谓词逻辑表示法
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一阶谓词逻辑知识表示法的特点
一阶谓词逻辑知识表示法的特点一阶谓词逻辑（First-Order Predicate Logic，FOL）是一种用于表示和推理自然语言中的语义的形式系统。
它是一种基于一阶谓词演算的形式化表示方法，用于描述一阶谓词逻辑知识。
一阶谓词逻辑的特点主要有以下几个方面：1. 表达能力强大：一阶谓词逻辑可以用于描述各种复杂的逻辑关系和语义关系。
它可以表示命题之间的逻辑关系，如蕴含、等价、否定等；还可以表示个体之间的关系，如属于、包含等；同时还可以表示关系之间的关系，如函数、谓词等。
这使得一阶谓词逻辑成为一种广泛应用于知识表示和推理的形式系统。
2. 语义明确：一阶谓词逻辑使用了一些严格的语法规则和语义定义，使得其表示的逻辑关系具有明确的语义。
一阶谓词逻辑中的每个谓词都有一个确定的解释域，谓词的真值可以用这个解释域中的元素来确定。
通过一阶谓词逻辑的语法和语义规则，可以对谓词的真值进行推理和计算。
3. 变量和量词：一阶谓词逻辑引入了变量和量词的概念，这使得可以对一些不确定的个体进行量化和描述。
变量可以代表任意个体，量词可以对变量进行约束和限定。
通过使用变量和量词，可以方便地表示一些普遍性的命题和关系，从而更好地进行推理和计算。
4. 形式化表示：一阶谓词逻辑是一种形式系统，其语法和语义规则都比较严格。
它使用一些符号和公式来表示逻辑关系，这些符号和公式具有统一的数学表示形式，便于计算机处理和推理。
一阶谓词逻辑的形式化表示使得可以对其中的逻辑关系进行形式化的推理和计算，从而可以进行更加准确和严格的逻辑推理。
5. 可扩展性强：一阶谓词逻辑是一种通用的逻辑表示方法，具有很强的可扩展性。
通过引入新的符号和公式，可以扩展一阶谓词逻辑的表达能力，使其能够表示更加复杂的逻辑关系和语义关系。
这使得一阶谓词逻辑成为一种非常灵活和强大的知识表示和推理工具。
在这些特点的基础上，一阶谓词逻辑可以用于表示和推理各种复杂的逻辑关系和语义关系。
它可以应用于自然语言处理、人工智能、知识图谱等领域，用于表示和处理各种形式的知识和信息。
一阶谓词表示法,产生表示法,框架表示法的区别和认识
一阶谓词表示法，产生表示法，框架表示法的区别和认识一阶谓词逻辑表示法、产生式表示法和框架表示法是人工智能领域中三种不同的知识表示方法，各自具有独特的特点和适用场景：1. **一阶谓词逻辑表示法**：- 一阶谓词逻辑是一种形式化的数学逻辑系统，它通过谓词（描述对象属性或关系的符号）、函数、个体变元、量词（如“所有”、“存在”）等构造出逻辑公式来表达复杂知识。
- 它可以精确地描述对象的属性、状态以及对象之间的各种关系，并支持推理，比如演绎推理和模型检测。
- 知识以逻辑公式的形式存储，例如 `∀x (Person(x) ∧ Loves(x, y)) → Human(y)` 表示“所有人爱的人都必然是人”。
2. **产生式表示法**：- 产生式规则是一种“如果-则”形式的知识表示方式，通常用于描述条件-动作的关系，或者因果关系链。
- 每个产生式由前提条件（左部）和结论（右部）组成，如 `If A and B then C`，即当前提条件A和B满足时，则可以推导出结论C。
- 在AI系统中，如早期的专家系统，产生式规则被广泛应用于推理和决策过程，例如 `If 温度> 30°C and 湿度 > 80% then 建议开启空调`。
3. **框架表示法（Frame Representation）**：- 框架是一种结构化的知识表示方法，它模仿人类认知中的情境框架或心理模型，将相关知识组织成一个整体。
- 框架包含一组槽（slot），每个槽代表一个特定的概念属性或组成部分，槽可以有默认值或具体值，也可以为空，等待填充。
- 框架间的联系可以通过继承、特化或实例化等方式实现。
例如，在一个“房子”框架中，可能包含槽“位置”、“大小”、“房主”等，而对具体的某一栋房子，这些槽会有具体的内容填充。
总结来说，一阶谓词逻辑表示法适合于精确逻辑推理和形式化证明；产生式表示法则适用于问题解决和基于规则的决策系统，尤其在处理明确因果关系时；框架表示法则更加灵活和直观，更接近人类日常思维模式，适合表达复杂概念间层次化、关联性的知识。
第2章(知识表示方法3-谓词逻辑)
命题变元：用符号P、Q等表示的不具有固定、具
体含义的命题。它可以表示具有“真”、“假”含
义的各种命题。
命题变元可以利用联结词构成所谓的合适公式。
2013-3-10
合适公式的定义 ①若P为原子命题，则P为合适公式，称为原子公
式。
②若P是合适公式，则～P也是一个合适公式。
2013-3-10
③若P和Q是合适公式，则P∧Q、 P∨Q 、PQ 、 PQ都是合适公式。 ④经过有限次使用规则1、2、3，得到的由原子公 式、联结词和圆括号所组成的符号串，也是合适 公式。
2013-3-10
④分配律 P∧(Q∨R) 等价于 (P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R) 等价于 (P∨Q)∧(P∨R)
⑤交换律
P∧Q 等价于 Q∧P P∨Q 等价于 Q∨P
