北师大版八年级下册数学计算总复习

北师大版2020八年级数学下册期末复习综合训练题3（基础 含答案）1．上复习课时，李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：1x ，12，212x +，3xy π，3x y +，a ＋1m，其中正确的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知x y >，下列变形正确的是（ ）A ．11x y -<-B ．2121x y +<+C ．x y -<-D ．22x y < 3．如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b(k≠0)在第一象限交于点M(1,2)，若直线l 2与x 轴的交点为A(－2，0)，则－2x ＋4> kx ＋b>0的解集 （ ）A ．－2＜xB ．－2＜x ＜1C ．x ＜2D ．-2＜x ＜24．如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长为3cm ，则DE 的长是（ ）A ．2cmB ．1.5cmC ．1.2cmD ．1cm5．如图，点A 的坐标是()2,2，若点P 在x 轴上，且APO ∆是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．()1,0B ．()2,0C ．()22,0-D ．()4,06．下列角度中，是多边形内角和的只有( )A ．270°B ．560°C ．630°D ．1 800°7．观察图中的函数图象，则关于的不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）A ．-a 2+b 2B ．-x 2-y 2C ．49x 2y 2-z 2D ．16m 4-25n 2p 2 9．英国和新加坡研究人员制造出观测极限为0.00000005m 的光学显微镜，这是迄今为止观测能力最强的光学显微镜.将数据0.00000005用科学记数法表示为( )A ．0.5×10-7B ．5×10-8C ．5×10-9D ．50×10-6 10．下列各式: 116,,1,32b a x a b ++- 其中，分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．一年一度的“八中之星”校园民谣大赛是每年八中艺术节的重要活动之一，吸引了众多才华横溢的八中同学参赛.该比赛裁判小组由若干人组成，每名裁判员给选手的最高分不超过10分.今年大赛一名选手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.84分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分.那么，所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是________分.12．如图，Rt ABC ∆中，ACB=90∠︒，AC=CB=42，BAD=ADE=60∠∠︒，AD=5，CE 平分ACB ∠，DE 与CE 相交于点E ，则DE 的长等于_____.13．如图，有边长为1的等边三角形ABC 和顶角为120°的等腰DBC ∆，以D 为顶点作60MDN ∠=︒角，两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连结MN ，则AMN ∆的周长为________.14．如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点为的中点，则的长为______.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2cm ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 从点E 出发，沿EF 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时动点Q 从点B 出发，沿BF 方向匀速运动，速度为2cm /s ，连接PQ ，设运动时间为ts （0＜t ＜1），则当t ＝___时，△PQF 为等腰三角形．16．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，点F 是BC 的中点，作AE ⊥CD 于点E ，点E 在线段CD 上，连接EF 、AF ，下列结论：①2∠BAF ＝∠C ；②EF ＝AF ；③S △ABF ＝S △AEF ；④∠BFE ＝3∠CEF ．其中一定正确的是_____．17．直角△ABC 中，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，AB ＝5cm ，将△ABC 沿CB 方向平移3cm ，则边AB 所经过的平面面积为_______cm 2.18．分解因式：81x -=______．19．如果方程2a x -＋3＝12x x--有增根，那么a ＝________． 20．如图，在△ABC 中，∠C=70°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A'处，且A'C=A'E ，则∠A'ED=____°．21．某地组织20辆汽车装运A 、B 、C 三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2辆车．（1）设用x 辆车装运A 种苹果，用y 辆车装运B 种苹果，根据下表提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； 苹果品种 A B C每辆汽车（吨） 2.2 2.1 2每吨苹果获利（百元） 6 8 5（2）设此次外销活动的利润为W 百元，求W 与x 之间的函数关系式，当x 为何值时，W （百元）取得最大利润，并安排此时相应的车辆调配方案.22．