线性代数 答案 厦门大学在线练习

单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

6．已知四元非齐次线性方程组 Ax = b ，r (A ) = 3， 3 2 1 , , h h h 是它的三个解向量，其中T T ) 3 , 1 , 0 , 1 ( , ) 2 , 0 , 2 , 1 ( 3 2 2 1 = + = +h h h h ， 则齐次线性方程组的通解为­ ____________________________________。

7．设向量组 3 2 1 , , b b b 由向量组 3 2 1 , , a a a 的线性表示式为 ï îï í ì + + - = - + = + - = 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 a a a b a a a b a a a b ，则 向量组 3 2 1 , ,a a a 由向量组 3 2 1 , ,b b b 的线性表示式为____________。

8．设秩(A ) = r, 秩(B ) = s ，则秩 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ B A 0 0 ____________，秩 ÷ ÷ øö ç ç è æ B A ____________ 9．设 A 是 n 阶方阵，秩 (A ) = n －2，则秩 * A ____________。

第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第一节 矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵23⨯A ，32⨯B ，33⨯C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)21,0,0,21(=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T+ （B ）E （C ）E - （D ）03．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T4．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ] （A ）E C A B A TTTT= （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2二、填空题： 1．=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4321028244611652112-⎛⎫ ⎪--⎝⎭2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432112122121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101012121234B ，则=+B A 3214138725252165⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭3．=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12707532113435649⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4．=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-204131210131431104126782056-⎛⎫ ⎪--⎝⎭三、计算题：1． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A TA AB 23-21322217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭B A T 058056290⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第二节 逆 矩 阵一．选择题1．设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [B ] （A ）1-*=A A A （B ）1-*=n AA （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B |3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ]（A ）A A λλ= （B ）A A λλ= （C ）A A nλλ= （D ）A A nλλ=4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ] （A ）E C A B A TTTT= （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2二、填空题：1．已知A B AB =-，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221B ，则=A 10.50.51⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 2．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛12643152X ，则X = 21304⎛⎫⎪-⎝⎭3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则12-*B A = 21123n --4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则=--1)(E A (2)/2A E +三、计算与证明题：1． 设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和12-+)(E A1()22A EA E A A E A -=∴-－可逆＝13(2)()42(32)4A EA E E A E A E A E -+=-+∴-+-－可逆＝2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求A 的逆矩阵1-A*420136132142||2A A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭= 12106.530.51671A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭3． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=，求 B1(2)(2)A E B A B A E A--==-线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号233(2)110121A E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭10.5 1.5 1.5(2)0.50.5 1.50.50.50.5A E --⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭033123110B ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭一、把下列矩阵化为等价标准型：1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 答案：1 -1 0 2 -3 0 0 1 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000001000012．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34731038234202173132 答案：1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 4⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛001000001000001二、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023 答案：.10612631110104211;10612163111101014211111210123211122011023);|()|(1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−-则该矩阵的逆为r rA E E A三、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1643388143131562231X ，求X 答案： 无解线性代数练习题 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第三节 矩 阵 的 秩一．选择题1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零 （B ）都等于n C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都小于n 2．设n m ⨯矩阵A 的秩为s ，则 [ C ] （A ）A 的所有s －1阶子式不为零 （B ）A 的所有s 阶子式不为零 （C ）A 的所有s +1阶子式为零 （D ）对A 施行初等行变换变成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000sE 3．欲使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足 [ C ]（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 44．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则 [ B ] （A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB()min(,)()min(,)()min((),())min(,)()||0()||0m n n m m n n m m n n m R A m n R B m n R A B R A R B m n n mR A A R A m A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯≤≤≤≤=<⇔⇔≠⇔<⇔=又A 可逆满秩A 不可逆5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有=B [ C ]（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12 二．