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我国新能源汽车销量预测的数学模型研究随着环保意识的不断提高以及能源紧缺的问题日益突出，新能源汽车作为替代传统燃油车的重要选择，逐渐得到了人们的广泛关注和认可。
然而，新能源汽车市场的快速发展也面临着一些问题，如销量波动大、市场份额低、价格高等，因此，为了更好地推动新能源汽车产业的发展，需要对其销量进行预测和研究，制定出更加科学合理的发展策略，而数学模型的应用将有助于更准确地预测新能源汽车的销量。
一、新能源汽车销量预测的数学模型1. 多元线性回归模型多元线性回归模型是利用多个自变量来预测一个因变量的方法，通过对各项因素进行分析，构建数学模型，来预测新能源汽车的销售量。
其中，自变量可能包括新能源汽车的价格、政府补贴政策、消费者购买能力、市场竞争等因素，因变量即为销售量。
该模型能够比较准确地预测新能源汽车销量，但需要对各项因素进行较为全面的调查和分析，还需要考虑各因素之间的相关性。
2. 时间序列模型时间序列模型是将某一变量在一段时间内的变化情况作为因素，对未来该变量的变化趋势进行预测的方法。
新能源汽车销量的时间序列模型通常是基于历史销量数据，通过对其进行趋势分析、季节性分析和循环性分析，来预测未来销量的增长趋势。
该模型需要较长的数据时间跨度，同时需考虑未来政策变化、市场竞争等因素对销量的影响，以保证模型的准确性。
3. 神经网络模型神经网络模型是一种基于人工神经网络的预测方法，通过对神经网络进行学习和训练，将历史销量数据作为输入，预测未来销量的变化。
该模型具有自学习、自适应、非线性等特点，能够对复杂的销量变化趋势进行预测，但需要大量的历史数据进行训练和预测，同时需要对神经网络的设置和参数进行调整和优化。
二、数学模型在新能源汽车销量预测中的应用新能源汽车销量预测的数学模型在实际应用中能够为政府和企业提供有价值的参考，对推动新能源汽车产业的发展有着重要的意义。
首先，数学模型能够提供科学的预测结果，帮助政府和企业制定出更加科学合理的发展策略。
2020年第十届MathorCup高校数学建模挑战赛题目D题 新零售目标产品的精准需求预测随着我国消费市场的不断发展，市场上的消费模式已经逐步由“以物为主”转变为“以客为主”。
在新零售行业，性价比不再是顾客衡量是否购买物品的唯一标准，人们的需求也不仅仅是单一的追求实用性，而是更多的考虑时尚性，把注意力放在“个性化、时尚、美观”等方面。
在这类特殊需求的推动下，新零售企业的生产模式逐步向多品种、小批量迈进，这让商场内零售店铺里的饰品和玩具等种类变得更加琳琅满目，同时也给零售行业的库存管理增加了很大的难度。
如何根据层级复杂，品类繁多的历史销售数据，以区域层级，小类层级乃至门店skc(单款单色)层级给出精准的需求预测，是当前大多数新零售企业需要重点关注并思考的问题。
你们的团队将从3个方向为新零售企业解决“精准需求预测”问题贡献一份力量。
请基于附件的数据，思考并解决以下4个问题： 问题1：试分析2018年国庆节，双十一，双十二和元旦这四个节假日内各种相关因素对目标skc的销售量的影响，可考虑产品销售特征，库存信息，节假日折扣等因素。
其中，目标skc为销售时间处于2018年7月1日至2018年10月1日内且累计销售额排名前50的skc。
问题2：试结合上述分析结果，预测给定区域内目标小类在2019年10月1日后3个月中每个月的销售量，给出每个月预测值的MAPE。
其中，目标小类为历史销售时间处于2019年6月1日至2019年10月1日内且累计销售额排名前10的小类。
问题3：为了满足企业更加精准的营销需求，试着建立相关数学模型，在考虑小类预测结果的同时，预测目标小类内所有skc 在2019年10月1日后12周内每周的周销量，并给出每周预测值的MAPE (可以考虑skc 销售曲线与小类销售曲线之间的差异)。
问题4：请给企业写一份推荐信，向企业推荐你的预测结果和方法，并说明你们的方案的合理性以及后续的优化方向。
附录：MAPE 计算公式其中表示真实值, 表示预测值, 表示百分比误差, 表示指标集个数。
Marketing营销策略0922012年4月 产品销售中数学建模方法的应用探讨内蒙古乌兰察布职业学院 李元占摘 要：产品销售在现代市场经济中是商业企业很注重的核心问题，因为产品的销量直接关系到企业效益的高低，但是目前有部分企业过度关注商品的销售量，对销售决策和管理的重视程度不够，经验主义和粗放型的销售模式缺乏产品销售的量化，对企业的核心竞争力没有形成较大合力。