某市政部门为了保护生态环境，计划购买A ，B 两种型号的环保设备．已知购买一套A 型设备和三套B 型设备共需230万元，购买三套A 型设备和两套B 型设备共需340万元．（1）求A 型设备和B 型设备的单价各是多少万元；（2）根据需要市政部门采购A 型和B 型设备共50套，预算资金不超过3000万元，问最多可购买A 型设备多少套？23．如图，在等边三角形ABC 中，4AB =，点E 是AC 边上的一点，过点E 作//DE AB 交BC 于点D ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F .（1）求证：CEF ∆是等腰三角形；（2）点E 满足__________时，点D 是线段BF 的三等分点；并计算此时CEF ∆的面积.24．如图，四边形ABCD 是矩形（1）尺规作图：在图8中，求作AB 的中点E （保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CE ，DE ,若2,3AB AD ==, 求证：CE 平分∠BED25．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将平移，使点到的位置.（1）画出平移后的； （2）连接、，则线段与的关系是______； （3）求的面积.26．阅读理解： 若一个整数能表示成a 2+b 2（a 、b 是整数）的形式，则称这个数为“平和数”，例如5是“平和数”，因为5＝22+1，再如，M ＝x 2+2xy +2y 2＝（x +y ）2+y 2（x ， y 是整数），我们称M 也是“平和数”．（1）请你写一个小于5的“平和数”，并判断34是否为“平和数”．（2）已知S ＝x 2+9y 2+6x ﹣6y +k （x ，y 是整数，k 是常数，要使S 为“平和数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由．（3）如果数m ，n 都是“平和数”，试说明22()()4m n m n +--也是“平和数”． 27．分解因式：（1）22242x xy y -+. （2）()()229a b a b --+. 28．解不等式组3432(1)1x x x ①②>-⎧⎨+-≥⎩，并将解集在数轴上表示出来． 29．214416x x =--. 30．已知：∠AOB 和两点C 、D ，求作一点P ，使PC=PD ，且点P 到∠AOB 的两边的距离相等．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）参考答案1．B【解析】【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行分析即可．【详解】1 x ，3x y, a＋1m是分式，只有3个，故选B．【点睛】此题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．2．C【解析】【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】A、两边都减3，不等号的方向不变，故A错误；B、两边都乘以2，不等号的方向不变，两边再加1，不等号的方向不变，故B错误；C、两边都乘以-1，不等号的方向改变，故C正确；D、两边都除以2，不等号的方向不变，故D错误；故选C．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．3．B【解析】【分析】观察函数图象得到当-2＜x＜1时，－2x＋4> kx＋b>0．【详解】根据图象可得不等式－2x＋4> kx＋b>0的解集为：－2＜x＜1；故选：B【点睛】此题主要考查了一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．4．B【解析】试题分析：三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；本题利用定理计算即可由BC的长为3cm，得DE=1.5．故选B．考点：三角形中位线定理5．A【解析】【分析】∆是等腰三角形时P点的位本题可先根据勾股定理求出OA的长，然后结合选项分析APO置，然后用排除法求解．【详解】解：点A的坐标是（2，2），根据勾股定理：则OA＝-，当OA＝OP＝，且点P在点O左侧时，P点坐标为：()4,0，当OA＝AP时，由对称性可知P点坐标为：()2,0，当OP＝AP时，则P点坐标为：()1,0∴点P的坐标不可能是()故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和性质，分情况讨论．6．D【解析】【分析】n（n≥3）边形的内角和是（n-2）180°，因而多边形的内角和一定是180°的整数倍，由此即可求出答案．【详解】∵多边形的内角和是（n-2）180°（n≥3），∴多边形的内角和一定是180°的整数倍，四个选项中，只有1800°是180°的整数倍，故选D.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的内角和是（n-2）180°（n≥3），熟记定理并灵活运用是解题关键.7．D【解析】【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x＜1时，ax＜bx+c，推出x＜1时，ax＜bx+c，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），当x＞1时，ax＞bx+c，∴关于x的不等式ax-bx＞c的解集为x＞1．故选：D．【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系的理解和掌握，能根据图象得出正确结论是解此题的关键．8．B【解析】【分析】根据平方差公式的特点：两平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法就可．