泛函分析考试题

泛函分析基础(2015年加强版) ,设(,d x]0,1为闭区间]0,1上赋予度量]为定义在3的哪些子集构成3的线性子空间【[0,2],Cπ【为赋范空间,,,n nx Xαα∈[0,1]上的∞和1不为等价范数∞中除有限个坐标之外均为.p【19】.X '∈【190E 是X 的真闭子空间.y X ∈【23固定,考虑3的线性子空间}33:0x =为赋范空间,M 为X 的线性子空间】 为赋范空间*,.f X ∈【31】Banach 空间Y 为赋范空间为一系列有界线性算子【1,【34】】存在唯一的[0,1],x C ∈,<∞-∞<},n e 为和{:n f n ≥的子空间,,M N ⊥是线性子空间并对于∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间,,n x 是赋范空间(,)B xε≠∈使得M,=根据下确界的重要条件，得0inf{d. (略)n n a t .对于n n na t -+2n n b t nb t -++)()g t -<是一个有理数,且().t{()|s f t s 中任何两个不同元素之间的距离均为且有不可数多个.,则这些不相交的小球每一个必含有,,n n x y ∃∈).→+∞②2中元素e 1,0,1,0,.n⎫-⎪⎭{|n e n =≥,0,).下面证明M 是有界闭集但不是紧集.2(,0)1,n d e =<故M 是有界集有2(,)n m d e e ⎛= 2时,则必有0,0,N ∃>当.M .,)d 是完备的的闭子集定义映射,T Tx =,)|Tx Ty Tx =3的哪些子集构成3的线性子空间3).2,x =且3x 11x =+的0≥且2x ≤},1,2.i =)1,0,y M ∈,,1,2,3i =2,1,M α=}:,[,].n n i a t a t a b +∈∈容易验证在通常多项式的加法和与实数的乘法运算下有()(p t p t α且易验证加法与数乘满足线性空间的八个条件},n t 线性无关},n t 是X 的不是Y 的线性子空间∈K ,有()p t α为赋范空间,,n n x y ,y α→→∞和1不为等价范数110|()|max t x t dt ∈=≤⎰⎰使得()[0,1],x t C ∀∈[0,1],C 使得nx ∞>∞中除有限个坐标之外均为不为Banach ∞的线性子空间.1111,,,,,0,0,.23n⎫⎪⎭则()n x ∈})n 是一个Cauchy 列.,n >则()()1110,,0,,,,,0,,12n m x x n n m⎛⎫-= ⎪++⎝⎭10(,).1n m n =→→+∞+故{}()n x 是Cauchy 111,,,,12n n n ⎫⎪++⎭,则()()11sup 0(1n n k k k x x x x n n ≥-=-=→+),n →+∞但x M ∉,故M 不完备.}}:lim 0n n x ∞→∞∈=,由例1.3.6知0C)10,,,,,n n x x C +∈存在),,,0,0,,n x M ∈()11sup sup n k k k k k n x x x ≥≥+-=→时).中稠密.故0C 是M 的完备化空间上定义线性泛函(=(),[1,1].f x x t dt x C ∈-） sup ()sup 212n n f x n ∈∈=- ⎪⎝⎭()x t ⇔在(1,0)-上符号相同且},n e 为,1,i j n ≤≤唯一确定,,n α∈K ,n β∈K 1111n n n nx e e y e e αααββ=++=++,11,,,nni ii i i j i i ij i j ee e βαβαβγ===∑∑∑00,x ⇔=),,n α∈K 12212222120,n n n n n nn n γγαγγγα⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭①满足①式,则由11nni i ij i j αβγ==∑∑所定义的映射是一个内积Hilbert 空间为H 的闭线性子空间.求证:M 为H[1,1]odd C -[1,1],even C ∈-Hilbert 空间{sup,x y =,,n k 有0,=即j e ),j j x e e e 固定,考虑3的线性子空间}33:0Z x =上的线性泛函2311(,)f x x x a x =到3上的所有保范延拓的有界线性泛函.3中定义范数1x x =首先证{12max ,f a a =因为对12(,,0)x x Z ∀∈∈又若取(sgn x =3,定义F ,Z 有()F x }时,有F故,此时F 是f 到3上的保范延拓.32★4-4.设X 为赋范空间,M 为X 的线性子空间,0.x X ∈ 求证0x M ∈当且仅当任取,0,Mf X f'∈=都有0()0.f x ="":⇒若0,x M ∈则{},n x M ∃⊂且0().n x x n →→∞ 因,f X '∈且0,Mf=则()()0()lim lim 0.n n n n f x f x x →∞→∞===""⇐:反证法.若0,x M ∉因为M 是闭集,故()0,0.x M d ρ=> 则根据定理4.1.7,则,f X '∃∈使得01,0,()0Mf ff x d ===>，与条件矛盾. 34●4-17.设X 为Banach 空间,Y 为赋范空间,(,)n T B X Y ∈为一系列有界线性算子,设任取{},n x X T x ∈都是Y 中的Cauchy 列,求证:存在常数0,C ≥使得任取1,.n n T C ≥≤35 ●4-18.在上题中又设Y 为Banach 空间,求证:存在(,),T B X Y ∈使得任取,,n x X T x Tx ∈→且1sup .n n T T ≥≤因为{}n T x 是Y 中的Cauchy 列,则{}n T x 是有界集,即,x X ∀∈有sup .n n T x ∈<+∞因为X 是Banach 空间,故由一致有界原则有sup ,n n T ∈<+∞即0,c ∃>使得对,n ∀有.n T c ≤若Y 完备,则,Tx Y ∃∈使得n T x Tx →(参考定理2.4.5的证明), 且lim lim sup ,n n n n n n Tx T x T x T x →∞→∞∈==≤⋅故sup .n n T T ∈≤36★4-20.设X 为赋范空间,,,n n x x X x ∈⇀.x 求证:{:1}.n x span x n ∈≥ 若n x ⇀x ,则,f X '∀∈有()().n f x f x →若{}:1,n x span x n ∉≥则{}(),:10.n d x span x n d ≥=> 根据定理4.1.7知,存在{}:1,1,0,n span x n f X f f≥'∈==且()0f x d =>与()()n f x f x →相矛盾.1,级数1n ≥∑.∞)1,,,n x ∈定义1()nn i i i f x y x ==∑是定义在1上的线性泛函且1max n f ≤=1,级数1n n n y x +∞=∑收敛,故lim n →∞1,都有sup (n n f x ∈根据一致有界原则,得sup ,n n f ∈<+∞即1sup max sup .i n i nn y y ≤≤∈∈=<+∞∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间)()1,,,,,,,n n x y y y →=式中k y =并计算;T 逆算子定理矛盾?21∞有Tx (1,1,,1,)x =(全为1),111,,,,,2Tx n ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1,1,x Tx == 1sup 1,x Tx Tx >=≥=故 1.T =()()1121212:,,,,,2,,,,,,k k k k T y y y y x y y ky ky ky -++=→= 111,1,,1,,,,k k y k k ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭项故,k y X ∈且()11,2,,,1,1,,k T y k X -=∈ 11,(),k k k y x T y k k -===→+∞→+∞故1T -无界.这与开映射定理不矛盾,因为X 不完备.取1010,0,,0,,,n n x X n -⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭个因为110,(,),n m x n m n m =-→→∞所以但是当n →∞时,有(0,0,,0,),n x X →∉故。

