2,1,=ξ≤nan．又因nnnnaabb+-=)(,而0)(lim=-∞→nnnab,故ξ=ξ+=+-=∞→∞→∞→lim)(limlimnnnnnnnaabb；且因{}nb递减,必使ξ≥nb．这就证得[]Λ,2,1,,=∈ξnbann．最后,用反证法证明如此的ξ惟一．事实上,倘若另有一个[]Λ,2,1,,=∈ξ'nbann,则由)()(∞→→-≤ξ'-ξnabnn,导致与>ξ'-ξ相矛盾．例 2 （10）用区间套定理证明单调有界定理．即已知：1 ）区间套定理成立．2 ）设{}n x为一递增且有上界M的数列．欲证：{}n x存在极限nnx∞→=ξlim．证证明思想：设法构造一个区间套[]{}nnba,,使其公共点ξ即为{}n x的极限．为此令[][]Mxba,,111=.记2111bac+=,并取[][]{}[]{}⎩⎨⎧=.,,;,,,11111122的上界为不若的上界为若nnxcbcxccaba再记222 2ba c +=, 同理取[][]{}[]{}⎩⎨⎧=.,,;,,,22222233的上界不为若的上界为若n n x c b c x c c a b a如此无限进行下去,得一区间套[]{}n n b a ,．根据区间套定理,[]∞→∞→=ξ==∈ξ∃n n n n n n b a n b a )lim lim (,2,1,,Λ．下面用数列极限定义证明ξ=∞→n n x lim ：0>ε∀,一方面,由于)(N ∈k b k 恒为{}n x 的上界,因此ε+ξ<ξ=≤⇒≤∈∀∞→k k n k n b x b x ,k n lim ,N ；另一方面,由ε-ξ>⇒ε<-ξ=ξ-≥∈∃⇔ξ=∞→K k k k k a a a K k ,K a ,lim 时当N ；而由区间套的构造,任何k a 不是{}n x 的上界,故ε-ξ>>∃K N a x ；再由{}n x 为递增数列,当N n >时,必有ε-ξ>≥N n x x ．这样,当 N n > 时,就有ε+ξ<<ε-ξn x , 即 ξ=∞→n n x lim ．例 3 （9） 用确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ） 确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）；2 ） 设{}],[n n b a 为一区间套．欲证：存在惟一的点[]Λ,2,1,,=∈ξn b a n n ．证 证明思想：给出某一数集S ,有上界,使得S 的上确界即为所求的ξ． 为此,取{}n a S =,其上界存在（例如 1b ）．由确界定理,存在 {}n a sup =ξ．首先,由ξ为{}n a 的一个上界,故Λ,2,1,=ξ≤n a n ．再由ξ是{}n a 的最小上界,倘有某个ξ<m b ,则m b 不会是{}n a 的上界,即m k b a >∃,这与[]{}nn b a ,为区间套相矛盾（ji b a <）.所以任何ξ≥n b ．这就证得Λ,2,1,=≤ξ≤n b a n n ．关于ξ的惟一性,与例1中的证明相同．注 本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚．在以上六个等价命题中,最便于推广至中点集的,当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识,下例所讨论的问题是很有意义的．例证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ,时,使．证 (i)(ii) 显然成立．(ii)(iii) 由(ii）,取,；再取；……一般取；……由的取法,保证,,．(iii)(i)时,必有,且因各项互不相同,故内含有中无限多个点．[证毕]四、实数系的完备性实数所组成的基本数列{}nx比存在实数极限――实数系完备性；有理数域不具有完备性,如1(1)nn⎧⎫+⎨⎬⎩⎭：1lim(1)nnen→∞+=（无理数）.五、压缩映射原理（不动点原理）1、函数f(x)的不动点指什么？设y＝f(x)是定义在[a,b]上的一个函数,方程x＝f(x)的解称为f(x)的不动点.2、在什么样的条件下不动点一定存在呢？存在时唯一吗？如何求出不动点？压缩映射：如果存在常数k,满足0≤k<1,使得对一切,[,]x y a b∈成立不等式()()||f x f y k x y -≤-,则称f 是[a,b]上的一个压缩映射. 压缩映射必连续.压缩映射原理（不动点原理） 设()x ϕ是[a,b]上压缩映射,且([,])[,]a b a b ϕ⊂,则()x ϕ在[a,b]上存在唯一的不动点.例3 证明Kapler 方程sin x x b ε=+在||1ε<时,存在唯一实数.§7.2 闭区间上连续函数性质的证明教学目标：证明闭区间上的连续函数性质．教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性． 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明,对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程：在本节中,将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章2中给出的闭区间上连续函数的基本性质.一、有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则f 在[]b a ,上有界证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107.证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.证明 如若不然,)(x f 在],[b a 上无界,∈∀n N ,],[b a x n ∈∃,使得n x f n >|)(|,对于序列}{n x ,它有上下界b x a n ≤≤,致密性定理告诉我们k n x∃使得],[0b a x x k n ∈→,由)(x f 在0x 连续,及kn n x f k >|)(|有+∞==∞→|)(|lim |)(|0k n k x f x f ,矛盾.证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 参阅[1]P168—169证明 （应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（th4.2）对每一点[]b a x ,'∈都存在邻域()x x '',δο⋃及正数'x M使()()[]b a x x M x f x x ,,'''⋂⋃∈≤δ 考虑开区间集()(){}b a x x H x ,,'''∈⋃=δ虽然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在H 的一个有限点集()[]{}k i b a x x H i i i ,,2,1,,Λ=∈⋃=*δ覆盖了[]b a ,,且存在正整数,,,21k M M M Λ使对一切()[]b a x x i i ,,⋂⋃∈δ有()k i M x f i ,,2,1,Λ=≤,令ki iM M ≤≤=1m ax则对[]b a x ,∈∀,x 必属于某()()M M x f x i i i ≤≤⇒δ,Y ,即证f 在[]b a ,上有上界． 二、最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ )(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 令)}({sup x f M bx a ≤≤=,+∞<M , 如果)(x f 达不到M ,则恒有M x f <)(.考虑函数)(1)(x f M x -=ϕ,则],[)(b a C x ∈ϕ,因而有界,即)0()(>≤μμϕx , 从而MM x f <-≤μ1)(,这与M 是上确界矛盾,因此],[b a x ∈∃,使得M x f =)(.类似地可以证明达到下确界.三、介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 （零点存在定理或根的存在性定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续即]),([)(b a C x f ∈且)(a f 与)(b f 异号（)(a f 0)(<b f ）,则在),(b a 内存在一点0x 使得 0)(0=x f .即方程0)(=x f 在),(b a 内至少存在一个实根.证法 一 ( 用区间套定理 ) .设0)(<a f ,0)(>b f .将],[b a 二等分为],[c a 、],[b c ,若0)(=c f 则c x =0即为所求；若0)(≠c f ,当0)(>c f 时取],[c a 否则取],[b c 为],[11b a ,有0)(1<a f ，0)(1>b f .如此继续,如某一次中点i c 有0)(=i c f 终止（i c 即为所求）；否则得]},{[n n b a 满足：⑴ΛΛ⊃⊃⊃⊃],[],[],[11n n b a b a b a ；⑵ 02lim)(lim =-=-∞→∞→nn n n n ab a b ；⑶)(,0)(><n n b f a f由闭区间套定理知,∃唯一的],[10n n n b a x ∞=∈I ,且=∞→n n a lim 0lim x b n n =∞→由)(x f 在0x处的连续性及极限的保号性得)()(lim 0≤=∞→x f a f n n 、0lim ()()0n n f b f x →∞=≥0)(0=⇒x f #证二( 用确界原理 ) 不妨假设0)(<a f （从图1看,0x是使得0)(>x f 的x 的下确界）,令]},[,0)(|{b a x x f x E ∈>=,要证E x inf 0=（E inf 存在否？）.因为Φ≠⇒∈E E b ,],[b a E ⊂E ⇒有界,故E inf 存在.令 Ex inf 0=,下面证0)(0=x f如若不然,)(0≠x f 则)(0>x f （或)(0<x f ）（从图形上可清楚看出,此时必存在1x x <使0)(1>x f ）.首先ax ≠0,即],(0b a x ∈；f 在0x连续,由连续函数的局部保号性],[),(0b a x U ⊂∃⇒δ使得),(0δx U x ∈∀有0)(>x f ,特别应有0)2(0>-δx f 即 E x ∈-20δ,这与E x inf 0=矛盾,故必有0)(0=x f .证法 二 ( 用确界原理 ) 不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ, 有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取n x >ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f , ⇒ 0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf .证法 三 ( 用有限复盖定理 ).介值性定理 设f 在闭区间[]b a ,上连续,且()()()()b f a f b f a f 与为介于若μ≠之间的任何实数()()b f a f <<μ或()()b f a f >>μ,则存在()b a x ,∈ο使()μ=οx f ．