统计学相关与回归分析-课件PPT讲义(演讲稿)

（2）求Spearman等级相关系数。
rs
l X ’Y ’
l l X ’X ‘Y ’Y ‘
59.5 0.7539 82.5 75.5
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2. Spearman等级相关系数的假设检验：
H0:ρS=0
H1: ρS ≠0
=0.05
本例n=10， rs=-0.7539，查rs界值表得：
Y
Y
2
lYY
l XY
2 / l XX lYY bl XY
sy为x 各观察值y 距回归线（ ）ˆy 的标准差，反映x
的影响被扣除后y 的变异，故称为剩余标准差。
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Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2 12.541
12.541
SY .X
1.1199 12 2
1.1199
sb
0.0741 228.25
0.3256
tb
4.392
0.0741
3．确定P值，判断结果： 按 12 2 10 ，
查t 值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(13) ，P<0.01， 按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，认为糖尿病患 者血糖和胰岛素之间存在负的直线回归关系。
rs(10,0.02)=0.745，rs> rs(10,0.02) ，则P<0.02，按
α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为rs有统计
学意义，说明患者血小板数与出血程度呈负
的等级相关关系。
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第三节 直线回归
随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值， 如医学研究中常需要从某项指标估算另一项指标， 如果这指标分别是测量变量X 和Y，我们希望由X 推算Y的值。

（1）“回归”的词源
（2）相关分析与回归分析的区别和联系
区别：A、相关关系所研究的变量是对等关系，而 回归分析所研究的变量不是对等关系，分为自变量 和因变量；
B、相关分析对资料的要求是两个变量都必 须是随机变量，而回归分析中自变量是可以控制的 变量（给定的变量），因变量是随机变量。
C、相关分析的目的是研究变量 之间的相关方向、程度以及相关的表现形式是什么； 而回归分析的目的是拟合变量之间的表现形式， （回归方程），并据此进行回归预测。
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2021/5/22
统计学讲义 游士兵
21
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（2）回归模型(the regression model)
一元线性回归模型
多元线性回归模型
介绍
可化为线性回归的曲线回归模型
（3）估计标准误差(standard error of estimate)
2021/5/22
7
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二、相关系数
the correlation coefficient
3
5.0
115
575.0
25.00 13225
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4
3.1
80
9.61
6400
11
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三、回归模型the regression
model （一）一元线性回归模型的性质 一元线性回归模型是用于分析一个自变量（X）与一个因变量（Y） 之间线性关系的数学方程。其一般形式为： Yc=a+bx 式中：X是自变量， Yc是因变量Y的估计值，又称理论值。
第六章 相关与回归分析
correlation regression analysis

23
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。

y
x
两变量相关关系在图 形上表现为各观测点 分布在线的周围
相关关系举例
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温
度(x3)之间的关系 ▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
完全相关、不完全相关和不相关
如果一个变量的变化完全由另一个变量的变化 所确定，则称两变量的关系为完全相关，即为 函数关系；如果两个变量间的关系很弱或看不 出任何关系，则称之为不相关（或零相关）。 两变量的关系介于完全相关和不相关之间称为 不完全相关。
二、相关关系的描述与测度
判断现象之间有无相关关系，应先进行定性 分析，即依据理论知识、实践经验对现象之 间是否存在相关关系及相关关系的类型作出 判断。然后在此基础上进行定量分析，即运 用相关图、相关表和相关系数等方法对现象 之间的相关关系进行描述与测度。
根据以上资料绘制坐标图便得到相关图
•单变量分组表
例：30家企业按产品产量分组的平均单位产品成本
产量 （千件）x
20 30 40 50 80 合计
企业数
9 5 5 6 5 30
平均单位成本 (元/件) y
16.8 15.6 15.0 14.8 14.2
•双变量分组表
例：30家企业按产品产量和单位产品成本分组
4. 若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相 关系数，记为 r
第九章 相关与回归分析
第一节 变量间关系的度量 第二节 一元线性回归分析 第三节 利用回归方程进行估计和预测
第一节 变量间关系的度量
一、变量间的函数关系与相关关系 二、相关关系的描述与测度 三、相关系数的显著性检验

关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
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相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
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相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
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令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。

