基于Matlab的连续梁桥动力响应分析

基于

M atl ab的连续梁桥动力响应分析

(

1. 中铁五局机械化工程有限责任公司

, 湖南 衡阳

421002;

2. 中南大学 土木建筑学院

, 湖南 长沙

410075 )

摘 要

:利用插值振型函数法来获得多跨连续梁的振型函数 。建立连续梁桥振动方程

,利用有限元分析软件

A n sys对连续梁

进行模态分析并将连续梁成千上万个自由度的有限元模型重构成数个自由度的动力学模型

,且保持二者前几阶振型一致 。

基于

M a tlab数学分析软件模拟连续梁振型函数

,利用

OD E系列函数的二次开发函数来求解连续梁桥振动方程 。计算表明

本文方法可行 、有效

,具有较高的精度 。

关键词

: M a tlab;连续梁

;插值振型函数

;模态分析

中图分类号

: U448. 21 +

5

文章编号

: 1672 - 7029 (

2010 )

01 - 0016 - 05 文献标志码

: A

D yn am ic re sp o n s e a n a ly s is o f co n tin uo u s b e am b rid g e b a se d o n MA TLAB

L I Chang2

song1

, HUAN G Fang2

lin2

(

1. M echan iza tion Enginee ring L im ited Comp any of Ch ina R ailway 5 th B u reau Group , H engyang 421002 , Ch ina;

2. Schoo l of C ivil and A rch itec tu ra l Enginee ring, Cen tra l Sou th U n ive rsity, Changsha 410075 , Ch ina)

A b stra c t: Fo r a m u lti - sp an beam , the m e thod to ob ta in the vib ra tion mode func tion s by in te rpo la tion func2

tion wa s p ropo sed. The vib ra tion equa tion s of the con tinuou s beam system we re e stab lished. B y u sing fin ite e le2

m en t softwa re A n sys, the moda l ana lysis of the con tinuou s beam wa s e stab lished. A la rge num be r of freedom s of

the fin ite e lem en t mode l of the con tinuou s beam we re grea tly reduced and recon struc ted w ith seve ra l freedom s,

and the first few mode s a re inva rian t. The vib ra tion mode func tion s of the con tinuou s beam we re sim u la ted by u2

sing M a tlab p la tfo rm. The vib ra tion equa tion s of the con tinuou s beam system we re so lved by the second - deve l2

op ed OD E func tion s. The ana lysis re su lts show tha t the m e thod p ropo sed in th is p ap e r is fea sib le and effec tive,

and ha s h ighe r p rec ision.

Key word s:M a tlab; con tinuou s beam; in te rpo la ting vib ra tion mode func tion; mode ana lysis

桥梁在移动荷载作用下的动力响应及机理研

究一直是 结 构动 力学 的前 沿 课题 。在过 去的

100

多年里

,国内外学者对桥梁在移动荷载作用下的车

桥振动问题进行了大量的研究

,移动力作用下的桥

梁振动问题有了比较成熟的结果

[ 1 ] 。近年来

,随着

越来越多的高速铁路的修建

,列车与桥梁的动力相

互作用问题日益受到重视 。高速列车以不同运行

速度通过简支梁桥和连续梁桥的振动问题已得到

广泛关注

[ 2 - 3 ] 。连续梁在移动荷载作用下车桥 振

动分析 中 的 主 要 问 题 之 一 在 于 桥 梁 振 型 函 数 的 确定 。多跨连续梁的振型函数还没有统一的解析表

达

,不同的研究从不同的假设出发确定桥梁的振型

函数

,从而实现问题的求解

[ 4 - 5 ] 。本文将连续梁桥

简化为二 维 的 平 面 梁 单 元 模 型

, 建 立 结 构 有 限 元

模型

,并利用有限元分析软件

A n sys对连续梁进行

模态分析

; 然后

, 用插值 振 型函 数法 对

A n sys系 统

模态分析结果进行三次样条插值得到连续梁桥的

前

n 阶模态 。这些模态不仅满足梁两端的零挠度

边界条件

, 而 且 满 足 梁 中 间 支 撑 点 处 的 零 挠 度 条

件

,能真实反映连续梁的各阶振型

,并在此基础上

3收稿日期

: 2009 - 06 - 02

基金项目

:国家自然科学基金资助项目

( 50675230 )

作者简介

:李长松

( 1977 - ) ,男

,湖南汨罗人

,工程师

,从事桥梁施工研究及管理工作

17

第

1期

李长松

, 等

:基于

M a tlab的连续梁桥动力响应分析

对移动荷载作用下桥梁的振动响应进行求解

,给出

了等截面连续梁在不同速度移动荷载作用下的数

值结果 。 为梁的广义坐标 。这样

, 梁的振动速度和曲率可以

表达为

:

n

5

y (

x, t)

= ∑

q´

X

( ) 6

i i

5

t

i = 1

n

2

(

5

y x, t )

1 理论分析

〃〃

= ∑

q X

(

7 )

i i

5

x2

i = 1

将式

( 6 ) 和

( 7 ) 代入式

( 1 ) ～

( 3 )

