解析几何专题训练理科用

专题05 解析几何一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)xy m m+=>的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P 、F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =-（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题.如图，在圆D 中，AB 为其一条弦，120ADB ∠=︒，C ，O 是弦AB 的两个三等分点，以A 为左焦点，B ，C 为顶点作双曲线T .设双曲线T 与弧AB 的交点为E ，则1403ADE ADB ∠=∠=︒.若T 的方程为()222106x y a a -=>，则圆D 的半径为（ ）A ．BCD 4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点()3,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ）A ．1BCD ．5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线MN 与C 的左支交于M ，N 两点，若()21210F F F M MF +⋅=，222F N F M =，则C 的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】若直线y kx =与双曲线22194x y-=相交，则k 的取值范围是A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为A ．17或1-B ．1-C ．1D ．1或1-8. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么 A ．l m ⊥且m 与圆C 相切 B ．l m 且m 与圆C 相切 C ．l m ⊥且m 与圆C 相离D ．l m 且m 与圆C 相离9. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是 A ．24480y x y -++= B ．22220y x y +-+= C ．24480y x y +-+=D ．2210y x y --+=10. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎤⎥⎣⎦ B ．1⎤⎥⎣⎦ C ．⎣⎦ D ．⎣⎦11. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A B 1 C D 112. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】若双曲线221mx ny +=(0m >)m n= A ．14B ．14-C ．4D ．4-14. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A B C ．2 D ．15. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】直线21y x =-被过点(0,1)和(2,1)，）A B C D 16. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点(c,0)F ，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ） A ．22193x y -=B ．221123y x -= C ．221312x y -=D ．22139x y -=二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知椭圆C ：22148x y +=内一点M (1，2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．AB 2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法一定正确的是（ ）A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切C ．12x x 为定值D ．若()1,0M -，则AMF BMF ∠=∠3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在一张纸上有一圆()()222:20C x y r r ++=>与点()(),02M m m ≠-，折叠纸片，使圆C 上某一点M '好与点M 重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M C '的交点为T ，则下列说法正确的是（ ） A ．当22r m r --<<-+时，点T 的轨迹为椭圆B ．当1r =，2m =时，点T 的轨迹方程为2213y x -=C ．当2m =，12r ≤≤时，点T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[]2,4D ．当r =2m =时，在T 的轨迹上任取一点S ，过S 作直线y x =的垂线，垂足为N ，则SON △(O 为坐标原点)的面积为定值 三、填空题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线:220l x y p +-=与抛物线C 交于A ，B 两点，且1BF AF =+，则AB =_________.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】设双曲线222116x y b-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则12AM BM +的最小值________. 4. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知1F ，2F 为双曲线2214yx -=的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，且122PF PF =，则12PF F △的面积为______．5. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知点M 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限上一点，点F 为双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点，447MO MF OF ==，则双曲线C 的离心率为___________；若,MF MO 分别交双曲线C 于P 、Q 两点，记直线QM 与PQ 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅=___________．6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】过椭圆2221(1)x y a a +=>上一点P 及坐标原点O 作直线l 与圆2221x y a +=+交于A ，B 两点.若存在一点P 满足2||||1a PA PB =+，则实数a 的取值范围是_________. 四、解答题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知抛物线1C ：()220x py p =>上的点到焦点的距离最小值为1.（1）求p 的值；（2）若点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，且在曲线1C 上存在三点A ，B ，C ，使得四边形PABC 为平行四边形.求三角形PAC 的面积S 的最小值.2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 为C 的上顶点，12AF AF ⊥，且12AF F △的面积等于1. （1）求C 的方程；（2）若过点A 的直线1l 交C 于另外一点M ，1l 关于直线1AF 对称的直线为2l ，2l 交C 于另外一点N （异于点M ），证明：直线MN 过定点.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为其中一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ=C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ． （1）求椭圆E 的方程；（2）设点A 是椭圆E 的左顶点，P ，Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为14-，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点．说明理由．4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅰ）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率e =过点(),0A a ，()0,B b - （1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知定点()0,1F ，定直线:1l y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切.（1）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，求PAB ∆外接圆面积的最小值.7. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．8. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点(F ，椭圆的两顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线l 不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为12,k k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由. 9. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点()0,1，离心（1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求OMD面积的最大值，并求此时点D 的坐标．10. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B ，椭圆C 过点⎝． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．11. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左､右焦点分别为1F ，2F ，P ⎛ ⎝⎭满足12PF PF +2a =，且以线段12F F 为直径的圆过点.P （1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线OM 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，当OMN的面积为定值1时，12k k 是否为定值？若是，求出12k k 的值；若不是，请说明理由.12. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离2，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.13. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知曲线C 的方程为4=．（1）求曲线C 的离心率；（2）设曲线C 的右焦点为F ，斜率为k 的动直线l 过点F 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，证明：||||PF AB 为定值．。

初中理科数学解析几何练习题
解析几何是数学中的一个重要分支，它将代数和几何相结合，用代数的方法研究几何问题。

初中阶段的学生通过研究解析几何可以培养抽象思维能力和几何直观性，同时提升数学解题能力。

以下是一些初中理科数学解析几何的练题，供学生们进行训练和巩固知识。

题目一：点的坐标
1. 已知平面直角坐标系中的点A的坐标为(2, 3)，点B的坐标为(-1, 4)，求线段AB的中点坐标。

题目二：距离公式
2. 已知平面上点A的坐标为(3, 2)，点B的坐标为(-5, -1)，求线段AB的长度。

题目三：直线方程
3. 已知直线L过点A(4, 1)和点B(-2, 3)，求直线L的方程。

题目四：线段垂直平分
4. 已知平面上线段AB的中点坐标为(1, 2)，直线L的方程为2x - 3y = 7，判断线段AB是否被直线L垂直平分。

题目五：两线段相交
5. 已知平面上线段AB的端点坐标为A(1, -2)和B(4, 3)，线段CD的端点坐标为C(1, 2)和D(3, 0)，判断线段AB和线段CD是否相交。

题目六：求斜率
6. 已知平面上直线L的方程为2x + 3y = 6，求直线L的斜率。

以上是初中理科数学解析几何的练习题，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握解析几何的知识。

通过不断地练习和思考，相信你们可以在解析几何方面取得更好的成绩！加油！。

专题08 解析几何一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ．2．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．4C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=），∵1sin()1θϕ--≤≤,d1=+，∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3 B．3 C．3 D ．13A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．4．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3 B． CD ．2 A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =， 由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ． 5．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为6的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为A ．23B ．12 C ．13D ．14D 【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设12||2=F F c ，所以12∆PF F 为等腰三角形，且12=120∠F F P ，∴212||||2PF F F c ==，∵2||OF c =，∴点P 坐标为(2cos 60,2sin 60)c c c +，即点(2)P c ．∵点P 在过点A=14c a =．∴14e =，故选D ．6．(2018上海)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A． B． C． D．C 【解析】由题意25=a，=a P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2=a 故选C ．7．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3 B．3 C．3 D ．13A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．8．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A．13B．12C．23D．34A【解析】设(0,)E m，则直线AE的方程为1x ya b-+=，由题意可知(,)mcM c ma--，(0,)2m和(,0)B a三点共线，则22mc m mmac a--=--，化简得3a c=，则C的离心率13cea==．故选A．9．已知椭圆1C：2221xym+=(1m>)与双曲线2C：2221xyn-=(0n>)的焦点重合，1e，2e分别为1C，2C的离心率，则A．m n>且121e e>B．m n>且121e e<C．m n<且121e e>D．m n<且121e e<A【解析】由题意知2211m n-=+，即222m n=+，222221222221111()2m n n ne em n n n-+++=⋅=⋅+4242422111122n nn n n n++==+>++，所以121e e>．故选A．10．已知抛物线C：22x py=的焦点为F，定点()23,0M，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点(点B在F，M中间)，且与抛物线C的准线交于点N，若7BN BF=，则AF的长为（）A．78B．1 C．76D．3【答案】C【解析】解：如图，过B作'BB垂直于准线，垂足为'B，则'BF BB=，由7BN BF=，得7'BN BB=，可得1sin7BNB'∠=，cos 7BNB '∴∠=-，tan BNB '∠=，又()M ，AB ∴的方程为y x =-，取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =．联立22y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=．故选：C ．11．(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是 A．(， B ．(2,0)-，(2,0) C．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．12．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若∆OMN 为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3 C． D ．4B 【解析】因为双曲线2213-=x y的渐近线方程为=y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F 的直线与直线3=y x 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN的方程为2)=-y x ，由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y，得32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y 3(,)22M ，所以||==OM |||3==MN OM ．故选B ．13．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA ．=yB ．=yC ．=y xD ．=y xA 【解析】解法一 由题意知，==c e a ，所以=c ，所以==b ，所以=ba以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a，故选 A ．解法二 由===c e a ，得=b a =±=by x a．故选A ． 14．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP ，则C 的离心率为AB ．2CDC 【解析】不妨设一条渐近线的方程为b y xa =，则2F 到by x a =的距离d b ==， 在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =，所以1||PF =，又1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中，根据余弦定理得22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-，即2223)0a c +-=，得223a c =．所以ce a==．故选C ． 15．(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=C 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==，因为126d d +=，所以226bc b bc b c c -++=，所以26b =，得3b =． 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =，所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =，所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 16．若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ．17．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=B【解析】由题意可得：2b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =， 则C 的方程为2145x y 2-=．选B ． 18．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -= B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c -==-，由题意有4b c a =，又ca=222c a b =+，得b =，a =B ．19．已知双曲线222=1(0)4x y b b ->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b -D ．2224=11x y - D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y b y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故四边形ABCD的面积为2324424bxy b b===+， 解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，选D ． 20．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 A ．(–1,3) B ．(–1,3) C ．(0,3) D ．(0,3)A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<21．知1F ,2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E的离心率为AB ．32CD ．2 A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====，122224c a e a c e -=-=，所以2102e e --=，所以e =A ． 22．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ︒∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC ．32 D．【答案】D 【解析】 已知2,OB b OF c==，因为12120F BF ︒∠=，则在Rt ABC 中260OBF ∠=，所以2OF =即=c ，又222c a b =+，联立得2223a c =，所以6c e a.故选：D23．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：24=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则⋅FM FN = A ．5B ．6C ．7D ．8D 【解析】通解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ， 由22(2)34⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x y x，得2540-+=x x ，解得1=x 或4=x ，所以12=⎧⎨=⎩x y ，或44=⎧⎨=⎩x y ，不妨设(1,2)M ，(4,4)N ，易知(1,0)F ，所以(0,2)=FM ，(3,4)=FN ，所以8⋅=FM FN ．故选D ．优解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ，由22(2)34⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x y x，得2540-+=x x ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则10>y ，20>y ，根据根与系数的关系，得125+=x x ，124=x x ．易知(1,0)F ，所以11(1,)=-FM x y ，22(1,)=-FN x y ，所以12121212(1)(1)()1⋅=--+=-+++FM FN x x y y x x x x 45188=-++=．故选D ．24．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为1k ，2l 的斜率为2k ，由题意有121k k ⋅=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y此时直线1l 方程为1(1)y k x =-，取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理得 22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥ 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号．25．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为AB ．23C．2 D ．1 C 【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,22p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵13FM FP =，∴22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴22112122OM t k t t t ==≤=++∴max ()2OM k =，故选C ． 26．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知||AB=，||DE=C 的焦点到准线的距离为A ．2B ．4C ．6D ．8B 【解析】由题意，不妨设抛物线方程为22(0)y px p =>，由||AB =，||DE =4(A p，(2pD -，设O 为坐标原点，由||||OA OD =，得2216854p p +=+，得4p =，所以选B ． 二、填空题27．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=， 圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==，所以||AB ==11222ABC S ∆==． 28．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．3【解析】因为0AB CD ⋅=，所以AB CD ⊥，又点C 为AB 的中点，所以45BAD ∠=，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan 2θ=，tan()34k πθ=+=-．又(5,0)B ，所以直线AB 的方程为3(5)y x =--，又A 为直线l ：2y x =上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得3(5)2y x y x =--⎧⎨=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的横坐标为3． 29．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．[52,1]-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，O52522x-y+5=0NMyxBA如图由250x y -+≤可知，P 在MN 上，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[52,1]-．30．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+=；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）由题意，设(1,)C r （r 为圆C 的半径），因为||2AB =，所以22112r =+=2)C ，故圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y -+=．（Ⅱ）由220(1)(2x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因为B 在A的上方，所以1)A，1)B ． 不妨令直线MN 的方程为0x ，(0,1)M -(0,1)N ，所以||2MA，||2MB =+||2NA =-||NB =所以||1||NA NB ==，||1||MA MB ==， 所以||||||||NA MA NB MB =，所以||||1)2||||NB MA NA MB -=-=．||||1)||||NB MA NA MB +=+= 31．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =，得1212212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩，即122x x =-，1232y y =-．因为点A ，B 在椭圆上，所以222222224(3)44x x m x y m⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21344y m =+，所以2222221591(32)(5)444244x m y m m m =--=-+-=--+≤， 所以当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．32．(2018北京)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12；【解析】设椭圆的右焦点为(,0)F c ，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知(,)22c A ，由点A 在椭圆M 上得，22223144c c a b+=，∴22222234b c a c a b +=，222b a c =-，∴22222222()34()a c c a c a a c -+=-，∴4224480a a c c -+=，∴428+40e e -=椭椭，∴24e =±椭，∴1e =椭（舍去）或1e =椭，∴椭圆M1，∵双曲线的渐近线过点(2cA，渐近线方程为y =，故双曲线的离心率2e ==双．33．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．(),0F c，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得0BFCF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==34．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OP OF =，则OPF的面积为______．【答案】32【解析】解：如图，不妨设F 为双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，21a =，23b =，则2c =，则以O 为圆心，以2为半径的圆的方程为224x y +=． 联立2222413x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得732P ⎫⎪⎪⎝⎭，1332222OPFS ∴=⨯⨯=．故答案为：32．35．(2018上海)双曲线2214x y -=的渐近线方程为 ． 12y x =±【解析】由题意2a =，1b =，∴12b y x x a =±=±．36．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32，则其离心率的值是 ． 2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =，223b a b ==+，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 37．在平面直角坐标系xOy 中 ，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．3232a x c ==，渐近线的方程为3y x =， 设33(2P ，则33(,2Q ，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q 的面积为1211||||432322F F PQ =⨯=． 38．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°，所以30HAN ∠=，又MN 所在直线的方程为by x a=， (,0)A a 到MN 的距离AH=，在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA ==，=222c a b =+a c =，所以c e a ==． 39．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．2y x =±【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pby y a +=， 所以222pb p a=，即a =，所以渐近性方程为2y x =±． 40．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点．若90AMB ∠=，则k =______．2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-(0)k ≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得22(1)4k x x -=， 即2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得214(1)y y k =+， 即2440y y k --=，则124y y k+=，124y y =-， 由90AMB ∠=，得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=，将212224k x x k ++=，121x x =与124y y k+=，124y y =-代入，得2k =． 解法二 设抛物线的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，所以2212124()y y x x -=-，则1212124y y k x x y y -==-+，取AB 的中点00(,)M x y '，分别过点A ，B 做准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B '，又90MB ∠=，点M 在准线1x =-上，所以111||||(||||)(||||)222MM AB AF BF AA BB '''==+=+． 又M '为AB 的中点，所以MM '平行于x 轴，且01y =，所以122y y +=，所以2k =．41．已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==， 故336FN FM NM =+=+=．三、解答题42．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）． （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S .可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.43．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1=x ．由已知可得，点A 的坐标为或(1,．所以AM 的方程为2y x =-+2y x =- (2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则1<x 2<x MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由11=-y kx k ，22=-y kx k 得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=． 所以，2122421+=+k k x x ，21222221-=+x k k x ．则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．44．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．【解析】(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-．① 由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=． 由(1)及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x ===-．同理2||22x FB =-．所以121||||4()32FA FB x x +=-+=． 故2||||||FP FAFB =+，即||FA ，||FP ，||FB 成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2d FB FA x x =-=-= 将34m =代入①得1k =-．所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404xx -+=．故122x x +=，12128x x =，代入②解得||d =或45．(2018天津)设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为BA 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值． 【解析】设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得6ab =，从而3a =，2b =．所以，椭圆的方程为22194x y +=．(2)设点P 的坐标为11(,)x y ，点Q 的坐标为22(,)x y ． 由已知有120y y >>，故12sin PQ AOQ y y ∠=-． 又因为2sin y AQ OAB =∠，而4OAB π∠=，故2AQ =．由AQ AOQ PQ =∠，可得1259y y =． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y = 易知直线AB 的方程为20x y +-=，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，， 消去x ，可得221ky k =+．由1259y y =，可得5(1)k += 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或．46．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P，3(P =-，4P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点．又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上． 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．故C 的方程为2214x y +=．（2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ，2k ，如果l 与x 轴垂直，设l ：x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，）．则121k k +==-，得2t =，不符合题设．从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++．解得12m k +=-．当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）47．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-，0(0.)NM y =．由2NP NM =得 0x x =，02y y =．因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F-．设(3,)Q t-，(,)P m n，则(3,)OQ t=-，(1,)PF m n=---，33OQ PF m tn⋅=+-，(,)OP m n=，(3,)PQ m t n=---，由1OP PQ⋅=得2231m m tn n--+-=，又由（1）知222m n+=，故330m tn+-=．所以0OQ PF⋅=，即OQ PF⊥．又过点P存在唯一直线垂直与OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点1F作直线1PF的垂线1l，过点2F作直线2PF的垂线2l．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线1l，2l的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12ca=，228ac=，解得2,1a c==，于是223b a c=-=因此椭圆E的标准方程是22143x y+=.（2）由（1）知，1(1,0)F-，2(1,0)F.设00(,)P x y，因为点P为第一象限的点，故000,0x y>>.当01x=时，2l与1l相交于1F，与题设不符.当01x≠时，直线1PF的斜率为01yx+，直线2PF的斜率为01yx-.因为11l PF⊥，22l PF⊥，所以直线1l的斜率为01xy-+，直线2l的斜率为01xy--，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ①直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以20001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P的坐标为. 49．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程． 【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m--，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ， 整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+. 由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m mB m m -+-++. 由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD △22162232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||3m =，所以3m =±. 所以，直线AP的方程为330x +-=，或330x --=.50．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．【解析】（I ）由题意知c e a ==，22c =，所以1a b ==，因此椭圆E 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设()()1122,,,A xy B x y ，联立方程2211,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且()12122111221x x x x k +=-+，所以121=-=AB x ．由题意可知圆M 的半径r为1233rAB ==由题设知12k k =，所以21k =因此直线OC 的方程为1y x =．联立方程2211, 22,4xyy xk⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414kx yk k==++，因此2221211814kOC x yk+=+=+．由题意可知1sin21SOT rOCr OCr∠==++，而212122111181411822kOC kr k k++=++21221112324141kk k+=++，令2112t k=+，则()11,0,1tt>∈，因此22212221121119224OCr t tt t t===≥+-⎛⎫+---+⎪⎝⎭，当且仅当112t=，即2t=时等号成立，此时12k=±，所以1sin22SOT∠≤，因此26SOTπ∠≤，所以SOT∠最大值为3π．综上所述：SOT∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为12k=±．51．如图，已知双曲线C：2221xya-=(0a>)的右焦点F，点BA,分别在C的两条渐近线上，xAF⊥轴，BFOBAB,⊥∥OA(O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点)0)((,0≠yyxP的直线1:20=-yyaxxl与直线AF相交于点M，与直线23=x相交于点N，证明：当点P在C上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值．【解析】（1）设(,0)F c，因为1b=，所以21c a+直线OB方程为1y xa=-，直线BF的方程为1()y x ca=-，解得(,)22c cBa-又直线OA的方程为1y xa=，则3(,),.ABcA c ka a=又因为AB⊥OB，所以31()1a a-=-，解得23a=，故双曲线C的方程为22 1.3xy-=（2）由（1）知3a=l的方程为0001(0)3x xy y y-=≠，即033x xyy-=因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y- 则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF xNF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF = 52．（2018北京）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【解析】(1)因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k << 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-． 所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)-∞--．(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由(1)知12224k x x k -+=-，1221x x k=． 直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-． 所以1212121212112()1111111(1)(1)1M N x x x x x x y y k x k x k x x λμ---++=+=+=⋅-----2222241=211k k k k k -+=⋅-．所以11λμ+为定值． 53．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B两点，||8=AB ． (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．54．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB ∆的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是4． 55．已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．。

