2021届南充一诊数学理科试题

2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D. ()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5. 【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B. 38C.14D.18【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1．代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18， 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案.【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A. 10 B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A. [13,19]B. 335,195⎡⎤⎢⎥⎣ C. 335,13⎡⎤⎢⎥⎣ D.339,19⎡⎤⎢⎥⎣【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥,所以PC ,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以DNDQ ==所以点D 到QN的距离为1322152⨯⨯=, 所以DP,, 所以PC5=,=. 所以PC的取值范围是5⎡⎢⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>02112311139933216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为33. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)3,23a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为15【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，y =.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,024l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2021届南充市九年级中考数学一诊试题卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．涂涂正确记3分，不涂、涂错或多涂记0分．1．（3分）在下列4个实数中，最小的数是（）A．B．C．D．|﹣3|2．（3分）若，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．73．（3分）图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2yC．10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2ab2D．a﹣2b3•（a2b﹣1）﹣2＝5．（3分）一个不透明的袋子中装有10个红球，1个黑球，从中随机摸出1个球（）A．是黑球是不可能事件B．是黑球是必然事件 C．是黑球是随机事件D．是黑球的概率为6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件，不能肯定△ABC≌△AED的是（）A．∠C＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝AE D．BC＝ED7．（3分）如图，平行四边形ABCD与的平行四边形BCEF周长相等，且∠BCD＝60°，∠E＝100°，则∠AFB的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°8．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧APB上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．50°C．60°D．67.5°9．（3分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或1010．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）大致如图，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论，①2a+b+c＜0；②9a﹣b+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0两根的和为﹣4，④若方程|ax2+bx+c|＝1有4个实数根，则这4个根的和为﹣8，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上．11．（3分）把m2﹣（2m+3）2分解因式，结果是．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到三角形A′B′C′，当B，C，A′在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为．14．（3分）某校将举行“咏经典”诗文比赛．决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁实力相当的四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是．15．（3分）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（n，3），若直线与线段AB有公共点，则n的值可以为（写出一个即可）．16．（3分）如图，四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AB＝2，CD＝，则DE的长为．三、（本大题共9小题，共72分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．计算：．18．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点E，F分别在AB，BC边上，∠DAF＝60°．（1）求证：△ABD≌△ACF．（2）判断四边形DFCE的形状．19．当今共享单车遍及大江南北，在方便大家出行的同时，也有很多不文明行为产生，主要表现为：A．用户私藏；B．不规范停车；C．上私锁；D．恶意损坏．某市城管对此作了调研（按规定停放除外），将不文明行为结果绘成统计图（未完善）．请图中信息解答下列问题：（1）此次参与调研的总人数有人，扇形图中D扇形的百分数是；（2）请把条形图补充完整．（3）若某街道办1月份发现“恶意损坏”单车10辆，请估计该区域2019年将发生“不文明用车”大约多少人次．（4）应减少不文明行为发生，请提出你的倡议．（1条以上）20．已知关于x的方程x2（m﹣1）x+m+1＝0的两实根的平方和等于11，试求m的值．21．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于E，交⊙O于F，∠D＝∠BFC．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若OA＝10，AC＝16，求AD的长．23．某水果经销商看准商机，第一次用800元购进某种水果进行销售，销售良好，于是第二次用了2400元购进同种水果，但此次进价比第一次提高了20%，所购数量比第一次购进数量的2倍还多200千克．（1）求第一次所购水果的进货价是每千克多少元？（2）在实际销售中，两次售价开始均相同，但第一次购进的水果在销售过程中，消费者挑选后，由于水果品相下降，最后50千克八折售出；第二次购进的水果由于同样的原因，最后100千克九折售出，若售完这两批水果的毛利不低于940元，则每千克开始售价至少为多少元？24．如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点F为DE的中点，DP∥MN与MF的延长线交于P．（1）求证：DP＝BM．（2）线段PM与AM有无确定的数量关系，并证明你的结论．25．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，∠ABC＝45°．（1）求抛物线的解析式．（2）过抛物线的顶点D作DH⊥x轴于E，点P为直线DH上一动点，当△PHC是等腰三角形时，求出点P 的坐标．（3）如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，EF⊥x轴与BC交于F，求EF的最大值，并说明此时△BCE的面积是否最大．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．涂涂正确记3分，不涂、涂错或多涂记0分．1．（3分）在下列4个实数中，最小的数是（）A．B．C．D．|﹣3|【解答】解：根据题意得：﹣＜﹣＜＜|﹣3|＝3，则最小的数是﹣．故选：C．2．（3分）若，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵（x+）2＝9，∴x2++2＝9，故x2+＝7，∴（x﹣）2＝x2+﹣2＝5．故选：B．3．（3分）图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：A．4．（3分）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2yC．10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2ab2D．a﹣2b3•（a2b﹣1）﹣2＝【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A错误；B、（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y，故B正确；C、10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2，故C错误；D、a﹣2b3•（a2b﹣1）﹣2＝，故D错误；故选：B．5．（3分）一个不透明的袋子中装有10个红球，1个黑球，从中随机摸出1个球（）A．是黑球是不可能事件B．是黑球是必然事件 C．是黑球是随机事件 D．是黑球的概率为【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有10个红球，1个黑球，∴从中随机摸出1个球是黑球是随机事件，是黑球的概率为，∴A、B、D错误，C正确，故选：C．6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件，不能肯定△ABC≌△AED的是（）A．∠C＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝AE D．BC＝ED【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠EAD，而AC＝AD，∴当添加∠C＝∠D，可根据“ASA“判断△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E，可根据“AAS“判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE，可根据“SAS“判断△ABC≌△AED．故选：D．7．（3分）如图，平行四边形ABCD与的平行四边形BCEF周长相等，且∠BCD＝60°，∠E＝100°，则∠AFB的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：∵平行四边形ABCD与的平行四边形BCEF周长相等，且BC＝BC，∴AB＝BF，AD∥BC，∠CBF＝∠E＝100°，∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣60°＝120°，∠BAF＝∠AFB，∴∠ABF＝360°﹣120°﹣100°＝140°，∴∠AFB＝（180°﹣140°）＝20°，故选：A．8．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧APB上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．50°C．60°D．67.5°【解答】解：如图作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB．∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD＝CD．∴OD＝OC＝OA．∴∠OAD＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠AOB＝120°．∴∠APB＝∠AOB＝60°．故选：C．9．（3分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，因为2+2＝4，所以三角形三边为4、4、2，所以△ABC的周长为10．故选：C．10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）大致如图，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论，①2a+b+c＜0；②9a﹣b+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0两根的和为﹣4，④若方程|ax2+bx+c|＝1有4个实数根，则这4个根的和为﹣8，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由开口向上，得a＞0．由对称轴，得b＝4a，由顶点坐标为（﹣2，﹣9a），得4a﹣2b+c＝﹣9a．∴c＝2b﹣13a．①2a+b+c＝2a+b+2b﹣13a＝﹣11a+3b＝﹣11a+12a＝a＞0．①错．②9a﹣b+c＝0＝9a﹣b+2b﹣13a＝﹣4a+b＝0．②正确．③．③正确．④由|ax2+bx+c|＝1，得ax2+bx+c﹣1＝0，或ax2+bx+c+1＝0．设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，④正确；故选：C．二、填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上．11．（3分）把m2﹣（2m+3）2分解因式，结果是﹣3（m+1）（m+3）．【解答】解：原式＝（m+2m+3）（m﹣2m﹣3）＝（3m+3）（﹣m﹣3）＝﹣3（m+1）（m+3）．故答案为：﹣3（m+1）（m+3）．12．（3分）不等式组的解集是﹣2＜x＜．【解答】解：解不等式2x﹣3＜0，得：x＜，解不等式＜x，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x＜，故答案为：﹣2＜x＜．13．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到三角形A′B′C′，当B，C，A′在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为120°．【解答】解：∵△ABC中∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到三角形A′B′C′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝60°，∴∠BCB′＝120°，∴三角板ABC旋转的角度是120°，故答案为：120°．14．（3分）某校将举行“咏经典”诗文比赛．决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁实力相当的四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是．【解答】解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，甲、乙同学获得前两名的结果有2个，∴甲、乙同学获得前两名的概率为＝．15．（3分）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（n，3），若直线与线段AB 有公共点，则n的值可以为 3 （写出一个即可）．【解答】解：∵直线与线段AB有公共点，∴n≥3，∴n≥2．故答案为：3，16．（3分）如图，四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AB＝2，CD＝，则DE的长为．【解答】解：如图，过A作AF⊥BC于F，∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴，∵AB＝2，∴BF＝＝1，∵∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴△ABF∽△CBA，∴＝，即BC＝＝4．∵E是BC的中点，∴CE＝2，∴．故答案为：．三、（本大题共9小题，共72分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．计算：．【解答】解：原式＝＝＝＝＝．18．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点E，F分别在AB，BC边上，∠DAF＝60°．（1）求证：△ABD≌△ACF．（2）判断四边形DFCE的形状．【解答】证明：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ABD＝60°，∵∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAF，在△ABD与△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA）．（2）四边形DFCE是平行四边形．理由如下：由（1），得BD＝CF．∵△BDE，△ABC是等边三角形，∴BD＝DE，∠DEB＝∠ABF＝60°．∴DE＝FC，DE∥FC．∴四边形DFCE是平行四边形．19．当今共享单车遍及大江南北，在方便大家出行的同时，也有很多不文明行为产生，主要表现为：A．用户私藏；B．不规范停车；C．上私锁；D．恶意损坏．某市城管对此作了调研（按规定停放除外），将不文明行为结果绘成统计图（未完善）．请图中信息解答下列问题：（1）此次参与调研的总人数有100 人，扇形图中D扇形的百分数是4% ；（2）请把条形图补充完整．（3）若某街道办1月份发现“恶意损坏”单车10辆，请估计该区域2019年将发生“不文明用车”大约多少人次．（4）应减少不文明行为发生，请提出你的倡议．（1条以上）【解答】解：（1）此次参与调研的总人数：75÷75%＝100（人），扇形图中D扇形所占的百分数是4÷100×100%＝4%，故答案为：100，4%；（2）选择C的有100﹣6﹣75﹣4＝15（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）将发生“不文明用车”为12÷4%×12＝360（人）答：该区域2019年将发生“不文明用车”大约360人次；（4）共享单车，共享文明，爱护单车，方便出行!20．已知关于x的方程x2（m﹣1）x+m+1＝0的两实根的平方和等于11，试求m的值．【解答】解：设已知方程两根为x1，x2，则x1+x2＝m﹣1，x1x2＝m+1．又∵，∴．∴（m﹣1）2﹣2（m+1）＝11．整理，得m2﹣4m﹣12＝0．解得m＝﹣2，或m＝6．若m＝﹣2，原方程为x2+3x﹣1＝0，有两实根，符合．若m＝6，原方程为x2﹣5x+7＝0，没有实根，舍去．∴m＝﹣2．21．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．【解答】解：（1）∵AB∥x轴，∴∠ABO＝∠BOD，∵∠ABO＝∠CBD，∴∠BOD＝∠OBD，∵OB＝BD，∴∠BOD＝∠BDO，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴B（1，）；∵双曲线y＝经过点B，∴k＝1×＝．∴双曲线的解析式为y＝．（2）∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，∴∠A＝30°，∴AB＝2OB，∵AB＝BC，∴BC＝2OB，∴OC＝OB，∴C（﹣1，﹣），∵﹣1×（﹣）＝，∴点C在双曲线上．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于E，交⊙O于F，∠D＝∠BFC．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若OA＝10，AC＝16，求AD的长．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠BFC，∠D＝∠BFC，∴∠BAC＝∠D，∵OD⊥AC，∴∠BAC+∠AOD＝90°，∴∠D+∠AOD＝90°，∴∠OAD＝90°．即AD⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝16，∴，在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE＝＝＝6，∵∠BAC＝∠D，∠AOE＝∠DOA，∴△OAE～△ODA，∴，∴．23．某水果经销商看准商机，第一次用800元购进某种水果进行销售，销售良好，于是第二次用了2400元购进同种水果，但此次进价比第一次提高了20%，所购数量比第一次购进数量的2倍还多200千克．（1）求第一次所购水果的进货价是每千克多少元？（2）在实际销售中，两次售价开始均相同，但第一次购进的水果在销售过程中，消费者挑选后，由于水果品相下降，最后50千克八折售出；第二次购进的水果由于同样的原因，最后100千克九折售出，若售完这两批水果的毛利不低于940元，则每千克开始售价至少为多少元？【解答】解：（1）设第一次所购水果的进货价是每千克x元，由题意，得：，约简，得，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的根，且符合题意，答：第一次所购水果的进货价是每千克2元；（2）由（1）第一次购进的数量为（千克），第一次购进的数量为（千克），设每千克开始售价为m元，由题意，得（400﹣50）m+50m×0.8+（1000﹣100）m+100m×0.9≥800+2400+940，解得：m≥3，答：每千克开始售价至少为3元．24．如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点F为DE的中点，DP∥MN与MF的延长线交于P．（1）求证：DP＝BM．（2）线段PM与AM有无确定的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵DP∥MN，∴∠DPM＝∠PME，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△EMF和△DPF中，，∴△EMF≌△DPF（AAS），∴DP＝EM，∵点E为MN的中点，∴MN＝2EM，∴MN＝2DP，∵MN＝2MB．∴DP＝BM．（2）PM＝AM，理由如下：连接AP，如图：∵ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵∠BMN＝90°，∴∠MNA+∠MBA＝180°，∵∠MNA+∠MND＝180°，∴∠MND＝∠MBA，∵DP∥MN，∴∠PDN＝∠MND，∴∠MBA＝∠PDN，在△ADP和△ABM中，，∴△ADP≌△ABM（SAS），∴AP＝AM，∠PAD＝∠MAB，∴∠PAM＝∠PAD+∠DAM＝∠MAB+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴△PAM是等腰直角三角形，∴．25．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，∠ABC＝45°．（1）求抛物线的解析式．（2）过抛物线的顶点D作DH⊥x轴于E，点P为直线DH上一动点，当△PHC是等腰三角形时，求出点P 的坐标．（3）如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，EF⊥x轴与BC交于F，求EF的最大值，并说明此时△BCE的面积是否最大．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于C，∴C（0，3），∵∠ABC＝45°，∴OB＝OC＝3，∴点B（﹣3，0），将A（1，0），B（﹣，0）代入抛物线，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1），y＝﹣（x+1）2+4，∴对称轴为x＝﹣1，∴H（﹣1，0），∴OH＝1，∴当PH＝CH＝时，则点P的坐标是；当CP＝CH时，作CG⊥PH于G，∴P3H＝2GH＝6，∴P3（﹣1，6），当PC＝PH时，设P（﹣1，n），∴12+（3﹣n）2＝n2，解得，∴，综上，符合条件的点P为或（﹣1，6）或（﹣1，）；（3）由（1），直线BC的解析式为y＝x+3．设F（m，m+3），则E（m，﹣m2﹣2m+3），∴，当时，EF的最大值是，设EF与AB交于M，则＝，∴此时△BCE的面积是否最大．。