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⑥结合律
(P∧Q)∧R 等价于 P∧(Q∧R) (P∨Q)∨R 等价于 P∨(Q∨R) ⑦逆否律 PQ 等价于 ～Q～P
2013-3-10
谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。它将一个原
子命题分解成客体和谓词两个组成部分。 例如： 雪 是黑的
客体
谓词
本课程主要介绍一阶谓词逻辑。
2013-3-10
2.3.1 谓词演算
1、语法与语义
谓词逻辑的基本组成部分
谓词 变量 函数 常量 圆括号、方括号、花括号和逗号
2013-3-10
（谓词）合适公式 的（递归）定义：
①原子（谓词）公式是合适公式。
②若 A 是合适公式，则 ～A 也是合适公式。 ③若 A 和 B 是合适公式，则 A∧B 、A∨B 、 AB 、AB 也是合适公式。
2013-3-10
④若 A 是合适公式， x 为 A 的自由变元（变量），
一阶谓词逻辑表示法
人工智能一阶谓词逻辑表示法一阶谓词逻辑表示法是一种重要的知识表示方法，它以数理逻辑为基础，是到目前为止能够表达人类思维活动规律的一种最精准形式语言。
它与人类的自然语言比较接近，又可方便存储到计算机中去，并被计算机进行精确处理。
因此，它是一种最早应用于人工智能中的表示方法。
1，知识的谓词逻辑表示法人类的一条知识一般可以由具有完整意义的一句话或几句话表示出来，而这些知识要用谓词逻辑表示出来，一般是一个谓词公式。
所谓谓词公式就是用谓词联接符号将一些谓词联接起来所形成的公式。
用谓词公式既可以表示事物的状态、属性和概念等事实性的知识，也可以表示事物间具有确定因果关系的规则性知识。
对事实性知识，谓词逻辑的表示法通常是由以合取符号（∧）和析取符号（∨）联接形成的谓词公式来表示。
例如，对事实性知识“张三是学生，李四也是学生”，可以表示为：ISSTUDENT（张三）∧ ISSTUDENT（李四）这里，ISSTUDENT（x）是一个谓词，表示x是学生；对规则性知识，谓词逻辑表示法通常由以蕴涵符号（→）联接形成的谓词公式（即蕴涵式）来表示。
例如，对于规则：如果x，则y可以用下列的谓词公式进行表示：x→y一阶谓词逻辑2，用谓词公式表示知识的步骤由上述介绍可知，可以用以合取符号（∧）和析取符号（∨）联接形成的谓词公式表示事实件知识，也可以用蕴涵符号（→）联接形成的谓词公式表示规则性知识。
下面是用谓词公式表示知识的步骤。
①定义谓词及个体，确定每个谓词及个体的确切含义。
②根据所要表达的事物或概念，为每个谓词中的变。
③根据所要表达的知识的语义，用适当的联接符号将各个谓词联接起来，形成谓词公式。
一阶逻辑字母表3，谓词公式表示知识的举例设有下列事实性知识：张晓辉是一名计算系的学生，但他不喜欢编程序。
李晓鹏比他父亲长得高。
请用谓词公式表示这些知识。
解：按照表示知识的步骤，用谓词公式表示上述知识。
首先定义谓词如下：COMPUTER（x）：x是计算机系的学生。
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
2.2--谓词逻辑表示法
2013-7-9源自智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
7. 谓词逻辑表示知识的举例
例1：用谓词逻辑表示下列知识： 武汉是一个美丽的城市，但她不是一个沿海城市。 如果马亮是男孩，张红是女孩，则马亮比张红长得 高。 解：按照知识表示步骤，用谓词公式表示上述知识。 第一步：定义谓词如下： BCity(x)：x是一个美丽的城市 HCity(x)：x是一个沿海城市 Boy(x):x是男孩 Girl(x):x是女孩 High(x,y):x比y长得高
标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n 元谓词符号集、量词
·谓词演算
合法表达式 (原子公式、合式公式)， 表达式的演算化简方法，标准式 (合取 的前束范式或析取的前束范式)
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
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人工智能
·语法元素
常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和 后面跟着的x叫做量词的指导变元。
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
15
人工智能
2 基本概念
函数符号与谓词符号 · 若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f
为n元函数符号。 若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为 n元谓词符号。 如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二 元谓词. 一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓 词表达了个体之间的关系.