数 学H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程16．H1、H4 已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．16．4 直线l ：m (x ＋3)＋y －3＝0过定点(－3，3)，又|AB |＝23，∴|3m －3|1＋m22＋(3)2＝12，解得m ＝－33.直线方程中，当x ＝0时，y ＝2 3.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，∴直线l 与圆的两交点为A (－3，3)，B (0，23)．设过点A (－3，3)且与直线l 垂直的直线为3x ＋y ＋c 1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x ＋y ＋c 1＝0，得c 1＝2 3.令y ＝0，得x C ＝－2，同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标为x D ＝2，∴|CD |＝4.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离12．E5、H2 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．12.45，13 可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即|－2|52＝45，最大值为OB 2＝22＋32＝13.H3 圆的方程3．H2 已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________．3.255 由两平行线间的距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255.18．H3、H4 如图1­6，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．图1­618．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是．H4 直线与圆、圆与圆的位置关系16．H1、H4 已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．16．4 直线l ：m (x ＋3)＋y －3＝0过定点(－3，3)，又|AB |＝23，∴|3m －3|1＋m22＋(3)2＝12，解得m ＝－33.直线方程中，当x ＝0时，y ＝2 3.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，∴直线l 与圆的两交点为A (－3，3)，B (0，23)．设过点A (－3，3)且与直线l 垂直的直线为3x ＋y ＋c 1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x ＋y ＋c 1＝0，得c 1＝2 3.令y ＝0，得x C ＝－2，同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标为x D ＝2，∴|CD |＝4.4．H4 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34C. 3 D ．24．A 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4)，圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.12．H4 如图1­3，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE ＝2AE ＝2，BD ＝ED ，则线段CE 的长为________．图1­312.233 设圆的圆心为O ，连接OD ，可得BO ＝32，△BOD ∽△BDE ，∴BD 2＝BO ·BE ＝3，∴BD ＝DE ＝ 3.连接AC ，易知△AEC ∽△DEB ，∴AE DE ＝CE BE，即13＝EC 2，∴EC ＝233.18．H3、H4 如图1­6，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．图1­618．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是．H5 椭圆及其几何性质10．H5，H8 如图1­2，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图1­210.63 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a 2＋y2b2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ， 又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2， 式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.11．H5 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.3411．A 设M (－c ，y 0)，则AM 所在直线方程为y ＝y 0－c ＋a(x ＋a )，令x ＝0，得E （0，ay 0－c ＋a ）.BM 所在直线方程为y ＝y 0－c －a (x －a )，令x ＝0，得y ＝－ay 0－c －a.由题意得－ay 0－c －a ＝12×ay 0－c ＋a ，解得a ＝3c ，故离心率e ＝c a ＝13.19．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：|AN |·|BM |为定值．19．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2，0)，B (0，1)． 设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4. 当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝2＋x 0y 0－1. 所以|AN |·|BM |＝2＋x 0y 0－1·1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值．20．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．20．解：(1)由已知得，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3， 此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1，点T 的坐标为(2，1)．(2)证明：由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3，所以P 点坐标为(2－2m 3，1＋2m 3)，|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322. 由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123，所以|PA |＝2－2m 3－x 12＋1＋2m 3－y 12＝52|2－2m 3－x 1|，同理|PB |＝52|2－2m3－x 2 | ． 所以|PA |·|PB |＝54｜（2－2m 3－x 1）（2－2m 3－x 2）｜＝54｜（2－2m 3）2－（2－2m3）(x 1＋x 2)＋x 1x 2｜＝54｜（2－2m 3）2－(2－2m 3)(－4m 3)＋4m 2－123｜＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.21．H5，H7，H10 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1­521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点F （0，12），所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)(*)， 且x 1＋x 2＝4m34m 2＋1.因此x 0＝2m34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m22（4m 2＋1），因此y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ， 得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．(ii)由(i)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G （0，－m 22）.又P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2＋1，－m22（4m 2＋1））， 所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）， 所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1(t >1)，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2， 当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式， 所以P 点坐标为（22，14）. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为（22，14）.19．H5、H8 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0， 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64， 所以直线l 的斜率的取值范围为（－∞，－64]∪[64，＋∞）. 19．H5 如图1­5，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．图1­519．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AΡ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得 1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0， 因此(1k 21＋1)(1k 22＋1)＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1， 所以a > 2.因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围为0<e ≤22.H6 双曲线及其几何性质13．H6 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．13．2 不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，如图所示．因为四边形OABC 为正方形，|OA |＝2，所以c ＝2 2.因为直线OA 是双曲线的一条渐近线，∠AOB ＝π4，所以ba ＝tan π4＝1，即a ＝b ，又a 2＋b 2＝c 2＝8，所以a ＝2.3．H6 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．3．210 由题目所给方程可得a 2＝7，b 2＝3，故c 2＝10，所以焦距为210.5．H6 已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)5．A 若已知方程表示双曲线，则(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2.又4＝4m 2，所以m 2＝1，所以－1<n <3.11．H6 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．211．A 易知离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.13．H6 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．13．2 将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∵2|AB |＝3|BC |，∴2×2b2a＝3×2c ，整理得2c 2－2a 2－3ac ＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．6．H6 已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 6．D 由题意及双曲线的对称性画出示意图如图所示，渐近线OB ：y ＝b 2x .设Bx 0，b2x 0，则12·x 0·b 2x 0＝2b 8，∴x 0＝1，∴B (1，b 2)，∴12＋b 24＝22，∴b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.21．H6，H8，F3 双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，求l 的斜率．21．解：(1)设A (x A ，y A )，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，由题意，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2），得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1. 又x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，所以kF 1M ＝3k 2k 2－3， 所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35，故l 的斜率为±155.H7 抛物线及其几何性质10．H7 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点，已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．810．B 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，点A 在第一象限，点D 在第二象限．根据抛物线的对称性可得点A 的纵坐标为22，代入抛物线方程得x ＝4p ，即点A （4p，22）.易知点D （－p2，5），由于点A ，D 都在以坐标原点为圆心的圆上，所以16p 2＋8＝p24＋5，解得p ＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．8．H7 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23 C.22D ．1 8．C 如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0.显然，当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.所以要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0. 因为OM → ＝ OF → ＋ FM → ＝ OF → ＋ 13FP → ＝ OF →＋ 13(OP →－OF →) ＝ 13OP → ＋ 23OF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋ p 3，y 03，所以 k OM ＝y 03y 26p ＋ p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222 ＝ 22，当且仅当y 20＝2p 2时，等号成立．14．H7 设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ，0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．14. 6 由题意得，抛物线的普通方程为y 2＝2px ，∴F （p2，0），∴|CF |＝3p ，∴|AB |＝|AF |＝32p ，∴A (p ，±2p )．易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6.∵p >0，∴p ＝ 6.9．H7 若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 9．9 由题意得，p ＝2，则p2＝1，即原点到准线的距离是1.由点M 到焦点的距离与到准线的距离相等，知点M 到准线的距离为10，故M 到y 轴的距离为10－1＝9.20．H7 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1，0)，如图1­5所示．(1)求菜地内的分界线C 的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S 1的面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 1面积的“经验值”．图1­520．解：(1)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分，其方程为y 2＝4x (0<y <2)．(2)依题意，点M 的坐标为(14，1).所求的矩形面积为52，所求的五边形面积为114.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为｜52－83｜＝16，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为｜114－83｜＝112，所以五边形面积更接近于S 1面积的“经验值”．22．H7、H8 如图1­8，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程． (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．图1­822．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为0，43.20．H7、H9 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题设知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.21．H5，H7，H10 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1­521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点F （0，12），所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)(*)， 且x 1＋x 2＝4m34m 2＋1.因此x 0＝2m34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m22（4m 2＋1）， 因此y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ， 得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．(ii)由(i)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G （0，－m 22）.又P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2＋1，－m22（4m 2＋1））， 所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）， 所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1(t >1)，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2， 当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式， 所以P 点坐标为（22，14）. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为（22，14）.H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）10．H5，H8 如图1­2，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图1­210.63 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ， 又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2， 式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.19．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：|AN |·|BM |为定值．19．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2，0)，B (0，1)． 设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4. 当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝2＋x 0y 0－1. 所以|AN |·|BM |＝2＋x 0y 0－1·1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值．22．H7、H8 如图1­8，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程． (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．图1­822．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为0，43.20．H8，H9 设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．20．解：(1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4. 由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3， |PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 20．解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 当t ＝4时，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t . 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)． 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0， 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．19．H5、H8 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0， 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64， 所以直线l 的斜率的取值范围为（－∞，－64]∪[64，＋∞）. 21．H6，H8，F3 双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，求l 的斜率．21．解：(1)设A (x A ，y A )，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，由题意，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2），得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0.设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1. 又x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，所以kF 1M ＝3k 2k 2－3， 所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35，故l 的斜率为±155.H9 曲线与方程20．H8，H9 设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．20．解：(1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4. 由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3.可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3， |PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题设知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.H10 单元综合7．H10 已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<17．A 由题意知，m 2－1＝n 2＋1，即m 2－n 2＝2，故m >n .易知e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝m 2n 2＋m 2－n 2－1mn ＝m 2n 2＋1mn>1，故选A.21．H5，H7，H10 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(i)求证：点M 在定直线上；(ii)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图1­521．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点F （0，12），所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)(i)证明：设P （m ，m 22）(m ＞0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，。