【详解】A、-a2+b2=(b+a)(b-a)；B、-x2-y2=-(x2+y2)，提取公因式-1后是两数的平方和，不能用平方差公式分解因式；C、49x2y2－z2 =(7xy+z)(7xy-z)；D、16m4－25n2p2=(4m2+5np)(4m2-5np)，故选B．【点睛】本题考查用平方差公式分解因式的多项式的特点，熟记平方差公式结构是解题的关键. 9．B【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式写出即可.【详解】解：数据0.00000005用科学记数法表示为：0.00000005=5×10－8.故选：B.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．10．B【解析】【分析】根据分式的概念判断即可.【详解】解：在116,,1,32b axa b++-中，是分式的有：1a和62ab+，共2个.故选：B.【点睛】本题考查了分式的定义，属于基础概念题，熟知分式的概念是关键.11．9.36【解析】【分析】设裁判员有x名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分，可求出最高分的代数式从而列出不等式，得到最高分就能求出最低分．【详解】设裁判员有x名，那么总分为9.84x；去掉最高分后的总分为9.82（x-1），由此可知最高分为9.84x-9.82（x-1）=0.02x+9.82；去掉最低分后的总分为9.9（x-1），由此可知最低分为9.84x-9.9（x-1）=9.9-0.06x．因为最高分不超过10，所以0.02x+9.82≤10，即0.02x≤0.18，所以x≤9．当x取7时，最低分有最小值,则最低分为9.9－0.06x=9.9-0.54=9.36．故答案是：9.36.【点睛】考查理解题意的能力，关键是表示出最高分的代数式，列出不等式求出最高分，然后求出最低分，根据平均分求出人数．12．3【解析】【分析】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，由∠BAD=∠ADE=60°可得三角形ADH是等边三角形，根据等腰直角三角形的性质可知CG⊥AB，可求出AG的长，进而可得GH的长，根据含30°角的直角三角形的性质可求出EH的长，根据DE=DH-EH即可得答案.【详解】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，∵∠BAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60°，∵AC=BC，CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴AB=22AC CB=8，AG=12AB=4，CG⊥AB，∴GH=AH=AG=5-4=1，∵∠DHA=60°，∴∠GEH=30°，∴EH=2GH=2∴DE=DH-EH=5=2=3.故答案为3【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质并正确作出辅助线是解题关键.13．2【解析】【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠BCD=∠DBC=30°，∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在△BDF和△CND中，∵BF CNFBD DCN DB DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CND(SAS)，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠BDM+∠BDF=60°，在△DMN和△DMF中，∵DM MDFDM MDN DF DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMN≌△DMF(SAS)∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=1+1=2，故答案为：2【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理.14．5【解析】【分析】过G作GM⊥AD，延长MG交BC于N，根据矩形性质可得四边形MNCD是矩形，MD=NC，MN=CD，根据EC=2BE可求出CE的长，由三角形中位线的性质可求出NG、NC的长，进而可得MG、AM的长，利用勾股定理求出AG的长即可.【详解】过G作GM⊥AD，延长MG交BC于N，∴四边形MNCD是矩形，∴MD=NC，MN=CD，∵EC=2BE，BC=6，∴EC=4，∵F为CD的中点，CD=AB=4，∴CF=2，∵G为EF中点，MN//CD，∴NC=EC=2，NG=CF=1，∴MG=MN-NG=4-1=3，AM=AD-MD=6-2=4，∴AG===5.故答案为：5【点睛】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，三角形的中位线，平行于第三边，且等于第三边的一半；三角掌握相关性质是解题关键.15．2． 【解析】【分析】 由勾股定理和含30°角的直角三角形的性质先分别求出AC 和BC ，然后根据题意把PF 和FQ 表示出来，当△PQF 为等腰三角形时分三种情况讨论即可.【详解】解：∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2cm ，∴AC ＝2AB ＝4cm ，BC ＝∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ＝12BC ，BF ＝12AC ＝2cm ， 由题意得：EP ＝t ，BQ ＝2t ，∴PF t ，FQ ＝2﹣2t ，分三种情况：①当PF ＝FQ 时，如图1，△PQF 为等腰三角形．