统一混沌系统的修改模型及同步设计

随机扰动下统一混沌系统的有限时间同步王娇;涂俐兰;朱泽飞【摘要】本文研究了具有随机扰动的统一混沌系统的有限时间同步问题，其中随机扰动是一维标准的维纳随机过程。

利用了有限时间随机李雅普诺夫稳定性理论、伊藤公式，本文分三个步骤设立了三个控制器获得了驱动–响应系统在有限时间内的均方渐近同步。

最后进行的数值模拟验证了理论结果的正确性和方法的有效性。

%In this paper, finite-time synchronization of the unified chaotic system with stochastic perturbation is investigated, in which the perturbation is a Wiener process of one-dimensional standards. Based on finite-time stochastic Lyapunov stability theory and Ito formula, three steps are presented to consecutively design three controllers to guarantee the finite-time mean-square asymptotical synchronization of the drive-response systems. Finally, numerical simulations are provided to illustrate the correctness and effectiveness of the theoretical results.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】8页(P193-200)【关键词】随机扰动;统一混沌系统;有限时间同步;伊藤公式;李雅普诺夫稳定性理论【作者】王娇;涂俐兰;朱泽飞【作者单位】武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室，湖北武汉430065;武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室，湖北武汉430065;武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室，湖北武汉430065【正文语种】中文【中图分类】O231.3混沌现象是指发生在确定的非线性系统中的随机现象,是一种非常普遍的自然现象.例如,在流体对流实验中观测到倍周期分叉和混沌运动,在化学反应、非线性电路、光学双稳态、非线性声学、激光振荡等系统中能观测到混沌现象,甚至社会、经济领域中也存在混沌现象[1].1963年,Lorenz提出了第一个混沌模型,即Lorenz系统[2],从此开启了混沌研究的热潮.各种混沌系统相继被人们发现,如Rossler系统、Chua电路系统、Chen系统、L系统和统一混沌系统等等[3].混沌的同步问题是混沌研究中的一个重要方向.自从Pecoro和Carroll于1990年提出了混沌的反馈控制同步之后[4],越来越多的科学家、学者们开始致力于这一方面的研究并提出了各种各样的混沌控制同步的方法,如自适应同步[5]、非线性同步[6]、耦合同步[7]、投影同步[8]和H∞同步[9]等等.到现在为止,对于混沌同步,研究的主流方向是使得系统在无限时间内达到同步[4-10].但是,在处理实际情况下的混沌系统问题时,不仅要使得系统达到同步,而且要在有限时间之内达到同步,即如何在有限的时间之内使驱动–响应系统达到同步.赵等[11]研究了分数阶超混沌Lorenz系统的有限时间同步问题,Wang Liyang等[12]研究了不确定参数下两个不同的混沌系统的有限时间同步,Wang Hua等[13]研究了不确定参数下的统一混沌系统的有限时间同步.