2020 人教版 九年级 圆专题复习练习题(有部分答案)

中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。

考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《圆的综合》1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D．（1）若AB＝8，∠ABC＝30°，求⊙O的半径；（2）若点E是边BC的中点，连结DE，求证：直线DE是⊙O的切线；（3）在（1）的条件下，保持Rt△ACB不动，将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，当⊙O′与直线AB相切时，m＝．2．如图，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为；（2）在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；（3）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO ≥BO ．以OF 为半径的⊙O 与直线AB 交于点M ，N ． （1）如图1，若点O 为AB 中点，且点D ，点C 都在⊙O 上，求正方形BEFG 的边长． （2）如图2，若点C 在⊙O 上，求证：以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．（3）如图3，若点D 在⊙O 上，求证：DO ⊥FO ．4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ． （1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．5．定义：当点P在射线OA上时，把的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA 上的射影值均为＝．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．其中真命题有．A．①②B．①③C．②③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O 上任意点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为．6．问题发现：（1）如图1，△ABC内接于半径为4的⊙O，若∠C＝60°，则AB＝；问题探究：（2）如图2，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，若∠B＝120°，求四边形ABCD的面积最大值；解决问题：（3）如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条弧形道路围成，点M 是AB道路上的一个地铁站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝60°，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．8．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．9．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．（Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC的大小．10．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM．（1）求证：AM平分∠CAB；（2）若AB＝4，∠APE＝30°，求的长．11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F，交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．12．已知，点A为⊙O外一点，过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C，连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP＝∠DPA．（1）求证：PO＝PD；（2）若AC＝，求⊙O的半径．13．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．（1）求证：FC＝FD．（2）当E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝30，则OP＝．14．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N 为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）15．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM的值．16．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．17．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC 边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．（2）△ABC中，BC＝9，tan B＝，tan C＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠CAB＝2∠BCP；（2）若⊙O的直径为5，sin∠BCP＝，求△ABC内切圆的半径；（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△CAB的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．参考答案1．解：（1）在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠ABC＝30°，∴AC＝AB sin∠ABC＝8sin30°＝4，∴⊙O的半径为2；（2）证明：连接OD，CD，∵AC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝CB，∴∠DCE＝∠CDE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；（3）连接OO′交AB于F，设⊙O′与AB相切于G，连接O′G，则∠O′GF＝90°，∵将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，∴OO′∥BC，AO＝O′G，∴∠AOF＝∠ACB＝90°，∵∠AFO＝∠O′FG，∴△AOF≌△O′GF（AAS），∴O′F＝AF，∵在Rt△AOF中，∵∠A＝60°，AO＝2，∴AF＝4，OF＝2，∴O′F＝AF＝4，∴OO′＝4+2，∴m＝4+2．故答案为：4+2．2．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD∥AB，CD＝AB＝13，∴∠EAB＝∠DEA，∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝，∴tan∠DEA＝＝＝．故答案为：．（2）证明：连接OF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，又CE＝DE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA＝∠EBA．∴OF∥EB．∵FG⊥BE，∴FG⊥OF，∴FG是⊙O的切线．（3）解：若BE能与⊙O相切，由AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．设DE＝x，则EC＝13﹣x．由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即（36+x2）+[（13﹣x）2+36]＝132，整理得x2﹣13x+36＝0，解得：x1＝4，x2＝9，∴DE＝4或9，当DE＝4时，CE＝9，BE＝＝＝3，当DE＝9时，CE＝4，BE＝＝＝2，∴BE能与⊙O相切，此时BE＝2或3．3．解：（1）如图1，连接OC，∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，BE＝EF，∠OEF＝∠ABC＝90°，∵点O为AB中点，∴OB＝AB＝，设BE＝EF＝x，则OE＝x+，在Rt△OEF中，∵OE2+EF2＝OF2，∴，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2＝OC2，∴＝OC2，∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC＝OF，∴，解得：x＝，∴正方形BEFG的边长为；（2）证明：如图2，连接OC，设OB＝y，BE＝EF＝x，同（1）可得，OE2+EF2＝OF2，OB2+BC2＝OC2，∴OF2＝x2+（x+y）2，OC2＝y2+12∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC＝OF，∴x2+（x+y）2＝y2+12，∴2x2+2xy＝1，∴x2+xy＝，即x（x+y）＝，∴EF×OE＝，∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为．（3）证明：连接OD，设OA＝a，BE＝EF＝b，则OB＝1﹣a，则OE＝1﹣a+b，∵∠DAO＝∠OEF＝90°，∴DA2+OA2＝OD2，OE2+EF2＝OF2，∴12+a2＝OD2，（1﹣a+b）2+b2＝OF2，∵OD＝OF，∴12+a2＝（1﹣a+b）2+b2，∴（b+1）（a﹣b）＝0，∵b+1≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴OA＝EF，在Rt△AOD和Rt△EFO中，，∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），∴∠FOE＝∠ODA，∵∠DAO＝90°，∴∠ODA+∠AOD＝90°，∴∠FOE+∠AOD＝90°，∴∠DOF＝90°，∴DO⊥FO．4．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2， ∴EA 2+CF 2＝EF 2，∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ，即S △ABC ＝S 矩形BGKH ， ∴S △ABC ＝S 矩形BGKH ，∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，∵BM 平分∠GBH ，∴BG ：BH ＝9：8，设BG ＝9k ，BH ＝8k ，∴CH ＝3+k ，∵AG ＝3，∴AE ＝3， ∴CF ＝（k +3），EF ＝（8k ﹣3），∵EA 2+CF 2＝EF 2， ∴+＝，整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣（舍去），k 2＝1．∴AB ＝12，∴AO ＝AB ＝6，∴⊙O的半径为6．5．解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB 不一定是锐角三角形；②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形；③正确．点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，故△OAB是钝角三角形；故答案为：B．（2）①如图2，作BH⊥OC于点H，∵点B在射线OA上的射影值为，∴＝，＝，CA＝OA＝OB＝1，∴＝，又∵∠BOH＝∠COB，∴△BOH∽△COB，∴∠BHO＝∠CBO＝90°，∴BC⊥OB，∴直线BC是⊙O的切线；②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，当∠DOB＜90°时，设DM＝h，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DN＝OC×DM，∴DN＝2h，∵在Rt△DON和Rt△DOM中，OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，∴4h2+y2＝h2+x2，∴3h2＝x2﹣y2①，∵BD2＝CD2，∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，①②消去h得：y＝2x﹣．如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DO＝OC×DM，∵CA＝OA＝OB＝1，∴OD＝2DM，∴sin∠DOM＝，∴∠DOM＝30°，设DM＝h，则OD＝2h，OM＝h，∴h2+＝1+4h2，∴h＝，∴OM＝，当点B在OC上时，OD＝，综上所述，当≤x≤时，y＝0；当＜x≤时，y＝2x﹣．故答案为：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．6．解：（1）如图1，连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰三角形，∵OH⊥AB，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，∴AH＝OA sin∠AOH＝4×＝2，则AB＝2AH＝4；故答案为4；（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，∵四边形ABCD的面积S＝AC×DE AC×BF＝AC×（DE+BF），∴当D、E、F、B四点共线且为直径时，四边形ABCD的面积S最大；∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠AOC＝120°，在△AOC中，由（1）知，AC＝2×OA sin60°＝2×6×＝6，∴四边形ABCD的面积S的最大值为：×AC×BD＝6×12＝36，故四边形ABCD的面积的最大值为36；（3）如图3，过点D作DK⊥AB于点K，连接CD，在△ADM中，DK＝AD•sin A＝1×＝，同理AK＝，则KM＝AM﹣AK＝2﹣＝，则tan∠DMK＝＝∴∠DMK＝30°，故△ADM为直角三角形，同理△CMB为直角三角形，在Rt△ADM中，DM＝＝＝，∴∠DMC＝180°﹣∠DMA﹣∠CMB＝60°∵AD＝BM，AM＝BC，∠A＝∠B＝60°，∴Rt△ADM≌Rt△BMC（SAS），∴DM＝CM，∴△CDM为等边三角形；设所在的圆的圆心为R，连接DR、CR、MR，∵DM＝CM，RM＝RM，DR＝CR，∴△DRM≌△CRM（SSS），∴∠DMR＝∠CMR＝∠DMC＝30°，在△DMR中，DR＝1，∠DMR＝30°，DM＝＝CM，过点R作RH⊥DM于点H，则RM＝＝＝1＝RD，故D、P、C、M四点共圆，∴∠DPC＝120°，如图4，连接MP，在PM上取PP′＝PC，∵△CDM为等边三角形，∴∠CDM＝60°＝∠CPM，∴△P′PC为等边三角形，则PP′＝P′C＝PC，∵∠PMC＝∠PDC，∠CP′M＝180°﹣∠PP′C＝120°＝∠DPC，CD＝CM，∴△PDC≌△P′MC（AAS），∴PD＝P′M，∴PD+PC＝PP′+PD＝PP′+P′M＝PM，故当PM是直径时，PD+PC最大值为2；∵四边形DMCP的周长＝DM+CM+PC+PD＝2+PD+PC，而PD+PC最大值为2；故四边形DMCP的周长的最大值为：2+2，即四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大为2+2．7．（1）证明：∵OQ∥AP，∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，又∵OP＝OA，∴∠APO＝∠OAP，又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ与△POQ中，，∴△POQ≌△BOQ（SAS），∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，∵点P在⊙O上，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：①∵△POQ≌△BOQ，∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB＝2；②∵PE⊥AB，∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，∵OC＝OA＝1，∴PC＝＝＝，∴PE＝2PC＝2．故答案为：2；2．8．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵DC为⊙O的切线，切点为C，∴DC＝DA，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，∴∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°；（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∠DEA＝∠EAB，∴∠ADC＝90°，∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝60°，∴∠EAB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°．9．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DC与⊙O相切，∴∠OCD＝90°，∵OB＝BD，∴BC＝OD＝OB＝BD，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°，∴∠BCD＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠A＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，∴∠ACF＝∠ABE，∴∠FAC＝∠EAB＝18°，答：∠FAC的大小为18°．10．解：（1）连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB；（2）∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为＝．11．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC＝90°；又∵OC⊥AD，∴∠OFA＝90°，∴∠AOC+∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．又∵∠BED＝∠BAD，∴∠C＝∠BED．（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，∴tan∠C＝，∴tan∠C＝＝，且OA＝AB＝6，∴，解得AC＝8，∴＝10，∵OC•AF＝OA•AC，∴．∴＝＝．12．（1）证明：∵PA与⊙O相切于点P，∴BP⊥AP∴∠OPD+∠DPA＝90°，∠OAP+∠AOP＝90°∵∠OAP＝∠DPA．∴∠OPD＝∠AOP∴OD＝PD∵PO＝OD∴PO＝PD．（2）连接PC，∵PB为⊙O的直径∴∠BCP＝90°∵PO＝PD＝OD∴∠AOP＝60°设⊙O的半径为x，则PB＝2x，＝tan60°∴PA＝x∴AB＝＝x∵∠BPA＝∠BCP＝90°，∠B＝∠B∴△BAP∽△BPC∴＝∵AC＝∴＝∴7x﹣＝4x∴x＝∴⊙O的半径为．13．证明：（1）连接OC，（1）证明：连接OC∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠DCF＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∴∠BDP＝∠DCF，∵∠BDP＝∠CDF，∴∠DCF＝∠CDF，∴FC＝FD；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，∴AC＝18，BC＝24，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，∴S△OBE由勾股定理得OP＝＝＝9．故答案为：9．14．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，∴△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF ＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，解得：a＝，在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，∴AG＝，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，解得：x＝t，∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，解得：t＝，∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，故答案为：1＜t≤．15．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．16．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．17．解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x，则BE＝3x，CE＝6x，∴BC＝9x＝9，∴x＝1，∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，设DE＝a，①如答图2，若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0，解得，a＝﹣2（舍去），2∴．②如答图3，若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0，＝2，（舍去）解得a1∴BD＝3+a＝3+2＝5．∴或5．（5）①∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH∴△AHC∽△DHB，∴，即AH•BH＝CH•DH，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴BH2＝CH•DH∴点H是△BCD中CD边上的“好点”．②．理由如下：如答图4，连接AD，BD，∵∠ABD＝90°，∴AD是直径，∴AD＝18．又∵OH⊥AB，∴OH∥BD．∵点O是线段AD的中点，∴OH是△ABD的中位线，∴BD＝2OH＝12．在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3．在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3．又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝．∴＝＝，即．18．解：（1）如图，连接AN，∵AC为直径，∴AN⊥BC，∵AB＝AC，∴AN平分∠BAC，∵PC是圆的切线，∴∠ACP＝90°，∵∠NAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝90°，∴∠NAC＝∠BCP，即∠BAC＝2∠BCP；（2）由（1）知，AN平分∠BAC，则∠NAC＝∠BCP，故sin∠NAC＝sin∠BCP＝，则tan∠NAC＝，在Rt△NAC中，AC＝5，NC＝AC•sin∠NAC＝5×＝，同理AN＝2，则BC＝2NC＝2；S＝×BC•AN＝2×2＝10，△ABC设△ABC内切圆的半径为r，则S＝（AB+AC+BC）•r＝×（5+5+2）＝10，△ABC解得：r＝；故△ABC内切圆的半径为；（3）在△ABC中，设AC边长的高为h，则S＝AC•h＝×5×h＝10，解得：h＝4，△ABCsin∠BAC＝＝，在Rt△ACP中，∵sin∠BAC＝＝，设PC＝4m，则AP＝5m，则AC＝3m＝5，解得m＝，△ACP的周长＝3m+4m+5m＝12m＝20．19．（1）证明：如图1，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°．∵＝，∴∠ABD＝∠DCA，∵∠FAD＝∠ABD，∴∠FAD＝∠DCA，∴∠FAD+∠DCA＝90°，∴CA⊥AF，∴AF为⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接OD，∵＝，∴∠ABD＝∠AOD，∵＝，∴∠DBC＝∠DOC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DOA＝∠DOC，∴DA＝DC．（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∵DA＝DC，∴DO⊥AC，∴∠FAC＝∠DOC＝90°，∴AF∥OM，∵AO＝OC，∴OM＝AF．∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°．∴∠ODE＝∠OCM．∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC，∴∴△ODE≌△OCM，∴OE＝OM，设OM＝m，∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m，∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°，∴∠AEN＝∠ADE，∵∠EAN＝∠DPE，∴△EAN∽△DPE，∴＝，∴＝，∴m＝，∴AN＝，AE＝，∴勾股定理得NE＝．20．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2＝OG•OA，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．。