2013-7-9
智能信息处理联合实验室制作
8
人工智能
注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
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人工智能
7. 谓词逻辑表示知识的举例
例1：用谓词逻辑表示下列知识： 武汉是一个美丽的城市，但她不是一个沿海城市。 如果马亮是男孩，张红是女孩，则马亮比张红长得 高。 解：按照知识表示步骤，用谓词公式表示上述知识。 第一步：定义谓词如下： BCity(x)：x是一个美丽的城市 HCity(x)：x是一个沿海城市 Boy(x):x是男孩 Girl(x):x是女孩 High(x,y):x比y长得高
标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n 元谓词符号集、量词
·谓词演算
合法表达式 (原子公式、合式公式)， 表达式的演算化简方法，标准式 (合取 的前束范式或析取的前束范式)
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·语法元素
常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和 后面跟着的x叫做量词的指导变元。
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2 基本概念
函数符号与谓词符号 · 若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f
为n元函数符号。 若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为 n元谓词符号。 如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二 元谓词. 一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓 词表达了个体之间的关系.
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注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
知识的逻辑表示法
知识的逻辑表示法
知识的逻辑表示法是指用逻辑符号、公式、规则或图表等形式来表达知识。
逻辑表示法主要包括命题逻辑、谓词逻辑、产生式规则、语义网络和本体论等。
命题逻辑是用命题符号表示陈述句或命题，通过逻辑运算符号（如“与”、“或”、“非”等）来表示命题之间的逻辑关系。
例如，用P表示“今天是晴天”，Q表示“明天下雨”，可以表示为
P∧Q，表示“今天是晴天且明天下雨”。
谓词逻辑是在命题逻辑的基础上引入了变量和谓词符号，可以更加精确地描述命题之间的关系。
例如，用P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x是老师”，可以表示为∃x(P(x)∧Q(x))，表示“存在
一个人是老师”。
产生式规则是一种基于条件的规则形式，描述了一种事实或情况下的推理关系。
它由前提和结论组成，当满足前提时，可以推导出结论。
例如，如果有一个规则“如果今天是周末，那么
我会去看电影”，当今天是周末时，就可以推导出“我会去看电影”。
语义网络是用节点和边来表示知识之间的关系的一种图形化表示方法。
节点表示实体或概念，边表示实体或概念之间的关系。
例如，用节点A表示“狗”，节点B表示“动物”，边AB表示“狗是一种动物”。
本体论是一种用于表示领域知识的形式化方法，把知识表示为
概念、属性和关系的集合，并定义了它们之间的关系和约束。
本体论可以用来进行推理、查询和推断等操作。
例如，用本体表示“人是一个类，具有姓名和年龄等属性，有父母和子女等关系”。
这些表示方法可以单独或结合使用，根据具体的应用领域和目标来选择适合的表示方法。
人工智能_2知识表示_谓词逻辑产生式表示法
自然数都是大于零的整数 所有整数不是偶数就是奇数 偶数除以2是整数
首先定义谓词如下：
n(x):x是自然数 I(x):x是整数 E(x):x是偶数 O(x):x是奇数 GZ(x):x大于零
另外用函数S(x)表示x除以2.此时，上述知识可用谓词公式分别表示为：
(x)（n(x)=>GZ(x)∧I(x)） (x) (I(x)=>E(x) ∨ O(x)) (x) (E(x)=>I(s(x))
人工智能及其应用
知识表示 之
谓词逻辑/产生式表示
2020/2/25
1
知识的表示方法
▪ 状态空间法 ▪ 问题归约法
▪ 谓词逻辑法