与同步时间为无穷的情况下相比,有限时间更加切合人们的实际应用,这也使得有限时间同步的研究更加受到学者们的青睐.同时,实际生活中,混沌系统不是孤立地存在于社会之中的,当然也就存在扰动,比如由于随机波动所带来的信号传输就是一个有扰动的过程.在具体的函数形式下的随机干扰项具有丰富的内容,随机扰动的产生会使得系统不稳定并难以控制,减少扰动的影响才能保持系统良好的稳定性.Salarieh等[14]研究了带有随机扰动的两个混沌系统在不确定参数下的自适应同步,Sun Yonghui等[15]研究了有时滞的情况下带有随机扰动的混沌系统的指数同步.基于以上所述,本文将研究随机扰动下的统一混沌系统的有限时间同步问题,其中随机扰动是一维标准的维纳随机过程.研究这种扰动下的混沌系统更具有一般性,更加符合实际生活.基于有限时间随机李雅普诺夫稳定性理论、伊藤公式,本文将分三个步骤设立三个控制器使得驱动–响应系统在有限时间内达到均方渐近同步.本节首先介绍随机扰动下的统一混沌系统的驱动系统和响应系统的数学模型,之后再阐述文章中所需要的预备知识.考虑随机扰动下的统一混沌系统的驱动系统为其中x1,x2,x3是状态向量,α∈[0,1]是系统参数,H(t,xi)(i=1,2,3)是非线性函数,并满足Lipschitz条件,即其中Li(i=1,2,3)是Lipschitz系数,w(t)是随机扰动,是一维标准的维纳随机过程,且满足对于系统(2.1),如果去掉随机项,则该系统是一个统一混沌系统,其中当α取不同数值时,对应的混沌系统将相应发生改变,如当0≤α＜0.8时,系统(2.1)为一般Lorenz混沌系统;当α=0.8时,为L系统;当0.8＜α≤1时,系统为Chen系统.再设响应系统为其中y1,y2,y3是状态向量.设控制器为u1,u2,u3,则加入控制器后的响应系统为定义响应系统(2.4)和驱动系统(2.1)之间的状态误差为本文的目标是通过设置合适的控制器u1,u2,u3,使得系统(2.1)和(2.4)达到有限时间内的均方渐近同步,即如果存在正数T＞0,使得且当t≥T时,有|yi-xi|≡0,则称系统(2.1)和(2.4)在T时刻内达到有限时间内的均方渐近同步.为了获得系统(2.1)和(2.4)在有限时间内达到同步的条件,需要用到以下两个引理. 引理1(有限时间稳定性定理[16])假设存在连续的,正定的函数V(t)满足下面的微分不等式其中c＞0,0＜η＜1,那么对于任意给定的t0,V(t)满足下面的微分不等式且当∀t≥t1,V(t)≡0,引理2(伊藤公式[17])设f(t,x(t))是关于t和随机过程{x(t),t∈T}的二次微分函数,若x(t)的随机微分是则Y(t)=f(t,x(t)),有其中由系统(2.1)和系统(2.5)以及状态误差(2.6),获得系统的误差方程为为了获得误差系统在有限时间内达到稳定,本节下面将分三步分别设置控制器u1,u2,u3.第1步设置控制器这里是一个合适的有理数,p和q都是正的奇数并且有p＞q,将(3.2)式代入(3.1)式有构造李雅普诺夫函数应用引理2得由(2.3)式可知(3.5)式的均方(即数学期望)只有第一部分不为零,所以后面只需考虑第一部分,可设其中LV1是应用引理2后,去掉公式中的随机微分项获得的.由(2.2)式得则所以根据引理1,在某个T1时刻内,误差e1渐近趋于零,且当t≥T1时,e1恒等于零.第2步类似地,在第一步的基础上,设置控制器将(3.8)式代入到状态误差方程(3.1)式中,有同样地,构造李雅普诺夫函数应用引理2得到由公式(3.7)得所以根据引理1,在某个T2时刻内,误差e2也渐近趋于零,且当t≥T2时,e2恒等于零.第3步在第一步和第二步的基础上,设置控制器构造李雅普诺夫函数由引理2得由公式(3.7)得同样地,根据引理1,可知在某个T3时刻内,误差e3是渐近稳定的,且当t≥T3时,e3恒等于0.由此得到状态误差方程(3.1)在T3时刻内渐近趋于零,即驱动系统和响应系统在T3时刻内达到有限时间同步.