广东省深圳市南山区2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题新人教A版 2

广东省东莞市2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题（A卷）新人教A版东莞市2012—2013学年度第二学期教学质量检查高一数学（A) 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．3π12.2 13.24 14．41π-三、解答题（本大题共6小题，共80分.） 15．(本小题满分12分)解:（1）观察向上的点数共有6种结果，分别为1，2，3,4,5,6. …………2分 将事件“点数大于3” 记为A ，则事件A 包含4点，5点，6点三种情况. …………4分∴()P A =3162=， …………5分 故事件“点数大于3”的概率是12. …………6分（2）事件B 包含2点，4点两种情况，所以21()63P B ==. ………8分又因为事件C 表示“点数小于5”，所以事件C 表示“点数不小于5”，包含5点，6点两种情况， 所以21()63P C ==. …………10分 又因为事件B 与事件C互斥，所以，112()()()333P B C P B P C +=+=+=. …………11分所以事件B C +发生的概率为23. …………12分16.(本小题满分12分)解：(1)设该同学的数学、物理成绩年级排名的方差分别为2221,s s ，由已知条件得20622302416208=+++++=x ，206212422221813=+++++=y . ……2分故2222222111402[(820)(2020)(1620)(2420)(3020)(2220)]46633s =-+-+-+-+-+-==，……4分13])2021()2024()2022()2022()2018()2013[(6122222222=-+-+-+-+-+-=s.………6分∴2221s s >，故该同学的物理成绩更加稳定. …………8分(2)根据最小二乘法原理ˆˆ200.452011ay b x =-⋅=-⨯=， …………9分 所以回归方程为ˆ0.4511yx =+， …………10分 将40=x 代入，有ˆ29y=. …………11分 所以可以估计在这次考试中该同学的物理成绩的年级排名是第29名. …………12分17.(本小题满分14分) 解：(1) 因为函数)(x f 的图象上一个最高点为)2,6(πM ，所以2=A . …………1分又)(x f 的图象的相邻两对称轴之间的距离等于2π，可知22π=T ，ωππ2==T ，2=ω，所以()2sin(2)f x x φ=+. …………2分又由最高点)2,6(πM ，得2sin(2)26πφ⨯+=，所以2262k ππφπ⨯+=+()k Z ∈，解得：26k πφπ=+()k Z ∈， …………3分又因为02πφ<<，所以6πφ=，即()2sin(2)6f x x π=+. …………4分令2326222πππππ+≤+≤+k x k ()k Z ∈，解得326ππππ+≤≤+k x k ()k Z ∈，…………6分 所以)(x f 的单调递减区间为2[,]()63k k k Z ππππ++∈. …………7分 (2)设函数)(x f 的图象左移m 个单位后所对应的函数为()g x ，则=)(x g 2sin(22)6x m π++.…9分要使=)(x g )622sin(2π++m x 为偶函数，则有()()g x g x -=，即2sin(22)6x m π-++2sin(22)6x m π=++， …………10分化简得cos(2)06m π+=， …………11分故有πππk m +=+262，26ππk m +=()k Z ∈. …………12分 所以当0=k 时，m 取最小正值6π， …………13分即m 取6π时，可使函数)(x f 的图象向左平移m 个单位后所得图象对应的函数是偶函数. …14分 18.(本小题满分14分)解: (1) ∵//a b ,∴0cos sin 2=-θθ， ① …………2分又1cos sin 22=+θθ, ② …………3分由①②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,552cos ,55sin θθ或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.552cos ,55sin θθ …………5分 又因为3(,)2θππ∈，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.552cos ,55sin θθ. …………6分 (2)因为cos()cos cos sin sin θϕθϕθϕ-=+，所以cos cos sin sin θϕθϕ+=.…………8分又sin 5θ=-，cos 5θ=-，所以cos 5510ϕϕ--=-，即2cos sin 2ϕϕ+=， …………10分 又22sin cos 1ϕϕ+=，解得sin ϕ=10或10-. ………12分 又因为(,)2πϕπ∈,所以sin ϕ=10. …………14分19.(本小题满分14分)解：(1)AD OA OD += ， …………1分而DB AD 2=，即OA OB AB AD 323232-==， …………3分 所以OB OA OA OB OA OD 3231)3232(+=-+=. …………4分又OB m OA OD +=31，且,OA OB 不共线 32=∴m . …………6分（说明：由OB m OA OD +=31及A 、D 、B 三点共线直接得出32=m ，只得2分.）(2)E DF 、、三点共线，EF ED //∴，因此可设EF ED λ=. …………7分又OB y OF OA x OE ==, ，OB OA x OA x OB OA OE OD ED 32)31(3231+-=-+=-=∴）（，………9分 而OA x OB y OE OF EF -=-=， …………10分所以有12()()33x OA OB xOA yOB λ-+=-+. …………11分 OB OA , 不共线，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-∴.323313231λλλλyx y x x ，，， …………13分消去λ，得123x y+=为定值. …………14分20.(本小题满分14分)解: (1)∵直线1l 过点)0,3(A ,且与圆122=+y x 相切,易知斜率存在,故可设直线1l 的方程为)3(-=x k y ，即03=--k y kx , …………1分∴圆心)0,0(O 到直线1l的距离为d =. …………2分又直线1l 与圆O 相切，所以1d r ==1=，解得42±=k . …3分 ∴直线1l 的方程为)3(42-±=x y ，即30x +-=和30x --=. …………4分(2)设),(y x R 为所求轨迹上任意一点.∵AR OR ⊥,∴222OA AR OR =+, …………5分∴22222203])3[()(+=+-++y x y x ,整理得2230x y x +-=. ………6分 又弦MN 的中点R 一定在圆内，所以动点R 的轨迹方程为2230x y x +-=1(0)3≤<x . …7分证明: (3) ∵圆O 的方程为122=+y x ,令0=y ，得1±=x ,即)0,1(),0,1(Q P -.又直线2l 过点A 且与x 轴垂直,所以直线2l 的方程为3=x . …………8分设(,)H s t ,则直线PH 的方程为)1(1++=x s ty ,令3=x ，得点P '的坐标为4(3,)1ts +,…9分 同理可得)12,3(-'s tQ , …………10分 ∴以Q P ''为直径的圆的圆心坐标为），（t s s 11332--，半径为|13|2t s s --，所以圆方程为2222)13()113()3(t s s t s s y x --=---+-. …………11分又点(,)H s t 在圆O上，所以122=+t s ,整理得026)16(22=-++-+y ts x y x . ……12分 令0=y ,从而有0162=+-x x ,解得223±=x ,即点)0,223(+和)0,223(-总满足该圆方程，所以以Q P ''为直径的圆总过定点,定点坐标为)0,223(+和)0,223(-. ……14分。

高 二 期 末 考 试 数 学(理科) 2013.07.03本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 不按要求填涂的，答案无效.3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损.考试结束后，将答题卡交回.5、考试不可以使用计器.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上． 2、若2i=a +bi i+(a ，b∈R，i 为虚数单位) 则a+b= A.1 B.2 C.－1 D.－23、今有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有A.10种B. 32种C. 25种D. 20种 4、在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是 A.(1)2π， B.(1)2π-， C.(1，0) D. (1，π) 5、直线x =3+t 21y =1+t 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (t 为参数)的倾斜角是 A.6π B.3π C.65π D.32π 6、随机变量ξ的分布列为A.－0.2B. 0.2C. 0.4D. 0 7、已知直线y=kx 是曲线y=lnx 的切线，则k 的值为 A.e B.－e C.1e D.1e- 8、定义在R 上的函数f(x)满足(x+2)·f ′(x)<0(其中f ′(x)是函数f(x)的导数)，又12a =f(log 3)，0.11b =f[()]3，c=f(ln3)，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡上．．．．．．．．．. 9、41(x )x-的二项展开式中x 2的系数是________.(用数字作答) 10、由曲线y=x 2和直线y=2x 围成的封闭区域的面积为______.11、把4名男生和4名女生排成一排，女生要在排在一起，不同排法的种数为______.(用数字作答)12、在平面上，若两个正三角形的边长比是1：2，则它们的面积比是1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为_____.13、观察下列等式：231111222⨯=-⨯，2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯， 2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯，…，由以上等式推测一个一般的结论：对于n ∈N*，2n 3141n 21...122232n(n 1)2+⨯+⨯++⨯=⨯⨯+______.14、已知函数x21()1(x 0)f(x)=2x 2x (x 0)⎧-≤⎪⎨⎪-+>⎩，，，对于下列命题：①函数f(x)的最小值为0；②函数f(x)在R 上是单调递减函数；③若f(x)>1，则x<－1； ④若函数y=f(x)－a 有三个零点，则a 的取值范围是0<a<1. 其中正确命题．．．．的序号是______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤. 15、(本小题满分12分)复数z=(3m －2)+(m －1)i ，m ∈R. (1)m 为何值时，z 是纯虚数？ (2)若n3)x(m ∈N*)的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数和之比为64，求m 的值并指出此时复数z 在复平面上对应的点位于第几象限.16、(本小题满分12分)为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长(1)现采用分层抽样方法，从这个样本中取出10株玉米，再从这10株玉米中随机选出3株，求选到的3株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率；(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉22n(ad bc)K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)，其中n=a+b+c+d 为样本容量.17、(本小题满分14分)袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差.18、(本小题满分14分)数列{a n }中，a n >0，a n ≠1，且nn+1n 3a a =2a +1(n∈N*).