证明 (应用确界定理) 不妨设()()()()μμ-=<<x f x g b f a f 令 则g 也是[]b a ,上连续函数,()()0,0>>b g a g ,于是定理的结论转为:()()0,,=∈∃οοx g b a x 使这个简化的情形称为根的存在性定理(th4.7的推论)记()[]{}b a x x g x E ,,0∈>=显然E 为非空有界数集[]()E b b a E ∈⊂且,故有确界定理, E 有下确界,记()()0,0inf ><=b g a g E x 因ο有连续函数的局部保号性, 0>∃δ,使在),[δ+a a 内0)(<x g ,在),(δ-b b 内0)(>x g ．由此易见a x ≠ο,b x ≠ο,即()b a x ,∈ο．下证()0=οx g ．倘若()0≠οx g ,不妨设()0>οx g ,则又由局部保号性,存在()()()b a x ,,⊂ηοY 使在其内)0(>x g ,特别有Ex x g ∈-⇒>⎪⎭⎫ ⎝⎛-202ηηοο=0,但此与E x inf =ο矛盾,则必有0)(0=x g ．几何解释 直线c y =与曲线)(x f y =相交.把x 轴平移到c y =,则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数,把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？① 从几何上,c y y x x -='=',启示我们作c x f x F -=)()(； ② 从结果cx f =)(0着手.利用零点定理证：令c x f x F -=)()(,则]),([)(b a C x F ∈,往下即转化为零点存在问题. # 这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊,最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法,以后会经常用到.推论 如f 为区间I 上的连续函数,则值域)(I f J =也是一个区间（可以退化为一点）. 证 f 为常量函数,则)(I f J =退化为一点.f 非常量函数,则J 当然不是单点集.在J 中任取两点21y y <（只要证J y y ⊂],[21）,则在I 中必有两点1x ,2x 使得11)(y x f =,22)(y x f =.于是对21y y y <<∀,必存在x ,x 介于1x 与2x 之间,使y x f =)(,即J y ∈因而J y y ⊂],[21⇒J 是一个区间.二、一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 ) ],[)(b a C x f ∈, 则)(x f 在],[b a 上一致连续.证法 一 ( 用有限复盖定理 ) 参阅[1]P171[ 证法一 ]证明 (用有限覆盖定理) 由f 在闭区间[]b a ,上连续性,0>∀ε,对每一点[]b a x ,∈,都存在0>x δ,使当()x x x δ,'Y ∈时,有()()2'ε<-x f x f考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x H x ,2,δY 显然H 是[]b a ,的一个开覆盖,由有限覆盖定理H ∃的一个有限子集[]02min ,,,2,12,>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*i i i b a k i x H δδδ记覆盖了ΛY对[]δ<-∈∀"'"',,x x b a x x ,x '必属于*H 中某开区间,设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,'i i x x δY ,即2'ii x x δ<-,此时有iiiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-+-≤-222''""故有（2）式同时有 ()()()()22"'εε<-<-i i x f x f x f x f 和由此得()()[]上一致连续在b a f x f x f i ,'∴<-ε.证法 二 ( 用致密性定理). 参阅[1]P171—172 [ 证法二 ]证明 如果不然,)(x f 在],[b a 上不一致连续,00>∃ε,0>∀δ,],[,b a x x ∈'''∃,δ<''-'||x x ,而0|)()(|ε≥''-'x f x f .取n 1=δ,],[,b a x x n n∈'''∃,n x x n n 1||<''-',而0|)()(|ε≥''-'n n x f x f ,由致密性定理,存在子序列],[0b a x x k n∈→',而由k n nn x x k k 1||<''-',也有0x x k n→''. 再由)(x f 在0x 连续,在0|)()(|ε≥''-'k k n n x f x f 中令∞→k ,得000|)()(|lim |)()(|0ε≥''-'=-=∞→k k n nk x f x f x f x f ,矛盾.所以)(x f 在],[b a 上一致连续.推广 ),()(b a C x f ∈,()f a +,()f b -∃⇒)(x f 在),(b a 上一致连续. 作业 [1]P172 1,2 3,4, 5*；P176 1,2,4.§7.3 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列,我们最关心的是其收敛性；如果不收敛,我们希望它有收敛的子列,这个愿望往往可以实现.例如：{}(1)n -.一般地,数列{}n x ,若{}k n x ：k n x a →（k →∞）,则称a 是数列{}n x 的一个极限点.如点例{}(1)n -有2个极限点.数列{}n x 的最大（最小）极限点如果存在,则称为该数列的上（下）极限,并记为lim n n x →∞（lim n n x →∞）.如lim(1)1n n →∞-=,lim(1)1n n →∞-=-.例1 求数列sin 3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭的上、下极限.例2 [1(1)]n n x n =+-,求上、下极限. 二、上（下）极限的存在性下面定理指出,对任何数列{}n x ,它的上（下）极限必定存在. 定理1 每个数列{}n x 的上极限和下极限必定唯一,且lim n n x →∞＝1sup{,,}limsup n n k n k nx x x +→∞≥=L ,lim n n x →∞＝1inf{,,}liminf n n k n k nx x x +→∞≥=L .三、上下极限和极限的关系lim n n x →∞≥lim n n x →∞.定理2 {}n x 存在极限则{}n x 的上极限和下极限相等,即lim n n x →∞＝lim n n x →∞＝lim n n x →∞.四、上（下）极限的运算普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如：11lim[(1)(1)]0lim(1)lim(1)2n n n n n n n ++→∞→∞→∞-+-=<-+-=u u u r . 一般地有：lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,当{}n x 收敛时,等号成立.实数完备性的等价命题一、问题提出确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．定理1.2(单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3(区间套定理）设为一区间套：．则存在唯一一点定理1.4(有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：，只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头，其含义如下：：(1)～(3) 基本要求类：(4)～(7) 阅读参考类：(8)～(10) 习题作业类下面来完成(1)～(7)的证明．二、等价命题证明(一) 用确界定理证明单调有界定理.(二) 用单调有界定理证明区间套定理设区间套．若另有使，则因．推论设为一区间套，．则当时，恒有．用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．(三) 用区间套定理证明确界原理证明思想构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界．设, 有上界．取；，再令如此无限进行下去，得一区间套．可证：因恒为的上界，且，故，必有，这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．*(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”．对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．由区间套定理，．导出矛盾：使.记由［推论］，当足够大时，这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖.说明当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立.例如：1) ．是开区间的一个无限开覆盖，但不能由此产生的有限覆盖．2) ．是的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生的有限覆盖．*(五) 用有限覆盖定理证明聚点定理设为实轴上的有界无限点集，并设．由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则．现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有．这样，就是的一个无限开覆盖．用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．所以，有界无限点集必定至少有一个聚点．［推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列．即若为有界数列，则使有．子列的极限称为原数列的一个极限点，或称聚点.数列的聚点与一般点集的聚点，含义稍有不同．数列的聚点定义为：“，在内含有中无限多个项，则为的一个聚点．”在此意义下，对于数列它有两个收敛子列:和，．它们的极限和就是的两个聚点．*(六) 用聚点定理证明柯西准则柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得.（已知收敛，设．由定义，，当时，有．从而有．）这里只证其充分性．已知条件：当时．欲证收敛．．首先证有界．对于当时，有令，则有．．由致密性定理，存在收敛子列，设．．最后证，由条件，当时，有．于是当（同时有）时，就有．*(七) 用柯西准则证明单调有界原理设为一递增且有上界M的数列．用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．对于单调数列，柯西条件可改述为：“当时，满足”．这是因为它同时保证了对一切，恒有．倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使．依次取把它们相加,得到．故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ] 在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的．例证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ，时，使．证 (i)(ii) 显然成立．(ii)(iii) 由(ii），取，；。