14、建立下面集合之间的具体双射 1）（-1,1）与[-1,1] 2)实数轴和全体无理数3）R 3中除去一点的单位球面与全平面R 24）平面中的开圆盘{（x,y ）:x 2+y 2<1}与闭圆盘{（x,y ）:x 2+y 2≤1}解：（1）、从（-1,1）与[-1,1]分别取出两个数集A={r 1,r 2,r 3,……，r n }与B={-1,1，r 1，r 2，……，r n-2}则A 、B 之间可定义以下双射：Ф(r 1)=-1, Ф(r 2)=1, Ф(r n )=r n (n>2)然后定义Ф：(-1,1)︱A →[-1,1]︱B x →x 得Ф（-1,1）→[-1,1]是所求双射（2）、从R 与R\Q 中分别取出两个可数集A=Q ∪B 与B=2，则A 与B 之间可定义如下双射：Ф2然后定义：Ф：R|A →(R\Q)|B x →x得：Ф：R →R\Q 是实数轴与全体无理数之间的双射。

(3)、假设单位球面上除去P 点按以下步骤建立双射： i)球心为O P 点关于O 点对称的点为球内的点Q 以Q 为切点作一个切面R 2以O 为原点作一直角坐标系ii ）过切点Q 连接PQ iii ）连接P 点与球面上异于P 点的任一点M 并延长，点肯定交R 2与一点记为M ’ 这就建立了R 3中除去一点的单位球面与全平面R 2之间的双射。

