山东省2020年高三高考模拟数学试题一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆， 若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =； 若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a=，所以11a =-或12a =，解得1a =-或12a =，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型.2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+， 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =-∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】 【分析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020年山东省五莲县丶安丘市、诸城市、兰山区高考数学仿真试卷（6月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U 为实数集，集合{|13}A x x =-<<，{|(1)}B x y ln x ==-，则集合A B I 为( ) A ．{|13}x x <…B ．{|3}x x <C ．{|1}x x -…D ．{|11}x x -<<2．（5分）若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12(z z = ) A ．1-B ．1C ．3455i -+D ．3455i -3．（5分）已知直线1:sin 10l x y α+-=g ，直线2:3cos 10l x y α-+=g ，若12l l ⊥，则sin 2(α=) A ．23B ．35±C ．35-D ．354．（5分）泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路．甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是()A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路5．（5分）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），则“a =0OA OB =u u u r u u u r g ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是( )A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6，8]D ．[8，12]7．（5分）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π．设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12(V V = )A ．2B ．32C ．1D ．348．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若120MF MF =u u u u r u u u u r g ，则该双曲线的离心率是( ) A 2B 21C 13D ．53二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是( )A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 10．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是( )A ．线段11B D 上存在点E 、F 使得//AE BFB ．//EF 平面ABCDC ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值11．（5分）已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论正确的是( ) A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数 C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x 212．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在3(,0)2x ∈-内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线” 2y ex e =- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量(1,0)a =r，(,2)b λ=r ，|2|||a b a b -=+r r r r ，则λ= ． 14．（5分）已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-，则8a = ． 15．（5分）函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则ϕ= ；将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移(0)2b b π<<个单位后，得到一个偶函数的图象，则b = ．16．（5分）设集合1{(A m =，2m ，3)|{2i m m ∈-，0，2}，{1i ∈，2，3}}，则集合A 满足条件：“1232||||||5m m m ++剟”的元素个数为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①2342a a a +=，②22n n S a =-，③425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <． 18．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设17,2sin 172cos a b A B b A ==．（1）求tan A ；（2）若D 是AC 边上的中点，2ABD π∠=，求sin DBC ∠．19．（12分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点． （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右两个焦点为1F ，2F ．抛物线22:4(0)C y mx m =>与椭圆1C 有公共焦点2(1,0)F ．且两曲线1C 、2C 在第一象限的交点P 的横坐标为23． （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）直线:l y kx =与抛物线2C 的交点为Q 、(O O 为坐标原点），与椭圆1C 的交点为M ，(N N 在线段OQ 上，且||||MO NQ =．问满足条件的直线l 有几条，说明理由．21．（12分）为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验．方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4轮试验后，就停止试验．