人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷含答案

1 人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列实数中是无理数的是( )

A．tan 30° B．38 C．17 D．49

2．(母题：教材P84复习题T1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A等于(

)

A．35 B．45 C．34 D．43

3．[2023·太原五中模拟]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝3，则∠B等于( )

A．15°

B．45°

C．30° D．60°

4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为( )

A．22 B．33 C．12 D．3

5．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为( )

A．34 B．43 C．35 D．45

6. 为出行方便，近日来越来越多的市民使用了共享单车，图①为单车实物图，图②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为20 cm，当BC＝60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为( )(结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)

A．80 cm B．72 cm C．76 cm D．70 cm

2 7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin E的值为( )

A．12 B．22 C．32

D．33

8．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的边OB在x轴上，∠AOB＝60°，B(4，0)，点D，E分别是边OB，OA上的点，将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，若AE＝AF，则点F的坐标为( )

A．(23，23) B．(23，4) C．(3，4) D．(23，3)

9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为(

)

A．30° B．50° C．60°或120° D．30°或150°

10．[2022·泸州]如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝43，若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为( )

A．y＝3x B．y＝－34x＋152 C．y＝－2x＋11 D．y＝－2x＋12

二、填空题(每题3分，共24分)

11. 如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

12．在△ABC中，若sinA－22＋32－cosB2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C＝________.

13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin A＝513，

以点C为圆心，R为半径作圆，使A，B两点一点在圆

内，一点在圆外，那么R的取值范围是__________．

3 14．(母题：教材P69习题T8)如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AB＝4，sin A＝34，则平行四边形ABCD的面积是______．

15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．

16．[2023·连云港]如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝kx(x<0)的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝23，则k＝________．

17．[2022·桂林]如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走，已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是________m.

18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的动点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，点G在AE上，且EG＝EF，点M，N分别为GF，CD的中点，连接MN，则MN的最小值为________．

三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分)

19．(母题：教材P68习题T3)计算：

(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；

(2)(3－1)0＋13－2＋|3－2|＋tan 60°.

4 20．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．

21．[2022·鄂尔多斯]如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC的中点，连接OE，DE，BD．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若DE＝5，cos∠ABD＝45，求OE的长．

5 22．[2023·重庆]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)

(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

23．[2023·潜江]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝34是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)

6 24. “十四五”开局，全面推进乡村振兴，加快农村农业现代化，无人机遥感数据采集引领农业精准发展．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为120 m的A处测得试验田一侧边界N处俯角为60°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田另一侧边界M处俯角为48°，已知点A，B，M，N在同一平面内，求试验田边界M，N之间的距离．(参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73，结果精确到0.1 m)

7 答案

一、1．A 2．B

3．D【点拨】根据直角三角形的边角关系，求出tan B的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．

4．A【点拨】过点A作BC的垂线，与BC的延长线交于点D，在Rt△ABD中，由AD＝3，BD＝3，可得△ABD是等腰直角三角形，计算即可得出答案．

5．D

6．C【点拨】作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH，再求出CH＋AP即可得到答案．

7．A

8．A【点拨】过A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G.根据四边形AOBC是菱形，∠AOB＝60°，B(4，0)，可得∠OAC＝120°，OH＝12OA＝2，AH＝3OH＝23，则A(2，23)．又∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EF＝2EG.∴EG＝AE·cos30°＝32AE.故EF＝3AE.由将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，有OE＝EF＝3AE，从而3AE＋AE＝4，则AE＝23－2，即AF＝23－2，可得F(23，23)．

9．D【点拨】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝12，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝12，则180°－∠BAC＝30°，所以

∠BAC＝150°.

8 10．D【点拨】连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，作直线MN，则直线MN为符合条件的直线l，如图．

∵四边形OABC是矩形，

∴OM＝BM.

∵点B的坐标为(10，4)，

∴M(5，2)，AB＝10，BC＝4.

∵四边形ABEF为菱形，

∴BE＝AB＝10.

如图，过点E作EG⊥AB于点G.

在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝43，∴EGBG＝43.

设EG＝4k，则BG＝3k，

∴BE＝EG2＋BG2＝5k.

∴5k＝10.∴k＝2.

∴EG＝8，BG＝6.

∴AG＝4.∴E(4，12)．

∵点B的坐标为(10，4)，AB∥x轴，

∴A(0，4)．

易知点N为AE的中点，∴N(2，8)．

设直线l的解析式为y＝ax＋b，

∴5a＋b＝2，2a＋b＝8，解得a＝－2，b＝12.

∴直线l的解析式为y＝－2x＋12.故选D．

二、11.21 【点拨】∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝12AB．

在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3 m，

9 ∴AC＝CDsin 37°≈30.6＝5(m)，AD＝CDtan 37°≈30.75＝4(m)，

∴CA＝CB≈5 m，AB＝2AD≈8(m)，

∴AC＋CB＋AB＋CD≈5＋5＋8＋3＝21(m)．

∴共需钢材约21 m.

12．105°

13．5＜R＜12 【点拨】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin

A＝513，

∴BC＝AB×sin A＝13×513＝5.

∴AC＝AB2－BC2＝12.

∵以点C为圆心，R为半径作圆，使A，B两点一点在圆内，一点在圆外，

∴5＜R＜12.

14．37

15. 2 【点拨】由题意知BD′＝BD＝22.在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′＝BD′AB＝

222＝2.

16．－83 【点拨】如图，作AE⊥x轴于点E.

∵矩形OABC的面积是6，

∴△AOC的面积是3，

∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝23，

∴OAAC＝23.

∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC．

∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，

∴S△OEAS△AOC＝OAAC2，∴S△OEA3＝49.