专题24.1圆的有关性质（测试）一、单选题1．下列各角中，是圆心角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】顶点在圆心，两边和圆相交的角是圆心角，选项D 中，是圆心角， 故选D ．2．一个周长是l 的半圆，它的半径是（ ） A ．l π÷ B ．2l π÷C ．()2l π÷+D ．()1l π÷+【答案】C 【解析】半圆的周长为半径的π倍加上半径的2倍，所以一个周长是l 的半圆，它的半径是()2l π÷+，所以选C. 3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．4.8【答案】C【解析】∵AB 为直径， ∴90ACB ︒∠=，∴6BC =， ∵OD AC ⊥， ∴142CD AD AC ===，故选C ． 4．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】解：如图，∵30ADC ∠=︒， ∴260AOC ADC ∠=∠=︒． ∵AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，∴AC BC =．∴60AOC BOC ∠=∠=︒． 故选：D ．.5．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）台．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】设需要安装n （n 是正整数）台同样的监控器，由题意，得：65°×2×n ≥360°， 解得n ≥3613，∴至少要安装3台这样的监控器，才能监控整个展厅．故选：A ．且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A 【解析】解：OC AB ⊥，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+， 设半径为r 得：()2221020r r =-+， 解得：25r m =，∴这段弯路的半径为25m故选：A ．7．若AB 和CD 的度数相等，则下列命题中正确的是（ ） A ．AB =CDB ．AB 和CD 的长度相等C ．AB 所对的弦和CD 所对的弦相等D ．AB 所对的圆心角与CD 所对的圆心角相等 【答案】D【解析】如图，AB 与CD 的度数相等，A 、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误；B 、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误；C 、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误；D 、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确；8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD=CD=BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD ＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】∵C、D为半圆上三等分点，∴»»»AD CD BC==，故①正确，∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．9．下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误；面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确；能完全重合的弧是等弧，所以③错误；经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确；经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误．10．如图所示，AB 是半圆O 的直径。

人教版数学九年级2020年中考同步训练：《圆的选择题》1．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8 C．D．22．如图，已知圆O的圆心在原点，半径OA＝1（单位圆），设∠AOP＝∠α，其始边OA与x 轴重合，终边与圆O交于点P，设P点的坐标P（x，y），圆O的切线AT交OP于点T，且AT＝m，则下列结论中错误的是（）A．sinα＝y B．cosα＝xC．tanα＝m D．x与y成反比例3．如图，Rt△ABC的斜边BC＝4，∠ABC＝30°，以AB、AC为直径分别作圆．则这两圆的公共部分面积为（）A．+B．﹣C．﹣D．﹣4．如图，在圆O上依次有A．B，C三点，BO的延长线交圆O于E，＝，点C作CD ∥AB交BE的延长线于D，AD交圆O于点F，连接OA，OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝2，劣弧CF的长是（）A．πB．πC．πD．π5．如图，正方形ABCD中，⊙O过点A，B交边AD于点E，连结CE交⊙O于点F，连结AF，若tan∠AFE＝，则的值为（）A．1 B．C．D．6．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（）A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）7．如图，在圆内接五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD＝DE，且∠D＝100°，连接AC和EC．则∠ACE的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．48°8．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（）A．22°B．24°C．27°D．30°9．如图，在平面直角坐标系中．点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，四边形OCDB是平行四边形．则点C的坐标为（）A．（1，7）B．（2，6）C．（2，7）D．（1，6）10．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：①AD2+BC2＝4；②sin∠DAC＝；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．其中确的是（）A．①②③B．②③④C．③④D．②④11．如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP．量角器从点A 与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（）A．π+B．πC．π+2D．312．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC．直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连结CF，若AD＝6．则CF的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．313．如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠BAC＝66°，则∠ABD的度数是（）A．66°B．44°C．46°D．48°14．如图，半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，连接OA交BC于点H，连接OB，AB．若∠D+∠E＝240°，HC＝3BH，则△ABO的面积为（）A．3B．C．D．215．如图，点A，B，C是⊙O上三点，AC＝BC，点M为⊙O上一点，CE⊥AM，垂足为点E，AE＝2，BM＝，CM＝，则的长为（）A．πB．πC．πD．π16．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（）A．∠PBA＝40°B．PC＝PBC．PM＝MB D．⊙P与△ABC有4个公共点17．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于D、E两点，则的长是（）A．πB．πC．πD．318．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A．18﹣3πB．18﹣πC．32﹣16πD．18﹣9π19．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（）A．πB．πC．πD．π20．如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（）A．4 B．C．D．参考答案1．解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．2．解：如图，过点P作PH⊥OA于H，由题意知，OA＝OP＝1，OH＝x，PH＝y，由切线的性质定理可知AT⊥OA，在Rt△POH中，∠AOP＝∠α，∴sinα＝＝＝y，cosα＝＝＝x，故A，B正确；在Rt△TOA中，tanα＝＝＝m，故C正确，在Rt△POH中，OH2+PH2＝OP2，∴x2+y2＝1，故D错误；故选：D．3．解：如图，设点E是两圆的公共点，连接AE，取AC，AB的中点G，H．在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝4，∴AC＝2，AB＝2，∠C＝60°，∴∠AHE＝60°，∠AGE＝120°，∴S阴＝S扇形HAE﹣S△AEH+S扇形GEA﹣S△AEG＝﹣×（）2+﹣×1×＝﹣，故选：C．4．解：∵＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴＝，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，解得：x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OF＝AF＝2，∴的长＝＝π，故选：C．5．解：如图，设⊙O交BC于J，连接AJ，JF，EJ，过点F作FM⊥AD于M交BC于N．设AB ＝3a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝CD＝3a，∴AJ是⊙O的直径，∴∠AFJ＝∠AEJ＝90°，∵FM⊥AD，AD∥CB，∴MN⊥BC，∴∠MNC＝∠BCD＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，四边形ABJE是矩形，∴MN＝CD＝3a，AE＝BJ，∴＝，∴∠BAJ＝∠AFE，∴tan∠BAJ＝tan∠AFE＝，∴BJ＝AE＝a，JC＝2a，∵∠JAF＝∠JEC，∴tan∠JAF＝tan∠JEC，∴＝＝，∵∠AFM+∠JFN＝90°，∠JFN+∠FJN＝90°，∴∠AFM＝∠FJN，∵∠AMF＝∠FNJ＝90°，∴△AMF∽△FNJ，∴＝＝＝，设JN＝2x，则FM＝3x，∵AM＝AE+EM＝a+2x，∴FN＝AM＝（a+2x），∵FM+FN＝3a，∴3x+（a+2x）＝3a，∴9x+2a+4x＝9a，∴x＝a，∴CN＝2a﹣2x＝2a﹣a＝a，∵EM∥CN，∴＝＝＝，故选：B．6．解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，∴OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝，∴B（，），∴C（﹣，），E（﹣，﹣），∵正六边形的边长＝1，∴正六边形的周长＝6，∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此下去，∵2020÷3＝673…1，∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．故选：A．7．解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝（180°﹣100°）＝40°，∵BC＝CD，∴＝，∴∠BAC＝∠CED＝40°，∵∠EAC+∠EDC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣100°＝80°，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝120°，∴∠ECB＝180°﹣∠EAB＝60°，∵AE＝AB，∴＝，∴∠ACE＝∠ACB＝∠ECB＝30°，故选：A．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣78°）＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝51°，∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，故选：C．9．解：如图，连接OD，AD，DM，作DF⊥OA于F．∵A（20，0），B（16，0），∴OA＝20，OB＝16，∴AB＝20﹣16＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB＝16，OC＝BD，∴∠CDO＝∠DOA，∴＝，∴OC＝AD＝BD，∵DF⊥BA，∴BF＝FA＝2，∴OF＝18，∴在Rt△DMF中．DF＝＝＝6，∴D（18，6），C（2，6），故选：B．10．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BD2＝AB2＝4，∵AC＞AD，∴AD2+BC2＜4，故①错误，∵∠DAC＝∠CBD，∴sin∠DAC＝sin∠CBD＝，故②正确，∵AE⊥OE，假设DE＝EO，则AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，显然不符合题意，故③错误，∵∠DEP＝∠BCP＝90°，DP＝PB，∠DPE＝∠BPC，∴△PDE≌△PBC（AAS），∴DE＝BC，∵OE∥BC，AO＝OB，∴AE＝EC，∴BC＝2OE，∴DE＝2OE，故④正确．故选：D．11．解：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形，点P在第四象限内时，∠AOB是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP＝30°，点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP＝60°，所以点P的运动路径是一条线段，当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为：+2××22＝π+2，故选：C．12．解：∵F是AE的中点，∴设AF＝EF＝x，则AE＝2x，∴DE＝6﹣2x，∵AB＝AC，∴＝，∵AD为⊙O的直径，∴BC⊥AD，∠ABD＝90°∴BE＝CE，∠ABE+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠ABE＝∠D，∵∠AEB＝∠DEB＝90°，∴△ABE∽△BDE，∴，∴BE2＝AE•DE＝2x（6﹣x），∴CE2＝2x（6﹣x），在Rt△CEF中，CF2＝EF2+CE2＝x2+2x（6﹣x）＝﹣3（x﹣2）2+36，∴当x＝2时，CF的最大值为6，故选：A．13．解：∵将沿BC翻折，交AC与点D，∴∠BAC+∠BDC＝180°，∵∠BAC＝66°，∴∠BDC＝114°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝66°，∴∠ABD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，故选：D．14．解：连接OC，过点C，B分别作AO的垂线，垂足分别为M，N，∵半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∵∠AOC+∠OCD+∠D+∠E+∠OAE＝540°，∠D+∠E＝240°，∴∠AOC＝120°，∴∠MOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∵OC＝3，∴，∵CM⊥AO，BN⊥AO，∴CM∥BN，∴△HCM∽△HBN，∴，∴，∴，故选：C．15．解：在AE上截取AG＝BM，连接CG，∵AC＝BC，∠A＝∠B，∴△ACG≌△BCM（SAS），∴CG＝CM＝，∵AE＝2，AG＝BM＝，∴GE＝，∵CE⊥AM，∴CE＝＝＝2，∴tan∠A＝＝，∴∠A＝30°，∴∠COM＝60°，连接OM，CO，∵OC＝OM，∴△COM是等边三角形，∴OC＝，∴的长＝＝，故选：A．16．解：∵∠C＝40°，∠A＝60°，∴∠ABC＝80°，由题意得，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝ABC＝40°，故选项A正确；∵∠PBC＝∠PBA＝ABC＝40°，∴∠C＝∠PBC，∴PC＝PB，故选项B正确；∵PM⊥AB，∴∠BMP＝90°，∴∠BPM＝50°，∴∠BPM≠∠MBP，∴PM≠BM，故C选项错误；∵点P在∠ABC的角平分线上，∴P到AB和BC的距离＝PM＝⊙P的半径，∴AB，BC与⊙P相切，∵PA＞PM，PC＞PM，∴⊙P与AC相交，∴⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确，故选：C．17．解：连接OA，OE，OD，∵AB、AC与⊙O相切于D、E两点，∴∠OEC＝∠ODB＝∠AEO＝∠ADO＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠DOE＝120°，∵点O为BC的中点，∴OB＝OC，∵OE＝OD，∴Rt△OEC≌RtODB（HL），∴∠C＝∠B，∴AC＝AB＝4，AO⊥BC，∴∠CAO＝，∴AO＝AC＝2，∴OE＝AO＝，∴的长是＝π，故选：C．18．解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB＝8，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF＝AD•sin60°＝8×＝4，∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEG的面积＝8×4﹣＝32﹣16π．故选：C．19．解：连接EB，BH，AB，∵BE＝AB＝＝，AE＝＝，∴BE2+AB2＝AE2，∴∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠AHB＝90°，∴BH⊥AH，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴弧AH所对的圆心角为90°，∴的长＝＝．故选：B．20．解：如图，连接OA、OD，∵∠C＝45°．∴∠AOD＝2∠C＝90°．又∵OA＝OD，AD＝4，∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝2．又∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°．∵∠B＝30°，OA＝2，∴AB＝OA＝2．故选：D．。