高等数学第七版上册教材目录第一章函数与极限1.1 实数集及其表示方法1.1.1 实数及其性质1.1.2 实数集合及其表示方法1.2 函数的概念及表示方法1.2.1 函数的定义与表示方法1.2.2 函数的性质与运算1.3 极限的概念1.3.1 数列极限的定义1.3.2 函数极限的定义1.3.3 极限的运算法则1.3.4 极限存在准则1.4 极限的性质1.4.1 极限存在性的判定1.4.2 极限唯一性的证明1.4.3 极限与基本四则运算的关系1.5 无穷小与无穷大1.5.1 无穷小的定义与性质1.5.2 无穷大的定义与性质1.5.3 极限与无穷小的关系1.5.4 极限与无穷大的关系1.6 函数的连续性1.6.1 连续函数的概念与性质1.6.2 连续函数的运算与复合函数的连续性 1.6.3 分段连续函数的连续性1.7 一元函数的微分学1.7.1 导数的概念与几何意义1.7.2 导数的计算1.7.3 导数的运算法则1.7.4 高阶导数与高阶微分1.7.5 微分与近似计算1.8 函数的应用1.8.1 函数的导数与变化率1.8.2 回顾平均值定理1.8.3 罗尔中值定理1.8.4 拉格朗日中值定理1.8.5 函数的单调性与单调函数的性质第二章导数与微分2.1 基本初等函数的导数2.1.1 幂函数的导数2.1.2 指数函数的导数2.1.3 对数函数的导数2.1.4 三角函数的导数2.1.5 反三角函数的导数2.1.6 双曲函数的导数2.2 高阶导数与高阶微分2.2.1 高阶导数的计算2.2.2 高阶微分的计算2.2.3 高阶导数与高阶微分的关系2.3 隐函数与参数方程的导数2.3.1 隐函数的导数2.3.2 参数方程的导数2.4 微分中值定理2.4.1 极值定理2.4.2 魏尔斯特拉斯中值定理2.4.3 柯西中值定理2.5 导数的应用2.5.1 泰勒公式2.5.2 麦克劳林公式2.5.3 应用一—函数近似计算2.5.4 应用二—函数图形的描绘2.5.5 应用三—曲线运动的问题第三章微分学中值定理与高阶导数的应用 3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔中值定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 泰勒中值定理3.2 凸函数与曲率3.2.1 凸函数的概念与性质3.2.2 曲率与凹凸性3.3 最值与单调性3.3.1 最值问题3.3.2 单调性与最值的关系3.4 弧长与曲线的表达式3.4.1 弧长的定义与计算3.4.2 曲线的参数方程与弧长 3.5 平面曲线的切线与法线3.5.1 曲线的切线与法线3.5.2 弧微分与切线方程3.6 曲率与曲率半径3.6.1 曲率的定义与计算3.6.2 曲率与切线、法线的关系 3.6.3 曲率半径的概念与计算 3.7 高阶导数的应用3.7.1 正定矩阵及其判别3.7.2 一元函数的最值问题3.7.3 二元函数的最值问题3.7.4 条件极值问题与拉格朗日乘数法 3.7.5 重要定理与其应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.1.3 一些常用积分公式4.2 基本积分公式与运算法则4.2.1 幂函数与三角函数的积分4.2.2 指数函数与对数函数的积分4.2.3 反三角函数的积分4.2.4 一些特殊函数的积分4.3 定积分的概念与性质4.3.1 定积分的定义4.3.2 定积分的性质4.4 定积分的计算4.4.1 定积分的基本计算方法 4.4.2 特殊函数的定积分4.4.3 无穷区间上的定积分 4.5 反常积分4.5.1 反常积分的定义4.5.2 收敛与发散性的判定 4.5.3 反常积分的计算方法 4.5.4 收敛反常积分的性质 4.5.5 瑕积分及其收敛性第五章定积分的应用5.1 定积分的应用5.1.1 曲线长度5.1.2 曲线面积5.1.3 旋转体的体积5.2 物理应用5.2.1 质点沿直线的运动5.2.2 质点的曲线运动5.2.3 质点的匀加速运动5.3 泰勒公式的应用5.3.1 函数近似计算的误差估计 5.3.2 级数的收敛域5.3.3 常微分方程的初值问题 5.3.4 二阶常微分方程的应用。