高考理科数学总复习必做练习题（解析版）专题：平面解析几何第1节直线与方程基础巩固(时间:30分钟)1.已知直线l经过两点P(1,2),Q(4,3),那么直线l的斜率为( C )(A)-3 (B)-(C) (D)3解析:直线l的斜率k==,故选C.2.直线3x+y-1=0的倾斜角是( C )(A)(B)(C) (D)解析:直线3x+y-1=0的斜率k=-,所以tan α=-.又0≤α<π,所以倾斜角为.故选C.3.点(1,-1)到直线x+y-1=0的距离是( B )(A) (B) (C)(D)解析:点(1,-1)到直线x+y-1=0的距离d==.故选B.4.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是( D )(A)平行(B)重合(C)相交但不垂直(D)垂直解析:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,所以k1k2=-1.所以l1⊥l2.故选D.5.过点P(2,3),且在坐标轴上截距相等的直线的方程是( B )(A)x+y-5=0(B)3x-2y=0或x+y-5=0(C)x-y+1=0(D)2x-3y=0或x-y+1=0解析:当直线过原点时,方程为3x-2y=0,当直线不过原点时,两截距相等,设直线方程为+=1,所以+=1,即a=5,所以x+y-5=0,所以所求直线的方程为x+y-5=0或3x-2y=0,故选B.6.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( C )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:显然直线ax+by=ab在x轴上的截距为b,在y轴上的截距为a.因为ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),所以a+b=ab,即+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.7.设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,则实数a的值为,若l1∥l2,则实数a的值为.解析:直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,则2(a+1)+3(a+2)=0,解得a=-,若l1∥l2,则(a+1)(a+2)=2×3,解得a=-4或a=1,当a=1时,两直线重合,舍去,故a=-4.答案:--48.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l 的方程为.解析:设所求直线l的方程为+=1.因为k=,即=-,所以a=-6b.又三角形面积S=3=|a|·|b|,所以|ab|=6.则当b=1时,a=-6;当b=-1时,a=6.所以所求直线方程为+=1或+=1.即x-6y+6=0或x-6y-6=0.答案:x-6y+6=0或x-6y-6=09.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于.解析:以AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(0,4), 得△ABC的重心D(,),设AP=x,P(x,0),x∈(0,4),由光的反射定理, 知点P关于直线BC,AC的对称点P1(4,4-x),P2(-x,0),与△ABC的重心D(,)共线,所以=,求得x=,AP=.答案:能力提升(时间:15分钟)10.已知点M是直线x+y=2上的一个动点,且点P(,-1),则|PM|的最小值为( B )(A)(B)1 (C)2 (D)3解析:|PM|的最小值即点P(,-1)到直线x+y=2的距离,又=1.故|PM|的最小值为1.故选B.11.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是( A )(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0解析:在所求直线上任取一点P(x,y),则点P关于x轴的对称点P′(x,-y)在已知的直线3x-4y+5=0上,所以3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0,故选A.12.过两直线7x+5y-24=0与x-y=0的交点,且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为.解析:设所求的直线方程为7x+5y-24+λ(x-y)=0,即(7+λ)x+(5-λ) y-24=0.所以=,解得λ=11.故所求直线方程为3x-y-4=0.答案:3x-y-4=013.定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l 的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= .解析:因为曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为-=2-=,则曲线C1与直线l不能相交,即x2+a>x,所以x2+a-x>0.设C1:y=x2+a上一点(x0,y0),则点(x0,y0)到直线l的距离d===≥=,所以a=.答案:14.过点P(1,2)作直线l,与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.解:设直线l的方程为y-2=k(x-1),令y=0,得x=,令x=0,得y=2-k.所以A,B两点坐标分别为A(,0),B(0,2-k).因为A,B是l与x轴,y轴正半轴的交点,所以所以k<0.S△AOB=·|OA|·|OB|=··(2-k)=(4--k).由->0,-k>0,得S△AOB≥(4+2)=4.当且仅当k=-2时取“=”.所以S△AOB最小值为4,此时直线l的方程为2x+y-4=0.第2节圆与方程基础巩固(时间:30分钟)1.若方程4x2+4y2-8x+4y-3=0表示圆,则其圆心为( D )(A)(-1,-) (B)(1,)(C)(-1,) (D)(1,-)解析:圆的一般方程为x2+y2-2x+y-=0,据此可得,其圆心坐标为(-,-),即(1,-).故选D.2.已知圆C:x2+y2-2x-4y=0,则下列点在圆C内的是( D )(A)(4,1) (B)(5,0) (C)(3,4) (D)(2,3)解析:圆C化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,将选项一一代入,可得(2,3)在圆C内,故选D.3.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为( D )(A)3 (B) (C)5 (D)4解析:圆的方程x2+y2+2ax+9=0,即(x+a)2+y2=a2-9,它的圆心坐标为(-a,0),再根据它的圆心坐标为(5,0),可得a=-5,故它的半径为==4,故选D.4.已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0), B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的取值范围是( D )(A)(0,2] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[1,3]解析:圆C:(x-)2+(y-1)2=1的圆心C(,1),半径为1,因为圆心C到O(0,0)的距离为2,所以圆C上的点到点O的距离的最大值为3,最小值为1,再由∠APB= 90°,以AB为直径的圆和圆C有交点,可得PO=AB=t,故有1≤t≤3,故选D.5.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.6.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .解析:法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),所以解得所以圆的方程为x2+y2-2x=0.法二画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=07.已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的取值范围为.解析:设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|,得(a+1)2+12=(a-1)2+32,解得a=2.半径r=|CA|==.故圆C的方程为(x-2)2+y2=10.由题意知(m-2)2+()2<10,解得0<m<4.答案:(0,4)8.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B 两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则M的轨迹方程为 . 解析:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4,设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y),由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.答案:(x-1)2+(y-3)2=2能力提升(时间:15分钟)9.与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( C )(A)(x+1)2+(y+1)2=2 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(C)(x-1)2+(y+1)2=2 (D)(x-1)2+(y+1)2=4解析:由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,所以过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求的圆的圆心在此直线上,排除A,B,因为圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,则所求的圆的半径为,故选C.10.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为( D )(A)1 (B)5(C)4(D)3+2解析:由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,所以2a+2b-2=0,整理得a+b=1,所以+=(+)(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即b=2-,a=-1时,等号成立.所以+的最小值为3+2.故选D.11.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为( C )(A)(B)(C)2 (D)3解析:设圆上的点为(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令x=0,y=0得A(,0),B(0,),则|AB|==≥=2.当且仅当x0=y0时,等号成立.12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为.解析:设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=+(y0+1)2++(y0-1)2=2(+)+2.+为圆上任一点到原点距离的平方,所以(+)max=(5+1)2=36,所以d max=2×36+2=74.答案:7413.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2.所以(a+1)2+b2=40.②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.14.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求的最大值和最小值.解:(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,解上式得16-2≤t≤16+2,所以所求的最大值为16+2.(2)记点Q(-2,3),因为表示直线MQ的斜率k,所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ与圆C有公共点,得≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.第3节直线、圆的位置关系基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则a的值为( B )(A)±(B)±5 (C)3 (D)±3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=±5.故选B.2.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( B )(A)2x+y-5=0 (B)2x+y-7=0(C)x-2y-5=0 (D)x-2y-7=0解析:因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,所以点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,因为圆心与切点连线的斜率k==,所以切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故选B.3.过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB 所在直线的方程为( B )(A)y=- (B)y=-(C)y=- (D)y=-解析:圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,以|PC|==2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-.故选B.4.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( B )(A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8解析:将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.5.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( B )(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离解析:圆M:x2+y2-2ay=0的圆心M(0,a),半径为a.所以圆心M到直线x+y=0的距离为,由直线y+x=0被圆M截得弦长为2知a2-=2,故a=2.即M(0,2),且圆M半径为2.又圆N的圆心N(1,1),且半径为1,由|MN|=,且2-1<<2+1.故两圆相交.故选B.6.已知直线ax+2y-2=0与圆(x-1)2+(y+1)2=6相交于A,B两点,且A,B 关于直线x+y=0对称,则a的值为( D )(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2解析:由几何关系可得直线x+y=0,经过圆(x-1)2+(y+1)2=6的圆心,且与直线ax+2y-2=0垂直,由直线垂直的充要条件有a×1+2×1=0,所以a=-2.选D.7.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.解析:设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5.设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则=(x-1,y-2).由⊥(O为坐标原点),得·=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.答案:x+2y-5=08.过点M(,1)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,k CM=-2,所以k AB=,从而直线方程为y-1=(x-),即2x-4y+3=0.答案:2x-4y+3=09.直线ax-y+3=0与圆(x-2)2+(y-a)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.解析:设圆心到直线的距离为d,则d==,由r2=d2+()2知()2=4-≥3,解得a≤-.答案:(-∞,-]能力提升(时间:15分钟)10.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为( A )(A)5 (B)10 (C)15 (D)20解析:如图,作OP⊥AC于点P,OQ⊥BD于点Q,则OP2+OQ2=OM2=3,于是AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20.又AC2+BD2≥2AC·BD,则AC·BD≤10,所以S四边形ABCD=AC·BD≤×10=5,当且仅当AC=BD=时等号成立.故四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.11.若曲线x2+y2-6x=0(y>0)与直线y=k(x+2)有公共点,则k的取值范围是( C )(A)[-,0) (B)(0,)(C)(0,] (D)[-,]解析:因为x2+y2-6x=0(y>0)可化为(x-3)2+y2=9(y>0),所以曲线表示圆心为(3,0),半径为3的上半圆,它与直线y=k(x+2)有公共点的充要条件是:圆心(3,0)到直线y=k(x+2)的距离d≤3,且k>0,所以≤3,且k>0,解得0<k≤.故选C.12.过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k= .解析:因为(1-2)2+()2=3<4,所以点(1,)在圆(x-2)2+y2=4的内部,当劣弧所对的圆心角最小时,即直线l交圆的弦长最短,此时圆心(2,0)与点(1,)的连线垂直于直线l.因为=-,所以所求直线l的斜率k=.答案:13.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程. 解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方,得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-.(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.14.在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l 的方程.解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.第4节椭圆基础巩固(时间:30分钟)1.的左焦点为F1(-4,0),则m等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)9解析⇒m=3,故选B.2.已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是( C )解析:因为F1(-1,0),F2(1,0),所以|F1F2|=2,因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,所以点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,因为2a=4,a=2,c=1,所以b2=3.故选C.3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为( C )2=1 (B)x2=1=1解析:依题意,a2=20,b2=5,选C.4.已知点P是以F1,F2=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于( A )解析:因为点P是以F1,F2上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a,所以所以|PF2,则|PF1由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,所以解得所以选A.5.的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( B )解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立椭圆方程解得交点为所以S△OAB|OF|·|y A-y B|1故选B.6.若椭圆的方程且此椭圆的焦距为4,则实数a= .解析:由题可知c=2. ①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4. ②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故实数a=4或8.答案:4或87.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P12则椭圆的方程为.解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).因为椭圆经过点P1,P2,所以点P1,P2的坐标适合椭圆方程.得所以所求椭圆方程为答案8.