注在施加控制器u2的时候,e1已经恒为0,本文的证明是在过了时间T1之后再添加的u2,然后过了时间T2之后施加控制器u3,这样就有T3≥T2≥T1.当然,实际操作的时候,也不一定非得这样做,可以一次性地把这三个控制器同时加上去,只求最后的时间T3.为了说明第3节中所提出的理论结果的正确性和方法的有效性,本节将运用数值模拟来验证驱动–响应系统的均方渐近同步情况.在本节中α分别取0,0.8和1.为了简单起见,设则可取Lipschitz系数L1=L2=L3=6,再设在模拟中,我们始终设驱动系统和响应系统的初始值分别为当t0=0时,,由有限时间引理1,获得理论有限时间T≈3.64秒,要注意的是这个理论值依赖于初值的选取情况.利用Matlab,下面给出驱动系统、响应系统和误差系统相对应的数值模拟图.图1、图4和图7是随机扰动下的统一混沌系统在参数α分别取0、0.8和1时驱动系统的图形,图2、图5和图8是对应的响应系统的图形,这些图形说明了系统的运动轨迹是杂乱无章的,且驱动系统和响应系统的对应轨迹不一致.图3、图6和图9是在控制器u1,u2,u3下误差系统的图形,可以看出在0.1秒左右的时间内,驱动–响应系统都达到了有限时间同步,而且比理论上计算出来的有限时间更小,体现了良好的同步性能.混沌系统的有限时间同步控制是控制理论界的热门研究方向.本文对带有随机扰动的两个统一混沌系统的有限时间均方渐近同步问题进行了研究.与同步时间在无穷的情况下相比,本文中有限时间同步问题的研究更加符合现实生活,而且考虑了随机扰动的影响,具有一定的现实意义.文中分三个步骤分别设置了三个控制器,相应地构造了三个李雅普诺夫函数,其中控制器和李雅普诺夫函数的形式相对简单,计算过程也不繁琐.文章最后进行的Matlab数值模拟表明当α取不同的数值时,对应的各个系统均体现出了良好的同步性能,验证了理论结果的正确性和方法的有效性.【相关文献】[1]陈士华,陆君安.混沌动力学初步[M].武汉:武汉水利电力大学出版社,1998.[2]Lorenz E N.Deterministic non periodic flow[J].J.Atmos.Sci.,1963,20(2):130–141.[3]陈关荣,吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析,控制与同步[M].北京:科学出版社,2003.[4]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaoticsystems[J].Phys.Rev.Lett.,1990,64(8):821–824.[5]祝大伟,涂俐兰.随机扰动下Lorenz混沌系统的自适应同步与参数识别[J].物理学报,2013,62(5): 98–103.[6]Wu Xiaoqun,Zheng Weixing,Zhou Jin.Generalized outer synchronization between complex dynamical networks[J].Chaos,2009,19(1):013109.[7]Simonovi J.Synchronization in coupled systems with different type of couplingelements[J].Diff. 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[16]Chen Weisheng,Jiao Licheng.Finite-time stability theorem of stochastic nonlinear systems[J].Automatica,2010,46(12):2105–2108.[17]龚光鲁,钱敏平.应用随机过程教程及在算法和智能计算中的随机模型[M].北京:清华大学出版社, 2004.。

