第二章 连续时间系统的时域分析

a ' (t ) (b 3a ) (t ) (c 3b)u (t ) 3 ' (t )
a3 b 3a 0 c 3b 0
r (0 ) r (0 ) b 9
a3 b 9 c 27
r (0 ) 9 r (0 )
二、微分方程的求解（6） [例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 r " ( t ) 6 r ' ( t ) 8 r ( t ) e ( t ), t 0
初始条件r(0)=1, r '(0)=2, 输入信号e (t)=e-t u(t)，求系 统的完全响应r(t)。 解: (1) 求齐次方程r''(t)+6r'(t)+8r(t) = 0的齐次解rh(t) 2 6 8 0 特征方程为 特征方程 特征根为 特征根 齐次解rh(t)
n n 1 0 n 1 n 1 n 1 n m m 1 0 m 1 m 1 m 1 m
1）若微分方程 的“自由项”不包含(t)及其各 阶导数，则r (k)(0+)= r(k)(0-) 。 2）若微分方程 的“自由项”包含(t)及其各阶 导数，则r (k)(0+) r(k)(0-) ，这时可用冲激函数 匹配法由r (k)(0-)求得r(k)(0+) 。
求特解rp(t)的方法与步骤： 1）由自由项的形式选定特解的函数式。 2）将特解代回微分方程，求得特解函数 式中的待定系数。
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2.1 微分方程的建立与求解 二、微分方程的求解（5）
2. 特解（强迫响应）rp(t)
常用自由项对应的特解形式
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2.1 微分方程的建立与求解
C C ... C C 0
n n 1 0 1 n 1 n
2）求解特征方程，得微分方程的n个特征根1, 2, … , n 。 3）由特征方程根写出齐次解rh(t) 。
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2.1 微分方程的建立与求解
二、微分方程的求解（3） 1. 齐次解（自由响应）rh(t)
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2.2 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换
二、初始状态的确定（2）
相对单位调变函数：u(t)=u(0+)－u(0－)=a－(a+1)=1
u(t) a+1 a 0 t
du (t ) (t ) dt
用冲激函数匹配法由r (k)(0-)求r(k)(0+) 基于的基本原 理是：微方左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。 实际上就是用函数匹配法求微方在不连续点（跳变点） 处的解。
n n 1 0 n 1 n 1 n 1 n m m 1 0 m 1 m 1 m 1 m
若r(k)(0+) r(k)(0-) ，则表明系统的起始状态发生了跳变；若r(k)(0+)=
r(k)(0-) ，则r(k)(t)在0点连续。
若微分方程 的“自由项”包含(t)及其各阶导数，则r(k)(0+) r(k)(0-);
2 t 4 t t h p
r (t )
5 2t 11 4t 1 t e e e , t 0 2 6 3
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2.1 微分方程的建立与求解
二、微分方程的求解（8）
经典法不足之处

若微分方程右边自由项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。
(1) 特征根是不等实根
1t
h 1 2
1, 2, , n
2t nt
n
r (t ) A e A e A e A e
n i 1 i
it
常数A1, A2, , An由系统的初始条件（而非起始条件）决定。 (2) 1是k 重特征根
r
h
1
(t ) A t e A t e A te A e
k 1
1 t
k 2
1 t
1t
1t
1
2
k 1
k
(3) 1 、2特征根是共轭复根
j , j
1 2
r
h
1 , 2
(t ) e ( K cos t K sin t )
t
1 2
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2.1 微分方程的建立与求解 二、微分方程的求解（4）


e1(t)=2V
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2.3 零输入响应和零状态响应 一、概述（1）
系统响应的分解 1）系统完全响应 = 自由响应 + 强迫响应 2）系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 [例] 设如图所示的RC电路，电容两端的起始电压为vc(0-)，
激励为e(t)。求t0时系统的响应vc(t)。
2. 特解（强迫响应）rp(t)
d r (t ) d r (t ) dr (t ) C (t ) C C C r (t ) dt dt dt d e(t ) d e(t ) de(t ) E E E E e(t ) dt dt dt
n n 1 0 n 1 n 1 n 1 n m m 1 0 m 1 m 1 m 1 m
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2.1 微分方程的建立与求解 二、微分方程的求解（2）
1. 齐次解（自由响应）rh(t)
d r (t ) d r (t ) dr (t ) C (t ) C C C r (t ) 0 dt dt dt
n n 1 0 n 1 n 1 n 1 n
求齐次解rh(t)的方法与步骤： 1）写出对应齐次方程的特征方程。
d d n 1 r (0 ) [r (0 ), r (0 ), ... , n 1 r (0 )] dt dt
(k )
注意：
d r (t ) d r (t ) dr (t ) C (t ) C C C r (t ) dt dt dt d e(t ) d e(t ) de(t ) E E E E e(t ) dt dt dt
Signals and Systems
信号与系统
倪育德
中国民航大学
Signals and Systems
第2章 连续时间系统的时域分析
2.1 微分方程的建立与求解 2.2 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.3 零输入响应和零状态响应 2.4 冲激响应与阶跃响应 2.5 卷积
线性时不变系统的描述
将特解代入原微分方程即可求得常数 C=1/3。 特解 (3) 求方程的全解r(t)
1 r (t ) r (t ) r (t ) Ae Be e 3 1 A=5/2， r ( 0) A B 1 3 1 B= 11/6 r ' (0) 2 A 4 B 2 3
2， 4
1 2
r (t ) A e
h
—2t
Be
—4t
(2) 求非齐次方程r''(t)+6r'(t)+8r(t) = e(t)的特解rp(t)
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2.1 微分方程的建立与求解
二、微分方程的求解（7）
由输入e(t)的形式，设方程的特解为 特解
rp(t) = Cet
R
●
+ vc(t)
e(t)
+

vc(0-)
C
●

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2.3 零输入响应和零状态响应
一、概述（2）
解: 响应vc(t)与激励e(t)之间的微分方程为
c c
R
●
+ vc(t)
vc(0-) dv (t ) 1 1 e(t) v (t ) e(t ) dt RC RC dv (t ) 1 1 t / RC e e v ( t ) e e(t ) 两边乘以e ： dt RC RC
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2.2 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换
二、初始状态的确定（3）
d r (t ) 3r (t ) 3 ' (t ) ，已知r (0-)，求r(0+) 。 [例]如果描述系统的微分方程为 dt d ' 解: r (t ) a (t ) b (t ) cu (t ) 0－<t<0+ dt r (t ) a (t ) bu (t )
连续时间系统用 连续时间系统 n阶常系数微分方程描述 阶常系数微分方程
d r (t ) d r (t ) dr (t ) C (t ) C C C r (t ) dt dt dt d e(t ) d e(t ) de(t ) E E E E e(t ) dt dt dt
n n 1 0 n 1 n 1 n 1 n m m 1 0 m 1 m 1 m 1 m
e(t)为激励，r(t)为响应；Ci 、 Ej为常数 （i=0,1,2,…,n；j=0,1,2,…,m）。 连续时间系统的时域分析，就是在时域中直 连续时间系统的时域分析 接求解n阶常系数微分方程，获取响应 r(t)。 阶常系数微分方程
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2.1 微分方程的建立与求解 一、微分方程的建立
对于电系统，建立微分方程的基本依据是电 网络的两个约束特性: 1）元件特性约束:表征元件特性的关系式。 2）网络拓扑约束:基尔霍夫电压定律（KVL）和 基尔霍夫电流定律(KCL)。
d r (t ) d r (t ) dr (t ) C (t ) C C C r (t ) dt dt dt d e(t ) d e(t ) de(t ) E E E E e(t ) dt dt dt