平面几何解题面积法

平面几何图形中阴影部分面积的求法
平面几何图形中阴影部分面积的求法是一个重要而经典的问题，它被广泛应用于各种数学研究有关的方面。

求阴影面积的方法有很多，其中最常用的是用分割法。

分割法的思想是：将实体图形分割成一些相对便于计算的小部分，然后分别求出每个小部分的面积，最后累加所有小面积之和即为实体图形阴影面积。

例如：一条无穷长的矩形线段，将其分割成N个等长的矩形，根据三角形的面积公式，可求出矩形面积 S = (a*b)/2（a和b分别为等长的矩形的边长），由此可以由可以得到矩形线段的阴影面积为 S1 + S2 + S3 + ... + SN。

依据此方法，对复杂的几何图形，可把其分割为一些相对简单的图形，例如：三角形、矩形等图形，然后通过计算这些简单图形的阴影面积，再累加求得几何图形的阴影面积。

以上就是用分割法来求解平面几何图形中阴影部分面积的方法，它不仅直观，而且是一个经典而又重要的问题，它是很多数学研究有关方面应用的基础性工作。

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AEDABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFDABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型① 等底等高的两个三角形面积相等；② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S 1：S a:b③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图E A CD足BCD ；反之，如果S ACD S A BCD ，则可知直线AB 平行于CD .④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）；⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比. 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在A ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在 AC 上）,贝S S AABC: S A ADE （AB AC ）： （AD AE ）图⑵任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： ① S ：S 2S 4 ：S 3 或者 S iS 3 S 2S 4 ② AO:OC S i&: S 4S 3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造Si S2aA BC DCD模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： ① S ：S a 2：b 2② S 1 : S 3 : S 2: S 4 a 2: b 2: ab: ab ; ③ S 的对应份数为a b 2 . 四、相似模型（一）金字塔模型①ADAE DE AB AC BC^②ADE:& ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具/、・ 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点O ，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为ABO:S ACOBD:DC .二）沙漏模型AF AG ；AF 2:AG 2.三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 .典型例题【例1】如图，正方形ABC 啲边长为6，AE 1.5，CF 2.长方形EFGH 勺面 积为 _______【解析】连接DE DF,则长方形EFG 啲面积是三角形DEF 面积的二倍. 三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S ^ DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 42 16.5 ,所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过△ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）.F , 、,1、. ••在正方形 ABCD 中 , S A ABG21二S A ABG 2 S WABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）8 8 10 6.4（厘米）.同理, S A ABG2SEFGB •二正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等.长方形的宽D GC【例2】长方形ABCD 的面积为36cm 2, E 、F 、G 为各边中点, 意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下图:解法二：特殊点法.找H 的特殊点，把H 点与D 点重合,那么图形就可变成右图:【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边 二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接，求阴影部分面积.可得：SEHB1S 2 AHB、S 1FHB — 2SCHB、 S DHG1SS DHC,S A BCD S AHBS CHB S CHD36即 S EHB SBHFSD HGAHBSCHBSCHD )1 23618；而S EHB S BHF S DHGS 阴影SEBF而S EBF12 BE BF - (- AB) (- BC) - 36 4.5 2 2 2 8S S S S 1 11 1 11 1S ABCDSAEDSBEFSCFD36— 3636362 2 2 2 2 2 2S 阴影H 为AD 边上任所以阴影部分的面积是: S 阴影 18S EBF18 4.5 13.5 这样阴影部分的面积就是DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，贝S阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的〕和1，所以阴影部分的面积为4 662（1 1） 15平方厘米.4 6（法2）连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知4 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的丄，所以阴6 影部分的面积为62（1 1） 15平方厘米.4 6【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB 8 , AD 15，四边形EFGO的面积为 _________ .【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积.由于长方形ABCD的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC的面积为120 1 30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为120 - 70 20 ；4 4又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30，所以2 4四边形EFGO的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD 面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有S ABC 鬲 即 400 S 丙 200 200 S AMHN ，所以 S WS ABN S AMCS AMHN.S AMHN,又S 阴影S ADFS 甲S 乙 S AMHN ，所以S阴影SFS^S丙SADF143 1 400 434分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .【例4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400, D 、E 、F 分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC ）【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是 阴影部分的面积为 36, E 是AD 的三等分点，AE 2ED ，则【解析】如图，连接OE . 根据蝶形定理，ON : NDS OEN — S2S COE: SCDE12 SCAE ：S CDE1:1,所以OM : MA S BOE : S BAE1——S 巨形 ABCD3 411 362.7 .又 S OEDS BDE : S BAE 23 ， s OEAs 1S OEM 52S OED 6，所以阴影部分面积为:1:4，所以OEA •【例5】如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，线段AB 将图形分成两部 分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG 的面 积是 . 连接AF , BD .根据题意可知，CF 5 7 15于是：28 S A DG2I S CBF 65； 28S ADG^IS CBF38可得s ADG 40 .故三角形ADG 的面积是40.【例6】如图在 △ ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , S A ADE 16平方厘米，求△ ABC 的面积.【解析】连接 BE , s ADE ： S A ABE AD ：AB 2:5(2 4):(5 4),S^ ABE : S A ABC AE : AC 4 :7(45)： (7 5), 所以 ADE : S A ABC(2 4): (75), 设S A ADE 8份，则S A ABC 35份，S ^ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角 或互补角)两夹边的乘积之比.【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【解析】所以，S BEF1527SCBF S BEC27 SCBF , S AEGS ADG , SAED28箱SADGGG27 ； DG 7 15 6 28 ；连接AD . •/ BE 3 , AE 6 …AB 3BE , S V ABD 3S VBDE 又 v BD DC 4 ,…S V ABC 2S VABD ，…S V ABC 6S VBDE ,【例7】如图在△ ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB: AD 5:2 , AE:EC 3:2 , ADE 12平方厘米，求 △ ABC 的面积.