word版初中数学第二十四章《圆》专题练习目录专题1 与圆周角有关的辅助线作法 (1)专题2圆周角定理 (3)专题3 证明切线的两种常用方法 (4)专题4与切线长有关的教材变式 (5)专题5与圆的切线有关的计算与证明 (6)专题6 求阴影部分的面积 (8)专题1 与圆周角有关的辅助线作法类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角1．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B 是AC ︵的中点，则∠D 的度数是( )A ．70°B ．55°C ．35.5°D ．35°2．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上的四点，∠BAC ＝50°，BD 是直径，则∠DBC 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．20°D ．35°3．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°4．如图，A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝40°，点D 在ACB ︵上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°类型2 利用直径构造直角三角形5．如图，在⊙O 中，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数为 ．6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，AB ＝6，则BD ＝ ．7．如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于 ．8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于点D ，AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的半径为 ．类型3 构造圆内接四边形9．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是()A．50° B．60°C．80° D．100°10．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，⊙O的直径AB＝2 3.若∠ACD＝120°，则线段AD的长为．专题2 圆周角定理1．如图，四边形APBC 是圆内接四边形，延长BP 至E ，若∠EPA ＝∠CPA ，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°. (1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.3．如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°.(1)求证：BD 是该圆的直径； (2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.专题3 证明切线的两种常用方法类型1 直线与圆有交点：连半径，证垂直 (一)借助角度转换证垂直1．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，AB 与CD 交于点E ，点P 是CD 延长线上的一点，AP ＝AC ，且∠B ＝2∠P.求证：PA 是⊙O 的切线．(二)利用平行证垂直2．如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且点C 为BF ︵的中点，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D.求证：CD 是⊙O 的切线．(三)利用全等证垂直3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC.求证： (1)DE ︵＝BE ︵； (2)CD 是⊙O 的切线．(四)利用勾股定理的逆定理证垂直4．(南充中考改编)如图，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，PB ＝2，PC ＝4.求证：PC 是⊙O 的切线．类型2 不确定直线与圆是否有交点：作垂直，证半径5．如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ，OB 与⊙O 相交于点E.求证：AC 是⊙O 的切线．专题4 与切线长有关的教材变式1．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，若∠BOC ＝90°，求证：AB ∥CD.2．如图，⊙O的直径AB＝12 cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C 两点．设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式．3．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，则⊙O 的半径为．4．如图，△ABC的周长为18，其内切圆⊙O分别切三边于D，E，F三点，AF＝3，FC＝4，则BE＝．5．已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为()A.32B.32C. 3 D．2 3专题5 与圆的切线有关的计算与证明1．如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC ︵上不与点A ，点C 重合的一个动点，连接AD ，CD.若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°2．如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，AB ＝3，则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( )A.3＋12 B.3－32 C.3＋13 D.3－333．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是( )A.52B. 5C.52D ．2 24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 并延长至点F ，使得BD ＝DF ，连接CF ，BE.求证： (1)DB ＝DE ；(2)直线CF 为⊙O 的切线．5．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.(1)求证：四边形ACBP是菱形；(2)若⊙O 的半径为1，求菱形ACBP 的面积．7．如图，⊙O 是边长为6的等边△ABC 的外接圆，点D 为BC ︵的中点，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AC 的延长线于点E ，连接AD ，CD.(1)DE 与⊙O 的位置关系是相切； (2)求△ADC 的内切圆半径r.专题6 求阴影部分的面积类型1 直接利用公式求面积1．如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( ) A.π2 m 2 B.32π m 2 C ．π m 2 D ．2π m 2类型2 利用和差法求面积2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D.若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是( )A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π3．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( )A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－44．如图，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )A.32π B ．3π C.72π D ．2π5．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是( )A.2π3 B ．23－π3 C ．23－2π3 D ．43－2π36．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是( )A ．18＋36πB ．24＋18πC ．18＋18πD ．12＋18π7．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为 ．8．如图，在Rt △ABC ，∠B ＝90°，∠C ＝30°，O 为AC 上一点，OA ＝2，以O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE ，OF ，则图中阴影部分的面积是 ．类型3 利用等积转化法求面积9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( )A ．2πB ．Π C.π3 D.2π310．如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积()A．不变 B．由大变小C．由小变大 D．先由小变大，后由大变小11．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为()A．5π cm2 B．10π cm2 C．15π cm2 D．20π cm212．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD ＝6，EF＝8.则图中阴影部分的面积是()A.252π B．10π C．24＋4π D．24＋5π13．如图，在△ACB中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为．参考答案：专题1 与圆周角有关的辅助线作法1．D2．A3．D4．D5．110°__．67．1．829．D11．3．专题2 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用1．解：△ABC是等腰三角形，理由：∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠EPA＝∠ACB.∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．2．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形．(2)连接OB ，OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4.3．证明：(1)∵∠ACB ＝∠ADB ＝45°， ∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝90°. ∴BD 是该圆的直径．(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA. ∵∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD.∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS )． ∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△CAE是等腰直角三角形．∴2AC＝CE.∴2AC＝DE＋CD＝BC＋CD.专题3 证明切线的两种常用方法1．证明：连接OA，AD.∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC.∴∠ADC＝2∠P.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP.∴∠ADC＝2∠ACP.∵CD为直径，∴∠DAC＝90°.∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°.∴△ADO为等边三角形．∴∠AOP＝60°.而∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°.∴OA⊥PA.又∵AO为⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．2．证明：连接OC，∵CF ︵＝CB ︵，OA ＝OC ， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝∠ACO. ∴AD ∥OC. ∵CD ⊥AF 于点D ， ∴∠DCO ＝90°. 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 为⊙O 的切线． 3．证明：(1)连接OD. ∵AD ∥OC ，∴∠DAO ＝∠COB ，∠ADO ＝∠DOC. 又∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO. ∴∠COB ＝∠COD. ∴DE ︵＝BE ︵.(2)由(1)知∠DOE ＝∠BOE ， 在△COD 和△COB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠DOC ＝∠BOC ，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB (SAS )． ∴∠CDO ＝∠B.又∵BC ⊥AB ，∴∠CDO ＝∠B ＝90°.∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．4．证明：连接OC.∵⊙O的半径为3，∴OC＝OB＝3.又∵BP＝2，∴OP＝5.在△OCP中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2，∴△OCP为直角三角形，∠OCP＝90°.∴OC⊥PC.∵C是⊙O上一点，∴PC为⊙O的切线．5．证明：连接OA，OD，作OF⊥AC于点F，垂足为F. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.而OF⊥AC，∴OF＝OD.∴AC是⊙O的切线．专题4 与切线长有关的教材变式1．证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线．∴∠OBE＝∠OBF.同理可得∠OCB＝∠OCG.∴∠OBE＋∠OCG＝90°.∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD.2．解：过点D作DF⊥BC于点F.∵AD，BC分别是⊙O的切线，∴∠OAD＝∠OBF＝90°.又∵DF⊥BC，∴四边形ABFD为矩形．∴DF＝AB＝12 cm，BF＝AD.∵AD，BC，DC分别为⊙O的切线，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y.∴DC＝x＋y，CF＝y－x.在Rt △DCF 中，由勾股定理，得DC 2＝CF 2＋DF 2，即(x ＋y )2＝(y －x )2＋122，整理，得xy ＝36.∴y ＝36x. ∴y 关于x 的函数解析式y ＝36x(x>0)． 3．2．4．2．5．C专题5 与圆的切线有关的计算与证明1．C2．B3．B4．证明：(1)∵E 为△ABC 的内心，∴∠DAC ＝∠DAB ，∠CBE ＝∠EBA.又∵∠DBC ＝∠DAC ，∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠EAB ＋∠EBA ，∴∠DBE ＝∠DEB.∴DB ＝DE.(2)连接OD.∵BD ＝DF ，O 是BC 的中点，∴OD ∥CF.又∵BC 为⊙O 的直径，OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠DBO ＝∠DAC ＝45°.∴∠OCF ＝∠BOD ＝90°.∴OC ⊥CF.又∵OC 为⊙O 的半径，∴直线CF 为⊙O 的切线．5．解：(1)证明：过点O 作OD ⊥PB ，连接OC.∵AP 与⊙O 相切，∴OC ⊥AP.又∵OP 平分∠APB ，∴OD ＝OC.∴PB 是⊙O 的切线．(2)过点C 作CF ⊥PE 于点F.在Rt △OCP 中，OP ＝OC2＋CP2＝5.∵S △OCP ＝12OC ·CP ＝12OP ·CF ，∴CF ＝125. 在Rt △COF 中，OF ＝CO2－CF2＝95. ∴FE ＝3＋95＝245.在Rt △CFE 中，CE ＝CF2＋EF2＝1255. 6.解：(1)证明：连接AO ，BO.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°. ∴∠AOP ＝60°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA.∴∠AOP ＝∠CAO ＋∠ACO.∴∠ACO ＝30°.∴∠ACO ＝∠APO.∴AC ＝AP.同理BC ＝PB ，∴AC ＝BC ＝BP ＝AP.∴四边形ACBP 是菱形．(2)连接AB 交PC 于点D ，则AD ⊥PC.在Rt △AOD 中，∠AOD ＝60°，∴∠OAD ＝30°.∴OD ＝12OA ＝12. ∴AD ＝OA2－OD2＝12－（12）2＝32.∴PA ＝2AD ＝3，AB ＝2AD ＝ 3.∴OP ＝OA2＋PA2＝2，PC ＝OP ＋OC ＝2＋1＝3.∴菱形ACBP 的面积为12AB ·PC ＝332. 7．解：∵D 为BC ︵的中点，∴BD ︵＝DC ︵.∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°.又∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC.∴AD 为⊙O 的直径．∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，设DC ＝x ，则AD ＝2x.由勾股定理，得AD 2＝DC 2＋AC 2，即(2x )2＝x 2＋62.解得x ＝2 3.∴DC ＝23，AD ＝4 3.作Rt △ADC 的内切圆⊙O ′，分别切AD ，AC ，DC 于点F ，G ，H ，易知CG ＝CH ＝r ， ∴AG ＝AF ＝6－r ，DH ＝DF ＝23－r.∵AF ＋DF ＝AD ，∴6－r ＋23－r ＝4 3.∴r ＝3－ 3.专题6 求阴影部分的面积1．A2．A3．A4．C5．C6．C73823 9．D10．A11．B12．A13．94π．。