第一章前言众所周知, 极限的存在性问题是极限理论的首要问题. 一个数列是否存在极限不仅与数列本身的结构有关, 而且与数列所在的数集密切相关. 从运算的角度来说, 实数集关于极限的运算是封闭的, 它反映了实数集的完备性, 这是实数的优点. 因此, 将极限理论建立在实数集之上, 极限理论就有了坚实的基础.我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性, 也可从实数系的完备性出发去证明实数系的连续性, 所以这两个关系是等价的. 因此, 我们也称实数系的连续性为实数系的完备性.数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一, 更是高等师学校数学教育专业最主要的基础课程. 在数学分析教材中, 实数集的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理, 他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性, 成为数学理论乃至数学分析坚实的基础. 这六个基本定理是相互等价的, 也就是说可以相互循环论证. 在我们学过的玉琏等主编的数学分析讲义中, 实数完备性基本定理是从公理出发, 首先运用公理证明了闭区间套定理, 然后用前一个定理为条件, 证明了后一个定理的结论, 它们依次是: 确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性, 最后再运用柯西收敛准则的充要性证明了公理（作为练习题）. 而在本文中把有限覆盖定理作为出发点, 利用反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则.下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的容, 为后面的证明做铺垫.定义1.2.1]2[设S为数轴上的点集, H为开区间的集合,（即H的每一个α的开区间）, 若S中任何一点都含在H中至少一个开区间, 元素都是形如),(β则称H为S的一个开覆盖, 或称H覆盖S. 若H中开区间的个数是无限（有限）的, 则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.定理1.2.1]2[（有限覆盖定理）设H为闭区间]a的一个（无限）开覆盖,[b,则从H 中可选出有限个开区间来覆盖],[b a .第二章 有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理2.1 用有限覆盖定理证明确界定理本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理, 首先给出确界的定义和定理如下:定义2.1.1]2[ 有非空的数集E , 如果存在α, 有下列性质:（1）对任意E x ∈, 有α≤x ;（2）对任意0>ε, 总存在某个数E x ∈0, 有0x <-εα, 则称是数集E 的上确界, 认为:E sup =α.定义2.1.2]2[ 非空的数集E , 如果存在β, 有下列性质:（1）对任意E x ∈, 有x ≤β;（2）对任意0>ε, 总存在某个数E x ∈0, 有εβ+<0x , 则称β是数集E 的下确界, 认为:E inf =β.定理2.1.1]2[（确界定理）任何非空集R E ⊂, 若它有上界, 则必有上确界R E ∈sup （等价地若有下界, 必有下确界）.证明 设E x R E ∈∀⊂≠Φ,有M x ≤. 任取一点E x ∈0, 考虑闭区间],[0M x , 假若E 无上确界（最小上界）, 那么),[0M x x ∈∀:i) 当x 为E 的上界时, 必有更小的上界x x <1, 因而x 有一开领域x ∆, 其中皆为E 的上界;ii) 当x 不是E 的上界时, 自然有E 中的点x x >2, 于是x 有开领域x ∆, 其中每点皆不是E 的上界.],[0M x 上每点都找出一个领域x ∆, 它要么属于第一类（每点为上界）, 要么属于第二类（每点皆不是上界）, 这些领域]},[:{0M x x x ∈∆, 组成闭区间],[0M x 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,必存在有限子覆盖{,1∆…n ∆,}, 注意, M 所在的开区间, 应为第一类的, 相邻接的开区间x ∆有公共点, 也应为第一类的, 经过有限次邻接. 可知0x 所在的开区间也是第一类, 这便得出矛盾. 从而得证非空集R E ⊂, 若它有上界, 则必有上确界.同理可证非空集R E ⊂, 若它有下界, 则必有下确界.2.2 用有限覆盖定理证明单调有界定理本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理, 首先给出单调有界的定义和定理如下:定义2.2.1]2[ 若数列}{n a 的各项满足关系式1+≤n n a a )(1+≥n n a a ,则称}{n a 为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列统称为单调数列.定理2.2.1]2[（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限.证明 不妨设],[}{b a x n ⊂为单调有界数列, 若对],[b a x ∈∀, x 都不是}{n x 的极限, 则,00>∃ε 对,+∈∀N N 有,||0ε≥-x x n 则在)2;(0εx U 仅含有}{n x 的有限项, 令]},[|)2;({b a x x U H ∈=ε, 则H 是闭区间],[b a 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知: 其必存在有限子覆盖, 不妨设存在),2,(),2,(2211εεx U x U … )2,(,n n x U ε是它的一个子覆盖, 即],[)2;(1b a x U i i n i ⊃=ε , 而,2,1)(2,(=i x U i i ε…),n 只含有限个点, 从而它们的并也只含有限个点, 从而得出],[b a 也只含有限个点, 这与],[b a 是无限点集矛盾, 从而得证任何有界的单调数列一定有极限.2.3 用有限覆盖定理证明区间套定理本节主要运用有限覆盖定理证明区间套定理, 首先给出区间套的定义和定理如下:定义2.3.1]2[ 若闭区间列]},{[n n b a 具有下列性质:（1）],[],[11++⊃n n n n b a b a ,n=1,2,3…;（2）0)(lim =-∞→n n n a b 则称这个闭区间列]},{[n n b a 为闭区间套, 或称区间套.