选择题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ，则=)(A R 2 2．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 31a a ==-或 三、计算题： 1． 设，求)(A R213114413224422322321837103201032023075230750363732580325800242010320218370121710320012170242003635r r r r r r r r r r r r r r --↔-+↔+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→−−→ ⎪-- ⎪---⎝⎭4316141032001217000014000016103200121700001400000() 3.r r R A -⎛⎫⎪- ⎪− ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭=故2．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k ，问k 为何值，可使 ⑴ 1=)(A R ⑵2=)(A R ⑶3=)(A R21313132(1)212302(1)3(1)103(1)10,()1;10,12312302(1)3(1)02(1)3(1):103(1)003(2)(1)||6(2)(1)r r r r r k r r r k A k k k k k R A k k k k k k k B k k k k B k k k +---+-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪⎪---⎝⎭-==-≠--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--−−−−→--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭=-+-若则若则若122,||0,60,() 2.62,||0,12,() 3.C R A k C k k R A --=-==≠=-≠-≠≠≠-=则但故若则故且时线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第三节 分块矩阵一．选择题1．设A ，B 为n 阶矩阵*A ，*B 分别为A ，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B AC 00，则C 的伴随矩阵=*C [D ]（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A 00 （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A A B B 00 （C ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A B B A 00 （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A A B 00 解：11111111100||||||0||||||0||||00||||||||,||||,0||||000||||A C B C A B A C C C A B B A B A A B B A A A E A A A B B B E B B B B A A B A A B A B B -*----**-**-*-*-⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭=⇒==⇒=⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5400320000430021A ，则=-1A -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 0 0 0 0 -2.5000 1.5000 0 0 2.0000 -1.0000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A = 42．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0030001320001200A ，则=2A 6 5 0 00 6 0 00 0 6 50 0 0 6⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2OC A B O O C O C CB O A B O B O O BC ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、计算题：1．设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001，求11A 11111()P AP P P AP P P P A P P -----=Λ=Λ=Λ 10.20.80.20.2P --⎛⎫= ⎪⎝⎭11111111()()...()A P P P P P P P P ----=ΛΛΛ=Λ 11111002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭11111A P P -=Λ2． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300012300000200000100A ，求1-A解：1112*11*21111()r r B r C r O C A B O OCE O A E B O O E B O O E OC E O E O OB O EC O O B A CO --↔-----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦⎛⎫= ⎪⎝⎭1 0 0 0 0.8 -0.2 0 0 0 -0.6 0.4 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 010 0 0 03A -⎛=⎝⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭3．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2200020000340043A ，求8A 及 4A12A O A OA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1234432022A A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4142625006251606416A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 462500006250000160006416A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦88881612(||||)(25*4)10A A A A ===-=线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号综 合 练 习一．选择题1．设n 阶矩阵A ，B 是可交换的，即AB = BA ，则不正确的结论是 [ B ] （A ）当A ，B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）当A ，B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵 （C ）2222)(B AB A B A ++=+ （D ）22))((B A B A B A -=-+2．方阵A 可逆的充要条件是 [ B ] （A ）A ≠ 0 （B ）| A | ≠ 0 （C ）A * ≠ 0 （D ）| A * | ＞0 3．设n 阶矩阵A ，B ，C 和D 满足E ABCD =，则=-1)(CB [ A ]（A ）CDADAB （B ）DA （C ）AD （D ）DABCDA 二．填空题：1．已知二阶矩阵M 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221*M ，则=M 4221-⎛⎫⎪-⎝⎭ 2．若A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121106223211043a 可逆，则a 为 6a ≠-三．计算题与证明题：1． 已知)3,2,1(=α，)3/1,2/1,1(=β，设βαT A =，求nA 解： 1()()...()()nTTTTTTT n A αβαβαβαβαβαβαβ-==T βα＝1(1,1/2,1/3)233⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以111133132(1,1/2,1/3)311/21/33212/333/21n T n n T n n A αβαβ----==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101010112A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020100301B ，A ，B 与X 满足06*1*=++-BA XA AXA ，求X解：*111*1*1|||||||||606060|||||6E AXA XA BA AX XA B AX X B A A A A A A A A A A A A A B -----∴++=++=+++== 由得右乘（）X ＝－得||3A ＝所以2E 2E A BX A B+=-+-1（）X ＝－（） 4 1 12E 0 3 0-1 0 39.0000 -3.0000 -3.00002E 0 13.0000 0 3.0000 -1.0000 12.0000A A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭-1（）=1（）=39-9 6 -24 0 0 -13-3 -24 -8⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1x=39 3．设n 阶矩阵A 满足062=--E A A ，试证：（1）A 与A －E 都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E 和A －3E 不同时可逆11()6|||()||6|06)6A A E E A A E E A E A A A A E A E ---=-=≠-=--=可逆可逆((A+2E)(A-3E)=O又(A+2E)与(A-3E)均可逆因此，R((A+2E))=R((A-3E))=n=R((A+2E)(A-3E))=R(O)=0矛盾。

厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期《线性代数》复习题C 一、选择题（每小题3分，共18分）1． 设111213212223313233a a a a a a d a a a =，则313233212223111213333222a a a a a a a a a =---（ ）。

A ．6d ； B ．3d -； C ．3d ； D ．2d 。

2．设A ，B 为n 阶方阵，A B O =，则（，则（ ）成立。

）成立。

A ．A B O ==； B ．A B O +=； C ．||0A =或||0B =； D ．||0A B +=。

3. 3. 设设11223021A t -æöç÷=ç÷ç÷èø，若3阶非零方阵B 满足A B O =，则t =（ ））。

A ．5- B B．．4- C C．． 6- D D．．44．设A 为45´矩阵，且A 的行向量组线性无关，则（的行向量组线性无关，则（ ）。

A ．A 的列向量组线性无关；的列向量组线性无关；B ．方程组A X b =的增广矩阵A 的行向量组线性无关；的行向量组线性无关；C ．方程组A X b =的增广矩阵A 的任意4个列向量构成的向量组线性无关；个列向量构成的向量组线性无关；D ．方程组A X b =有唯一解。

有唯一解。

5．下列命题错误的是（．下列命题错误的是（ ）。

A ．若4阶方阵A 的行列式等于0，则必有A 中的至少有一行向量是其余向量的线性组合； B ．若b 为零矩阵，线性方程A X b =一定有解；一定有解；C ．矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1TQ Q -=；D ．n 阶实对称矩阵不一定有n 个两两正交的特征向量。

个两两正交的特征向量。

6．下列命题正确的是（．下列命题正确的是（ ）。

A ．若T A A =，TB B =，则A B B A +也是对称阵；也是对称阵； B ．若A X A Y =，且A O ¹，其中O 为零矩阵，则X Y =；C ．齐次线性方程组A X O =（A 是m n ´矩阵），且()r A r n =<，则其基础解系中所含的向量个数等于r ；D ．设1a ，2a 为矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量，则12a a +也是矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量。