[收稿日期]2008209210　[基金项目]国家自然科学基金项目(60503027)。

　[作者简介]谢承蓉(19772),女,2000年大学毕业,硕士,讲师,现主要从事混沌控制与同步方面的研究工作。

一个修改的统一混沌系统的反馈同步 谢承蓉　(郧阳师范高等专科学校数学系,湖北丹江口442700) 徐玉华　(郧阳师范高等专科学校数学系,湖北丹江口442700;东华大学信息科学与技术学院,上海201620)[摘要]提出一个修改的统一混沌系统,分析了它的动力学特征。

然后讨论了它的混沌同步问题。

基于L yapunov 稳定性理论,使用2种非线性反馈控制方案,得到了修改的统一混沌系统同步的充分条件。

数值仿真表明了这2种方案的有效性。

[关键词]统一混沌系统;线性;非线性;反馈;混沌同步[中图分类号]O23112;TN91112[MR (2000)主题分类号]93C10　[文献标识码]A [文章编号]167321409(2008)042N011203自从1963年Lorenz [1]发现混沌吸引子以来,混沌动力学作为非线性科学的一个重要分支引起了广大科学技术人员的高度重视。

由于混沌具有初值敏感性,人们普遍认为混沌同步非常困难,直到1990年Pecora 和Carroll 提出了驱动响应同步方法,使Lorenz 混沌系统能够实现同步,混沌同步理论和应用才迅速成为一个新的研究热点,近年来,由于混沌同步在保密通信、信号处理、电路设计等领域表现出强劲的应用前景,各国学者高度重视并投入到这一研究领域中来,使得混沌控制和同步方法得到了蓬勃发展[2～8]。

1999年,Chen 发现了一个与Lorenz 系统类似但不拓扑等价的混沌系统———Chen 系统[9],2002年L ü等提出一种新的混沌系统———统一混沌系统[10]: x =(25a +10)(y -x ) y =(28-35a )x -xz +(29a -1)y z =xy -a +83z (1)式中,a ∈[0,1]是参数。

《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态变化具有不可预测性、敏感依赖初始条件和长期行为的不规则性等特点。

近年来，随着非线性科学的发展，混沌系统的研究逐渐成为了一个重要的研究方向。

本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的相关问题。

二、两个混沌系统的动力学分析（一）Lorenz系统Lorenz系统是一种经典的混沌系统，其动力学模型为三阶非线性常微分方程组。

通过对Lorenz系统的动力学分析，我们可以了解其状态变量的演化规律以及系统在相空间中的行为。

具体而言，Lorenz系统在一定的参数条件下，会出现复杂的混沌行为，其状态变量之间存在非线性的相互作用和依赖关系。

（二）Chua's电路系统Chua's电路系统是一种电子电路混沌系统，其动力学模型可以通过电路元件的参数和电路状态变量来描述。

与Lorenz系统类似，Chua's电路系统也具有复杂的混沌行为和敏感依赖初始条件的特点。

通过对Chua's电路系统的动力学分析，我们可以了解其在电路中的运行规律以及不同参数对其行为的影响。

三、系统控制与同步研究（一）系统控制对于混沌系统，我们可以通过控制其参数或外部扰动来改变其状态和行为。

具体而言，我们可以通过对Lorenz系统和Chua's 电路系统的参数进行调整，来达到控制其混沌行为的目的。

例如，通过调整Lorenz系统的参数，可以使其从混沌状态转变为周期状态或准周期状态。

此外，我们还可以利用外部扰动来抑制混沌系统的混沌行为，使其变得更加规律和可预测。

（二）系统同步混沌系统的同步是指两个或多个混沌系统在一定的条件下，其状态变量之间产生一种协调的、规律性的关系。

对于Lorenz系统和Chua's电路系统等混沌系统，我们可以通过对其参数进行调整或引入适当的控制器来实现系统之间的同步。

混沌系统的控制与同步一、《混沌系统的基本概念及研究现状》本文首先介绍混沌系统的基本概念，包括混沌现象的定义、混沌系统的特点和混沌系统的分类等。

在此基础上，进一步分析了混沌系统的研究现状，包括混沌系统的数学模型和研究方法等。

同时，对于混沌系统的控制与同步问题，提出了重要的研究意义和应用前景。

混沌系统是现代非线性科学的重要研究对象之一，具有很多独特的特性。

混沌现象的定义就是指混沌系统的演化过程具有不可预测的性质，而混沌系统的特点则包括灵敏依赖于初始条件、复杂的周期轨道结构和高维的状态空间等。

混沌系统的分类包括：一维映射系统、连续动力系统、时变动力系统和离散时间系统，每种系统都有其独特的研究方法和应用场景。

混沌系统的控制与同步问题是混沌系统研究的重要方向之一，也是当前热门的研究领域。

在工程应用中，混沌系统的控制与同步问题具有广泛的应用前景，尤其是在通信、图像处理、密码学等领域有着很大的应用潜力。

因此，深入研究混沌系统的控制与同步问题，对于推动混沌系统原理的深入发展，实现混沌应用的工业化具有积极的意义。

总而言之，对于混沌系统的基本概念及研究现状的探讨，有助于了解混沌现象的本质以及混沌系统的一些基本特征，从而为混沌系统的控制与同步问题的研究奠定了基础。

二、《混沌系统的数学模型及控制方法》本文针对混沌系统的数学模型和控制方法进行了详细的分析，包括混沌系统数学模型的建立、混沌系统的各种控制方法以及混沌系统的控制效果评价等。