2020年九年级数学中考第二轮专题训练圆1、已知：如图，⊙O的直径A B与弦C D相交于E，＝，⊙O的切线B F与弦A D的延长线相交于点F．（1）求证：C D∥B F．（2）连接B C，若⊙O 的半径为4，cos∠BCD ＝，求线段A D、C D的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断D E与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cos B＝，求D E的长．3、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以A B为直径作⊙O，点D 为⊙O上一点，且C D＝C B，连接D O并延长交C B的延长线于点E．（1）判断直线C D与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及A C的长．4、如图，BC 是⊙O的直径，CE 是⊙O的弦，过点E 作⊙O 的切线，交C B的延长线于点G，过点B作B F⊥G E于点F，交C E的延长线于点A．（1）求证：∠ABG＝2∠C；（2）若G F＝33，GB＝6，求⊙O的半径．5、如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是C D延长线上的点，且A P＝A C．（1）求证：A P是⊙O的切线；（2）若A C＝3，求P D 的长．6、如图，在矩形A B C D中，CD＝2，AD ＝4，点P在B C上，将△A B P沿A P折叠，点B 恰好落在对角线A C上的E点，O为A C上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC 是⊙O的切线；（2）在边C B上截取C F＝C E，点F是线段B C的黄金分割点吗？请说明理由．7、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，点O在A B上，以O为圆心，O A 长为半径的圆与A C，A B分别交于点D，E，且∠CB D＝∠A．（1）判断直线B D与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若B C＝2，B D＝，求的值．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．9、如图，在△A B C中，A B＝A C，以A B为直径的⊙O分别交B C、A C于点D、E，连接E B交O D于点F．（1）求证：O D⊥B E；（2）若D E＝，A B＝，求A E的长．10、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线D F是⊙O的切线；（2）求证：B C2＝4C F•A C；（3）若⊙O的半径为 4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．11、如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为O D延长线上一点，且∠C A E＝2∠C，AC 与B D交于点H，与O E交于点F．（1）求证：AE 是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tan C＝，求直径A B的长．12、已知Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以A B为直径作⊙O交A C于点D，连接B D．（1）如图 1，若BD ：CD ＝3：4，AD ＝3，求⊙O的直径A B的长；（2）如图 2，若E是B C的中点，连接E D，请你判断直线E D与⊙O的位置关系，并证明你的结论．13、如图，△A B C内接于⊙O，A B为直径，作O D⊥A B交A C于点D，延长B C，O D交于点F，过点C作⊙O的切线C E，交O F于点E．（1）求证：E C＝E D；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦A C的长．14、以坐标原点为圆心，1 为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过 1 秒后点P运动到点（2，0），此时P Q 恰好是⊙O的切线，连接O Q．求∠Q O P的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q 再经过 5 秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．15、如图，已知半径为 1 的⊙O1 与x轴交于A，B两点，O M 为⊙O1 的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y＝﹣x2+b x+c的图象经过A，B两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线O M的函数解析式；（3）线段O M 上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△O O1M 相似．请问有几个符合条件的点P 并分别求出它们的坐标．16、（1）方法选择如图①，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D，A B＝B C＝A C．求证：B D＝A D+C D．小颖认为可用截长法证明：在D B上截取D M＝A D，连接A M…小军认为可用补短法证明：延长C D至点N，使得D N＝A D…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究 1】如图②，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D，B C是⊙O的直径，A B＝A C．试用等式表示线段A D，B D，C D之间的数量关系，井证明你的结论．【探究 2】如图③，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D．若B C是⊙O的直径，∠ABC ＝30°，则线段A D，B D，C D之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D．若B C是⊙O的直径，B C：A C：A B＝a：b：c，则线段A D，B D，C D之间的等量关系式是．17、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以B C上一点O为圆心作圆与A B相切于点D，与B C分别交于点F、N，连接D F并延长交A C的延长线点E．（1）求证：A E＝A D；（2）过点D作D H⊥B C于点B，连接A F并延长交⊙O于点G，连接D G，若D O平分∠G D H．求证：∠A F D＝2∠D F N；（3）在（2）的条件下，延长D G交A E的延长线于点P，连接P F并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH ＝9，求O H的长．参考答案1、（1）证明：∵直径A B平分，∴AB⊥CD．∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴A B⊥B F．∴C D∥B F．（2）解：连接BD，BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在Rt△ADB中，∵cos∠BAF＝c os∠BCD＝，AB＝4×2＝8．∴AD＝AB •c o s∠BAF＝8×＝6．∵AB⊥CD于E，在Rt△AED中，c os∠BAF＝c os∠BCD＝，sin∠BAF＝．∴DE＝AD •s i n∠BAF＝6×．∵直径A B平分，∴C D＝2D E＝3．2、解：（1）答：D E是⊙O的切线．证明：连接O D，A D，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即A D⊥B C，∵O D＝O A，∴∠O D A＝∠O A D，∴∠O A D＝∠C A D，∴∠O D A＝∠C A D，又∵D E⊥A C，∴∠EDA+∠CAD＝90°，∴∠EDA+∠ODA＝90°，即：O D⊥D E，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，∵cos∠B＝＝，AB＝9，∴B D＝C D＝3，在Rt△CDE中，∵cos∠C＝，∴CE＝CD•cos∠C＝3•cos∠B＝3×＝1，∴D E＝＝2．3、（1）证明：连接O C．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△O C B≌△O C D（S S S），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△O B E中，∵O E2＝E B2+O B2，∴（4﹣r）2＝r2+22，∴r＝1.5，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，A C＝＝＝3．∴圆的半径为1.5，AC 的长为3．4、（1）证明：连接O E，∵EG是⊙O的切线，∴O E⊥E G，∵B F⊥G E，∴O E∥A B，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠O E C＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C，∴∠ABG＝2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝6，∴B F＝＝3，∵BF∥OE，∴△B G F∽△O G E，∴＝，∴＝，∴OE＝6，∴⊙O的半径为 6．5、解：（1）证明：连接O A，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°，∴∠AOP＝60°，又∵A P＝A C，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°，即O A⊥A P，∵点A在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接A D，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝AC∙tan30°＝，C D＝2A D＝2，∴D O＝A O＝C D＝，在Rt△P A O中，由勾股定理得：P A2+A O2＝P O2，∴32+（）2＝（P D+）2，∵PD的值为正数，∴P D＝．6、解：（1）连接O P，则∠P A O＝∠A P O，而△A E P是由△A B P沿A P折叠而得：故A E＝A B＝4，∠O A P＝∠P A B，∴∠BAP＝∠OPA，∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）C F＝C E＝A C﹣A E＝﹣4＝2﹣2，＝，故：点F是线段B C的黄金分割点． 7、解：（1）直线B D与⊙O相切．证明：如图 1，连接O D．∵OA＝OD，∴∠A＝∠A D O．∵∠C＝90°，∴∠CBD +∠CDB＝90°．又∵∠C B D＝∠A，∴∠ADO+∠CDB＝90°．∴∠ODB＝90°．∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图 1，连接DE．∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°．∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∵AE＝2AO，∴＝．解法二：如图 2，过点O作OH⊥AD于点H．∴．∴∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∴＝．8、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵A O＝B O，∴A D＝B D，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．9、证明：（1）连接A D．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵A B＝A C，∴D C＝D B．∵O A＝O B，∴O D∥A C．∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE．（2）设AE＝x，∵OD⊥BE，∴可得OD是BE的中垂线，∴DE＝DB，∴∠1＝∠2，∴B D＝E D＝，∵O D⊥E B，∴F E＝F B．∴O F＝A E＝，D F＝O D﹣O F＝．在Rt△DFB 中，；在Rt△OFB 中，；∴＝．解得，即．10、解：（1）如图所示，连接O D，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接A D，则A D⊥B C，则A B＝A C，则D B＝D C＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠D F C＝∠A D C＝90°，∴△C F D∽△C D A，∴C D2＝C F•A C，即B C2＝4C F•A C；（3）连接O E，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△O A E＝A E×O E sin∠O E A＝×2×O E×cos∠O E A×O E sin∠O E A＝4，S ＝﹣S ＝×π×42﹣4 ＝﹣4 ．阴影部分S扇形OAE △OAE11、解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠O D B，∴∠O D B＝∠C，∴tan C＝tan∠ODB＝＝，∴设HF＝3x，DF＝4x，∴DH＝5x＝9，∴x＝，∴D F＝，H F＝，∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，∴△D F H∽△C F D，∴＝，∴C F＝＝，∴A F＝C F＝，设O A＝O D＝x，∴O F＝x﹣，∵A F2+O F2＝O A2，∴（）2+（x﹣）2＝x2，解得：x＝10，∴OA＝10，∴直径AB的长为 20．12、解：（1）如图，∵A B是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．则∠CDB＝∠ADB＝90°．∴∠C+∠CBD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°．∴∠C＝∠A B D．∴△A D B∽△B D C．∴．∵BD：CD＝3：4，AD＝3，∴BD＝4．在Rt△A B D中，A B＝；（3 分）（2）直线E D与⊙O相切．证明：如图，连接O D．由（1）得∠BDC＝90°．∵E是BC的中点，∴D E＝B E＝B C，∴∠E D B＝∠E B D，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠EBD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝∠ODE＝90°．∵点D在⊙O上，且OD⊥DE∴ED是⊙O的切线．（5 分）13、（1）证明：连接O C，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE +∠ECF＝90°，∵∠CDE +∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴E C＝E F，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴O E＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，A D＝＝2，在Rt△AOD 和Rt△ACB 中，∵∠A＝∠A，∠A C B＝∠A O D，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∵∴O C ＝ ＝ ．． ∴A C ＝ ．14、解：（1）如图一，连接A Q ．由题意可知：O Q ＝O A ＝1．∵OP ＝2，∴A 为 OP 的中点．∵PQ 与⊙O 相切于点 Q ，∴△O Q P 为直角三角形．∴．即△OAQ 为等边三角形．∴∠QOP ＝60°．（2）由（1）可知点 Q 运动 1 秒时经过的弧长所对的圆心角为 30°，若 Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过 5 秒，则 Q 点落在⊙O 与 y 轴负半轴的交点处（如图二）．设 直线 P Q 与⊙O 的另外一个交点为 D ，过 O 作 OC ⊥QD 于点 C ，则 C 为 QD 的中点．∵∠QOP ＝90°，OQ ＝1，OP ＝2，∴Q P ＝． ， ∵O C ⊥Q D ，O Q ＝1，O C ＝ ，∴Q C ＝＝ ．∴QD ＝15、解：（1）∵圆心的坐标为O1（2，0），⊙O1 半径为 1，∴A（1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+b x+c的图象经过点A，B，∴可得方程组，解得：，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．（2）过点M作M F⊥X轴，垂足为F．∵O M是⊙O1 的切线，M为切点，∴O1M⊥O M（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在R T△O O1M中，sin∠O1O M＝＝，∵∠O1O M为锐角，∴∠O1O M＝30°，∴O M＝O O1•cos30°＝，在R T△M O F中，OF＝OM •cos30°＝．MF＝O M sin30°＝．∴点M坐标为（），设切线O M的函数解析式为y＝k x（k≠0），由题意可知＝k，∴k＝，∴切线O M的函数解析式为y＝x（3）两个，①过点A作A P1⊥x轴，与O M交于点P1，可得 Rt△A P1O∽Rt△M O1O（两角对应相等两三角形相似），P1A＝O A•tan∠A O P1＝，∴P1（1，）；②过点A作A P2⊥O M，垂足为，过P2 点作P2 H⊥O A，垂足为H．可得 Rt△O P2A∽Rt△O1 M O（两角对应相等两三角形相似），在Rt△O P2A中，∵OA＝1，∴P2＝O A•cos30°＝，在Rt△O P2 H中，O H＝O P2•cos∠A O P2＝，P2H＝O P2 •sin∠A O P2＝，P2（，），∴符合条件的P点坐标有（1，），（，）．16、解：（1）方法选择：∵A B＝B C＝A C，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△A B M≌△A C D（A A S），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作A M⊥A D交B D于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴D M＝A D，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△A B M≌△A C D（A A S），∴BM＝CD，∴B D＝B M+D M＝C D+A D；【探究 2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过A作A M⊥A D交B D于M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴B M＝C D，∴B D＝B M+D M＝C D+2A D；故答案为：B D＝C D+2A D；（3）拓展猜想：B D＝B M+D M＝C D+A D；理由：如图④，∵若B C是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过A作AM⊥AD交BD于M，∴∠MAD＝90°，∴∠B A M＝∠D A C，∴△A B M∽△A C D，∴＝，∴B M＝C D，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB，∴＝＝，∴D M＝A D，∴B D＝B M+D M＝C D+A D．故答案为：B D＝C D+A D17、解：（1）证明：∵∠A C B＝90°∴∠E+∠CFE＝∠ACB＝90°∵∠CFE＝∠OFD∴∠E+∠OFD＝90°∵AB切⊙O于D∴OD⊥AB∴∠ODF+∠ADE＝90°∵OD＝OF∴∠OFD＝∠ODF∴∠E＝∠ADE∴AE＝AD（2）证明：连接D N∵DO平分∠GDH∴设∠ODG＝∠ODH＝α，设∠FDG＝β，则∠FDH＝2α+β∵OF＝OD∴∠DFN＝∠ODF＝α+β∵DH⊥FN∴∠DHF＝90°∴∠DFN+∠FDH＝90°，即α+β+2α+β＝3α+2β＝90°∵FN为⊙O直径∴∠FDN＝90°∴∠DNF＝90°﹣∠DFN＝90°﹣（2α+β）＝3α+2β﹣（α+β）＝2α+β∴∠G＝∠DNF＝2α+β∵∠AFD＝∠G+∠FDG＝2α+β+β＝2α+2β∴∠AFD＝2∠DFN（3）过O作O Q∥A B交F M于点Q∵∠AEF+∠EFC＝90°，∠DFN+∠FDH＝90°，∠EFC＝∠DFN∴∠AEF＝∠FDH＝2α+β∴∠ADE＝∠AEF＝2α+β∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝2（3α+2β）﹣（2α+2β）﹣（2α+β）＝2α+β 即∠F A D＝∠A D F∴AF＝DF∴F在AD的垂直平分线上∵∠AEF＝∠FGD＝2α+β，∠AFE＝∠DFG∴∠EAF＝∠FDG＝β∴∠PAD＝∠PDA＝β+（2α+β）＝2α+2β∴PA＝PD∴P在A D的垂直平分线上即P M垂直平分A D∴OQ⊥FM∴∠OQF＝90°，FQ＝F M＝∵OQ∥AB∴∠FOQ＝∠B∵∠B+∠DOH＝∠DOH+∠ODH＝90°∴∠B＝∠ODH∴∠F O Q＝∠O D H在△F O Q与△O D H中∴△FOQ≌△ODH（AAS）∴OH＝FQ＝。

圆一、单选题1．如图所示，MN 为⊙O 的弦，52N ∠=o ，则MON ∠的度数为（ ）A ．38oB ．52oC ．76oD ．104o2．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠BOC=50°，则∠A 的度数是（ ）A ．25°B ．20°C ．80°D ．100°3．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若50C ∠=︒，则∠AOD 的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒4．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA ＝40°，AB ＝6，则弧BC 的长为（ ）A ．83πB ．103πC ．53πD ．43π5．如果，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，，AB=5，AC 是⊙O 的弦，OH ⊥AC ，垂足为H ，若OH=3，则弦AC 的长为（ ）A．5 B．6 C．8 D．106．如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 是弧AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．258．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．8003πcm2D．150πcm29．下列说法正确的是( )A．等弧所对的圆心角相等B．平分弦的直径垂直于这条弦C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D的大小为（ ）A．50°B．60°C．80°D．120°11．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm12．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．54πC．3+πD．8﹣π二、填空题13．若圆锥的底面积为16π cm2，母线长为12 cm，则它的侧面展开图的圆心角为__________．14．已知扇形的圆心角100°，所对的弧长为53π，则此扇形的面积是_________．15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，AE＝CD，若⊙O的半径为5，则弦CD的长为_____．16．如图，∆ABC 是圆O 的内接三角形，连接OA 、OC ，若∠AOC =∠ABC ，弦AC =则圆O 的半径为__________．17．如图，直线y=-34x-3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是_______．18．如图，菱形ABCD 中，2AB =，60C ∠=°，菱形ABCD 在直线L 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60︒叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为______．（结果保留π）19．如图，四边形ABCD 内接于O e ，若四边形ABCO 是平行四边形，则ADC ∠的大小为_______．20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）三、解答题21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O 经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．22．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：CD是⊙O的切线；e的半径为2，求图中阴影部分的面积.（2）若O23．如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点且AP=AC．（1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）若2AB =+，4BC =，求⊙O 的半径24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是AC 中点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接P A ，PC ，AF ，且满足∠PCA ＝∠ABC ．（1）证明：EF 2＝4OD •OP ；（2）若tan ∠AFP ＝23，求DE BC的值． 25．已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长。

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——高斯人教版九年级数学中考真题分类（解答题）专练：圆的综合（一）1．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．2．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．3．（2020•乐山）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．4．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．5．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．6．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠CAB；（2）若＝，AC＝2，求CD的长．7．（2020•金华）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．（1）求弦AB的长．（2）求的长．8．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，＝，求CD的长．9．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．10．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．参考答案1．（1）证明：连接OD，∵＝＝，∴∠BOD＝180°＝60°，∵＝，∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3．2．（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵∠AGD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠C；（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴＝，∴AC＝9，∴AB＝＝3，∵CE＝2AE，∴AE＝3，CE＝6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC，∴△AHE∽△ABC，∴，∴＝＝，∴AH＝，EH＝2，如图2，连接AF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠FAH＝∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴＝，∴＝，∴FH＝，∴EF＝﹣2．3．证明：（1）如图1，连接AD、BC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ABD，又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，∴DF＝AF，∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∴即点D平分；（2）如图2所示，连接OD、AD，∵点E是线段OA的中点，∴，∴∠AOD＝60°，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝AO＝AH，∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，∴DH是⊙O的切线．4．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．5．（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．6．（1）证明：如图1，连接OC，，∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠1＝∠4．∵OA＝OC，∴∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，即∠CAD＝∠CAB．（2）解：如图2，连接BC，∵＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），∴AD＝4，∴CD＝＝2．7．解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝2×＝，∴AB＝2AC＝2；（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长是：＝．8．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tan A＝＝tan∠BCE＝＝，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝＝，∵AD＝8，∴CD＝4．9．（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．10．解：证法错误；证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC．。