▪ 语义网络法 ▪ 框架表示法 ▪ 面向对象表示 ▪ 剧本(script)表示 ▪ 过程(procedure)表示
2020/2/25
2
2.3 谓词逻辑（predicate logic）法
31
合一
▪ 例2：表达式集 {P[x,f（y），B]，P[x，f （B），B]}的合一者为
因为
s={A/x，B/y}
P[x，f（y），B]s= P[x，f（B），B]s =P[A，f（B），B]
2020/2/25
32
如果s是的任一合一者，有存在某个s'，使得
{Ei}s={Ei}σs' 成立,则称σ为的最通用(最一般)的合一者, 记为mgu. 如上例s是的一个合一者，但不是最简单的 合一者，其最简单的合一者为
2020/2/25
29
▪ 2.置换性质 可结合律 (LS1)S2=L(S1S2)
(S1S2)S3=S1(S2S3)
▪ 置换是可结合的。用s1s2表示两个置换s1和s2的 合成。L表示一表达式，则有 (Ls1)s2=L(s1s2)
首先定义谓词如下：
n(x):x是自然数 I(x):x是整数 E(x):x是偶数 O(x):x是奇数 GZ(x):x大于零
另外用函数S(x)表示x除以2.此时，上述知识可用谓词公式分别表示为：
(x)（n(x)=>GZ(x)∧I(x)） (x) (I(x)=>E(x) ∨ O(x)) (x) (E(x)=>I(s(x))
人工智能及其应用
知识表示 之
谓词逻辑/产生式表示
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1
知识的表示方法
▪ 状态空间法 ▪ 问题归约法
▪ 谓词逻辑法
▪ 语义网络法 ▪ 框架表示法 ▪ 面向对象表示 ▪ 剧本(script)表示 ▪ 过程(procedure)表示
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2
2.3 谓词逻辑（predicate logic）法
31
合一
▪ 例2：表达式集 {P[x,f（y），B]，P[x，f （B），B]}的合一者为
因为
s={A/x，B/y}
P[x，f（y），B]s= P[x，f（B），B]s =P[A，f（B），B]
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如果s是的任一合一者，有存在某个s'，使得
{Ei}s={Ei}σs' 成立,则称σ为的最通用(最一般)的合一者, 记为mgu. 如上例s是的一个合一者，但不是最简单的 合一者，其最简单的合一者为
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▪ 2.置换性质 可结合律 (LS1)S2=L(S1S2)
(S1S2)S3=S1(S2S3)
▪ 置换是可结合的。用s1s2表示两个置换s1和s2的 合成。L表示一表达式，则有 (Ls1)s2=L(s1s2)
谓词逻辑表示法
谓词逻辑表示法谓词逻辑表示法是把一些知识表示为经典逻辑中的谓词表示式。
它只好表示出精准的知识，而对不确立的知识没法有效表示，同时这类表示方式也不可以很好地表现知识的内在联系。
在进行教课时，第一需要经过实例让学生认识什么是命题和命题公式，什么是谓词和谓词公式，而后用实例来剖析解说将知识表示为谓词公式的过程：1）定义谓词和个体例：王先生是李文的老师。
第一定义谓词：TEACHER(X,Y):X是Y的老师，尔后定义个体：王先生(Wang) ，李文（ LiWen ）；2）为每个谓词中的变元赋以特定的值：TEACHER(Wang,LiWen)；3）依据所要表达的知识语义，以适合的连结词和量词符号将各个谓词连结起来，获得知识的谓词公式：TEACHER(Wang,LiWen)。
在理解连结词∧ ( 逻辑与 ) 、∨（逻辑或）、┐（逻辑非）时能够参照我们平常的语言中的“而且” 、“或许”、“不”，对 P→ Q的理解能够参照┐ P∨ Q。
在此节只需修业生对谓词表示法有认识，命题的证明等内容不做要求，能够将有关内容放在协助教课网站的拓展篇，以知足不一样学生的需求。
在教课中除了书籍中介绍的例子以外，还能够使用以下例子。
例 1：用谓词逻辑和公式表达境界。
剖析以下命题和谓词逻辑，并尽可能正确表达它的含义：（1）蓝的（天）∧飘（白云）∧奔跑（马儿）∧翱翔歌唱（鸟儿）；答：这是一个由“与” 关系连结起来的谓词逻辑公式，它表达了一种大自然的景观：蓝色的天上白云飘飘，马儿在奔跑，鸟儿在翱翔歌唱。
（2）( x){ 好姑娘（x）∧居住的地方(z,x)∧遥远的(z)∧ (y)[人 (y)∧行走经过 (y,z)→回头迷恋地观望(y)]}答：这是一个既有谓词表示，又有命题逻辑表达，既有连结词，又有全称量词和存在量词的较复杂的谓词公式，它表达的意思是：在那遥远的地方，有位好姑娘，人们经过她的身边，都要回头迷恋地观望。