线性代数课后习题答案全习题详解(总92页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae acab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100110011001 解(1)7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x z y zy x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11 =,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) n nnnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 51165100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列5100650006100051650061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B 问(1)AB BA 吗 解 AB BA 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗 解 (A B)2A 22AB B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610所以(A B)2A 22AB B 2 (3)(A B)(A B)A 2B 2吗 解 (A B)(A B)A 2B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(A B)(A B)A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A 则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2A 3Ak解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A 求A k解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵证明 因为A T A 所以(B T AB)T B T (B T A)T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明 充分性 因为A T A B T B 且AB BA 所以(AB)T (BA)T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性 因为A T A B T B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T B T A T BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A|1 故A 1存在 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A|10 故A 1存在 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A|20 故A 1存在因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(E A)1E A A 2 A k1证明 因为A k O 所以E A k E 又因为E A k (E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A)可逆 且(E A)1E A A 2A k1证明 一方面 有E (E A)1(E A) 另一方面 由A k O 有 E (E A)(A A 2)A 2A k1(A k1A k )(E A A 2 A k 1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A 2 A k 1)(E A) 两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A 2A k115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E)1证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E)2E 或E E A A =-⋅)(21由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A -=-由A 2A 2E O 得 A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A -=+-证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A|2 即 |A||A E|2 故 |A|0所以A 可逆 而A 2E A 2 |A 2E||A 2||A|20 故A 2E 也可逆 由 A 2A 2E O A(A E)2E A 1A(A E)2A 1E)(211E A A -=-又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以 (A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A -=+- 16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A)15A*|解 因为*||11A A A =- 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A 1)*证明 由*||11A A A =- 得A*|A|A 1所以当A 可逆时 有|A*||A|n |A 1||A|n 1从而A*也可逆 因为A*|A|A 1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n 1若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立因此|A*||A|n119设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A AB A 2B 求B解 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB E A 2B 求B解 由AB E A 2B 得 (A E)B A 2E 即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E)可逆 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B解 由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB 8(A*2E)1A 1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E 2A)18(2E 2A)14(E A)14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-=2diag(1 2 1)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B 解 由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001求A 11解 由P 1AP得A P P 1所以A 11 A=P 11P 1.|P|3 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A)A 8(5E 6A A 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明 因为 A 1(A B)B 1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A1B 1可逆(A1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 27 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A 1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211C C C C O B A O 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211D D D D B C O A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-⨯-⨯=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=（3）1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- （4）11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）214121413121506201232123250625062-== （2）28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------（3）111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- （5）x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-， 则按最后一行展开，可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时，必须满足什么条件？ 解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解：由A X B +=， 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解：（1）()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （3）12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4） 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解： （1） 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误， 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =，但0.A ≠（5）错误， 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =，但.A I ≠6． 解：2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7． 证明： 因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明： 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解： 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. （1）解： 由初等行变换可得，11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）解： 由初等行变换可得，111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭， 当2λ=-时， 方程组无解， 当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数， 当1λ≠， 且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解： 通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解： 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.（1） 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2） 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明： 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=， 所以12()()k I A I A A A --=++++19． 解： 由220A A I --=， 得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-， 因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明： 由220A AB B ++=， 且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明： 若,B C 可逆，则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以A 可逆，且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之，若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭， 则， 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此，,BZ I CY I ==， 因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =， 得211A A AA --=， 即A E =， 这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关， 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解， 因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（⇒）设1mi i i k αα==∑， 和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（⇐）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑， 则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关， 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi i i k α==∑若有某个0i k =， 不妨设10k =，则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====， 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零， 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以， 当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关， 且312111.77ααα=+ 13. 解： （1）因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此，向量组1234,,,αααα的秩为2， 12,αα是一个极大线性无关组， 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2）， （3）， 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2， 即12,αα线性无关.（2） 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明： 因为111111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关， 即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++， 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩， 解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明： 因为A 是正交阵， 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==， 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量， 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此， 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选取选取34,x x 作为自由未知量， 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）见教材答案 （4）见教材答案2. （1） 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭， 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2） 答案见教材 3. （略）4. 证明： 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。

线性代数总分: 100 得分: 0单选题(共100题)(1).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(2).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(3).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(5).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(6).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(7).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(9).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(10).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(12).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(13).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(15).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(16).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(18).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(19).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(21).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(22).(1分) 回答:正确答案: C.C得分: 0(23).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(25).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(26).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(27).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(29).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(30).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(31).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(33).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(34).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: C.C得分: 0(36).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(37).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(39).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(40).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (41).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(43).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(44).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(45).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(46).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(47).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(48).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(49).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(51).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(52).(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(53).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (55).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(56).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (57).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0.(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(59).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(60).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(61).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(62).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(63).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(64).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(65).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(66).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(67).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(68).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(69).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(70).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(71).(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(72).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (73).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0 (74).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(76).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(77).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(78).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(80).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(81).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(82).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(83).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(84).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(85).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(86).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(87).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(88).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(89).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(90).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(91).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(92).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(93).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(94).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(95).(1分)正确答案: D.D得分: 0(96).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(97).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(98).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(99).(1分)正确答案: B.B得分: 0 (100).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0。