人教版九年级数学中考圆的综合专项练习类型一 与全等结合1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ， ∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°， ∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形， ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 与Rt △CPA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45，求cos ∠BDM 的值．第2题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ， ∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ， 在Rt △OAC 和Rt △ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC，∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，∴AC＝DC；(2)证明：由(1)知，△OAC≌△ODC，∴∠AOC＝∠DOC，∴∠AOD＝2∠AOC，∵∠AOD＝2∠OBD，∴∠AOC＝∠OBD，∴BD∥CM；(3)解：∵BD∥CM，∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，∵OD＝OB＝OM，∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，∵∠DOC＝2∠DMO，∴∠DOC＝2∠BDM，∴∠B＝2∠BDM，如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，第2题解图∴EF ＝AE ，在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE AE ＝EF ， ∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)， ∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，∴点F 在⊙O 上，又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ， ∴∠AOE ＝∠BDM ， 设AE ＝EF ＝y ， ∵sin B ＝45，∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45，∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2， ∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ， ∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2， 解得y ＝32x ，∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ，∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x＝255.3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E . (1)求证：∠1＝∠BCE ； (2)求证：BE 是⊙O 的切线； (3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，∵AB ︵＝BD ︵， ∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB， ∴△ABF ≌△DBE (AAS)， ∴BF ＝BE ， ∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ， ∴∠1＝∠BCE ； (2)证明：如解图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°， ∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ， ∴∠BAC ＝∠EBC ， ∵OA ＝OB ， ∴∠BAC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°， ∴∠EBO ＝90°， 又∵OB 为⊙O 的半径， ∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS)， ∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4， ∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35.类型二 与相似结合4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F .(1)求∠DAF 的度数； (2)求证：AE 2＝EF ·ED ； (3)求证：AD 是⊙O 的切线．第4题图(1)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC ＝36°， ∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝36°，∴∠DAF ＝∠AFB －∠D ＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF ＝∠FBC ＝∠D ，∠AEF ＝∠AED ，∴△EAF ∽△EDA ，∴AE DE ＝EF EA， ∴AE 2＝EF ·ED ；(3)证明：如解图，过点A 作BC 的垂线，G 为垂足，∵AB ＝AC ， ∴AG 垂直平分BC ， ∴AG 过圆心O ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥AG ， ∴AD 是⊙O 的切线．第4题解图5. 如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F .(1)求证：∠CED ＝45°；(2)求证：AE ＝BD ；(3)求AO OF的值．第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°， 又∵CE ⊥DC ，∴∠DCE ＝90°，∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC ，∵D 为BC ︵的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°， 而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°，∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°，∴AE ＝CE ，∵∠ECD ＝90°，∠CED ＝45°，∴CE ＝CD ，又∵CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴AE ＝CE ＝CD ＝BD ，∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，∴AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又∵AB 是直径，则∠ADB ＝90°，∴△AOF ∽△ADB ，∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x＝1＋ 2. 6. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ，连接AD ，作BE ⊥AB ，OE //AD 交BE 于E 点，连接AE 、DE ，AE 交CD 于点F .(1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，sin ∠ADP ＝13，求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系，并加以证明．第6题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵OE ∥AD ，∴∠OAD ＝∠BOE ，∠DOE ＝∠ODA ，∴∠BOE ＝∠DOE ，在△BOE 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE，∴△BOE ≌△DOE (SAS)，∴∠ODE ＝∠OBE ，∵BE ⊥AB ，∴∠OBE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∵AB ⊥CD ，∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADP ，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13， ∵⊙O 的半径为3，∴AB =6，∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ，证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴CD ∥BE ，∴△APF ∽△ABE ，∴PF BE ＝AP AB ，∴PF ＝AP ·BE AB ，在△APD 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE∠PAD ＝∠BOE ，∴△APD ∽△OBE ，∴PD BE ＝AP OB ，∴PD ＝AP ·BE OB ，∵AB ＝2OB ，∴PF ＝12PD ， ∴PF ＝FD .7. 如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，OD ∥AC ，OD 交⊙O 于点E ，且∠CBD ＝∠COD .(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点，求证：四边形OACE 是菱形．(3)如图②，作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G ，求FG FC的值．第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∵OD ∥AC ，∴∠ACO ＝∠COD .∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴FGBD＝AFAB，即FG＝BD·AFAB，∴FC FG ＝AB OB＝2， ∴FG FC ＝12. 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点(不与O 、B 重合)，作EC ⊥OB 交⊙O 于点C ，作直径CD 过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB .(1)求证：AC 平分∠FAB ；(2)求证：BC 2＝CE ·CP ；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度．第8题图(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径，∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAF＝∠OAC，∴AC平分∠FAB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE ∽△CPB ，∴BC PC ＝CE CB， ∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34， 设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.类型三 与全等相似结合9. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝90°，AC 为直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ，连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3，BE ＝92，求CD 的长．第9题图(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ，又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AB＝CD；(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，∴OA⊥AE，即CA⊥AE，∴∠EAB＋∠BAC＝90°，而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA，而∠EBA＝∠ABC，∴△EBA∽△ABC，∴EBAB＝BABC，∴AB2＝BE·BC，由(1)知AB＝CD，∴CD2＝BE·BC；(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，即CD 2＝92BC ①， ∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②， 将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0， 即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③， 将③代入①得，CD ＝332. 10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图 (1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。

人教版初三圆测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 半径为2的圆的面积是多少？A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π2. 圆的周长公式是：A. C = πrB. C = 2πrC. C = 4πrD. C = 8πr3. 若圆的半径是3，圆心角为60°，那么这个弧长是多少？A. πB. 3πC. 6πD. 9π4. 点P到圆心O的距离是5，圆的半径是3，那么点P与圆的位置关系是：A. 在圆上B. 在圆内C. 在圆外D. 无法确定5. 圆的切线与半径垂直，且切点到圆心的距离等于：A. 半径B. 直径C. 周长的一半D. 面积的平方根二、填空题（每题2分，共10分）6. 半径为4的圆的面积是_________。

7. 若圆的周长为12π，那么圆的半径是_________。

8. 圆心角为120°的弧所对的圆心角是_________。

9. 点P到圆心O的距离是2，圆的半径是4，点P与圆的位置关系是_________。

10. 圆的切线与半径垂直，切点到圆心的距离是_________。

三、计算题（每题5分，共20分）11. 已知圆的半径为5，求圆的周长和面积。

12. 已知圆的周长为16π，求圆的半径。

13. 若圆的半径为7，圆心角为45°，求该弧长。

14. 已知点P到圆心O的距离为10，圆的半径为8，求点P与圆的位置关系。

四、解答题（每题10分，共20分）15. 某圆的半径为6，圆心角为30°，求该弧所对的圆心角和弧长。

16. 已知圆的切线在点M处与圆相切，OM=6，半径为4，求切线PM的长度。

五、综合题（15分）17. 某工厂需要在一块半径为10米的圆形场地上安装一个直径为4米的圆形水池，水池的中心与场地的中心重合。

求水池的半径占场地半径的比例，以及水池的面积占整个场地面积的比例。

六、结束语本测试题覆盖了圆的基本概念、公式和计算方法，旨在帮助学生巩固和检验对圆的相关知识的掌握。

圆一、单选题1．CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为点P．若CD＝4，OP＝1，AB的值为（）A．3B．5C．5D．252．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64°B．58°C．72°D．55°3．如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°4．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（）A．3cm B．33cm C．6cm D．66cm2D．34B．3A．2-π24C．2-8D．35．如图，A，B，P是⊙O上三点，若∠P＝110°，则∠AOB的度数为（）A．70°B．110°C．125°D．140°6．如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=23，则线段CD的长是（）A．2B．3C．3237．已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2B．1C．3D．32 8．如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）-πππ-249．如图，⊙O的半径为5△，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（）»»¼②∠MAN=90°；③¼AM=BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=A．3B．5C．32D．610．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC△与ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件错误的是()A．∠ACD＝∠DABC．AD2＝BD·C DB．AD＝DED．CD·A B＝AC·B D11．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN 上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；¼其中正确结论的个数是（）12MF．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=．14．若用一张直径为20cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为_____．15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，OE=3，则⊙O的半径为_______．16．如图，⊙O△是ABC的外接圆，⊙O的直径BD＝8，∠A＝60°，则BC的长度为_____.17．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是_____cm．18．如图，△Rt ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则△Rt MBN的周长为_______．19．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．20．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y=x2-2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标是___________________．三、解答题21．计算：如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC的值．22．如图，已知三角形ABC的边AB是0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E,(1)求证：CB平分∠ACE；(2)若BE=3，CE=4，求O的半径.23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）证明：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的长．24．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的弧EF与BC相切于格点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）直接写出三角形ABC边长AB＝；AC＝；BC＝．（2）求图中由线段EB，BC，CF及弧FE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）25．如图，DC是⊙O的直径，点B在圆上，直线AB交CD延长线于点A，且∠ABD=∠C．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AB=4cm，AD=2cm，求tanA的值和DB的长．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；（3）求证：BC2＝4CE•AB．参考答案1．D2．B3．B4．B5．D6．B7．B8．B9．B10．D11．A12．D13．4314．53cm15．516．4317．518．2r19．825．（1）证明略；（2）tanA=320．(3,1)或(-3,1)或(1,-1)或(-1,-1)21．2 422．（1）证明略；（2）258.23．（1）略；（2）AF＝3．24．（1）210，210，45；（2）20﹣5π6；DB的长为455．24 26．（1）EF与⊙O相切；（2）DE＝5；（3）略。

2020年人教版九年级数学上册专题小练习《圆-证明题专练》1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）2.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求的长．4.已知P是⊙O外的一点,OP=4,OP交⊙O于点A,且A是OP的中点,Q是⊙O上任意一点．（1）如图1,若PQ是⊙O的切线,求∠QOP的大小；（2）如图2,若∠QOP=90°,求PQ被⊙O截得的弦QB的长．5.已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．（1）当BD=3时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．7.如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．8.如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．9.如图，四边形ABCD表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8．E是BC上一点，将△ABE沿折痕AE向上翻折，点B恰好落在CD边上的点F处，⊙O内切于四边形ABEF．求：（1）折痕AE的长；（2）⊙O的半径．10.已知平行四边形ABCD，AB=8，BC=6，O点在边AB上，以OA为半径作⊙O，交AD于E点.(1)如图1，若AB为O直径，恰好AE=4DE，求sinA的值；(2)如图2，若⊙O与CB延长线相切，切点为F点，求⊙O的半径长.11.在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=320,求∠P的大小；（Ⅱ）如图②,D为优弧ADC上一点,且DO的延长线经过AC的中点E,连接DC与AB相交于点P,若∠CAB=160,求∠DPA的大小.12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE（1）证明OE∥AD；（2）①当∠BAC= °时，四边形ODEB是正方形．②当∠BAC= °时，AD=3DE．参考答案1.解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，∴OB=2r，在Rt△ACB中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∵∠B=30°，OD⊥BC，∴OB=2OD，∴AB=3OD，∵AB=2AC=6，∴OD=2，BD=2S△BOD=×OD•BD=3，∴所求图形面积为．2.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．3.【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE．（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°，∵BF是⊙O切线，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°．（3）解：连接OD，∵OA=OD，∠BAC=54°，∴∠AOD=72°，∵AB=6，∴OA=3，∴弧AD的长是=．4.解：（1）如图1，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∵A是OP的中点，∴OP=2OA，在Rt△OPQ中，cos∠QOP==，∴∠QOP=60°；（2）作OD⊥BQ于D，如图2，则QD=BD，∵∠QOP=90°，OP=4，OQ=2，∴PQ=2，∵∠OQD=∠PQO，∴Rt△QOD∽Rt△QPO，∴QD：OQ=OQ：QP，即QD：2=2：2，∴QD=，∴QB=2QD=．5.（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，∴∠ODB=90°，∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AD是∠BAC的平分线；（2）解：连接DF，∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，∴CD=CF=，∴AC=CD=3，∴AF=2，过O作OG⊥AF于G，∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，∴CG=2，OG=CD=，∴OC==．6.（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵DB为直径，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，∴，即，∴DE=；（2）连接OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠DEO+∠DEF=90°，∵△DBE∽△ABC，∴∠A=∠EDB，又∵∠EDO=∠DEO，∴∠AEF=∠A，∴△FAE是等腰三角形；7.（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；（2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线．8.【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∵AD=CD，∴平行四边形FADC是菱形；（2）连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．9.10.解：（1）连接BE，sinA=0.8；（2）r=32/9.11.12.。