(10)在“线性回归”主对话框中，单击“确定”按钮，完成SPSS 操作，输出结果。
2、结果分析
(1)选入和删除的变量
•在本例中，只有一个自变量“雏鸭重”，所以如下表所示，在
选入的变量中只有“雏鸭重”，没有删除的变量，使用的方法是 “选入”。
•
(3)方差分析
•如下表所示为回归模型的方差分析摘要表，其中的变异量显著
7.3 多元线性回归分析
• 自然界的万事万物都是相互联系和关联的，所以一个因变量往往
同时受到很多个自变量的影响。如本章开篇时讲到的那个例子， 男性胃癌患者发生术后院内感染的影响因素有很多，如年龄、手 术创伤程度、营养状态、术前预防性抗菌、白细胞数以及癌肿病 理分度。这时我们如果要更加精确的、有效的预测男性胃癌患者 发生术后院内感染的具体情况这个因变量，就必须引入多个自变 量，建立多元回归模型。
• （3）阶层回归分析法 • （4）方法的选择
7.3.2 各种回归分析方法的实例分析
• 接下来会举三个例子来分别说明“强迫选入法”、“逐步回
归法”和“阶层多元回归法”是如何运用的。
• 【例7.2】强迫选入法：某医院的一位优秀的男医生，想研究男性胃
癌患者发生术后院内感染的影响因素，在研究了多名病人之后，他 得到了数据资料，请通过多元线性回归统计方法找出哪些因素是对 术后感染产生影响的。其中数据资料如下页所示。
• （4）线性关系
• （5）各个残差之间相互独立假定
• （6）残差的等分散性假定
7.1.3 回归分析的基本步骤
• 具体地说，回归分析的一般过程分成四步，分别是：
• （1）提出回归模型的假设
• （2）获取数据
• （3）建立回归方程
• （4）回归方程的检验

31
3.1 一元线性回归模型的建立
消费 支出
βˆ 1 βˆ 2
120
ˆy 1.8946 1.3595 x
10消0 费支出 15 20 30 40 42 53 60 65 70 78
80
可60 支配收入 18 25 45 60 62 75 88 92 99 98
40
20
0
0
20
40
60
80 可支配收入
相关分析与回归分析联系
相关关系
回归分析
判定相关关系及密切程 建立数学模型—平均变
联度
化关系
系 回归分析的前提和基础 相关分析的深入和继续
区 变量间的关系是对等
自、因变量划分不同， 回归方程也不同
别 自、因变量—随机变量 因变量是随机变量
2024/8/5
第六章 相关与回归分析
11
1.5 相关分析与回归分析的关系
βˆ 1 n βˆ1
Q
βˆ 2
x
2
βˆ 1
yi βˆ 1 βˆ 2 x
x βˆ 2
yi
βˆx12
βˆβˆ2 2x
x
0
y
0
xy
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第六章 相关与回归分析
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3.2 一元线性回归模型的参数估计
0.436
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第六章 相关与回归分析
18
2.2 相关系数x 的 64特7元征，及y 判0.5别813标 58准.13%
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
6470
y
0.683 0.675 0.662 0.649 0.567 0.602 0.544 0.490 0.505 0.436

2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 8
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 9
1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1 ）完全相关：当一种现象的数量变化完全 由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长 L 决定于它的半径 R ，即 L=2∏R 。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
第八章 相关与回归分析
本章分三节： 第一节 相关与回归分析的基本概 念 第二节 一元线性回归分析 第三节 相关分析

2018/12/4
河北工程大学经济管理学院
3
第一节 相关与回归分析的 基本概念
本节需要把握四个问题： 一、函数关系与相关关系； 二、相关关系的种类； 三、相关分析与回归分析； 四、相关表和相关图。
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三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
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3、二者关系
上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
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/上午11时26分
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.1 相关关系
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析 9.1.1 相关关系的概念
9.1 相关关系
1． 变量的函数关系和相关关系 变量之间的数量关系可区分为确定性与不确定性两类。 数值型数据的确定性数量关系称为函数关系。函数关系遵循严格的因 果律。 如在国民经济核算中“国内生产总值= 消费+积累+ 进出口净额”，或 者“国内生产总值=固定资产折旧+劳动者报酬+企业盈利+生产税净额”， 反映的是国民经济核算中的数量衡等关系，这些都是变量之间确定性的 数量关系，即函数关系。 数值型数据的不确定性的数量关系称为统计关系，即相关关系。相关 关系也是一种客观存在的变量之间的数量关系，反映了变量之间的一种 不严格的数量依存关系。一般来说，相关关系遵循广义的因果律。 相关关系（ Correlation）是指变量之间客观存在的不确定的数量关 系。
/上午11时26分
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.1 相关关系
2．相关分析与回归分析 相关关系是统计学研究的主要对象之一。在现代统计学中围绕相关关 系已经形成了两个重要的统计方法——相关分析和回归分析。 虽然，相关分析和回归分析都是以相关关系为研究对象，由于其研究 相关关系内容的侧重，和所反映相关关系特征的角度不同，两者存在以 下区别。 （1）描述的方式不同 相关分析主要采用相关系数来度量变量之间的相关关系。通过相关系 数数值的大小来度量相关关系的强弱。 回归分析要采用通过拟合回归模型来度量变量之间的相关关系。通过 回归模型来反映相关关系的具体形式。有回归模型的一般形式为
统计学 相关 与回归分析
《统计学教程》第9章 相关与回归分析