定理2.3.1]2[（区间套定理）若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ, 使得ξ][,n n b a ∈, n=1,2,3,… 或n n b a ≤≤ξ, n=1,2,3,…证明 设]},{[n n b a 为闭区间套, 但对],[11'b a x ∈∀, 至少N k ∈∃, 使],['k k b a x ∉, 从而0'>∃x δ, 使Φ=],[),(''k k x b a x U δ.现因]},[|),({'''b a x x U G x ∈=δ是],[11b a 的一个开覆盖, 故G 中有限个开区间即可完全覆盖],[11b a , 记为}1|),({*n i x U G i i ≤≤=δ,其中Φ=],[),(i i k k i i b a x U δ （i =1,2,…,n;2≥i k ）.令,,m ax (210k k k =…),n k , 则],[],[001b a b a i i k k n i == . 于是对)1(n i i ≤≤∀, 都有Φ=],[),(00k k i i b a x U δ, 由此得出Φ===],[)),((],[00001*k k i i ni k k b a x U b a G δ这与*G 为],[11b a 的开覆盖条件矛盾, 从而假设不成立, 问题得证.2.4 用有限覆盖定理证明聚点定理本节主要运用有限覆盖定理证明聚点定理, 首先给出聚点的定义和定理如下:定义2.4.1]2[ 设S 是直线上的点集}{x , ξ是一个定点（它可属于S , 也可不属于S ）. 若ξ的任意领域含有S 的无限多个点x , 则称ξ为S 的一个聚点.其等价定义: 对于点集}{x S =, 若ξ点的任意ε邻域都含有S 的一个异于ξ的点x （即ξεξ≠∈x S x ),,( ）, 则称ξ为S 的一个聚点.定理 2.4.1]2[（聚点定理）直线上的有界无限点集S 至少有一个聚点.证明 设E 为直线上有界无穷点集, 若存在0>M , 使],[M M E -⊂中任何点不是E 的聚点, 则对每一个],[M M x -∈, 必存在相应的0>x δ, 使得在),(x x δ 至多含有E 的有限多个点.设]},[|),({M M x x H x -∈=δ , 则H 是],[M M -的一个开覆盖, 由有限覆盖定理, H 中存在有限个开覆盖),(j x j x δ （j=1,2,3,…）构成],[M M -的一个开覆盖, 当然也覆盖了E . 则在],[M M -中至多含有E 的有限多个点jx （j=1,2,3,…）. 故E 为有限点集, 这与题设E 为无限点集相矛盾. 于是, E 至少有一个聚点.2.5 用有限覆盖定理证明Cauchy 收敛准则本节主要运用有限覆盖定理证明Cauchy 收敛准则, 首先给出Cauchy 收敛准则如下:定理2.5.1]2[ （柯西收敛准则）数列}{n a 收敛的充要条件是: 对任给的正数ε, 总存在某一个自然数N , 使得N m n >,时, 都有ε<-||n m a a柯西收敛准则又叫实数完备性定理.柯西收敛准则（充分性部分） 若实数列}{n x 满足: 0>∀ε,N m n N N >∀∈∃+,,,有ε<-||m n x x , 则}{n x 收敛.证明 ,,,0N n N N >∀∈∃>∀+ε 有||||||||||||111111+++++++<+-≤+-=⇒<-N N N n N N n n N n x x x x x x x x x x εε 其中}{2,1n x N N n ⇒++=是有界的, 设],[}{b a x n ⊂, 若对],[b a x ∈∀, x 都不是}{n x 的极限, 则,00>∃ε 对,+∈∀N N 有,||0ε≥-x x n 则在)2;(0εx U 仅含有}{n x 的有限项, 令]},[|)2;({b a x x U H ∈=ε, 则H 是闭区间],[b a 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知: 其必存在有限子覆盖, 不妨设存在),2,(),2,(2211εεx U x U …)2,(,n n x U ε是它的一个子覆盖, 即],[)2,(1b a x U i n i i ⊃=ε , 而,2,1)(2,(=i x U i i ε…),n 只含有限个点, 从而它们的并也只含有限个点, 从而得出],[b a 也只含有限个点, 这与],[b a 是无限点集矛盾, 从而假设不成立, 问题得证.柯西收敛准则 （必要性部分）若实数列}{n x 收敛, 则}{n x 满足:0>∀ε,N m n N N >∀∈∃+,,时, 有ε<-||m n x x 成立.证明 设}{n x 收敛于α, 按照收敛的定义, N m n N N >∀∈∃>∀+,,,0ε时, 有 ,2||,2||εαεα<-<-m n x x于是 εεεαααα=+<-+-≤---=-22|||||)()(|||m n m n m n x x x x x x .2.6 总结众所周知, 实数系的完备性是实数的一个重要特征, 与之相关的6个基本定理是彼此等价的, 并且是论证其它一些重要定理（如一致连续定理等）的依据, 确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、柯西收敛准则属于同一类型, 它们都指出, 在某一条件下，便有某种“点”存在, 而有限覆盖定理属于另一种类型, 它是其它实数完备性定理的逆否形式, 不论是前五个定理来分别证明有限覆盖定理, 还是在本文研究的用有限覆盖定理分别推出前五个定理, 都可用反证法完成; 同时需要特别强调的是有理数集并不具有完备性.参考文献[1] 玉琏等, 数学分析讲义与指导[M], 第2版 , 高等教育, 2005.[2] 华东师大学数学系, 数学分析[M], 第2版, 高等教育, 1991.[3] 裴礼文编的数学分析中的典型问题与方法, 第2版, 高等教育.[4] 纪修等, 数学分析[M],第2版, 高等教育, 2004.[5] 裘兆泰、王承国、章仰文编的数学分析学习指导[M], 科学, 2004.致为期近半年的论文写作即将画上一个圆满的句号, 在论文写作的过程中,从论文的选题到确定思路, 从资料的搜集、提纲的拟定到容的写作与修改, 继而诸多观点的梳理, 都得益于我的导师——老师的悉心指导和匠心点拨.论文的点评中总是闪烁着智慧的火花, 与她的每次交谈我都能从中获益.她严谨的治学态度, 一丝不苟的负责精神, 以及对学生孜孜不倦的教诲都给予了我极其深刻的印象, 让我受益匪浅. 在此, 谨向老师表示我最衷心地感和最诚挚的敬意.同时, 也向两年来所有教授过我和帮助过我的教授老师表示感, 感您们对我的谆谆教诲、耐心指导和无私的帮助.感我的同学和朋友们, 感你们在我论文写作过程中给予我的鼓励、关心和无私的帮助.最后, 衷心地感我的家人, 感你们一直以来给予我的支持和鼓励.###2010年4月于####学院。