这就是青海民歌《在那遥远的地方》（王洛宾词曲）中的境界。
一阶谓词逻辑表示法的优缺点
一阶谓词逻辑表示法的优缺点一阶谓词逻辑表示法（First-Order Predicate Logic，简称FOL）是一种基于谓词和量词的逻辑形式，用于描述和推理自然语言中的语义关系。
它是一种形式化的逻辑表达方式，常用于人工智能、自然语言处理和知识表示等领域。
让我们来看一下一阶谓词逻辑表示法的优点。
其主要优势包括：1. 精确性：一阶谓词逻辑能够精确地描述事实和关系，避免了自然语言表达中的模糊性和歧义性。
通过使用量词和谓词，可以准确地表达存在、全称和特殊关系等概念。
2. 推理能力：一阶谓词逻辑提供了一套严密的推理规则，使得可以基于已知的事实和规则进行逻辑推理和推断。
这种能力使得FOL在人工智能领域的应用中非常重要，如专家系统、自动定理证明等。
3. 可扩展性：一阶谓词逻辑允许定义新的谓词和函数符号，从而能够灵活地扩展其表达能力。
这使得FOL可以适应不同领域的知识表示需求，并能够表示更复杂的语义关系。
然而，一阶谓词逻辑表示法也存在一些不足之处：1. 复杂性：一阶谓词逻辑的语法和语义规则相对复杂，需要一定的数学和逻辑知识才能理解和使用。
这使得使用FOL的门槛相对较高，限制了其在一般用户和普通应用中的使用。
2. 知识获取难度：将自然语言的知识转换为一阶谓词逻辑表示形式需要耗费大量的人力和时间。
人工编写和维护FOL知识库是一项繁重的任务，尤其是对于大规模和复杂的领域知识表示而言。
3. 不完备性：一阶谓词逻辑无法完全捕捉自然语言中的所有复杂语义关系。
一些语义现象，如歧义、隐含和推理的不确定性等，在FOL中往往难以准确地表示。
总的来说，一阶谓词逻辑表示法在精确性、推理能力和可扩展性等方面具有显著优势。
然而，其复杂性、知识获取难度和不完备性也限制了其在实际应用中的广泛使用。
因此，在使用一阶谓词逻辑表示法时，需要权衡其优缺点，并根据具体应用场景选择合适的知识表示方法。
总结起来，一阶谓词逻辑表示法是一种强大的知识表示工具，具有精确性、推理能力和可扩展性等优势。
离散数学第2章 谓词逻辑
例4：某些人对某些食物过敏。 设F(x,y)：x对y过敏。 M(x)：x是人。 G(y)：y是食物。 (x) (y) (M(x) ∧ G(y) ∧ F(x,y))
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
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§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
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§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
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第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
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§2 命题函数与量词
知识表示之一——谓词逻辑表示法
知识表⽰之⼀——谓词逻辑表⽰法 谓词逻辑表⽰法是指各种基于形式逻辑（formal Logic）的知识表⽰⽅式，利⽤逻辑公式描述对象、性质、状况和关系，例如“宇宙飞船在轨道上”可以描述成：In(spaceship,orbit)。
它是⼈⼯智能领域中使⽤最早和最⼴泛的知识表⽰⽅法之⼀。
其根本⽬的在于把教学中的逻辑论证符号化，能够采⽤属性演绎的⽅法，证明⼀个新语句是从哪⾥已知正确的语句推导出来的，那么也就能够断定这个新语句也是正确的。
在这种⽅法中，知识库可以看成⼀组逻辑公式的集合，知识库的修改是增加或删除逻辑公式。
使⽤逻辑法表⽰知识，需要将以⾃然语⾔描述的知识通过引⼊谓词、函数来加以形式描述，获得有关的逻辑公式，进⽽以机器内部代码表⽰。
在逻辑法表⽰下可采⽤归结法或其它⽅法进⾏准确的推理。
谓词逻辑表⽰法建⽴在形式逻辑的基础上，具有下列优点：谓词逻辑表⽰法对如何由简单说明构造复杂事物的⽅法有明确、统⼀的规定，并且有效地分离了知识和处理知识的程序，结构清晰；谓词逻辑与数据库，特别是与关系数据库有密切的关系；⼀阶谓词逻辑具有完备的逻辑推理算法；逻辑推理可以保证知识库中新旧知识在逻辑上的⼀致性和演绎所得结论的正确性；逻辑推理作为⼀种形式推理⽅法，不依赖于任何具体领域，具有较⼤的通⽤性。