【解析】连接 BE , ADE ： ABE AD ： AB 2:5(2 3):(5 3)S ABE : S ^ ABC AE:AC 3: (32) (3 5): (3 2) 5 ,所以 S ^ADE : S ^ ABC (3 2) : 5 (3 2) 6:25，设 ADE 6 份，贝S $△ ABC 25 份， S SDE 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比…SvABC3SvABE又v AB 5AD…S vADESVABE5 SVABC15【巩固】如图,三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分, BE 3， AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍?BD DC 4 ,【解析】【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ，平 行四边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面 积比.【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形， 难以运用公式直接 求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12 144.（也可以用勾股定理） 【例10】如图所示， ABC 中， ABC 90 , AB 3 , BC 5，以AC 为一边向 ABC 外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC 的面积.又S ^ABC 1，所以 S ^ FBE3 .同理口」彳得 S ^ GCF 8 , S ^ DHG 15 ,S ^ AEH8•以 S EFGH S ^ AEH S ^CFG 所以 SABCD2 1. SEFGH3618S ^ DHG S ^ BEF SABCD8 8 15+3+2【解析】连接AC 、BD .根据共角定理•.•在△ ABC 禾口 △ BFE 中， ABC 与 FBE 互补, • ABC AB BC 11 1S ^FBEBE BF 门 3 .36.HEE【解析】如图，将OAB 沿着O 点顺时针旋转90，到达OCF 的位置.由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B 、C 、F 三点在一条直线上.由于OB OF , BOF AOC 90，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜边BF 为5 3 8，所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比例模型，OBC 的面积为16 510 .8【例11】如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 AEB 90 , AC 、BD 交于 O . 三角形OBE 的面积.【解析】如图，连接DE ,以A 点为中心，将ADE 顺时针旋转90到ABF 的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB 也是90，所以四边 形AFBE 是直角梯形，且 AF AE 3 ,所以梯形AFBE 的面积为：1 / 2\ 3 5 312( cm ).2又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB 2 AE 2 BE 2 3 2 52 34 ,所以S ABD那么S BDE 1 2-AB 217( cm 2). 2 /S ABDS ABE S ADES ABD S AF BE17 12 5( Cm ),所以S OBE1 2 s BDE2・5 ( cm 2).ABE , 5cm ,求已知AE 、BE 的长分别为3cm 、 ES AADE ADC1 2S2 3 S ABC1BF S A ABD3，所以FE S3【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB ED , AF CD , BC EF，且有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于EF ,对角线FD垂直于BD ,已知FD 24 厘米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了 .这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形ABC的面积是1 ,BD:DC 1:2 , AD 与BE 交于点 F .E是AC的中点，点D在BC上，且则四边形DFEC的面积等于____________ ,1方法二：连接DE，由题目条件可得到S A ABD ABC【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理,设BDF如图所标所以S DCEF1 份，则S ADCF5 5ABC12 122份,S A ABF BD 1S A ABF AESA ACFDC 2，S△CBFECS A ABF3份，SA AEFS A EFC13份,3131 s 1 1 s 11 1s 1—S ^ DEB二 二S^ BEC二 二 二ABC 二,22 32 3 2 12而S A CDES A ABC .所以则四边形DFEC 的面积等于—.3 2312【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC 2DE ,F 是DG 的中点.阴 影部分的面积是多少平方厘米？平方厘米.【例14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的1 ,且AO 2 , DO 3 ,那么CO 的长度3是DO 的长度的 _________ 倍.【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无 外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解 决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形 .看到题目中给出条件S/ABD : S/BCD 1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一：T AO ：OC s ABD : s BDC 1： 3，二 OC 2 3 6，二 OC:OD 6:3 2:1 .解法二：作 AH BD 于H , CG BD 于G .S A DEF【解析】设S A DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S阴影职BCD12512•/ sABD3S BCD ，…AH 1 CG ，…sAOD1—s DOC3D E C13y【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC ？【例15】如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于0点，A CEF 、△OEF 、△ODF 、 △ BOE 的面积依次是 2、4、4和6.求：⑴求厶OCF 的面积；⑵求△ GCE 的面积.【解析】⑴根据题意可知，A BCD 的面积为2 4 4 6 16，那么△ BCO 和CDO 的 面积都是16 2 8，所以A OCF 的面积为8 4 4 ；⑵由于A BCO 的面积为8, △ BOE 的面积为6,所以△ OCE 的面积为 8 6 2 ,根据 蝶 形定理EG :FG S COE : S COF 2:4 1: 2 , 所 以SGCE : SGCFEG:FG"2 ,那么S G CE1SSCEF1 2 21 23 3 •为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积.【例16】如图，长方形ABCD 中, BE:EC 2:3 , DF : FC 1:2，三角形DFG 的面积【解析】⑴根据蝶形定理, ⑵根据蝶形定理,因为M 是AD 边上的中点，所以AM : BC 1:2 ,根据梯形蝶形定理可以知 道S A AMG : S A ABG : S A MCG : S A BCG 1 ： (1 2) : (1 2) : 21: 2:2:4 , 设S △ AGM 1份，则S A MCD 1 2 3 份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份， s 阴影 2 2 4份，所以 s 阴影：S 正【解析】SVDEF【例17】（3 1 1）S丄乩（5 3 2）S长方形ABCD和8长方形ABCD因为 S VA ED 2 S 长方形 ABCD , AG : GF厘米，所以S/AFD1 2 12平方厘米.ABCD 的面积是72平方厘米.DF:FC 1:2110 因为5:1，所以S V AGD1 、SVAFD S长方形 ABCD, 所以长方形6如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米, 阴影部分的面积.5S VGDF10 平方M 是AD 边上的中点.求图中【解析】D F连接AE , FE . 因 为 BE:EC 2:3D F1: 3, 所以S阴影1平方厘米.方形【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝶形定理得2S弟形（1 2）9（平方厘米），ECD 3（平方厘米），那么S WABCD 12（平方厘米）•BC:CE 3:2 ,三角形ODE的面积为6平方厘平方厘米.【解析】连接AC .由于ABCD是平仃四边形，BC:CE 3:2，所以CE::AD2:3 ,根据梯形蝶形定理，S VCOE:S AOC : S VDOE2:S VAOD 2: 23: 23: 324: 6:6:9,所以S VAO C6（平方厘米），SVAOD 9 （平方厘米），又【例18】已知ABCD是平行四边形,米.则阴影部分的面积是A DA DSVA BCS VA CD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积只为6 1521（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是______________ 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么 SOCD SOAE .2 根据蝶形疋理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36，故 S OCD 36, 所以S 6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 _________ 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么根据蝶形定理，S OCD SOAE SOCE SOAD 2816，故 SOCD 16, 所以S OCD 4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED 中，S ADE - S Y ABED - 16 812 （平方厘米），2 2所以 SAOE SADE SAOD 128根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中 3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为 ______________ 平方厘米.