已知F1,F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点,P是椭圆上一点,则△PF1F2面积的最大值为.解析:F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点,a=2,b2+c2=4,P是椭圆上一点,△PF1F2面积最大时,P在椭圆的短轴的端点,此时三角形的面积最大,S=bc当且仅当,三角形的面积最大.答案:2能力提升(时间:15分钟)9.已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( A )解析:设点A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A′(m,n),则得所以A′(-3,2).连接A′B,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=2所以2a≥.所以椭圆C故选A.10.直线x+4y+m=0交椭圆2=1于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m 等于( A )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析:由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,·结合直线的斜率为中点横坐标为1,所以AB将点代入直线x+4y+m=0得m=-2.故选A.11.过点M(1,1)作斜率为l与椭圆C:相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,k AB=-①②①-②整理,所以离心率答案12.的右顶点为A,上顶点为 B.已知椭圆的离心(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k 的值.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有又由a2=b2+c2,可得2a=3b.又从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2) ,由题意知,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,消去y,可得x2消去y,可得x1由x2=5x1,=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得当,x2=-9<0,不合题意,舍去;当,x2=12,x1符合题意.所以k的值为13.已知椭圆的右焦点为且经过点点M是y轴上的一点,过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若且直线l与圆O:x2+y2N,求|MN|的长.解:(1)由题意知即(a2-4)(4a2-3)=0,因为a2=3+b2>3,解得a2=4,b2=1,故椭圆C2=1.(2)显然直线l的斜率存在,设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O:x2+y2相切,即m22+1), ①(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由韦达定理,得x1+x2x1x2=2,有x1=-2x2,解得x12所以化简得2-1, ②把②代入①可得48k4+16k2-7=0,解得k22在Rt△OMN中,可得故|MN|第5节双曲线基础巩固(时间:30分钟)1.已知F1,F2是双曲线x2的两个焦点,过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交,其中一个交点为P,则|PF2|等于( A )(A)6 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意令|PF2|-|PF1|=2a,由双曲线方程可以求出|PF1|=4,a=1,所以|PF2|=4+2=6.故选A.2.的一条渐近线方程是它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为( C )(C)x22=1解析:的一条渐近线方程是它的一个焦点坐标为(2,0),可得c=2,即a2+b2=4,解得所求双曲线方程为x2故选C.3.设F1和F2的两个焦点,若F1,F2,(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是( B )(A)y=±(B)y=±(C)y=±±解析:因为|F1F2|=2c,点(0,2b)到F2所以所以4c2=4b2+c2,即3c2=4b2,所以3c2=4(c2-a2),得c=2a,所以所以双曲线的渐近线方程为y=即y=选B.4.已知双曲线则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )解析:由题意,得2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为故选D.5.给出关于双曲线的三个命题:的渐近线方程是y=②若点(2,3)在焦距为4的双曲线上,则此双曲线的离心率e=2;③若点F,B的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:双曲线的渐近线方程是y=±故①错误;双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|从而离心率所以②正确;F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±±均不满足渐近线方程,所以③正确.故选C.6.已知A,B是双曲线E的左、右焦点,点C在E上,∠若·则E的离心率为( D )解析:因为+)·又∠,所以BC=2c,AC=2所以c-2c=2a,所以故选D.7.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.解析:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,MC2-MC1=BC2-AC1=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于C1C2.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2≤-1).答案:x2≤-1)8.已知F为双曲线的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,则此双曲线的离心率为.解析:根据题意知F(-c,0),A(0,b).设B(x0,y0),(x0,y0-b)=3(c,b),3c.所以答案能力提升(时间:15分钟)9.的左焦点到抛物线y2=2px(p>0)的准线的距离为2,点(5,2是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为( B )解析:双曲线的左焦点为(-c,0),双曲线的左焦点到抛物线y2=2px(p>0)的准线2,可得点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,可得20=10p,即p=2,c=3,双曲线的渐近线方程为y=±可得a=5b,且a2+b2=c2=9,解得故选B.10.设P为双曲线x2右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m,n,则|m-n|等于( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:易知双曲线的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),恰为两个圆的圆心,两个圆的半径分别为2,1,所以|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=5,同理|PM|-|PN|的最小值为(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故选C.11.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|-|PF2,且△OMF2为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为( B )解析:双曲线中,|PF1|-|PF2|=2a,所以P点在双曲线右支上,则M为PF2的中点,所以在△OMF2中,|OM|>|MF2|,所以∠MF2O=90°,又△OMF2为等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1所以c-2c=2a,所以e=故选B.12.的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( C )=1解析:如图,不妨设A在B的上方,则其中的一条渐近线为bx-ay=0,则d1+d2所以b=3.又由知a2+b2=4a2,所以故选C.13.已知P2=1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,的值是.解析:设P(x0,y0),所以可取,|PB|=又cos∠APB=-cos∠··cos∠APB(-×(-答案第6节抛物线基础巩固(时间:30分钟)1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( C )(A)(0,a) (B)(a,0)(C)(0,) (D)(,0)解析:将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0), 所以焦点坐标为(0,),所以选C.2.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为( D )(A)y2=4x (B)y2=8x (C)x2=4y (D)x2=8y解析:因为动点P到A(0,2)点的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等,根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,以直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y,故选D.3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F 为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠BFD=120°,△ABD的面积为2,则p等于( A )(A)1 (B) (C) (D)2解析:因为∠BFD=120°,所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p,由抛物线定义,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以|BD|·d=2p·p=2,所以p=1,选A.4.抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:如图,直线l与x轴的交点为D,过Q点作QQ′⊥l,Q′为垂足,设|QF|=d,由抛物线的定义可知|QQ′|=d,又|PF|=|PQ|,所以|PF|=4d,|PQ|=5d,又△PDF∽△PQ′Q,所以=,解得d=5,即|QF|=5,故选C.5.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B,交其准线l于点C,若点F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为( C )(A)5 (B)6(C)(D)解析:如图,过点A作AD⊥l交l于点D,所以|AF|=|AD|=4,由点F是AC的中点,有|AF|=2|MF|=2p.所以2p=4,解得p=2,抛物线y2=4x设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4.所以x1=3,A(3,2),F(1,0).k AF==.AF:y=(x-1)与抛物线y2=4x,联立得3x2-10x+3=0,x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=+2=.故选C.6.已知点A(4,0),抛物线C:y2=2px(0<p<4)的准线为l,点P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120°,则p= .解析:设焦点为F,由题可得∠PAF=,x P=+⇒x P=,所以4=x P++⇒p=.答案:7.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,过F的直线l与直线x+y-1=0垂直,且直线l与抛物线C交于A,B两点,则|AB|= .解析:F是抛物线C:y2=16x的焦点,所以F(4,0),又过F的直线l与直线x+y-1=0垂直.所以直线l的方程为y=(x-4),代入抛物线C:y2=16x,易得3x2-40x+48=0.设A=(x1,y1),B=(x2,y2),x1+x2=,|AB|=x1+x2+8=.答案:能力提升(时间:15分钟)8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2,过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于M,N两点,若MM′⊥l,NN′⊥l,垂足分别为M′,N′,则△M′N′F的面积为( B )(A)(B) (C)(D)解析:因为p=2,所以抛物线方程为y2=4x,直线MN:x=y+1,由得y2-y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4,所以|y1-y2|==.所以S△M′N′F=××2=.选B.9.如图,过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x-1)2+y2=1于A,B,C,D四点,则|AB|·|CD|等于( C )(A)4 (B)2(C)1 (D)解析:法一(特值法)由题意可推得|AB|·|CD|为定值,所以分析直线与x轴垂直的情况,即可得到答案.因为圆(x-1)2+y2=1的圆心为抛物线y2=4x的焦点,半径为1,所以此时|AB|=|CD|=1.所以|AB|·|CD|=1,故选C.法二(直接法)设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,AD的方程为y=k(x-1).则由消去y,可得x1x2=1,而|AB|=|FA|-1=x1+1-1=x1,|CD|=|FD|-1=x2+1-1=x2,所以|AB|·|CD|=x1·x2=1.故选C.10.如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x 及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB 的周长的取值范围为.解析:抛物线的准线l:x=-2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF|=x A+2,圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,所以△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+(x B-x A)+4=6+x B,由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,所以x B∈(2,6],所以6+x B∈(8,12].答案:(8,12]11.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比= .解析:设AB:y=k(x-),代入y2=2x得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=3,而|BF|=2,所以x2+=2.所以x2=,x1=2.====.答案:12.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;设直线AB的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则Δ=16k2+16>0,故x1+x2=,x1x2=1,由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得k2=1,则k=1,所以直线l的方程y=x-1.(2)由(1)可得AB的中点坐标为D(3,2),则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5,设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此,所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.13.已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)若OA⊥OB,求△AOB面积的最小值.解:(1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1,则抛物线C的方程为y2=2x,抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.(2)由题知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a.由消去x,得y2-2ty-2a=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4,所以-2a=-4,解得a=2,所以直线AB:x=ty+2,所以直线AB过定点(2,0),S△AOB=×2×|y1-y2|==≥=4.当且仅当y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2时,等号成立,所以△AOB面积的最小值为4.第7节圆锥曲线的综合问题基础巩固(时间:30分钟)1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( C )(A)(B)p(C)2p (D)无法确定解析:当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,这时x=,所以y=±p,|AB|min=2p.选C.2.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若=3,则直线l的斜率为( A )(A) (B) (C)(D)2解析:设过抛物线y2=4x焦点F的直线l:x=ty+1交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,因为点A在第一象限且=3,所以y1=-3y2>0,联立得y2-4ty-4=0,则解得即直线l的斜率为.故选A.3.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( D )(A)(-,) (B)(0,)(C)(-,0) (D)(-,-1)解析:由得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则解得-<k<-1.即k的取值范围是(-,-1).选D.4.过点(2,1)的直线交抛物线y2=x于A,B两点(异于坐标原点O),若OA ⊥OB,则该直线的方程为( B )(A)x+y-3=0 (B)2x+y-5=0(C)2x-y+5=0 (D)x+2y-5=0解析:观察选项知AB不垂直于x轴,设AB:y-1=k(x-2)与y2=x联立化为2ky2-5y+(5-10k)=0,所以y1·y2=,y1+y2=,x1=,x2=,由OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以(y1y2)2+y1y2=0即()2+=0,解得k=-2或,当k=时直线过原点,舍去,所以k=-2,只有选项B满足.选B.5.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( D )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率k==,两式相减得+=0,即+=0⇔+×()×=0,即a2=2b2,又c2=9,a2=b2+c2,解得a2=18,b2=9,方程是+=1,故选D.6.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( A ) (A) (B)(C) (D)1解析:由题意可得F(,0),设P(,y 0),(y 0>0),则=+=+=+(-)=+=(+,),可得k OM ==≤=.当且仅当=时取得等号,选A.7.已知抛物线C:x 2=8y,直线l:y=x+2与C 交于M,N 两点,则|MN|= . 解析:所以(y-2)2=8y,所以y 2-12y+4=0, 所以y 1+y 2=12,y 1y 2=4.因为直线l:y=x+2,过抛物线的焦点F(0,2), 所以|MN|=(y 1+2)+(y 2+2)=y 1+y 2+4=16. 答案:168.已知抛物线C:y 2=4x,过其焦点F 作一条斜率大于0的直线l,l 与抛物线交于M,N 两点,且|MF|=3|NF|,则直线l 的斜率为 . 解析:抛物线C:y 2=4x,焦点F(1,0),准线为x=-1,分别过M 和N 作准线的垂线,垂足分别为C 和D,作NH ⊥CM,垂足为H, 设|NF|=x,则|MF|=3x,由抛物线的定义可知:|NF|=|DN|=x,|MF|=|CM|=3x, 所以|HM|=2x,由|MN|=4x, 所以∠HMF=60°,。