2021届四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)Word版含解析 2021届四川省南充市高考数学一诊试卷数学（科学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果集合M={x|（x1）（x4）=0}，n={x|（x+1）（x3）<0}，那么M∩ n=（）A？b．{1}c．{4}d．{1，4}=（）d.2i，如果，则锐角α为（）2.如果已知复数Z=1+I，则a.2b。

23.已知载体c．2ia、30°b.60°c.45°d.75°4．设a=log310，b=log37，则3ab=（）a．b。

c．d。

5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）a．4b．6c．8d．106.如图所示，它是几何图形的前（主）视图和侧（左）视图。

俯视图为8，几何体的表面积为（）a.20+87．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出s=（）长方形b．24+8c．8d．16a、 10b.17c.19d.368．已知点p（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是直线L的方程是ax+by=R2，然后（）a．m∥l，且l与圆相交b．m⊥l，且l与圆相切c．m∥l，且l与圆相离d．m⊥l，且l与圆相离9．设sin（+θ）=，然后sin2θ=（）a．b．c．d．10.如果球的外切圆锥体的高度是球半径的三倍，则圆锥体的侧面积与球的表面积之比为（）a.9:4b．4：3c、 3:1d．3：211.已知抛物线y2=2px（P>0），一条穿过其焦点且斜率为1的直线与抛物线的两点a 和B相交。

如果线段AB中点的纵坐标为2，则抛物线的拟线性方程为（）a.x=1B。

X=1c．x=2d．x=2和α的两个极值点∈（0，1），β∈（1，2），12．已知α，β是三次函数则a．的值范围为（）b．c。

高中(gāozhōng)2021级第一次诊断性考试数学〔理工类〕本套试卷分为试题卷和答题卷两局部，其中试题卷由第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕组成，一共4页；答题卷一共4页。

满分是150分，在在考试完毕之后以后将答题卡和答题卷一起交回。

第I卷〔选择题，一共60分〕考前须知：1、答第1卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3、参考公式：假如事件A、B互斥，那么P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕；假如事件A、B互相HY，那么P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕；假如事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次HY重复试验中恰好发生k次的概率：。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。

1. 复数A. 0B. 1C. iD.2. “m>1,n>1”是“log m n>0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 与函数有一样图象的一个函数是A. B.C. D.4. 某公司(ɡōnɡ sī)有N个员工，下设假设HY门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本〔N是n的正整数倍〕。

某部门被抽取了m个员工，那么这一部门的员工数为A. B. C. D.5. 命题“假设a，b都是奇数，那么a+b是偶数〞的逆否命题是A. 假设a+b不是偶数，那么a，b都不是奇数B . 假设a+b不是偶数，那么a，b不都是奇数C. 假设a+b是偶数，那么a，b都是奇数D. 假设a+b是偶数，那么a，b不都是奇数6. 设函数在点x = 0处连续，那么a的值是A. 0B.C.D. 17. 假设存在，那么a的值是1A. 0B. 1C. －1 Ｄ.28. 设随机变量服从正态分布N(0，1)，记，那么以下结论不正确的选项是A. B.C. D.9. 函数的图象具有的特征：①原点O〔0，0〕是它的对称中心；②最低点是〔1，2a〕；③y轴是它的一条渐进线。

2021年四川省南充市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A 、B 、C 、D 四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置，涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分. 1．（4分）在实数2-，5-，0，1100中，最小的是( ) A ．2-B ．1100C ．0D ．5-2．（4分）方程2(91)1x -=的解是( ) A ．1213x x ==B ．1229x x ==C ．10x =，229x =D ．10x =，229x =-3．（4分）若分式2231xx -+的值是负数，则x 的取值范围是( ) A ．32x >B ．23x >C ．32x <D ．23x <4．（4分）如图，//AB CD ，与EF 交于B ，3ABF ABE ∠=∠，则E D ∠+∠的度数( )A ．等于30︒B ．等于45︒C ．等于60︒D ．不能确定5．（4分）如图，将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中，若顶点M ，N 的坐标分别为(3,9)，(12,9)，则顶点P 的坐标为( )A ．(13,7)B ．(14,6)C ．(15,5)D ．(15,3)6．（4分）如图，E ，F 是BD 上两点，BE DF =，AEF CFE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定AED CFB ∆≅∆的是( )A ．B D ∠=∠B ．AD BC =C ．AE CF =D ．//AD BC7．（4分）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有( )A ．2种B ．3种C ．4种D ．6种8．（4分）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表： 金额/元 10 12 14 20 人数2321这8名同学捐款的平均金额为( ) A ．15B ．14C ．13.5D ．139．（4分）如图，圆内接四边形ABCD 中，AB AC =，AC BD ⊥，则DAC ∠是BAC ∠的()A ．12B ．13C ．23D ．2510．（4分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,0)-，(0,3)，对称轴在y 轴右侧，则下列结论：①0a <；②抛物线经过(1,0)；③方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④33a b -<+<．正确的有( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．③④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上.11．（4分）方程20x a +=的一个解是1x =-，另一个解是 ． 12．（4分）计算22(2)2a a --，结果是 ．13．（4分）如图，将三角板的直角顶点放在点O 处，两条直角边分别交O 于A ，B ，点P 在优弧APB 上，则P ∠的大小为 ．14．（4分）将一个表面涂满红色的正方体木料每条棱10等分，分割成若干个小正方体，装入布袋中．任意摸1个小正方体，各面均无色的小正方体的概率是 ．15．（4分）如果两个一元二次方程20x x k ++=与210x kx ++=有且只有一个根相同，那么k 的值是 ．16．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，D 为AB 的中点，E 为边BC 上一点，将ADE ∆沿DE 翻折得到△A DE '，A D '与BC 交于F ．若△A DE '与BDE ∆重叠部分的面积占ABE ∆面积的14，则BF 的长为 ．三、（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤.17．（8分）计算：2221(1)121x x x x x -+÷---．18．（8分）如图，在ABCD 中，ADC ∠的平分线经过BC 的中点E ，与AB 的延长线交于点F ．求证：AE DF ⊥．19．（8分）4张看上去无差别的卡片上分别印正三角形、菱形、正五边形、圆．将印有图案的一面朝下，混合均匀．（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为 ； （2）从中随机抽取两张，求抽到的图案都是中心对称图形的概率． 20．（10分）m 为实数，关于x 的方程(2)(1)0x x m m m -+-=有实数根． （1）求m 的取值范围．（2）若方程两实根的平方和为12，试求m 的值．21．（10分）如图，直线y kx b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线(0)a y x x=<交于(8,1)C -，2(,)D m m -两点． （1）求直线和双曲线的解析式．（2）比较AC 和BD 的大小．直接填空：AC BD ．（3）写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x 的取值范围．直接填空： ．22．（10分）如图，PB 切O 于点B ，连接PO 并延长交O 于点E ，过点B 作BA PE ⊥交O 于点A ，连接AP ，AE ．（1）求证：PA 是O 的切线；（2）如果AB DE =，3OD =，求O 的半径．23．（10分）一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元．这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系．下表是其中不同4个月内一天的销量()y kg 与单价x （元/)kg 的对应值． 单价x （元55606570/)kg销量()y kg70605040（1）求()y kg与x（元/)kg之间的函数关系式．（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？24．（10分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将ADE∆沿AE折叠，点D恰好落在BC边F处．（1）写出图中一定相似的三角形，并证明．（2）若图中的相似三角形超过2对，试求这样的矩形两邻边，即ABBC的值．25．（12分）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，与y轴交于点C，33OB OC OA===．P是对称轴上一动点，PH x⊥轴于H．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上求一点Q，使以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．（3）若Q为x轴上一动点，求12CQ BQ+的最小值．2021年四川省南充市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A 、B 、C 、D 四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置，涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分.1．（4分）在实数2-，，0，1100中，最小的是( )A ．2-B ．1100C ．0D ．【解答】解：10.01100=， 2.236≈-，又|2|2-=，| 2.236=， 0.0102 2.236∴>>->-，即102100>>->． 故选：D ．2．（4分）方程2(91)1x -=的解是( ) A ．1213x x ==B ．1229x x ==C ．10x =，229x =D ．10x =，229x =-【解答】解：2(91)1x -=， 911x ∴-=或911x -=-，解得10x =，229x =， 故选：C ．3．（4分）若分式2231xx -+的值是负数，则x 的取值范围是( ) A ．32x >B ．23x >C ．32x <D ．23x <【解答】解：由题意可知：230x -<，且210x +>恒成立， 23x ∴>， 故选：B ．4．（4分）如图，//AB CD ，与EF 交于B ，3ABF ABE ∠=∠，则E D ∠+∠的度数( )A．等于30︒B．等于45︒C．等于60︒D．不能确定【解答】解：3∠+∠=︒，ABF ABEABF ABE∠=∠，180ABE∴∠=︒，4180∴∠=︒，ABE45AB CD，//∴∠=∠=︒，CFE ABE45∴∠+∠=∠=︒．45E D CFE故选：B．5．（4分）如图，将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为(3,9)，(12,9)，则顶点P的坐标为()A．(13,7)B．(14,6)C．(15,5)D．(15,3)【解答】解：如图：顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，BN y轴，MN xMN=，////∴轴，9∴正方形的边长为3，∴=，6BN∴点(12,3)B ，//PB MN ， //PB x ∴轴，∴点(15,3)P故选：D ．6．（4分）如图，E ，F 是BD 上两点，BE DF =，AEF CFE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定AED CFB ∆≅∆的是( )A ．B D ∠=∠B ．AD BC =C ．AE CF =D ．//AD BC【解答】解：BE DF =，BE EF DF EF ∴+=+，即BF DE =， AEF CFE ∠=∠，A 、添加B D ∠=∠，利用ASA 能判定AED CFB ∆≅∆，不符合题意； B 、添加AD BC =，不能判定AED CFB ∆≅∆，符合题意；C 、添加AE CF =，利用SAS 能判定AED CFB ∆≅∆，不符合题意；D 、添加//AD BC ，得出B D ∠=∠，利用ASA 能判定AED CFB ∆≅∆，不符合题意；故选：B ．7．（4分）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有( )A ．2种B ．3种C ．4种D ．6种【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有4种，故选：C．8．（4分）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表：金额/元10121420人数2321这8名同学捐款的平均金额为()A．15B．14C．13.5D．13【解答】解：这8名同学捐款的平均金额为102123142201138⨯+⨯+⨯+⨯=（元)，故选：D．9．（4分）如图，圆内接四边形ABCD中，AB AC=，AC BD⊥，则DAC∠是BAC∠的( )A．12B．13C．23D．25【解答】解：如图，AB AC=，4ABC∴∠=∠，124180∴∠+∠=︒，AC BD⊥，2390∴∠+∠=︒，2223180∴∠+∠=︒， 34∠=∠，122∴∠=∠．故选：A ．10．（4分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,0)-，(0,3)，对称轴在y 轴右侧，则下列结论：①0a <；②抛物线经过(1,0)；③方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④33a b -<+<．正确的有( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．③④【解答】解：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,0)-，(0,3)，对称轴在y 轴右侧，∴抛物线开口向下，0a ∴<，结论①正确；②抛物线过点(1,0)-，对称轴在y 轴右侧，∴当1x =时0y >，结论②错误；③顶点的纵坐标大于3，∴过点(0,1)作x 轴的平行线与抛物线有两个交点，∴方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根，结论③正确；④当1x =时0y a b c =++>， a b c ∴+>-．抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，0)a ≠经过点(0,3)， 3c ∴=， 3a b ∴+>-．当1x =-时，0y =，即0a b c -+=， b a c ∴=+， 2a b a c ∴+=+．抛物线开口向下， 0a ∴<， 3a b c ∴+<=，33a b ∴-<+<，结论④正确．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上.11．（4分）方程20x a +=的一个解是1x =-，另一个解是 1x = ．【解答】解：根据题意，将1x =-代入，得：10a +=，解得1a =-，则方程为210x -=，21x ∴=，11x ∴=，21x =-， 故答案为：1x =．12．（4分）计算22(2)2a a --，结果是 22a ．【解答】解：22222(2)2422a a a a a --=-=，故答案为：22a ．13．（4分）如图，将三角板的直角顶点放在点O 处，两条直角边分别交O 于A ，B ，点P 在优弧APB 上，则P ∠的大小为 45︒ ．【解答】解：AOB ∠与APB ∠为AB 所对的圆心角和圆周角，190452APB AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为：45︒．14．（4分）将一个表面涂满红色的正方体木料每条棱10等分，分割成若干个小正方体，装入布袋中．任意摸1个小正方体，各面均无色的小正方体的概率是 64125． 【解答】解：将正方体每条棱10等分，可分割成3101000=个小正方体，其中从中任取一个小正方体，各面均无色的小正方体有38512=个，∴从中任取一个小正方体，各面均无色的概率为512641000125=，故答案为：64125． 15．（4分）如果两个一元二次方程20x x k ++=与210x kx ++=有且只有一个根相同，那么k 的值是 2- ．【解答】解：设它们的相同根为t ，根据题意得20t t k ++=①，210t kt ++=②，②-①得(1)1k t k -=-，t 有且只有一个值，10k ∴-≠，1t ∴=，把1t =代入①得110k ++=，2k ∴=-．故答案为2-．16．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，D 为AB 的中点，E 为边BC 上一点，将ADE ∆沿DE 翻折得到△A DE '，A D '与BC 交于F ．若△A DE '与BDE ∆重叠部分的面积占ABE ∆面积的14，则BF 的长为 34．【解答】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，5AB ∴点D 是AB 的中点，12BDE ABE S S ∆∆∴=， 又DEF ∆的面积占ABE ∆面积的14， 1142FDE ABE DBE S S S ∆∆∆∴==， F ∴是BE 的中点，又D 是AB 的中点，DF ∴是ABE ∆的中位线，23∴∠=∠，又21∠=∠，13∴∠=∠， 52AD AE ∴==， Rt ACE ∆中，2212CE AE AC =-=， 13222BE ∴=-=， 1324BF BE ∴==， 故答案为：34．三、（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤.17．（8分）计算：2221(1)121x x x x x -+÷---． 【解答】解：原式2(1)21(1)(1)21x x x x x x ---=÷+-- 12111x x x x --=⋅+- 211x x -=+． 18．（8分）如图，在ABCD 中，ADC ∠的平分线经过BC 的中点E ，与AB 的延长线交于点F ．求证：AE DF ⊥．【解答】证明：E 是BC 边的中点，BE EC ∴=， 四边形ABCD 是平行四边形，F CDE ∴∠=∠，在BEF∆和CED∆中F EDCBEF CED EB CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDE BFE AAS∴∆≅∆；DF平分ADC∠，ADE CDE∴∠=∠，四边形ABCD是平行四边形，//AB CD∴，F CDE∴∠=∠，F ADF∴∠=∠，AD AF∴=，CDE BFE∆≅∆，EF ED∴=，AE DF∴⊥．19．（8分）4张看上去无差别的卡片上分别印正三角形、菱形、正五边形、圆．将印有图案的一面朝下，混合均匀．（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为12；（2）从中随机抽取两张，求抽到的图案都是中心对称图形的概率．【解答】解：（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为21 42 =，故答案为：12；（2）分别用A、B、C、D表示正三角形、菱形、正五边形、圆，画树状图得：共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有2种情况， ∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为21126=． 20．（10分）m 为实数，关于x 的方程(2)(1)0x x m m m -+-=有实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若方程两实根的平方和为12，试求m 的值．【解答】解：（1）已知方程整理为2220x mx m m -+-=是一元二次方程△2244()40m m m m =--=，0m ∴．即m 的取值范围是0m ；（2）设方程两实根为1x ，2x ，则122x x m +=，212x x m m =-，由221212x x +=，得21212()212x x x x +-=， 2242()12m m m ∴--=，整理，得260m m +-=，解得2m =或3m =-，0m ，2m ∴=．21．（10分）如图，直线y kx b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线(0)a y x x=<交于(8,1)C -，2(,)D m m -两点．（1）求直线和双曲线的解析式．（2）比较AC 和BD 的大小．直接填空：AC = BD ．（3）写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x 的取值范围．直接填空： ．【解答】解：（1）双曲线(0)a y xx=<经过点(8,1)C -， 818a ∴=-⨯=-，∴双曲线解析式为8y x=-， 将2(,)D m m -代入，得8m m -⋅=-，38m ∴=，2m ∴=，(2,4)D ∴-，∴8124k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得12k =，5b =， ∴直线解析式为152y x =+； （2）作CE x ⊥轴于E ，DF y ⊥于F ，直线152y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， (10,0)A ∴-，(0,5)B ，(8,1)C -，(2,4)D -，2AE DF ∴==，1CE BF ==，在ACE ∆和DBF ∆中，90AE DF AEC DFB CE BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ACE DBF SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=，故答案为=；（3）由图象可知，直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x 的取值范围是82x -<<-， 故答案为82x -<<-．22．（10分）如图，PB 切O 于点B ，连接PO 并延长交O 于点E ，过点B 作BA PE ⊥交O 于点A ，连接AP ，AE ．（1）求证：PA 是O 的切线；（2）如果AB DE =，3OD =，求O 的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OA ，OB ，如图所示： PB 是O 的切线，90PBO ∴∠=︒，OA OB =，BA PE ⊥于点D ，POA POB ∴∠=∠，在PAO ∆和PBO ∆中，OA OB POA POB PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()PAO PBO SAS ∴∆≅∆，90PAO PBO ∴∠=∠=︒，PA OA ∴⊥， OA 是半径，PA ∴为O 的切线；（2）解：BA PE ⊥．OD AB ∴⊥，AD BD ∴=，2AB AD ∴=，AB DE =，2DE AD ∴=，DE OD OE OD AO =+=+，223AO AD OD AD ∴=-=-，设AD x =，23AO x ∴=-，在Rt AOD ∆中，222AO AD OD =+，222(23)3x x ∴-=+，解得：4x =，或0x =（不合题意舍去），235OA x ∴=-=，即O 的半径为5．23．（10分）一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元．这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系．下表是其中不同4个月内一天的销量()y kg 与单价x （元/)kg 的对应值． 单价x （元/)kg 55 60 65 70销量()y kg 70 60 50 40（1）求()y kg 与x （元/)kg 之间的函数关系式．（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设y kx b =+，由题意得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得2180k b =-⎧⎨=⎩， ()y kg ∴与x （元/)kg 之间的函数关系式为2180y x =-+．（2）由题意得：(50)(2180)600x x --+=，整理，得214048000x x -+=，解得160x =，280x =，顾客利益也较大，60x ∴=，∴平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是60元/千克．（3）一天的销售利润为：(50)(2180)w x x =--+222809000x x =-+-22(70)800x =--+，∴当70x =时，800w =最大．∴当销售单价为70元/kg 时，一天的销售利润最大，最大利润是800元．24．（10分）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，将ADE ∆沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边F 处．（1）写出图中一定相似的三角形，并证明．（2）若图中的相似三角形超过2对，试求这样的矩形两邻边，即AB BC的值．【解答】解：（1）相似的三角形有：ADE AFE ∆∆∽，ABF FCE ∆∆∽， 理由如下：将ADE ∆沿AE 折叠，ADE AFE ∴∆≅∆，ADE AFE ∴∆∆∽，90AFE D ∴∠=∠=︒，90AFB BAF AFB EFC ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAF CFE ∴∠=∠，又90B C ∠=∠=︒，ABF FCE ∴∆∆∽；（2）若图中的相似三角形超过2对，则必有AFE ABF ∆∆∽， BAF FAE ∴∠=∠，又ADE AFE ∆≅∆，AD AF ∴=，FAE DAE ∠=∠，BAF FAE DAE ∴∠=∠=∠，90BAD ∠=︒，30BAF FAE DAE ∴∠=∠=∠=︒， 3cosAB AB AB BAF AF AD BC ∴∠====． 25．（12分）如图，抛物线与x 轴负半轴交于点A ，正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，33OB OC OA ===．P 是对称轴上一动点，PH x ⊥轴于H ．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上求一点Q ，使以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形．（3）若Q 为x 轴上一动点，求12CQ BQ +的最小值．【解答】解：（1）33OB OC OA ===， (1,0)A ∴-，(3,0)B ，(0,3)C ，设抛物线的解析式是2y ax bx c =++，将(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C 代入得： 3093303a b a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式是223y x x =-++；（2）抛物线223y x x =-++的对称轴是1x =，P 在对称轴上，Q 在抛物线上，∴设(1,)P m ，2(,23)Q n n n -++，而(0,0)O ，(3,0)B ， 以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： ①以OB 、PQ 为对角线，则OB 中点为03(2+，00)2+，PQ 的中点为1(2n +，2(23))2m n n +-++，而OB 中点和PQ 的中点重合， ∴203100(23)n m n n +=+⎧⎨+=+-++⎩，解得32m n =-⎧⎨=⎩， (2,3)Q ∴，②以OP 、BQ 为对角线，同理可得： 21030230n m n n +=+⎧⎨+=-+++⎩，解得52m n =-⎧⎨=-⎩， (2,5)Q ∴--，③以OQ 、BP 为对角线，同理可得： 20132300n n n m +=+⎧⎨-+++=+⎩，解得54m n =-⎧⎨=⎩， (4,5)Q ∴-，综上所述，以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q 的坐标为：(2,3)或(2,5)--或(4,5)-；（3）以B 为顶点，BA 为一边，在x 轴下方作射线BE ，使30ABE ∠=︒，BE 交y 轴于E ，如图：连接CQ ，过Q 作QF BE ⊥于F ，过C 作CG BE ⊥于G ，交x 轴于Q '， 30ABE ∠=︒，QF BE ⊥，12QF BQ ∴=， 12CQ BQ +最小即是CQ QF +最小， ∴此时C 、Q 、F 共线，即Q 与Q '重合，F 与G 重合，12CQ BQ +最小值即为CG 的长度， CQ O BQ G ∠'=∠'，COQ BGQ ∠'=∠'， 30OCQ Q BG ∴∠'=∠'=︒， 而3OC =，tan 30OQ OC ∴'=⋅︒=cos30OC CQ '==︒ 3OB =，3Q B OB OQ ∴'=-'=-sin30Q G Q B ∴'='⋅︒=32CG CQ Q G ∴='+'=+，12CQ BQ ∴+最小值为32=．。