(1)证明：a n ≠a n+1；(2)若13a =4，计算a 2，a 3，a 4的值，并求出数列{a n }的通项公式.19、(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax3－bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值4 3 -.(1)求f(x)的表达式；(2)若关于x的方程f(x)=k有三个不同的零点，求实数k的取值范围.20、(本小题满分14分)已知函数a f(x)=lnxx-.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值；(3)若f(x)<x2在(1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.高二数学(理科)参考答案及评分标准2013.07.03二、填空题：(4×5′=20′) 9、4； 10、4311、2880； 12、108；13、n11(n 1)2-+⋅； 14、3，4. 三、解答题：(80′)15、(本小题满分12分)解：(1)3m －2=0且m －1≠0时，即2m 3=，z 是纯虚数. ……4分 (2)∵m 3)x(m∈N*)的展开式中，各项系数的和为2n，则m m 4642=，即m=6，此时复数z=16+5i 在复平面上对应的点位于第一象限. ……12分16、(本小题满分12分)解：(1)现采用分层抽样的方法，从样本中取出的10株玉米中圆粒的有6株，皱粒的有4株，所以从中再次选出3株时，既有圆粒又有皱粒的概率为12216464310C C C C 4P C 5+==. ……6分 (2)根据已知列联表：∴2250(1171319)K = 3.860 3.84130202426⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，又P(K 2≥3.841)=0.050，因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关. ……12分 17、(本小题满分14分)解：(1) 记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”，位事件A ，摸出一球得白球的概率为25；摸出一球得黑球的概率为35； ……3分所以233212P(A)=555525⨯+⨯=，答：两球颜色不同的概率是1225. ……6分(2)由题设知，ξ可取0，1， 2，依题意得，323P(=0)=5410ξ⨯=， 32233P(=1)=54545ξ⨯+⨯=，211P(=2)=5410ξ⨯=， ……10分则3314E =0+1+2=105105ξ⨯⨯⨯， ……12分2224343419D =(0)+(1)(2)5105551025ξ-⨯-⨯+-⨯=， 答：摸出白球个数ξ的期望和方差分别为45，925. ……14分18、(本小题满分14分)(1)证明：(反证法)若a n =a n+1，则由n n+1n 3a a =2a 1+(n∈N*)，得nn n 3a a =2a 1+，得a n =1，这与已知a n ≠1相悖，故a n ≠a n+1. ……4分(2)方法一：(举例．．-猜想．．-证明．．) 若13a =4，由n n+1n 3a a =2a 1+(n∈N*)得，29a =10，327a =28，481a =82，猜想：n n n 3a =31+(n∈N*)， ……8分 以下用数学归纳法证明：①当n=1时，11133a =431=+，所以当n=1时命题成立； ……9分②假设当n=k 时，命题成立，即kk k 3a =31+，则当n=k+1时，k+1k+1k+1k+1k+1k k+1kk+1k+1k kk 333a 33131a =23312a 13113131++===⋅++++++， ……12分 所以，当n=k+1时，命题也成立，故nn n 3a =31+(n∈N*)， ……13分由①、②可知，对所有的自然数n ，都有nn n 3a =31+(n∈N*). ……14分(说明：其它方法请相应给分) 方法二：(利用数列递推．．．．．．关系．．求通项．．．公式．．) 由n n+1n 3a a =2a 1+(n∈N*)，取倒数得n n+1n n 2a 11112=a 3a 3a 3+=⋅+， 又n+1n n111211+t t =(23t)a 3a 33a =⋅++++，令2+3t=t ，解得t=－1，∴n+1n1111(1)a 3a -=-， ∴n 1{1}a -是以114111a 33-=-=为首项，13为公比的等比数列，∴n 1n n 11111=()()a 333--⋅=，∴nn n n 1113()1a 33+=+=，∴n n n 3a 3+1=. 19、(本小题满分14分)解：(1)∵f′(x)=3ax 2－b ， ……1分 f′(2)=12a－b 且4f(2)=8a 2b 43-+=-， ……2分 ∴1a 3=，b=4， ……4分 ∴31f(x)x 4x 43=-+. ……5分(2)由f′(x)= x 2－4=0，得x=－2或x=2， ……6分 则当x ∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数； 当x ∈(－2，2)时，f′(x)<0，此时f(x)是减函数；当x ∈(2，+∞)时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数， ……9分 所以f(x)在x=－2时，取得极大值28f(2)3-=， ……10分 所以f(x)在x=2时，取得极小值4f(2)3=-， ……11分 又x →－∞时，f(x)→－∞；x →+∞时，f(x)→+∞， ……12分 所以，方程f(x)=k 有三个不同零点时，428k 33-<<. ……14分 20、(本小题满分14分) 解：(1)221a x af (x)x x x′+=+=， 当a>0时，f′(x)>0，则f(x)在定义域(0，+∞)上是增函数， ……3分 (2)2x af (x)0x′+==，解得x=－a ， ……4分 则 ①当－a <－1时，即a>1，f′(x)>0 f(x)在[1，e]上是增函数， 此时，f(x)min = f(1)=－a=1.5，而a=－1.5不符合题意； ……5分 ②当1≤－a ≤e 时，即－e ≤a ≤－1时，当x ∈[1，－a]时，f′(x)<0，此时，f(x)是减函数；当x ∈(－a ，e]时，f′(x)>0，此时，f(x)是增函数，所以f(x)在x=－a 时， 取得极小值且极小值为f(－a)=ln(－a)+1，由题意得，f(－a)=1.5得a e =-符合题意； ……6分③当－a >e 时，即a<－e 时，f′(x)<0 f(x)在[1，e]上是减函数，此时，min a 3f(x)=f(e)1e 2=-=，则ea 2=不符合题意， ……7分所以，所求a 的值为a = ……8分 (3)若f(x)<x 2在(1，+∞)上恒成立<=>2a ln x x x>-在(1，+∞)上恒成立<=>a>xlnx －x 3在(1，+∞)上恒成立， ……10分设g(x)= xlnx －x 3，h(x)= g ′(x)=1+lnx －3x 2，则2116x h (x)6x 0x x-=-=<′(x>1)， ∴h(x)在(1，+∞)上是减函数，∴h(x)< h(1)=－2，即g ′(x)<0，∴g(x) 在(1，+∞)上是减函数，∴g(x)< g(1)=－1， ……13分 故a ≥－1为所求a 的取值范围. ……14分。

2012-2013学年某某省某某市越秀区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边于x轴的非负半轴重合，则角215°是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：由215°=180°+35°，结合象限角的定义可得结论．解答：解：由题意可得：215°=180°+35°，故角215°是第三象限角，故选C点评：本题考查象限角的概念，属基础题．2．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．解答：解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．3．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项A、B、C，利用不等式的性质可得C正确．解答：解：当c=0时，A、B不成立．对于 a＞b，由于ab＞0，故有，即，故C正确．对于a＞b，c＞d，当a=2，b=1，c=10，d=1，显然有a﹣c＜b﹣d，故D不正确．故选C．点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．4．（5分）（2012•某某一模）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（）A．B．C．D．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：先利用等差数列的性质求出a5=，进而有a2+a8=，再代入所求即可．解答：解：因为{a n}为等差数列，且a1+a5+a9=π，由等差数列的性质；所以有a5=，所以a2+a8=，故cos（a2+a8）=﹣故选 A．点评：本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查．这一类型题，考查的都是基本功，是基础题．5．（5分）（2008•某某）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈RD．，x∈R考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．解答：解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）故选C点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的．6．（5分）设的值是（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；角的变换、收缩变换．专题：计算题．分析：由于==，代入可求解答：解：====故选B点评：本题主要考查了两角差的正切公式在三角求值中的应用，解题的关键是利用拆角技巧．7．（5分）（2012•模拟）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．考点：向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据三角形中线的性质，得=（+），由平面向量减法得=﹣，两式联解即可得到=﹣+，得到本题答案．解答：解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）∵=﹣，∴=（﹣﹣）=﹣+故选：A点评：本题给出三角形的中线，求向量的线性表示，着重考查了向量的减法及其几何意义、向量的线性运算性质及几何意义等知识，属于基础题．8．（5分）若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：由题意，可先由条件|，（2+）•=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项解答：解：由题意（2+）•=0∴2•+=0，即2||||cos＜，＞+=0又||=||∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π∴则与的夹角为120°故选C点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值9．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a、b即可．解答：解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故a=﹣12b=﹣2∴点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题．10．（5分）如图，矩形A n B n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，若点B n的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N*），记矩形A n B n D n的周长为a n，则a2+a3+a4+…+a20=（）A．256 B．428 C．836 D．1024考点：函数的图象．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由点B n的坐标可得点的坐标，进而得到D n坐标，从而可表示出矩形的周长a n，再由等差数列的求和公式可求得答案．解答：解：由点Bn的坐标为（n，0），得（n，n+），令x+=n+，即x2﹣（n+）x+1=0，解得x=n或x=，所以D n（，n+），所以矩形A n B n D n的周长a n=2（n﹣）+2（n+）=4n，则a2+a3+…+a20=4（2+3+…+20）=4×=836．故选C．