第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。

实数完备性定理及应用研究1 前言实数完备性是数学分析的基础，而数学分析是数学专业的必修课程之一.数学分析的基础是实数理论。

实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。

正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。

《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。

学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。

作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。

数学分析出于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。

同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。

这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。

从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。

课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用实数完备性这一工具解决实际应用问题的能力。

在学数学分析时，同一个证明题会有不同的证明方法，这是由于所用实数系定理不同造成的，怎样才能让大家对这些定理有一个统一的认识呢？这个问题一旦解决，就会为实数完备性相关定理的应用找到一个新的研究途径.2 选题背景2.1 题目来源实数系的完备性是实数的一个重要特征,与之相关的六个基本定理是彼此等价的,并且是论证其他一些重要定理(如一致连续性定理等)的依据,它们从不同的角度刻画了实数系的完备性,在理论上具有重要价值，因此对实数完备性的研究产生了浓厚的兴趣.本论文题来源于理论研究.2.2 研究目的及意义通过《数学分析》理论的学习，不难发现实数理论是整个数学分析的基础，而实数理论中又以实数的完备性的六个命题为最重要.为了让大家对这六个命题有一个全面的认识，本文将以有限覆盖定理为起始证明其他定理的正确性，并对实数完备性定理的应用作出分析和举例.2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向众所周知，在整个《数学分析》的知识中，实数系完备性基本定理是理论性最强的一部分. 实数理论的建立,给数学分析注入了严密性. 实数理论是数学分析的理论基础,而实数完备性定理又是实数理论中的重要内容之一,其中不乏精彩、美妙之处. 目前，实数完备性的研究主要集中在几个定理的循环证明以及定理的应用. 这六个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们相互之间是等价的. 实数完备性基本定理的证明不仅是《数学分析》的重点，也是该课教学的难点，不同的教材都有各自不同的处理方法，可谓是百家争鸣. 其中比较简单的是全部用区间套方法证明其他定理. 1987年，Botsko提出了一种统一处理这部分内容的新方法完全覆盖法，让大家对这方面的研究又燃起了新的斗志. 因此，许多学者在这些方面都做了一些工作. 另外，定理的应用也是研究的主要方向之一，这些定理从不同角度刻划了实数系的完备性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数介值定理，一致连续性定理等. 除此之外，实数完备性作为《数学分析》的基础知识，极大地考察了学生的基本功和论证能力，颇受考研出题者的喜爱.3 全面认识实数完备性3.1 确界定义]2[定义1 设S 为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切S x ∈，都有x ≤M(x ≥L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)． 若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集．若S 不是有界集，则称S 为无界集．定义2 设S 是R 中的一个数集．若数η满足：（i ）对一切S x ∈，有η≤x ，即η是S 的上界；（ii ）对任何ηα<存在S x o ∈，使得α>o x 即η又是S 的最小上界则称数η为数集S 的上确界，记作S sup =η定义3 设S 是R 中的一个数集．若数ξ满足：（i ）对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是S 的下界（ii ）对任何ξβ>，存在S x o ∈，使得,β<o x 即ξ又是S 的最大下界，则称 数ξ为数集S 的下确界，记作 S i n f =ξ上确界与下确界统称为确界．3.2 极限以及数列定义]2[定义4 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则称R f →N +:或 ()+N ∈n n f , 为数列定义5 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作 a a n =lim 或 ()∞→→n aa n . 定义6 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a aa ，则称{}n a 为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列.3.3 区间套定义]2[定义7 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ；（ii ）()0lim =-∞→n n n a b ， 则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.3.4 聚点定义]2[定义8 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S , 也可以不属S ). 若对于任意正数ε ,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则称ξ为的S 一个聚点.定义8' 设S 为实数集R 上的非空点集, R ∈ξ.若对于任意正数ε，()φεξο≠S U ; ，则称ξ为的S 一个聚点.定义8″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性.定义8 → 定义8' 由定义直接得到定义8' → 定义8″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U;， 那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈∃；取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξε12,21min x ，()S Ux 22;εξο∈∃；........ 取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξε1,1min n n x n ，()S Ux n n εξο;∈∃； .......... 这样就得到一列{}S x n ⊂.由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且nx n n 10≤<-<εξ由此 ξ=∞→n n x l i m定义8″ → 定义8 由极限的定义可知这是显然的.3.5 开覆盖定义]2[定义9 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）.若S 中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.4 实数完备性定理的证明]10[4.1 确界原理及其证明确界原理 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．]2[证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数．由于S 有上界，故可找到非负整 数n ，使得)1对于任何S x ∈有1+<n x ;)2存在S a ∈0,使n a ≥0.对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的一个数1n ,使得)1对于任何S x ∈有101.1+<n n x ； )2存在S a ∈1，使11.n n a ≥． 再对半开区间)101.,.[11+n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有<x 221101.+n n n )2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在9,2,1,0 中的—个数k n ，使得)1对于任何S x ∈有kk n n n n x 101.21+< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η．以下证明=ηS sup ．为此只需证明：（i ）对一切S x ∈有η≤x ； （ii ） 对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α．倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ， 使=>k k x η+k n n n n 21.k101， 从而得kk n n n n x 101.21+> ， 但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证．现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即k k n n n n α> 21.，根据数η的构S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ，即得到'a <α，．这说明（ii ）成立．4.2 单调有界定理及其证明单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得 N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.4.3 柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a .]2[ 证 (必要性)设 A a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时有 2ε<-A a n , 2ε<-A a m因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n .(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，ε<-N n a a . 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,.令21=ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈21,2111N N n a a a ， 取 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21,21,1111N N a a βα. 令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈2221,2122N N n a a a , 取 [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=22112221,21,,22N N a a βαβα. 显然有 [][]2211,,βαβα⊃ ，2122≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a . ........令k 21=ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα. ........ 这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++k b a b a k k k k ；（ii ）∞→→≤--k a b k k k ,0211 ；（iii ）对+N ∈∀k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈.N a ε-N a ε+Na由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈，所以εξ<-n a .这就证明了 ξ=∞→n n a l i m . 故数列{}n a 收敛. 4.4 区间套定理及其证明区间套定理 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.]2[证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ. 综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的.设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='. 