2021-2022学年四川省南充市高三（上）适应性数学试卷（理科）（一诊）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合S={s|s=3n+2,n∈Z}，T={t|t=6n+2,n∈Z}，则S∪T=()A. ⌀B. SC. TD. Z2.若复数z满足(1−i)z=2(3+i)，则z的虚部等于()A. 4iB. 2iC. 2D. 43.设m∈R，则“m≤2”是“函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.人口普查是当今世界各国广泛采用的搜集人口资料的一种最基本的科学方法，根据人口普查的基本情况制定社会、经济、科教等各项发展政策．截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是()A. 乡村人口数逐次增加B. 历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C. 城镇人口数逐次增加D. 城镇人口比重逐次增加5. 农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N 0只，则大约经过( )天能达到最初的1800倍．(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1800≈7.4955，ln8000≈8.9872.)A. 129B. 150C. 197D. 1996. 函数f(x)=(e x +e −x )ln|x|的图象大致是( )A.B.C.D.7. 设数列{b n }前n 项的乘积T n =b 1⋅b 2⋅…⋅b n ，若数列{b n }的通项公式为b n =4010−n ，则下面的等式中正确的是( )A. T 1=T 19B. T 8=T 11C. T 5=T 12D. T 3=T 178. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，抛物线y 2=2px(p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 点，若△OAB(O 为坐标原点)的面积为2，则抛物线的方程为( )A. y 2=4xB. y 2=6xC. y 2=8xD. y 2=16x9. 已知函数f(x)=acos(x −π3)+√3sin(x −π3)(a ∈R)是偶函数．g(x)=f(2x +π6)+1，若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是( )A. [0,3]B. [0,3)C. [2,3)D. [√2+1,3)10. 若A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=4上两个动点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，A ，B 到直线l ：√3x +y −4=0的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2的最大值是( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若AB =15cm ，AC =25cm ，∠BCM =45°，则tanθ的最大值是( ).(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角)A. 259B. 53C. 45D. 3512. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x −1)为奇函数，f(x +1)为偶函数，当x ∈[1,3]时，f(x)=kx +m ，若f(0)−f(3)=−2，则f(2022)=( )A. −2B. 0C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若直线y =2x +t 与曲线y =2lnx 相切，则实数t 的值为______．14. 已知平面向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,2)，若向量c ⃗ =a ⃗ +(a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则c⃗ =______.(其中c⃗ 用坐标形式表示) 15. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c.若A =π3，c =4，若△ABC 的面积为2√3，则△ABC 的外接圆的半径为______．16. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题：①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为y 2=4x ； ②若AM ⊥l 于M ，则抛物线在A 点处的切线平分∠MAF ； ③若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则抛物线C 方程为y 2=6x ； ④若|OM|+|MA|的最小值为2√13，则抛物线C 方程为y 2=8x ． 其中所有正确的命题序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=S n +a n +1，______．请在①a 4+a 7=13；②a 1，a 3，a 7成等比数列；③S 10=65，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{an2n }的前n 项和T n ，求证：1≤T n <3．18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到如下频率分布直方图．(Ⅰ)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；(Ⅱ)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲，乙两人分别在A、B两店参加一次抢购活动．假定甲、乙两人在A、B两店抢购成功的概率分别为P1，P2，记甲、乙两人抢购成功的总次数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y)．19.如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1−ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．(Ⅰ)设F为CD1的中点，在AB上是否存在一点M，使得MF//平面D1AE.若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，椭圆C的下顶点和上顶点分别为B1，B2且|B1B2|=2，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当k=2时，求△OMN的面积；(3)求证：直线B1M与直线B2N的交点T恒在一条定直线上．21.已知函数f(x)=12x2−ax+x−a+1e x，其中a∈R．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈(0,1)，设g(x)=f(x)−f(0)，(ⅰ)证明：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点；(ⅱ)记(ⅰ)中的零点为x 0，求证：e x 0<x1−a+1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =a +acosϕy =asinϕ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：{x =bcosϕy =b +bsinϕ(φ为参数，实数b >0)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线1：θ=α(ρ≥0,0≤α≤π2)与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点，当α=0时，|OA|=1；当α=π2时，|OB|=2． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2+√3|OA|⋅|OB|的最大值．23. 记函数f(x)=|x +1|+|2x −1|的最小值为m ．(Ⅰ)求m 的值：(Ⅱ)若正数a ，b ，c 满足abc =2m 3，证明：(ab +bc +ca)(a +b +c)≥9．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合S={s|s=3n+2,n∈Z}，T={t|t=6n+2,n∈Z}，∴T⫋S，∴S∪T=S．故选：B．推导出T⫋S，从而S∪T=S．本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D=(3+i)(1+i)=2+4i，【解析】解：由题意，可知z=2(3+i)1− i所以复数z的虚部为4，故选：D．利用复数的运算性质，直接求解即可．本题考查了复数的运算性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：若函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增，≤1，∴m≤2，则m2∴m≤2是函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增的充要条件，故选：C．先求出函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增的等价条件，再利用充要条件的定义判断即可．本题考查二次函数的单调性，充要条件的判断，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：乡村人口第6次，比第5次少，人口不是逐渐递增的，故A 错误， 历次人口普查中第七次普查城镇人口为63.89(万人)，为最多，故B 正确， 城镇人口数从第1次到第7次，人口数逐次增加，故C 正确， 城镇人口比重函数图象为递增图象，故D 正确， 故选：A ．根据函数图象直接进行判断即可．本题主要考查简单的合情推理，根据函数图象直接进行判断是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设经过n 天后蝗虫数量达到原来的1800倍， 则N 0(1+6%)nN 0=1800，即1.06n =1800，所以n =log 1.061800=ln1800ln1.06≈129．故选：A ．根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ，D ，f(−x)=(e −x +e x )ln|−x|=(e x +e −x )ln|x|=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，当0<x <1时，f(x)<0，排除B ， 故选：C ．判断函数的奇偶性和对称性，利用当0<x <1时，f(x)<0进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵数列{b n}的通项公式为b n=4010−n，∴T n=b1⋅b2⋅…⋅b n，=409⋅408⋅407⋅......⋅4010−n=409+8+....+(10−n)，∵9+8+.....+(10−n)=n(9+10−n)2=−12n2+192n，开口向下，对称轴为n=192，∴四个选项中只有B成立，故选：B．根据条件求出T n的表达式，结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及二次函数的性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，可得e=ca =√1+b2a2=√5，可得2a=b，渐近线方程为y=±12x，抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，求得A(−p2,−p4)，B(−p2,p4)，△OAB(O为坐标原点)的面积为2，可得12×p2×p2=2，解得p=4，即有抛物线的方程为y2=8x．故选：C．由双曲线的离心率，可得2a=b，求得渐近线方程和抛物线的准线方程，联立解得A，B，再由三角形的面积公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查抛物线的方程和性质，以及运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=acos(x−π3)+√3sin(x−π3)=(a2cosx+√32asinx)+√3(12sinx−√32cosx)=(a 2−32)cosx +(√32a +√32)sinx 是偶函数(a ∈R)，∵f(x)=f(−x)，∴√32a +√32=0，∴a =−1，故f(x)=−2cosx ，∴g(x)=−2cos(2x +π6)+1， 若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根， 则cos(2x +π6)=1−m 2在[0,7π12]有两个不相等实根，∵x ∈[0,7π12]，∴2x +π6∈[π6,4π3]，∵cos4π3=−12，∴−1<1−m 2≤−12，∴2≤m <3，∴实数m 的取值范围是[−2,3)． 故选：C ．由利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，根据函数的奇偶性求得a ，可得f(x)的解析式，再得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，求得实数m 的取值范围． 本题主要考查三角恒等变换，函数的奇偶性，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：因为A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=4上两个动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 所以2×2×cos∠AOB =−2， 故cos∠AOB =−12， 所以∠AOB =120°， 设AB 中点为P ，在等腰三角形AOB 中，OP =1， 所以P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上， 设P 到直线l 的距离为d ，由梯形的中位线定理可知2d =d 1+d 2， 因为O 到直线l ：√3x +y −4=0的距离为42=2， 所以P 到直线l 的距离的最大值为2+1=3， 所以d 1+d 2的最大值为6， 故选：D ．根据条件可得∠AOB=120°，设AB中点为P，由等腰三角形的性质可知P在以O为圆心，以1为半径的圆上，而由梯形的中位线定理可知P到直线l的距离为d1+d2的一半，故求出P点到直线l的距离的最大值即可．本题考查了平面向量数量积的性质，动点轨迹的问题，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：过点P作PP′⊥BC交BC于点P′，连接AP′，则tanθ=PP′AP′，设BP′=x，则CP′=20−x，由∠BCM=45°，PP′=CP′tan45°=20−x，在RtΔABP中，AP′=√225+x2，∴tanθ=√225+x2，令y=√225+x2，则y′=−√225+x 2−(20−x)⋅2√225+x2225+x2=√225+x2，当0≤x≤20时，y′<0，所以函数在[0,20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为2015=43，当P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan45°=20+x，在RtΔABP中，AP′=√225+x2，∴tanθ=√225+x2，令y=(20+x)2225+x2，则y′=0可得x=454，此时函数的最大值为53，综上可知，函数的最大值为53，故选：B．过点P作PP′⊥BC交BC于点P′，连接AP′，设BP′=x，可得tanθ=PP′AP′=√225+x2，分P′在BC之间和P′在CB的延长线上两种情况求最值，比较可得结果．本题考查了三角形中的几何计算及三角函数的最值问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵f(x−1)为奇函数，∴f(−x−1)=−f(x−1)，当x=0时，f(−1)=−f(−1)，即f(−1)=0，∵f(x+1)为偶函数，∴f(−x+1)=f(x+1)，则f(−x−2)=−f(x)，f(−x+2)=f(x)，即f(−x−2)=−f(−x+2)，则f(x−2)=−f(x+2)，即f(x)=−f(x+4)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)的周期是8，f(0)=f(2)，∵当x∈[1,3]时，f(x)=kx+m，若f(0)−f(3)=−2，∴f(2)−f(3)=−2，即2k+m−3k−m=−k=−2，得k=2，此时f(x)=2x+m，又f(3)=f(2+1)=f(−2+1)=f(−1)=0，即6+m=0，得m=−6，即f(x)=2x−6，则f(2022)=f(252×8+6)=f(6)=f(2+4)=−f(4−2)=−f(2)=−(4−6)=2，故选：C．根据函数奇偶性建立方程求出函数f(x)是周期为8的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的关系求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：∵y=2lnx，∴y′=2x ，设切点为(m,2lnm)，得切线的斜率为2m，∴曲线在点(m,2lnm)处的切线方程为：y−2lnm=2m×(x−m)．即y=2mx−2+2lnm，由2m=2，得m=1，∴t=−2+2ln1=−2．故答案为：−2．欲求t的值，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进一步求解t值．本题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.【答案】(4,−4)【解析】解：因为a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,2)，所以c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ =(2,0)+(2,−4)=(4,−4)．故答案为：(4,−4)．根据向量的运算性质计算即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：根据题意得12bcsinA=2√3，把A=π3，c=4代入得b=2，由余弦定理得a=√b2+c2−2bccosA=√22+42−2×2×4×12=2√3，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理得asinA =2R，∴R=√32×√32=2．故答案为：2．由△ABC的面积为2√3可求得b值，然后由余弦定理求得a值，再由正弦定理求得△ABC的外接圆的半径．本题考查正、余弦定理及三角形面积公式，考查数学运算能力，属于基础题．16.【答案】①②③④【解析】解：对于①，当△MAF 为正三角形时，|AF|=|AM|，故A M 与x 轴平行，∵|AF|=|AM|=4，∴F 到准线的距离等于12|AM|=2，即p =2，故①正确； 对于②，设A(x 0,y 0)，不妨设点A 在第一象限，则y 0=√2px 0， 由y =√2px.