点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，考查学生的识图用图能力，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）不等式的解集是[﹣4，5）（结果用集合或区间形式表示）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式可得，由此解得不等式的解集．解答：解：由不等式可得，解得﹣4≤x＜5，故不等式的解集为[﹣4，5），故答案为[﹣4，5）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．12．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由余弦定理列出关系式，将b，c及cosC的值代入求出a的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：∵b=1，c=，cosC=﹣，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得：3=a2+1+a，即（a+2）（a﹣1）=0，解得：a=1，a=﹣2（舍去），则S△ABC=absinC=×1×1×=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣x+3y的最大值是50 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z=﹣x+3y的最大值的位置即可求出其最值．解答：解：由题意，可行域如图，由得A（10，20）．目标函数z=﹣x+3y的最大值在点A（10，20）出取到，故目标函数z=﹣x+3y的最大值是50．故答案为：50．点评：本题考查简单线性规划求最值，其步骤是作出可行域，判断最优解，求最值，属于基本题．14．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是 4 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的X围，求得答案．解答：解：∵是3a与3b的等比中项∴3a•3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（当a=b时等号成立）∴+==≥4．故答案为：4点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时要注意等号成立的条件．三、解答题（共6小题，共80分）15．（12分）已知向量=（sinθ，cosθ），=（1，1）．（1）若∥，求tanθ的值；（2）若||=||，且0＜θ＜π，求角θ的大小．考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量共线的条件，建立方程，即可求tanθ的值；（2）根据||=||，利用模长公式，结合角的X围，即可得到结论．解答：解：（1）∵=（sinθ，cosθ），=（1，1），∥，∴sinθ=cosθ∴tanθ==；（2）∵||=||，∴（sinθ）2+（cosθ）2=2∴cos2θ=∴cosθ=±∵0＜θ＜π，∴θ=或．点评：本题考查向量知识，考查向量共线定理，考查向量模的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0，求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）在R上的单调递增区间．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用特殊角的三角函数以及两角和与差公式化简为cos （+Φ）=0，即可求出φ的值．（2）在（1）的条件下，若函数f（x ）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式，再由正弦函数的单调性求得递增区间．解答：解：（1）cos cosφ﹣sin sinφ=cos（+φ）=0∵|φ|＜．∴φ=（2）由（1）得，f（x）=sin （ωx+）依题意，=又∵T=故ω=3，∴f（x）=sin（3x+）2kπ﹣≤3x+≤2kπ+（k∈Z）⇒﹣≤x≤k π+（k∈Z ）∴函数f（x）在R上的单调递增区间为[﹣，kπ+]（k∈Z）点评：本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的单调性，考查计算能力，是常考题．17．（14分）如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m ，）．（1）某某数m的值；（2）求的值．考运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．点：专题：计算题．分析：（1）根据P点在单位圆上，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；（2）由点P坐标求出sinα与cosα的值，所求式子利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，将sinα与cosα的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）根据题意得：=1，且m＜0，解得：m=﹣；（2）∵sinα=，cosα=﹣，∴原式====．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．18．（14分）已知{a n}是公差为2的等差数列，且a3+1是a l+1与a7+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由{a n}是公差为2的等差数列，a3+1是a l+1与a7+1的等比中项，知，解得a1=3，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由==，知，由此利用错位相减法能够求出数列{b}的前n项和T n．解答：解：（1）∵{a n}是公差为2的等差数列，∴a3=a1+4，a7=a1+12，∵且a3+1是a l+1与a7+1的等比中项，∴（a3+1）2=（a1+1）（a7+1），∴，解得a1=3，∴a n=3+2（n﹣1），∴a n=2n+1．（2）==，∴，①∴=，②①﹣②，得=1+=﹣=2﹣﹣，∴．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．19．（14分）（2012•钟祥市模拟）某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40°东，在C处测得距C为31千米的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？考点：解三角形的实际应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：根据题意可分别求得BC，BD，CD和∠CAB，设∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中利用余弦定理求得cosβ的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值，进而利用sinα=sin（β﹣20°﹣40°）利用两角和公式展开，最后在△ACD中，由正弦定理得答案．解答：解：根据题意得，BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中，由余弦定理得，于是．sinα=sin（β﹣20°﹣40°）=sin（β﹣60°）=．在△ACD中，由正弦定理得．答：此人还得走15千米到达A城．点评：本题主要考查了解三角形问题的问题．考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力．20．（14分）（2013•门头沟区一模）已知数列{A n}的前n项和为S n，a1=1，满足下列条件①∀n∈N*，a n≠0；②点P n（a n，S n）在函数f（x）=的图象上；（I）求数列{a n}的通项a n及前n项和S n；（II）求证：0≤|P n+1P n+2|﹣|P n P n+1|＜1．考点：数列的极限；数列的函数特性．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）由题意，当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1，由此可得两递推式，分情况可判断数列{a n}为等比数列或等差数列，从而可求得通项a n，进而求得S n；（II）分情况讨论：当当a n+a n﹣1=0时，，计算可得|P n+1P n+2|=|P n P n+1|=，从而易得|P n+1P n+2|﹣|P n P n+1|的值；当a n﹣a n﹣1﹣1=0时，，利用两点间距离公式可求得|P n+1P n+2|，|P n P n+1|，对|P n+1P n+2|﹣|P n P n+1|化简后，再放缩即可证明结论；解答：（I）解：由题意，当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1=，整理，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，又∀n∈N*，a n≠0，所以a n+a n﹣1=0或a n﹣a n﹣1﹣1=0，当a n+a n﹣1=0时，a1=1，，得，；当a n﹣a n﹣1﹣1=0时，a1=1，a n﹣a n﹣1=1，得a n=n，．（II）证明：当a n+a n﹣1=0时，，|P n+1P n+2|=|P n P n+1|=，所以|P n+1P n+2|﹣|P n P n+1|=0，当a n﹣a n﹣1﹣1=0时，，|P n+1P n+2|=，|P n P n+1|=，|P n+1P n+2|﹣|P n P n+1|=﹣==，因为＞n+2，＞n+1，所以0＜＜1，综上0≤|P n+1P n+2|﹣|P n P n+1|＜1．点评：本题考查数列与函数的综合，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用a n与S n的关系先求得a n．。

2014-2015学年某某省某某市南山区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值sin210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 945．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣28．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•=．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的为22，则第8组抽出的应是．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（2015春•某某期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．16．（12分）（2015春•某某期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．17．（14分）（2015春•某某期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？18．（14分）（2015春•某某期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．19．（14分）（2015春•某某期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．20．（14分）（2015春•某某期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，某某数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．2014-2015学年某某省某某市南山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值sin210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．分析：通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．解答：解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．可以根据角的象限判断正负．2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义进行求解即可．解答：解：角α的终边上一点P（1，），则r=|0P|=2，则sinα=，故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义，比较基础．