高考真题解答题专项训练：解析几何（理科）1．（2017·新课标三卷（理））（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程．2．（2010·新课标（理））（12分）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。

（1）求E 的离心率；（2）设点()0,1p -满足PA PB =，求E 的方程3．（2011·新课标（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足，，M 点的轨迹为曲线C 。

（1）求C 的方程；（2）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

4．（2012·新课标二卷（理））（12分设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若，的面积为；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.5．（2013·新课标二卷（理））平面直角坐标系 中，过椭圆 ：（ ）右焦点的直线 交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为.（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ） ， 为 上的两点，若四边形 的对角线 ，求四边形 面积的最大值.6．（2014·新课标二卷（理））设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .7．（2015·新课标二卷（理））（本题满分12分）已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 ． （Ⅰ）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若 过点，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由．8．（2016·新课标三卷（理））已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点． （Ⅰ）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；（Ⅱ）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.9．（2018·新课标三卷（理））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．10．（2019·新课标三卷（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12 上的动点，过D作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.11．（2009宁夏卷（理））已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解析几何（理）专项练习题1．直线与圆的考查也是高考的热点内容，多以选择题和填空题的形式出现，有时还会作为条件结合圆锥曲线进行考查；2．圆锥曲线的定义、方程、与性质是每年的必考热点，多以选择题和填空题的形式出现，主要考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法；3．解析几何还会考一道解答题，通常难度较大，主要考直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围，定点、定值问题等，综合性比较强．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式（2）两条直线平行与垂直的判定①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1//l2⇔k1=k2；当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1//l2．②两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2=−1；当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．（3）两条直线的交点的求法直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离：|P 1P 2|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2． ②点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax +By +C =0的距离：d =．③平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间距离：d =．（5）圆的定义及方程（6）点与圆的位置关系点M(x 0，y 0)与圆(x −a)2+(y −b)2=r 2的位置关系： ①若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0−a)2+(y 0−b)2>r 2． ②若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0−a)2+(y 0−b)2=r 2． ③若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0−a)2+(y 0−b)2<r2． 2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )（2）圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，r(R >r)，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质（2）双曲线的标准方程及几何性质（3）抛物线的标准方程及其几何性质4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax +By +C =0 (A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F(x ，y)=0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立()0,0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得ax 2+bx +c =0．①当a ≠0时，设一元二次方程ax 2+bx +c =0的判别式为Δ， 则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ=0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当a =0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为k(k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则12MN x =-=或12MN y =-=一、选择题．1．已知直线l 1:ax +(a +2)y +1=0 ， l 2:x +ay +2=0(a ∈R)，则“1ae e=”是“12l l ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵直线l 1:ax +(a +2)y +1=0，l 2:x +ay +2=0，当“a =−2”时，直线l 1:−2x +1=0，l 2:x −2y +2=0，不满足12l l ∥， 当“a =0”时，直线l 1:2y +1=0，l 2:x +2=0，不满足12l l ∥， ∴当12l l ∥时，则2112a a a +=≠，解得a =−1或a =2． 而由1ae e=，解得a =−1， 所以由“1ae e =”能推出“12l l ∥”；由“12l l ∥”不能推出“1ae e=”， 所以“1ae e=”是“12l l ∥”充分不必要条件，故选A ． 【点评】本题考查了直线平行的条件，属于基础题．2．直线y =x +2和双曲线2213x y -=的渐近线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为（ ） A． BC．D【答案】A【解析】双曲线2213x y -=的渐近线为y x =， 设y =x +2与3y x =相交于A点，与3y x =-相较于B 点，由2y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得A (−3−√3，−√3−1)；由23y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得B(√3−3，√3−1)，所以|AB |=√(−3−√3−√3+3)2+(−√3−1−√3+1)2=√24=2√6，故选A ． 【点评】该题考查的是有关两点间距离问题，解题方法如下：（1）先根据双曲线的渐近线方程求得2213x y -=的渐近线； （2）联立方程组，分别求得对应的交点坐标； （3）利用两点间距离公式求得结果．3．已知⊙M 经过坐标原点，半径r =√2，且与直线y =x +2相切，则⊙M 的方程为（ ） A ．(x +1)2+(y +1)2=2或(x −1)2+(y −1)2=2 B ．(x +1)2+(y −1)2=2或(x −1)2+(y +1)2=2 C ．(x −1)2+(y +1)2=2或(x +√2)2+y 2=2 D ．(x −1)2+(y +1)2=2或(x −√2)2+y 2=2 【答案】A【解析】设圆心坐标为(a ，b)，半径r =√2， 因为圆M 过坐标原点，且与直线y =x +2相切，==a =b =±1，即圆心为(1，1)或(−1，−1)，圆M 的方程为(x −1)2+(y −1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2，故选A ．【点评】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．已知直线l:mx +y +3m −√3=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点．且A ，B 在x 轴同侧，过A ，B 分别做x 轴的垂线交x 轴于C ，D 两点，O 是坐标原点，若|CD|=3，则∠AOB =（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π 【答案】B【解析】因为直线的方程l:mx +y +3m −√3=0化为m (x +3)+y −√3=0， 所以直线l 恒过点(−3，√3)，而点(−3，√3)满足x 2+y 2=12，所以点(−3，√3)在圆x 2+y 2=12上， 不妨设点A (−3，√3)，又|CD|=3，所以点B (0，2√3)，所以AB ==，又圆x 2+y 2=12的半径为2√3，所以△AOB 是等边三角形，所以3AOB π∠=．故选B ．【点评】求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成y =k (x −a )+b ，将x =a 带入原方程之后，所以直线过定点(a ，b)；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点．取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点．5．设A (−2，0)，B (2，0)，O 为坐标原点，点P 满足|PA |2+|PB |2≤16，若直线kx −y +6=0上存在点Q 使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围为（ ）A ．⎡-⎣B ．(),42,⎡-∞-+∞⎣C ．5,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ D ．22⎡-⎢⎣⎦【答案】C【解析】设P (x ，y)，则|PA |2+|PB |2=(x +2)2+y 2+(x −2)2+y 2≤16， 整理可得x 2+y 2≤4，故|OP |≤2， 在△PQO 中，sin sin OQ OPQPO PQO=∠∠，则sin 2sin 2214sin OP QPOOQ OP QPO PQO∠==∠≤⨯⨯=∠，设原点到直线的距离为d ，则需满足d ≤4，4d ∴=≤，解得k ≤或k ≥C ． 【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出|OQ |=2|OP |sin ∠QPO ≤4，利用原点到直线的距离小于等于4求解．6．已知圆C ：(x +1)2+(y −1)2=1，P 是直线x −y −1=0的一点，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，则|PC |⋅|AB |的最小值为（ ）A ．√14B ．2√7C ．3√2D ．√11【答案】A【解析】圆C ：(x +1)2+(y −1)2=1的圆心为C (−1，1)，半径r =1， 设四边形PACB 的面积为S ，由题设及圆的切线性质得，122242PAC PC AB S S PA AC ⋅==⋅=⋅⋅⋅△， ∵|AC |=r =1，∴|PC |⋅|AB |=2|PA |=2√|PC |2−r 2=2√|PC |2−1，圆心C (−1，1)到直线x −y −1=0的距离为2d =，∴|PC |的最小值为2，则|PC |⋅|AB |的最小值为=A ．【点评】本题考了直线与圆的位置关系，难度中等偏易．7．已知抛物线C:y 2=8x 上一点A 到焦点F 的距离等于6，则直线AF 的斜率为（ ） A ．2 B ．±2C ．2√2D ．±2√2【答案】D【解析】由题意，点(2,0)F ，因为|AF |=x A +2=6，可得x A =4， 又因为点A 在抛物线上，所以y 2=32，则y =±4√2，所以点A(4，±4√2)，则2AF k ±==±，故选D ． 【点评】本题考了抛物线的定义及其性质，属于基础题．8．已知椭圆C 的焦点为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线l ：x +y =7有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ） A ．10 B ．7C ．2√7D ．2√5【答案】A【解析】设椭圆C 与直线l 的一个公共点为P ，则122PF PF a +=（即为长轴长）， 问题转化为在直线l 上找点P ，使得|PF 1|+|PF 2|最小，设F 2关于l 的对称点E (x ，y)，则111722y x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，可得E 点坐标为(7，6)，则|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PE |≥|F 1E |=√(7+1)2+62=10，当且仅当F 1，P ，E 三点共线时等号成立，即椭圆长轴长2a 的最小值为10，故选A ．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的定义，点关于直线对称的点的求法，属于中档题．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线6y x =-对称，且线段AB 的中点坐标为M(2，−4)，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3C ．2D ．√5【答案】B【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且线段AB 的中点坐标为M(2，−4)， 则x 1+x 2=4，y 1+y 2=−8， 又A ，B 关于直线6y x =-对称，所以121211y y x x -⨯=--，且A ，B 在双曲线上，2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，相减可得22221212220x x y y a b ---=，即1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+--=， 故22480a b-=，即222b a =，离心率为e ==B ．【点评】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．10．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A 、B 两点，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k 的值为（ ）A ．3B ．3±C ．D ．3±【答案】C【解析】若k =0，则直线l 与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意； 设1m k=，抛物线y 2=4x 的焦点为F (1，0)，直线AB 的方程为x =my +1， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得y 2−4my −4=0，216160Δm =+>，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由韦达定理可得y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4， ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 1，−y 1)，()221,FB x y =-，由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得−y 1=3y 2， ∴y 1+y 2=−2y 2=4m ，则y 2=−2m ，y 1y 2=−3y 22=−12m 2=−4，解得m =， 1k m∴==C ． 【点评】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算Δ； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2的形式； （5）代入韦达定理求解．11．如图，双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>以梯形ABCD 的顶点A ，D 为焦点，且经过点B ，C ．其中AB CD ∥，60BAD ∠=︒，|CD |=4|AB |，则Γ的离心率为（ ）A ．4BC ．65D ．6【答案】C【解析】连接CA ，BD ，不妨设|AB |=1，则|CD |=4，|BD |=1+2a ，|AC |=4+2a ． 在△ABD 中，1+4c 2−2⋅1⋅2c ⋅cos 60°=(1+2a)2① 在△ACD 中，16+4c 2−2⋅4⋅2c ⋅cos 120°=(4+2a)2②-②①，得15+10c =12a +15，则65c e a ==，故选C ．【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算．二、解答题．12．若双曲线x 2−y 2=9与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线A 1P 与A 2Q 的斜率分别为k 1，k 2，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）2219x y +=；（2）是过定点，定点为(2，0)．【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为√2， 又两曲线离心率之积为43，由题意知a =3，所以c =2√2，b =1．所以椭圆的标准万程为2219x y +=． （2）当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：k 1=−k 2≠0，不满足12105k k -=， 故直线l 的斜率不为零；设直线l 的方程为x =ty +n ，由2219x ty n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(t 2+9)y 2+2tny +n 2−9=0， 因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以Δ=4t 2n 2−4(t 2+9)(n 2−9)>0， 整理得t 2−n 2+9>0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+，1113y k x =+，2223y k x =-．因为12105k k -=，所以()()()()1121211222121233315333y y x y ty n k x y k y x y ty n x -+-+====+++-，整理得4ty 1y 2+5(n −3)y 1−(n +3)y 2=0， 4ty 1y 2+5(n −3)(y 1+y 2)=(6n −12)y 2，将12229tny y t +=-+，212299n y y t -=+，代入整理得t(n −2)(n −3)=(2−n)(t 2+9)y 2，要使上式恒成立，只需n =2，此时满足t 2−n 2+9>0， 因此，直线l 恒过定点(2，0)．【点评】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题； （3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y kx b =+，过定点()0,b ； ②直线方程整理为点斜式()00y y k x x -=-，过定点()00,x y ．13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为2√3，点P 在椭圆上，PF 1⊥x 轴，且132PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）将椭圆C按照坐标变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线C 1，若直线l 与曲线C 1相切且与椭圆C 相交于M ，N 两点，求|MN |的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）3,3MN ⎡∈⎢⎣⎦． 【解析】（1）由已知可得，2b =2√3⇒b =√3，21322b PF a a ==⇒=， 则椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）由())222212221143x x x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪''⇒⇒+=⇒+=⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩''''''，则曲线C 1：x 2+y 2=1，当直线l 斜率存在且为k 时，设l ：y =kx +m ，由直线l 与圆C 1相切，则2211d m k ==⇒=+，由()222223484120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，且Δ>0恒成立，由MN ===，由m 2=k 2+1，则MN ==， 令t =3+4k 2，则4k 2=t −3，∴MN === 令110,3s t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则y =−s 2+2s +3，10,3s ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则323,9y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，3,3MN ⎛∈ ⎝⎦； 当直线l 斜率不存在时，l ：x =±1，223b MN a==，综上：MN ⎡∈⎢⎣⎦． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线C 1相切求出切线方程中参数的关系，化简后借助二次函数性质求出弦长范围．14．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为(−√2，0)，且椭圆C 经过点P (0，1)，直线y =kx +2k −1(k ≠0)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得：c =√2，b =1，则a 2=b 2+c 2=3，∴椭圆方程为2213x y +=． （2）解法一（常规方法)：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得(3k 2+1)x 2+6k (2k −1)x +12k (k −1)=0， ∵直线y =kx +2k −1(k ≠0)与椭圆C 交于A 、B 两点，∴Δ>0，即12[(3k 2+1)−(2k −1)2]=−48k (k −1)>0，解得0<k <1， 由韦达定理()12262131k k x x k -+=-+，()12212131k k x x k -=+，()()()121212122112121222211PA PBkx x k x x y y k k x y x y x x x x x x +-+--∴+=+=+-+=()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA 、PB 的斜率和为定值1．解法二（构造齐次式)：由题直线y =kx +2k −1(k ≠0)恒过定点(−2，−1)， ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为mx +n (y −1)=1(∗)， 则−2mx −2n =1，即12m n +=-，有12m n =--， 由2213x y +=，有x 2+3(y −1)2+6(y −1)=0， 则x 2+3(y −1)2+6(y −1)[mx +n (y −1)]=0，整理成关于x ，y −1的齐次式：(3+6n )(y −1)2+6mx (y −1)+x 2= 0，进而两边同时除以2x ，则()21136610y y n m x x --⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y k x-=，则121216116213636PA PB n y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++； ②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为12y x =，()00,A x y ，()00,B x y --， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【点评】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出b ，c 的值，进而求得a 2的值，得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，韦达定理求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．15．已知椭圆222:1(1)y x a aΓ+=>与抛物线C:x 2=2py(p >0)有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且|AB |=1． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F 为圆心，以√5为半径的圆F 交于M ，N 两点，求证：|MN |为定值．【答案】（1）椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）证明见解析． 【解析】（1）椭圆222:1(1)y x a aΓ+=>可得焦点(0，√a 2−1)，抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p =①， 由22221p y y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22214p x a +=，解得x =所以1AB ==②，由①②可得：a 2=4，p =2√3，所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =． （2）设P(m ，n)，则2214n m +=，圆P 的方程为(x −m)2+(y −n)2=m 2+n 2， 圆F 的方程为：x 2+(y −√3)2=5，所以直线MN 的方程为：mx +(n −√3)y −1=0， 设点F 到直线MN 的距离为d ，则2d ====，|MN|=2√5−d 2=2，所以|MN |为定值．