甲、乙两种药的治愈率分别是25和34([,])55ββ∈． （1）若35β=，求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率；（2）已知A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和(101)β-千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和A 公司各承担该轮试验耗材总费用的50%．若甲药治愈，乙药未治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的75%，其余由科研机构承担．若甲药未治愈，乙药治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的25%，其余由科研机构承担．以A 公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求A 公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？ 22．（12分）已知函数()sin f x lnx ax x =++，其中(0x ∈，]π；()l 判断函数()f x 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；（2）讨论在[,]2ππ上函数()f x 的零点个数．2020年山东省五莲县丶安丘市、诸城市、兰山区高考数学仿真试卷（6月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U 为实数集，集合{|13}A x x =-<<，{|(1)}B x y ln x ==-，则集合A B I 为( ) A ．{|13}x x <…B ．{|3}x x <C ．{|1}x x -…D ．{|11}x x -<<【解答】解：Q 全集U 为实数集，集合{|13}A x x =-<<， {|(1)}{|1}B x y ln x x x ==-=<，∴集合{|11}A B x x =-<<I ．故选：D ．2．（5分）若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12(z z = ) A ．1-B ．1C ．3455i -+D ．3455i -【解答】解：12z i =-Q ，且1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称， 22z i ∴=--，则122(2)(2)342(2)(2)55z i i i i z i i i ---+===-+-----+． 故选：C ．3．（5分）已知直线1:sin 10l x y α+-=g ，直线2:3cos 10l x y α-+=g ，若12l l ⊥，则sin 2(α=) A ．23B ．35±C ．35-D ．35【解答】解：因为12l l ⊥，所以sin 3cos 0αα-=， 所以tan 3α=，所以2222sin cos 2tan 3sin 22sin cos 15sin cos tan ααααααααα====++． 故选：D ．4．（5分）泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路．甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是()A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路【解答】解：若假设甲说：我走红门盘道徒步线路是对的，则乙说丙走红门盘道徒步线路就是错的，那么甲走桃花峪登山线路就是对的，矛盾；若假设甲说乙走桃花峪登山线路时对的，则丙说乙走红门盘道徒步线路就是错的，那么甲走天烛峰登山线路就是对的，再代入乙，则丙走红门盘道徒步线路是对的，能成立； 故选：D ．5．（5分）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），则“a =0OA OB =u u u r u u u r g ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为：225420y ay a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），∴△221620(2)0a a =-->，解得：210a <．1245ay y ∴+=，21225a y y -=， 121200OA OB x x y y =⇔+=u u u r u u u r g ，1212(2)(2)0y a y a y y ∴--+=，2121252()0y y a y y a ∴-++=，222452055a a a a -∴⨯-⨯+=，解得5a =±．则“5a =”是“0OA OB =u u u r u u u rg ”的充分不必要条件．故选：A ．6．（5分）如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是( )A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6，8]D ．[8，12]【解答】解：抛物线的准线:2l x =-，焦点(2,0)F ， 由抛物线定义可得||2A AF x =+，圆22(2)16x y -+=的圆心为(2,0)，半径为4，FAB ∴∆的周长||||||2()46A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+，由抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=可得交点的横坐标为2， (2,6)B x ∴∈ 6(8,12)B x ∴+∈故选：B ．7．（5分）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π．设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12(V V = )A ．2B ．32C ．1D ．34【解答】解：由球的半径为R ，得球的内部表面积为22R π， 又酒杯内壁表面积为2143R π， ∴圆柱的侧面积为283R π．设圆柱的高为h ，则2823R h R ππ=g ，即43h R =．∴2314433V R R R ππ==g ，3223V R π=．∴313243223R V V R ππ==． 故选：A ．8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若120MF MF =u u u u r u u u u r g ，则该双曲线的离心率是( ) A ．2B ．21 C ．13 D ．53【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点(,)bM m m a，因为120MF MF =u u u u r u u u u r g ，所以121||||2OM F F =，222()bmm c a +=上，故(,)M a b ，又(,0)A a -，所以直线AM 的斜率32b k a ==，所以2243b a =， 故该双曲线的离心率22211b e c a ==+=．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是( )A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解答】解：由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是( )A ．