同时，本文还对混沌系统控制中常用的反馈控制、开环控制，混沌控制理论及其应用等相关内容进行了介绍。

混沌系统的数学模型建立对于混沌系统研究具有至关重要的作用，数学模型不仅是混沌系统研究的基础，而且也是设计混沌控制系统的核心。

混沌系统的控制方法包括：开环控制、反馈控制、预测控制等，其中反馈控制是最为常见和有效的一种控制方法。

混沌控制理论及其应用可以用于传统的混沌系统，也可以应用于更为复杂的混沌网络系统、混沌系统的外部控制和混沌系统的同步问题等。

统一混沌系统的同步及分组密码系统的设计的开题报告一、选题背景随着计算机技术在各个领域的广泛应用和发展，信息安全越来越受到人们的关注。

在保障信息安全的过程中，密码学起着至关重要的作用。

其中同步及分组密码系统是一类应用广泛的密码算法。

目前，混沌同步及混沌分组密码系统已经成为应用最为广泛的同步及分组密码系统，其混沌特性具有非常好的随机性。

混沌同步及分组密码系统的实现需要一个可靠的混沌发生器，而统一混沌系统则是一类实现混沌同步及分组密码系统的方法。

因此，本文将以统一混沌系统的同步及分组密码系统的设计为研究对象，探索其在实现信息安全中的应用和发展。

二、选题意义在信息时代，网络信息安全日益成为社会关注的焦点，信息的泄露或篡改将会造成极大的损失。

而密码学作为一种主要的信息安全手段，同步及分组密码系统在核心领域中具有广泛的应用，如在网络传输中保证数据安全性、信息存储中的数据加密保护等重要领域。

而混沌同步及混沌分组密码系统具有非常好的随机性和安全性，成为一种广泛使用的同步及分组密码系统。

统一混沌系统的同步及分组密码系统采用多个混沌系统进行同步和分组，使其能够生成非常大的加密密钥，增强了安全性。

其密钥的生成和分发都是通过混沌特性实现的，因此具有非常好的安全性。

为了充分利用混沌系统的随机性质，提高混沌系统同步效率和混沌分组密码的加密强度，有必要对统一混沌系统的同步及分组密码系统进行深入的研究。

三、研究内容本论文将主要围绕统一混沌系统的同步及分组密码系统的设计进行研究。

其主要研究内容包括：1. 统一混沌系统的同步方法研究与设计：包括混沌同步的数学模型、同步条件、同步控制方法等内容。

2. 统一混沌系统的分组密钥生成方法研究与设计：包括混沌系统的映射函数选择、迭代次数选择、密钥生成算法等方面的研究。

3. 统一混沌系统同步及分组密码系统的安全性分析与实现：包括密码学安全的理论分析和安全性实验验证等内容。

通过实验验证，评估统一混沌系统同步及分组密码系统的安全性，从而为实际应用提供可靠的安全保障。

2典型混沌系统和混沌同步的简介2.1典型混沌系统的介绍混沌从表述形式上大体包括两大类：以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。

时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。

介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：Lorenz 系统、蔡氏电路、统一混沌系统。

2.1.1 Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。

他提出了著名的Lorenz 方程组：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----cz xy y xz bx y x y a x ＝ｚ＝＝。

(2-1)这是一个三阶常微分方程组。

它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。

式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统 (2-1)的主要控制参数。

kv a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。

在参数范围为)1/()3(--++⋅>c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。

在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x 、y 随时间t 的变化情况。

图2.1 Lorenz 系统的吸引子图2.2 分量x随时间t的变化情况图2.3 Lorenz系统的x-y相图总体上，Lorenz吸引子由左右两个环套而成，每个环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶的翅膀。