【点评】圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）代数法，设直线与圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出x 1+x 2，x 1x 2，根据弦长公式|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，即可得出结果．16．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(0，2)，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆Γ相交于两点M 、N ，各点互不重合，且满足1PM MQ λ=，2PN NQ λ=．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为y =−x +1，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2，0)． 【解析】（1）由题意，因为椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(0，2)，可得b =2，设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得(2a)2+(2b)2=2(2c)2，即a 2+b 2=2c 2， 又因为a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=． （2）由直线l 的方程为y =−x +1，可得而P(0，1)，Q(1，0)， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，因为1PM MQ λ=，2PN NQ λ=，可得(x 1，y 1−1)=λ1(1−x 1，−y 1)，(x 2，y 2−1)=λ2(1−x 2，−y 2)， 从而x 1=λ1(1−x 1)，x 2=λ2(1−x 2)， 于是1111x x λ=-，2221x x λ=-，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得4x 2−6x −9=0，可得1232x x +=，1294x x =-，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-． （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为y =k (x −m )(m >0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， 可得P(0，−km)，Q(m ，0)， 由1PMMQ ，可得(x 1，y 1+km)=λ1(m −x 1，−y 1)，所以x 1=λ1(m −x 1)，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123，∴x 1x 2−2m(x 1+x 2)+3m 2=0⋯①，联立()221124x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得(1+3k 2)x 2−6k 2mx +3k 2m 2−12=0，则Δ=36k 4m 2−4(1+3k 2)(3k 2m 2−12)=12(12k 2+4−k 2m 2)>0⋯②，且2122613k m x x k +=+，2212231213k m x x k -=+③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴m =2，(满足②) 故直线l 的方程为y =k (x −2)，所以直线l 恒过定点(2，0)． 【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线F(x ，y)=0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．一、选择题．高频易错题1．已知P 是曲线C ：x +√2y −y 2=0上的点，Q 是直线x −y −1=0上的一点，则PQ 的最小值为（ ）A ．2B 1C 1-D ．2【答案】D【解析】由x +√2y −y 2=0，得x 2+(y −1)2=1(x ≤0)， ∴曲线C 是圆心为()0,1，半径r =1的左半圆，曲线C 上的点到直线x −y −1=0的最小距离为原点到直线的距离，2d ==，所以PQ ，故选D ． 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．二、解答题．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是焦距的√2倍，且过点(2，√2)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点O ，半径为√a 2+b 2的圆O 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）{4√3}． 【解析】（1）由2a =√2×2c ，得a =√2c ，把点(2，√2)代入椭圆方程得22421a b +=， 又a 2=b 2+c 2，所以a 2=8，b 2=4，椭圆的标准方程为22184x y +=． （2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为l 1，l 2．①当l 1，l 2中有一条斜率不存在时，不妨设l 1斜率不存在， 因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =2√2或x =−2√2， 当l 1方程为x =2√2时，此时l 1与圆O 交于点(2√2，2)和(2√2，−2)，此时经过点(2√2，2)，(2√2，−2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y =2或y =−2，即l 2为y =2或y =−2，l 1⊥l 2， 由题目知，圆O 的方程为x 2+y 2=12， ∴线段EF 应为圆O 的直径，∴|EF|=4√3；②当l 1，l 2斜率都存在时，设点P (x 0，y 0)，其中x 02+y 02=12，且x 02≠8，y 02≠4，设经过点P (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y =t (x −x 0)+y 0，则()0022184y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到(1+2t 2)x 2+4t (y 0−tx 0)x +2(y 0−tx 0)2−8=0， ∴Δ=(64−8x 02)t 2+16x 0y 0t +32−8y 02=0，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以t 1t 2=−1，满足条件的两直线l 1，l 2垂直． ∴线段EF 应为圆O 的直径，∴|EF|=4√3， 综合①②知：因为l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)， 又分别交圆于点E ，F ，且l 1，l 2垂直，所以线段EF 为圆x 02+y 02=12的直径，∴|EF|=4√3为定值．故EF 的取值范围{4√3}．【点评】在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，常常需要设直线的方程，此时容易遗漏考虑直线的斜率不存在的情况．一、选择题．1．已知直线l:kx +y +4=0(k ∈R)是圆C:x 2+y 2−6x +2y +9=0的对称轴，过点P (1，k)作圆C 的 两条切线，切点分别为A ，B ，则三角形P AB 的面积等于（ ） A ．3 B ．32C ．34D ．334【答案】D【解析】因为直线kx +y +4=0是圆C:x 2+y 2−6x +2y +9=0的对称轴， 所以直线kx +y +4=0过圆心()3,1C -，即3k −1+4=0，k =−1， 所以点P (1，−1)，|PC |=2，精准预测题因为圆C 的半径r =1，所以切线长|PA |=|PB |=√|PC|2−r 2=√3， 且在直角三角形中1sin sin 2r APC BPC PC ∠=∠==， 所以∠APC =∠BPC =30°，∠APB =60°，所以三角形P AB 的面积1sin 2S PA PB APB =⨯∠=，故选D ． 【点评】本题主要考了直线与圆的位置关系，以及切线长的求法，属于基础题． 2．已知x ，y 都是实数，则“|x |+|y |≤√2”是“x 2+y 2≤1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】|x |+|y |≤√2表示的区域是以(±√2，0)，(0，±√2)为顶点的正方形及其内部， x 2+y 2≤1表示的区域是(0，0)为圆心，1为半径的圆及其内部， 所以x 2+y 2≤1能够得到|x |+|y |≤√2成立，反之不成立，故选B ．【点评】本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则p 对的集合与q 对应集合互不包含． 3．已知圆O:x 2+y 2=r 2(r >0)与x 轴的交点为A 、B ，以A 、B 为左、右焦点的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右支与圆O 交于P 、Q 两点，若直线PQ 与x 轴的交点恰为线段AB 的一个四等分点，则双曲线的离心率等于（ ）A1 B．1CD【答案】A【解析】由题意可知PQ 为OB 的中垂线，因为点A 、B 的坐标分别为(−r ，0)、(r ，0)，所以PQ 方程为2r x =， 联立2222r x x y r⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2rx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可取2r P ⎛ ⎝⎭，,2r Q ⎛ ⎝⎭， 所以双曲线的焦距为2c =2r ，即c =r ，因为PA ==，PB r ==， 由双曲线定义可得2a =|PA |−|PB |=(√3−1)r，))1122r c a ==，所以双曲线的离心率1ce a===，故选A ． 【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．4．过点P(x ，y)作圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x −2)2+(y −2)2=1的切线，切点分别为A ､B ，若|PA |=|PB |，则x 2+y 2的最小值为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．8【答案】B【解析】如图所示，由圆的切线的性质得C 1A ⊥PA ，C 2B ⊥PB ， 在Rt △PAC 1，Rt △PBC 2中有|PA |2=|PC 1|2−1，|PB |2=|PC 2|2−1， 由题知|PA |=|PB |，∴|PC 1|=|PC 2|，所以点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上；由题知C 1(0，0)，C 2(2，2)，所以C 1与C 2的中点Q 的坐标为(1，1)， C 1与C 2所在直线的斜率为120120k -==-， ∴P ，Q 所在直线l 1的斜率为2111k k -==-， ∴直线l 1的方程为y =−1×(x −1)+1，即y =−x +2， 点P(x ，y)在y =−x +2，所以点P 的坐标满足y =−x +2，所以x 2+y 2=x 2+(−x +2)2=2x 2−4x +4=2(x −1)2+2≥2，故选B ．【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将x 2+y 2表示为只含有一个未知数x 的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点P 所在的一条直线，进而用一个未知数x 表示出其坐标，进而求得x 2+y 2的最小值．5．已知抛物线()220y px p =>，过抛物线的焦点F 作直线与抛物线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且抛物线的准线与x 轴的交点为M ，则以下结论错误的是（ ）A ．2124p x x =B ．234OA OB P ⋅=-C ．90AMB ∠=︒D ．112FA FB p+= 【答案】C【解析】设过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 的直线为2p x my =+， 代入抛物线方程得y 2−2pmy −p 2=0．由直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2=−p 2，()2221212121222244p p p p p x x my my m y y m y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确；2221212344P P OA OB x x y y P ⋅=+=-=-，B 正确；∵M 点坐标为,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭，故11,2p MA x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22,2p MB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22212121224p p MA MB x x x x y y m p ⋅=++++=，当m ≠0时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，即∠AMB ≠90°，故C 错误； 由()()12122212121212112222422AB x x p x x p p p p p p p FA FB p x x x x x x x x +++++====⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确， 综上所述，本题选C ，故选C ．【点评】（1）坐标法是解析几何的基本方法；（2）抛物线的焦点弦的常用性质：①弦长|AB|=x 1+x 2+p ；②2124p x x =，212y y p =-；③以AB 为直径的圆与准线L 相切．6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，直线y kx =交双曲线于P ､Q 两点(P 在第一象限)，直线PA 与线段FQ 交于点B ，若FB =2BQ ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】依题意可得A (−a ，0)，F (−c ，0)， 因为P 在第一象限，所以k >0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线与双曲线方程22221x y a b y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得(b 2−a 2k 2)x 2−a 2b 2=0，解得x =，所以P ⎛⎫，Q ⎛⎫ ⎝，设B (m ，n)，由FB =2BQ ，所以FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即(),2,m c n m n ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即22m c m n n ⎧⎛⎫+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得3c m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,3c B ⎛⎫- ⎝， 因为B 、A 、P 在一条直线上，所以k AP =k AB ，==即2ab +2a√b 2−a 2k 2=2ab +(c −3a )√b 2−a 2k 2， 所以2a√b 2−a 2k 2=(c −3a )√b 2−a 2k 2，解得c =5a ， 所以5ce a==，故选D ． 【点评】本题考查双曲线的离心率的计算，关键是方程思想的应用．二、填空题．7．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与抛物线C 2：()220y px p =>的焦点F 重合，过点F 作直线l 与抛物线C 2交于A 、B 两点（A 点在x 轴上方）且满足|AF |=3|BF |，若直线l 只与双曲线右支相交于两点，则双曲线C 1的离心率e 的取值范围是______． 【答案】(1，2)【解析】设直线l 的倾斜角θ，直线l 与抛物线C 2交于A 、B 两点（A 点在x 轴上方）， 则θ为锐角，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线2p x =-，准线与x 轴交点记为P ，过A 、B 分别向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，过B 向AC 作垂线，垂足为E ， 设直线BE 与x 轴交点记为Q ，过A 向x 轴作垂线，垂足为G ，由抛物线的定义|AF |=|AC |=|GP |=|GF |+|FP |，因为|GF |=|AF |cosθ， |FP |=p ，所以|AF |=|AF |cos θ+p ， ∴1cos pAF θ=-，|BF |=|BD |=|PQ |=|FP |−|FQ |，因为|FQ |=|BF |cosθ， |FP |=p ，所以 cos BF p BF θ=-，1cos pBF θ∴=+，由133cos 1cos 1cos 2p p AF BF θθθ=⇒=⨯⇒=-+，则3k πθ=⇒=由直线l 只与双曲线右支相交于两点，则,,b b k a a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222223442ba b a c e e a>⇒>⇒>⇒<⇒<， 由e ∈(1，+∞)，则1<e <2， 故答案为(1，2)．【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．8．设抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B ，且32AF BF -=，则AF BF=__________． 【答案】2【解析】抛物线C: y 2=4x 的焦点为F (1，0)，设直线AB 的方程为y =k (x −1)，代入y 2=4x ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则12242x x k +=+，x 1x 2=1， 由抛物线的定义可得|AF |=x 1+1，|BF |=x 2+1， 由32AF BF -=，得()()123112x x +-+=，即1232x x -=， 由1212132x x x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，即22132x x -=，解得212x =或x 2=−2（舍）， 所以x 1=2， 所以121321112AF x BFx +===++，故答案为2． 【点评】本题考查抛物线中过焦点的弦的性质的应用，解答本题的关键是方程联立得到x 1x 2=1，由抛物线的定义可得：|AF |=x 1+1，|BF |=x 2+1，得出1212132x x x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，属于中档题．三、解答题．9．已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l:y =2x +a 与抛物线C 交于A ，B 两点． （1）若a =−1，求△FAB 的面积．（2）已知圆M:(x −3)2+y 2=4，过点P(4，4)作圆M 的两条切线，与曲线C 交于另外两点分别为D ，E ， 求证：直线DE 与圆M 相切． 【答案】（1（2）证明见解析． 【解析】（1）抛物线的焦点为F (1,0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 把y =2x −1方程代入抛物线y 2=4x ，可得4x 2−8x +1=0，122x x ∴+=，1214x x ⋅=， ∴|AB|=√1+k 2|x 2−x 1|=√5√(x 1+x 2)2−4x 1x 1=√15， 点F 到直线l的距离d =1122ABFS AB d∴===△．（2）设过点P的直线方程为(4)4x t y=-+，由直线与圆M2=，可得212830t t--=，设切线PD，PE的斜率分别为t1，t2，则1223t t+=，1214t t=-，把(4)4x t y=-+代入抛物线方程可得2416160y ty t-+-=，则4，y1是方程2416160y ty t-+-=的两根，可得1144y t=-，同理2244y t=-．则有()2114,4,444D t t⎛⎫--⎪⎝⎭，()222144,444E t t⎛⎫--⎪⎝⎭，直线()211211:444(1)2DE y t x tt t⎡⎤--=--⎣⎦+-，即为()2113444(1)4y t x t⎡⎤--=---⎣⎦，则圆心(3，0)到直线DE的距离为2111128135d t t==--，由21112830t t--=，代入上式，化简可得d=2，所以直线DE与圆M相切．【点评】证明直线与圆相切，求出直线的方程，圆心和半径，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，化简求值等于半径即可．10．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率12e=，左顶点为A(−2，0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k(k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3）2√2． 【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，左顶点为A(−2，0)，所以a =2， 又12e =，所以c =1，可得b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线l 的方程为y =k(x +2)，由()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得(x +2)[(4k 2+3)x +8k 2−6]=0， 所以x 1=−2，2228643k x k -+=+，当228643k x k -+=+时，222861224343k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭， 所以2228612,4343k k D k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为y =k(x +2)，令x =0，得E 点坐标为(0，2k)，假设存在定点Q(m ，n)(m ≠0)，使得OP ⊥EQ ，则k OP ⋅k EQ =−1，即3214n k k m-⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立， 所以(4m +6)k −3n =0，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为OM l ∥，所以OM 的方程可设为y kx =， 和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x = 由OM l ∥，可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+====≥，，即2k =±时取等号，所以当k =时，AD AE OM+的最小值为2√2． 【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为x 1+x 2，x 1x 2形式；（5）代入韦达定理求解．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，左、右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2=8x 的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 与x 轴交于A ，B 两点，M 是直线x =1上任意一点，直线MA ，MB 与椭圆C 的另一个交点分别为D ，E ．求证：直线DE 过定点H(4，0)．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为椭圆C 的离心率12e =，所以12c a =，即2a c =．由y 2=8x ，得2p =8，所以p =4，其焦点为(2,0)F ，因为抛物线y 2=8x 的焦点(2,0)F 恰好是该椭圆的一个顶点，所以a =2，所以c =1，b =√3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由（1）可得A(−2，0)，B(2，0)，设点M 的坐标为(1，m)，直线MA 的方程为()23my x =+． 将()23m y x =+与22143x y +=联立，消去y 整理得：(4m 2+27)x 2+16m 2x +16m 2−108=0，设点D 的坐标为(x D ，y D )，则22161082427D m x m --=+， 故22548427D m x m -=+，则()23623427D D mmy x m =+=+．直线MB 的方程为(2)y m x =--，将(2)y m x =--与22143x y +=联立，消去y 整理得(4m 2+3)x 2−16m 2x +16m 2−12=0．设点E 的坐标为(x E ，y E )，则221612243E m x m -=+，故228643E m x m -=+，则()212243E E m y m x m =--=+， 直线HD 的斜率为()12223664495484427D D y m m k x m m m ===--+--+， 直线HE 的斜率为()222212644986443E E y m m k x m m m ===--+--+． 因为k 1=k 2，所以直线DE 经过定点H ．【点评】通过HD 和HE 的斜率相等来证明直线DE 过定点H(4，0)是解题关键．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，|AF |=3．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数λ，使得k 1=λk 2恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）λ=3． 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==， 又|AF |=3，所以a +c =3，解得a =2，c =1，又c 2=a 2−b 2，所以b 2=3， 所以椭圆方程为22143x y +=． （2）由（1）知F (1，0)，A (−2，0)，设直线PN 的方程为x =my +1，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为M 与P 关于原点对称，所以M (−x 1，−y 1)， 所以1112y k x =-，2222y k x =+， 若存在λ，使得k 1=λk 2恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以y 1(x 2+2)=λy 2(x 1−2)，两边同乘y 1得y 12(x 2+2)=λy 2y 1(x 1−2)，又因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以2211143x y +=， 所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-， 当x 1≠2时，则()()12213224x x y y λ-++=， 所以−3x 2x 1−6(x 2+x 1)−12=4λy 2y 1①；当x 1=2时，M 与A 重合， 联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，所以212212934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩， 所以()212128234x x m y y m +=++=+，()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得−108=−36λ，解得λ=3． 【点评】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。

