高数第九章 隐函数求导

隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。

1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。

4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。

隐函数的求导公式法
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程给出，而非显式地给出。

对于隐函数，我们需要使用求导公式法来求导。

首先，我们需要了解隐函数的定义。

如果在一个方程中，一个或多个变量被表示为其他变量的函数，那么这个方程就是隐函数。

例如，考虑方程 (F(x, y) = 0)，其中 (F) 是可微的。

我们可以使用隐函数求导公式来求 (y) 关于 (x) 的导数。

隐函数求导的一般步骤如下：
1.对方程 (F(x, y) = 0) 进行全微分，得到 (dF = 0)。

2.利用全微分的性质，将 (dF = 0) 改写为关于 (x) 和 (y) 的偏微分方
程组。

3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式。

4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数。

下面是一个具体的例子：
考虑隐函数 (F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0)。

1.对方程进行全微分，得到 (dF = 2x dx + 2y dy = 0)。

2.将 (dF = 0) 改写为偏微分方程组：(\begin{cases}2x dx + 2y dy = 0
\ dx = - \frac{2y}{2x} dy\end{cases})。

3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式：(y = \pm
\sqrt{1 - x^2})。

4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数：(y' =
\mp \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}})。

隐函数求导详细过程对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

一、一个方程的情形=0 (1)求它所确定的隐函数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有(2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。

现仅就公式(2)作如下推导。

将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式,其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得由于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。

解设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。

下面求这函数的一阶和二阶导数=，;=。

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程()=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。

这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有=,=. (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于(, )≡0,将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得+=0, +=0。

第五节 隐函数的求导公式一、一个方程的情形隐函数存在定理1：设函数()y x F ,在),(000y x P 的某邻域内有 连续的偏导数，且()()0,,0,0000≠=y x F y x F y ，则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数()x f y =，他满足条件()00x f y =，并 且yx F F dx dy-= 说明：无妨设()x f y =，代入方程()0,=y x F 得()[]0,≡x f x F两边关于x 求导得：0≡+dxdy F F y x ，所以yx F F dx dy-=。

例1：设0sin 2=-+xy e y x确定了y 关于x 的函数，求22,dxyd dx dy 。

解：方法一、方程两边关于x 求导得yxy y e dx dy dx dy xy y e dx dy y x x cos 202cos 22--=⇒=--+⋅ 方法二、设()2sin ,xy e y y x F x -+=2y e F xx -=，xy y F y 2cos -=，yxy y e F F dx dy x y x cos 22--=-= 隐函数定理2：设函数()z y x F ,,在),,(0000z y x P 的某邻域内 有连续的偏导数，且()()0,,,0,,000000≠=z y x F z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点()000,,z y x 的某一邻域内能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数()y x f y ,=，他 满足条件()000,y x f z =，并且z x F F x z -=∂∂ , zy F F y z-=∂∂说明：把()x f z =代入方程()0,,=z y x F 得()[]0,,,≡y x f y x F两边关于x 求偏导数：0≡∂∂++x z F F F z y x ，所以zx F F x z-=∂∂； 同理可得：zy F F y z-=∂∂。

隐函数求导法则公式
隐函数求导是微积分中的重要内容，它通过已知方程中的一些变
量关系，求出未知变量的导数。

在数学中，隐函数是一种函数，它的
自变量和因变量在方程中没有被以显式的方式表示。

在一些情况下，
我们可以通过隐函数求导法则来求出方程中的隐函数的导数，从而更
好地理解这个函数的变化规律。

隐函数求导法则是根据隐函数存在的假设来推导的。

这个假设是：在给定一定的条件下 (比如说连续性和可微性)，一个方程可以被看作
是具有隐函数的形式的。

然后，通过对这个隐函数进行求导，我们就
可以得到对应的导数。

隐函数求导法则有如下公式：
设有一个函数系统 F(x, y) = 0。

如果在它的一个点 M(x0, y0) 处：
(1) ∂F/∂y 不等于 0，则可以得到隐函数 y = f(x)，它在 M 点的导数为：
f’(x0) = - ∂F/∂x / ∂F/∂y。

(2) ∂F/∂x 不等于 0，则可以得到隐函数 x = g(y)，它在 M 点的导数为：
g’(y0) = - ∂F/∂y / ∂F/∂x。

以上两个公式的证明可以根据链式法则来得出。

在实际运用中，我们需要先找出方程中的隐函数，然后根据对应的公式来求导。

隐函数求导法则的应用非常广泛，它可以用于建立经济模型、物理模型和工程模型等。

同时，在生活中也有很多应用，比如考虑体重损失和增加之间的关系，我们可以通过隐函数的求导来推导出身体质量的变化规律。

总之，隐函数求导法则是微积分中的重要内容，它能够帮助我们更好地掌握函数的变化规律。

我们需要掌握公式的推导和应用，并将其应用到实际生活中。

隐函数求导公式隐函数求导是数学分析学中十分重要的一个内容，它是指求取拓展又称多元函数在任意变量上导数的过程。

隐函数求导公式是数学分析学课程中经常提及的一个概念，它用来解释多元函数在任意变量上的导数，是多元函数求导学习中必不可少的。

隐函数求导公式是一类多元函数求导方法，可以有效地计算多元函数在任意变量上的导数。

它是由哥本哈根大学教授L.C.Young于1896年提出的，由此可以看出，隐函数求导的概念具有很长的历史。

隐函数求导的方法一共有四种：基本公式、偏导数法、极限法和高等切线法。

以下是基本隐函数求导公式：设y=f(x1,x2,...,xn)，则其在任意变量xk上的导数为：(y)/(xk)=(f(x1,x2,...,xn))/(xk)=f/xk由此可见，导数的运算规则极其简单：先对所有的变量求偏导数，即把其它变量看做常数，再把求出的偏导数累加起来，便可得到在任意变量上的导数。

这就是隐函数求导的基本原理。

除此之外，偏导数法是求取隐函数导数的重要方法之一。

它的思想是：假设其它变量都为常数，关于一个变量求取其偏导数，使用应用问题可以更加具体地解释偏导数的概念和意义。

例如，设y=x^2+2x，求x的偏导数：(y)/(x)=(x^2+2x)/(x)=2x+2从这里可以看出，偏导数即可以描述函数在某一特定点处的性质，也可以表示函数在任意点上的变化率。

极限法是另外一种重要的求取隐函数导数的方法。

它的意思是：把不同变量的变化率的极限纳入计算，从而得到在任意变量上的导数。

极限法的应用范围并不局限于求取隐函数导数，同样也能用来求取某一函数的极限。

例如：设f(x)=x^2+2x，求lim(x→1) f(x)lim(x→1) f(x)=lim(x→1) (x^2+2x)=1+2=3最后，高等切线法是一种求取隐函数导数的高等数学方法，它是由柯西公式发展而来的。

柯西公式是一种将变量从函数定义域扩展到实数域的一种切线法，其中每条切线也就是一个变量与另一变量的函数，而柯西公式的核心就是求取函数在其变量上的导数。