人教版 九年级数学 第24章24.1 ---24.4复习题（含答案） 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵；③AM ︵＝BM ︵；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A ，B ，C ，给出三角形ABC ，则这块玻璃镜的圆心是 ( )A .AB ，AC 边上的中线的交点 B .AB ，AC 边上的垂直平分线的交点 C .AB ，AC 边上的高所在直线的交点D .∠BAC 与∠ABC 的角平分线的交点3.如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．80°D ．100°4. 如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A．5B．4C．13D．4.85.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是( )A．20°B．35°C．40°D．55°6. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为() A．3 B．2.5 C．4 D．3.57. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点．若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为()A．60°B．50°C．40°D．20°8. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°9. 如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝8，则OP 的长为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 210. 如图，⊙P与x 轴交于点A(—5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C.若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为( )A.13＋ 3B ．2 2＋ 3C ．4 2D ．2 2＋2二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，AB 为☉O 的直径，点C 在☉O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC=65°，连接AD ，则∠BAD= 度.12. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD __________．13. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.14. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．15. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．16. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．17. 当宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切于点A 时，另一边与⊙O 的两个交点B ，C 处的读数如图所示(单位： cm)，那么该圆的半径为________cm.18. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在⊙O 中，M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ⊥OA 交⊙O 于点C ，DN ⊥OB 交⊙O 于点D .求证：AC ︵＝BD ︵.20. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．(1)尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E (不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)； (2)探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．21. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．22. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 课后训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】D2. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B .3. 【答案】D[解析] 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， 可知∠α＝2∠BCD ＝260°. 而∠α＋∠BOD ＝360°， 所以∠BOD ＝100°.4. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴6BC ===， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，BD ==C ．5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】B[解析] 如图，连接AD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠A 和∠BCD 都是BD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BCD ＝40°，∴∠ABD ＝90°－40°＝50°.故选B.8. 【答案】C9. 【答案】C[解析] 如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接AO.∵OE ⊥AB ，∴AE ＝12AB ＝4.在Rt △OAE 中，OA ＝5，由勾股定理可得OE ＝3，同理得OF ＝3.又∵AB ⊥CD ，∴四边形OEPF 是正方形，∴PE ＝OE ＝ 3.在Rt △OPE 中，由勾股定理可得OP ＝3 2.10. 【答案】B[解析] 如图，连接PA ，PB ，PC ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE⊥OC 于点E.∵∠ACB ＝60°，∴∠APB ＝120°. ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°. ∵A(－5，0)，B(1，0)， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3，∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝2 3. ∵PD ⊥AB ，PE ⊥OC ，∠AOC ＝90°，∴四边形PEOD 是矩形，∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝3－1＝2， ∴CE ＝PC2－PE2＝12－4＝2 2， ∴OC ＝CE ＋OE ＝2 2＋3， ∴点C 的纵坐标为2 2＋ 3. 故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ， ∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ， ∴∠BAD=20°.12. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1．13. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.14. 【答案】52 2 [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DAB ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝3，AB ＝4，∴BD ＝5.又∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝45°，∠CDB ＝∠BAC ＝45°， 从而CD ＝CB ，∴CD ＝52 2.15. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.16. 【答案】52°[解析] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠D ＝180°.∵∠B ＝64°，∴∠D ＝116°.又∵点D 关于AC 的对称点是点E ， ∴∠AEC ＝∠D ＝116°.又∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠BAE ＝52°.17. 【答案】25618. 【答案】58[解析] 方法一：如图①，连接OB.∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB ＝32°，∴∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.又∵∠C ＝12∠AOB(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)， ∴∠C ＝58°.方法二：如图②，过点A 作直径AD ，连接BD ，则∠ABD ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°－32°＝58°(同弧所对的圆周角相等)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明：如图，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON .∵CM ⊥OA ，DN ⊥OB ，∴∠OMC ＝∠OND ＝90°. 在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎨⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND (HL)， ∴∠MOC ＝∠NOD ，∴AC ︵＝BD ︵.20. 【答案】(1)如图所示：(2)OE AC ∥，12OE AC =． 理由如下：∵AD 平分BAC ∠， ∴12BAD BAC ∠=∠， ∵12BAD BOD ∠=∠，∴BOD BAC ∠=∠， ∴OE AC ∥，∵OA OB =，∴OE 为ABC △的中位线， ∴OE AC ∥，12OE AC =．21. 【答案】解：在直线AB 上使QP ＝QO 成立的点P 共有3个． (1)如图①.在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ . 在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠QPO ＝∠OCQ ＋∠AOC ，且∠AOC ＝30°，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，∴3∠OCQ ＝120°， ∴∠OCQ ＝40°. 即∠OCP ＝40°.(2)如图②. ∵QO ＝QP ， ∴∠QPO ＝∠QOP .设∠QPO ＝x ，则∠OQC ＝∠QPO ＋∠QOP ＝2x .又∵OC ＝OQ ， ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ，∴∠AOC ＝∠OPC ＋∠OCP ＝x ＋2x ＝3x . ∵∠AOC ＝30°，∴3x ＝30°，解得x ＝10°， ∴∠OCP ＝2x ＝20°. (3)如图③.∵QO ＝QP ，∴∠QOP ＝∠QPO . ∵OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ .设∠QPO ＝y ，则∠OQC ＝∠OCQ ＝∠QPO ＋∠AOC ＝y ＋30°，∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.22. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是()A．1 B．2 C．3 D．43. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.88. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3二、填空题（本大题共8道小题）9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为.10. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.11. 设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. 如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，要使DE是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.14. 已知l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离是3 cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1 cm ，如果圆O 与直线l 1，l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为________cm.15. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，有下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．18. 如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．19. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)求证：∠CDF＝∠EDC；(3)若DE＝10，DF＝8，求CD的长．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C[解析] 如图，连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，可得点A，B，C所在的圆的圆心为O′(2，0)．只有当∠O′BF＝∠O′BD＋∠DBF＝90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF＝DB＝2，此时点F的坐标为(5，1)．作过点B，F的直线，直线BF经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求．即与点B的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．5. 【答案】B【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠COP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图6. 【答案】C[解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC ＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3， ∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线．又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.7. 【答案】D[解析] 如图，设PQ 的中点为F ，⊙F 与AB 的切点为D ，连接FD ，FC ，CD .∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴∠ACB ＝90°， ∴PQ 为⊙F 的直径．∵⊙F 与AB 相切，∴FD ⊥AB ，FC ＋FD ＝PQ ，而FC ＋FD ≥CD ，∴当CD 为Rt △ABC 的斜边AB 上的高且点F 在CD 上时，PQ 有最小值，为CD 的长，即CD 为⊙F 的直径．∵S △ABC ＝12BC ·AC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝4.8.故PQ 的最小值为4.8.8. 【答案】D[解析] 设光盘的圆心为O ，连接OA ，OB ，则OB⊥AB ，∠OAB ＝12×(180°－60°)＝60°. ∵AB ＝3，∴OA ＝6，OB ＝3 3， ∴光盘的直径是6 3.故选 D.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】2 [解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】219°[解析]连接AB ，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】BD ＝CD或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】10 33 如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.∴∠OBD ＝30°，∴OB ＝2OD.由垂径定理，得BD ＝12BC ＝52 cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋(52)2，解得OD ＝56 3 cm.∴OB ＝5 33cm ，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33 cm.14. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.15. 【答案】112.5 [解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD ＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】②③ [解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°， ∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵.又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点，∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：⊙A 与直线BC 相交．理由：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝8.∵AB ＝AC ＝10，∴AD ＝6.∵6＜7，∴⊙A 与直线BC 相交．18. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°.∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝1 2.在Rt△AOD中，∵∠BAC＝30°，∴OD＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(1 2)2，∴OD＝36，即点O到弦AB的距离为36.19. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.24.3正多边形和圆一、选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙0直径，点C为劣弧BD 的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（）．A．140°B．40°C．70°D．50°2．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140°B．110°C．70°D．40°3．如图，已知△ABC为⊙O的内接三角形，AB＞AC．E为BAC的中点，过E 作EF⊥AB于F．若AF＝1，AC＝4，∠C＝60°，则⊙O的面积是（）A．8πB．10πC．12πD．18π4．如图，四边形ABCD 内接于O ，9AB =，15AD =，120BCD ∠=︒，弦AC 平分BAD ∠，则AC 的长是（ ）A ．73B ．83C ．12D ．135．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆上一点，∠BAC ＝20°，将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折，交AB 于点D ，则弧AD 的度数等于（ ）A ．40°B ．50C ．80°D ．1006．如图，等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，下列结论：（1）BE=CD ；（2）AF 平分∠EAC ； （3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，Q 为CD 上任意一点，AQ 交BD 于M ，过M作MN ⊥AM 交BC 于N ，连AN 、QN ．下列结论：①MA=MN ；②∠AQD=∠AQN ； ③S △AQN =12S 五边形ABNQD ；④QN 是以A 为圆心，以AB 为半径的圆的切线．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．只有①③④C ．只有②③④D ．只有①② 8．如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一动点，连结AP ，AP 的垂直平分线交BD 于点G ，交 AP 于点E ，在P 点由B 点到C 点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是( )A ．变大B ．先变大后变小C ．先变小后变大D ．不变9．如图，矩形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AB ＝2，BC ＝3，点E 为BC 上一点，且BE ＝1，延长AE 交⊙O 于点F ，则线段AF 的长为（ ）A ．755B ．5C ．5+1D ．35210．在四边形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、BC 的中点， 且AM ⊥CD ，AN ⊥BC ，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB 度数为（ ）．A ．15°B ．17°C ．16°D ．32°二、填空题11．如图，C 为半圆O 上一点，AB 为直径，且AB 2a =，COA 60∠=．延长AB 到P ，使1BP AB 2=，连CP 交半圆于D ，过P 作AP 的垂线交AD 的延长线于H ，则PH 的长度为________．12．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与点A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与交AB，BC于点G，H，且∠EOF=90°，连接GH，有下列结论：①弧AE=弧BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+22．其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为_____．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2=64°，∠3+∠4=__________°.15．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝12BD；③BN＋DQ＝NQ；④AB BNBM2是_____．三、解答题16．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，42BC =，45BAC ∠=，75ABC ∠=，求AB 的长．17．如图，已知∠MON=120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA =OB =a ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0120α≤<︒︒且60α≠︒），作点A 关于直线OM′的对称点C ，画直线BC 交于OM′与点D ，连接AC ，AD ．有下列结论：有下列结论：①∠BDO + ∠ACD = 90°；②∠ACB 的大小不会随着a 的变化而变化；③当 30︒=α时，四边形OADC 为正方形；④ACD ∆23a ．其中正确的是________________．(把你认为正确结论的序号都填上） 18．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形 （1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：②如图1，四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A +∠C ＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD 与等边垂直，求CD的长．19．定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．（2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=52，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+14(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度．（3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值．20．如图，O 是ABC 的外接圆，ABC 的外角DAC ∠的平分线交O 于点E ，连接CE 、BE .（1）求证：BE CE =；（2）若60CAB ∠=︒，23BC =，求劣弧BC 的长度.21．（1）已知：如图1，AB 是O 的直径，点P 为O 上一点（且点P 不与A 、B 重合）连接PA ，PB ，APB ∠的角平分线PC 交O 于点C ． ①若86PA PB ==，，求AB 的长 ②求证：2PA PB PC +=（2）如图2，在正方形ABCD 中，52AB 2=，若点P 满足3PC =，且90APC ∠=︒，请直接写出点B 到AP 的距离.22．如图(1) ，折叠平行四边形ABCD ，使得,B D 分别落在,BC CD 边上的,B D ''点，,AE AF 为折痕(1)若AE AF =，证明:平行四边形ABCD 是菱形; (2)若110BCD ︒∠= ，求B AD ''∠的大小;(3)如图(2) ，以,AE AF 为邻边作平行四边形AEGF ，若AE EC =，求CGE ∠的大小23．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在3y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当OPQ ∆为等腰三角形时，求点Q 的坐标．【参考答案】1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．A 10．C 113 12．①②④ 13．411014．64 15．①②③④ 16．317．①②④18．（1）①正方形；②略；（2）③＝；④等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”；（3）CD 的值为2或4． 19．（1）正方形、矩形；（2）3；（3）49． 20．（1）略；（2）43π21．（1）①10AB =，②略；（2）72或12 22．（1）略；（2）30°；（3）45°.23．（1）3AP ≥；（2）QAP ∠为定值，QAP ∠=30°；（3）1(234,0)Q +，2(234,0)Q -，3(23,0)Q -，423(,0)3Q24.4 弧长和扇形面积一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 1. 如图是一圆锥的侧面展开图，其弧长为，则该圆锥的全面积为A.B.C.D.2. 一扇形面积是，半径为，则该扇形圆心角度数是（ ） A.B.C.D.3. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ） A.B.C.D.4. 如图，在边长为的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D.5. 如果圆柱的底面直径为，母线长为，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（）A. B. C. D.6. 一个扇形占其所在圆的面积的，则该扇形圆心角是（）A. B. C. D.无法计算7. 如图，圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A. B. C. D.8. 一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，它的侧面展开图的圆心角的度数是（）A. B. C. D.9. 已知一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图圆心角为，则这个圆锥的底面半径为A. B. C. D.10. 如图，边长为米的正方形池塘的周围是草地，池塘边、、、处各有一棵树，且米．现用长米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）A.处B.处C.处D.处二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是________．12. 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，面积为的扇形，则这个圆锥的高是________．13. 一个圆柱体底面积直径是高的倍，如果底面积半径是分米，则它的表面积是________平方分米．14. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为________．15. 用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于，则这个圆锥的母线长为________．16. 已知圆锥的底面周长为，母线长为，那么这个圆锥的侧面积是________（结果保留）．17. 如图，已知的半径，弦，且，点在上，则图中的阴影部分的面积是________．18. 如图，为的弦，点为的中点，，当点、在上运动一周时，点所走过的路径与围成的图形面积是________．19. 如图所示，已知的半径，，则所对的弧的长为________．20. 现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，扇形的圆心角，半径，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面面积的半径．22. 如图，圆锥的底面半径为，高为，求这个圆锥的侧面积和表面积．23. 如图，圆锥的底面半径，高．求这个圆锥的表面积．取24. 如图，在中，，，以腰为直径作半圆，分别交，于点，．求，的长．25. 有一直径为圆形纸片，从中剪出一个圆心角是的最大扇形（如图所示）．（1）求阴影部分的面积（2）用所剪的扇形纸片围城一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？26. 如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆．求圆锥的母线长与底面半径之比；求的度数；求圆锥的侧面积（结果保留）．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，根据题意得，解得，，解得，所以该圆锥的全面积．故选．2.【答案】A【解答】解：设扇形圆心角的度数为，∴，∴．即扇形圆心角度数为．故选．3.【答案】C【解答】圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为：＝．4.【答案】D【解答】解：如图所示，．故选．5.【答案】A【解答】解：圆柱的侧面积，故选．6.【答案】B【解答】解：∵一个扇形占其所在圆的面积的，∴该扇形的圆心角占它所在圆的圆心角的，即．故选．7.【答案】C【解答】解：圆锥的母线长，设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据题意得，解得，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为．故选．8.【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为，弧长为，代入扇形弧长公式，即，解得，即扇形圆心角为度．故选．9.【答案】【解答】此题暂无解答10.【答案】B【解答】解：①；②；③；④，故选二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：这个圆柱的侧面积．故答案为：．12.【答案】【解答】解：设母线长为，底面圆的半径为，，解得：，底面圆的周长为：，解得：，∴这个圆锥的高是：．故答案为：．13.【答案】【解答】解：∵一个圆柱体底面直径是高的倍，如果底面半径是分米，∴高为分米，底面周长为：（分米），则其侧面积为：（平方分米），上下两底面积为：（平方分米）．故它的表面积是：平方分米．14.【答案】【解答】解：设这个扇形的半径是．根据扇形面积公式，得，解得（负值舍去）．故半径为．弧长是：．故答案为．15.【答案】【解答】解：设圆锥的母线长为，根据题意得：，解得：.故答案为：.16.【答案】【解答】解：圆锥的侧面积．17.【答案】【解答】解：连接，，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，故答案为：．18.【答案】【解答】解：如图，连接、，点所走过的路径为小圆，∵点为的中点，，∴，且，∴点所走过的路径与围成的图形面积是，故答案为：．19.【答案】【解答】解：所对的弧的长，故答案为：．20.【答案】【解答】解：解得：，∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是∴剪去的扇形纸片的圆心角为．剪去的扇形纸片的圆心角为．故答案为．三、解答题（本题共计 6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】圆锥的底面圆的半径为．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，解得．22.【答案】解：∵圆锥的底面半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∴.∵圆锥的底面积，∴．【解答】解：∵圆锥的底面半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∴.∵圆锥的底面积，∴．23.【答案】解：在中，，，由勾股定理知，侧面积，底面积，∴圆锥的表面积．【解答】解：在中，，，由勾股定理知，侧面积，底面积，∴圆锥的表面积．24.【答案】解：连接，∵，，∴，∴的长，连接、，∵为圆的直径，∴，又，∴，∴，∴的长．【解答】解：连接，∵，，∴，∴的长，连接、，∵为圆的直径，∴，又，∴，∴，∴的长．25.【答案】解：（1）连接，，∵，，∴是圆的直径，，∵圆的直径为，则，故．∴阴影；（2）的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．【解答】解：（1）连接，，∵，，∴是圆的直径，，∵圆的直径为，则，故．∴阴影；（2）的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．26.【答案】解：设此圆锥的高为，底面半径为，母线长，∵，∴；由中图所示，∵，，∴，，∴，同理,则；由中图可知，，∴，即，解得，∴，∴圆锥的侧面积为．【解答】解：设此圆锥的高为，底面半径为，母线长，∵，∴；由中图所示，∵，，∴，，∴，同理,则；由中图可知，，∴，即，解得，∴，∴圆锥的侧面积为．。

