2018-2019学年高中数学人教A版选修2-1学案：3.2 第3课时 空间向量与空间距离(选学)

第3课时 空间向量与空间距离(选学)

1.了解点到直线、平面距离的概念． 2.会用空间向量求点到直线、平面的距离．

[学生用书P69]

空间距离的向量求法

分类

向量求法

两点间的距离 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d＝|AB→|＝AB→·AB→＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2

点到平面的距离 设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝|BA→·n||n|

点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量AB→的长度．( )

(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．( )

(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

空间内有三点A(2，1，3)，B(0，2，5)，C(3，7，0)，则点B到AC的中点P的距离为( )

A.102 B．5

C.3102 D.35

答案：C

已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，则P(3，5，0)到l的距离为( )

A．5 B．14 C.145 D.45

答案：C

已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．

答案：5

探究点1 点到直线的距离[学生用书P70]

如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

【解】 因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，

所以直线A′C的方向向量A′C→＝(1，2，－3)．

又BC→＝(0，2，0)，

所以BC→在A′C→上的投影长为|BC→·A′C→||A′C→|＝414 .

所以点B到直线A′C的距离

d＝|BC→|2－BC→·A′C→|A′C→|2)＝ 4－1614

＝2357.

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)求直线的方向向量．

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长． (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．

解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则EF→＝(1，－2，1)，FA→＝(1，0，－2)．

|EF→|＝12＋（－2）2＋12＝6，

FA→·EF→＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，

FA→在EF→上的投影长为|FA→·EF→||EF→|＝16 .

所以点A到EF的距离

d＝|FA|2－162

＝296＝1746.

探究点2 点到平面的距离[学生用书P70]

如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离．

【解】

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，

E1，12，0，F12，1，0.

设DH⊥平面PEF，垂足为H，则

DH→＝xDE→＋yDF→＋zDP→

＝x＋12y，12x＋y，z，(x＋y＋z＝1)

PE→＝1，12，－1，PF→＝12，1，－1.

所以DH→·PE→＝x＋12y＋1212x＋y－z＝54x＋y－z＝0.

同理，DH→·PF→＝x＋54y－z＝0，

又x＋y＋z＝1，

所以可解得x＝y＝417，z＝917.

所以DH→＝317(2，2，3)．

所以|DH→|＝31717.

因此，点D到平面PEF的距离为31717.

(2)连接AC，设AH′⊥平面PEF，垂足为H′，则AH′→∥DH→，设AH′→＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ＞0)，则

EH′→＝EA→＋AH′→＝0，－12，0＋(2λ，2λ，3λ)

＝2λ，2λ－12，3λ.

所以AH′→·EH′→＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝117. 所以AH′→＝117(2，2，3)，|AH′→|＝1717，

又AC∥平面PEF，

所以AC到平面PEF的距离为1717.

用向量法求点面距的步骤

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．

(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．

(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP→，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．

(4)求距离d＝|AP→·n||n|.

如图所示，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为43，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．

解：设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，则AB1→＝(1，0，－h)，AD1→＝(0，1，－h)，AC→＝(1，1，0)，

设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·AB1→＝0，n·AD1→＝0，即x－hz＝0，y－hz＝0，取z＝1，得n＝(h，h，1)，所以点C到平面AB1D1的距离为d＝|n·AC→||n|＝h＋h＋0h2＋h2＋1＝43，解得h＝2.故正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为2.

1．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )

A.66

B.63

C.36 D.33

解析：选D.

分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．

可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，

则d＝|PA→·n||n|＝33.

2．已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为________．

解析：因为PA→＝(－2，0，－1)，又n与l垂直，

所以点P到l的距离为|PA→·n||n|＝|－2＋1|2＝22.

答案：22

3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．

解：建系如图，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以AG→＝(0，1，0)，

GE→＝(－2，1，1)，GF→＝(－1，－1，2)．

设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，

点A到平面EFG的距离为d，

则n·GE→＝0n·GF→＝0，

所以－2x＋y＋z＝0，－x－y＋2z＝0，

所以x＝z，y＝z，

所以n＝(z，z，z)，

令z＝1，

此时n＝(1，1，1)，

所以d＝|AG→·n||n|＝13＝33，

即点A到平面EFG的距离为33.

[学生用书P71]

知识结构 深化拓展

点面距、线面距、面面距的求解思路

线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．

点面距的求解步骤： (1)求出该平面的一个法向量．

(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量．

(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

[学生用书P141(单独成册)])

[A 基础达标]

1．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )

A．1

B.52

C.62 D.32

解析：选C.以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，2)，F2，1，22，所以EF＝（1－2）2＋（1－1）2＋2－222＝62，故选C.

2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为( )

A．10 B．3

C.83 D.103

解析：选D.由已知得PA→＝(1，2，－4)，故点P到平面α的距离d＝|PA→·n||n|＝|－2－4－4|3＝103.

3．已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )

A.655 B.455

C.255 D.55 解析：选B.建立空间直角坐标系如图所示，

则BA→＝(0，2，0)，BE→＝(0，1，2)，

设∠ABE＝θ，则cos θ＝|BA→·BE→||BA→||BE→|＝225＝55，

sin θ＝1－cos2θ＝255.

故A到直线BE的距离

d＝|AB→|sin θ＝2×255＝455.

4．如图，已知长方体ABCD -A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )

A．5

B．8

C.6013 D.132

解析：选C.法一：因为B1C1∥BC，所以B1C1∥平面A1BCD1，从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．

如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.

因为BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，所以BC⊥B1E.

又BC∩A1B＝B，所以B1E⊥平面A1BCD1，B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离．在Rt△A1B1B中，B1E＝A1B1·B1BA1B＝12×552＋122＝6013，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.