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数考点：正弦函数的奇偶性；运用诱导公式化简求值．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：运用诱导公式化简解析式可得f（x）=﹣xcosx，由f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），即可得函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．解答：解：∵f（x）=x•sin（+x）=﹣xcosx，又f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），∴函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．故选：A．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，正弦函数的奇偶性等知识的应用，属于基本知识的考查．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 94考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：先根据甲、乙两组的平均分相同，求出α的值，再求乙组的中位数即可．解答：解：∵甲、乙两个小组的平均分相同，∴=α=2∴乙组数学成绩的中位数为=93．故选：B．点评：本题考查了求平均数与中位数的应用问题，是基础题目．5．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解答：解：向量=（4，2），=（x，3），若∥，可得12=2x，解得x=6．故选：B．点评：本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．解答：解：第一次，n=1，S=0，满足条件．S=0+21=2，n=2，第二次，n=2，S=2，满足条件．S=2+22=6，n=3，第三次，n=3，S=6，满足条件．S=6+23=14，n=4，第四次，n=4，S=14，满足条件．S=14+24=30，n=5，第五次，n=5，S=30，满足条件．S=30+25=62，n=6，第六次，n=6，S=62，不满足条件输出S=62，则①可以为n≤5？，故选：C点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件表示k﹣2，通过向量互相垂直⇔数量积为0，列出方程解得k．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，﹣3），∴k﹣2=k（1，1）﹣2（2，﹣3）=（k ﹣4，k+6）．∵k﹣2与垂直，∴（k﹣2）•=k﹣4+k+6=0，解得k=﹣1．故选：A．点评：本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．8．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化．专题：计算题．分析：利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．解答：解：因为，所以；．点评：本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方由数量积的运算易得向量夹角的余弦值，可得夹角．解答：解：由题意可得=（+）2，∴||2=||2+||2+2||||cosθ，其中θ为向量与的夹角，∵==，∴cosθ=﹣，∴向量与的夹角为故选：D点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：新定义．分析：本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．点评：本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积的坐标表示解答．解答：解：由已知得到•=2×（﹣3）+2×4=﹣6+8=2；故答案为：2．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；=（x，y），=（m，n），则•=xm+yn．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可求sinα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．解答：解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sin，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的为22，则第8组抽出的应是37 ．考点：系统抽样方法．专题：应用题．分析：由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的为27，第7组抽出的为32，第8组抽出的为37．解答：解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的为22，所以第6组抽出的为27，第7组抽出的为32，第8组抽出的为37．故答案为：37．点评：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来．本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为1﹣．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），对应区域为边长为2的正方形，而使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的a，bX围是判别式△≥0，求出a，b满足X围，利用面积比求概率．解答：解：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），则对应区域面积为2×2=4，使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点a，bX围为4a2+4b2﹣4≥0，即a2+b2≥1，对应区域面积为4﹣π，由几何概型的概率公式得到使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为：；故答案为：1﹣．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的区域面积，利用公式解答．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（2015春•某某期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的正切函数求解即可．（2）化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可．解答：解：tanα=2（1）tan2α==；（2）sin2α+sinα cosα﹣2cos2α===．点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角的正切函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．（12分）（2015春•某某期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由≤α＜．可得≤α+＜，根据cos（α+）=＞0，可得≤α+＜，利用同角三角函数关系式即可求sin（α+）．（2）由（1）可得，从而可求sinα，cosα，sin2α，cos2α的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos（2α+）的值．解答：解：（1）∵≤α＜．可得≤α+＜，∵cos（α+）=＞0，∴≤α+＜，∴sin（α+）=﹣=﹣．（2）由（1）可得≤α+＜，∴，∴sinα=sin[（α+）﹣]=（﹣﹣）=﹣，cosα=cos[（α+）﹣]=（﹣）=﹣，sin2α=2sinαcosα=2×=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴cos（2α+）=（﹣﹣）=﹣．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．17．（14分）（2015春•某某期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用平均数公式，可求，；（Ⅱ）求出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值；（Ⅲ）由回归直线方程预测，只需将x=20代入求解即可．解答：解：（Ⅰ）=（3+4+5+6+7+8+9）=6，=（66+69+73+81+89+90+91）=80，（Ⅱ）∵x i2=280，x i y i=3487，∴b==，a=，∴回归方程为y=x+，（Ⅲ）当x=20时，y≈175，故该周内某天的销售量为20件，估计这天可获纯利大约为175元．点评：本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式．18．（14分）（2015春•某某期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数图象可得T，由周期公式从而可求ω，由点（，0）在函数图象上，结合X围0≤φ＜2π，即可解得φ的值，从而得解；（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区．当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，π]，从而可求；当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，2π]，从而可求f （x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由函数图象可得：T=（）=π，解得：T==，从而可求ω=3，由点（，0）在函数图象上，所以：2sin（3×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，由0≤φ＜2π，从而可得：φ=或．故可得：f（x）=2sin（3x+）或f（x）=2sin（3x+）．（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[，]，k∈Z，当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[﹣，]，k∈Z，（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[0，2]．当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，2π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[﹣2，]．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．19．（14分）（2015春•某某期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组 15 45 6025周岁以下组 15 25 40合计 30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（14分）（2015春•某某期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，某某数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得f（x）=•=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；（2）由三角函数公式化简可得sin2x=，由x的X围可得x值，可得和的坐标，由夹角公式可得∠AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；（3）可得h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），由偶函数可得2t+=kπ+，结合t 的X围可得t值．解答：解：（1）由题意可得f（x）=•cos∠AOB=•=a（1+sin2x）+cos2x∵图象经过点（，2），∴a（1+sin）+cos=2a=2，∴a=1；（2）∵sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+，∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+=sin（+2α）+=cos2α+=，∵x为锐角，∴x=，∴=（1，0），=（2，1），∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×=；（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，∴t=+，k∈Z，又∵0＜t＜π，∴t=或．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．。