(4)、首先两个同心圆周之上的点之间可建立一一对应：做圆周集合子列 A n ={(x,y):x 2+y 2=12n } n ∈N 则 令E 1=n-2∞A n ⊂{(x,y):x 2+y 2<1}E 2=n-1∞ A n ⊂{(x,y):x 2+y 2≤1}且 E 1~E 2 又{(x,y):x 2+y 2<1}| E 1={(x,y):x 2+y 2≤1}|E 2 ，令B 1=(x,y):x 2+y 2<1}B 2={(x,y):x 2+y 2≤1}则 B 2=(B 1|E 1) E 2 令 Ф((x,y))= （x 1,y 1）若（x,,y ）∈B 1|E 1或（x 2,y 2）若（x,y ）∈E 2 由此得：Ф是B 1到B 2的双射。

泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。

A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。

A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。

A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。

A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。

A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。

A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。

A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。

A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。

A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。

A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。

答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。

答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。

答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。

答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。

答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。

答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在实数空间R中, 令Q为有理数全体. 以下选项中, 与“Q在R中稠密" 等价的是( ).参考答案:_2.设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（）时，X为A与B的直和.参考答案:_3.以下关于线性空间中凸集的描述，正确的是（）.参考答案:有限个凸集的交集仍是凸集_任意多个凸集的交集是凸集4.设X是Banach空间, 则以下命题中正确的是( ).参考答案:X的完备化空间是它自己_X的闭子空间是Banach空间_X中的任一绝对收敛的级数必收敛5.在通常的范数意义下, 以下赋范空间是Banach空间的是( ).参考答案:__6.Banach空间必为Hibert空间, 但反之不成立.参考答案:错误7.在不可数集X上定义离散距离d, 则距离空间(X,d)是不可分的.参考答案:正确8.任何两个同维数的有限维赋范空间所满足的以下关系中，不正确的是（）.参考答案:内积同构9.具有Schauder基的赋范空间一定是可分的.参考答案:正确10.赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.参考答案:错误11.Banach空间指的是（）.参考答案:完备的赋范空间_一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.12.在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.参考答案:柯西列一定是收敛列_收敛列一定是柯西列13.设M, N是内积空间的两个非空开集, 若【图片】则【图片】参考答案:错误14.以下选项中，不可分的距离空间为（）.参考答案:有界数列空间15.距离空间中的非空开集一定包含一个( ).参考答案:接触点_闭球_开球_内点16.非空开集一定是开球.参考答案:错误17.设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间【图片】与【图片】具有相同的可分性.参考答案:正确18.距离空间中的非空开集一定包含一个（）.参考答案:接触点_闭球_内点_开球19.连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.参考答案:一致收敛20.在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.参考答案:正确21.在实数空间中, 完全有界集与有界集是等价的.参考答案:正确22.一切无限维Hilbert空间都与【图片】内积同构.参考答案:错误23.内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.参考答案:正确24.设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.参考答案:___25.在赋范空间中，（）是凸集.参考答案:单位开球_子空间_单位闭球26.记P[0,1]为[0,1]的实系数多项式全体, 按照范数【图片】成为赋范空间. 则以下结论正确的是（）.参考答案:赋范空间P[0,1]不是Banach空间_P[0,1]是C[0,1]的子空间27.设E是赋范空间X的子空间。

莆期末考试一试卷（A）卷2010—— 2011 学年第1学期课程名称：泛函剖析合用年级 / 专业07数学试卷类型：开卷（√）闭卷（）学历层次：本科考试用时：120 分钟《考生注意：答案要所有抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、填空题（每题 3 分，共 15 分）%是胸怀空间， T 是 X 到 Y 中的映照，x0X ,1. 设 X = ( X , d)， Y = (Y, d)假如 _________________________________________________则,称 T 在x0连续。

2.设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 到 Y 中的线性算子，假如 _______________, 则称 T 是 X 到 Y 中的无界限性算子。

3.设 X 是赋范线性空间，称为 X 的 Hilbert 空间。

4.设 M 是 Hilbert 空间 X 中的规范正交系，若___________________________________则称 M 是 X 中的完整规范正交系。