得y′=√2p 2√x，所以抛物线在A 的切线的斜率k =√2p 2√x 0，所以抛物线在A 处的切线方程为y −√2px 0=√2p 2√x 0(x −x 0)，∵F(p2,0)，M(−p 2,√2px 0)，所以MF 的中点为H(0,√2px 02) 显然点H 在直线y −√2px 0=√2p 2√x 0(x −x 0)上，即AH 为△AFM 的一条中线，又由抛物线的定义，知|AF|=|AM|，所以△AFM 为等腰三角形， 所以AH 平分∠MAF ；故②正确；对于③，若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ，M ，F 三点共线，且|MF|=12，由三角形的相似比可得1216=p4，得p=3，故③正确；对于④，设B(−p,0)，则O，B关于准线对称，故|MO|=|MB|，∵|AF|=4，∴A点横坐标为4−p2，不妨设A在第一象限，则A点纵坐标为√8p−p2，故|OM|+|MA|的最小值为|AB|=√(4+p2)2+8p−p2=2√13，解得p=4或p=12，由4−p2≥0，p≤8，故p=4，故④正确．故答案为：①②③④．根据等边三角形性质判断①，根据三线合一判断②，利用相似三角形判断③，根据最短距离列方程计算p，判断④．本题考查抛物线的几何性质，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=S n+a n+1，整理得a n+1−a n=1(常数)，故数列{a n}是以1为公差的等差数列；选条件①时，(Ⅰ)由于①a4+a7=13；2a1+9=13，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n=12+122+....+12n−n+12n+1+12，整理得T n=3−n+32n．所以T n<3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n−1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T1=1，所以1≤T n<3．选条件②a1，a3，a7成等比数列所以a32=a1⋅a7，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n=12+122+....+12n−n+12n+1+12，整理得T n=3−n+32n．所以T n<3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n−1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T1=1，所以1≤T n<3．选条件③S10=65时，10a1+10×92=65，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n =12+122+....+12n −n+12n+1+12， 整理得T n =3−n+32n．所以T n <3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n −1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T 1=1， 所以1≤T n <3．【解析】首先确定数列{a n }为等差数列，进一步选条件①②③时， (Ⅰ)直接求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法和放缩法及函数的单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，数列的单调性，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】(I)解：按分层抽样的方法抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，所以随机变量X 的可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=C 63C 83=514,P(X =1)=C 62C 21C 83=1528,P(X =2)=C 61C 22C 83=328，所以随机变量X 的分布列为：所以期望为E(X)=0×514+1×1528+2×328=34． (II)解：由题意，随机变量Y 的可能取值为0，1，2， 则P(Y =0)=(1−p 1)(1−p 2)=1−(p 1+p 2)+p 1p 2， P(Y =1)=p 1(1−p 2)+(1−p 1)p 2=p 1+p 2−2p 1p 2， P(Y =2)=p 1p 2，所以随机变量Y 的分布列为：E(Y)=p1+p2−2p1p2+2×p1p2=1+p2p1+p2．【解析】(I)按分层抽样得到二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，得出X的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；(II)根据题意得到随机变量Y的可能取值为0，1，2，结合相互对立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)存在，且AM=14AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FL//EC，EC//AB，∴FL//AB且FL=14AB，∴FL//AM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MF//AL，因为MF⊄平面AD1E，AL⊂平面AD1E，所以MF//平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且AMAB =14．(Ⅱ)取AB的中点K，AE的中点O，连接OK，D1O⊥AE，OK⊥AK，因为平面D1AE⊥平面ABCE，则D1O⊥平面ABCE，故以O为坐标原点，OA，OK，OD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得B(−√2,2√2,0)，C(−2√2,√2,0)，E(−√2,0,0)，D 1(0,0,√2)， EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,√2,0),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√2),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−2√2,√2) 设平面CD 1E 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2x +√2y =0√2x +√2z =0， 令x =1，解得y =1，z =−1，所以m ⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 设直线BD 1与平面CD 1E 所成角为θ，sinθ=|cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√3×√12=√23， 所以直线BD 1与平面CD 1E 所成角的正弦值为√23．【解析】(Ⅰ)先分析确定点M 位置，再取D 1E 的中点L ，根据平面几何知识得AMFL 为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果．(Ⅱ)取AB 的中点K ，AE 的中点O ，连接OK ，以O 为坐标原点，OA ，OK ，OD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解．本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用，线面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可得{e =ca =√222b =2c 2=a 2−b 2，解得：a 2=2，b 2=1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2=1；(2)由题意可得直线MN 的方程为：y =2x +2，设M(x 1,y 2)，N(x 2,y 2)， 联立{x 22+y 2=1y =2x +2，整理可得：9x 2+16x +6=0，x 1+x 2=−169，x 1x 2=69=23，所以弦长|MN|=√1+22⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√16281−4×23=√5⋅2√109，O 到直线MN 的距离d =√5， 所以S △MON =12×|MN|⋅d =12×√5⋅2√109√5=2√109； (3)证明：设直线MN 的方程为：y =kx +2，设M(x 1,y 2)，N(x 2,y 2)， 联立{y =kx +2x 22+y 2=1，整理可得：(1+2k 2)x 2+8kx +6=0，所以△=64k 2−4×6×(1+2k 2)>0，可得：k 2>32， 且x 1+x 2=−8k1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2， 由(1)可得B 1(0,−1)，B 2(0,1)，设T(m,n)， 由T ，M ，B 1三点共线，所以n+1m=y 1+1x 1=kx 1+3x 1=k +3x 1，①由T ，M ，B 2三点共线：n−1m=y 2−1x 2=kx 2+1x 2=k +1x 2，②由①+②×3可得：n+1m +3n−3m=4k +3(x 1+x 2)x 1x 2=4k +3⋅−8k 1+2k 261+2k 2=0，所以可得4n −2=0，解得：n =12， 所以点T 恒在直线y =12上．【解析】(1)由离心率和短轴的值即a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程； (2)由题意设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|MN|的值，再求O 到直线MN 的距离，代入面积公式求出三角形的面积；(3)由(1)可得B 1，B 2的坐标，设T 的坐标，由直线B 1M 与直线B 2N 的交点T 可得T 与B 1，B 2的坐标的关系，将直线MN 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得T 的纵坐标为定值，即可证得结论．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，三角形面积的求法，及直线恒过定点的证明，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)求导f′(x)=(x −a)−x−a e x=(x −a)e x −1e x，令f′(x)=0，解得x =a 或x =0，当a >0时，由f′(x)>0，解得x >a 或x <0，由f′(x)<0，解得0<x <a ， 所以f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，当a=0时，由f′(x)=x(e x−1)e x>0，得x>0，f′(x)<0，x>0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；当a<0时，由f′(x)>0，解得x<a或x>0，f′(x)<0，解得a<x<0，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，综上所述，当a>0时，f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，当a=0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a<0时，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；(Ⅱ)(ⅰ)证明：由(Ⅰ)可知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所以g(a)<g(0)=f(0)−f(0)=0，解法一：g(a+√a2+2(1−a))>12[a+√a2+2(1−a)]2−a[a+√a2+2(1−a)]−(1−a)=0，存在唯一的x0∈(a,a+√a2−2a+2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．解法二：g(x)=f(x)−f(0)=12x2−ax+x−a+1e x−(1−a)>12x2−ax−(1−a)>1 2x2−ax−1=12x(x−2a)−1，g(2a+2)>12(2a+2)×2−1=2a+1>0，存在唯一的x0∈(a,2a+2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．解法三：g(x)=f(x)−f(0)=12x2−ax+x−a+1e x−(1−a)>12x2−ax+a−1，g(2)>12×22−2a+a−1=1−a>0，存在唯一的x0∈(a,2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．说明：若给出解法当a∈(0,1)时，g(x)=f(x)−f(0)=f(x)+a−1，g(x)与f(x)的单调性相同，由(Ⅰ)可知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所以g(a)<g(0)=f(0)−f(0)=0，当x>a时，x→+∞，g(x)→∞.(扣2分)(ⅱ)证明：e x0<x01−a+1，只需证：x0+1−ae x0>1−a，由于g(x0)=0，得f(x0)=f(0)，故12x02−ax0+x0+1−ae x0=1−a，只需证12x02−ax0+x0+1−ae x0<x0+1−ae x0，只需证x0<2a，因为f(x)在(a,+∞)上单调递增，所以f(x0)<f(2a)，因为f(x0)=f(0)，所以只需证明f(2a)>f(0)，解法一：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=a+1e2a+a−1，设ℎ(a)=a+1e2a+a−1,a∈(0,1)，则ℎ′(a)=e2a−2a−1e2a，设2a=t，则t∈(0,2)，设k(t)=e t−t−1，则k′(t)=e t−1>0，所以k(t)=e t−t−1在(0,2)单调递增，所以k(t)>k(0)=0，则ℎ′(a)=e2a−2a−1e2a>0，所以ℎ(a)=a+1e2a+a−1在(0,1)上单调递增，所以ℎ(a)>ℎ(0)=0，所以f(2a)>f(0)，故原不等式得证．解法二：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=(1−a)[a+1(1−a)e2a−1]，φ(a)=a+1(1−a)e2a−1,a∈(0,1)，φ′(a)=(1−a)e2a−(a+1)[−e2a+2(1−a)e2a](1−a)2e2a =2a2(1−a)2e2a>0，所以φ(a)在(0,1)上单调递增，所以φ(a)>φ(0)=0，所以f(2a)>f(0)，原不等式得证．解法三：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=1−ae2a⋅(1+a1−a−e2a)=1−ae2a(e ln1+a1−a−e2a)，设p(a)=ln1+a1−a−2a=ln(1+a)−ln(1−a)−2a,a∈(0,1)，则p′(a)=11+a +11−a−2=2−2(1−a2)(1+a)(1−a)2a2(1+a)(1−a)>0，因此p(a)=ln1+a1−a−2a在(0,1)单调递增，因为1>a>0，所以p(a)>p(0)=0，所以f(2a)>f(0)，故原不等式得证．【解析】(Ⅰ)求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断f(x)的单调性；(Ⅱ)当a∈(0,1)，求得g(x)的单调性，解法一：由g(a)<0，及g(a+√a2+2(1−a))>0，利用函数的零点存在定理可得：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点； 解法二：利用放缩法，可得g(2a +2)>12(2a +2)×2−1=2a +1>0，结合g(a)<0，因此存在唯一的x 0∈(a,2a +2)，使得g(x 0)=0，函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点；解法三：利用放缩可得g(x)=f(x)−f(0)=12x 2−ax +x−a+1e x−(1−a)>12x 2−ax +a −1，因此g(2)>0，同理可得函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点． (ⅱ)原不等式可转化为x 0<2a ，由f(x)在(a,+∞)上单调递增，因此f(x 0)<f(2a)，进而f(2a)>f(0)． 解法一：构造函数ℎ(a)=a+1e 2a+a −1,a ∈(0,1)，求导根据导数与函数单调性的关系，求得最小值，即可证明f(2a)>f(0)；解法二：设φ(a)=a+1(1−a)e 2a −1,a ∈(0,1)，求导可得，φ(a)在(0,1)上单调递增，所以φ(a)>φ(0)=0，因此可得f(2a)>f(0)；解法三：设p(a)=ln 1+a 1−a −2a =ln(1+a)−ln(1−a)−2a,a ∈(0,1)，求得，可得p(a)=ln 1+a1−a −2a 在(0,1)单调递增，因为p(a)>p(0)=0，即可得到f(2a)>f(0)． 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性的关系，函数的零点问题，函数的隐零点，放缩法的应用，考查转化思想，分类讨论思想，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =a +acosϕy =asinϕ(φ为参数，实数a >0)，转换为直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2acosθ；当α=0时，|OA|=1；故a =12．曲线C 2：{x =bcosϕy =b +bsinϕ(φ为参数，实数b >0)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −b)2=b 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2bsinθ；当α=π2时，|OB|=2.故b =1． 故a =12，b =1．(Ⅱ)由于曲线C 1和曲线C 2的方程为ρ=cosθ和ρ=2sinθ；所以2|OA|2+√3|OA|⋅|OB =1+cos2θ+√3sin2θ=2sin(2θ+π6)+1；由于0≤θ≤π2， 所以2θ+π6∈[π6,7π6]，故2|OA|2+√3|OA|⋅|OB 的最大值为3，当2θ+π6=π2，即θ=π6时取得最大值．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换进一步求出a 和b 的值；(Ⅱ)利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出最大值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】(Ⅰ)解：由题意得，f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x <123x,x ≥12，作出函数f(x)图像如图所示，由图可知，当x =12时，函数f(x)取最小值，f(x)min =−12+2=32，故m =32． (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得abc =1，故ab +bc +ca =1c +1a +1b ，因为a ，b ，c 均为正数，所以要证明不等式(ab +bc +ca)(a +b +c)≥9， 只需证明(1a +1b +1c )(a +b +c)≥9，由柯西不等式得：(1a +1b +1c )(a +b +c)≥(√a √a √b √b √c √c )2=9，当且仅当a=b=c=1时，取等号，所以原不等式成立．【解析】(Ⅰ)将函数f(x)化简为分段函数形式，并作出函数图像，由图像判断并计算最小值；(Ⅱ)由(Ⅰ)得abc=1，可得ab+bc+ca=1c +1a+1b，将证明不等式(ab+bc+ca)(a+b+c)≥9转化为证明(1a +1b+1c)(a+b+c)≥9成立，利用柯西不等式证明即可．本题主要考查绝对值函数的最值，柯西不等式的应用等知识，属于基础题．。