, 可以得到

:

1. 1 振动方程

由拉格朗日方程推导出连续梁振动平衡方程

,

利用有限元分析软件

A n sys的模态分析 功能 对 连

续梁进行模态分析

, 获得桥梁系统的各阶振型离

散数值结果

,然后用

M a tlab数学分析软件模拟连续

梁振型函数 。

如图

1所示

, 受到

N 个移动荷载作用的连续线

弹性欧拉

- 贝努利梁

, 中间有 (

Q - 1 ) 个支撑点 。荷 n n

L

V¯

= 1

∑∑

ρ

A (

x )

q´

X q´

X d

x

i = 1 j = 10 ∫

( 8 )

i i j j

2

n n

L

1

∑∑

〃〃 〃〃

i = 1 j = 10 ∫

U¯

=

E I (

x )

q X q X d

x ( 9 )

i i j j

2

N n

W¯

= ∑∑

P

s q

i X

i [ x

P

s (

t) ] [ u ( t -

s = 1 i = 1

τ

1

2

s ) - u ( t - τ

s ) ] ( 10 )

梁的拉格朗日函数为

L¯

= V¯

- U¯

, 欧拉 —拉格朗日

方程式为

: 载

{ p

s , s = 1, 2,

, N } 作为一个整体

, 以一个已知

的速度

V ( t) 沿梁的轴线方向从左往右运动 。荷载

d 5

L¯ 5

L¯ 5

W¯

( ) ( ) i = 1

, 2,

,

n ( 11 )

- =

的位置用

{ x

p ( t) , s = 1, 2,

, N } 来表示 。

y ( x, t) 为

d t 5

q´

i 5

q

i 5

q

i s

桥梁的挠度

, V¯为桥梁的动能

, U¯ 为桥梁的弯曲势

能

, W¯ 为外力所作的功

, 忽略阻尼 。 将式

( 8 ) ～

( 10 ) 代入式

( 11 )

, 可以得到

:

n n N

〃〃

∑

m

ij T

j

+ ∑

k

ij T

j = 2 ∑

P

s X

i [ x

P

s ( t) ]

j = 1 j = 1 s = 1

[ u ( t - τ1

) - u

( t - τ2

) ] i = 1, 2, , n

s s

(

12 )

L

式中

: m

ij = ∫

ρ

A (

x )

X

i X

j d

x, 为总体质量矩阵第

i行

0

L

〃〃 〃〃

0∫

第

j列元素

; k

ij = E I

( x

) X X dx, 为总体刚度矩阵

i j

图

1 多个移动荷载作用下的连续梁

F ig. 1 Con tinuou s beam unde r m u ltip le moving load s 第

i行第

j列元素 。

一旦确定了连续梁的振型函数

X

i ( x ) , 就可以

通过高斯积分法得出总体质量矩阵和总体刚度矩

阵

, 然后由式

( 12 ) 得出广义坐标

, 从而得到全梁的

挠度

y (

x, t) 。

1. 2 振型函数

结构模态分析是用分析或试验的方法求结构

的动力特性

, 它包括结构的固有频率 、模态振型 、模

态阻尼比及其他模态参数 (包括模态刚度 、模态质

量等

) 。在工程实际中复杂结构众多

, 要得到比较理

想的结构分 析 结 果

, 其 力 学 模 型 的 自 由 度 可 达 几

万 、几十万个

, 这时

, 必须应用计算机

, 借助于数值

方法来求解 。 L 2

V¯

= 1

ρ

A (

x )

2

0 ∫

dx (

1 )

L 2

1

2

0 ∫

U¯

= E I (

x )

d

x (

2 )

N

1 2

W¯

= ∑

P

s y [ x

P

s ( t) , t ] [ u ( t - τ

s )

- u ( t - τ

s ) ]

s = 1

( 3 )

其中

:ρ

为 梁 的材 料密 度

; E 为 梁的 材料 的 杨 氏 模

量

; A ( x ) 为梁的横截面面积

; I ( x ) 为梁横截面的惯

性矩

;τ

1 为荷载

P 进入梁的时间

;τ

2 为荷载

P 离开

s s s s

梁的时间 。

u

( t

) 是单位阶跃函数

, 它的定义如下

:

1, t ≥

0

0

, t < 0 u ( t) =

( 4 )

[ 6 ] 利用

A n sys 的模态分析功能

,对连续梁进行

模态分析

, 可获得桥梁系统的各阶振型 。由这种模

态分析所得的数据是系统离散后各节点处的

,而不

是以函数形式来表示的

, 故还不能直接应用于求

解总体质量矩阵和总体刚度矩阵 。为此

, 需根据数

值计算方法

, 通过对已有的离散数据插值

, 求得相

应的插值函数 。 根据分离变量法

, 梁的挠度

y ( x, t) 可以表示为

如下形式

:

∞

y ( x, t) = ∑

q

i X

i

( 5 )

i = 1

式中

: X

i ( i = 1, 2, , n ) 为满足边界条件的假设模

态 。而

q

i ( i = 1, 2,

, n ) 为仅与时间

t有关的函数

,

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y (

x, t)