但是，谓词逻辑表⽰法也存在着下列缺点：难于表⽰过程和启发式知识；由于缺乏组织原则，使得知识库难于管理；由于弱证明过程，当事实的数⽬增⼤时，在证明过程中可能产⽣组合爆炸；表⽰的内容与推理过程的分离，推理按形式逻辑进⾏，内容所包含的⼤量信息被抛弃，这样使得处理过程加长、⼯作效率低。
谓词逻辑适合表⽰事物的状态、属性、概念等事实性的知识，以及事物间确定的因果关系，但是不能表⽰不确定性的知识，以及推理效率很低。
4.2-一阶谓词逻辑表示
谓词的真值是T和F，函数的值（无真值）是D中的元素
谓词可独立存在，函数只能作为谓词的个体
一阶谓词逻辑表示的逻辑基础
连词：
连词
¬ ： “非”或者“否定”。表示对其后面的命题的否定
∨ ：“析取”。表示所连结的两个命题之间具有“或”的关系
∧：“合取”。 表示所连结的两个命题之间具有“与”的关系。
Dn {( x1, x2 , , xn ) | x1, x2 , , xn D}
则称P是一个n元谓词，记为P(x1,x2,…,xn)，其中，x1,x2,…,xn为个体，可 以是个体常量、变元和函数。
例如：GREATER(x,6)
x大于6
TEACHER(father(Wang Hong)) 王宏的父亲是一位教师
R(x，y)中的x和所有的y都是自由变元
变元的换名：
谓词公式中的变元可以换名。但需注意：
第一：对约束变元，必须把同名的约束变元都统一换成另外一个相同的名
字，且不能与辖域内的自由变元同名。
例，对( xP(x，y))，可把约束变元x换成z，得到公式( z)P(z，y)。 第二：对辖域内的自由变元，不能改成与约束变元相同的名字。
(3) 若A,B是合式公式，则A∨B，A∧B，A→B，A↔B也都是合式公式；
(4) 若A是合式公式，x是项，则( x)A(x)和( x)A(x)都是合式公式。 例如，¬P(x,y)∨Q(y)，( x)(A(x)→B(x))，都是合式公式。
连词的优先级
¬,∧,∨→,↔
一阶谓词逻辑表示的逻辑基础
谓词逻辑表示的应用(例1）
机器人移盒子问题(3/7)
描述操作的谓词
条件部分：用来说明执行该操作必须具备的先决条件
可用谓词公式来表示
第二章谓词逻辑法
3 谓词演算 predicate calculus
3.1 语法和符号 syntax and notation 3.2 连词 conjunctions 3.3 量词 quantifiers
谓词
谓词
在谓词逻辑中，命题是用形如P(x1,x2,…,xn)的谓词来表 述的。一个谓词可分为谓词名与个体两个部分
3.1.2 原子公式（atomic formulas)
谓词公式
原子谓词公式：
是由谓词符号和若干项组成的谓词演算。 若t1,t2,…,tn是项，P是谓词，则称P(t1,t2,…,tn)为原子 谓词公式。
分子谓词公式：
可以用连词把原子谓词公式组成复合谓词公式，并 把它叫做分子谓词公式。
3.1.2 原子公式（atomic formulas)
只有当其对应的语句在定义域内为真时，才具 有值T(真)；而当其对应的语句在定义域内为假 时，该原子公式才具有值F(假)。
“老张是一个教师”：一元谓词 Teacher (Zhang) “机器人在1号房间中” ：INRoom(Robot,r1). “Smith作为一个工程师为IBM工作”： 三元谓词 Works (Smith, IBM, engineer)
谓词
谓词
在n元谓词 P(x1,x2,…,xn)中，若每个个体均为常量、变 元或函数，则称它为一阶谓词。 如果某个个体本身又是一个一阶谓词，则称它为二阶 谓词，如此类推。 个体变元的取值范围称为个体域。个体域可以是有限 的，也可以是无限的。例如用I（x）表示“x是整数” ，则个体域为所有整数，是无限的。 谓词与函数不同，谓词的真值是”T“或”F“，而函数 的值是个体域中的一个个体，无真值可言。
例如：（ x ) INROOM(x,r1) （1号房间内有个物体）
谓词逻辑表示法的举例
谓词逻辑表示法的举例谓词逻辑表示法是一种符号逻辑表示法，它是用来描述论述中陈述的关系和命题。
简而言之，谓词逻辑就是需要用到谓词的逻辑。
谓词是指在命题中可以用来刻画对象或主语属性特征的一种语言成分。
谓词逻辑非常适用于在大量数据和信息集合中推理、分类和描述数据特征。
在本文中，我们将通过几个举例来展示谓词逻辑的表示能力和优越性。
举例一：家族关系假设我们有三个人，一个爷爷（Grandfather）、一位父亲(Father)和一个儿子(Son)。
然后我们就可以把他们的关系表现为：GrandFarther(GF) ----- Father(F) | | | --- Son(S)通过谓词逻辑公式表示为：GrandFarther(GF) - Son(S)其中，- 表示“拥有“或者”儿子“, GF 表示爷爷，F 表示父亲，S 表示儿子。