本文根据西方经济学中关于经济变量的基本函数关系，建立企业产品销售中的数学模型，对其原则和理论进行引用，并通过数学模型分析产品的销售策略，对其进行科学的预测。
关键词：数学模型 销售 策略 核心中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号：1005-5800(2012)04(a)-092-02现代市场经济的发展，在科学手段和信息技术的促进下呈现学科综合性的特征，特别是数学经济模型的建设越来越普遍化。
在经济决策科学化和定量化的现代市场中，可以利用数学建模的方式对其产品数量和交易方式等进行专业的计算。
数学建模具有抽象性的特征，其严谨的推理和广泛的应用，促进了数学与经济的有机结合。
1 数学建模方法在产品销售中的重要性一般来说，数学经济模型根据其变量的特征可以分为确定型和概率型两种模式，确定型的数学模型是在一定的假设、法则的基础上，对其特定情况进行精确地判断，而概率型的数学建模方式具有一定的随机性。
数学是一门具有多种分支的综合学科，各分支相互交叉渗透，所以在经济运用中，能用多种数学方法对其进行描述和结算。
具体的数学模型建设，则要根据实际的经济情况特征和销售产品形式，同时，看销售人员对哪种数学模型的熟练程度较高，在充分发挥专业才能的基础上，结合数学建模特征及销售的实际情况，分析产品的销售前景和销售机会。
但是，数学是一门专业性较强的学科，并不能够直接进行经济领域问题的处理，根据其市场客观情况，结合数学科学严密性的特点，就需要建立适当的数学模型。
建立数学模型分析，能够有效地解决经济销售过程中的抽象问题，简化经济结构，在获取经济效益的前提下，以数字和字母甚至其他符号建立一个等式或者不等式，结合必要的图片、图表客观形象地描述销售过程，通过模拟的销售环境分析，计算出精准的销售效益，有效地对产品市场进行预测，带来显注的生产效率。
以数学建模竞赛为例基于SPSS建立ARIMA模型一、引言二、题目描述假设某市某项产品的月销售数据如下（单位：件）：月份销售量1 2002 2203 2104 2405 2506 2607 2708 2809 29010 30011 32012 330请建立ARIMA模型预测未来3个月的销售量。
三、建立ARIMA模型1. 数据处理在SPSS软件中导入上述数据，然后对数据进行时间序列图的绘制和基本统计分析。
通过时间序列图可以观察到数据是否存在趋势和季节性，基本统计分析可以得到数据的均值、标准差等关键统计量。
2. 差分运算由于ARIMA模型对原始数据的平稳性要求比较高，因此在建立模型之前需要进行差分运算以确保数据的平稳性。
在SPSS软件中，可以使用“Transform”菜单中的“Difference”功能对数据进行一阶差分或二阶差分操作。
在这个例子中，我们选择进行一阶差分操作。
3. 自相关和偏自相关图在差分运算之后，需要使用自相关和偏自相关图来确定ARIMA模型的p和q值。
在SPSS软件中，可以使用“Analyze”菜单中的“Forecasting”功能来生成自相关和偏自相关图，并根据图形来判断p和q的取值。
4. 建立ARIMA模型在确定了差分次数、p和q的取值之后，可以使用“Analyze”菜单中的“Forecasting”功能来建立ARIMA模型。
在输入模型参数的时候，需要根据之前的分析结果来设定差分次数、自回归阶数和移动平均阶数。
四、结果分析通过以上步骤，我们成功地建立了ARIMA模型并进行了未来3个月销售量的预测。
预测结果显示未来3个月销售量分别为340、350和360件。
我们还对模型的拟合效果进行了检验，结果表明模型的残差序列符合白噪声特性，预测结果较为可靠。
五、总结本文以一次数学建模竞赛题目为例，介绍了如何使用SPSS软件建立ARIMA模型进行时间序列分析和预测。
通过差分运算、自相关和偏自相关分析、模型建立和诊断以及预测分析等步骤，我们成功地对未来3个月销售量进行了预测。
产销问题摘要本问题为如何实现成本最小、利润最大的问题，问题的核心为如何求成本函数最小值的问题，共有2个问题需要我们来解决。
问题1是确定在已知的产品需求预测量的前提下，根据产品各项成本费用，列出成本函数和各项守恒约束条件，我们将此问题转化为线性规划问题求最优解，通过利用LINGO软件，得到模型，并且计算出在不降价促销的情况下解出的最小成本、最大利润。
（其中要注意：最大利润=售价-最小成本）。
问题2利用问题1所得到的模型，根据给出假设条件（即在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生），调整已知条件中的需求预测值，带入问题1中的模型，求出结果。