增城市2012学年度第二学期期末考试高一数学试题D.-2A.向右平移一个长度单位3 2 C.向右平移 个长度单位 3B.向左平移一个长度单位 3 2 D.向左平移 个长度单位36•在"ABC 中 a 6,b 6、、3, A 30，则 B关系疋A.相交考试时间: 120分钟，满分150分 第一部分选择题（共50 分）一、选择题：本大题共 符合题目要求的• 1 • -75。

是第（ 10小题，每小题 象限角5分，共50分.在每小题的四个选项中，有一项是A . 一 5 2.—的余弦值是3 B . D .四3•函数 f(x) sin x COSX 的最小正周期是 A . B . 2 C . D.24 •在等差数列 {a *}中，a 3 a 4 a5 a 7 45，则 S 9 A. 18 B. 45 C. 63 D.815•为了得到函数 3sin （x -）的图像，只要把函数 3Sin （X3）的图像上的点A.60B.120 C. 60 或 120D. 30 或 1507•函数 ysin(； 3),x[2 ,2 ]的单调递增区间是A[5'3]5 73B.[ ,]C.[ ,2 ] 6 63D 」2，43]3A .2 2 2y 2x 8y 80,圆 C ? : x y 4x 4y 2B.外离C.外切D.内切第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分11•已知 a （2,3）, b （x, 6），若 a,b 共线，则 x ___________14.如图1,已知一艘货轮以20海里抽 的速度沿着方位角 /小时（从指北针方向顺时针转到目标方向线的水平角） 148的方向航行。

为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是118°,航行半小时后到达 C 点，观察灯塔 A 的方位角是88°, 则货轮与灯塔A 的最近距离是 __________________ （精确到0.1海里，其中.2 1.414, .3 1.732）.三、解答题：本大题共 6小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分 12 分) 化简：sin(2 )cos( )cos(— +2 11 )cos('2 ) cos()si n(3)sin()sin( 2)16.（本题满分 12 分) 已知a 扌3,1 「r rb 4,且 a b 6.(1 )求a 与b 的夹角;r r(2)求 a b .9.已知sincos1 _ J(0,)，则 ta n5八4o 343 A.B. C.D.-34 34u Lr rur uu1o .已知e (2,1),e 2 (1,3),a ( 1,2)，若 a1e12e 2，则实数对（1,2）为无数对 A. (1,1) B. ( 1,1) C.(1, 1) D.12.在空间直角坐标系中，已知A(2,3,5), B(3,1,3)，贝U AB ____________13.已知 COS cos1 ,sin2sin，则cos( 2(1) 求数列｛a n ｝的通项公式a n ；(2) 求和 S a 1 2a 2 3a 3 L na n .(1)求圆C 的方程;(2)若点P 是圆C 上的动点，点Q 是直线3x 4y 25 19. (本题满分14分)如图2，已知OPQ 是半径为1, 圆心角为60的扇形， POQ 的平分线交弧PQ 于点E ，扇形POQ 的内接矩形 ABCD 关于OE 对称；设 POB ，矩形ABCD 的面积为S . (1 )求S 与的函数关系f ();(2)求S f()的最大值.20. (满分14分)一数列｛a n ｝的前n 项的平均数为n .(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；a(2)设b n n ，证明数列｛b n ｝是递增数列;2n 117.(本题满分14分)在等比数列｛a n ｝中，a1,a 4 6418.(本题满分14分)设圆C 的圆心在直线3xy 7 0上，且圆经过原点和点 (3，-1).0上的动点，求 PQ 的最小值.Q图2(3)设f(x) x2 4x an ，是否存在最大的数M ?当x M时，对于一切非零自然数n ，都有f （x ） 0.|三、解答题[[15.（满分12分）；内:要16.（满分12分）名线 11.. 12.. 13. . 14.17. （满分14 分）18. （满分14 分）19.（满分14分）Q图220. （满分14 分）增城市2012学年度第二学期期末考试高一数学试题答案一. DBBDC,CAACB.二. 11.-4 ; 12.3 ; 13.-0.5 ; 14.8.7三.15.-ta n16.(1)120 0,(2) J13n 1 17. (1) 4 ,(2)15n 1n4 25252 18. (1) x 2 y215,(2) 3319. (1) f 2sin cos 、、3sin . 0 ,6⑵ f -2sin 2 -- -.3. 0 ，当时，最大值为2 33 6 1220. (1)2 n-1,(2 )提示做差b b n 1/Q\2nu 1递增右最小值1/3 fx24x2n 1x2 4x1n M(3)b n递增，有最小值1/3 , T (X)0，解2n1332n1 3 33得X24x 10 , x 2 .. 3,或x 2 .3。

2012-2013学年某某省某某市宝安区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式x＜x2的解集是（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[1，+∞）D．[0，1]考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：化简表达式可得x（x﹣1）＞0，由二次方程和二次表达式的关系可得答案．解答：解：原不等式x＜x2可化为：x2﹣x＞0，分解因式可得x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，故选B点评：本题考查一元二次表达式的解法，求得对应一元二次方程的根是解决问题的关键，属基础题．2．（5分）sin15°•cos15°=（）A．1B．﹣1 C．D．﹣2考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：直接利用二倍角公式化简表达式，求出值即可．解答：解：因为sin15°•cos15°=sin30°==．故选C．点评：本题是基础题，考查二倍角公式的应用，考查计算能力．3．（5分）（2011•某某模拟）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1B．2C．3D．4考点：平面的基本性质及推论．专题：阅读型．分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，两条异面直线不能确定一个平面，若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，得到结果．解答：解：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A．点评：本题考查平面的基本性质及推论，考查两个平面相交只有一条交线，考查直线确定平面的条件，本题是一个基础题．4．（5分）已知函数，则使得f（x）=1成立的所有x的值为（）A．±2B．0，2 C．0，﹣2 D．0，±2考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可求出x的所有值．解答：解：①当x＞0时，由e x﹣2=1，得x﹣2=0，解得x=2；②当x≤0时，由|x+1|=1，得x+1=±1，解得x=0或﹣2．综上可知：x=﹣2或0或2．故选D．点评：正确理解分段函数的意义是解题的关键．5．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2﹣ac=b2，则角B的大小为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式变形后代入即可求出cosB的值，根据B的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数．解答：解：由已知可得b2=a2+c2﹣ac，得到a2+c2﹣b2=ac，所以根据余弦定理得：cosB==，∵B∈（0，π），则∠B=．故选D．点评：此题考查了余弦定理及特殊角的三角函数值．做题时注意整体代入思想的运用，牢记特殊角的三角函数值．6．（5分）等差数列{a n}中，记S n=a1+a2+…+a n，若S9=72，则a2+a4+a9=（）A．14 B．12 C．24 D．16考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件可得=9a5，故有 a5=8，故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5，代入可得答案．解答：解：∵等差数列{a n}前n项和为S n，设公差为d，∴S9=72===9a5，∴a5=8．故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5=24，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属基础题．7．（5分）若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．6B．2C．3D．4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据a+b=2，利用基本不等式求得3a+3b 的最小值．解答：解：由于实数a，b满足a+b=2，则3a+3b =≥2 =2=6，当且仅当a=b=1时，等号成立，故选A．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件和等号成立条件，属于基础题．8．（5分）不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，下列条件中哪个是α∥β的充分不必要条件（）B．α⊥γ，β⊥γC．n∥m，n⊥α，m⊥βD．n∥α，m∥β，n∥m A．α∩γ=n，β∩γ=m，n∥m考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：先根据线面平行、面面平行的判定与性质，在A、B、C、D各项中找出一个能使“α∥β”成立的一个条件，说明是充分条件，然后再在结果中找出反之不能成立的项，即可得出答案．解答：解：对于A：由α∩γ=n，β∩γ=m，n∥m，不可以得出α∥β，故不是充分条件；对于B：由α⊥γ，β⊥γ，不一定能得出α∥β，故不是充分条件；对于C：由n∥m，n⊥α，m⊥β，可以得出α∥β，反之不一定成立；故是充分不必要条件；对于D：由n∥α，m∥β，n∥m，有可能α与β相交，不能得出α∥β，故不是充分条件．故选C．点评：本题考查了立体几何中线面平行、面面平行的判定与性质，考查了面面平行与线线平行之间的转化关系．属于基本题．熟练掌握空间的线面、面面垂直的有关定理是解决本题的关键．9．（5分）圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于直线y=x+2对称，则圆C的方程是（）A．（x+1）2+y2=1 B．（x﹣1）2+y2=1 C．（x+1）2+y2=2 D．（x+3）2+y2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：直线与圆．分析：设出对称圆的圆心（a，b），由以及，求得a、b的值，即可求得圆C 的方程．解答：解：设圆（x+2）2+（y﹣1）2=1的圆心C（﹣2，1）关于直线y=x+2对称点为C（a，b），由以及，求得 a=﹣1，b=0．再由这两个圆的半径相等，得圆C的方程是（x+1）2+y2=1，故选A．点评：本题主要考查求一个圆关于一条直线的对称的圆的方程的方法，关键是求出对称圆的圆心坐标，属于中档题．10．（5分）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：题干错误：x2+y2+xy=1，应该是：x2+y2﹣xy=1，请给修改，谢谢．根据已知条件可得（x+y）2=1+xy．再由xy≤，可得（x+y）2≤，由此可得x+y的最大值．解答：解：∵实数x，y满足x2+y2 ﹣xy=1，即（x+y）2=1+xy．再由xy≤，可得（x+y）2=1+xy≤1+，解得（x+y）2≤，∴﹣≤x+y≤，故 x+y的最大值为=，故选A．点评：本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.11．