高等数学(下)知识点总结

1 高数（下）小结

一、微分方程复习要点

解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法

求出其通解.

一阶微分方程的解法小结：

方程

编号 类 型 一 般 形 式 解 法 备 注

1型 可分离变量方程 )()(yxy或

0)()(dyyNdxxM

分离变量法 有些方程作代换后可化为1型

2型 齐次方程 )(xyy或

)(yxx 令化或yxuxyu为1型求解 有时方程写成)(yxx令uyx化为1型求解

3型 线性方程 )()(xQyxPy

或

)()(yQxyPx 1． 常数变易法

2． 凑导数法：同乘

Pdxe 有时方程不是关于yy,线性方程，而是关于xx,线性方程

4型 贝努里方程 yxQyxPy)()(

或

xyQxyPx)()( 令zy1或

zx1化为3型求解 有时方程不是关于yy,的贝努里方程，而是关于xx,

贝努里方程

5型

全微分方程 0),(),(dyyxQdxyxP其中 yPxQ (,)uxyc

(,)uxy为原函数 有时乘以一个积分因子可化为5型

二阶微分方程的解法小结： 2

齐次方程"'0ypyqy的通解y为：

判别式

两特征根情况 通 解

240pq 相异实根1r，2r xrxrececy2121

042qp 二重实根0r xrexccy021

240pq 共轭复根ir,21 xcxceyxsincos21

非齐次方程()ypyqyfx的特解y的形式为：

xf的形式 特征根情况 y的形式

rxmPxe

r不是特征根 rxmxeQ

r是k重特征根 xmxxekQ12rkrk是单根是二重根

cossinxlnePxxPxx i不是特征根 12cossinxmmeQxxQxxi是特征根 12cossinxmmxeQxxQxx

主要:

一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 类 型 特 征 求 解 方 法 备 注

xfyn 缺,xy n次积分 求解见上册

'"y,xfy 缺y 令'"',ypyp，降为一阶方程 降价后是关于p，x的一阶方程

'"y,yfy 缺x 令ypy'，

dydppy''降为一阶方程 降价后是关于p,y的一阶方程pyfdydpp,

()ypyqyfx ,pq常系数 通解yyy yy及见下表 3 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法

1、显函数的偏导数的求法

在求xz时，应将y看作常量，对x求导，在求zy时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设v,ufz，y,xu，y,xv，则

xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz

几种特殊情况：

1）v,ufz，xu，xv，则dxdvvzxududzdxdz

2）,zfxv，y,xv，则xvvfxfxz，yvufyz

3）ufz，y,xu则xududzxz，yududzyz

3、隐函数求偏导数的求法

1）一个方程的情况

设y,xzz是由方程0z,y,xF唯一确定的隐函数，则

0zzxFFFxz， 0zzyFFFyz

或者视y,xzz，由方程0z,y,xF两边同时对()xy或求导解出()zzxy或.

2）方程组的情况 4 由方程组00v,u,y,xGv,u,y,xF两边同时对()xy或求导解出()zzxy或即可.

二、全微分的求法

方法1：利用公式dzzudyyudxxudu

方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

zzdudvuvdzzzdxdyxy

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

1）设空间曲线Г的参数方程为 tztytx，则当0tt时，在曲线上对应点0000z,y,xP处的切线方向向量为000t,t,tT'''，切线方程为

000000tzztyytxx'''

法平面方程为 0000000zztyytxxt'''

2）若曲面的方程为0z,y,xF，则在点0000z,y,xP处的法向量0PzyxF,F,Fn ，切平面方程为

0000000000000zzz,y,xFyyz,y,xFxxz,y,xFzyx

法线方程为 000000000000z,y,xFzzz,y,xFyyz,y,xFxxzyx

若曲面的方程为y,xfz，则在点0000z,y,xP处的法向量10000,y,xf,y,xfnyx，切平面方程为 5 00000000zzyyy,xfxxy,xfyx

法线方程为 10000000zzy,xfyyy,xfxxyx

四、多元函数极值（最值）的求法

1 无条件极值的求法

设函数y,xfz在点000y,xP的某邻域内具有二阶连续偏导数，由,0xfxy，,0yfxy，解出驻点00,xy，记00y,xfAxx，00y,xfBxy，00y,xfCyy.

1）若20ACB，则y,xf在点00,xy处取得极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值.

2） 若20ACB，则y,xf在点00,xy处无极值.

3） 若02BAC，不能判定y,xf在点00,xy处是否取得极值.

2 条件极值的求法

函数y,xfz在满足条件0y,x下极值的方法如下：

1）化为无条件极值：若能从条件0y,x解出y代入y,xf中，则使函数(,)zzxy成为一元函数无条件的极值问题.

2）拉格朗日乘数法

作辅助函数yxyxfyxF,,,，其中为参数，解方程组

0,0,,,0,,,yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx令令 6 求出驻点坐标y,x，则驻点y,x可能是条件极值点.

3 最大值与最小值的求法

若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.

主要:

1、偏导数的求法与全微分的求法；

2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

3、最大值与最小值的求法

三、多元函数积分学复习要点

七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：

积分类型 积分记号 定义及几何意义 积分区域 积 分 元 素 被积函数

一重积分 badxxf)( iinixf)(lim10

曲边梯形面积 区间[,]ab dx=x 一元函数

二重积分

Ddyxf),( iiinif),(lim10

曲顶柱体体积

平面区域D

rdrddxdyd

二元函数

三重积分

dvzyxf),,(

iiiinivf),(lim,10

空间区域 2sindxdydzdvrdrddzrdrdd

三元函数

第一类曲线积分

LLdszyxfdsyxf),,(),(

iiinisf),(lim10

平面或空间曲线L

ds=22)()(dydx

=222122()()xydtdxyrrd

二元或三元函数 7 第二类曲线积分

LLdxzyxfdxyxf),,(),(

iiinixf),(lim10

平面或空间曲线L

cosdxds

二元或三元函数

第一类

曲面积分

dszyxf),,(

iiinisf),,(lim10

空间曲面 221cosxyzzdxdydsdxdy

三元函数

第二类曲面积分

dxdyzyxf),,(

iiiinixf),,(lim10

空间曲面 cosdsdxdy 三元函数

计 算 方 法 应 用

转动慣量XI 重心x 其它（面积.体积.功等）

见 上 册 表后*所示

1）)()(21xxbafdydx or)()(21yydcfdydx

2) )()(21)sin,cos(rrrdrrrfd

xIDdy2 xDDddx 1体积xyDdzzV)(122）曲面面积

A=xyDyxdxdyzz2211)),(),(21yxzyxzDfdzdXY 2)ZDccfdxdydz2

3) 柱面坐标法 4）球面坐标法

xI=dvzy)(22 xdvdvx

体积V=dv