2020-2021学年人教版数学九年级下册圆复习测试题（A）一、选择题（每小题2分，共16分）1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）（A）4（B）6 （C）7（D）8图1 图22．如图2，C是⊙O上一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）（A）35°（B）70°（C）105°（D）150°3．如图3，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于（）（A）150°（B）130°（C）120°（D）60°图3 图4 图54．如图4，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AC为直径的圆交AB于D，则AD的长为( ) (A)59(B)512(C)516(D) 45．两圆的半径分别为R=5、r=3，圆心距d=6，则这两圆的位置关系是（）（A）外离（B）外切（C）相交（D）内含6．如图5，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B、C，则BC=( ) （A）23（B）33（C）223（D）2337．一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（）（A）3cm（B）3cm（C）6cm（D）9cm8．如图7，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则CD的长为（）（A）6 （B）36（C）3 （D）33OCA B图7二、填空题(每小题2分，共16)1．若两圆外切，圆心距为8cm ，一个圆的半径为3 cm ，则另一个圆的半径为cm ．2．如图8，A 、B 、C 是⊙O 上的点，AB = 2㎝，∠ACB=30°，那么⊙O 的半径为______________．ODEC BA 图8 图9 图103．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE=1，AB=10，求CD 的长”.根据题意可得CD 的长为 ．4．如图9是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为2cm ，则徽章内的菱形的边长为____cm.5．如图10，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则小虫爬行的最短路线的长是____________（结果保留根式）．图10 图116．已知⊙O 的半径为8， 圆心O 到直线l 的距离是6， 则直线l 与⊙O 的位置关系是 ．7．如图11，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是________．8．如图12，在⊙O 中，弦AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ，则⊙O 的半径等于 cm ．图12A OA O三、解答题(每小题5分，共30分)1．如图13是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA 、PB 分别相切于点A 、B ，不倒翁的鼻尖正好是圆心O ，若∠OAB=25°，求∠APB 的度数．图13 图142．如图14，在一张圆桌(圆心为点O)的正上方点A 处吊着一盏照明灯，实践证明：桌子边沿处的光的亮度与灯距离桌面的高度AO 有关，且当sin ∠ABO=36时，桌子边沿处点B 的光的亮度最大，设OB=60cm ，求此时灯距离桌面的高度OA （结果精确到１cm ）．3．如图15，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是的圆心，E 为上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD = 600m ，EF = 100m ，求这段弯路的半径．4．在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图16(1)所示：因为∠AOC 是⊿ABO 的外角，所以∠AOC=∠ABO+∠BAO ，又因为OA=OB ，所以∠OAB=∠OBA ， 所以∠AOC=2∠ABO ，即∠ABC=21∠AOC. 如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图17(2)、17（3），那么结论会怎样?请判断.图165．在同一平面内，已知点O 到直线l 的距离为5，以点O 为圆心，r 为半径画圆.探究、归纳：（1）当r=__________时，⊙O 上有且只有一个点到直线l 的距离等于3. C O DE F 图15。

练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系．知识点三、圆的基本性质1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。

例1 如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm例2、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的大小是( ) A 、60° B 、45° C 、30° D 、15°例3、如图1和图2，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ，•∠APM=∠CPM ． （1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．BA CEDP ONM FBA CE DPNMF(1) (2)知识点四、圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。

4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。

5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

人教版数学九年级2020年中考同步训练：《圆的选择题》1．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8 C．D．22．如图，已知圆O的圆心在原点，半径OA＝1（单位圆），设∠AOP＝∠α，其始边OA与x 轴重合，终边与圆O交于点P，设P点的坐标P（x，y），圆O的切线AT交OP于点T，且AT＝m，则下列结论中错误的是（）A．sinα＝y B．cosα＝xC．tanα＝m D．x与y成反比例3．如图，Rt△ABC的斜边BC＝4，∠ABC＝30°，以AB、AC为直径分别作圆．则这两圆的公共部分面积为（）A．+B．﹣C．﹣D．﹣4．如图，在圆O上依次有A．B，C三点，BO的延长线交圆O于E，＝，点C作CD ∥AB交BE的延长线于D，AD交圆O于点F，连接OA，OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝2，劣弧CF的长是（）A．πB．πC．πD．π5．如图，正方形ABCD中，⊙O过点A，B交边AD于点E，连结CE交⊙O于点F，连结AF，若tan∠AFE＝，则的值为（）A．1 B．C．D．6．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（）A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）7．如图，在圆内接五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD＝DE，且∠D＝100°，连接AC和EC．则∠ACE的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．48°8．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（）A．22°B．24°C．27°D．30°9．如图，在平面直角坐标系中．点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，四边形OCDB是平行四边形．则点C的坐标为（）A．（1，7）B．（2，6）C．（2，7）D．（1，6）10．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：①AD2+BC2＝4；②sin∠DAC＝；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．其中确的是（）A．①②③B．②③④C．③④D．②④11．如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP．量角器从点A 与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（）A．π+B．πC．π+2D．312．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC．直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连结CF，若AD＝6．则CF的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．313．如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠BAC＝66°，则∠ABD的度数是（）A．66°B．44°C．46°D．48°14．如图，半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，连接OA交BC于点H，连接OB，AB．若∠D+∠E＝240°，HC＝3BH，则△ABO的面积为（）A．3B．C．D．215．如图，点A，B，C是⊙O上三点，AC＝BC，点M为⊙O上一点，CE⊥AM，垂足为点E，AE＝2，BM＝，CM＝，则的长为（）A．πB．πC．πD．π16．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（）A．∠PBA＝40°B．PC＝PBC．PM＝MB D．⊙P与△ABC有4个公共点17．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于D、E两点，则的长是（）A．πB．πC．πD．318．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A．18﹣3πB．18﹣πC．32﹣16πD．18﹣9π19．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（）A．πB．πC．πD．π20．如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（）A．4 B．C．D．参考答案1．解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．2．解：如图，过点P作PH⊥OA于H，由题意知，OA＝OP＝1，OH＝x，PH＝y，由切线的性质定理可知AT⊥OA，在Rt△POH中，∠AOP＝∠α，∴sinα＝＝＝y，cosα＝＝＝x，故A，B正确；在Rt△TOA中，tanα＝＝＝m，故C正确，在Rt△POH中，OH2+PH2＝OP2，∴x2+y2＝1，故D错误；故选：D．3．解：如图，设点E是两圆的公共点，连接AE，取AC，AB的中点G，H．在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝4，∴AC＝2，AB＝2，∠C＝60°，∴∠AHE＝60°，∠AGE＝120°，∴S阴＝S扇形HAE﹣S△AEH+S扇形GEA﹣S△AEG＝﹣×（）2+﹣×1×＝﹣，故选：C．4．解：∵＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴＝，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，解得：x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OF＝AF＝2，∴的长＝＝π，故选：C．5．解：如图，设⊙O交BC于J，连接AJ，JF，EJ，过点F作FM⊥AD于M交BC于N．设AB ＝3a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝CD＝3a，∴AJ是⊙O的直径，∴∠AFJ＝∠AEJ＝90°，∵FM⊥AD，AD∥CB，∴MN⊥BC，∴∠MNC＝∠BCD＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，四边形ABJE是矩形，∴MN＝CD＝3a，AE＝BJ，∴＝，∴∠BAJ＝∠AFE，∴tan∠BAJ＝tan∠AFE＝，∴BJ＝AE＝a，JC＝2a，∵∠JAF＝∠JEC，∴tan∠JAF＝tan∠JEC，∴＝＝，∵∠AFM+∠JFN＝90°，∠JFN+∠FJN＝90°，∴∠AFM＝∠FJN，∵∠AMF＝∠FNJ＝90°，∴△AMF∽△FNJ，∴＝＝＝，设JN＝2x，则FM＝3x，∵AM＝AE+EM＝a+2x，∴FN＝AM＝（a+2x），∵FM+FN＝3a，∴3x+（a+2x）＝3a，∴9x+2a+4x＝9a，∴x＝a，∴CN＝2a﹣2x＝2a﹣a＝a，∵EM∥CN，∴＝＝＝，故选：B．6．解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，∴OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝，∴B（，），∴C（﹣，），E（﹣，﹣），∵正六边形的边长＝1，∴正六边形的周长＝6，∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此下去，∵2020÷3＝673…1，∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．故选：A．7．解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝（180°﹣100°）＝40°，∵BC＝CD，∴＝，∴∠BAC＝∠CED＝40°，∵∠EAC+∠EDC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣100°＝80°，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝120°，∴∠ECB＝180°﹣∠EAB＝60°，∵AE＝AB，∴＝，∴∠ACE＝∠ACB＝∠ECB＝30°，故选：A．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣78°）＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝51°，∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，故选：C．9．解：如图，连接OD，AD，DM，作DF⊥OA于F．∵A（20，0），B（16，0），∴OA＝20，OB＝16，∴AB＝20﹣16＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB＝16，OC＝BD，∴∠CDO＝∠DOA，∴＝，∴OC＝AD＝BD，∵DF⊥BA，∴BF＝FA＝2，∴OF＝18，∴在Rt△DMF中．DF＝＝＝6，∴D（18，6），C（2，6），故选：B．10．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BD2＝AB2＝4，∵AC＞AD，∴AD2+BC2＜4，故①错误，∵∠DAC＝∠CBD，∴sin∠DAC＝sin∠CBD＝，故②正确，∵AE⊥OE，假设DE＝EO，则AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，显然不符合题意，故③错误，∵∠DEP＝∠BCP＝90°，DP＝PB，∠DPE＝∠BPC，∴△PDE≌△PBC（AAS），∴DE＝BC，∵OE∥BC，AO＝OB，∴AE＝EC，∴BC＝2OE，∴DE＝2OE，故④正确．故选：D．11．解：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形，点P在第四象限内时，∠AOB是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP＝30°，点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP＝60°，所以点P的运动路径是一条线段，当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为：+2××22＝π+2，故选：C．12．解：∵F是AE的中点，∴设AF＝EF＝x，则AE＝2x，∴DE＝6﹣2x，∵AB＝AC，∴＝，∵AD为⊙O的直径，∴BC⊥AD，∠ABD＝90°∴BE＝CE，∠ABE+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠ABE＝∠D，∵∠AEB＝∠DEB＝90°，∴△ABE∽△BDE，∴，∴BE2＝AE•DE＝2x（6﹣x），∴CE2＝2x（6﹣x），在Rt△CEF中，CF2＝EF2+CE2＝x2+2x（6﹣x）＝﹣3（x﹣2）2+36，∴当x＝2时，CF的最大值为6，故选：A．13．解：∵将沿BC翻折，交AC与点D，∴∠BAC+∠BDC＝180°，∵∠BAC＝66°，∴∠BDC＝114°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝66°，∴∠ABD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，故选：D．14．解：连接OC，过点C，B分别作AO的垂线，垂足分别为M，N，∵半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∵∠AOC+∠OCD+∠D+∠E+∠OAE＝540°，∠D+∠E＝240°，∴∠AOC＝120°，∴∠MOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∵OC＝3，∴，∵CM⊥AO，BN⊥AO，∴CM∥BN，∴△HCM∽△HBN，∴，∴，∴，故选：C．15．解：在AE上截取AG＝BM，连接CG，∵AC＝BC，∠A＝∠B，∴△ACG≌△BCM（SAS），∴CG＝CM＝，∵AE＝2，AG＝BM＝，∴GE＝，∵CE⊥AM，∴CE＝＝＝2，∴tan∠A＝＝，∴∠A＝30°，∴∠COM＝60°，连接OM，CO，∵OC＝OM，∴△COM是等边三角形，∴OC＝，∴的长＝＝，故选：A．16．解：∵∠C＝40°，∠A＝60°，∴∠ABC＝80°，由题意得，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝ABC＝40°，故选项A正确；∵∠PBC＝∠PBA＝ABC＝40°，∴∠C＝∠PBC，∴PC＝PB，故选项B正确；∵PM⊥AB，∴∠BMP＝90°，∴∠BPM＝50°，∴∠BPM≠∠MBP，∴PM≠BM，故C选项错误；∵点P在∠ABC的角平分线上，∴P到AB和BC的距离＝PM＝⊙P的半径，∴AB，BC与⊙P相切，∵PA＞PM，PC＞PM，∴⊙P与AC相交，∴⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确，故选：C．17．解：连接OA，OE，OD，∵AB、AC与⊙O相切于D、E两点，∴∠OEC＝∠ODB＝∠AEO＝∠ADO＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠DOE＝120°，∵点O为BC的中点，∴OB＝OC，∵OE＝OD，∴Rt△OEC≌RtODB（HL），∴∠C＝∠B，∴AC＝AB＝4，AO⊥BC，∴∠CAO＝，∴AO＝AC＝2，∴OE＝AO＝，∴的长是＝π，故选：C．18．解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB＝8，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF＝AD•sin60°＝8×＝4，∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEG的面积＝8×4﹣＝32﹣16π．故选：C．19．解：连接EB，BH，AB，∵BE＝AB＝＝，AE＝＝，∴BE2+AB2＝AE2，∴∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠AHB＝90°，∴BH⊥AH，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴弧AH所对的圆心角为90°，∴的长＝＝．故选：B．20．解：如图，连接OA、OD，∵∠C＝45°．∴∠AOD＝2∠C＝90°．又∵OA＝OD，AD＝4，∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝2．又∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°．∵∠B＝30°，OA＝2，∴AB＝OA＝2．故选：D．。