线性代数答案解答第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：.解（2）=ba ca c bc b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （4）yx yx x y x yy x y x+++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+--33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=4.计算下列各行列式：解 (2)2605232112131412-24c c -260532122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(4)d c ba 10110011001---21ar r +d cb a ab 10011011010---+ =12)1)(1(+--d c a ab 101101--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）： 解(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax xa a x xa a x x a a a a x D n ------=00000再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=00000000)1()(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行 交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnnnn d c d c b a b a D 011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 00000011111111----展开按第一行00000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开 由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((6)n n a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n nn n a a a a a a a a a a +-------100100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------0000000000000000000000022433221nn n a a a a a a a a ----+--000000000000001133221++nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a第二章 矩阵及其运算4．计算下列乘积： 解(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=652087613．利用逆矩阵解下列线性方程组:解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：解3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样? 解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r . 二阶子式71223-=-．(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0230102420536307121131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x解(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x8．λ取何值时,非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ, 得1=λ时,方程组有无穷多个解.11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267100010001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2102121123326712．(1) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =;(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X第四章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+.解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示. (2)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关 取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---140113130********211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,.8．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关. 证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关 不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++=22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121 两边取行列式，得 T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTTT n T T a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++= 22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121两边取行列式，得 Tn TTnn n n n n T nT T k k k k k k k k k a a a εεε 212122*********1=由0021222211121121≠⇒≠nn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε 212112121 即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组： n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关. TsT T βββ,,,21 显然,存在矩阵B A '',,使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+由于0212221212111≠rrr r r r k k k k k k k k k所以方程组只有零解021====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关, 证毕.13．设}0,,),,,({211211=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足 }1,,),,,({211212=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足 问21,V V 是不是向量空间？为什么？证明 集合V 成为向量空间只需满足条件： 若V V ∈∈βα,，则V ∈+βα 若R V ∈∈λα,，则V ∈λα 1V 是向量空间，因为：0),,,(2121=+++=n T n ααααααα 0),,,(2121=+++=n T n βββββββ T n n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+ 且)()()(2211n n βαβαβα++++++ 0)()(2121=+++++++=n n αααβββ 故1V ∈+βα ),,,(,21n R αααλαλ =∈00)(2121=⋅=+++=+++λαααλλαλαλαn n 故1V ∈λα2V 不是向量空间，因为：)()()(2211n n βαβαβα++++++211)()(2121=+=+++++++=n n αααβββ 故2V ∉+βα ),,,(,21n R λαλαλαλαλ =∈λλαααλλαλαλα=⋅=+++=+++1)(2121n n 故当1≠λ时，2V ∉λα14．试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321===所生成的向量空间就 是3R .证明 设),,(321a a a A =011101110,,321a a a A =02110101011)1(1≠-=-=-于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3,所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间 就是3R .15．由,)1,1,0,1(,)0,0,1,1(21T T a a ==所生成的向量空间记作1V ,由 ,)1,1,1,0(,)3,3,1,2(21T T a b --=-=所生成的向量空间记作2V ,试证 21V V =.证明 设{}R k k a k a k x V ∈+==1122111,{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量,可写成2211a k a k +, 要证22211V a k a k ∈+,从而得21V V ⊆ 由22112211βλβλ+=+a k a k 得 ⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中,把21,k k 看成已知数,把21,λλ看成未知数0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故21V V =16．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3R 的一个基,并把 T T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==用这个基线性表示.解 由于06230111321,,321≠-=-=a a a即矩阵),,(321a a a 的秩为3故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k故321132a a a v -+=设3322112a a a v λλλ++=，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故线性表示为3212233a a a v --=17．求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019719141019119201~367824531232初等行变换A 所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121 n n n ξξξn E R A E A R A E R A R E A R A R ==-+≥-+=-+)()()()()()( 由此n E A R A R =-+)()(．23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解 系：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101322351211250011~初等行变换B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0111,20138ξη(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2011,0719,002121ξξη24．设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关。

第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n 阶行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521 = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎜⎛⎜⎰〉=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ AD ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

厦门大学网络教育2018-2019学年第二学期《线性代数》课程离线作业学习中心： 年级： 专业： 学号： 姓名： 成绩：一．选择题（共10小题，每题3分）1. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 则|A 3-5A 2+7A |的值为（ D ）。

A ． 3； B. 6； C. 9； D. 18。

2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B =（ A ）A ． 033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； B.033123110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; C. 033123-110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; D.033123-110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 已知A 是四阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，若A *的特征值是1，-1,2,4，那么不可逆矩阵是（ A ）。

A ．A-E ； B ．2A-E ； C ．A+2E ； D ．A-4E ；4. 若A ，A *和B 均为n 阶非零矩阵，且AB=O 则必有r(B)=（ A ）。

A ．1；B ．2；C ．n-1；D ．不确定； 5. 设A 为3阶矩阵， |(2A )-1-5A *|=-16，则||A =（ B ）。

A ． 1； B. 1/2； C. 0; D.-16. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 则A T B 的值为（ A ）。

A ． 0-58056290⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； B.0-58056290⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; C. 058056290⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; D.0-58056-290⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭7. 设三阶矩阵)(321ααα=A ，)2(21βαα=B ，其中βααα,,,321均为三维列向量，且2=A ，1=B ，则B A +=（ D ）。

A ．5； B. 0; C.1; D. 15.8. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解，则（ A ）。