t ＝2﹣2t ，t ＝2；②如图2，当PQ ＝FQ 时，△PQF 为等腰三角形，过Q 作QD ⊥EF 于D ，∴PF ＝2DF ，∵BF ＝CF ，∴∠FBC ＝∠C ＝30°，∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∴∠PFQ ＝∠FBC ＝30°，∵FQ ＝2﹣2t ，∴DQ ＝12FQ ＝1﹣t ，∴DF ＝ 1﹣t ），∴PF＝2DF＝23（1﹣t），∵EF＝EP+PF＝3，∴t+23（1﹣t）＝3，t＝6+311；③因为当PF＝PQ时，∠PFQ＝∠PQF＝30°，∴∠FPQ＝120°，而在P、Q运动过程中，∠FPQ最大为90°，所以此种情况不成立；综上，当t＝2﹣3或6+3时，△PQF为等腰三角形．故答案为：2﹣3或6+3．【点睛】勾股定理和含30°角的直角三角形的性质及等腰三角形的判定和性质都是本题的考点，本题需要注意的是分类讨论不要漏解.16．①②④．【解析】【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：①∵F是BC的中点，∴BF＝FC，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，∴∠AFB＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，∴∠BAF＝∠DAF，∴2∠BAF＝∠BAD，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAF＝2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF＝∠C，∵F为BC中点，∴BF＝CF，在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°，∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△AEF＝S△AFM，∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA＝x，则∠F AE＝x，∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EF A＝180°﹣2x，∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠CEF ＝90°﹣x ，∴∠BFE ＝3∠CEF ，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF ≌△DME ．17．9【解析】【分析】根据平移的性质，AB 经过的平面是底边长等于平移距离，高为AC 的平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，边AB 所经过的平面是底边为3cm ，高为AC 的平行四边形，面积=3×3=9cm 2． 故答案为：9cm 2．【点睛】本题考查平移的性质，判断出AB 所经过的平面的形状是解题的关键．18．()()()()421111x x x x +++- 【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可.【详解】解：()()()()()()()()()844422421111111111x x x x x x x x x x -=+-=++-=+++- 故答案为：()()()()421111x x x x +++-. 【点睛】此题考查的是因式分解，掌握用平方差公式因式分解是解决此题的关键.19．1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,根据分式方程有增根得到x=2,将x=2代入整式方程计算即可求出a 的值.【详解】解:分式方程去分母得:a+3(x-2)=x-1,根据分式方程有增根,得到x-2=0,即x=2,将x=2代入得:a=2-1=1,故答案为:1【点睛】此题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.20．55°【解析】【分析】根据等边对等角即可证出∠A'EC=∠C=70°，再根据翻折的性质即可求出∠A'ED.【详解】解：∵A'C=A'E∴∠A'EC=∠C=70°由翻折的性质可知：∠A'ED=∠AED=12（180°－∠A'EC ）=55°. 【点睛】此题考查的是翻折的性质和等腰三角形的性质，根据翻折的性质找到相等的角和掌握等边对等角是解决此题的关键.21．（1）220y x =-+， 2≤x ≤9；（2）当2x =时，W 的值最大，315.2W =最大值（百元），安排车辆的方案如下：装运A 种苹果2车，B 种苹果16车，C 种苹果2车.【解析】【分析】（1）先表示出C 种苹果所用的车辆的数量，根据全部装满得到()2.2 2.122042x y x y ++--=,再由每种苹果不少于2辆车得到22202x x ≥⎧⎨-+≥⎩,解不等式组即可解题,（2）利用（1）中的数量关系表示出利润W 与x 之间的函数关系,再利用函数的增减性找到函数的最值即可解题.【详解】（1）根据题意，运A 种苹果x 车，B 种苹果y 车，∴运C 种苹果()20x y --车，由题意得：()2.2 2.122042x y x y ++--=，整理得220y x =-+由题意可知22202x x ≥⎧⎨-+≥⎩，解得2≤x ≤9 ∴y 与x 之间的函数关系式是220y x =-+，自变量x 的取值范围是2≤x ≤9.（2）由题意可知：W ()6 2.28 2.12205233610.4x x x x =⨯+⨯-++⨯=-∵10.40k =-<∴W 随x 的增大而减小∴当x 取最小值时，W 的值最大即当2x =时，W 的值最大，max 33610.42315.2W =-⨯=（百元）∴安排车辆的方案如下：装运A 种苹果2车，B 种苹果16车，C 种苹果2车.