四川省南充市高中2021届高三数学第一次适应性考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}2|1B x x =≤，则AB =（ ）A. {}|1x x ≥B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x ≤D.{}|1x x ≤-【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ，按照并集定义，即可得出答案. 【详解】{}{}2|1|11B x x x x =≤=-≤≤，A B ={}1|x x ≥-.故选:B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.12i=-（ ） A. 2155i -+ B. 2155i -- C.2551i + D.2155i - 【答案】C 【解析】 【分析】分母实数化，即可求得结果. 【详解】12212(2)(2)55i i i i i +==+--+. 故选:C【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题. 3.“60A =︒”是“1cos 2A =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件判断方法，即可得出结论. 【详解】若060A =，则1cos 2A =成立； 若1cos 2A =，则00006036060360()A k k k Z =+⋅-+⋅∈或， 故60A =︒不成立， 所以“60A =︒”是“1cos 2A =”的充分不必要条件. 故选:A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于基础题. 4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（ ）A. B. 8πC.D. 4π【答案】B 【解析】试题分析：设球的半径为R ，截面小圆半径为r 21r r ππ∴=∴=R ∴=248S R ππ==考点：圆的截面小圆性质及球的表面积点评：球的半径为R ，截面小圆半径为r ，球心到截面的距离为d,则有222R r d =+，球的表面积24S R π= 5.函数1()sin cos 2f x x x =的最小值是（ ） A.14B. 12C. 12-D. 14-【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角化简1()sin cos 2f x x x =，即可得答案. 【详解】111()sin cos sin 2244f x x x x ==≥-.故选:D【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于基础题.6.10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.【详解】10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为1010101101011()(),0,1,2,,1022k k k k kk T C x C x k ---+===，3x 的系数是733101011()1528C C =⨯= 故选:C【点睛】本题考查展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于基础题.7.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A. ⎡⎣B. (C. 33⎡-⎢⎣⎦D.⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k kdk-=≤+，得222141,3k k k≤+≤，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．8.函数()21,1,1x xf xx x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有且只有一个实数根，则实数a满足（）A. 1a= B. 1a> C. 01a≤< D. 0a<【答案】A【解析】【分析】作出函数()f x图像，数形结合，即可求出答案.【详解】做出函数()f x图像，如下图所示：()1f x=有且只有一个实数根.故选:A【点睛】本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.9.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若2BC=，AB AC AB AC+=-，则AM =（ ）A.12B. 1C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】||||AB AC AB AC +=-两边平方，可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出||AM . 【详解】||||AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0,AB AC AB AC ∴⋅=∴⊥，M 是线段BC的中点，1||||12AM BC ∴==. 故选:B【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题. 10.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a ba b A B+=+，则角C =（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果.【详解】tan tan a b a b A B+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A BA B A BA B A B+=+=+， sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=， 22(0,2),22A B A B π∈∴=、或22A B π+=，,A B ∴=或2A B π+=，若,A B =则sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈,42A B C ππ∴==∴=，若2A B π+=，则2C π=.故选:D【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题. 11.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ） A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2e ⎛⎝ 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数F （x ）=()2xf x e，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F（12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e -，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x． 故不等式的解集为（0）， 故选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12.已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（ ） A. 1- B. 2-C. 3-D. 随m 的变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】先求出P 点坐标，得出切线方程，求出三角形12F PF 的内切圆的半径、直线1F M 的方程，联立求出N 的横坐标，即可得出结论.【详解】联立222214411x y m y x m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩消去y，得24,0,x x x m =>∴= 设00(,)P x y ，直线l 方程为00144x xy y m①设三角形12F PF 内切圆半径为r ，则由等面积可得002(42),2M my my m r r y m=+∴==+ ②直线1F M 的方程为()1My x m m=++ ③联立①②③，化简可得36,2N mx m x =∴=，在12F PF ∆中，内切圆圆心M ，各边的切点分别为,,A D E ， 由圆的切线性质可得1122||||,||||,||||F A F D EF AF PD PE ===，121212||||||||||||2F P F P F D F E F A F A ∴-=-=-=，. 121||||2,||1M F A F A m F A m x m +=∴=+=+， 1,1M M N x x x =∴-=-.故选:A【点睛】本题考查双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于综合题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.函数()sin f x x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】化简函数()f x ，根据自变量的范围，即可求出结论.【详解】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，50,2336x x ππππ≤≤∴≤+≤， ()f x ∴的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数最值，属于基础题.15.已知函数()2sin 1x xxe x f x x e ++=++，则()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++的值是________. 【答案】11 【解析】 【分析】根据所求值的自变量的关系，先求()()f x f x +-的值，即可求出结果.【详解】()()f x f x +-=22sin sin()11x x x xxe x xe x x x e e --++-++++-+-+22211x x x x x xe x x xe e e e ++-+-+=+=+，(5)(5)(4)(4)(1)(1)2f f f f f f ∴-+=-+==-+=，(0)1f =，()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++=11故答案为:11【点睛】本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究()()f x f x +-的值，属于中档题. 16.过抛物线()220x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点，又过A ,B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ,C .若梯形ABCD的面积为p =__________.【解析】 【分析】设1122(,),(,),A x y B x y ,联立直线与抛物线方程求出121,2,,x x y y ，代入12121||()2ABCD S x x y y =-+梯形，即可求出p 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，抛物线的焦点(0,)2p F ， 直线AB 方程为2p y x =+， 联立222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得2220x px p --=，解得121233,,,,22x p x p y p y p -+==+==，212121||()2ABCD S x x y y =-+==梯形p ∴=.故答案为【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。