我们得到的截距和斜率（26.444和 0.651）是对0和1的估计。
§7.3 定量变量的线性回归分析 由于不同的样本产生不同的估计，所
以估计量是个随机变量，它们也有分 布，也可以用由他们构造检验统计量 来检验 0 和 1 是不是显著。拿回归主 要关心的来说，假设检验问题是
H : 0 H : 0 0 1 1 1
§7.1 问题的提出

例7.1 有50个从初中升到高中的学 生。为了比较初三的成绩是否和 高中的成绩相关，得到了他们在 初三和高一的各科平均成绩(数据在 highschool.txt) 。这两个成绩的散点 图展示在图7.1中。
50 名同学初三和高一成绩的散点图
100 有个上升趋势；即初三时成绩相对较高 的学生，在高一时的成绩也较高。 90

计算机输出也给出了这个检验：t检验 统计量为9.089，而p-值为0.000。
§7.3 定量变量的线性回归分析 除了对的检验之外，还有一个说明自
变量解释因变量变化百分比的度量， 叫 做 决 定 系 数 （ coefficient of determination ，也叫测定系数或可决 系数），用R2表示。 对于例1，R2=0.632；这说明这里的自 变量可以大约解释63％的因变量的变 化。 R2 越接近 1 ，回归就越成功。由 于R2有当变量数目增加而增大的缺点， 人们对其进行修改；有一修正的 R2 （adjusted R square）。
Sig. .000a
a. Predictors: (Constant), j3 b. Dependent Variable: s1
§7.3 定量变量的线性回归分析 和刚才简单的回归模型类似，一般的
有k个（定量）自变量x1, x2…, xk的对 因变量 y 的线性回归模型为（称为多 元回归）

［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
返回到内容提要
第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852

———————————————————
月份
1 2 3 4 5 6 合计
———————————————————
产量x （千件） 4 6 8 7 8 9 42
单位成本y（元/件）73 72 71 72 70 69 427
x2
16 36 64 49 64 81 310
y2
5329 5184 5041 5184 4900 4761 30399
关图 元线性回归模型。
按影响因素的数量不同：分单相关、复相关和偏相关
平均受教育程度与平均年收入散点图
60 50 40 30 20 10
0 0
平均年收入（y） 平均年收入（y）
5
10
15
20
25
二、相关系数
• 含义：用于测定两个变量之间线性相关 程度和相关方向的统计分析指标，常用 字母r表示。
• 计算公式： 相关系数ρ=变量x与y的协方差/变量
x的标准差•变量y的标准差=ơxy2/ơxơy （详见教材P146）
接前页
• 相关系数特点： 取值在-1到+1之间； 当r大于零时，为正相关；小于零时，为负相关； 当r绝对值接近于零，表示变量间的相关程度越小；
当r绝对值越接近于1，表示变量间的相关程度 越大。 当 r=0时，表明x与y无关系（称零相关） 当r绝对值等于1时，变量之间完全相关（或为函 数关系）。
模型参数的估计方法：
最小平方法
• 此部分可参见教材P151 要求：根据所给资料绘制出变量间相关图；
计算相关系数，并判断变量间相关 方向和相关程度；
根据最小平方法公式计算参数估计 值a、b；
建立一元线性回归模型y=a+bx； 解释回归系数b的经济意义。

预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。

第七章
相关与回归分析
第一节 相关的含义
• 一、相关的概念 • 二、相关的类别 • 三、相关关系的判断
一、相关的概念
• 相关主要说明了总体中变量之间的一种联 系，要理解相关的概念我们必须借助函数 这个概念来解释。
• 函数关系是指变量之间客观存在的、在数 量上可按一定的法则确定的依存关系。
• 而相关关系是指变量之间虽客观存在，但 由于受一些随机因素的干扰，变量之间在 数量上呈现出来的一种不确定的依存关系 。
计算结果
x2 y
(x x)y ( y ) 11 .86 3 97 .3 7
n
12
x2
(xx)244 .92 23.9 6
n
12
y2
(yy)2 55.6077
45 .09
n
12
rxxy2y
9.73 0.75 3.6945.09
相关系数的其他公式
r xxyy xx2yy2
r
n x y x y
y ˆiyi2 yy ˆ2最小
二、一元线性回归分析
• （二）直线回归方程的其他求解方法
b
nxy x y
nx2 x2
a y bx
b
x xy x x2
y
a y bx
例 一元线性回归方程计算
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
年龄 x销售额（万元）y
45
• （一）估计标准误差
Syx
yˆ y2
n
Syx
y2aybxy
n
三、回归模型拟合优度测定
• （二）判定系数
r2 SSRyˆy2 SSTyy2
• 可以证明判定系数刚好等于相关系数的平 方。