注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0 , 显然ξ是不存在的. 推论 若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给 的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂.证 由区间套定理的证明可得：ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim . 由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 正整数N , 当N n ≥时，有 n a <-εξ ，εξ+<n b ，即 εξεξ+<≤<-n n b a ，这就是说 []()εξ;,U b a n n ⊂.4.5 魏尔斯特拉斯聚点定理及其证明聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. ]2[证 因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-⊂ , 且记 [][]M M b a ,,11-= .现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有 一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且 M a b a b =-=-)(211122. 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取 出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃，且 2)(212233M a b a b =-=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足 [][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(021∞→→=--n M a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点.推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列. ]2[证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ.于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.实数完备性定理的证明4.6 海涅-博雷尔有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理 设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选 出有限个开区间来覆盖[]b a ,.]2[证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈. 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,注 定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立.5 实数完备性的应用研究 5.1实数完备性定理的循环证明]8[ 5.1.1用有限覆盖定理证明聚点定理]7[证 设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,⊂.假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点.令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖.，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S .由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾. 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点.5.1.2 用聚点定理证明柯西收敛准则证 设数列{}n a 为有界数列.若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ. 于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.设数列{}n a 满足柯西条件. 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正 整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a .由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a . 令}1,,...,,max {121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤. 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设A a k n k =∞→lim .对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有2ε<-m n a a （柯西条件） ε<-A a K n （A a k n k =∞→lim ）因此当取()K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .5.1.3 用柯西收敛准则证明确界原理证 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在 整数αk ，使得αλααk =为S 的上界，而ααλαα)1(-=-k 不是S 的上界，即存在S ∈'α，使得ααα)1(->'k分别取n 1=α，,....2,1=n ，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为 S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得nn 1->'λα . (6)又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m . 结合(6)式得nm n 1<-λλ ； 同理有 mn m 1<-λλ . 从而得 ⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1m a x λλ .于是，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N m n >,时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛. 记λλ=∞→n n lim . (7)现在证明λ就是S 的上确界. 首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由(7)式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界.其次，对任何0>δ，由)(01∞→→n n 及(7)式，对充分大的n 同时有21δ<n ， 2δλλ->n . 又因nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得n n 1->'λα .结合上式得δλδδλα-=-->'22 .这说明λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界 .5.1.4 用确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界， 记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界. 5.1.5 用单调有界定理证明区间套定理证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.5.15 用区间套定理证明有限覆盖定理证 假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(111a b a b -=-.再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n )(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈.于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,.5.2 实数完备性在其它定理证明中的应用]6[ 5.2.1 有界性定理的证明定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界.证 （应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性，对每一点[]b a x ,∈'，都存在邻域()x x U ''δ;及正数x M '，使得 ()x M x f '≤，()[]b a x U x x ,; ''∈δ. 考虑开区间集 ()()b a x x U H x ,;∈''='δ，显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()()k i b a x x U H i i i ,...,2,1,,;*=∈=δ 覆盖了[]b a ,，且存在正数1M ，2M ，… ，k M ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈ 有()i M x f ≤，k i ,...,2,1=.令i ki M M ≤≤=1max ，则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()i i x U δ;可以推出()M M x f i ≤≤. 这就证得f 在[]b a ,上有界.（应用致密性定理）倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >. 依次取,...2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,∈. 由致密性定理，它收敛子列{}k n x ，记ξ=∞→k n k x lim .由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ. 利用f 在点ξ处连续，推得 +∞<=∞→)()(lim ξf x f k n k . （1）另一方面，由n x 的选取方法又有+∞=⇒+∞→≥>∞→)(lim )(k k n k k n x f k n x f ，这与（1）式相矛盾 . 所以f 在[]b a ,上有上界. 类似地可证f 在[]b a ,上有下界. 从而f 在[]b a ,上有界. 5.2.2 最大、最小值定理定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值和最小值. 证 （应用确界原理）由于已证得f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M .以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使得()M f =ξ. 倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f ≤. 令 ()()x f M x g -=1，[]b a x ,∈ .易见函数g 在[]b a ,上连续，故g 在[]b a ,上有上界. 设G 是g 的一个上界，则()()G x f M x g ≤-=<10 ，[]b a x ,∈.从而推得 ()GM x f 1-≤ ， []b a x ,∈但这与M 为[]()b a f ,的上确界（最小上界）相矛盾. 所以必存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ，即f 在[]b a ,上有最大值.同理可证f 在[]b a ,上有最小值. 5.2.3 介值性定理定理 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()()b f a f ≠. 若μ为介于()a f 与()b f 之间的任何实数（()()b f a f <<μ或()()b f a f >>μ），则存在),(0b a x ∈，使得()μ=0x f .证 （应用确界原理） 不妨设()()b f a f <<μ. 令()()μ-=x f x g ，则g 也 是[]b a ,上的连续函数，且()0<a g ，()0>b g . 于是定理的结论转化为：存在),(0b a x ∈，使得()00=x g .这个简化的情形称为根的存在性定理.记]},[,0)({b a x x g x E ∈>=. 显然E 为非空有界数集（],[b a E ⊂且E b ∈）， 故由确界原理，E 有下确界，记E x inf 0=. 因()0<a g ，()0>b g ，由连续 函数的局保号型，存在0>δ,使得在[]δ+a a ,内()0<x g ，在[]b b ,δ-内()0>x g ， 由此易见a x ≠0，b x ≠0，即),(0b a x ∈.下证()00=x g . 倘若()00≠x g ，不妨设()00>x g ,则又由局部保号性，存在()η;0x U （),(b a ⊂），使得其内()0>x g ，特别有E x x g ∈-⇒>⎪⎭⎫ ⎝⎛-20200ηη. 