2020中考数学 专题复习：圆的综合（含答案）类型一 与基本性质有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第1题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°，∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠ABE ＋∠CBE ＝∠ABE ＋∠EAB ＝90°，即CB ⊥AB . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线； (2)证明：∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝ ∠DEA ， ∴∠DEA ＝ ∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ，∴DE DB ＝DF DE， ∴DE 2＝ DF ·DB ；(3)解：如解图，连接OD ，延长ED 交BA 的延长线于点P ，第1题解图∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵BD 平分∠ABE ， ∴∠OBD ＝ ∠EBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴△PDO ∽△PEB ， ∴PD PE ＝POPB， ∵P A ＝AO ， ∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝PD PE ＝23， ∵PD PE ＝PD PD ＋DE ＝23，DE ＝2， ∴PD ＝4.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F . (1)求证：CF ＝BF ；(2)若BE ＝4，EF ＝ 3，求⊙O 的半径．第2题图(1)证明：连接AC ，如解图，∵点C 是BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC ， 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，第2题解图∴∠BCE ＋∠ECA ＝∠BAC ＋∠ECA ＝90°， ∴∠BCE ＝∠BAC ， 又∵C 是BD ︵的中点， ∴∠DBC ＝∠CDB ， ∴∠BCE ＝∠DBC ， ∴CF ＝ BF ；(2)解：∵BE ＝ 4，EF ＝ 3， ∴BF ＝32＋42＝ 5，∴CF ＝ 5，∴CE ＝ 5＋3＝ 8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝ 90°， ∴CE 2＝BE ·AB ， ∴AB ＝CE 2BE ＝ 644＝ 16，∴AO ＝ 8，∴⊙O 的半径为8.3. 如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN;(2)若AB ＝8，ON ＝ 1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CEB ＝ 90°， ∴∠C ＋∠B ＝ 90°， 同理∠C ＋∠CNM ＝ 90°， ∴∠CNM ＝∠B ， ∵∠CNM ＝ ∠AND ， ∴∠AND ＝ ∠B ， ∵AC ︵＝AC ︵， ∴∠ADN ＝ ∠B ， ∴∠AND ＝ ∠ADN ， ∴AN ＝AD ；第3题解图(2)解：设OE 的长为x ，连接OA ， ∵AN ＝AD ，CD ⊥AB ， ∴DE ＝ NE ＝x ＋1，∴OD ＝OE ＋ED ＝x ＋x ＋1＝2x ＋1， ∴OA ＝ OD ＝ 2x ＋1，∴在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝ OA 2， ∴x 2＋42＝(2x ＋1)2，解得x ＝53或x ＝－3(不合题意，舍去)，∴OA ＝ 2x ＋1＝ 2×53＋1＝ 133，即⊙O 的半径为133.4. 如图，A 、B 、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于D 点，PD ＝ OD ，若OB ⊥AC 于E 点．第4题图(1)判断A 是否是PB 的中点，并说明理由； (2)若⊙O 半径为8，试求BC 的长． 解：(1)A 是PB 的中点， 理由：连接AD ，如解图，第4题解图∵CD 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥AC ， ∵OB ⊥AC ， ∴AD ∥OB ， ∵PD ＝ OD ，∴AD 是△PBO 的中位线， ∴P A ＝AB ， ∴A 是PB 的中点； (2)∵AD ∥OB ， ∴△APD ∽△BPO ， ∴AD BO ＝PD PO ＝ 12， ∵⊙O 半径为8， ∴OB ＝ 8， ∴AD ＝4， ∴AC ＝CD 2－AD 2＝ 415，∵OB ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝ 215， ∴OE ＝12AD ＝ 2，∴BE ＝6， ∴BC ＝BE 2＋CE 2＝4 6.5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第5题图(1)求DC 的长； (2)求EC ︵的长．解：(1)如解图，连接BC ，第5题解图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ， ∵AC ︵＝EC ︵， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∴△ABD 为等腰三角形， ∵AB ＝2AC ＝6， ∴DC ＝AC ＝3；(2)如解图，连接OC 、OE ， ∵AB ＝2AC ＝6，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝30°，OC ＝OE ＝3， ∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°∴∠COE ＝2∠DBC ＝60°，∴l EC ︵＝60×π×3180＝π.6. 如图，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .第6题图(1)求证：OF ＝12BD ；(2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积． (1)证明：如解图，连接OC ，第6题解图∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ， ∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ，∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴BC ＝BD ， ∴OF ＝12BD ；(2)解：∵∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°， ∴∠AOC ＝120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝3，由(1)可知OF＝12BC＝1 2，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝BC＝1，∴S△AOC＝12AC ·OF＝12×3×12＝34，S扇形AOC＝120πOA2360＝π3，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝π3－34.7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D，AC、OD的延长线交于点E，连接CD.(1)求证：∠ECD＝∠BCD；(2)当AC＝CD时，求证：CE＝CB.第20题图证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ECB＝90°，∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BCD＝12∠DOB＝45°，∴∠ECD＝∠ECB－∠BCD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD ＝∠BCD ； (2)如解图，连接OC 、BD ，第7题解图∵AC ＝CD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∠ABC ＝∠DBC ， 又∵∠E ＋∠A ＝∠ABC ＋∠A ＝90°， ∴∠E ＝∠ABC ＝∠DBC ， 在△ECD 和△BCD 中⎩⎨⎧∠E ＝∠DBC∠ECD ＝∠BCD CD ＝CD， ∴△ECD ≌△BCD (AAS)， ∴CE ＝ CB .8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且BD 为直径，∠ACB ＝ 45°，过A 点的AC 的垂线交BC 的延长线于点E . (1)求证：BE ＝ DC ； (2)如果AD ＝2，求图中阴影的面积．第8题图解：(1)∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∴∠ADB ＝∠ACB ＝ 45°， ∵AE ⊥AC ，∴△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE ＝ AC ，AB ＝ AD ，∠EAC ＝ ∠BAD ＝ 90°， ∴∠EAB ＝ ∠CAD ， 在△ABE 与△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC∠EAB ＝ ∠CAD AB ＝AD， ∴△ABE ≌△ADC ， ∴BE ＝DC ；第8题解图(2)如解图，连接AO ，则∠AOD ＝ ∠ABD ＝90°， ∵AD ＝ 2， ∴AO ＝ OD ＝ 1， ∴S 阴影＝ S 扇形－S △AOD ＝90 ·π×12360－12×1×1＝ π4－12. 9. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，连接DE ，AD ＝BD ，∠ADE ＝120°. (1)证明：△ABC 是等边三角形； (2)若AC ＝2，求图中阴影部分的面积．第9题图(1)证明：如解图，连接CD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CD ⊥AB ， ∵AD ＝BD ， ∴AC ＝BC ，∵∠ADE ＝120°，∴∠ACE ＝60°， 又∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形；第9题解图(2)解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝∠B ＝60°，∵∠ADE ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝∠B ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴BD ＝ED ， ∵AD ＝BD ，∴DE ＝AD ＝ BE ＝12AB ＝ 12BC ，∴DE ︵＝AD ︵，DE 为△ABC 的中位线，E 为BC 的中点， ∴S 弓形DE ＝S 弓形AD ，∴S 阴影＝S △DEB ＝ 12S △BDC ，∵AC ＝2，∴AD ＝BD ＝1，∴DC ＝3，∴S 阴影＝12×12×1×3＝ 34.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连接BD .第10题图(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝ 12，且AD ∶CD ＝1∶2，求⊙O 的半径． (1)证明：如解图，连接AE ，DE ，第10题解图∵AB 是直径， ∴AE ⊥BC ， ∵AB ＝ AC ， ∴BE ＝ EC ，∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线， ∴DE ＝ EB ， ∴ED ︵＝ EB ︵，即点E 是BD ︵的中点； (2)设AD ＝x ，则CD ＝ 2x ， ∴AB ＝AC ＝3x ，∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD 2＝ (3x )2－x 2＝8x 2， 在Rt △CDB 中， (2x )2＋8x 2＝122， ∴x ＝23， ∴OA ＝ 32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.类型二 与切线有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在AC 上，∠A ＝ 30°，D 为BC ︵的中点．第1题图(1)求证：AB ＝BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由． 解：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA ＝ 90°，∠AOB ＝ 90°－30°＝ 60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∠OCB ＝ ∠A ＝ 30°， ∴AB ＝ BC ；(2)四边形BOCD 为菱形，理由如下：连接OD 交BC 于点M ， ∵D 是BC ︵的中点，第1题解图∴OD 垂直平分BC ， 在Rt △OMC 中， ∵∠OCM ＝ 30°， ∴OC ＝2OM ＝OD ， ∴OM ＝MD ，∴四边形BOCD 为菱形．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l .第2题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ， ∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠OCA ， ∴AD ∥OC ， ∵EF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°，∴∠OCF ＝∠AEC ＝90°， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接OD ，DC .第2题解图∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∠DAC ＝∠OAC ， ∴∠DOC ＝∠BOC ， ∴DC ＝BC ＝2， 在Rt △EDC 中， ∵ED ＝1，DC ＝2， ∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12， ∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝90°－30°＝60°， 又∵OC ＝OD ，∴△DOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD ＝60°，OC ＝2， ∴l ＝60π×2180＝23π. 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .第3题图(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．(1)证明：如解图，连接OD ，第3题解图∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B . 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B . ∴∠ODB ＝∠C . ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°.∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为点G . ∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝25，∴OA ＝225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°. ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.4. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AC＝8，tan∠DAC＝34，求⊙O的半径．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，第4题解图∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，又∵∠C＝90°，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；(2)解：∵AC＝8，tan∠P AC＝CDAC＝34，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝10，如解图，连接DE ，∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝ 90°， ∴∠ADE ＝ ∠C ， ∵∠CAD ＝∠OAD ， ∴△ACD ∽△ADE ， ∴AD AC ＝ AE AD ，即108＝ AE10， ∴AE ＝252，∴⊙O 的半径是254.5. 如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F .(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ； (2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．第5题图(1)证明：∵EF ⊥OG ，BC 是⊙O 的切线， ∴∠CBA ＝ ∠EFC ＝90°，∴∠EOF ＋∠FEB ＝ 90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∵∠EOF ＝ ∠COB ， ∴∠FEB ＝ ∠BCO ， ∵CB ，CD 是⊙O 的切线， ∴∠ECF ＝ ∠BCO ， ∴∠FEB ＝ ∠ECF ；(2)解：如解图，连接OD ，则OD ⊥CE ，第5题解图∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.6. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．。

圆一、单项选择题 1．如下图，MN 为 ⊙ O 的弦， N 52o ，那么 MON 的度数为〔 〕A ． 38oB ． 52oC ． 76oD ． 104o2．如图，点 A ，B ， C 是 ⊙O 上的三点，假设 ∠ BOC=50°，那么 ∠A 的度数是〔〕A ．25°B ． 20°C ．80°D ． 100 °3 AB 是 ⊙ O 的直径， AC 是 ⊙ O 的切线， A 为切点， BC 与 ⊙ O 交于点 D ，连结．如图， OD ．假设 C 50 ，那么 ∠AOD 的度数为〔 〕A ． 40B ． 50C ． 80D ． 1004．如图，AB 为 ⊙ O 的直径，点 C 在 ⊙ O 上，假设 ∠ OCA ＝ 40°，AB ＝ 6，那么弧 BC 的长为〔 〕81054πD ． 3A ． 3B ．3 C ． 35．如果， AB 是 ⊙ O 的切线， A 为切点， OB=5 2 ， AB=5，AC 是⊙O 的弦， OH ⊥ AC ，垂足为 H ，假设 OH=3 ，那么弦 AC 的长为〔〕A ． 5B． 6C．8D． 106．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点 E 是弧AD上任意一点，那么∠BEC的度数为〔〕A．30°B． 45°C．60°D． 90°7．以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 如下图摆放，直角顶点 B 在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，假设点P 的读数为35°，那么∠CBD的度数是〔〕A．55°B． 45°C．35°D． 258．如图，一扇形纸扇完全翻开后，外侧两竹条AB和 AC的夹角为120 °， AB 长为25cm，贴纸局部的宽BD为15cm，假设纸扇两面贴纸，那么贴纸的面积为〔〕2B．280022A ． 175 π cm350 π cm C．π cm D． 150 π cm39．以下说法正确的选项是( )A ．等弧所对的圆心角相等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，连接 OA ，OC．假设∠ AOC ＝∠ABC ，那么∠ D 的大小为〔〕A．50°B． 60°C．80°D． 120 °1190cm，顶角为120的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇．如图，从一张腰长为形 OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面〔不计损耗〕，那么该圆锥的底面半径为〔〕A ．15cm B． 12cm C．10cm D．20cm12．如图，在 Rt△AOB 中，∠ AOB=90 °，OA=3，OB=2，将 Rt△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得 Rt△ FOE，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°后得线段 ED，分别以 O，E 为圆心， OA、ED 长为半径画弧AF 和弧 DF ，连接 AD，那么图中阴影局部面积是〔〕5A ．πB．C．3+πD． 8﹣π4二、填空题13．假设圆锥的底面积为2，母线长为 12 cm，那么它的侧面展开图的圆心角为__________ ．16π cm14．扇形的圆心角100 °，所对的弧长为π_________．5，那么此扇形的面积是315．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦， AB⊥ CD 于点 E， AE＝ CD，假设⊙ O 的半径为 5，那么弦 CD 的长为 _____．16．如图，ABC 是圆 O 的内接三角形，连接 OA、OC，假设∠ AOC =∠ABC，弦 AC= 6 3 那么圆 O 的半径为 __________．317．如图，直线y=- x-3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，点 P 是 x 轴上一动点，以点P 为4圆心，以 1 个单位长度为半径作⊙ P，当⊙ P与直线AB相切时，点P 的坐标是 _______．18．如图，菱形ABCD 中，AB 2 ，C60°，菱形ABCD 在直线L 上向右作无滑动45 次这样的操作菱形中心O 所经过的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，那么经过的路径总长为______．〔结果保存〕19．如图，四边形ABCD 内接于e O，假设四边形ABCO 是平行四边形，那么ADC 的大小为_______．20．如图，在边长为 4 的正方形ABCD 中，以点 B 为圆心，以AB 为半径画弧，交对角线BD 于点 E，那么图中阴影局部的面积是_____〔结果保存π〕三、解答题21．在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，BE 平分∠ ABC，D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径的⊙O 经过点 E，且交 BC 于点 F ．(1)求证： AC 是⊙ O 的切线；(2)假设 BF＝ 6，⊙ O 的半径为 5，求 CE 的长．22．如图，点D在⊙ O 的直径AB的延长线上，点C在⊙ O 上，且 AC=CD ，∠ ACD=120°. 〔1〕求证：CD是⊙ O 的切线；2〕假设 e O 的半径为2.〔，求图中阴影局部的面积23．如图，△ ABC 内接于⊙O，∠ B=60 °， CD 是⊙O 的直径，点P 是 CD 延长线上的一点且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O 的切线；〔2〕假设AB215，BC4，求⊙O的半径24．如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆， AB 是直径， D 是 AC 中点，直线 OD 与⊙ O 相交于 E， F 两点， P 是⊙O 外一点， P 在直线 OD 上，连接 PA， PC， AF ，且满足∠ PCA ＝∠ABC．（1〕证明： EF 2＝ 4OD ?OP；（2〕假设 tan∠ AFP＝2，求DE的值．3BC25．如图，以 Rt△ ABC 的 AC 边为直径作⊙ O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D，点 F 为 BC 的中点，连接 EF（1〕求证： EF 是⊙ O 的切线；（2〕假设⊙ O 的半径为 3，∠ EAC ＝ 60°，求 AD 的长。