【解析】连接DE 、CF .四边形EDCF 为梯形，所以S EOD S V FOC,又根据蝶形定理，S EOD 4（平方厘米），S ECD 4 8 12（平方厘米）.那么长方形ABCD 的面 积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC 的面积为24 5 2 8 9（平方厘OCDS OAE .S EOD S FOC S EOF S COD , 所以 S EOD SFOC S EOF S COD 28 16，所以米).【例20】如图，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交 于K点.已知正方形DEFG 的面积48, AK:KB 1:3，贝卩BKD 的面积是 多少？【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形.在 梯形ADBC 中，BDK 和ACK 的面积是相等的.而AK :KB 1:3，所以ACK 的面积是ABC 面积的丄 丄，那么BDK 的面积也是 ABC 面积的-.1 3 44由于ABC 是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且AM DE ，可见 ABM 和ACM 的面积都等于正方 形DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与正方形DEFG 的面积相等，为 48. 那么BDK 的面积为48 - 12 .4【例21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是 AB , BC , CD , DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分 的面积之比是最简分数 印，那么，(m n)的值等于 ___________n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观 察发现两个图中的空白部分面积都比较好求， 所以可以先求出空白部 分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG .设AG 与DE 的交点为M . 左图中AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形AEGD 面积的-，所4以三角形AMD 的面积为12 1 11.又左图中四个空白三角形的面积是2 48相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 4丄.8 2B F C如上图所示，在右图中连接AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N . 可知EF // AC 且AC 2EF .那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的1,所以三角形BEF 的面积为12 1 --，梯形AEFC 的面积为---. 4 2 4 82 8 8在梯形AEFC 中，由于EF:AC 1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面 积比为：12：1 2:1 2: 22 1:2: 2: 4 ,所以三角形EFN 的面积为24，那么四边形BENF的面积为1 24 i .而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 14〕.6 3 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为3:2 ,2 3m 3 n 2，那E 么 m n 3 2 5 .【例22】 如图， A ABC 中，DE , FG , BC 互相平行，AD DF FB , 贝y 足 ADE : S四边形DEGF:S 四边形FGCB ________________________________________ .【巩固】 如图， DE 平行BC ，且 AD 2 , AB 5 , AE 4，求 AC 的长.3 18 12 2 4【解析】设S AADE 1份，根据面积比等于相似比的平方,所以 S A ADE : S A AFG AD : AF 1:4 , 因此S △ AFG 4份， S A ABC 9份，S A ADE : SA ABCAD 2: AB 21:9 ,进而有Sg 边形DEGF3份, S 四边形FGCB 5份，所以S A ADE:乐边形DEGF :足边形FGCB1:3: 51111422A【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE: ACDE: BC 2:5 ,所以 AC 4 2 5 10【巩固】如图， A ABC 中，DE ， FG ，相平行，MN ，PQ ，BC 互AD DFFM MP PB , 则S A ADE : S 四 边形DEGF : S 四边形FGNM :s 四边形MNQP: S 四边形PQCB设 SA ADE1份，S A ADE : S A AFG AD 2 :AF 2 1: 4，因此 S A AFG4份，进而有 §四边形DEGF 3份，同理有S四边形FGNM5份，§四边形MNQP 7份 ,&边形PQCB 9份.【解析】 所以有S A ADE: S四边形DEGF : S 四边形FGNM : S 四边形MNQP : S 四边形PQCB1: 3: 5:7: 9【例23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4 , F 是BC 边的中点，E 是DC 边上 的点，且 DE:EC 1:3 ,BAF 与BE 相交于点G ，求S A ABG【解析】 【例24】FCM方法一：连接AE ，延长AF , 所以有AB:CM 沙 S ABGS A ABE方法AEFBF:FC 1:1，因此 CM 4 漏 -(411连2S A ABF : S AEFBG:GE4 2)AE, EF2 4DC 两条线交于点M ,构造出两个沙漏，再根据另 所 GB:GE 32 11 .4:7 ,所以SA ABG，根据题意有CE 3，AB: EM 4:7SA ABESA ABF蝶4 已知平行四边形ABCD 的面积是1 , 如图所示，点， BF 交EC 于M ，求 BMG 的面积.(4 42 4疋2) 32 F 是AB 、AD 的中【解析】 AD 的中点, 得 EF//BD【例25】 【解析】 FD:BC FH : HC 1:2 ,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH : CF GH : EF 并得G 、H 是BD 的三等分点， BG: EF BM : MF 2:3，所以 BM又因为BG 1BD ，所以S BMG3解法二：延长CE 交DA 于I 1:1，可得， BM : MF可得S AI:BC AE: EB BC: IF 2:3 , 2 1BMG —_S BDF5 3BM所以 2BF51 2 3 5BG2:3， GH ，所以1S22 5BFDABDBFD1 1S2 2S YA BCD130 °如右图， 从而可以确定 2 -BF ，5—S/ABCD41 BG - BD3丄 30M 的点的位置,（鸟头定理），如图，ABCD 为正方形，AM 形PQRS 的面积为多少?（法1）由AB //CD，有 MNPC DC，MQ QC 1MC，所以 PQ 级CNB DEFC 1cm 且 MN 2 cm ，请问四边所以PC 2PM，又器MB EC， 所以3MC i MC ，所以 S SPQR 占 S AMCF的i ，以 S SPQR1(112) (cm ).63(法 2)如图，连结 AE ，则 S ABE - 4 4 8 ( cm 2),2RB ERRB AB小 2小 216 2\而，所以2 , S ABR S ABE8( cm ).AB EFEF EF 33 3112MN MP而 S MBQ S ANS 3 43 ( cm )，因为 --- 22 DC PC 所以MP -MC ，则S MNP -24- -( cm 2)，阴影部分面积等于3233【例26】如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 4:9 , CE: EA 4:3，求 AF : FB .【解析】根据燕尾定理得S A AOB ：S A AOC BD :CD 4:912:27（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 S A AOC : S A BOC 27:16AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 3: 4 , AE:CE 5:6，求AF :FB .【解析】根据燕尾定理得S A AOB S AOC BD :CD 3： 4 15:20S A AOB : S A BOC AE : CE 5： 615:18(都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数) ^所以 S A AOC : S A BOC 20 ：1810:9AF : FBSABR S ANS SMBQ SMNP163 3 34 -(cm 2). 33S^ AOB : SA BOCAE : CE 3: 4 12:16【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC 2:3 , EA:CE 5: 4，求AF : FB .【解析】根据燕尾定理得 S ^AOB S AOC BD :CD 2:3 10:15S ^AOB : S ^ BOC AE : CE 5: 410:8（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S ^ AOC : S ^BOC 15:8 AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形 ABC 中，AF: FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形 ABC 的 面积是1，则三角形 ABE 的面积为 ____________ ，三角形AGE 的面积为 ________ ，三角形GHI 的面积为 ______ .AA的面积是1，求三角形ABC 的面积.【分析】连接AH 、BI 、CG . 