线段11B D 上存在点E 、F 使得//AE BFB ．//EF 平面ABCDC ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【解答】解：AB Q 与11B D 为异面直线，AE ∴与BF 也为异面直线，即A 错误；11//B D BD Q ，BD ⊂平面ABCD ，11B D ⊂/平面ABCD ，//BD ∴平面ABCD ，而EF 在11B D 上，//EF ∴平面ABCD ，即B 正确；从图中易知，点A 和点B 到EF 的距离是不相等的，AEF ∴∆的面积与BEF ∆的面积不相等，即C 错误；如图所示，连接BD ，交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111112224BEF S EF BB ∆==⨯⨯=g g ，11122334A BEF BEF V S AO -∆==⨯=g ，为定值，即D 正确． 故选：BD ．11．（5分）已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论正确的是( ) A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数 C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x【解答】解：(2)sin[cos ]cos[sin ]()f x x x f x π+=+=，A 正确； sin11,01,(0,)2cos1,21sin1,(,]()23cos1sin1,(,)23cos1,[,2)2cos1,(,0)2x x x x f x x x x πππππππππ+=⎧⎪⎪∈⎪⎪=⎪⎪⎪⎪-∈=⎨⎪⎪-∈⎪⎪∈⎪⎪⎪∈-⎪⎩， 函数是非奇非偶函数，则B 正确；由于(0,)2x π∈时，()1f x =，不增不减，所以C 错误；因为3(0)sin11sin 162f π=+>+=>，所以D 正确． 故选：ABD ．12．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在(x ∈内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =- 【解答】解：21:()()()A m x f x g x x x =-=-，(x ∈， ∴21()20m x x x '=+>，故()m x在(内单调递增，故A 正确；B ，C ：设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx b kx b x ⎧+⎪⎨+⎪⎩……对任意0x <恒成立， 故22010x kx b kx bx ⎧--⎨+-⎩……对任意0x <恒成立，由210kx bx +-…对任意0x <恒成立， 若0k =，则0b =符合题意，0k <，则20x kx b --…对任意x 都成立， 又102x k =<轴，从而2140k b =+V …，所以0b …，则02bx k'=-轴…， ∴△2240b k =+…，即24k b -…且24b b -…，421664k b k ∴-剟，故40k -<…，同理可得，421664b k b -剟即40b -<…，B 正确C 错误；D ：函数()f x 和()h x的图象在x =一定存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k ，则隔离直线方程(y e k x -=，即y kx e =-，由()(0)f x kx e x ->…恒成立， 若0k =，则20x e -…，(0)x >不恒成立， 若0k <，由20(0)x kx e x -+>…恒成立，令2()u x x kx e =-+，(0)x >，则()u x在上单调递增，0u =， 故0k <不恒成立，不符合题意，故0k >，可得20x kx e -+…在0x >时恒成立，102x k '=>轴，则23(0k =-V …时只有k =y e =-，下面证明()h x e -…，令()()2G x e h x e elnx =--=--，则()G x '=，易得，当0x <<时，()0G x '<，函数单调递减，当x ()0G x '>，函数单调递增，故当x e =时，函数取得极小值0，也是最小值， 所以()0G x …，故()2h x e e -…，所以()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线2y ex e =-，故D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量(1,0)a =r ，(,2)b λ=r ，|2|||a b a b -=+r r r r ，则λ= 12．【解答】解：2(2,2)a b λ-=--u u r r ，(1,2)a b λ+=+rr ， |2|||a b a b -=+r r r r Q ， 22(2)4(1)4λλ∴-+=++， 解得12λ=． 故答案为：12． 14．（5分）已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-，则8a = 180 ． 【解答】解：1010(1)[2(1)]x x +=--Q∴其展开式的通项为1(1)2r r T +=-1010(1)rrr C x --令8r =得88104180a C == 故答案为：18015．（5分）函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则ϕ=4π；将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移(0)2b b π<<个单位后，得到一个偶函数的图象，则b = ．【解答】解：函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，可得123488πππω=-g ，2ω∴=．再根据五点法作图，282ππϕ+=g ，4πϕ∴=．将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移(0)2b b π<<个单位后，可得sin(22)4y x b π=-+的图象；Q 得到一个偶函数的图象，242b k πππ∴-+=+，k Z ∈．则38b π=，此时，1k =-． 故答案为：4π；38π．16．（5分）设集合1{(A m =，2m ，3)|{2i m m ∈-，0，2}，{1i ∈，2，3}}，则集合A 满足条件：“1232||||||5m m m ++剟”的元素个数为 18 ． 【解答】解：1232||||||5m m m ++Q 剟，且{2i m ∈-，0，2}，∴当123||||||2m m m ++=时，1m ，2m ，3m 中两个0，一个2或2-；故共有11236=g 痧种；当123||||||4m m m ++=时，1m ，2m ，3m 中-个0，另两个是2或2-；故共有132212=g g ð种； 故共有18个元素， 故答案为：18．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①2342a a a +=，②22n n S a =-，③425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <． 