这个谓词逻辑公式基本上就代表了这个家族的结构和关系，可以方便地实现数据建模和分类。
举例二：环境保护假设现在有两个动物，一个是乌龟(Turtle)，一个是袋鼠(Kangaroo)。
然后我们想要描述它们和环境的关系，可以表示为：Turtle(T) --- LivesIn(LI) --- WaterEnv(W) | --- LandEnv(LE)Kangaroo (K) --- LivesIn (LI) --- LandEnv (LE) 这组谓词逻辑公式表示表明乌龟生活在水环境中，而袋鼠生活在陆地环境中。
这样的结构是非常重要的，因为它给我们提供了更多的信息和描述性，这可以用来分类和描述这两个动物。
举例三：人物关系网络假设现在有四个人物，分别是John、Mary、Tom和Kevin。
他们之间的关系为：John(J) -----SisterOf (SO) ---- Mary(M) | FatherOf(FO) -- Tom(T) -- FriendOf(FO) -- Kevin(K)通过谓词逻辑公式可以表示为：SisterOf(SO) (Mary, John) FatherOf(FO) (Tom,John) FriendOf(FF) (Tom, Kevin)这个公式可以很好地描述这个人物网络之间的联系和关系，对于人物分析和推理非常有用。
02_知识表示_30谓词逻辑产生式表示法
2013-8-6 11
析取联结词
定义3：设p,q为二命题，复合命题“p或 q”称作p和q的析取式，记做p∨ q， ∨ 为析取联结词， p∨q为真当且仅当p和q 中至少有一个为真
p:李平聪明 q:李平用功 p∨q：李平聪明或者用功 p∨¬q：李平聪明或者不用功
2013-8-6 12
蕴涵联结词
仅有有限个简单析取式构成的合取式称为合取 范式 A=A1∧A2∧…∧An 其中A1，A2，…，An为简单析取式 例子： A=(¬p∨q∨r)∧(¬p∨q)∧(q∨¬q)
任何公式都有与其对应的合取范式
2013-8-6 32
化成合取范式的步骤
1. 消去对{¬，∧，∨}来说冗余的联结词 2. 否定联结词的消除或内移 3. 利用分配率
命题逻辑 谓词逻辑
证明论 公理集合论 递归论 2013-8-6 模型论
2
提纲
命题逻辑:客观世界的各种事实 一阶谓词逻辑：逻辑论证的符
号化，能够表示复杂的问题（具有 较强的表达能力）
2013-8-6
3
用形式逻辑（尤其是一阶谓词逻辑）表示知识是 AI 研究中提出使用的一种普遍方法。
人工智能学科体系
人工智能学科体系的层次
人工智能理论基础
数学基础:数理逻辑，计算的数学理论，离散数学,模糊数学 思维科学理论:认知心理学,逻辑或抽象思维学,形象或直感思维学 计算机工程技术:硬件,软件技术
人工智能原理
知识的表达,知识的处理,知识的获取与学习,利用知识求解问题
2013-8-6
24
逻辑等值式
2013-8-6
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逻辑等值式
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逻辑等值式
析取联结词
定义3：设p,q为二命题，复合命题“p或 q”称作p和q的析取式，记做p∨ q， ∨ 为析取联结词， p∨q为真当且仅当p和q 中至少有一个为真
p:李平聪明 q:李平用功 p∨q：李平聪明或者用功 p∨¬q：李平聪明或者不用功
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蕴涵联结词
仅有有限个简单析取式构成的合取式称为合取 范式 A=A1∧A2∧…∧An 其中A1，A2，…，An为简单析取式 例子： A=(¬p∨q∨r)∧(¬p∨q)∧(q∨¬q)
任何公式都有与其对应的合取范式
2013-8-6 32
化成合取范式的步骤
1. 消去对{¬，∧，∨}来说冗余的联结词 2. 否定联结词的消除或内移 3. 利用分配率
命题逻辑 谓词逻辑
证明论 公理集合论 递归论 2013-8-6 模型论
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提纲
命题逻辑:客观世界的各种事实 一阶谓词逻辑：逻辑论证的符
号化，能够表示复杂的问题（具有 较强的表达能力）
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用形式逻辑（尤其是一阶谓词逻辑）表示知识是 AI 研究中提出使用的一种普遍方法。
人工智能学科体系
人工智能学科体系的层次
人工智能理论基础