由于CE: AE 3:2，所以AE 根据燕尾定理，S ACG : S ABG : S BCGSACG : S ABG 4:6:9，贝y 2 j4 _8 5 1995 ' 2AC ,5CD : BD■4 19S ACG同样分析可得S ACHEG : EB S ACG : S ACB 4:19 ,AG:GI : ID 10:5: 4 ,所以 S BIE ?S BAE @ 2 -1010 55【巩固】如右图，三角形ABC 中，故 S ABE2:32S S ABC 5SBCG : S ABG BCG19_9 19EG:GH:HBA S A S BIE 1919 AF : FB BD: DC S GHICE:EA 3:2，所以SACG : S ACH 4: 9,4:5:10 ,同样分析可得EG : EH1丄5 19 •CE: AE 3: 2，且三角形 GHIAH同理可知A CG和ABH 的面积也都等于ABC 面积的f ，所以阴影三角积的7倍.【解析】连接BG根据燕S A ABG : S A AGC BD : DC 3: 29:6得 S A BGC4（份）,ABG9（份）， S AGC : S A BGCAF : FB 3: 2 6:4则 S A ABC 19（份）， 因此呂GCSA ABC2所以- S A GHI19 6 619SA ABC同理连接AI 、CH 得4 2, ASA ABC19 SA ABC三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 勺面积是 191919【巩固】 如图， ABC 中BD 2DA , CE 2EB , AF 2FC ，那么 影三角形面积的 ___________ 倍.ABC 的面积是阴【分析】如图，连接AI .根据燕尾定理，S BCI :S ACI BD : AD 2:1 , S BCI : S ABI CF : AF 1: 2 ,所以， S ACI : S BCI : S ABI1:2:4，那么，S BCI-S ABC -S1 2 47ABC •形的面积等于 ABC 面积的1 +，所以ABC 的面积是阴影三角形面 【巩固】如图在△ ABC 中,罟EAFB FAr 求x ABC 的面积的值.ED【解析】连接BG 设S A BGC 1份，根据燕尾定理S A AGC : S A BGC AF : FB 2：1 , S A ABG : S A AGC BD : DCS A ABG 4（份），则S AABC7（份），因此 仏 ？，同理连接AI 、CH 得S A ABC7S A ABH 2 S A BIC【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置 上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很 多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们 有对称法作辅助线•【例28】 如图，三角形 ABC 的面积是1 , BD DE EC , CF FG GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？【解析】设BG 与 AD 交于点P, BG 与 AE 交于点Q BF 与AD 交于点M BF 与AE 交于点N 连接CP CQ CM CN根据燕尾疋理， 5A ABP : S A CBP AG ： GC 1:2 , S A ABP : S A ACP BD : CD 1: 2 ,设1351 1 _511丄 15S 四边形MNED—S四边形NFCES四边形GFNQ3 35 70 423 21 42 63 21 6 425A ABC7 SA ABC2:1 ,得 S A AGC 2（份）,7，所以S A GHISA ABC S A ABP 1（份），则 S A ABC 122 5（份）,所以S A ABP S A AQG同理可得,1 ? 丄S A ABQ -, S A ABN 丄i而 S A ABG1所以S A APQ723同理, S A BPM2SS A BDM35 21,所以s四边形PQMN3570A A_2 1 3 7 5 35【巩固】如图，ABC 的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为84，那么四边形JK |H周围的图形的面积之和为S CGKJ 2 S AGI S ABE □ 2 2 1里，所以四边形JKIH8415 3 70的面积为1 61 2 .7070［例 29】右图，△ ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M , AF 与BG 交于N ,已知△ ABM 的面积比四边形FCGN 的 面积大7.2平方厘米，则△ ABC 的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM 、CN .1S ； SA ABC，根据燕尾定理,SA ABM : SA CBMAG : GC 1:1，SA ABM : SA ACMBD :CD1:3，所以再根据燕尾定理,S ABN : S A CBNAG :GC 1:1，所以2 ABN : S A FBNSA CBN : SA FBN4:3，所以 AN : NF4:3，那么邑遊SA AFC边的三等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少?【解析】连接CK 、CI 、CJ . 根据燕尾定理， S ACK : S ABK 所以 S ACK : S ABK : S CBK 类似分析可得S AGICD:BD 1 :2 ， S ABK : S CBK1：2：4，那么 S ACK11，12 4 72 AG :CG 1:2， -S 3S AGK1ACK21那么,15 SCBJAF :CF2 :1S CGKJ1 1 17 — ——4 21 84，S ABJ ： S ACJ BD:CD 2:1，可得S ACJABM又 S【例30】如图，面积为I 的三角形ABC 中, D E 、F 、G H I 分别是AB BC CA 的三等分点，求阴影部分面积.【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理 吧!令BI 与CD 的交点为M AF 与CD 的交点为N, BI 与AF 的交点为P, BI 与CE 的交点为Q 连接AM BN CP⑴求 S 四边形ADMI : 在A ABC 中，根据燕尾定理,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ ABC 面积的£⑵求s 五边形DNPQE:在A ABC 中，根据燕尾定理同理另外两个五边形面积是△ ABC 面积所以&CGNS A AFC 75 1S A ABC7 4根据题意，有5S A ABC 28S A ABCS A ABC •287.2，可得 S A ABC336 （平方厘米）S A ABM : S A CBMAI : CI1:2 S A ACM : S A CB MAD : BD 1: 2设 S A ABM 则 S A CBM2 （份）,S A ACM1（份）,S A ABC4（份）,所以S A ABM S A ACM —S A ABC, 4所以S A ADM—S A ABM3SA ABC , SA AIM12—S 12△ ABC 5 所以窃边形ADMI^'）S A ABC1S AABC,SA ABN : SA ACN BF: CF 1: :2 S A ACN : S A BCNAD : BD 1:2,所以 S A ADN — S A ABN 1 1sS A ABC 1 S A ABC,同理S A 在3 A ABC 3 7 中21 1根据SA ABP : SA ACPBF:CF 1: 2 , S A ABP : S A CBPAI :CI 1:2所以S A ABP 1 S A ABC燕八S五边形DNPQESA ABP SA ADNSA BEP5 21丄S△ ABC21^S A AB Cs阴影11 33 13105705BEQ — S A ABC21【例31】如图，面积为I 的三角形ABC 中, D E 、F 、G H I 分别是AB BG CA 的三等分点，求中心六边形面积.【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 N R 、P 、 在△ ABC 中根据燕尾定理，S AABR : S AACR BG : CG.S \ABR:S 4CBRAI : C I 1: 2所以 S\ ABR2S AABC 5 同理S2SSS2SA CQBS \ ABC777所以 S\ RQS2 1 -2 2 1 ,同理 S A MNP17 7 7 77根据容斥原和上题结果S 六边形11 1317 7 70 10课后练习：练习1.已知△ DEF 的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF ，求△ ABC 的 面积.【解析】S A BDE :S A ABC(BD BE): (BA BC)(1 1):(2 3) 1:6 , S A CEF:S A ABC (CE CF):(CB CA)(1 3):(2 4) 3:8S\ ADF :S A ABC (AD AF): (AB AC)(2 1):(3 4) 1:6设 S A ABC 24 份，则S A BDE 4份， S A ADF 4份，S A CEF9份，S A DEF24 4 4 9 7份，恰好是7平方厘米，所以$△ ABC 24平方厘米练习2.如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB , CB BF , DC CG , HD DA ，求四边形ABCD 的面积.S 、M Q 连接CR2 :1 ,练习3.正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点, 四边形BGHF 的面积是 平方厘米.而EH :HC E M :CD ( 1 — AB 2AB) :CD 3: 2 , 而CF 1 BC 所以 S CHF 1 2 S BCE 1 S BC 2112 55S BCE1 AB BC 120 302 241177 S四边形BGHF S EBC 上EB C -S EBC —S EBC351515BM : DC MF: FD BF : FC3014.1:1 ,得 CH -CE , 5 连接BD .由共角 定理得 S A BCD : S ACGF (CD CB) : (CGS \ CGF2S^ CDB同理A BD :S A AHE1: 2，即 S A AHE2SA ABD所以AHE SA CGF2(SA CBDSA ADB )2S^边形 ABCD连接AC , 同理可以得到 S\ DHGS A BEF2S 四边形 ABCDS四边形EFGHS A AHECGFS A HDG S A BEF S四边形 ABCD 5S 四边形 ABCD所以S 四边形ABCD 66 5 13.2平方米EBG 和 【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出 由题意可得到： EG:GC EB:CD 1:2 , 将AB 、DF 延长交于M 点，可得： CHF 的面积.所以可得：S EBG〕S BCE3本题也可以用蝶形定理来做, FH : HD ），同样也能解出. 连接 EF ，确定H 的位置（也就是 HG BFE【解析】CF) 1:2 ,即DC。