【解答】解：（1）若选择①2342a a a +=，可得231112a q a q a q +=，化为220q q --=，解得2(1q =-舍去），又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n nn b a ==++；选择②22n n S a =-，可得11122a S a ==-，解得12a =，又122222a a S a +==-，解得24a =， 可得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； 选择③425S S =，可得4211(1)(1)511a q a q q q --=--g ，即215q +=，解得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； （2）证明：111211(21)(21)2121n n n n n n n n a b b +++==-++++， 2231111111111()()()212121212121321n n n n T ++=-+-+⋯+-=-+++++++， 由11021n +>+，可得13n T <． 18．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设sin 2cos a b A B b A ==． （1）求tan A ；（2）若D 是AC 边上的中点，2ABD π∠=，求sin DBC ∠．【解答】解：（1）因为a =2sin 2cos b A B b A =． 所以2sin sin 2cos b A a B b A -=，由正弦定理可得，2sin B ．sin sin sin 2sin cos A A B B A -=， 因为sin 0B >，故sin 2cos A A =即tan 2A =，（2）由tan 2A =，设2BD x =，AB x =则AD DC =，cos ADB ∠， BAD BDC π∠+∠=Q ，cos BDC ∴∠=BDC ∆中，由余弦定理可得，22174522(x x x =+-⨯g ， 解可得，1x =，由ABD BCD S S ∆∆=可得，1122sin 22x x x DBC ⨯⨯=⨯∠，sin DBC ∴∠=19．（12分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点． （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PAD ∆是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥． 又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO CD ⊥，AD CD D =I ，AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),3)O A B C D G P --，(3),(3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=u u u r u u u r，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =r， 由00m EF m EG ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，得20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，则(3,0,1)m =r，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =r，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，所以||1cos ||||2m n m n θ==r rg r r ．所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π；（Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 设,[0,1]PM PA λλ=∈u u u u r u u u r ，由GM GP PM GP PA λ=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ， 所以(2,4,23(1))GM λλ=--u u u u r．所以23sin|cos ,|62467GM m πλλ=<>=-+u u u u r r，整理得22320λλ-+=，无解， 所以，不存在这样的点M ．20．（12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右两个焦点为1F ，2F ．抛物线22:4(0)C y mx m =>与椭圆1C 有公共焦点2(1,0)F ．且两曲线1C 、2C 在第一象限的交点P 的横坐标为23． （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）直线:l y kx =与抛物线2C 的交点为Q 、(O O 为坐标原点），与椭圆1C 的交点为M ，(N N 在线段OQ 上，且||||MO NQ =．问满足条件的直线l 有几条，说明理由． 【解答】解：（1）公共焦点2(1,0)F ，可得椭圆的焦点坐标为(1,0)-，(1,0)， 所以1m =，所以抛物线的方程为24y x =；由P 在抛物线上，所以2(3P 26，又P 在椭圆上，可得222212226226752||||(1)()(1)()4333333a PF PF =+=++-+=+=， 所以2a =，又1c =，则223b ac =-=，从而椭圆的方程为22143x y +=；（2）联立直线和椭圆方程可得223412y kxx y =⎧⎨+=⎩，即有22(34)12k x +=， 可得23234M x K =-+，23234Nx K =+， 联立直线与抛物线的方程可得24y kx y x=⎧⎨=⎩可得224k x x =，解得0O x =，24Q x k =，由||||MO NQ =，且||||OM ON =，可得N 为线段OQ 的中点，即2O QN x x x +=，可得2234434k k =+，化为423430k k --=，解得2213k +=（负值舍去）， 故满足题意的k 值有2个．则存在过原点O 的两条直线l 满足题意．21．（12分）为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验．方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4轮试验后，就停止试验．甲、乙两种药的治愈率分别是25和34([,])55ββ∈． （1）若35β=，求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率；（2）已知A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和(101)β-千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和A 公司各承担该轮试验耗材总费用的50%．若甲药治愈，乙药未治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的75%，其余由科研机构承担．若甲药未治愈，乙药治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的25%，其余由科研机构承担．