2025年高考数学一轮复习-第一章-第四节 基本不等式-课时作业【含解析】

1 课时规范练4 基本不等式

基础巩固组

1.下列不等式正确的是( )

A.x-1+1𝑥-1≥2(x>0)

B.(a+4)1𝑎+1≥8(a>0)

C.lg x·lg y≤[lg(𝑥𝑦)]24(x>1,y>1)

D.lg(a2+1)>lg|2a|(a≠0)

2.(2021河北邯郸高三月考)函数y=4x2(6-x2)的最大值为( )

A.36 B.6

C.9 D.18

3.(2021广东惠州高三期末)若a<1则a+1𝑎-1的最大值是( )

A.3 B.a

C.-1 D.2√𝑎𝑎-1

4.(2021北京西城高三月考)设正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是( )

A.√𝑎𝑏有最大值12

B.1𝑎+2𝑏+12𝑎+𝑏有最小值3

C.a2+b2有最小值12

D.√𝑎+√𝑏有最大值√2

5.(2021浙江丽水高三模拟)设x,y>1,z>0,z为x与y的等比中项,则lg𝑧2lg𝑥+lg𝑧4lg𝑦的最小值为( )

A.38+√24 B.2√2+12

C.43+√22 D.2√2

6.下列不等式一定成立的是( )

A.x+1𝑥≥2 2 B.2x(1-x)≤14

C.x2+3𝑥2+1>2√3-1

D.√𝑥+1√𝑥≥2

7.若非负实数a,b满足a+b2=1,则下列不等式不成立的是( )

A.ab2≤14 B.a2+b4≥12

C.√𝑎+b≥√2 D.a2+b2≥34

8.已知x>0,y>0,且x2+xy-x+5y=30,则( )

A.xy的最大值为9

B.1𝑥+1𝑦的最小值为1

C.x-1𝑦的最小值为4

D.x2+y2的最小值为20

9.(2021湖北黄冈高三期中)当x>1时不等式𝑥2+3𝑥-1>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是 .

10.(2021天津耀华中学高三二模)如果a>b>0,那么𝑎4+1𝑏(𝑎-𝑏)的最小值是 .

第一节等式性质与不等式性质课标解读考向预测

理解不等式的概念，掌握不等式的性质.高考主要与其他知识及实际问题相结合进行命

题，为中档难度.2025年备考要重视性质的运用，

明确其成立的前提，灵活运用估值法，适当关注

与实际问题的结合.必备知识——强基础

1．等式的性质

(1)对称性：若a＝b，则b01＝a.

(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a02＝c.

(3)可加性：若a＝b，则a＋c03＝b＋c.

(4)可乘性：若a＝b，则ac04＝bc；若a＝b，c＝d，则ac05＝bd.

(5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么a

c06＝b

c.

2．不等式的性质性质性质内容注意

对称性a>b⇔07ba可逆

传递性a>b，b>c⇒a09>c；a

可加性a>b⇔a＋c11>b＋c可逆

可乘性a>b，c>0⇒ac12>bc；a>b，c<0⇒ac13

同向可加性a>b，c>d⇒a＋c14>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac15>bd同向同正

可乘方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒an16>bn同正

可开方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒n

a17>nb同正

3.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

①a－b>0⇔a18>b；

②a－b＝0⇔a19＝b；

③a－b<0⇔a20

(2)作商法

①a

b>1(a∈R，b>0)⇔a21>b(a∈R，b>0)；

②a

b＝1(a∈R，b≠0)⇔a22＝b(a∈R，b≠0)；

③a

b<1(a∈R，b>0)⇔a230)．

若a＞b＞0，m＞0，则

(1)b

a＜b＋m

a＋m；b

a＞b－m

a－m(a－m＞0)；

(2)a

b＞a＋m

b＋m；a

b＜a－m

b－m(b－m＞0)．

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)a＝b⇔ac＝bc.()

(2)若a

a2n<1

b2n(n∈N*)．()

(3)若a>b>c，则(a－b)c>(b－a)c.()

答案(1)×(2)√(3)×

2．小题热身

(1)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是()A.y

第3节 基本不等式及其应用

考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1.基本不等式：ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).

1.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

2.ab≤a＋b22≤a2＋b22. 3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).

4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.

5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.( )

(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.( )

(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.( )

(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；

不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.

(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.

高三一轮复习专题一基本不等式及其应用

【考点预测】

1.基本不等式

如果00ba，，那么2baab，当且仅当ba时，等号成立．其中，2ba叫作ba，的算术平均数，ab叫作ba，的几何平均数．即正数ba，的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若ab，R，则abba222，当且仅当ba时取等号；

基本不等式2：若ab，R，则abba2（或abba2），当且仅当ba时取等号.

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧与总结】

1.几个重要的不等式

（1）20,00,0.aaRaaaaR

（2）基本不等式：如果,abR，则2abab(当且仅当“ab”时取“”).

特例：10,2;2abaaaba（,ab同号）.

（3）其他变形：

①2222abab(沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式)

②222abab(沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式)

③22abab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)

④重要不等式串：222,1122ababababRab即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2.均值定理

已知,xyR. （1）如果xyS(定值)，则2224xySxy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果xyP(定值)，则22xyxyP(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：)0,0(2nmmnxnmx，当且仅当mnx时等号成立；

模型二：)0,0(2)(nmmamnmaaxnaxmaxnmx，当且仅当mnax时等号成立；