求函数解析式的九种常用方法
一、换元法
已知复合函数f [g(x)]的解析式,求原函数f(x)的解析式, 把g(x)看成一个整体t,进行换元,从而求出f(x)的方法。
例1 已知f(xx1)= xxx1122,求f(x)的解析式.
解: 设xx1= t ,则 x= 11t (t≠1),
∴f(t)=
111)11(1)11(22ttt= 1+2)1(t +(t-1)= t2-t+1
故 f(x)=x2-x+1 (x≠1).
评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.
二、配凑法
例2 已知f(x+1)= x+2x,求f(x)的解析式.
解: f(x+1)= 2)(x+2x+1-1=2)1(x-1,
∴ f(x+1)= 2)1(x-1 (x+1≥1),将x+1视为自变量x,则有
f(x)= x2-1 (x≥1).
评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错.
三、待定系数法
已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。
例3 已知二次函数f(x)满足f(0)=0,f(x+1)= f(x)+2x+8,求f(x)的解析式.
解:设二次函数f(x)= ax2+bx+c,则 f(0)= c= 0 ①
f(x+1)= a2)1(x+b(x+1)= ax2+(2a+b)x+a+b ②
由f(x+1)= f(x)+2x+8 与①、② 得
822babba 解得 .7,1ba 故f(x)= x2+7x.
评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式.
四、消去法(方程组法)
例4 设函数f(x)满足f(x)+2 f(x1)= x
(x≠0),求f(x)函数解析式.
分析:欲求f(x),必须消去已知中的f(x1),若用x1去代替已知中x,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可.