以A 公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求A 公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？【解答】解：（1）记事件A 为“2轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只”， 事件B 为“2轮试验后，乙药治愈1只白鼠，甲药治愈0只白鼠”，事件C 为“2轮试验后，乙药治愈2只白鼠，甲药治愈1只白鼠”，则P （B ）123233108()()5555625C =⨯⨯⨯=， P （C ）21223323108()()5555625C C =⨯⨯⨯=， P ∴（A ）P =（B ）P +（C ）216625=． （2）一次试验耗材总费用为3101102ββ+-=+千元，设随机变量X 为每轮试验A 公司需要支付的试验耗材费用的取值，则X 的可能取值为1(102)2β+，3(102)4β+，1(102)4β+， 12231((102))(1)(1)25555P X ββββ∴=+=+-⨯-=-， 32((102))(1)45P X ββ=+=-， 13((102))45P X ββ=+=． X ∴的分布列为数学期望213132135116()(102)()(102)(1)(102)2554545225E X ββββββββ=+⨯-++⨯-++⨯=-++， 令25116()225f βββ=-++，34[,]55β∈，开口向下，对称轴为1110β=， ()f β∴在34[,]55上单调递增，318()()55min f f β==（千元）， A ∴公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为18414.45⨯=（千元），即14400元． 22．（12分）已知函数()sin f x lnx ax x =++，其中(0x ∈，]π；()l 判断函数()f x 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；（2）讨论在[,]2ππ上函数()f x 的零点个数． 【解答】解：（1）1()cos f x a x x '=++， 设1()cos g x a x x =++，21()sin 0g x x x'=--<，故()f x '递减，1()()1min f x f a ππ'='=+-，又0x →时，()f x '→+∞，①若()0f π'<，即11a π<-时，0(0,)x π∃∈使0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，()f x 递减，()f x ∴在0x 处取极大值，不存在极小值，②若()0f π'…，即11a π-…，()0f x '>，()f x ∴在(0，]π递增，此时()f x 无极值，（2）由（1）可知：()i 若11a π-…时，由上问可知：11()()(1)10222222min f x f ln ln ππππππ=+-+=++>…， 即11a π-…时函数没有零点，()ii 若11a π<-时，(0x ∈，0]x 时，()f x 递增，0(x x ∈，]π时，()f x 递减，由0()0f x '=得001cos 0a x x ++=，从而001cos a x x =--， 再设1()cos h x x x =--，则21()sin 0h x x x'=+>从而a 关于0x 递增， ①若0(0x ∈，]2π，此时(a ∈-∞，2]π-， 若()()02f f ππ>得2(1)2a ln ππ<-+或ln a ππ>-， 2(1)2a ln ππ∴<-+时无零点， ()()02f f ππ<得2(1)2ln ln a ππππ-+<<-， 22(1)2ln a πππ∴-+<-…时有1个零点， 当2(1)2a ln ππ=-+时，()02f π=，()0f π≠，有1个零点， 因此2(1)2a ln ππ<-+时无零点，22(1)2ln a πππ-+-剟时有1个零点； ②0(2x π∈，]π，此时2(a π∈-，11]π-，()10222f ln a πππ=++>，()f ln a πππ=+， 0000000()()sin sin cos 1max f x f x lnx ax x lnx x x x ∴==++=+--， 设()sin cos 1m x lnx x x x =+--，则1()sin 0m x x x x '=+>， 故()()022max f x m ln ππ>=>， 若()0f π>即ln a ππ>-，即11ln a πππ-<<-时无零点，若()0f π…即ln a ππ-…，即2ln a πππ-<-…时有1个零点， 综上，(a ∈-∞，2(1)(2ln ln ππππ-+-⋃，)+∞时无零点， 2[(1)2a ln ππ∈-+，]ln ππ-时有1个零点．。
绝密★启用前山东省普通高中2020届高三毕业班下学期6月质量检测巩固卷数学(文)试题(解析版)2020年6月一、选择题1. 已知集合{}2280A x Z x x =∈--≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，则A B =（ ） A. 1,0,1,2 B. {}2,1,0-- C. {}34x Z x ∈-≤≤D. {}2,1,0,1,2-- 【答案】D【解析】【分析】先解出集合A ，根据交集定义计算即可.【详解】由2280x x --≤，得24x -≤≤，因为x ∈Z ，所以{}2,1,0,1,2,3,4A =--， 因为{}3,2,1,0,1,2B =---，所以{}2,1,0,1,2A B =--．故选：D ．【点睛】本题考查集合的交集运算,考查学生对基础知识的掌握程度,属基础题.2. 已知复数()212i z i-=（i 为虚数单位）,则zi =（ ） A. 1B. 1-C. i -D. i【答案】A【解析】【分析】化简可得()212122i i z i i--===-,代入所求,根据复数求模公式,即可得答案. 【详解】由题意,复数()212122i i z ii--===-, 所以1zi i =-=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数的基本运算,考查学生对基础知识的掌握程度,属基础题.3. 在ABC 中,4AB =,2AC =,60BAC ∠=︒,点D 为BC 边上一点,且D 为BC 边上靠近C 的三等分点,则AB AD ⋅=（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2 【答案】A【解析】【分析】用,AB AC 作为一个基底,表示向量AD ,然后利用数量积运算求解.【详解】在ABC 中,已知4AB =,2AC =,60BAC ∠=︒,所以()2++3AB AD AB AB BD AB AB BC ⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭, 21212+3333AB AB AC AB AB AC ⎛⎫=⋅=+⋅ ⎪⎝⎭, 212cos 33AB AB AC BAC =+⋅∠, 1621428332=+⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4. 已知201920192sincos 022x x ππ+++=,则tan 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 12 B. 34- C. 13 D. 3。