一个新混沌系统的同步控制及其在保密通信中的应用梅小华【摘要】研究了一个新混沌系统的同步问题，基于李雅普诺夫稳定性理论，利用参数未知时自适应控制法以及激活控制法实现该系统的同步，并用归纳、推理以及仿真实验进一步证明了这些结论的正确性．最后，采用自适应混沌同步方法进行保密通信实验，实验结果表明，利用混沌掩盖可以有效地恢复出信息信号。

%The synchrocontrol of a new chaotic system was studied. Based on Lyapunov stability theory, ada- pting control method and activated control method were used to realize the synchrocontrol when parameters were unknown. The smmm＇y, reasoning and simulation experiments further prove the correctness of this conclusion. Finally, adaptive methods of chaotic synchronization were used to experimentalize secret commu- nication. The findings show that using chaotic masking can effectively restore the information signal.【期刊名称】《成都大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)001【总页数】4页(P50-53)【关键词】混沌系统;混沌同步;保密通信【作者】梅小华【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000【正文语种】中文【中图分类】O415.60 引言自1990年，Grebogi等提出OGY混沌控制法，以及Pecora等提出完全同步以来［1］，研究人员对混沌系统的认识更加深入，混沌同步已经成为非线性科学理论及应用的重要组成部分及混沌研究的热点问题.到目前为止，学者们已经提出很多实现混沌同步的方法，例如，驱动响应同步法、线性反馈同步法、自适应控制同步法［2－5］等.本文研究了一类新混沌系统的同步问题，基于李雅普诺夫稳定性理论，利用激活控制法以及参数未知时自适应控制实现该系统的自同步，同时，本文利用归纳、推论和定理，以及仿真实验进一步证明了这些结论的正确性，最后，采用自适应混沌同步方法进行保密通信实验，实验结果表明，利用混沌掩盖可以有效地恢复出信息信号.本方法易于实现，收敛速度快，并且可以推广到其他类似系统.1 一个新混沌系统的数学模型在文献［6］中，马海军等通过对分岔混沌拓扑结构与全局复杂性的研究，建立了一个混沌系统，当该系统取参数，a=0.9，b=0.2，c=1.2，初始条件为［2，1，2］时，利用Matlab可得到混沌系统(1)的三维相图如图1所示.图1 混沌系统(1)的三维相图2 参数不确定时混沌系统的同步在实际中，许多动力系统具有参数或模型的不确定性，尤其随着环境的改变，系统的参数可能会发生变化.比如，在通信系统中，发送机和接收机的结构和参数完全相同的混沌同步通信是不现实的.因此，对参数未知的不确定的混沌系统的同步研究具有重要的实际意义，这个时候可以利用自适应同步方法实现混沌同步.设驱动系统为混沌系统(1)，则其响应系统为，设状态误差和参数误差为，其中，a1，b1，c1是对a，b，c的估计，则系统误差为，构造李雅普诺夫函数，则，选择如下控制器，此时，当参数a，b，c都大于等于零时，V·为负定，根据Barbalat引理，知，即驱动和响应系统达到同步效果.因此，对任何的初始状态，选择自适应控制器(4)和自适应律(5)，可以使得响应系统和驱动系统达到同步，于是，得到如下定理. 定理1 对于驱动系统(1)和响应系统(2)，如果参数自适应律选择(5)，反馈控制器选择(4)，则驱动系统和响应系统将达到全局渐进同步.3 基于激活控制的混沌同步设驱动系统为混沌系统(1)，响应系统为，设，则系统误差为，定义激活控制函数，U=(u1，u2，u3)T，为，这里，控制输入选择为，此时，闭环的特征根为:-1，-1，-1.