5.设 X 是赋范线性空间， X 是 X 的共轭空间，泛函列 f n X (n1,2,L ) ，假如则,称点列 f n弱*收敛于f。

二、计算题（ 20 分）表达 l1空间的定义，并求 l 1上连续线性泛函全体所成的空间？。

三、证明题（共65 分）1 、（ 14分）设 C[0,1] 表示闭区间 [0,1] 上连续函数全体，对任何 x, y C[0,1]，令d ( x, y)1y(t ) | dt , 证明 ( x, d ) 成为胸怀空间。

| x(t)n2、（12 分）证明R n按范数|| x || max |i|构成的赋范线性空间X与R n按范数|| x ||| i |i i1试卷第 1 页共 2 页构成的赋范线性空间Y 共轭。

3、（ 15 分）设X是可分Banach空间，M是X中的有界集，证明M中每个点列含有一个弱 * 收敛子列4、（ 12 分）设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。

2010级研究生《现代分析》综合作业1. LetH be a Hilbert space, 1{}n n h ∞=⊂Hsuch that1n n h ∞=<∞∑. Prove that: theseries1nn h ∞=∑ is convergent.2. Let H be a Hilbert space, 1{}()n n T B ∞=⊂H , ))((0H ∈∀∞→→x n x T n . Show that: )(0H B K ∈∀，0n T K →.3. Let H be a Hilbert space. If ()A B ∈H commutes with every )(0H B K ∈,prove that: ,A I λ= where λ∈C .4. Let H be a Hilbert space, H ∈y x ,. Prove thatx y x y x y λ+=+⇔=, or ,y x μ=for some ,0λμ≥.5. Let X Y , be Banach spaces and ()A B ∈X,Y . Prove that: there exists aconstant 0c > with ()Ax c x x ≥∀∈X if and only if ker {0}A = andran ran A A =.6. Let f be a linear functional on a normed linear space X . Show that f iscontinuous if and only if ker()f is closed.7. Suppose that ()V B ∈H is an isometry which is not a unitary operator. Show that ：(){:1}V z z σ=∈≤C .8. Let ,X Y be normed spaces, ()T B ∈X,Y and one of ,X Y is finitedimensional. Show that: T is compact.9. Let ()A B ∈H be a normal operator such that inf{:,1}:0Ax x x a ∈==>H .Show that A is invertible and 11A a --=.10. Let H be a Hilbert space, H M ≤. Prove that ⊥=-M M P P I .11. Let V be an inner product space over F and )(,||||V x x x x ∈∀〉〈=. Showthat(1) V y x ∈∀,, we have()2222||||||||2||||||||y x y x y x +=-++.(2) If )(,,,N ∈∈n V y x y x n n with )(,∞→→→n y y x x n n , then〉〈=〉〈∞→y x y x n n n ,,lim .12. Let ||)||,(⋅V be a normed linear space over F . Show that(1) the norm is continuous, that is,)(||||||||)(∞→→⇒∞→→n x x n x x n n ；(2) the addition is continuous, that is,)()(,∞→+→+⇒∞→→→n y x y x n y y x x n n n n .13. Prove that a normed space X over F is complete if and only if⇒∞<⊂∑∞=1,}{n n n x X x ∑∞=1n nx converges.14. Define R →],[:b a C f as ⎰=b att x x f d )()(. Prove that f is a bounded linearfunctional on )],,[(∞⋅b a C with a b f -=.15. Let Y X , be Banach spaces over F with 0≠X . Prove that ),(Y X B is complete if and only Y is complete.16. Let ),(00K H B T ∈. Show that ),(00*H K B T ∈ and)(ran dim )(ran dim *T T =.17. Let H be a Hilbert space, )(,,H H C B A ∈ such that**,,CC B B iC B A ==+=. Show that iA A C A AB 2,2**-=+=.18. Let 22:l l S → be given by ),,,0(),,(2121 x x x x S =. Prove that )(2l B S ∈ and find *S ,**,SS S S .19. Suppose that H is a Hilbert space over C with a basis },,,,{21 n e e e ,C⊂∞=1}{n n a such that ∞<=≥||sup :1n n a M . Definenn n n n n n e c a e c A ∞=∞=∑=∑11, H e c n n n ∈∑∀∞=1.Prove that(1) H H A →: is well-defined and linear. (2) H H A →: is bounded with M A =.(3) H H A →: is compact if and only if )(0∞→→n a n .20. Let H be a Hilbert space, )(,H H B A ∈ and let H H H H B A ⊕→⊕⊕: be given byH y x By Ax y x B A ∈∀=⊕,),,(),)((. Prove that )(H H B B A ⊕∈⊕ with },max{B A B A =⊕.。