（5分）已知一组命题：p：3＞4，q：3＜4，利用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还是假命题真（填“真”或者“假”）考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：利用复合命题的判定规律，P、q至少有一个是真命题，则p或q为真命题，来判定即可．解答：解：∵P假，q真，∴PⅤq为真命题．故答案是真点评：本题考查复合命题的真假判定规律．12．（5分）已知数列{a n}中a1=1且（n∈N），a n=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解答：解：根据题意，a n+1a n=a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1=1，得，所以；故答案为．点评：解答本题用到的累加法是求数列通项公式以及数列前n项和的重要方法13．（5分）若关于x的不等式mx2﹣mx+m﹣1＞0的解集为∅，则实数m的取值X围是m≤0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：因为二次项系数含有字母m，所以分m=0和m≠0两种情况讨论，当m=0时明显看出对于任意实数x 不等式不成立，当m≠0时，借助于不等式对应的二次函数的图象的开口方向和与x轴有无交点列式求解．解答：解：当m=0时，原不等式的解集显然是空集；当m≠0时，要使关于x的不等式mx2﹣mx+m﹣1＞0的解集为∅，则，解得m＜0．所以，使关于x的不等式mx2﹣mx+m﹣1＞0的解集为∅的实数m的取值X围是m≤0．故答案为m≤0．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”间的关系，是基础题，也是易错题．14．（5分）投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200m2，可以获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地100m2，可以获利润200万元．现单位可以使用资金1400万元，场地900m2，请你用你所掌握的数学知识进行投资组合，使得单位获得最大利润，可能获得的最大利润为1475 万元．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．解答：解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，则约束条件为：，目标函数为S=3x+2y，作出可行域，使目标函数为S=3x+2y取最大值的（x，y）是直线2x+3y=14与2x+y=9的交点（3.25，2.5），此时S=3×3.25+2×2.5=14.75百万元=1475万元．故答案为：1475．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．15．（12分）已知椭圆C的方程为．（1）求k的取值X围；（2）若椭圆C的离心率，求k的值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．（2）先根据题意利用k表示出a，b，进而根据离心率列出关于k的方程，则k的值可得．解答：解：（1）∵方程表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵=∴∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c=∵=∴∴k=8；∴k的值为2或8．点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运算能力，属基础题．（12分）如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，16．∠DCB=30°．（1）求向量的坐标（2）求向量的夹角的大小．考点：空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示．专题：空间向量及应用．分析：（1）由∠BDC=90°，∠DCB=30°，在平面yOz上，过点D作y轴的垂线，垂足为E，得DO=OB=OC=1，可得D的坐标，从而可得的坐标；（2）求出的坐标，利用向量的夹角公式，即可求的夹角的大小．解答：解：（1）由∠BDC=90°，∠DCB=30°，在平面yOz上，过点D作y轴的垂线，垂足为E，得DO=OB=OC=1，所以，即的坐标为（6分）（2）∵，，B（0，﹣1，0），C（0，1，0）∴，，∴（12分）点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的夹角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．17．（14分）（2013•香洲区模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b，c及cosA的值代入即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵a﹣2bsinA=0，∴sinA﹣2sinBsinA=0，…（2分）∵sinA≠0，∴sinB=，…（3分）又B为锐角，则B=；…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=，又b=，根据余弦定理，得b2=7=a2+c2﹣2accos，…（7分）整理得：（a+c）2﹣3ac=7，∵a+c=5，∴ac=6，又a＞c，可得a=3，c=2，…（9分）∴cosA===，…（11分）则=||•||cosA=cbcosA=2××=1．…（13分）点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．18．（14分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2（r＞0）都过点P（﹣1，0），且椭圆C1离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1、圆C2于点A、B、C、D（如图），k1=2k2．（1）求椭圆C1和圆C2的方程；（2）求证：直线BC恒过定点．考点：直线与圆锥曲线的关系；恒过定点的直线．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直接把定点代入圆的方程求圆的半径，利用椭圆过定点得到a的值，代入离心率后求得c的值，结合b2=a2﹣c2求得b的值，则圆与椭圆的方程可求；（2）设出直线AB和CD的方程，分别和圆与椭圆联立后求出A，B，C，D的坐标，求出BC的斜率（用k2）表示，由点斜式写出直线BC的方程后可得直线BC恒过定点．解答：（1）解：由圆C2：x2+y2=r2（r＞0）过点P（﹣1，0），得到r2=1，所以圆C2的方程为x2+y2=1．由椭圆C1离心率为=，由椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，0），得，所以a=1，代入，得c=，所以．所以椭圆C1的方程为x2+2y2=1；（2）证明：由题意可设直线AB的方程为y=k1（x+1），直线CD的方程为y=k2（x+1）．由．由．同理可得：，所以，因为k1=2k2，所以，所以直线BC的方程为．即，恒过定点（1，0）．点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，往往需要涉及繁杂的计算，这就需要学生有较强的运算能力，属难题．19．（14分）（2007•某某模拟）设数列{a n}是首项为0的递增数列，（n∈N），，x∈[a n，a n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根．（1）试写出y=f1（x），并求出a2；（2）求a n+1﹣a n，并求出{a n}的通项公式；（3）设S n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+（﹣1）n﹣1a n，求S n．考点：数列与三角函数的综合．专题：计算题；综合题．分析：（1）由题意可得当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，结合对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根可得a2=π，代入可求f1（x）a2=π（1）类比（1）的方法可分别求f2（x），f3（x），及a2，a3，a4归纳可得a n+1﹣a n=nπ，从而利用叠加法可求（3）当n=2k，k∈Z（4），S2k=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2k﹣1﹣a2k，n=2k+1，S2k+1=S2k+a2k+1两种情况讨论求解解答：解：（1）∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，…（2分）又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π…（4分）（1）由（1），（2）∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，…（8分）利用叠加可求得…（10分）（3）当n=2k，k∈Z（4），S2k=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2k﹣1﹣a2k（5）=﹣[（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2k﹣a2k+1）]=﹣[π+3π+5π+…+（2k﹣1）π]=∴…（13分）当n=2k+1，k∈Z，∴…（16分）点评：本题主要数列与三角函数是综合知识的应用，及由数列的递推公式求解数列的通项公式，叠加法的应用及数列求和公式的应用．20．（14分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，求•的最小值．考点：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．专题：平面向量及应用．分析：设PA=PB=x（x＞0），∠APO=α，则∠APB=2α，PO=，sinα=，计算=，再利用基本不等式求得它的最小值．解答：解：如图所示：设PA=PB=x（x＞0），∠APO=α，则∠APB=2α，PO=，sinα=，∴=||•||cos2α=x2（1﹣2sin2α）====（x2+1）﹣3+≥2﹣3，当且仅当x2+1=，即 x=时，等号成立，故的最小值为﹣3+2，此时，x=．点评：本题主要考查两个向量的数量的定义和两个向量数量积公式的应用，基本不等式的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题．。

珠海市2012～2013学年度第二学期期末学生学业质量监测高一数学试题（A 卷）及参考答案时量：120分钟 分值：150分 ．适用学校：全市各高中使用A 卷学校． 内容：数学必修②第二章，数学必修③，数学必修④．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(平面向量) 已知平面向量(4,1)a =r ，(,2)b x =r ，且a r 与b r平行，则x =（ ）A B ．12- C ．8 D ．122.(三角函数) 4sin3π的值是（ ）A ．12 B ．12- C ．32 D ．32- 3.(一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ).至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶4.(将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )5.(某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃-5 047 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究，直接得到了散点图及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天的气温是3℃，大约能卖出的热饮杯数为（ ）. A. 143 B. 141 C. 138 D. 134 （单词提示：Linear 线性）a=b b=a （A ） c=b b=a a=c （B ） b=aa=b （C ）a=c c=b b=a （D ）6.(统计) 要从已编号（160-）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,487.(平面向量) 如右下图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =u u u r r ，BA c =u u u r r，则向量CD =u u u r（ ）A ．