平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形的面积可以使用割补法来计算。

割补法是一种计算几何图形面积的方法，特别适用于计算不规则图形的面积。

在平面直角坐标系中，我们可以利用坐标点的位置关系来计算三角形的面积。

首先，我们假设三角形的顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)。

然后，我们可以利用以下公式来计算三角形的面积：
S = |(x1(y2 y3) + x2(y3 y1) + x3(y1 y2))/2|。

其中，S表示三角形的面积，|...|表示取绝对值。

这个公式实际上是利用向量叉乘的方法来计算三角形的面积，具体推导过程可以参考向量的叉乘定义和性质。

另外，割补法还可以通过将三角形划分为多个简单形状的组合来计算面积。

例如，我们可以将三角形划分为一个矩形和两个三角形，然后分别计算这些简单形状的面积，最后将它们相加即可得到原三角形的面积。

除了割补法，我们还可以使用海伦公式或者行列式的方法来计算三角形的面积。

海伦公式适用于已知三边长度的情况，而行列式的方法则可以通过顶点坐标直接计算面积。

总之，平面直角坐标系三角形的面积割补法是一种简单而有效的计算方法，通过合理的划分和计算可以得到准确的结果。

希望这些信息能够帮助你理解如何使用割补法来计算三角形的面积。

平面几何图形的面积板块一：基础巩固1、一个三角形的面积比与他等底等高的平行四边形的面积少12平方分米，则平行四边形的面积是（24 ）平方分米，三角形的面积是（12 ）平方分米。

2、李叔叔在院子里靠着墙边围城了一个鸡笼，围鸡笼的网子长20.5米，求这个鸡笼的占地面积是多少平方米？上底+下底=20.5-8.5=12（米）梯形面积=12×8.5÷2=51（平方米）3、有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的是是多少平方米？32原长方形的长：24÷2=12（米）原长方形的宽：24÷3=8（米）原来长方形的面积：12×8=96（平方米）4、如图是由边长分别为4厘米、8厘米的两个正方形组成的图形，求阴影部分面积。

方法一：可以分割成两个钝角三角形第一个钝角三角形的底是4，高是4，第二个钝角三角形的高是8，底是8-4=4，所以总共的面积是：4×4÷2+8×（8-4）÷2=24（平方厘米）方法二：两个正方形的面积-2处空白的面积=4×4+8×8-8×8÷2-4×（4+8）÷2=24（平方厘米）5、如图是由边长分别为4、8、6厘米的三个正方形组成的图形，求阴影部分面积。

方法一：可以分割成三个钝角三角形第一个钝角三角形的底是4，高是4，面积是：4×4÷2=8（平方厘米）第二个钝角三角形的高是8，底是（8-4），面积：8×（8-4）÷2=16（平方厘米）第三个钝角三角形的高是8，底是6，面积是：6×8÷2=24（平方厘米）一共的面积：8+16+24=48（平方厘米）方法二：把右上角补起来阴影面积=三个正方形的面积+小长方形面积-两处空白的面积=4×4+8×8+6×6+6×（8-6）-（8+4）×4÷2-8×（6+8）÷2=48（平方厘米）板块二：拓展提高【例题1】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.208 5阴影部分+中间空白=中间空白+下面空白所以阴影部分=下面空白20-5=15（厘米）（15+20）×8÷2=140（平方厘米）【例题2】右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．乙甲6厘米8厘米4厘米利用同增同减差不变甲-乙=（甲+空白）-（乙+空白）=大三角形面积-小三角形面积=6×8÷2-4×8÷2=24-16=8（平方厘米）【例3】右图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9平方厘米，求ED 的长．A B CDEF利用同增同减差不变三角形ABF-三角形EDF 的面积=9平方厘米同时增加梯形BCDF 的面积，则：长方形ABCD-三角形BCE=9长方形ABCD 的面积=4×6=24（平方厘米）则三角形BCE 的面积=24-9=15（平方厘米）EC=15×2÷6=5（厘米）ED=5-4=1（厘米）【巩固】如图所示，CA=AB=4厘米，△ABE 比△CDE 的面积小2平方厘米，求CD 的长为多少厘米？A BECD利用同增同减差不变三角形CDE-三角形ABE 的面积=2平方厘米同时增加三角形BCE 的面积，则：三角形BCD-三角形ABC=2三角形ABC 的面积=4×4÷2=8（平方厘米）则三角形BCD 的面积=8+2=10（平方厘米）CD=10×2÷4=5(厘米)【例4】一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？1215222原来的面积=15×12=180（平方分米）现在的的面积=（15-2）×（12-2）=130（平方厘米）减少的面积：180-130=50（平方厘米）【巩固】一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？5×22566-2×5=56（平方厘米）设剩下的部分正方形的边长为x厘米5x+2x=56X=8原来长方形的长：8+5=13（厘米）原来长方形的宽：8+2=10（厘米）原来长方形的面积：13×10=130（平方厘米）【例5】下面图形中，长方形ABCD的面积是32平方厘米，EF都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题A B CD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABGABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形E F G B 面积相等． 长方形的宽88106.=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？_H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ DE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EH B A H BS S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHDS S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OE N O EDS S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OEDABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙， 即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC D E FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(7A D E A BC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCD E【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25A D E A B C S S =⨯⨯+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1O C O D ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF△、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:4C O EC O F E G F G S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2B E EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1A G M S =△份，则123M C D S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又691A B C A C DS S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM D E =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AM D ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n=，那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5F G N M S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::G B G E A B E M==，所以4432(442)471111AB GAB E S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::AB F A EFS S BG G E ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点，BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2F D B C F H H C ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA 【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4A C G AC HE GE H S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:E G G H H B =，同样分析可得::10:5A G G II D =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=． 【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BACB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15A BPABCS S =△△，所以1111152121A B DNBED N PE S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△ 设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2C G F CD B S S =△△ 同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得： :::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDCBEDCB【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