数学基础:数理逻辑，计算的数学理论，离散数学,模糊数学 思维科学理论:认知心理学,逻辑或抽象思维学,形象或直感思维学 计算机工程技术:硬件,软件技术
人工智能原理
知识的表达,知识的处理,知识的获取与学习,利用知识求解问题
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逻辑等值式
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逻辑等值式
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逻辑等值式
2.2--谓词逻辑表示法
注意：
谓词逻辑可以由原子和 5 种逻辑连接词，再加 上量词来构造复杂的符号表达式。这就是所谓的谓 词逻辑中的公式。
2014-3-2
中国矿业大学 计算机科学与技术学院
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人工智能
一阶谓词逻辑的合式公式（可简称公式）可递 归定义如下：
(1)原子谓词公式是合式公式 (也称为原子公式)。
(2) 若 P、Q 是合式公式，则(┐ P)、(P∧Q)、(P∨Q)、 (P→Q)、(P←→ Q)也是合式公式。ຫໍສະໝຸດ 2014-3-28
人工智能
注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
中国矿业大学 计算机科学与技术学院
2014-3-2
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人工智能
4.语法
命题逻辑的符号包括以下几种：
值得注意的是：
一个谓词公式在其个体域上的解释不是唯一的。 例如，对公式G，若给出另一组真值指派如下：
中国矿业大学 计算机科学与技术学院
2014-3-2
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人工智能
P(1,1)
P(1,2)
P(2,1)
P(2,2)
T
T
F
F
这也是公式G在D上的一个解释。从这个解释可以看出： 当x=1,y=1时,P(x,y)的真值为T; 当x=2,y=1时,P(x,y)的真值也为F; 同样 当x=1,y=2时,P(x,y)的真值为T; 当x=2,y=2时,P(x,y)的真值也为F;
2014-3-2
中国矿业大学 计算机科学与技术学院
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人工智能
谓词逻辑
谓词逻辑：根据对象和对象上的谓词 （即对象的属性和对象之间的关系），通过 使用连接词和量词来表示世界。
一阶谓词逻辑知识表示法的适用范围
在逻辑学和计算机科学领域，一阶谓词逻辑是一种强大的知识表示工具，其适用范围非常广泛。
它不仅可以用于形式化表达自然语言中的陈述，还能够应用于数学、哲学、人工智能等领域，具有重要的理论和实践意义。
一阶谓词逻辑可以用于形式化表达自然语言中的陈述。
在日常生活中，我们经常需要描述各种事物之间的关系和属性，比如“所有人都有父母”、“某些动物会飞”等。
而这些陈述往往存在歧义性和不确定性，无法直接应用于计算机程序或推理系统中。
一阶谓词逻辑通过引入个体、谓词和量词等形式化的语言元素，能够准确地描述事物之间的关系和属性，从而为自然语言的理解和推理提供了重要的基础。
一阶谓词逻辑在数学和哲学领域也有着广泛的应用。
在数学中，一阶谓词逻辑可以用于形式化数学理论和证明过程，帮助数学家们准确地表达和推导数学定理，从而推动了数学的发展。
在哲学中，一阶谓词逻辑被广泛应用于形式化哲学理论和思想体系，帮助哲学家们深入分析和推理各种哲学问题，为哲学研究提供了重要的逻辑基础。
一阶谓词逻辑在人工智能领域也发挥着重要作用。
人工智能系统需要理解和推理自然语言中的各种陈述，而一阶谓词逻辑提供了一种形式化的知识表示和推理方式，为人工智能系统的知识表示和推理能力提供了重要的支持。
一阶谓词逻辑是一种适用范围非常广泛的知识表示工具，它不仅可以用于形式化表达自然语言中的陈述，还能够应用于数学、哲学、人工智能等领域，具有重要的理论和实践意义。
在我看来，一阶谓词逻辑的广泛适用范围正是因为它具有强大的表达和推理能力。
它能够准确地描述事物之间的关系和属性，帮助人们理解和推理各种复杂的问题。
它也为不同领域的研究和应用提供了统一的逻辑基础，促进了知识的交叉和整合。
我认为掌握一阶谓词逻辑知识表示法对于进行深入的学习和研究是非常重要的。
一阶谓词逻辑知识表示法的适用范围非常广泛，它不仅可以用于形式化表达自然语言中的陈述，还能够应用于数学、哲学、人工智能等领域，具有重要的理论和实践意义。