a -r 8.(A ．1639.(算法) A.1-10.(a 的值为（ 11.(，A ．y 1sin(26x π+D.sin(26y x π=+12.(三角变换) 已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．724B ．724-C ．247-D ． 247-二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上） 13.(圆的方程) 以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的标准方程为 ．ACB14.(算法)二进制数定义为“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，即2(1101)转换成十进制数是13，那么类似可定义k 进制数为“逢k 进一”，则8进制数8(102)转换成十进制数是_________ 15.(统计) 一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：人，则高中部三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上）21.(平面向量) 已知||4a =r ，||b =r ()(2)4a b a b +⋅-=r r r r .（1）求a b ⋅r r（2）求||a b +r r .22.(三角函数)已知函数sin()(0,0)2y A x A πωϕωϕ=+><<，的图形的一个最高点为，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过(6,0)，求这个函数的解析式.23.(统计)某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．五组[]（1（2（324.(概率)方案1方案2：奖.两个方案中，哪个方案中奖率更高？请说明理由.25.(三角变换)已知OPQ 是半径为1，圆心角为4π的扇形，C是扇形弧上的动点. ABCD是扇形的内接矩形，记COP θ∠=.（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值. （2）当矩形ABCD θ的值. 附加题：26. 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.27．如图，已知在三角形ABC 中，3AB =,4AC =，5BC =.(1) 求向量AB AC BC ++u u u r u u u r u u u r的模；(2)若长为10的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时BP ⋅的值最大？并求这个最大值.28. 在三角形ABC 中 （1）若4A B π+=，求(1tan )(1tan )A B ++的值.（2）若lg tan lg tan 2lg tan A C B +=，求证：32B ππ≤<.θOQDCPBA CAB珠海市2012～2013学年度第二学期期末学生学业质量监测高一数学试题及参考答案一、选择题1、C2、D3、D4、B5、B6、B7、B8、D9、B 10、B 11、C 12、C二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上） 13.22(2)(2)25x y -++= 14. 66 15.0.7 16. 10?i > 17.3600 18.π 19. (4,3)(4,3)--或 20.4[+2,+2]()33k k k Z ππππ∈1分） 3分） 4分） （（9221分）由周期公式可得到：216T πω==，又0ω>Q ，8πω∴=…………………………（4分）sin()8y x πϕ∴=+……………………………………………………………（5分）又函数图像过点sin(2)8πϕ=⨯+，即sin()14πϕ+=…………………………………（7分）又02πϕ<<Q4πϕ∴=…………………………………………………………………（9分）所以函数解析式是：sin()84y x ππ=+……………………………………（10分）23.解：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=10.06503⨯⨯=（人）……………（2分）（2）学校900名学生中，成绩属于第四组的人数10.32900288⨯⨯=（人）………………………（2分） （3）由图可知众数落在第三组[15,16)，是151615.52+=………………………（5分）6分） 9分）24.解奖概率为S S 正方形圆（25分）（i ）2个球都是红色，包含的基本事件数为；………………………………（6分） （ii ）2个球都是白色，包含的基本事件数为2+13=.……………………………（7分） 所以，中奖这个事件包含的基本事件数为1+3=4. 因此，中奖概率为42105=.…………（9分） 由于235π>，所以方案1的中奖率更高. …………………………………………（10分）25.解：(1)在Rt OBC ∆中：cos OB θ=，sin BC θ=……………………（1分）在Rt OAD ∆中：tan 14AD OA π== 所以sin OA AD BC θ===…………………………………（2分）所以cos sin AB OB OA θθ=-=-……………………………………（3分） 所以矩形ABCD 的面积(cos sin )sin S AB BC θθθ=⋅=-……………………（4分）6分） 7分） (2) 当S =8分） 又因为32444πππθ<+<，所以2243ππθ+=，即524πθ=…………………（10分） 附加题：26. 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.解：（1）从袋中10个球中摸出2个，试验的结果共有1010100⨯=（种）……………………………（1分） 中奖的情况分为两种：（i ）2个球都是红色，包含的基本事件数为6636⨯=；…………………………（2分） （ii ）2个球都是白色，包含的基本事件数为4416⨯=.…………………………（3分）所以，中奖这个事件包含的基本事件数为36+16=52. 因此,中奖概率为521310025=.………………………（4分）（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x 分钟、y 分钟.用(,)x y 表示每次试验的结果，则所有可能结果为{(,)|040,2060}x y x y Ω=≤≤≤≤；……………………………………………………………（5分）记甲比乙提前到达为事件A ，则事件A 的可能结果为{(,)|,040,2060}A x y x y x y =<≤≤≤≤. ………………………………………………………（6分）如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD . 而事件A 所构成区域是正方形内的阴影部分. ………………………………………………………（8分）根据几何概型公式，得到2221402072()408S P A S -⨯===阴影正方形. 所以，甲比乙提前到达的概率为78. ………………………………（10分）27．如图，已知在三角形ABC 中，3AB =,4AC =，5BC =.(1) 求向量AB AC BC ++u u u r u u u r u u u r的模；(2)若长为10的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求这个最大值.C解：（1）AB AC BC ++=u u u r u u u r u u u r ………………………………（1分）=2分）=……………………（3分）=8=…………………………………………………………………………………（4分） （另解：用几何法，根据向量加法的平行四边形法则，画图，很快可得8AB AC BC ++=u u u r u u u r u u u r）（2）u 5分）==6分） === ==（8分）==25cos 25PQ BC =<⋅>-u u u r u u u r………………………………………………………（9分）当00PQ BC <⋅>=u u u r u u u r 即00θ=时，m ()0ax BP CQ ⋅=u u u r u u u r ……………………………（10分）28. 在三角形ABC 中 （1）若4A B π+=，求(1tan )(1tan )A B ++的值.（2）若lg tan lg tan 2lg tan A C B +=，求证：32B ππ≤<.精品 试卷解：（1）由4A B π+=得tan()1A B +=即tan tan 11tan tan A B A B+=-……………………………（1分） 即tan tan 1tan tan A B A B +=-即tan tan +tan tan =1A B A B +…………………………………………………（2分） 即tan (tan +1)(tan 1)=2A B B ++…………………………………………（3分）即(tan +1)(tan 1)=2B A +即(1tan )(1tan )2A B ++=…………………………………………………（4分）（2）由已知得：,,A B C 都为锐角，2tan tan tan A C B ⋅=…………………………………………（5分）Q 分） ∴∴7分）∴8分）即即即9分）。

2014-2015学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值sin210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 945．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣28．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•= ．12．已知sin（π+α）=，则cos2α= ．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（2015春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．16．（12分）（2015春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．17．（14分）（2015春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？18．（14分）（2015春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．19．（14分）（2015春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．20．（14分）（2015春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．2014-2015学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值sin210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．分析：通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．解答：解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．可以根据角的象限判断正负．2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义进行求解即可．解答：解：角α的终边上一点P（1，），则r=|0P|=2，则sinα=，故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义，比较基础．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数考点：正弦函数的奇偶性；运用诱导公式化简求值．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：运用诱导公式化简解析式可得f（x）=﹣xcosx，由f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），即可得函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．解答：解：∵f（x）=x•sin（+x）=﹣xcosx，又f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），∴函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．故选：A．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，正弦函数的奇偶性等知识的应用，属于基本知识的考查．