关键词线性规划 LINGO 最优解目录一、问题重述-------------------------------------------4二、问题背景-------------------------------------------5三、问题分析-------------------------------------------5四、模型假设-------------------------------------------6五、符号说明-------------------------------------------6六、建立模型与模型求解---------------------------------7七、模型评价与推广-------------------------------------10八、研究成果短文---------------------------------------10九、参考文献-------------------------------------------11十、附录-----------------------------------------------12一、问题重述某企业生产某种手工产品需要原材料的购入，工人工作还需要企业给出工资，产品的产量与市场的需求量不符时，还需要给出相应的剩余的产品的库存成本或者打折时的缺货损失。
汽车销量预测模型一、摘要本小组利用网络收集2001到2011年汽车销售的数据，分析影响汽车销量的因素，用excel软件对这些数据进行处理分析，再用matlab软件分别做出乘用车年销售量、商用车年销售量、汽车年销售总量拟合的方程。
方法一是：乘用车、商用车年销售量的方程相加得出汽车年销售总量；方法二是：直接利用2001到2011年汽车年销售量的数据用matlab软件拟合得出模型方程。
最后把两种方法得出的结果进行对比。
二、问题重述汽车年销量是指一年卖出的汽车数量，总销量是乘用车和商用车两者销量相加。
汽车未来的销量数据对汽车行业制定未来生产规划有着重要的意义。
请你根据我国以往汽车销量（总销量或乘用车销量）的数据，用数学建模的方式预测未来5年中国汽车年总销量或年乘用车销量的增长速率。
三、问题分析在国际标准中，汽车分为两类，即乘用车和商用车。
乘用车是在设计和技术特性上主要用于在科技及其随身行李和/或临时物品的汽车，包括驾驶员座位在内最多不超过9个座位，它也可以牵引一辆挂车。
乘用车分为普通乘用车、活顶乘用车、高级乘用车、小型乘用车、敞篷车、仓背乘用车、旅行车、多用途乘用车、短头乘用车、越野乘用车、专用乘用车、旅居车、防弹车、救护车等，前6种乘用也可俗称轿车。
商用车是在设计和技术特性上用于运送人员和货物的汽车，并且可以牵引挂车。
商用车分为客车（包括驾驶员座位在内的座位数超过9座的车辆，客车有单层的或双层的，也可牵引1个挂车。
客车有细分为小型客车、城市客车、长途客车、旅游客车、铰接客车、无轨客车、越野客车、专用客车）、半挂牵引车、货车（货车又细分为普通货车、多用途货车、全挂牵引车、越野货车、专业货车和专用货车）三大类。
影响汽车销量的主要因素有：人口增长、政府的相关政策、经济的发展水平。
所以建立模型时将这些影响因素假设为在未来五年是相对稳定的。
四、模型假设1.中国社会在未来五年内保持相对稳定，不发生突发性事件导致社会动乱。
隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是一种统计模型，常用于对有随机变动的过程进行建模和预测。
在商业领域，隐马尔科夫模型也被广泛应用于产品销量预测。
本文将介绍如何利用隐马尔科夫模型进行产品销量预测，并探讨其在实际应用中的优势和局限。
一、隐马尔科夫模型概述隐马尔科夫模型是一种基于有限状态空间的动态随机过程模型，它由状态空间、观测空间、状态转移概率矩阵和观测概率矩阵组成。
在产品销量预测中，状态空间可以表示产品的销售状态，观测空间可以表示销售数据的观测结果，状态转移概率矩阵描述了产品销量在不同状态之间的转移规律，观测概率矩阵描述了观测结果与产品销量状态之间的关系。
二、利用隐马尔科夫模型进行产品销量预测的方法首先，需要构建隐马尔科夫模型的状态空间和观测空间。
状态空间可以根据产品的销售状态划分，如高销量、中销量和低销量状态；观测空间可以根据销售数据的特征进行定义，如销售额、库存量、促销活动等。
其次，需要估计隐马尔科夫模型的状态转移概率矩阵和观测概率矩阵。
这可以通过历史销售数据进行统计分析得到，也可以通过机器学习算法进行学习和优化得到。
最后，利用已构建和估计好的隐马尔科夫模型，可以进行产品销量的预测。