思路探寻求平面几何阴影部分的面积问题是平面几何中的典型问题.大部分求平面几何阴影部分面积问题中的几何图形都是不规则的图形，对此，我们要学会灵活运用和差法、等积法、割补法来解题.一、和差法和差法就是把所求图形的面积问题转化为若干个图形的面积的和或差来进行计算的方法.而运用和差法解题的关键是弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积的差或和构成.针对某些较为复杂图形的阴影面积问题，可以通过不改变图形的位置，将它的面积用几个规则图形的面积的和或差表示出来，再通过计算求得图形的面积.例1.如图1所示，B 是AC 上的一点，分别以AB ,BC ,AC 为直径作半圆，过B 作BD ⊥AC 与半圆交于点D .求证：图中阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积.分析：通过观察图形可以发现，将大半圆的面积减去两个小半圆的面积，就可以得到阴影部分的面积，可用和差法来解答本题.证明：∵AC =AB +BC ，∴S 阴影=π2∙æèöøAC 22-π2∙æèöøAB 22-π2∙æèöøBC 22=π4AB ∙BC ，而以BD 为直径的圆的面积为S 圆=π∙æèöøBD 22=π4BD 2，∵BD ⊥AC ,∠ADC =90°，∴BD 2=AB ∙BC ，∴阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积.二、等积法当图形的面积很难求出或者无法利用和差法来求解时，我们通常运用等积法，即将问题转化为求与其等面积的图形的面积来求解.运用等积法解题的关键是弄清楚哪两个图形的面积相等.可借助同底等高或等底同高的两个三角形、平行四边形面积相等的性质来解答有关问题.例2.如图2所示，⊙0的半径为1，C 是⊙0上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与⊙0相交于A ,B 两点，求图中阴影部分的面积.分析：我们无法直接求出本题中阴影部分的面积，可运用等积法来求解，连接分割线AB ，将问题转化为求两个弓形图形的面积.解：连接AB ，则S 阴影=2×S 弓形ACB ，∵OD =12OC =12，可得∠OAB =30°，从而∠AOB =120°∴S 弓形=120π360-12×3×12=π3，∴S 阴影=23π-.三、割补法割补法就是把图形割补成几个规则图形，使题目便于解答的方法.有些图形较为复杂，我们可以结合题意将图形割补为规则图形，如三角形、平行四边形、圆、扇形等，然后运用三角形、平行四边形、圆、扇形等的面积公式进行求解.例3.如图3所示，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为a ，b ，分别以每条边为直径向菱形内作半圆，求四条半圆弧围成的花瓣形面积，即图中阴影部分的面积.分析：所求阴影部分的面积是由几个图形叠加而成，我们需要运用割补法来求解.将阴影部分面积看作是四个半圆与菱形重叠之后的面积，割去重叠的部分，便可求出阴影部分的面积.解：设以BC 为直径的半圆面积为S 半圆，则S 半圆-S △OBC =14S 花瓣，S 花瓣=4S 半圆-S 菱形ABCD =4×12π2-ab 2=π()a 2+b 2-4ab 8.作差法、等积法和割补法都是求平面几何图形阴影部分面积的基本方法.无论运用哪种方法进行求解，我们都需要仔细观察阴影部分的图形，寻找它与规则图形之间的联系，将问题转化为求规则图形面积的问题.（作者单位：新疆特克斯县高级中学）朱家燕图2图1图3A B C D 53Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

如何求平面直角坐标系中三角形的面积在平面直角坐标系中，求解三角形的面积是几何学中的基本问题之一。

下面将介绍两种求解平面直角坐标系中三角形面积的方法。

方法一：行列式法行列式法是一种常用的求解三角形面积的方法。

设三角形的顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

首先将三个顶点的坐标依次排列成行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)然后将A点的坐标复制到下方形成两行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)接下来按照主对角线往右上方的方向连线，并将相乘的结果写在对应的线上：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)计算两条斜线上的乘积之和，再减去两条副对角线上的乘积之和，最后除以2即可得到三角形的面积。

行列式法的计算较为繁琐，但是适用于所有类型的三角形。

方法二：海伦公式海伦公式是通过三角形的边长来求解三角形面积的一种方法。

假设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为p。

首先计算半周长p：p = (a + b + c) / 2然后套用海伦公式进行计算：面积S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))海伦公式较为简单，适用于已知三边长度的情况。

根据不同的题目要求和数据提供的形式，可以选择适合的方法进行计算。

总之，无论使用哪种方法，都可以准确求解平面直角坐标系中三角形的面积。

三角形的面积计算在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑工程中，需要计算地基的面积以确定施工方案；在地理测量学中，需要求解地理图形的面积和边长，以准确描述地理实体特征。

因此，掌握求解三角形面积的方法是十分重要的。

总结起来，通过行列式法和海伦公式，我们可以准确求解平面直角坐标系中的三角形面积。

无论是使用繁琐的行列式法，还是简便的海伦公式，都能满足求解三角形面积的需求。

计算面积的五种方法
回答：
计算面积是数学中的基本问题之一，下面介绍五种计算面积的方法。

一、平面图形法
平面图形法是计算面积的最基本方法，它是通过将图形分解成若干个简单的平面图形，再计算每个平面图形的面积，最后将它们加起来得到整个图形的面积。

例如，计算一个三角形的面积，可以将它分解成一个矩形和两个直角三角形，然后计算每个平面图形的面积并相加。

二、积分法
积分法是一种数学分析方法，它可以用来计算曲线围成的面积。

例如，计算一个圆的面积，可以将圆的边界表示为一个函数，然后用积分的方法计算该函数在给定区间上的定积分，最终得到圆的面积。

三、向量法
向量法是一种几何方法，它可以用来计算平面图形的面积。

例如，计算一个平行
四边形的面积，可以将它的两个相邻边表示为向量，然后用向量叉积的方法计算它们的面积。

四、解析几何法
解析几何法是一种数学方法，它可以用来计算平面图形的面积。

例如，计算一个椭圆的面积，可以将它的边界表示为一个方程，然后用解析几何的方法计算该方程在给定区间上的定积分，最终得到椭圆的面积。

五、三角函数法
三角函数法是一种几何方法，它可以用来计算平面图形的面积。

例如，计算一个正弦曲线围成的面积，可以将它分解成若干个三角形和梯形，然后用三角函数的方法计算每个平面图形的面积，最终得到正弦曲线围成的面积。

专题复习一、面积法何谓面积法在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。

（一）证明面积问题常用的理论依据用面积法解几何问题常用到下列性质：1、全等三角形的面积相等；2、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；3、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

4、同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

一、证线段相等1、已知：△ABC 中，∠A 为锐角，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，求证：BD=CEED C B A2、已知：等腰△ABC 中，AB=AC ，D 为底边BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F.求证：DE=DF.3、（1）已知： △ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，求证：PD+PE=BF.P（2）若P 为 △ABC 的底边BC 的延长线上一点，其他条件不变，请画出图形,并猜想（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并证明。