于是，当t→∞时，‖e1‖→0，‖e2‖→0，‖e3‖→0，意味着驱动和响应系统可以实现混沌同步，于是，可得到如下的定理.定理2 对于驱动系统(1)和响应系统(6)，如果系统的激活控制器取(8)，控制输入取(9)，则驱动系统(1)和响应系统(6)可以实现全局渐进同步.4 数值模拟结果为了验证我们所设计的混沌控制器的有效性，本文采用四阶龙格—库塔方法进行仿真.例1 取驱动系统(1)的初值为(0.7，0.5，0.8)，响应系统(2)的初值为(0.6，0.3，0.5)，参数取，a=0.9，b=0.2，c=1.2.误差时序图的仿真结果如图2所示.图2 自适应同步的同步误差由图2可知，虽然驱动系统(1)和系统(2)的初值不同，但还是很快实现了该混沌系统的自同步.图3表示的是参数的估计随时间变化的曲线图，可以看出，随着时间的变化参数收敛到真值.图3 参数的的估计例2 取驱动系统(1)的初值为(-0.07，0.55，0.18)，响应系统(6)的初值为(0.46，0.43，0.75)，参数取，a=0.9，b=0.2，c=1.2.误差e1、e2、e3时序图的仿真结果如图4所示.图4 激活控制同步的同步误差由图4可知，虽然驱动系统和(1)响应系统(6)的初值不同，但仍然很快实现了该混沌系统的自同步.显然，这种方法具有很大的局限性.5 利用自适应同步控制实现保密通信近年来，混沌同步保密通信已成为科研人员研究的一大热点.混沌掩盖通信系统的工作原理如图5所示，其基本原理是:发送端的混沌系统输出类似噪声的混沌信号，在混沌信号上叠加需要掩盖的有用信号，将合成信号通过信道发送出去;在接收端与发送端混沌系统达到同步后，从接收端的混合信号中减去重构的混沌信号，从而解调出发送端的有用信息.在图5中，x(t)为发送系统的状态变量，m(t)为要传送的信息信号，s(t)为混沌掩盖后的传输信号，x′(t)为接收系统的状态变量，m′(t)为接收端恢复的信息信号.图5 混沌同步保密通信示意图根据混沌掩盖保密通信原理，可将自适应同步的混沌系统应用于保密通信中.设需要传输的信息信号是m(t)=sint，则在发送端将有用信号与混沌信号x(t)相加，输出类噪声信号，s(t)=sint+ x(t)，驱动系统为(1)，响应系统为混沌系统(2).响应系统(2)通过控制器(4)可在接收端接收混沌信号x′(t)，只需从s(t)中减去受控系统中产生的混沌信号x′(t)，就可以获得还原的有用信号，m′(t) =s(t)-x′(t).原始信号与还原信号的信号误差为，e(t)=m(t)-m′(t).原始有用信号如图6所示，通过混沌保密系统后恢复出的信号如图7所示，传输过程如图8所示.显然，经过较短时间后，有用信号与解调出来的信号的误差几乎为0.另外，利用自适应控制方法响应系统的参数还可以是未知的，可见这种方法应用于保密通信的有效性.6 结语本文研究了一类新混沌系统的同步问题，基于李雅普诺夫稳定性理论，利用参数未知时自适应控制方法构造非线性控制器以及激活控制实现该系统的自同步，仿真实验验证了方法的正确性.最后，采用自适应混沌同步方法进行保密通信实验，实验结果表明，利用混沌掩盖可以有效地恢复出信息信号.此外，在参数不确定的条件下，自适应同步法可同时完成混沌系统的参数辨识和同步，这种方法用于保密通信具有更高的保密效果.参考文献:［1］方锦清.非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景(二)［J］.物理学进展，1996，16(2):137－159.［2］陈保颖.线性反馈实现Liu系统的混沌同步［J］.动力学与控制学报，2006，4(1):41－43.［3］于洪洁.对称非线性耦合混沌系统的同步［J］.物理学报，2005，54(7):3029－3033.［4］贾贞，邓光明.超混沌Lu系统的线性与非线性耦合同步［J］.物理学报，2007，5(3):220－22.［5］黄纬.张化光，王智良.参数未知的不同结构系统的自适应同步［J］.系统仿真学报，2005，17(11):2689－2700.［6］马海军，陈予恕.一类金融系统分岔混沌拓扑结构与全局复杂性研究(I)［J］.应用数学和力学，2001，22(2): 1119－1128.。