通过输入当前的销售数据，可以利用隐马尔科夫模型进行状态推断，从而得到未来销量的预测结果。
三、隐马尔科夫模型在产品销量预测中的优势1. 考虑了销售状态的动态变化。
隐马尔科夫模型能够捕捉产品销售状态的动态变化，更加符合销售数据的实际规律。
2. 考虑了销售数据的序列特征。
隐马尔科夫模型能够考虑销售数据的序列特征，更加适用于时间序列的销售数据分析和预测。
3. 考虑了观测数据的不完全性。
隐马尔科夫模型能够处理观测数据的不完全性，更加适用于实际销售数据的预测分析。
四、隐马尔科夫模型在产品销量预测中的局限1. 需要大量的历史销售数据。
隐马尔科夫模型需要大量的历史销售数据进行模型的构建和估计，对于新产品或新市场的销量预测可能会存在不足。
a=polｙfit（x１,ｙ，１);y1＝polyval(a,x１)；b=polyｆｉｔ(x2，y,2）;ｘ3=5．00:0.05：7.２5;y2=pｏlｙval(b,ｘ3）;sｕｂplot(2，1，1）；ｐlｏt（x1,y,＇*＇,ｘ1,y1，＇ｂ')；title(＇ͼ1y¶Ôx1µÄÉ¢µãͼ'); subｐｌot（2,1，2);plｏt(x2,y,'o',ｘ３,ｙ2，'b')；tiｔle('ͼ２ y¶Ôｘ２µÄÉ¢µãͼ')x的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性从图1可以发现,随着1模型011(1)y x ββε=++拟合的(其中ε是随机变量)。
而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型201222(2)y x x βββε=+++拟合的。
综合上面的分析,结合模型(1)和（2)建立如下的回归模型20112232(3)y x x x ββββε=++++(３）式右端1x 和2x 称为回归变量（自变量),20112232x x x ββββ+++是给定价差1x ，广告费用2x 时,牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数,由表1的数据估计,影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中。
如果模型选择合适，ε应该大致服从均值为0的正态分布。
五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果) ２)、确定回归模型系数,求解出教程中模型（3)： 建立程序c ｈengxu2.ｍ如下：ｘ１=[-０．05 0.25 ０.60 ０ 0.2５ ０.2０ 0.１5 0.05 -0．１5 0．１5 ０.20 0.10 0.40 0.4５ 0.３5 0．30 0.50 0.50 ０.40 -0.0５ －0.０５ -0.1０ 0．２0 ０．10 ０.５0 ０.6０ -0.0５ 0 0．０5 0．55]'；x2=[5．50 6.7５ 7.25 5.50 7.00 ６.50 ６.75 5.２5 5.2５ ６．０0 6.５0 6.2５ 7．０0 6.９0 6.80 6.80 7.1０ ７．０0 6.80 ６.50 ６.2５ 6.00 6.50 7．00 6．80 6.80 6．50 5.7５ 5.8０ 6.８0]'； X=[on ｅs （30,1） x1 x2 ｘ2.＾2];Y=[7.38 8.51 ９.52 ７.5０ 9.33 8．28 8.7５ 7.8７ 7.１0 8.00 7.８９ 8．15 9.10 ８.86 8．９０ 8．8７ 9．26 9．０0 ８.75 ７.９5 7.65 7.27 8.０0 8.50 ８.75 9.21 ８.27 7.6７ 7．93 9.26]';[ｂ，ｂｉnt,r,rint,sta ｔs]=r ｅgress(Y,Ｘ); b,bint ，stats结果如下：ｂ=17.32441．３07０-3．6９560．348６ｂint =5.7282 28.920６0.6829 1.９31１-7.49８９0．1077０.０3790．659４ｓｔats =0．9054 8２.９409 ０.00000.0490表2模型（3）的计算结果参数参数估计值参数置信区间β17.3244 [5.7282，28.9206]β 1.3070 [0.6829，1.9311]1β-3.6956 [-7.4989,0.1077]2β0.3486 [0.0379,0.6594]3结果如下：b =29.11３311.1３42-7.６080０.6７１2-1.47７７bint=１3.70１3 44.5２521．9７78 2０.２906-1２．69３２-2.