F ED CB AP A B C4、（1）已知等边△ABC 内有一点P ，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，垂足分别为D 、E 、F ，又AH 为△ABC 的高，求证：PD+PE+PF=AH. PH F E D C B A（2）若P 是等边△ABC 外部一点，其他条件不变，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由。

AB C DE F H P二、证角相等5、点C 是线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接BD 、AE 交于O 点，再连接OC ，求证：∠AOC=∠BOC.1、Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上一点，连接AM ，若将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点B ′处，那么点M 到AC 的距离是 。

平面几何问题班级_________ 姓名__________解题思路：在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，经常使用割补、平移和代换等方法解决。

教学目标：熟练掌握割补、平移、代换法一、割补法求面积1、求下列各图中阴影部分的面积。

2、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？3、如右下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

4、以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。

（1）（2）1、求下列各图中阴影部分的面积。

2、如图，直径为4cm的⊙O1平移5cm到⊙O2，则图中阴影部分面积为多少平方厘米？3、老王家有一块土地（如下图），中间分别有两条小道，请问土地实际能够种菜的面积是多少平方米？4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修建宽为2m的道路（阴影部分），余下的部分种草坪，求草坪的面积？（1）（2）1、右下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

2、在右下图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

3、在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。

求ED的长。

4、在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。

平面图形的面积问题在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。

难度自不必说，思维的层次也大为不同。

甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。

如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。

因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。

求几何图形面积常见方法及运用：【解题技巧】常见模型例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。

【答案】8平方厘米【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。

【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）【答案】4平方厘米【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。