但 这与E x inf 0=相矛盾，故必有()00=x g .（应用区间套定理） 同上述证法，我们把问题转化为证明根的存在性定理， 即若函数g 在闭区间[]b a ,上连续，()0<a g ，()0>b g ，则存在),(0b a x ∈使()00=x g .将[]b a ,等分为两个子区间[]c a ,与[]b c ,. 若()0=c g ，则c 即为所求；若()0≠c g ，则当()0>c g 时记[][]c a b a ,,11=，当()0<c g 记[][]b c b a ,,11=. 于是有()01<a g ，()01>b g ，且 [][]b a b a ,,11⊂， )(2111a b a b -=-. 再从区间[]11,b a 出发，重复上述过程，得到：或者在[]11,b a 的中点1c 上有()01=c g ，或者有闭区间[]22,b a ，满足()02<a g ，()02>b g ，且[][]1122,,b a b a ⊂，)(21222a b a b -=- . 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形： （1）在某一区间的中点i c 上有()0=i c g ，则i c 即为所求；（2）在任一区间的i c 上均有()0≠i c g ，则得到闭区间列[]{}n n b a ,，满足()0<n a g ，()0>n b g ，且[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ，)(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n . 由区间套定理，存在点[]n n b a x ,0∈，,...2,1=n .下证()00=x g .倘若()00≠x g ，不妨设()00>x g ,则由局部保号性，存在()δ;0x U ，使在其内有()0>x g . 而由区间套定理的推论，当n 充分大时有[]()δ;,0x U b a n n ⊂，因而有()0>n a g . 但这与[]n n b a ,选取时应满足的()0<n a g 相矛盾，故必有()00=x g .5.2.4 一致连续性定理定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续. 证 （应用有限覆盖定理由f 在闭区间[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对每 一点),(b a x ∈，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f . （1）考虑开区间集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=],[)2,(b a x x U H x δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集⎭⎬⎫⎩⎨⎧==k i x U Hi i ,...,2,1)2,(*δ覆盖了[]b a ,. 记 02m i n 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i ki δδ . 对任何x '，[]b a x ,∈''，δ<''-'x x ，x '必属于*H 中某开区间，设)2;(ii x U x δ∈'，即2ii x x δ<-'. 此时有i iiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-'+'-''≤-''222，故由（1）式同时有()()2ε<-'i x f x f 和 ()()2ε<-''i x f x f .由此得()()ε<''-'x f x f . 所以f 在[]b a ,上一致连续.（应用致密性定理） 用反证法. 倘若f 在[]b a ,上不一致连续，则存在某00>ε，对任何0>δ，都存在相应的两点x '，[]b a x ,∈''，尽管δ<''-'x x ， 有 ()()0ε≥''-'x f x f . 令n1=δ（n 为正整数），与它相应的两点记为nx '，[]b a x n ,∈''， 尽管nx x 1<''-'，但有 ()()0ε≥''-'n nx f x f （2） 当n 取遍所有正整数时，得到数列}{nx '与],[}{b a x n ⊂''. 由致密性定理，存在}{n x ' 的收敛子列}{k nx '，设)](,[0∞→∈→'k b a x x k n . 同时有kn n n x x k k 1<''-' ⇒000→-'+'-''≤-''x x x x x x k k k k n n n n)(∞→k ， 又得 )(0∞→→''k x x k n. 最后，由（2）式有 ()()0ε≥''-'n n x f x f ， 在上式中令∞→k ，由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得到()()()()000lim 0ε≥''-'=-=∞→k k n nk x f x f x f x f . 这与00>ε相矛盾. 所以f 在[]b a ,上一致连续. 5.2.5 根的存在定理定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续且()a f 与()b f 异号（即()()0<b f a f ）， 则至少存在一点),(0b a x ∈，使得()00=x f ，即方程()0=x f 在),(b a 内至少有一个根.证 （应用有限覆盖定理） 设()x f 在闭区间[]b a ,上连续，()a f 与()b f 异 号，现证明方程()0=x f 在),(b a 内至少有一实根.假定方程()0=x f 在),(b a 内无实根，则对每一点),(b a x ∈，有()0≠x f ，据()x f 的连续性，存在正数x δ，使得()x f 在()[]b a x U x x ,; δ∈上与点x 处的函数值()x f 同号.令 ()[]},;{b a x x U H x ∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖，据有限覆盖定理，H 中必存在有限个邻域能够覆盖[]b a ,.设这有限个邻域为：()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，且n x x x <<<...21.不妨设其中任意两个邻域无包含关系（否则，去掉被包含邻 域仍能覆盖[]b a ,），于是()1;1--j x j x U δ ()jx jx U δ;φ≠),...,3,2(n j =.而()x f 在每个()j x j x U δ;内不变号，由此推得()x f 在()j x j nj x U U δ;1=内不变号，这与题设()a f ，()b f 异号矛盾.因此，方程()0=x f 在),(b a 内至少有一实根. 5.3实数完备性在试题中的应用]1[例1 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）}2{2<=x x S ； （2）},!{+∈==N n n x x S ； 解 （1）2sup =S ，2inf -=S ，下面依定义验证.因22<x ，等价于22<<-x ，所以对任意的S x ∈，有2<x 且2->x ，即2、2-分别是S 的上、下界. 又对任意的正数ε，不妨设22<ε，于是存 在220ε-=x ，221ε+-=x ，使0x ，S x ∈1，使ε->20x ，ε+-<21x ，所以由上下确界的定义2sup =S ，2inf -=S （2）+∞=S sup ，1inf =S ，下面依定义验证.对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界. 因为对任意的0>M ，令[]1+=M n ，则M n >!，故S 无上界，所以+∞=S sup ；对任意的正数ε，存在 S x ∈==1!11，使ε+<11x ，所以1inf =S .例2 设{}n x 为单调数列.证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界.证 设{}n x 为递增数列，设ξ为{}n x 的聚点.下证{}n x sup =ξ1）ξ是{}n x 的上界.若不然，{}n N x x ∈∃，使N x <ξ，取ξε-=N x 0，由{}n x 的递增性，()0,εξ 内只含有{}n x 中的有限项121,,,-N x x x .这与ξ是{}n x 的聚点矛盾.从而ξ是{}n x 的上界. 2）ξ<∀a ，取20a-=ξε，则(){}n N x x ⋂∈∃0,εξ ，使得N x a <.所以{}n x sup =ξ.由确界的唯一性，聚点是唯一的.例3 证明：在()b a ,上的连续函数f 为一致连续的冲要条件是()0+a f ，()0-b f都存在.证 （必要性）设f 在()b a ,上一致连续，则()b a x x ,,,0,0///∈∀>∃>∀δε只要 δ<-///x x ，就有()()ε<-///x f x f （1） 取21δδ=，则()()b a a a x x ,,,1/// δ+∈∀，有（1）式成立.由柯西准则，()0+a f存在.同理()0-b f 也存在. （充分性）令()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x F ,0,,,0，则()x F 在[]b a ,上连续.从而()x F 在[]b a ,上一致连续，所以f 在()b a ,上一致连续.例4 设f 定义在()b a ,上.证明：若对()b a ,内任一收敛数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim 都存在，则f 在()b a ,上一致连续.证 假设f 在()b a ,上不一致连续，则00>∃ε，对0>δ，总存在()b a x x ,,///∈，尽管δ<-///x x ，但有()()0///ε≥-x f x f . 令n1=δ，与它相应的两点记为()b a x x n n ,,///∈，尽管δ<-///n n x x ，但有 ()()0///ε≥-n n x f x f （1）当n 取遍所有正整数时，得数列{}{}()b a x x n n,,///⊂，由致密性定理，存在{}/n x 的收敛子列{}/k n x ，设0/lim x x k n k =∞→. 又()∞→→-+-≤-⇒<-k x x x x x x n x x k k k k kk n n n n k n n 010////0/////，即0//lim x x k n k =∞→ 由（1）式有()()0///ε≥-k k n n x f x f ，令∞→k ，得()()0///lim lim 0ε≥-=∞→∞→k k n k n k x f x f . 这与00>ε相矛盾. 所以f 在()b a ,上一致连续.例5 设函数)(x f 定义在[]b a ,上, []b a x ,0∈∀,极限)(limx f x x →都存在.证明)(x f 在 []b a ,上有界.分析 函数f 在每点[]b a x ,∈处由函数极限的局部有界性,);(x x U δ∃,在其中f 有界,于是[]{}b a x x U H x ,),;(∈=δ成为[]b a ,的一个无限开覆盖. 然后可用有限覆盖定理得结论成立.读者从本例中可以了解如何应用有限覆盖定理.另外,本例可应用致密性定理,通过反证法来证明.证 因为)(x f 在[]b a ,上每点存在极限,由函数极限的局部有界性,[]b a x ,0∈∀,);(x x U δ∃与0>x M ,使得x x M t f x U t ≤∈∀)(),;(δ.所有这种邻域的集合[]{}b a x x U H x ,);(∈=δ成为[]b a ,的一个开覆盖; 由有限覆盖定理,存在[]b a ,的有限开覆盖(){}.1;~H n i x U H i x i ⊂≤≤=δ 若取i x M n i M max 1≤≤=,则因H ~覆盖了[]b a ,,对[]b a ,中每一x ,它必属于H ~中某一邻域()xk k x U δ;, 于是 .)(M M x f k x ≤≤例6 若函数)(x f 在[]b a ,上无界,则必存在[]b a ,上某点,使得)(x f 在该点的任意领域内无界.证 用反证法,若[]b a x ,∈∀,存在0〉x δ,使得)(x f 在);(x x U δ中有界,则令[]{}b a x x U H x ,);(∈=δ,它成为[]b a ,的一个无限开覆盖由有限覆盖定理,存在{}H k i x U H i x i ⊂≤≤=1);(*δ 为[]b a ,的有限开覆盖.由于)(x f 在每上);(i x i x U δ内有界,因此)(x f 在[]b a ,上有界,这与)(x f 在[]b a ,上的无界性相矛盾.例7 设f 在[]b a ,上连续,对任何[]0)(,,>∈x f b a x .试用有限覆盖定理证明:必存在0>c ,使得对任何[]b a x ,∈,满足 .)(c x f ≥证 []b a x ,∈∀,因为0)(〉x f ,由连续函数的局部保号性,于是,0〉∃x ξ);(',0x x x U x δδ∈∀〉∃,2)()'(x f x f 〉.现令 []{}b a x x U H x ,);(∈=δ，它是[]b a ,的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在{}H k i x U H i x i ⊂≤≤=1);(*δ 为[]b a ,的有限开覆盖,取 ,02)(min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i k i x f c []b a x ,∈∀,∃某个（k i ≤≤1）,使);(i x i x U x δ∈,。