５２2８０.253８１．０887-2.８518 -０.1０３7sｔats ＝0.9209 ７2.7771 0.00000.0426表３模型（5)的计算结果参数参数估计值参数置信区间β29.1133 [13.7013,44.5252]β11.1342 [1.9778,20.2906]1β-7.6080 [-12.6932，-2.5228]2β0.6712 [0.2538，1.0887]34β-1.4777 [-2.8518，-0.1037]2R =0.9209 F=72.7771 p<0.0001 2s =0.0426表3与表２的结果相比，2R 有所提高,说明模型（５）比模型(3)有所进步。
B 题：产品销量预测设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销量()x t 与t 有关。
1， 设t 时刻产品销量的增长率dxdt与)(t x 成正比, 预测0t 时的产品销量0()x t ； 2， 设考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与该产品的潜在容量)(t x N 成正比, 预测0t 时的产品销量0()x t ；3， 试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测0t 时的产品销量0()x t .摘要在经济学与管理学领域里，人们经常遇到涉及有关经济量的变化，如增长、速率、边际分析等，通常是根据动态平衡法，遵循净变化率=输入率-输出率的规则，建立起诸经济量之间的相应的微分方程模型，用以描述并解释各个经济量之间的变化规律，从而做出正确的决策及预测分析。
本文首先针对问题一和问题二，建立了简单的数学模型。
例如问题二中的模型实际上就是著名的逻辑斯蒂(logistic)模型,它在人口、虫口模型中应用广泛，并且也被用来预测经济学中一些产品销量等问题，著名的生物增长S型曲线就是通过此模型得到的。
文章给出了逻辑斯蒂模型，并解释了它在产品销量问题中的应用，分析了逻辑斯蒂方程的一些简单性质。
针对问题三我们有三种种思路，第一：考虑到在现实中，影响产品销量的因素有很多，此时问题二中的模型就显得太过简单，文章加入了其他的现实因素，比如价格，产品寿命损耗等因素，改进了原来的模型，并简要分析说明了模型的优越性。
第二：运用线性回归的知识建立数学模型。
第三：因为线性回归方程中汽车销量需要知道影响因素的一些数据，但我们却并不知道，所以通过线性回归得到的方程还不够。
这里还有许多其他不确定因素所以我们采用方法二灰色预测的方法来预测汽车销量。
关键词：逻辑斯蒂模型，改进的模型，线性回归，灰色预测一、 问题重述 B 题：产品销量预测设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销量()x t 与t 有关。
销量预测问题
一、 摘要
本文通过建立微分方程模型,探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。
模型由简单到复杂、由理想到现实,逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况,分析了广告费用对销售量产生的影响,建立比较符合现实的模型。
问题一中,新产品的投入,没有市场竞争,有良好的市场环境,也有良好的口碑,故属于较为简单的微分方程模型,可直接建立模型。
问题二中,产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dt
dx 与该产品的潜在容量)(t x N -成正比,故建立阻滞增长模型求解。
问题三中,则考虑了广告费用对产品销量的影响,分析了广告费用与销售速率之间的关系,建立数学微分方程模型,并运用了Matlab 软件编程求解。
二、 问题提出
一种新产品问世,经营者自然要关心产品的卖出情况。
如何采取有效措施,使得产品销量大,获取更大的利润,这就是每个经营者最为关注的问题。
1、设t 时刻产品销量的增长率dx
dt 与)(t x 成正比, 预测t 时的产品销量()t x ;
2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明dt dx
与该产品的潜在容量)(t x N -成正比, 预测t 时的产品销量()t x ;
3、试考虑影响产品销量的广告因素,并建立模型,预测t 时的产品销量()t x 、
三、 模型假设与符号系统
模型假设:
模型基本假设:;
假设1:在考虑影响商品销售的因素时,不考虑偶然因素,如经济、战争因素、政治干预等;