【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。

已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（）cm2。

A．24 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。

几何形的平面计算和立体计算的方法几何学是研究空间和形状之间关系的学科，涉及到平面和立体的计算方法。

本文将介绍几何形的平面计算和立体计算的方法，帮助读者更好地理解和应用几何学知识。

一、平面计算方法1. 面积计算平面形状的面积计算是几何学中的基本概念之一。

下面以常见的矩形和三角形为例介绍面积计算方法。

- 矩形的面积计算：矩形的面积等于底边长度乘以高度，即面积=长度×宽度。

- 三角形的面积计算：三角形的面积等于底边长度乘以高度再除以2，即面积=（底边长度×高度）/ 2。

除了矩形和三角形，其他复杂的几何形状的面积计算可以应用分割为基本几何形状的方法，再求和得到总面积。

2. 周长计算周长是指几何形状的边界长度之和。

下面以圆和正方形为例介绍周长计算方法。

- 圆的周长计算：圆的周长等于圆周的长度，公式为周长=2πr，其中r为圆的半径，π为圆周率，约等于3.14。

- 正方形的周长计算：正方形的周长等于四条边之和，即周长=4×边长。

对于其他几何形状，可以根据边的类型和数量进行相应计算。

二、立体计算方法1. 体积计算立体形状的体积计算是几何学中重要的内容。

下面以常见的立方体和圆柱体为例介绍体积计算方法。

- 立方体的体积计算：立方体的体积等于边长的立方，即体积=边长×边长×边长。

- 圆柱体的体积计算：圆柱体的体积等于底面积乘以高度，即体积=底面积×高度。

其中，底面积的计算可参考平面形状的面积计算方法。

对于其他立体形状，可以根据形状的特点和参数进行相应计算。

2. 表面积计算表面积是指立体形状各个面的总面积。

下面以常见的立方体和球体为例介绍表面积计算方法。

- 立方体的表面积计算：立方体的表面积等于各个面的面积之和，即表面积=6×面积。

其中，面积的计算可以参考平面形状的面积计算方法。

- 球体的表面积计算：球体的表面积等于4πr²，其中r为球的半径。

格点法求面积的公式格点法是一种常用的数学方法，可以用来求解各种几何问题，其中包括求解面积问题。

在这篇文章中，我们将介绍如何使用格点法来求解面积问题，并给出相应的公式。

我们需要了解什么是格点。

格点是指平面上的一个点，其坐标值为整数。

例如，(0,0)、(1,1)、(2,2)等都是格点。

在平面上，我们可以通过连接相邻的格点来构成一个网格，这个网格可以用来表示各种几何形状。

接下来，我们考虑如何使用格点法来求解面积问题。

假设我们要求解一个多边形的面积，我们可以将这个多边形放在一个网格上，并将其分解为若干个小三角形。

对于每个小三角形，我们可以使用海龙公式来求解其面积，然后将所有小三角形的面积相加，即可得到多边形的面积。

具体来说，我们可以按照以下步骤来求解多边形的面积：1. 将多边形放在一个网格上，使得多边形的所有顶点都是格点。

2. 将多边形分解为若干个小三角形，每个小三角形的顶点都是格点。

3. 对于每个小三角形，使用海龙公式来求解其面积。

4. 将所有小三角形的面积相加，即可得到多边形的面积。

下面，我们给出格点法求解面积的公式：S = (A - B + 2) / 2其中，S表示多边形的面积，A表示多边形内部格点的个数，B表示多边形边界上格点的个数。

这个公式的原理是基于欧拉定理。

欧拉定理指出，对于一个平面图形，其内部格点的个数与边界上格点的个数之和，等于其面积加上1。

因此，我们可以通过计算内部格点的个数和边界上格点的个数，来求解平面图形的面积。

格点法是一种简单而有效的方法，可以用来求解各种几何问题，包括面积问题。

通过使用格点法，我们可以将复杂的几何问题转化为简单的计算问题，从而更加方便地进行求解。

专题27 面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果． 下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题)解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？DEFA BC P【例2】 如图，△AOB 中，∠O ＝090，OA ＝OB ，正方形CDEF 的顶点C 在DA 上，点D 在OB 上，点F 在AB 上，如果正方形CDEF 的面积是△AOB 的面积的52，则OC ：OD 等于( ) A ．3：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．EFAOBDC【例3】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE 与DF 交于G ，求证：∠BGC ＝∠DGC .（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC ＝∠DGC ，即证CG 为∠BGD 的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．GDBC A F E【例4】 如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D 、E 、F .求证：（1）1=++CF PFBE PE AD PD ； （2）2=++CFPCBE PB AD PA . （南京市竞赛试题）解题思路：过P 点作平行线，产生比例线段.EPBAC DF【例5】 如图，在△ABC 中，E ，F ，P 分别在BC ，CA ，AB 上，已知AE ，BF ，CP 相交于一点D ，且1994=++DP CD DF BD DE AD ，求DPCDDF BD DE AD ⋅⋅的值. 解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）FDABC EP【例6】如图，设点E ，F ，G ，H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ， DA上，且k HADHGD CG FC BF EB AE ====（k 是正数），求四边形EFGH 的面积． （河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比． 线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有： (1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比； (2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比； (3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．ABCDHEFG能力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，E 是AD 的中点，BM ⊥EC ，垂足为M ，则BM ＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD 中，P 为AB 上一点，AP ＝ 2BP ，CE ⊥DP 于E ，AD ＝a ，AB ＝b ，则CE ＝__________.（南宁市中考试题）MEADBCEDACBP1214814425CBAHGF DEQ TPR第1题图 第2题图 第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH 中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR ＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题）4. 在△ABC 中，三边长为3=a ，4=b ，6=c ，a h 表示a 边上的高的长，b h ，c h 的意义类似，则(a h ＋b h ＋c h )⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛++c b ah h h 111的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC 的边AB ＝2，AC ＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题）6．如图，过等边△ABC 内一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 ( )．A. 3192B. 3190C. 3194D.3196（湖北省黄冈市竞赛试题）ⅢⅠⅡEBADCRSQAPCBDBCA第5题图 第6题图 第7题图 7．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD ＝∠DAB ＝060，AC ＝3，AB ＝6，则AD 的长是( )．A ．2 B. 212 C.3 D. 2138．如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A. 2S +6S =4SB.1S +7S =4SC. 2S +3S =4S D ．1S +6S =4SS 1S 2S 6S 7S 5S 3S 4NMAB DC9．已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB ，AC ，BC 的距离分别为1h ，2h ，3h ，△ABC 的高为h ．若点P 在一边BC 上（如图1），此时03 h ，可得结论：1h ＋2h ＋3h ＝h . 请直接用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，1h ，2h ，3h 与h 之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）图3图2图1MM M F E DAF E DA EDA BCPBC P BCP10.如图，已知D ，E ，F 分别是锐角△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于P 点，AP ＝BP ＝CP ＝6，设PD ＝x ，PE ＝y ，PF ＝z ，若28=++zx yz xy ，求xyz 的值．（“希望杯”邀请赛试题）EPDACBF11.如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB ∥CE，BC ∥AD ，BE ∥CD ，DE ∥AC ，求证：AE ∥BD .（加拿大数学奥林匹克试题）DABC ER P Q E DC B A F 12.如图，在锐角△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上的三等分点. P ，Q ，R 分别是△ADF ，△BDE ，△CEF 的三条中线的交点.(1) 求△DEF 与△ABC 的面积比；(2) 求△PDF 与△ADF 的面积比；(3) 求多边形PDQERF 与△ABC 的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使m DAAHCD DG BC CF AB BE ====， 若ABCD EFGH S S 四边形四边形2=，求m 的值． （上海市竞赛试题）HEFGAD CB14. 如图，一直线截△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于F ，E ，D 三点，求证：1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ． （梅涅劳斯定理）EBDA CF15．如图，在△ABC 中，已知21===FA FB EC EA DB DC ，求ABC GHI S S ∆∆的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。

平面几何中的三角形的面积计算三角形是平面几何中最基本的图形之一，计算三角形的面积是几何学中的基本问题之一。

本文将介绍三种计算三角形面积的方法：海伦公式、高度公式和矢量法。

一、海伦公式：海伦公式是用三角形的三边长来计算面积的公式。

假设三角形的三边长分别为a、b、c，半周长为p，则三角形的面积S可以通过以下公式计算：\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]二、高度公式：高度公式是用三角形的底边和对应的高来计算面积的公式。

假设三角形的底边为b，对应的高为h，则三角形的面积S可以通过以下公式计算：\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\]三、矢量法：矢量法是一种利用向量的叉积来计算三角形面积的方法。

假设三角形的两个边向量为\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，则三角形的面积S可以通过以下公式计算：\[S = \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\]通过以上三种方法，我们可以根据已知条件计算出三角形的面积。

下面通过几个例子来具体说明。

例子一：已知一个三角形的三边长分别为5cm、6cm、7cm，我们可以使用海伦公式来计算其面积。

首先计算半周长p：\[p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9\]然后，套入海伦公式进行计算：\[S = \sqrt{9 \cdot (9 - 5) \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 7)} = \sqrt{9 \cdot 4\cdot 3 \cdot 2} = 6\sqrt{6} \approx 14.7 \text{ cm}^2\]例子二：已知一个三角形的底边长为8cm，对应的高为4cm，我们可以使用高度公式来计算其面积：\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 \text{ cm}^2\]例子三：已知一个三角形的两个边向量为\(\vec{a} = (2, 3)\)和\(\vec{b} = (-1, 4)\)，我们可以使用矢量法来计算其面积。

专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题一、几何图形面积公式1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/22.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=222b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。

6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=（a+b ）h/27.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 28.扇形面积计算公式9．圆柱侧面积和表面积公式（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh2360r n s π⋅=lr s 21=或（2）圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh10.圆锥侧面积公式从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。

（1）圆的周长计算公式为：C=2πr（2）扇形弧长的计算公式为：（3）其他几何图形周长容易计算，不直接给出。

二、用面积法解题的理论知识1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容1.证明面积相等的理论依据（1）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

平面几何中的三角形面积计算方法三角形是平面几何中最基本的图形之一，它的面积计算在许多数学问题中都起到重要作用。

本文将介绍三角形面积计算的基本方法和公式，帮助读者更好地理解和运用。

一、三角形面积计算的基本原理在开始介绍具体的计算方法之前，我们先来搞清楚三角形面积计算的基本原理。

对于任意一个三角形，其面积可以表示为底边长度和高的乘积的一半，即面积 = 1/2 ×底边长度 ×高二、三角形面积计算的方法和公式在实际计算中，根据已知信息的不同，我们可以运用不同的公式来计算三角形的面积。

1. 已知底边和高的长度如果我们已知三角形的底边长度和高的长度，那么可以直接利用上述原理来计算面积。

假设底边长度为b，高的长度为h，则三角形的面积为：面积 = 1/2 × b × h2. 已知两边和夹角当我们已知三角形的两边长度和其夹角时，可以利用三角形面积计算的公式进行计算。

假设已知两边的长度分别为a和b，夹角为θ，则三角形的面积为：面积= 1/2 × a × b × sin(θ)3. 已知三边长度如果我们已知三角形的三边长度，可以利用海伦公式来计算面积。

设三边长度分别为a、b、c，其中s为半周长（即s = (a + b + c)/2）。

则三角形的面积为：面积= √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))三、示例应用为了更好地理解和应用三角形面积计算方法，我们来看几个具体的示例。

1. 已知底边和高的长度假设底边长度为8cm，高的长度为5cm。

根据上述原理和公式，可以计算出三角形的面积为：面积 = 1/2 × 8cm × 5cm = 20cm²2. 已知两边和夹角假设已知两边的长度分别为10cm和12cm，夹角为30°。

根据上述公式进行计算，可以得到三角形的面积为：面积= 1/2 × 10cm × 12cm × sin(30°) ≈ 60cm²3. 已知三边长度假设已知三边的长度分别为6cm、8cm和10cm。