2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。

I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。

4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。

5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。

6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。

数 学H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程14．B14、H1 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数； (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线： (1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b ，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2ab a ＋b ，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)． 20．H1 H6 H8 如图1­7所示，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．图1­7(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值． 20．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－c 2a .又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －c 2＝3a .又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0， 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝ 43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值．20．HI ，H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．20．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m.直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝ 124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．H2 两直线的位置关系与点到直线的距离21．H7、H8、H2 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m4， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.H3 圆的方程9．H3、H5 设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 29．D 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 20，∴|CQ |＝10－10y 20＋（y 0－6）2＝－9y 20－12y 0＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋232＋50， 当y 0＝－23时，|CQ |有最大值52， 则P ，Q 两点间的最大距离为5 2＋r ＝62.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系10．H4、H9 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1＜r ＜R ＜3B ．1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ．1＜r ＜3＜R10．A 由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，|OQ |＝2.曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}， 即C ：x 2＋y 2＝1.区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示．要使C ∩Ω为两段分离的曲线，则有1<r <R <3. 19．H4、H5、H8 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝± 2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )， 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．6．A2、H4 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．A 由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离d ＝1k 2＋1<1，解得k ≠0.当k ＝1时，d ＝12，|AB |＝2r 2－d 2＝2，则△OAB 的面积为12×2×12＝12；当k ＝－1时，同理可得△OAB 的面积为12，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．12．H4 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.12．2 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.15．H4、C6 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43， 即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.15．H4 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．15．(210，＋∞) g (x )的图像表示圆的一部分，即x 2＋y 2＝4(y ≥0)．当直线y ＝3x ＋b 与半圆相切时，满足h (x )>g (x )，根据圆心(0，0)到直线y ＝3x ＋b 的距离是圆的半径求得|b |9＋1＝2，解得b ＝210或b ＝－210(舍去)，要使h (x )>g (x )恒成立，则b ＞210，即实数b 的取值范围是(210，＋∞)．12．H4 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．12．x 2＋(y －1)2＝1 由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．E6，H4 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．14．5 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10. ∴|PA ||PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时等号成立．13．H4 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．13．4±15 由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.∵△ABC 为等边三角形，∴|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，∴222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋12＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 21．H4，H5 如图1­4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．图1­421．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322， 所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.H5 椭圆及其几何性质20．HI ，H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．20．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m.直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝ 124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．14．H5 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．14．x 2＋32y 2＝1设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.19．H4、H5、H8 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝± 2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )， 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．9．H3、H5 设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 29．D 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 20，∴|CQ |＝10－10y 20＋（y 0－6）2＝－9y 20－12y 0＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋232＋50， 当y 0＝－23时，|CQ |有最大值52， 则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.20．H5、H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．9．H5、H6 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2 9．A 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13×3e 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 21＋3e 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝163. 所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.21．H5、H6、H8、H10 如图1­7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．图1­721．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1，0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m22－m 2＝22·－1＋32－m2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.15．H5 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．15.22设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点M 是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式作差可得x 21－x22a 2＝－（y 21－y 22）b 2，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b2a2， 即k AB ＝－b 2a 2.由题意可知，直线AB 的斜率为－12，所以－b 2a 2＝－12，即a ＝2b .又a 2＝b2＋c 2，所以c ＝b ，e ＝22. 15．H5 已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．15．12 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.20．H5、H8 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1­6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.图1­6(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0.又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3m m 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2. ④ 因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0， 解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0. 6．H5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．A 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.20．H5、H8、H10 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 20．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 20．H5、H8、H10 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝ 5|F 1N |，求a ，b .20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1， 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.10．H5，H6 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A. x ±2y ＝0 B. 2x ±y ＝0 C. x ±2y ＝0 D. 2x ±y ＝010．A 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a .由e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32， 解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x .故选A.20．H5，H7，H8 如图1­5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图1­520．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0），得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k2k 2＋4＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．20．H5，H7，H8 如图1­5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图1­520．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k2k 2＋4＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．18．H5、H8 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)． 由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.21．H5、H8 如图1­6，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b.图1­621．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2k b 2＋a 2k2，b 2m b 2＋a 2k 2. (2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2.因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ， 当且仅当k 2＝b a时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .21．H4，H5 如图1­4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．图1­421．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322， 所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.H6 双曲线及其几何性质9．H5、H6 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2 9．A 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13×3e 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 21＋3e 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝163. 所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.11．H6 设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．11.x 23－y 212＝1 y ＝±2x 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ，将(2，2)代入得224－22＝－3＝λ，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1.令y 24－x 2＝0得渐近线方程为y ＝±2x .9．H6 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.239．A 根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a ＝14.19．H6、H8 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图1­6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图1­619．解：方法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， 所以b a＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8， 即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x得y 1＝2t 1－2m ， 同理得y 2＝－2t1＋2m. 设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0， 因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |·|OB |· sin ∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0. 因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m2。

3．在平行四边形ABCD 60，AD ，若P 是平0xAB y AD PA ++=(,x y ∈在以A 为圆心，||BD 为半径的圆上时，实数系式为（ ）．22421x y xy ++= 21xy -= ．22421x y xy +-=21xy +=是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点的直线与抛物线交于点(Ⅰ)求曲线C 方程；(Ⅱ)设点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P ，Q ，求APQ △面积的最小值及此时点A 的坐标．8．如图，已知点1F ，2F 是椭圆1C ：2212x y +=的两个焦点，椭圆2C ：222x y λ+=经过点1F ，2F ，点P 是椭圆2C 上异于1F ，2F 的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆1C 的交点分别是A ，B 和C ，D ．设AB ，CD 的斜率分别为k ，k '．(Ⅰ)求证kk '为定值； (Ⅱ)求||||AB CD 的最大值．9．在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且||2||DP DM =，点P 在圆上运动．(1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点(1,0)C -的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在N ，使NA NB 为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．121244x kx b+==-，且1112k y ==为切点的切线方程为2y y -01)(1)y x - 是椭圆2C 上的点，故联合①②两式得kk '=-PF 的方程可表示为：212()x x + 24[41|||4(114CD k =++当且仅当k =±|||AB CD 的最大值等于【解析】(Ⅰ)设00(,)P x y 在2x +2224x y ∴+=即(Ⅱ)假设存在．当直线1+212212k x x k -=+12(,)NA NB x n y ∴=--=2(412412k n n k-++ 21(21)(4(41)421k n n +--NA NB 是与k 7202n ∴+= 74n ∴=-即(4N -此时1516NA NB =-当直线AB 与x 轴垂直时，若则1516NA NB =-综上所述，在x 轴上存在定点，使NA NB 为常数．。

解析几何专项训练姓名 班级 学号 成绩（一）填空题1、若直线m my x m y mx 21=++=+与平行，则m =_-1____．2、若直线2+=kx y 与抛物线x y 42=仅有一个公共点，则实数=k 1,023、若直线l 的一个法向量为()2,1n =，则直线l 的倾斜角为 arctan2π- （用反三角函数值表示）4、已知抛物线20x my +=上的点到定点(0,4)和到定直线4y =-的距离相等，则m = -165、已知圆C 过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，且圆心C 在此双曲线上，则圆心C 到双曲线中心的距离是1636、已知直线1l ：210x y +-=，另一条直线的一个方向向量为(1,3)d =，则直线1l 与2l 的夹角是4π7、已知直线:0l ax by c ++=与圆1:22=+y x O 相交于A 、B 两点，3||=AB ，则OA ·OB = 12-8、若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得线段的长为22则 直线m 的倾斜角是 0015,75 .9、若经过点(0,2)P 且以()1,d a =为方向向量的直线l 与双曲线1322=-y x 相交于不同两点A 、B ，则实数a 的取值范围是 2215,3a a <≠ .10、（理科）设曲线C 定义为到点)1,1(--和)1,1(距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45，则此时曲线C 的方程为__22142y x +=___________．11、等腰ABC ∆中，顶点为,A 且一腰上的中线长为3,则 三角形ABC 的面积的最大值 2 12、如图，已知OAP ∆的面积为S ，1OA AP ⋅=．设||(2)OA c c =≥，34S c =，并且以O 为中心、A 为焦点的椭圆经过点P ．当||OP 取得最小值时，则此椭圆的方程为 221106x y += .（二）选择题13、“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的（ B ）条件 （A ）充要；（B ）充分不必要；（C ）必要不充分；（D ）既不充分也不必要14、如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根，则圆锥曲线122=+ny m x 的焦点坐标是（ D ）(A))0,1(±； (B))1,0(±； (C))0,3(± ；(D))3,0(±15、已知：圆C 的方程为0),(=y x f ，点),(00y x P 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上， 方程0),(),(:'00=-y x f y x f C ，则下面判断正确的是……( B ) (A) 方程'C 表示的曲线不存在；(B) 方程'C 表示与C 同心且半径不同的圆； (C) 方程'C 表示与C 相交的圆；(D) 当点P 在圆C 外时，方程'C 表示与C 相离的圆。

H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．H1，H5，H8 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值． 20．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1. y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 33，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB|＝4 63.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n －5 33<n<3，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0，于是x 3，4＝－2n ±2（9－n 2）3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD|＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD|·|AB|＝8 699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为8 63.所以四边形ACBD 面积的最大值为8 63.9．E5，H1 已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，y≥a（x －3）.若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．29．B 直线y ＝a(x －3)过定点(3，0) .画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y ＝－2x ，平移易知直线过A 点时直线在y 轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1a ＝12.答案为B.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离8．H2 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )图1－1A ．2B ．1 C.83 D.438．D 不妨设AP ＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB 为x 轴，AC 为y 轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(x Q ，y Q )，R(0，y R )，P(m ，0)，可知△ABC 的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，根据反射性质，可知P 关于y 轴的对称点P 1(－m ，0)在直线QR 上，P 关于x ＋y ＝4的对称点P 2(4，4－m)在直线RQ 上，则QR 的方程为y －04－m ＝x ＋m 4＋m ，将G ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43代入可得3m 2－4m ＝0，即m ＝43或m ＝0(舍)，选D.12．H2，E1 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1212．B 方法一：易得△ABC 面积为1，利用极限位置和特值法．当a ＝0时，易得b ＝1－22；当a ＝13时，易得b ＝13；当a ＝1时，易得b ＝2－1>13.故选B. 方法二：(直接法)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋by ＝a ＋b a ＋1 ，y ＝ax ＋b 与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形与a>0 ，12×a ＋b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12(a ＋b)2＝a(a ＋1)>0a ＝b 21－2b. ∵a>0，∴b21－2b>0b<12，当a ＝0时，极限位置易得b ＝1－22，故答案为B. 7．H2，H4 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5 2－4 B. 17－1C ．6－2 2 D.177．A 如图，作圆C 1关于x 轴的对称圆C′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C 2，N ，P ，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C 2|－1－3＝5 2－4，故选A.图1－3H3 圆的方程20．H3，H10，H8，H5 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.20．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2， 当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187.21．F2、F3、H3、H5，H8 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．图1－921．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)．又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈)． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取得最小值．又因x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取得最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.因为PQ⊥P′Q，且P′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP →′＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0，解得x 1＝±4 63，x 0＝x 12＝±2 63，从而|QP|2＝8－x 20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2 632＋y 2＝163.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系9．H4 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 9．B AB ：y ＝k(x －2)，k<0，圆心到直线的距离d ＝|－k 2|k 2＋1<1，得－1<k<0，|AB|＝21－d 2＝21－k 21＋k 2，S △AOB ＝12|AB|d ＝2（1－k 2）k2（1＋k 2）2，－1<k<0，可得当k ＝－33时，S △AOB 最大．故选B. 9．H4 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝09．A 方法一：设点P(3，1)，圆心为C ，设过点P 的圆C 的切线方程为y －1＝k ()x －3，由题意得|2k －1|1＋k2＝1，解之得k ＝0或43，即切线方程为y ＝1或4x －3y －9＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，()x －12＋y 2＝1，得一切点为()1，1，又∵k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－1k PC ＝－2，即弦AB 所在直线方程为y －1＝－2()x －1，整理得2x ＋y －3＝0.方法二：设点P(3，1)，圆心为C ，以PC 为直径的圆的方程为()x －3()x －1＋y ()y －1＝0，整理得x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0①，()x －12＋y 2＝1②，①，②两式相减得2x ＋y －3＝0.11．H7，H4 设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x11．C 抛物线焦点为F p 2，0 ，由抛物线的定义，设M5－p2，2p5－p2，设N 点坐标为(0，2)．因为圆过点N(0，2)，故NF⊥NM2－p 2×2p5－p 2－25－p 2＝－1，① 设p5－p 2＝t ，则①式可化为t 2－4 2t ＋8＝0t ＝2 2p 2－10p ＋16＝0p ＝2或p ＝8 .图1－521．H4，H5 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程．21．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB|＝2 4－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0. 故x 0＝－8k 4＋k 2，所以|PD|＝8 k 2＋14＋k2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB|·|PD|＝8 4k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝16 1313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 7．H2，H4 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5 2－4 B. 17－1 C ．6－2 2 D.177．A 如图，作圆C 1关于x 轴的对称圆C′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C 2，N ，P ，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C 2|－1－3＝5 2－4，故选A.图1－3H5 椭圆及其几何性质20．H3，H10，H8，H5 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.20．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2， 当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187.10．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y29＝1 10．D 由题意知k AB ＝12，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0. 由AB 的中点是(1，－1)知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴b 2a 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，联立a 2－b 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9，故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 18．H5、H8、H9 设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q.证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)设P(x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ， 则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c ，故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c)． x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 的坐标为0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P(x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．14．H5，H8 椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．14.3－1 如图，△MF 1F 2中，∵∠MF 1F 2＝60°，∴∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1＝3－1.12．H5 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．12.33 由题意知F(c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B(0，b)，则直线BF ：x c ＋yb ＝1，即bx＋cy －bc ＝0.于是d 1＝|－bc|b 2＋c2＝bca， d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c.由d 2＝6d 1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2，化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0， 即6e 4＋e 2－1＝0，解得e 2＝13或e 2＝－12(舍去)，故e ＝33，故椭圆C 的离心率为33. 20.图1－7H5，H8 如图1－7所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P)，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上得1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则 直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4（k 2－3）4k 2＋3，④ 在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4，3k)． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12，注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k ，所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1，⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24（k 2－3）4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．方法二：设B(x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：y ＝y 0x 0－1(x －1)．令x ＝4，求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3y 0x 0－1. 从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12（x 0－1），联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－1（x －1），x 24＋y23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线PA 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1），直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32（x 0－1），所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1）＋2y 0－32（x 0－1）＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．19．H5，H10 已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 19．解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分． 所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB|·|AC|＝12×2×2|m|＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m(k≠0，m≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．15．H5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，联结AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________．15.57 设椭圆的右焦点为Q ，在三角形ABF 中利用余弦定理可以得到|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，则△FAQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a ＝14，2c ＝10，得e ＝57.15．H5 记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域为D.若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC 及其内部，直线y＝a(x ＋1)是过点(－1，0)斜率为a 的直线，该直线与区域D 有公共点时，a 的最小值为MA 的斜率，最大值为MB 的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA 的斜率等于1－01－（－1）＝12，MB 的斜率等于4－00－（－1）＝4，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4.8．H5、H8 椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 8．B 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x 0，y 0)，则kPA 1kPA 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4，而x 204＋y 203＝1，即y 20＝34(4－x 20)，所以kPA 1kPA 2＝－34，所以kPA 1＝－34kPA 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34. 22．H5 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，联结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．22．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b2a.由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2. 又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知||my 0＋3y 0y 20＋（x 0＋3）2＝||my 0－3y 0y 2＋（x 0－3）2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1，所以|m ＋3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－22.因为－3<m<3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0.所以m ＝34x 0.因此－32<m<32.方法二：设P(x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P 3，12或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12. 若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －4 3y ＋3＝0.由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m<3， 所以m ＝3 34.若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，同理可得m ＝3 34. ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)． 由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22，所以（m ＋3）2（m －3）2＝1＋1k 211＋1k 22. 因为x 204＋y 20＝1，并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，所以（m ＋3）2（m －3）2＝4（x 0＋3）2＋4－x 24（x 0－3）2＋4－x 20 ＝3x 20＋8 3x 0＋163x 20－8 3x 0＋16 ＝（3x 0＋4）2（3x 0－4）2，即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|.因为－3<m<3，0≤x 0＜2且x 0≠3， 所以3＋m3－m ＝4＋3x 04－3x 0. 整理得m ＝3x 04，故0≤m＜32且m≠3 34.综合①②可得0≤m＜32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. (3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0， 故k ＝－x 04y 0.由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.20．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A(0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，求点Q 的轨迹方程． 20．解：(1)由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝22.所以a ＝2， 又由已知，c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.(2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y)．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－3 55.②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM|2＝(1＋k 2)x 21，|AN|2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ|2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32.由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1，代入①中并化简，得 x 2＝1810k 2－3.③因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2>32，可知0<x 2<32，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62. 又⎝⎛⎭⎪⎫0，2－3 55满足10(y －2)2－3x 2＝18，故点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，62. 18．H5，H8 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．18．解：(1)设F(－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆的方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以所求椭圆的方程为x 23＋y22＝1.(2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0，可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2.20．H1，H5，H8 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值． 20．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1. y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 33，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB|＝4 63.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n －5 33<n<3，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0，于是x 3，4＝－2n ±2（9－n 2）3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD|＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD|·|AB|＝8 699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为8 63.所以四边形ACBD 面积的最大值为8 63.图1－521．H4，H5 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程．21．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB|＝2 4－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0. 故x 0＝－8k 4＋k 2，所以|PD|＝8 k 2＋14＋k2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB|·|PD|＝8 4k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝16 1313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 图1－29．H5，H6 如图1－2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.629．D 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.21．F2、F3、H3、H5，H8 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．图1－921．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)．又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈)． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取得最小值．又因x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取得最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.因为PQ⊥P′Q，且P′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP →′＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0，解得x 1＝±4 63，x 0＝x 12＝±2 63，从而|QP|2＝8－x 20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2 632＋y 2＝163.H6 双曲线及其几何性质4．H6 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x4．C 离心率c a ＝52，所以ba ＝c 2－a2a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝12.由双曲线方程知焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±12x.6．H6 若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x6．B 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴c 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴b＝2a ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x.3．H6 双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.2 55D.4 553．C 取一顶点(2，0)，一条渐近线x ＋2y ＝0，d ＝212＋22＝255，故选C. 7．H6 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y25＝1 7．B 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题知：c ＝3，e ＝c a ＝32，解得a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，故C 的方程是x 24－y25＝1.5．H6 已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1与C 2：y 2sin 2 θ－x2sin 2 θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 5．D e ＝ca＝1＋b 2a 2，C 1与C 2的b 2a2＝tan 2θ，故e 1＝e 2，选D. 14．H6 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．14. 3 若最小角为∠F 1PF 2，由对称性设|PF 1|>|PF 2|，由|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，此时|PF 2|<|F 1F 2|，故∠F 1PF 2不可能为最小角．由双曲线对称性，不妨记最小角为∠PF 1F 2＝30°，则|PF 1|>|PF 2|，由|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由余弦定理可得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a×2c×cos 30°，即3a 2－2 3ac ＋c 2＝0，解得c ＝3a ，即e ＝c a＝ 3.3．H6 双曲线x 216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．3．y ＝±34x 令x 216－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±34x.14．H6 抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．14．6 由题知三角形边长为23p ，得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ，－p 2，代入双曲线方程得p ＝6.21．H6、H8、D3 已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．21．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|＜2 2，代入①并化简得 (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．11．H6、H7 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为()2，0，连线的方程为y ＝－p4()x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12p x2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′错误!错误!＝错误!.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．11．H6 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．11．9 由a 2＝16，b 2＝m ，则c 2＝16＋m ，则e ＝16＋m 4＝54，则m ＝9. 6．H6，H7 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 6．B 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为3x ±y ＝0，故点F 到3x ±y ＝0的距离d ＝|3|1＋3＝32. 5．H6，H7 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．35．C 双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2，解得ba ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ba x ，x ＝－p2，得y ＝bp2a .又因为S △OAB ＝p 2×bp 2a ＝3，将ba＝3代入解得p ＝2.图1－29．H5，H6 如图1－2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.629．D 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.H7 抛物线及其几何性质13．H7 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．13． 方法一：设直线y ＝a 与y 轴交于M 点，若抛物线y ＝x 2上存在C 点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y ＝x 2有除A 、B 外的交点即可，即使|AM|≤|MO|，所以a ≤a ，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a>0，所以a≥1.方法二：设C(m ，m 2)，由已知可令A(a ，a)，B(－a ，a)，则AC →＝(m －a ，m 2－a)，BC →＝(m ＋a ，m 2－a)，因为AC →⊥BC →，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a)(m 2＋1－a)＝0，解得m 2＝a>0且m 2＝a －1≥0，故a∈ 如图1－5所示，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10，0)，点C 的坐标为(0，10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，联结OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i∈N *，1≤i≤9)．(1)求证：点P i (i∈N *，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程； (2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．图1－518．解：(1)方法一：依题意，过A i (i∈N *，1≤i≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i)，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x.设P i 的坐标为(x ，y)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ， 得y ＝110x 2，即x 2＝10y.所以点P i (i∈N *，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y. 方法二：点P i (i∈N *，1≤i≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上． 证明如下：过A i (i∈N *，1≤i≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i)，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x 解得P i 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫i ，i 210， 因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i∈N *，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y. (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ， 得x 2－10kx －100＝0.此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ，①x 1·x 2＝－100，②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32. 所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.11．H6、H7 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为()2，0，连线的方程为y ＝－p4()x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12p x2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′⎪⎪⎪ )x ＝a ＝ap.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．20．H7，H8 已知动圆过定点A(4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．20．解：(1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y)，由题意， |O 1A|＝|O 1M|， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M|＝x 2＋42，又|O 1A|＝（x －4）2＋y 2， ∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42. 化简得y 2＝8x(x≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b(k≠0)，。