南充市高2021届第一次高考适应性考试数学试卷〔理科〕〔考试时间120分钟，总分值150分〕一、选择题〔每题5分，共50分〕1.i 是虚数单位，复数131ii--=〔 〕 A. 2i - B. 2i + C. 12i -- D. 12i -+U R =，集合{}021x A x =<<，{}3log 0B x x =>，那么()U A C B =〔 〕A. {}1x x > B. {}0x x > C. {}01x x << D. {}0x x <,,a b c 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，那么a b ⊥的一个充分条件是〔 〕A. ,a c b c ⊥⊥B. ,,a b αβαβ⊥⊂⊂C. ,//a b αα⊥D. ,a b αα⊥⊥p ：020,log 1x R x +∃∈=，那么p ⌝是〔 〕A. 020,log 1x R x +∀∈≠B. 020,log 1x R x +∀∉≠C. 020,log 1x R x +∃∈≠D. 020,log 1x R x +∃∉≠sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像〔 〕4π个长度单位 B. 向右平移4π个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D. 向右平移2π个长度单位()log 1a f x x =+ (1)a >的图像大致为以以下图的〔 〕DB7.执行如以以下图的程序框图，那么输出的S值是〔〕A. 1- B.23C.32D. 4{}na的前n项和为nS，2a、4a是方程220x x b-+=的两个根，那么5S等于〔〕A. 5B. 5- C.152D.152-ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E 、F 两点，假设AB AEλ=(0)λ>，AC AFμ=(0)μ>，那么14λμ+的最小值是〔〕A. 9B.72C. 5D.921(,0)F c-、2(,0)F c为椭圆22221x ya b+=的两个焦点，P为椭圆上一点，且212PF PF c=，那么此椭圆离心率的取值范围是〔〕A.3B.11[,]32C. []32D. (0,2填空题〔每题5分，共25分〕11.某个几何体的三视图如图〔正视图中的弧线是半圆〕，根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕，可得这个几何体的体积是 .5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，那么实数a的值是 .V的三棱锥S ABC-的棱AB上任取一点P，那么三棱锥S ABC-侧视图俯视图的体积大于3V的概率是 . P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 .32()f x ax bx cx d =+++，定义()y f x ''=是函数()y f x '=的导函数。

四川省南充市高中2021届高考数学第一次适应性考试试题 理本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)。

第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷 选择题(共60分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑。

第I 卷共12小题。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

.1.已知集合A ＝{x|x －1≥0}，B ＝{x|x 2≤1}，则A ∪B ＝A.{x|x ≥1}B.{x|x ≥－1}C.{x|x ≤1}D.{x|x ≤－1}2.12i -＝ A.2155i -+ B.2155i -- C.2155i + D.2155i -3.“A ＝60°”是“cosA ＝12”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面圆面积为π，则球的表面积为πC.8πD.4π5.函数f(x)＝12sinxcosx 的最小值是 A.14 B.12 C.－12 D.14 6.101(1)2x +的展开式中x 3的系数为A.5B.10C.15D.207..过点A(4，0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(] C.(] 8.函数1(),1x f x x x ≤=⎨>⎪⎩，若方程f(x)＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足A.a ＝1B.a>1C.0≤a<1D.a<09.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若2,BC AB AC AB AC =+=-，则AM ＝ A.12B.1C.2D.4 10.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