假设2:产品的销售量符合产品的生命周期;
假设3:产品为日常用品,不就是耐用品,每个人都需要。
符号系统:
x(t) 为t 时刻新产品的销售量
a 为每件新产品的宣传效率
N 为市场的销售容量
b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数
s(t) 为商品t 时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份,八月份的销售量,而不就是总销售量)
M(t) 为t 时刻的广告费用
θ 为销售量本身的衰减系数
∂ 为广告宣传对销售速率的影响
T 为商品销售速率最大的时刻
四、 模型的建立与求解
问题一模型的建立与求解:
模型的建立:
t 时刻时,新产品的销售量为x(t),把x(t)当做连续、可微函数处理。
每件新产品都就是宣传品,且单位时间内每件新产品能够使a 件新产品被销售。
由假设可知:
x(t+∆t)-x(t)=ax(t)
即:
dx ax dt =
开始时有0x 件新产品被销售
x(0)= 0x
整理得:
(0)0dx ax dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩
求解得:
()0at x t x e =
问题二模型的建立与求解:
模型的建立: 事实上,()t x 往往就是有上界的。
针对模型上述欠缺,我们来修改模
型,统计表明dt
dx 与该产品的潜在销量成正比,且设b 为销售量的增长率与潜在销售量的比例系数
则:
(())dx b N x t dt =-
用matlab 软件求解得:
(1)0()bt bt N e x x t e --= 问题三模型的建立与求解:
模型的建立:与实际情况比较,所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。
然而事实上,厂家在产品销售之初,往往就是通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
因此我们需要做一下在广告干预下的模型。
另由图像分析可知
商品的销售速度与广告费用成正比,即
()ds M t dt ∝ 但就是在市场趋于饱与,销售量趋于极限值N 时,销售速度将会下降(广告作
用下降,当s(t)趋近于N,广告作用趋近于零)。
产品生命周期一般分为四个阶段:
引入期:指新产品投入市场的初期阶段,也叫投入期。
因这一阶段,用户对产品不太了解,需要做大量的广告宣传工作,向用户推荐介绍产品,所以这一时期也叫做介绍期。
成长期:市场销售量迅速增长的阶段。
成熟期:销售量很大,而且稳定,增减幅度不大。
销售量最高点也就是在这一时期。
衰退期:产品已经陈旧老化,销售量下降很快。
由产品的生命周期可知,自然衰退就是商品销售速度的一种性质,即产品销售速度随销售量的增加而下降。
()1ds s t dt N ∝- 由于商品本质属性中销售衰减期的存在,所以我们建立模型如下:
()()()(1)()ds t s t M t s t dt N θβ=∂--+ 特别:M(t)=0,s(t)=N 时,得到
()()ds t s t dt θ=- 若M(t)复杂,则方程难以解出。
考虑到销售速度与广告宣传的关系,当销售
进行到一定时刻,无论如何做广告,销售速度都将下降。
故设广告总费用为m,为讨论方便,设在T 时间内做广告且取M(t)=m/T,即取广告策略为:
(0)()0()m t T M t T t T ⎧<<⎪=⎨⎪>⎩
相当于在开始到T 时间内,平均投入广告费用,时间T 后不再作广告。
代入方程:
当0<t<T 时,
()()(1)()ds t m s t s t dt T N θβ=∂--+
()()m m s t T TM θ=∂-+∂(0<t<T)
令
m
p TM
θ=+∂
m
q T =∂
则方程化为一阶非齐次线性方程
()()ds t ps t q dt +=
得: ()pt q s t ce p -=+
若s(0)=s0,则c=s0-q/p, 从而 ()(0)pt q q s t s e p p -=-+
(1)0pt pt q e s e p --=
-+
当t>T 时,由 s'(t)=-θs(t)
得:,
s(t)= pt ce - 当t=T 时,由s=s(T)=N s ,由(1)算出得
即 )
()(t T n e s t s -=θ
0()(1)(0)()()pt pt T t N q e s ce t T p s t s e t T θ---⎧-+<<⎪=⎨⎪>⎩。