专题十一 解析几何1、设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（A1 （B（C）（D2、已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 （A ）32（B ）6（C ）34（D ）123、已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 （A ）0kx y k ++= （B ）01=--y kx （C ）0kx y k +-= （D ）20kx y +-= 4、设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．5、椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .6、已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______． 7、若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >；③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是（A ）②③④ （B ）①③④（C ）①②④ （D ）①②③8、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上，则双曲线的方程为（A ）2213y x -= （B ）2213x y -= （C ）221412x y -= （D ）221124x y -= 9、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（A ）132-+ （B ）132+ （C ）152-+ （D ）152+ 10、双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 ．11、已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，那么双曲线的离心率为 ；渐近线方程为 ．12、双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____； 若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____.13、已知点1F ，2F 分别是双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .14、已知双曲线的渐近线方程为x y 2±=，且与椭圆1244922=+y x 有相同的焦点，则其焦点坐标为 _________, 双曲线的方程是____________.15、如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则BDF ∠的余弦值是 （A ）7 （B ）57（C （D 16、已知斜率为2的直线l 过抛物线2y ax =的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（A ）24y x = （B ）28y x = （C ）24y x =或24y x =- （D ）28y x =或28y x =-17、已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_ _____；渐近线方程为_______.18、点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点A （0，-1）的距离与到直线1x =-的距离和的最小值是（A （B （C ）2（D 19、过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），AF BF= ．20、已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 （A ）(0,1]r ∈（B ）(1,2]r ∈（C ）3(,4)2r ∈（D ）3[,)2r ∈+∞21、已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ．1、已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．2、已知点12,F F 是椭圆2222xy 的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF 的最小值是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3、已知椭圆:G 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，⊙M 过椭圆G 的一个顶点和一个焦点，圆心M 在此椭圆上，则满足条件的点M 的个数是（A ）4 （B ）8 （C ）12（D ）164、已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（A ）6（B ）2（C ）32（D ）345、已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .6、已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是______．7、已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.8、抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个．9、曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称； ② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤； ③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤. 其中，所有正确结论的序号是____________．1、椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上恰有6个不同的点P ，使得△12PF F 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 （A ）12(,)33（B ）1(,1)2（C ）11(,)32（D ）111(,)(,1)3222、已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则△12PF F 的面积是 。

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—解析几何多选、填空 目录题型一：直线的方程 ............................................................................. 1 题型二：圆的方程 ................................................................................ 4 题型三：直线与圆的综合 ..................................................................... 8 题型四：椭圆 ...................................................................................... 13 题型五：双曲线 .................................................................................. 23 题型六：抛物线 .................................................................................. 34 题型七：圆锥曲线的综合应用 (43)题型一：直线的方程1．(2020北京高考·第15题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a−−−的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③【解析】()()f b f a b a−−−表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③2．(2014高考数学四川理科·第14题)设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m −−+=交于点()P x,y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 ．【答案】5解析：(0,0)A ，(1,3)B ，因为PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==故22||||||||52PA PB PA PB +⋅≤=(当且仅当||||PA PB ==时取“=”)3．(2017年高考数学上海(文理科)·第16题)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点、、、以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处,设集合,点,过作直线,使得不在上的“ ”的点分布在的两侧． 用和分别表示一侧和另一侧的“ ”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足,则中所有这样的为________．【答案】、．【解析】设记为“”的四个点为,线段的中点分别为,易知为平行四边形,且记点到直线的距离为,,,,根据题意,四个点不在的同侧,那么就有两种可能:(1)若的两侧分别有两个点,如图2,点和分别在的两侧,若,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．1P 2P 3P 4P 1234{,,,}P P P P Ω=P ∈ΩP P l P l P l 1()P D l 2()P D l P l P l P P l 12()()P P D l D l =ΩP 1P 3P ,,,A B C D ,,,AB BC CD DA ,,,E F G H EFGH ,,,A B C D P l ()h A ()h B ()h C ()h D P l P l ,A B ,C D P l ()()()()h A h B h C h D +=+()()h E h G =()h E ()h G P l EG若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点． 于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．(2)若的一侧有三个点,另一侧有一个点,如图3,点和分别在的两侧,若,即,由平面几何知识有,,且,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点． 若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点． 于是,直线必过平行四边形的对角线的交点． 综上,满足已知条件的直线肯定要经过和的交点．4．(2016高考数学上海理科·第10题)设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by += +=无解，则b a +的取值范围是____________．【答案】()2+∞，解析：将方程组中上面的式子化简得1y ax =−，代入下面的式子整理得(1)1ab x b −=−，方程组无解应该满足10ab −=且10b −≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>=，即b a +的取值范围是2+∞（，）． 5．(2016高考数学上海理科·第3题)已知平行直线012:,012:21=++=−+y x l y x l ，则1l 与2l 的距离是_______________．解析：利用两平行线间距离公式得d 考点：两平行线间距离公式．【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力．,A C ,B D P l P l FH P l EFGH M P l ,,B A D C P l ()()()()h A h B h D h C ++=()()()()h A h D h C h B +=−()()2()h A h D h H +=()()2()h C h B h F −=()()h H h F =()h H ()h F P l FH ,,A D C B P l P l EG P l EFGH M EGFH题型二：圆的方程一、多选题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第11题)已知点P 在圆()()225516x y −+−=上，点()4,0A 、()0,2B ，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD解析:圆()()225516x y −+−=的圆心为()5,5M ，半径为4， 直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +−=，圆心M 到直线AB 4>，所以，点P 到直线AB 42−<410+<，A 选项正确，B 选项错误； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM =，4MP =，CD 选项正确,故选ACD ． 二、填空题1．(2022新高考全国I 卷·第14题)写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y −+−=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x =−+或7252424y x =−或1x =−解析：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y −+−=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =−，设方程为3(0)4y x t t =−+> O 到l的距离1d，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =−+， 当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，14 = ，解得7242524k p =− = ，7252424y x =− 当切线为n 时，易知切线方程为1x =−，故答案为：3544y x =−+或7252424y x =−或1x =−．2．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第14题)过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)−中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】()()222313x y −+−=或()()22215x y −+−=或224765339x y −+−=或()2281691525x y −+−=；解析：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 若过()0,0，()4,0，()1,1−，则01640110F D F D E F = ++=+−++= ，解得046F D E ==− =−， 所以圆的方程为22460x y x y +−−=，即()()222313x y −+−=； 若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F = ++=++++= ，解得042F D E ==− =−， 所以圆的方程为22420x y x y +−−=，即()()22215x y −+−=； 若过()0,0，()4,2，()1,1−，则0110164420F D E F D E F = +−++= ++++= ，解得083143F D E==− =−， 所以圆的方程为22814033x y x y +−−=，即224765339x y −+−=； 若过()1,1−，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +−++= ++=++++= ，解得1651652F D E=−=− =− ， 所以圆的方程为2216162055x y x y +−−−=，即()2281691525x y −+−=； 故答案为：()()222313x y −+−=或()()22215x y −+−=或224765339x y −+−=或()2281691525x y −+−=； 3．(2020江苏高考·第14题)在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆221:()362C x y +−=上的两个动点，满足PA PB =，则PAB ∆面积的最大值是__________．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥Q设圆心C 到直线AB 距离为d，则||1AB PC所以11)2PAB S d ≤⋅+=V令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d ′=−+≤<∴=+−−+=∴=(负值舍去)当04d ≤<时，0y ′>；当46d ≤<时，0y ′≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S取最大值为，故答案为：4．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，则这个圆的方程为 ．【答案】22(1)(1x y −+=解：若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x ≥相切，则圆心在直线y =3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为22(1)(1x y −+=。

专题八 理科数学解析几何一、选择题1.（重庆理8）在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210 C． D ．220【答案】B2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =【答案】C3.（四川理10）在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)-【答案】C【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =- D ．24y x = 【答案】B5.（山东理8）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为 A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -=【答案】A6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 （A（B（C ） 2 （D ） 3 【答案】B7.（全国大纲理10）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-【答案】D8.（江西理9）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．（3-，3） B ．（3-，0）∪（0，3）C ．[，]D ．（-∞，）∪（，+∞）【答案】B9.（湖南理5）设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥3【答案】C11.（福建理7）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或 【答案】A 12.（北京理8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12【答案】C13.（安徽理2）双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）42【答案】C14.（辽宁理3）已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）34 （B ）1（C ）54 （D ）74【答案】C二、填空题15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系''x Oy （其中'y 轴一与y 轴重合）所在的平面为β，'45xOx ∠=︒。