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 94考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：先根据甲、乙两组的平均分相同，求出α的值，再求乙组的中位数即可．解答：解：∵甲、乙两个小组的平均分相同，∴=α=2∴乙组数学成绩的中位数为=93．故选：B．点评：本题考查了求平均数与中位数的应用问题，是基础题目．5．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解答：解：向量=（4，2），=（x，3），若∥，可得12=2x，解得x=6．故选：B．点评：本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．解答：解：第一次，n=1，S=0，满足条件．S=0+21=2，n=2，第二次，n=2，S=2，满足条件．S=2+22=6，n=3，第三次，n=3，S=6，满足条件．S=6+23=14，n=4，第四次，n=4，S=14，满足条件．S=14+24=30，n=5，第五次，n=5，S=30，满足条件．S=30+25=62，n=6，第六次，n=6，S=62，不满足条件输出S=62，则①可以为n≤5？，故选：C点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件表示k﹣2，通过向量互相垂直⇔数量积为0，列出方程解得k．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，﹣3），∴k﹣2=k（1，1）﹣2（2，﹣3）=（k ﹣4，k+6）．∵k﹣2与垂直，∴（k﹣2）•=k﹣4+k+6=0，解得k=﹣1．故选：A．点评：本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．8．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化．专题：计算题．分析：利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．解答：解：因为，所以；．点评： 本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用．分析： 把已知式子平方由数量积的运算易得向量夹角的余弦值，可得夹角． 解答： 解：由题意可得=（+）2，∴||2=||2+||2+2||||cos θ，其中θ为向量与的夹角， ∵==，∴cos θ=﹣，∴向量与的夹角为故选：D点评： 本题考查平面向量的夹角，属基础题．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a ﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 新定义．分析： 本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a ﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果， 其中满足|a ﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3； ③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5； ⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6， 总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．点评：本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积的坐标表示解答．解答：解：由已知得到•=2×（﹣3）+2×4=﹣6+8=2；故答案为：2．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；=（x，y），=（m，n），则•=xm+yn．12．已知sin（π+α）=，则cos2α= ．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可求sinα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．解答：解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sin，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是37 ．考点：系统抽样方法．专题：应用题．分析：由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．解答：解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．故答案为：37．点评：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来．本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为1﹣．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），对应区域为边长为2的正方形，而使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的a，b范围是判别式△≥0，求出a，b满足范围，利用面积比求概率．解答：解：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），则对应区域面积为2×2=4，使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点a，b范围为4a2+4b2﹣4≥0，即a2+b2≥1，对应区域面积为4﹣π，由几何概型的概率公式得到使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为：；故答案为：1﹣．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的区域面积，利用公式解答．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（2015春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的正切函数求解即可．（2）化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可．解答：解：tanα=2（1）tan2α==；（2）sin2α+sinα cosα﹣2cos2α===．点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角的正切函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．（12分）（2015春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由≤α＜．可得≤α+＜，根据cos（α+）=＞0，可得≤α+＜，利用同角三角函数关系式即可求sin（α+）．（2）由（1）可得，从而可求sinα，cosα，sin2α，cos2α的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos（2α+）的值．解答：解：（1）∵≤α＜．可得≤α+＜，∵cos（α+）=＞0，∴≤α+＜，∴sin（α+）=﹣=﹣．（2）由（1）可得≤α+＜，∴，∴sinα=sin[（α+）﹣]=（﹣﹣）=﹣，cosα=cos[（α+）﹣]=（﹣）=﹣，sin2α=2sinαcosα=2×=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴cos（2α+）=（﹣﹣）=﹣．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．17．（14分）（2015春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用平均数公式，可求，；（Ⅱ）求出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值；（Ⅲ）由回归直线方程预测，只需将x=20代入求解即可．解答：解：（Ⅰ）=（3+4+5+6+7+8+9）=6，=（66+69+73+81+89+90+91）=80，（Ⅱ）∵x i2=280，x i y i=3487，∴b==，a=，∴回归方程为y=x+，（Ⅲ）当x=20时，y≈175，故该周内某天的销售量为20件，估计这天可获纯利大约为175元．点评：本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式．18．（14分）（2015春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数图象可得T，由周期公式从而可求ω，由点（，0）在函数图象上，结合范围0≤φ＜2π，即可解得φ的值，从而得解；（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区．当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，π]，从而可求；当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，2π]，从而可求f （x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由函数图象可得：T=（）=π，解得：T==，从而可求ω=3，由点（，0）在函数图象上，所以：2sin（3×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，由0≤φ＜2π，从而可得：φ=或．故可得：f（x）=2sin（3x+）或f（x）=2sin（3x+）．（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[，]，k∈Z，当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[﹣，]，k∈Z，（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[0，2]．当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，2π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[﹣2，]．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．19．（14分）（2015春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组 15 45 6025周岁以下组 15 25 40合计 30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（14分）（2015春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得f（x）=•=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；（2）由三角函数公式化简可得sin2x=，由x的范围可得x值，可得和的坐标，由夹角公式可得∠AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；（3）可得h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），由偶函数可得2t+=kπ+，结合t 的范围可得t值．解答：解：（1）由题意可得f（x）=•cos∠AOB=•=a（1+sin2x）+cos2x∵图象经过点（，2），∴a（1+sin）+cos=2a=2，∴a=1；（2）∵sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+，∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+=sin（+2α）+=cos2α+=，∵x为锐角，∴x=，∴=（1，0），=（2，1），∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×=；（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，∴t=+，k∈Z，又∵0＜t＜π，∴t=或．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．。