四川省南充市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B【解析】【分析】 根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =；当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=，所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6，故选：B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.2．已知实数x ，y 满足约束条件220220x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,22⎡⎤⎢⎥⎣B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,8【答案】B【解析】【分析】画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得22xy +的取值范围. 【详解】由约束条件作出可行域是由(2,0)A ，(0,1)B ，(2,2)C 三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而22x y +可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB 所在的直线220x y +-=的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时222245OA OB x y OD AB ⋅⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，点C 到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时2222228x y +=+=.所以22x y +的取值范围是4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识. 3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【解析】【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=.故选：A【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.4．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差【答案】D【解析】【分析】ABD 可通过统计图直接分析得出结论，C 可通过计算中位数判断选项是否正确.A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.5．已知双曲线2221xya-=的一条渐近线方程是3y x=，则双曲线的离心率为（）AB．3CD．3【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程是1y xa=±，所以1a=1a b==，2224c a b=+=，即2c=，cea== D.6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）A．12πB．3πC．6πD．9π【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】10=，利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==；第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==；第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==；不满足判断条件，输出计算结果3y =，故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( )A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B【解析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z ii+-=+==-.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.9．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（）A．3y x=B．3xy=C．()21y x=--D．3logy x=【答案】D【解析】【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3logy x=的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．10．已知函数2,0()4,0x xf xx x-⎧⎪=+>…，若()02f x<，则x的取值范围是（）A．(,1)-∞-B．(1,0]-C．(1,)-+∞D．(,0)-∞【答案】B【解析】【分析】对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解.【详解】 函数2,0()4,0x x f x xx -⎧⎪=⎨+>⎪⎩„，由()02f x < 得00220x x -⎧<⎪⎨⎪⎩„或00420x x ⎧+<⎪⎨>⎪⎩ 解得010-<x „.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.11．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π 【答案】B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则34232SD CD ==⨯=，则222222，由勾股定理的逆定理，得o .设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ， 又312343OE DF OE OF ====⨯⨯=，由勾股定理得2226OD OE DE =+=. 所以外接球半径为22222660233R OD BD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以外接球的表面积为2260804433S R πππ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B【解析】【分析】 由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=，所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年四川省南充市高考数学（理）质检试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题有四个选项，只有一个是正确的1已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，，则A∩B＝（）A B C D2的实部为（）A B C﹣D3已知等差数列{a n}前3项的和为6，a5＝8，则a20＝（）A40 B39 C38 D374古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（）A B C D5已知圆（x+3）2+y2＝5与双曲线的渐近线相切，则a＝（）A2 B C D46若由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，那么有（）把握认为两个变量有关系P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A95% B97.5% C99% D99.9%7已知函数f（x）＝，则f（2）+f（3﹣log27）＝（）A B C D8已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+2lnx，则f'（2）＝（）A6 B7 C﹣6 D﹣79在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，则当S n＞0时，n的最小值为（）A14 B15 C16 D1710棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为（）A B C D12+12π11如图，双曲线F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A B C D12已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A（﹣∞，）B（，+∞）C（﹣∞，﹣）D（﹣，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知平面向量＝（），＝（﹣），则在上的投影＝14若（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），则的值为15某酒厂生产浓香型、酱香型两种白酒，若每吨浓香型的白酒含乙醇0.6吨，水0.4吨；每吨酱香型的白酒含乙醇0.4吨，水0.6吨，销售每吨浓香型的白酒可获利润5万元，销售每吨酱香型的白酒可获利润4万元，该厂在一个生产周期内乙醇总量不能超过3.4吨，水总量不能超过3.6吨那么该酒厂在一个生产周期内可获利润的最大值是万元16已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内17（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若（c+2b）cos A ﹣a cos（A+B）＝0（1）求A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值18（12分）十九大报告强调：坚持保护环境的基本国策，像对待生命一样对待生态环境某市化工研究所为了环保需要，从城区搬迁到修建了先进环保设施的城郊新区，但全所30名员工仍住在城区，为了方便他们上下班，该研究所准备购买一辆客车定时定位接送，为了节约成本，先对员工们的乘车情况作了调研：从市客运中心租用了一辆载客量为33人的大客车接或送员工共计60次，并委托司机对60次的乘车人数都作了统计，结果如下：乘车人数18 19 20 21 22 23 24 频数 4 7 13 15 12 6 3 （I）若在这60次记录中随机抽查两次员工们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过20的概率；（II）以这60次记录的各种乘车人数的频率作为这种乘车人数的概率，并假设每次乘车人数相互独立了解员工们的乘车情况后，再了解客车交易市场，发现可供选择的客车只有22座的S型车和24座的T型车两种，除去司机外，载客量分别为21人，23人，经测算，购买S型车时每次运行费用为100元，购买T型车时每次运行费用120元；若某次乘车的员工人数超过载客量时，超出的员工每人从司机处签字并领取15元钱供他们乘出租车，然后再由该研究所定期返还司机；请以1次接或送总费用的期望值为依据，判断该研究所购买哪种车型较划算？19（12分）如图1，四边形ABCD是边长为6的正方形，已知AE＝EF＝2，ME∥NF∥AD，且ME，NF与对角线DB分别交于G，H两点，现以ME，NF为折痕将正方形折起，使BC，AD 重合，D，C重合后记为P，A，B重合后记为Q，如图2所示（Ⅰ）求证：平面PGQ⊥平面HGQ；（Ⅱ）求平面GPN与平面HGQ所成锐二面角的余弦值20（12分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PM与直线PQ垂直，且与椭圆C 的另一个交点为M（ⅰ）当点M为椭圆C的右顶点时，求证：△PQM为等腰三角形；（ⅱ）当点P不是椭圆C的顶点时，求直线PQ和直线QM的斜率之比21（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的最小值[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题有四个选项，只有一个是正确的1已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，，则A∩B＝（）A B C D【分析】分别求出集合A和B，由此能求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，＝{x|x＞}，∴A∩B＝{x|}＝（，2）故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2的实部为（）A B C﹣D【分析】利用复数的运算法则化简，再得到实部的值【解答】解：＝＝＝﹣+i，则的实部为﹣，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知等差数列{a n}前3项的和为6，a5＝8，则a20＝（）A40 B39 C38 D37【分析】设{a n}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d，进而根据等差数列的通项公式求得a n【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由已知得若a1+a2+a3＝6，a5＝8，⇒3a1+3d＝6，a1+4d＝8，解得a1＝0，d＝2故a20＝0+（20﹣1）×2＝38；故选：C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题4古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（）A B C D【分析】4位回文数有90个.4位回文数的第一位是奇数，有5种情况，第二位有10种情况，从而四位数的回文数中奇数的个数为50，由此能求出在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率【解答】解：4位回文数只用排列前两位数字，后面数字可以确定，但是第一位不能为0，有9种情况，第二位有10种情况，∴4位回文数有：9×10＝904位回文数的第一位是奇数，有5种情况，第二位有10种情况，∴四位数的回文数中奇数的个数为：5×10＝50，∴在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为P＝＝故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题5已知圆（x+3）2+y2＝5与双曲线的渐近线相切，则a＝（）A2 B C D4【分析】求得圆心和半径，以及双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d＝r，解方程即可得到所求值【解答】解：圆（x+3）2+y2＝5的圆心为（﹣3，0），半径为，双曲线的渐近线为y＝±x，由双曲线的渐近线与圆相切可得：＝，解得a＝2，故选：A【点评】本题考查双曲线的性质：渐近线方程，圆与直线相切的条件：d＝r，考查方程思想和运算能力，属于基础题6若由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，那么有（）把握认为两个变量有关系P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A95% B97.5% C99% D99.9%【分析】利用独立性检验的观测值对应临界表可得答案【解答】解：由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，因为3.841＜4.013＜5.024，则P（K2≥k0）＝0.05＝5%，那么有95%的把握认为两个变量有关系故选：A【点评】本题考查独立性检验的应用，属于基础题7已知函数f（x）＝，则f（2）+f（3﹣log27）＝（）A B C D【分析】判断自变量的范围，然后利用分段函数求解即可【解答】解：函数f（x）＝，则f（2）+f（3﹣log27）＝sin+＝1+＝故选：B【点评】本题考查分段函数的应用，函数求值，三角函数的化简求值，考查计算能力8已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+2lnx，则f'（2）＝（）A6 B7 C﹣6 D﹣7【分析】先求出f'（x），将x＝1代入求出f'（1），再代入x＝2，求解即可【解答】解：因为f（x）＝x2f'（1）+2lnx，所以，故f'（1）＝2f'（1）+2，所以f'（1）＝﹣2，故f'（2）＝2×2×（﹣2）+1＝﹣7故选：D【点评】本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的运算法则，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题9在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，则当S n＞0时，n的最小值为（）A14 B15 C16 D17【分析】由已知条件，利用等差数列的性质推导出2a8＝a1+a15＜0，a8+a9＝a1+a16＞0，由此能求出S n＞0时，n的最小值【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，它的前n项和S n有最小值，∴公差d＞0，首项a1＜0，{a n}为递增数列，∵，∴a8•a9＜0，a8+a9＞0，由等差数列的性质知：2a8＝a1+a15＜0，a8+a9＝a1+a16＞0，∵，∴S n＞0时，n的最小值为16故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题10棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为（）A B C D12+12π【分析】利用正方体体积公式和球的体积公式能求出小球可以经过的空间的体积【解答】解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8[13﹣（×13）]＝8﹣，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×2的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为12×[1×1×2﹣（π×12）×2]＝24﹣6π其他空间小球均能到达故小球不能到达的空间体积为：（8﹣π）+24﹣6π＝32﹣π∴小球可以经过的空间的体积：V＝43﹣（12﹣×12）×2×12﹣（8﹣π）＝32+故选：A【点评】本题考查正方体中小球的可以经过的空间的体积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题11如图，双曲线F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A B C D【分析】连接CA，BD，分别在△ABD，△CAD中，用∠BAD＝60°与∠CDA＝120°结合余弦定理可求解【解答】解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e＝故选：C【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题12已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A（﹣∞，）B（，+∞）C（﹣∞，﹣）D（﹣，+∞）【分析】令g(x)＝f(x)+sin x,根据条件判断g(x)的单调性和奇偶性,进一步得到,再解出不等式即可【解答】解:令g(x)＝f(x)+sin x,则g(﹣x)＝f(﹣x)+sin(﹣x)＝f(﹣x)﹣sin x, 又f(x)＝f(﹣x)﹣2sin x,∴f(x)+sin x＝f(﹣x)﹣sin x,故g(﹣x)＝g(x),∴g(x)为定义在R上的偶函数；当x≥0时,g′(x)＝f′(x)+cos x＞0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又∵g(x)为偶函数,故g(x)在(﹣∞,0]上单调递减,由得,∴,解得,∴不等式的解集为故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的奇偶性和利用单调性解不等式,考查了函数思想和转化思想,属中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知平面向量＝（），＝（﹣），则在上的投影＝﹣1 【分析】根据平面向量的数量积与投影的定义，计算即可【解答】解：平面向量＝（），＝（﹣），则在上的投影为||cosθ＝||×＝＝＝﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查了平面向量的数量积与投影的计算问题，是基础题14若（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），则的值为﹣1 【分析】分别令x＝0，x＝1，可得要求式子的值【解答】解：∵（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），∴令x＝0，可得a0＝1，再令x＝，则1+＝0，故＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和属于中档题15某酒厂生产浓香型、酱香型两种白酒，若每吨浓香型的白酒含乙醇0.6吨，水0.4吨；每吨酱香型的白酒含乙醇0.4吨，水0.6吨，销售每吨浓香型的白酒可获利润5万元，销售每吨酱香型的白酒可获利润4万元，该厂在一个生产周期内乙醇总量不能超过3.4吨，水总量不能超过3.6吨那么该酒厂在一个生产周期内可获利润的最大值是31 万元【分析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，题意列关于x，y的不等式组，利润z＝5x+4y，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：设生产浓香型产品x吨，生产酱香型产品y吨，由题意知：，利润z＝5x+4y，作出可行域如图中阴影部分所示，联立，解得A（3，4），化目标函数z＝5x+4y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为31，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润31万元故答案为：31【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为y＝±（1+）x【分析】设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，推得OA为△BF1F2的中位线，分别求得|BF1|，|AF2|，|BF2|，由∠F1MF2＝60°，求得|BM|，|MF1|，再由双曲线的定义，化简可得a，b的关系，可得双曲线的渐近线方程【解答】解：设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，由题意可得|OA|＝a，|OF2|＝c，|AF2|＝＝b，由OA为△BF1F2的中位线，可得|BF1|＝2a，|BF2|＝2b，又∠F1MF2＝60°，可得|MF1|＝＝，|MB|＝，|MF2|＝|MB|+|BF2|＝+2b，又|MF2|﹣|MF1|＝+2b﹣＝2a，所以b＝（1+）a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±（1+）x故答案为：y＝±（1+）x【点评】本题考查双曲线的定义性质，以及三角形的中位线定理、直线和圆相切的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内17（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若（c+2b）cos A ﹣a cos（A+B）＝0（1）求A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合余弦定理及基本不等式可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解【解答】解：（1）因为（c+2b）cos A﹣a cos（A+B）＝0，由正弦定理得，sin C cos A+2sin B cos A+sin A cos C＝0，即sin（A+C）+2sin B cos A＝0，所以sin B+2sin B cos A＝0，因为sin B＞0，所以cos A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝；（2）由余弦定理得a2＝12＝b2+c2+bc≥3bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤4，△ABC的面积S＝＝≤，即面积的最大值【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题18（12分）十九大报告强调：坚持保护环境的基本国策，像对待生命一样对待生态环境某市化工研究所为了环保需要，从城区搬迁到修建了先进环保设施的城郊新区，但全所30名员工仍住在城区，为了方便他们上下班，该研究所准备购买一辆客车定时定位接送，为了节约成本，先对员工们的乘车情况作了调研：从市客运中心租用了一辆载客量为33人的大客车接或送员工共计60次，并委托司机对60次的乘车人数都作了统计，结果如下：乘车人数18 19 20 21 22 23 24 频数 4 7 13 15 12 6 3（I）若在这60次记录中随机抽查两次员工们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过20的概率；（II）以这60次记录的各种乘车人数的频率作为这种乘车人数的概率，并假设每次乘车人数相互独立了解员工们的乘车情况后，再了解客车交易市场，发现可供选择的客车只有22座的S型车和24座的T型车两种，除去司机外，载客量分别为21人，23人，经测算，购买S型车时每次运行费用为100元，购买T型车时每次运行费用120元；若某次乘车的员工人数超过载客量时，超出的员工每人从司机处签字并领取15元钱供他们乘出租车，然后再由该研究所定期返还司机；请以1次接或送总费用的期望值为依据，判断该研究所购买哪种车型较划算？【分析】（Ⅰ）设“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过20”为事件A，乘车人数不超过20的次数为24，利用古典概型概率求解即可（Ⅱ）用ξ表示租用S型车的总费用（单位：元），则ξ可取100，115，130，145，求出概率得到分布列然后求解期望；用η表示租用T型车的总费用（单位：元），则η可取120，135，求出概率得到分布列然后求解期望判断即可【解答】解：（Ⅰ）设“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过20”为事件A，乘车人数不超过20的次数为24，则…（6分）（Ⅱ）用ξ表示租用S型车的总费用（单位：元），则ξ可取100，115，130，145，分布列为ξ100 115 130 145P0.65 0.2 0.1 0.05Eξ＝100×0.65+115×0.2+130×0.1+145×0.05＝108.5…（9分）用η表示租用T型车的总费用（单位：元），则η可取120，135，分布列为110 120 135P0.95 0.05Eη＝120×0.95+135×0.05＝120.75…（11分）因此以一次接、送付出的总费用的期望值为依据，租S型车较划算…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力19（12分）如图1，四边形ABCD是边长为6的正方形，已知AE＝EF＝2，ME∥NF∥AD，且ME，NF与对角线DB分别交于G，H两点，现以ME，NF为折痕将正方形折起，使BC，AD 重合，D，C重合后记为P，A，B重合后记为Q，如图2所示（Ⅰ）求证：平面PGQ⊥平面HGQ；（Ⅱ）求平面GPN与平面HGQ所成锐二面角的余弦值【分析】（I）取EQ的中点J，连接FJ，则PQ⊥FJ，取GQ中点R，连接HR，RJ，易得HR ⊥GQ且HF∥RJ，HF＝RJ，推出四边形RJFH为平行四边形，RH∥JF，PQ⊥RH，证明RH⊥平面PGQ，得到平面PGQ⊥平面HGQ（II）取EF中点O，如图建立空间直角坐标系求出平面HGQ的法向量，平面GPN法向量，设两平面所成锐二面角，利用斜率的数量积求解即可【解答】（I）证明：取EQ的中点J，连接FJ，则PQ⊥FJ…（1分）取GQ中点R，连接HR，RJ，易得HR⊥GQ且HF∥RJ，HF＝RJ，所以四边形RJFH为平行四边形…（3分）所以RH∥JF，PQ⊥RH，又PQ∩GQ＝Q，所以RH⊥平面PGQ，又RH⊂平面HGQ，故平面PGQ ⊥平面HGQ…（5分）（II）解：取EF中点O，如图建立空间直角坐标系…（6分）设平面HGQ的法向量则，令…（8分）又，∴设平面GPN法向量为则，令…（10分）设两平面所成锐二面角为…（12分）【点评】本题考查直线与平面，平面与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及空间想象能力20（12分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PM与直线PQ垂直，且与椭圆C 的另一个交点为M（ⅰ）当点M为椭圆C的右顶点时，求证：△PQM为等腰三角形；（ⅱ）当点P不是椭圆C的顶点时，求直线PQ和直线QM的斜率之比【分析】（Ⅰ）直接利用离心率公式求椭圆C的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）设P点坐标（x1，y1），利用直线PM与直线PQ垂直以及P在椭圆上建立两个方程解出x1，y1，再求出线段PQ和PM的长度即可证明△PQM为等腰三角形；（ii）设M 点坐标（x1，y1），根据韦达定理求出PM的中点T的坐标，利用OT∥QM可表示直线QM 的斜率，根据直线PM与直线PQ垂直可表示出直线PQ斜率，从而求出直线PQ和直线QM 的斜率之比【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆方程，所以a2＝6，b2＝1所以c2＝5所以离心率（Ⅱ）（ⅰ）设，由题设知，因为PQ⊥PM，所以点P（x1，y1）在以线段OM为直径的圆上，所以有又，解得（舍）所以，所以，又所以PQ＝PM，即△PQM为等腰三角形（ⅱ）设M（x2，y2），且记直线PQ，PM，QM率分别为k PQ，k PM，k QM，所以，因为PQ⊥PM，所以k PQ⋅k PM＝﹣1又，因为，所以所以所以，即直线PQ和直线QM的斜率之比为6，因为点P不是椭圆C的顶点，所以直线PQ，PM，QM的斜率都存在且不为0，设直线PM的方程为y＝kx+m（km≠0），由得（1+6k2）x2+12kmx+6m2﹣6＝0，由△＞0，所以 6k2+1﹣m2＞0设P（x1，y1），M（x2，y2），PM的中点T（x0，y0）因为，所以，，因为OT∥QM，所以，又因为PQ⊥PM，所以所认【点评】本题考查椭圆的方程及其性质，考查设而不求法在解析几何中的应用，考查数学运算和逻辑推理的核心素养，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）＝lnx﹣ax＝0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y＝lnx与函数y＝ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y＝a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）＝lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2＝a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t ∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）＝0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax＝0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y＝lnx与函数y＝ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图可见，若令过原点且切于函数y＝lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0＝e，故，故（解法二）转化为函数与函数y＝a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减故g（x）极大＝g（e）＝；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y＝a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须（解法三）令g（x）＝lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而＝，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大＞0，即，所以综上所述，（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax＝0的两个根，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2＝a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于又由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2作差得，，即所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立令，又＝，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）＝0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）＝0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的最小值【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用（1）的结论，利用三角函数关系式的变换和极径的应用求出结果【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），转换为直角坐标法方程为，根据，转换为极坐标方程为，整理得曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ（2）根据（1）的结论，|OA|2+|OB|2＝＝，由于0＜α＜，故1＜1+2sin2θ＜3，故∈（1，7），故没有最小值【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，求并集，即可得到所求解集（2）将f（x）分段，判断单调性，可得f（x）的最小值，再由f（x）min＞﹣3，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|＜2，①当x≤﹣1时，则2﹣2x+（x+1）＜2，∴x＞1，∴无解，②当﹣1＜x＜1时，则2﹣2x﹣（x+1）＜2，∴﹣＜x＜1，③当x≥1时，则2x﹣2﹣（x+1）＜2，∴1≤x＜5，∴不等式f（x）＜2 的解集为（﹣，5）（2）若a＞0，①当x≤﹣1时，则f（x）＝a+1﹣x，②当﹣1＜x＜时，f（x）＝a﹣1﹣3x，③当x≥时，f（x）＝x﹣a﹣1，∵f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣﹣1，∵f（x）+3＞0恒成立，∴f（x）min＞﹣3，即﹣﹣1＞﹣3，解得a＜4，又∵a＞0，∴a的取值范围为（0，4）【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为．14．（5分）函数y=的单调递增区间是．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为32．【解答】解：由，得通项，为有理项，∴当r=0、2、4、6时，T r+1此时有理项系数之和为=．故答案为：32．14．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣2，﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．因为MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面BCE．（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．令AB=2，则．所以．设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，所以a≤；（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，定义域（﹣1，+∞）f′（x）=﹣2x﹣1=令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1| =|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。

