当前位置：文档之家 › 椭圆,双曲线,抛物线定义,好

椭圆,双曲线,抛物线定义,好

  • 格式：doc
  • 大小：505.00 KB
  • 文档页数：3

1
椭 圆 一、椭圆的定义：
平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （其中122a FF >）的点的轨迹叫做椭圆.这两个
定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的定义可用集合语言表示为：{}
12122,2P M
MF MF a a F F =
+=>.
注意：当122a FF =
时，表示线段12FF ；当122a FF <时，轨迹不存在.
二、椭圆的标准方程与几何性质：
当椭圆焦点在x 轴上时
当椭圆焦点在y 轴上时
标准方程
)0(122
22>>=+b a b y a x )0(122
22>>=+b a b
x a y 图形
范 围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ a y a -≤≤，b x b -≤≤
对称轴 x 轴、y 轴
x 轴、y 轴
对称中心 坐标原点(0,0)O 坐标原点(0,0)O 长轴、短轴 长轴长2a ，短轴长2b
长轴长2a ，短轴长2b
顶点坐标 (,0)a ±，(0,)b ± (0,)a ±，(,0)b ± 焦点坐标 (,0)c ±，其中222c a b =-
(0,)c ±，其中222c a b =-
离心率
(c e a =其中01)e << (c
e a
=其中01)e <<
1.a 、b 、c 、e 的几何意义：a 叫做长半轴长；b 叫做短半轴长；c 叫做半焦距；a 、b 、c 之间满足
222a b c =+. e 叫做椭圆的离心率，c
e a
=且01e <<，e 可以刻画椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁，
e 越小，椭圆越圆.
2.点P 是椭圆上任一点，F 是椭圆的一个焦点，则max PF a c =+，min PF a c =-.
四、直线与椭圆位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法
位置关系 公共点 判定方法
相交 有两个公共点 0∆>
直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式∆
相切 有且只有一个公共点
0∆= 相离
无公共点
0∆<
（2）弦长公式：设直线y kx b =+交椭圆于111222(,),(,)P x y P x y
则222
12121212||11()4PP k x x k x x x x =+-=++- ，
双曲线 一、双曲线的定义
平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a FF <）的点的轨迹叫做双曲
线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
双曲线的定义可用集合语言表示为：{}
12122,2P M
MF MF a a F F =-=<.
注意：当122a FF =
时，表示分别以1F 、2F 为端点的两条射线；当122a FF <时，轨迹不存在.
二、双曲线的标准方程与几何性质：
当双曲线焦点在x 轴上时
当双曲线焦点在y 轴上时
标准方程
22
2
21(0,0)x y a b a b -=>> 22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>> 图形
范 围 x a ≤-，或x a ≥ y a ≤-，或y a ≥
对称轴 x 轴、y 轴
x 轴、y 轴
对称中心 坐标原点(0,0)O 坐标原点(0,0)O 实轴、虚轴 实轴长2a ，虚轴长2b
实轴长2a ，虚轴长2b
顶点坐标 (,0)a ±
(0,)a ±
焦点坐标 (,0)c ±，其中222c a b =+ (0,)c ±，其中222c a b =+ 渐近线 0x y a b ±=，即x a
b y ±= 0y x a b ±=，即x b
a y ±= 离心率
(c
e a
=其中1)e >
(c
e a
=其中1)e >
3
1.a 、b 、c 、e 的几何意义：a 叫做半实轴长；b 叫做半虚轴长；c 叫做半焦距；a 、b 、c 之间满足2
22c
a b =+. e 叫做椭圆的离心率，c
e a
=且1e >. e 越大，双曲线的张口就越大.
2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线为x y ±=离心率2e =.
3.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.
2.4 抛物线 一、抛物线的定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
注意：当定点F 在定直线l 上时，点的轨迹为过点F 与直线l 垂直的直线. 二、抛物线的标准方程与简单几何性质：
（顶点均是坐标原点，离心率都是1e =） 1.
p 的几何意义：p 表示焦点到准线的距离. 2p 表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.
2. 若点00(,)M x y 是抛物线2
2(0)y
px p =>上任意一点，则02
p
MF x =+.
3.若过焦点的直线交抛物线2
2(0)y px p =>于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则弦长12AB x x p =++.
标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p => 图形 焦点坐标
(,0)2p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准线方程
2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性 x 轴 x 轴
y 轴 y 轴。

合集下载

高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。

1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。

对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结
一、 椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨
迹叫做椭圆。

符号语言：()12222MF MF a a c +=>
将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆
②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。

符号语言：()12
-222MF MF a a c =<
将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线
②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在
a b y o a a
抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。