绝密★启用前2021届四川省南充市高三上学期第一次高考适应性考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}250A x x x =+>，{}34A x x =-<<，则A B =（）A ．(5-，0)B ．(3-，0)C ．(0，4)D ．(5-，4)答案：C思路：解一元二次不等式，化简集合A ，再由交集的概念，即可得出结果. 解：因为{}{2505A x x x x x =+>=<-或}0x >，又{}34A x x =-<<，所以{}04A B x x ⋂=<<. 故选：C.2．若()11z i i -=+，则z =（） A ．2i -+ B ．2i --C ．2i +D ．2i -答案：D思路：根据()11z i i -=+，利用复数除法运算求解. 解：因为()11z i i -=+，所以()111121i i i z i i ++=+=+=--， 故选：D3．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（） A ．164石 B ．178石C ．189石D ．196石答案：C【解析】试题分析：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为271=2168，则由此估计总体中谷的含量约为11512=1898⨯石.故选C.【解析】抽样中的用样本去估计总体.4．10202111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（） A ．45 B ．45-C ．120D ．120-答案：A思路：因为()1010202120211111x x x x =⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故展开式特点可知2x 的系数即为()101x +的2x 的系数，再结合二项式定理通项公式即可求解解：()1010202120211111x x x x =⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()012101010101098202120212202110011111111x x x x xC C C C xx⨯⨯+++++++=+，故在10202111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数即为()101x +的2x 的系数，又()101x +展开式的通项为10110r rr T C x -+=，令102r -=，故8r =，所以2x 的系数为81045C =.故选：A.点评：本题考查三项展开式中指定项的系数，解决此类问题的关键在于把三项整合成两项的和，即将问题转化为()101x +的2x 的系数，再利用二项展开式求相关项的系数，注意这些相关项的系数与指定项的系数的关系.5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前3项和为21，且13a =，则35a a +=（） A ．36 B ．60C ．84D ．92答案：B思路：设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，根据题中条件，求出公比，再由等比数列的基本量运算，即可得出结果.解：设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 因为数列{}n a 的前3项和为21，且13a =， 所以()21233121a a q a q ++++==，解得2q或3q =-（舍），则()()24351341660a a a q q+=+=+=.6．已知直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切，则m =（） A ．0 B ．43-C ．0或43-D ．0或43答案：D思路：根据题意，由直线与圆相切的判断方法可得2421m m-=+2，解可得m 的值，即可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径r ＝2， 直线x ﹣my+4m ﹣2＝0与圆x 2+y 2＝4相切，则有2421m m-=+2，解可得：m ＝0或43， 故选：D ．点评：直线与圆相切只需满足圆心到直线的距离等于半径即可.7．函数331x x y =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．答案：C思路：通过求函数的定义域，自变量与函数值的变化情况，利用排除法可求解 解：解：因为函数的定义域为{}0x x ≠，所以A 不符合题意， 当0x <时，30x <，310x -<，则0y >，所以B 不符合题意，当x 趋向于无穷大时，31x -的增长速度快于3x 的增长速度，所以对的y 趋向于零，所以D 不符合题意，C 符合题意，8．执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为（）A ．10B ．15C ．18D ．21答案：B解：由题意可得,2,3;n S ==3,6;n S == 4,10;n S == 5,15n S ==程序结束，故选B.9．已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，M α∈，N β∈，MN β⊥，C AB ∈，MCB ∠为锐角，则（）A ．MCN θ∠<B ．MCN θ∠=C ．MCN θ∠>D ．以上三种情况均有可能答案：A思路：过MO 作MO⊥AB，交AB 于O ，连结NO ，则NO⊥AB，从而∠MON＝θ，由此能求出结果．解：二面角α﹣AB ﹣β的平面角是锐角θ，M∈α，MN⊥β，C∈AB，∠MCB 为锐角 过MO 作MO⊥AB，交AB 于O ，连结NO ， 则NO⊥AB，∴∠MON＝θ，∵在直角三角形MNO 中，有sin MNMON MO∠=，在直角三角形MNC 中，有sin MNMCN MC∠=， 又MO<MC ，所以sin sin MON MCN ∠>∠ 所以∠MON＞∠MCN， 即θ＞∠MCN． 故选：A ．点评：关键点点睛：利用定义作出二面角和线面角，再在直角三角形中利用正弦值比较大小.10．双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左，右支上的点，O 为坐标原点，若四边形ABOF 为菱形，则C 的离心率为（） A 5B ．3C 31D 32答案：C思路：由题意可得AB OB OF c ===且//AB OF ，从而求出点B 的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.解：由题意(),F c o -，四边形ABOF 为菱形，如图，则AB OB OF c === 且//AB OFA ，B 分别为C 的左，右支上的点，设A 点在第二象限，B 在第一象限.由双曲线的对称性，可得2B cx =，过点B 作BH x ⊥交x 轴于点H ，则11,222cOB c OH AB OB ====所以60BOH ∠=︒,则32BH =，所以32c B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以22223144c c a b-=，则22222234c b c a a b -=，即42840e e -+=解得2423e =+，或2423e =-由双曲线的离心率1e >，所以取2423e =+，则31e =+ 故选：C11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x <时，()31xf x =+，若432a =，254b =，1325c =，则（） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f b f a f c << D ．()()()f c f a f b <<答案：D思路：根据指数与幂函数的单调性，得到1b a c <<<；再由题中条件，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递减，进而可得出结果. 解：因为24413355331422162525<=<=<=，则1b a c <<<；因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数； 又当0x <时，()31xf x =+显然单调递增，所以当0x >时，()f x 单调递减；因此()()()f b f a f c >>. 故选：D.12．已知函数()312ln 2x x e axf x e x---=+只有一个零点，则a =（） A ．31e + B ．31e -C ．eD ．1e答案：A思路：由题意()f x 只有一个零点，等价于函数()22ln 2e xg x ex e x x=-+的图象与函数y a =的图象只有一个交点，利用导数得到()g x 的单调区间和极值，作出函数()g x的大致图象，由数形结合可得答案.解：由函数()312ln 2x x e axf x e x---=+只有一个零点， 所以方程312ln 20x x e axe x---+=只有一个实数根. 即方程32222ln 2ln 2e x ex e x e xa ex e x x x-+==-+只有一个实数根.即函数()22ln 2e xg x ex e x x=-+的图象与函数y a =的图象只有一个交点. 由()()()2221ln ln 222e x e e x g x ex e e e x x x --'=-+=+- 当0x e <<时，1ln 0,0x e x ->->，则()0g x '>. 当x e >时，1ln 0,0x e x -<-<，则()0g x '<. 所以()g x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减. 又0x →时，ln e xx→-∞，所以()g x →-∞ x →+∞时，ln 0e xx→，222ex e x -+→-∞，所以()g x →-∞，且()333121g e e e e =-+=+作出()g x 的大致图象如图.如图，当31a e =+时，函数()22ln 2e xg x ex e x x=-+的图象与函数y a =的图象只有一个交点. 所以31a e =+ 故选：A点评：方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 二、填空题13．已知向量a ，b →的夹角为3π，且1b →=，2a b →-=a =______.答案：3思路：把模用数量积表示后可求得a ．解：∵2a b →-=∴222222(2)444cos 473a b a b a a b b a a π→→→→-=-=-⋅+=-+=，解得3a =（－1舍去）． 故答案为：3．14．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若333a S ==，则5a =______. 答案：7思路：设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件可得112320a d a d +=⎧⎨+=⎩，求出通项公式，可得答案.解：设等差数列{}n a 的公差为d由333a S ==，可得31230a a a =⎧⎨+=⎩，即112320a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得112a d =-⎧⎨=⎩，所以()11223n a n n =-+-⨯=-所以52537a =⨯-= 故答案为：715．设F 为椭圆C :22143x y +=的右焦点，不垂直于x 轴且不过点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，在MFN △中，若MFN ∠的外角平分线与直线MN 交于点P ，则P的横坐标为______. 答案：4思路：根据椭圆方程221 43x y+=，设()()1122,,,M x y N x y，由椭圆的第二定义得到12112,222MF x NF x=-=-，设()P m n,，然后根据外角平分线定理，由MF MPNF NP=求解.解：如图所示：因为椭圆方程为22143x y+=，所以2,3,1a b c===,所以椭圆的右焦点是()1,0F，所以离心率为12cea==，设()()1122,,,M x y N x y，由椭圆的第二定义得：2212MF NFea ax xc c==--，所以12112,222MF x NF x=-=-，设()P m n,，由外角平分线定理得MF MPNF NP=，即1122122122xx mx m x--=--，化简得()()1212122x x m x x -=-， 解得4m =所以P 的横坐标为4 故答案为：4点评：关键点点睛：本题关键是外角平分线定理的应用.16．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则关于x 的方程()()0f f x k +=，给出下述四个结论：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根.其中所有正确结论的编号是______. 答案：①②③ 思路：根据题意得出()()f f x 的解析式，作出函数()()f f x 的大致图象，根据函数图象与yk =-的交点个数情况得出对应的k 范围，可得出各个命题的真假.解：由函数()21,02,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩可得，当1≥x 或0x <时,()0f x ≥,当01x ≤<时,()0f x <,所以()()()()()()20102f x f x f f x f x f x ⎧≥⎡⎤-⎪⎣⎦=⎨<-⎪⎩，即()()422221220141x x x f f x x x x x ⎧-≥⎪=-+≤<⎨⎪-<⎩当1≥x 时，422y x x =-，则()()3444110y x x x x x '=-=-+>恒成立.所以422y x x =-在[)1+∞，上单调递增. 则函数()()ff x 的大致图象如图所示.由方程方程()()0ff x k +=，得方程()()f f x k =-当1k -=-即1k =是，方程恰有1个实数根. 当10k -<-≤时，方程恰有2个不等实数根. 当02k <-≤时，方程恰有3个不等实数根. 当2k <-时，方程恰有2个不等实数根. 当1k -<-时，方程无实数根. 所以①②③正确. 故答案为：①②③点评：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 三、解答题17．手机运动计步已成为一种时尚，某学校统计了该校教职工一天行走步数（单位：百步）.根据数据得到如图所示的直方图：(1)求频率分布直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天行走步数的中位数m ；(2)若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130的人数. 答案：（1）0.008=a ，125；（2）98.思路：（1）由频率和为1即可计算a 的值，结合中位数计算公式即可得结果； （2）用人数175与行走步数不大于130的频率相乘即可.解：（1）由题意得()0.0020.0060.0120.0100.0020.002201a a +++++++⨯=， 解得0.008=a ，设中位数110m x =+，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+⋅=，解得15x =，所以11015125m =+=.（2）因为()1750.002200.006200.008200.0122098⨯⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以，估计一天行走步数不大于130的人数为98.18．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos 2b C c a -=. （1）求B 的大小；（2）若3a =，且AC 边上的中线长为192，求c 的值. 答案：（1）23B π=；（2）5c =. 【解析】试题分析：（1）由余弦定理化简等式可知：222a c b ac +-=-，进而求出角B ，结合B 的范围，可求出B.(2)由（1）知222239b a c ac c c =++=++，取AC 的中点D ，连接BD,由余弦定理可求cos C ，从而联立方程求出结果 试题解析：解：（1）因为2cos 2b C c a -=，所以由余弦定理可得，2222?22a b c b c a ab+--=，化简得222a c b ac +-=-，所以2221cos 22a cb B ac +-==-，因为()0,B π∈，所以23B π=. （2）由（1）得，222239b a c ac c c =++=++，①又因为在ABC ∆中，222cos 2a b c C ab+-=，取AC 中点D ，连结BD . 因为193,a BD ==在CBD ∆中，222221944cos 2?b a BC CD BD C BC CD ab+-+-==， 所以2221992944b b c ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，② 把①代入②，化简得23100c c --=， 解得5c =，或2c =-（舍去），所以5c =.19．在五边形AEBCD 中，BC CD ⊥，C //D AB ，22AB CD BC ==，AE BE ⊥，AE BE =（如图）.将△ABE 沿AB 折起，使平面ABE⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE⊥平面DOE ；（2）求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小. 答案：（1）见解析（2）45°思路：（1）根据矩形的性质，求得AB OD ⊥，再由等腰三角形的性质，证得EO AB ⊥，由线面垂直的判定，可得AB⊥平面EOD ，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面AB E⊥平面EOD ；（2）由（1）以O 为坐标原点，以OB ，OD ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求得平面ECD 和平面ABE 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.解：（1）由题意2AB CD =，O 是线段AB 的中点，则OB CD =.又//CD AB ，则四边形OBCD 为平行四边形，又BC CD ⊥，则AB OD ⊥， 因AE BE =，OB OA =，则EO AB ⊥.EO DO O ⋂=，则AB⊥平面EOD.又AB平面ABE ，故平面ABE⊥平面EOD.（2）由（1）易知OB ，OD ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OD ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， △EAB 为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC ，则OA OB OD OE ===，取1CD BC ==，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0）， E （0，0，1），则1CD =-（，0,0)，011DE =-（，，）， 设平面ECD 的法向量为n x y z =（，，）， 则有取0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y z -=⎧⎨-+=⎩1z =，得平面ECD 的一个法向量011n =（，，）， 因OD⊥平面ABE.则平面ABE 的一个法向量为010OD =（，，）， 设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则221112,2cos cos OD n θ⨯==+=， 因为0(0,90)θ∈，所以045θ=，故平面ECD 与平面ABE 所成的镜二面角为45°.点评：本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知函数()3x x x n f m =+-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为9480x y +-=.（1）求m ，n ；（2）设02t <≤，已知函数()()16f x g x t=，若对于任意1x ，[]22,x t t ∈-，都有()()121g x g x -≤，求t 的取值范围.答案：（1）12m =，50n =；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.思路：（1）根据点()()1,1f 在切线上，以及导数的几何意义即可求解；（2）利用()f x 的导数确定()f x 在区间[]22-,上的单调性，将不等式恒成立转化为()()max min 16x x f t f -≤，利用()f x 的单调性求出最值，得到关于t 的不等关系，即可求解.解：（1）由题意得()23f x x m '=-，所以()31f m '=-，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为9480x y +-=， 所以39m -=-，解得：12m =， 因为点()()1,1f 在切线9480x y +-=上， 所以()911480f ⨯+-=，解得：()139f =， 所以3391121n =-⨯+，解得：50n =， 故12m =，50n =.（2）由（1）得()31250x f x x =-+，由()()()23123220x x x x f =-=+-<'，可得：22x -<<，所以()f x 在[]22-,上单调递减， 当02t <≤时，对任意1x ，[]22,x t t ∈-， 都有()()121g x g x -≤，即当[]2,x t t ∈-时，()()max min 16x x f t f -≤.因为[][]2,22,t t -⊇-，所以()f x 在[]2,t t -上单调递减， 所以()()()()3max 2212250f f x t t t =-=---+，()()3min 1250x t t f f t ==-+则()()2max min 6121616f f x x t t t -=-++≤，即23280t t +-≥，解得:2t ≤-或43≥t ，又02t <≤ 所以423t ≤≤，故t 的取值范围是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点评：方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.21．在平面直角坐标系xOy ，已知点M (2,1)，动点P 到直线1y =-的距离为d ，满足2226PMd PO +=+.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过轨迹C 上的纵坐标为2的点Q 作两条直线QA ，QB ，分别与轨迹C 交于点A ，B ，且点D (3,0)到直线QA ，QB 的距离均为m (02m <≤)，求线段AB 中点的横坐标的取值范围.答案：（1）24y x =；（2）(]9,37.思路：(1)设动点(),P x y ，用坐标由两点间的距离公式表示出2226PM d PO +=+化简即可得到答案.(2)设直线QA 的方程为()112y k x =-+,由点到直线的距离公式可得到点D 到QA 的距离m =QB 的方程为()212y k x =-+，分析点D 到QB 的距离，可得1k ，2k 是方程()2224840m k k m --+-=的两根，得到1k ，2k 的关系，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线QA 与抛物线的方程，得出1y ，同理得出2y ，得到线段AB 中点的横坐标为0x ，从而得出答案. 解：（1）设动点(),P x y ，则()()22221M P x y =-+-，222PO x y =+，1d y =+，由2226PMd PO +=+，得()()222222116x y y x y -+-++=++，化简得24y x =，故动点P 的轨迹C 的方程为24y x =.（2）由题意知直线QA ，QB 的斜率存在且不为0，由（1）知点Q （1，2），所以设直线QA 的方程为()112y k x =-+，（10k ≠）， 则D 到QA的距离m =（0m <≤整理得()222114840m k k m --+-=.设直线QB 的方程为()212y k x =-+，（20k ≠）， 同理可得()222224840m k k m --+-=，所以1k ，2k 是方程()2224840m k k m --+-=的两根， 因为()22464443240m m m ∆=--=->， 所以12284k k m +=-，121k k =. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 由()1212,4,y k x y x ⎧=-+⎨=⎩得2114480k y y k --+=.()11164480k k ∆=--+>，所以111842k y k -=，1214242y k k =-=-， 同理可得11242y k =-，设线段AB 中点的横坐标为0x ，则221212028x x y y x ++==()()()()()()22221221212121242422212238k k k k k k k k k k -+-==+-++=+-+-，设[)12284,24t k k m =+=∈---，所以20223x t t =--，（42t -≤<-），函数2223y x x =--在[)4,2--为单调递减，所以0937x <≤，故线段AB 中点的横坐标的取值范围是(]9,37.点评：关键点睛：本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的问题关系问题，解答本题的关键是由点到直线的距离公式得到1k ，2k 是方程()2224840m k k m --+-=的两根，从而得到12284k k m +=-，121k k =，将直线方程与抛物线方程联立，从而求出线段AB 中点的横坐标，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 交于,P Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值答案：（1）cos sin 1ρθρθ-=，22220x y x y +--=；（2）2思路：（1）曲线1C 参数方程消去参数t ，可得到1C 的普通方程，进而将其转化为极坐标方程即可，利用极坐标方程与直角坐标方程间的关系，可将2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）结合曲线1C 、2C 的极坐标方程，可得()()22221cos sin cos sin 4++-=+ρθθθθρ，展开并整理得42840ρρ-+=，设,P Q 两点所对应的极径分别为12,ρρ，可求得12ρρ的值，进而可得到||||OP OQ ⋅的值.解：（1）由122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得1x y -=，由cos ,sin x y ρθρθ==，可得曲线1C 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=.由2(cos sin )ρθθ=+，可得曲线2C 的直角坐标方程为()222x y x y +=+，即22220x y x y +--=.（2）由2(cos sin )ρθθ=+，得cos sin 2ρθθ+=，由cos sin 1ρθρθ-=，得1cos sin θθρ-=，则()()22221cos sin cos sin 4++-=+ρθθθθρ，即22124ρρ+=，整理得42840ρρ-+=，设,P Q 两点所对应的极径分别为12,ρρ，则()2124ρρ=， 所以12||||2OP OQ ρρ⋅==.点评：极坐标与参数方程是高考选修部分的重要考点，应熟练掌握极坐标方程，直角坐标方程以及普通方程的互化，理解极坐标中ρ的含义，属于基础题． 23．已知函数()2x x a af x -++=，其中0a >. (1)若1a =，求不等式()5f x ≤的解集；(2)若存在0x ，使得()03f x ≤成立，求a 的取值范围. 答案：（1）{}23x x -≤≤；（2）[1，2].思路：（1）利用零点分段法，去绝对值，解不等式；（2）首先利用绝对值三角不等式求()f x 的最小值，再利用不等式()min 3f x ≤，求a 的取值范围.解：（1）()21,1,213,12,21,2,x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪->⎩由()5f x ≤可得1,215,x x <-⎧⎨-+≤⎩或12,35,x -≤≤⎧⎨≤⎩或2,215,x x >⎧⎨-≤⎩解得21x -≤<-或12x -≤≤或23x <≤ 所以原不等式的解集为{}23x x -≤≤.（2）若存在0x ，使得()03f x ≤，则只需要()min 3f x ≤. 因为()222x x a x x a a a a a ⎛⎫-++≥--+=+ ⎪⎝⎭，（0a >）当且仅当()20x x a a ⎛⎫-⋅+≤ ⎪⎝⎭即2a x a -≤≤时等号成立，所以只需23aa+≤，即2320a a-+≤，解得12a≤≤故a的取值范围是[1，2].点评：方法点睛：本题考查了分段函数的最值、证明不等式，常见方法有以下几种. （1）去绝对值，将函数化为分段函数，利用分段函数的图像可求最值.（2）利用绝对值三角不等式求最值.（3）证明不等式的方法：作差法、作商法.（4）构造函数，利用导函数证明不等式.。

数学（理科）试题（命题人：审题人：）时间：120分钟总分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合B．53,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数22,<1(),1x xx e x f x e x x⎧⎪=⎨≥⎪⎩，方程2[()]2()0()f x af x a R -=∈有两个不等实根，则下列选项正确．．的是（）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．a 的取值范围是222(,)[,)82e ee +∞ C ．3-=x 是()f x 的极大值点D ．1(0,1)x ∃∈，2(1,3)x ∈，使12()()f x f x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数)41(log ,2,22,1)12()(212f x x x x f x 则⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=-=.14．设命题[]a xx x p ≥+∈∀2,2,2:，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是.15.已知函数()11ln 242f x m x x n =-++在区间[]53，上有零点，则22n m z +=的最小值为.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象.若存在实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在()0,πn 内恰有2023个零点，则n 的值为.三、解答题：共70分。