【点睛】本题考查了一次不等式与一次函数的实际应用,中等难度,综合性强,认真审题,找到题干中的等量关系是解题关键.22．（1）A 型设备的单价是80万元，B 型设备的单价是50万元；（2）最多可购买A 型设备16套．【解析】【分析】（1）设A 型设备的单价是x 万元，B 型设备的单价是y 万元，根据“购买一套A 型设备和三套B 型设备共需230万元，购买三套A 型设备和两套B 型设备共需340万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A 型设备m 套，则购进B 型设备（50-m ）套，根据总价=单价×数量结合预算资金不超过3000万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】（1）设A 型设备的单价是x 万元，B 型设备的单价是y 万元，依题意，得：323032340x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：8050x y =⎧⎨=⎩． 答：A 型设备的单价是80万元，B 型设备的单价是50万元．（2）设购进A 型设备m 套，则购进B 型设备(50)m -套，依题意，得：8050(50)3000m m +-„， 解得：503m „． m Q 为整数，m ∴的最大值为16．答：最多可购买A 型设备16套．【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程.23．（1）见解析；（2）E 是AC 的中点，CEF S ∆.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质得到60EDC B ∠=∠=︒，根据三角形的内角和求出30F ∠=︒，根据三角形外角的性质求出603030CEF ∠=︒-︒=︒，得到 CEF F ∠=∠，即可证明.（2）过点E 作EP DF ⊥，交DF 于点P ,当点E 是AC 的中点时，2AE EC CD DB CF =====,求出高，即可求出CEF ∆的面积.解：证明：（1）∵ABC ∆是等边三角形，∴AB BC AC ==，60A B ACB ∠=∠=∠=︒∵//DE AB ，∴60EDC B ∠=∠=︒∵EF DE ⊥∴90DEF ∠=︒∴30F ∠=︒∵ACB ∠是CEF ∆的外角，且60ACB ∠=︒，∴603030CEF ∠=︒-︒=︒，∴CEF F ∠=∠，∴CE CF =，∴CEF ∆是等腰三角形.（2）E 是AC 的中点（或AE CE =）.过点E 作EP DF ⊥，交DF 于点P∵//DE AB ，∴60CED A ∠=∠=︒，∴CDE ∆是等边三角形.当点E 是AC 的中点时，2AE EC CD DB CF =====在CEF ∆中，90EPC ∠=︒，60ECP ∠=︒，∴30PEC ∠=︒，∴11,32CP CE PE ===. ∴11·23322CEF S CF EP ∆==⨯=. 【点睛】考查平行线的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，难度一般.24．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）作AB的垂直平分线即可得到AB的中点E，E点即为所求;(2)先利用勾股定理求出DE=2，再利用平行线的性质可得出结果.【详解】如图，四边形ABCD是矩形了（1）正确作出AB的垂直平分线下结论：点E为所求（2）∵E是AB的中点∴AE=11 2AB=∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°AB=CD=2∴222DE AD AE=+=∴DE=DC∴∠DEC=∠DCE∵AB∥CD∴∠CEB=∠DCE∴∠CEB=∠DEC∴CE平分∠BED【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．25．（1）见解析；（2）平行且相等；（3）4.【分析】（1）根据网格结构找出点B、C的对应点B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）由平移的性质即可解答；（3）利用经过点的长方形的面积减去3个小直角三角形的面积即可求得的面积.【详解】（1）如图所示：（2）由平移的性质可得线段与的关系是平行且相等；（3）的面积为：3×4-×1×2-×2×4-×2×3=4.【点睛】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．26．（1）2（答案不唯一），是；（2）10，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“平和数”的定义可得；（2）利用配方法，将S配成平和数，可求k的值；（3）根据完全平方公式，可证明22()()4m n m n+--也是“平和数”．【详解】（1）∵2=12+12∴2是平和数∵34=52+32∴34是平和数（2）∵S=x 2+9y 2+6x-6y+k=（x+3）2+（3y-1）2+k-10∴k=10时，S 是平和数（3）设m=a 2+b 2，n=c 2+d 2 ∴22()()4m n m n +--=mn=（a 2+b 2）（c 2+d 2） =a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2+2abcd-2abcd∴mn=（ac+bd ）2+（ad-bc ）2∴mn 是平和数 ∴22()()4m n m n +--也是“平和数”． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是解决本题的关键．27．（1）()22x y -；（2）()()422a b a b -- 【解析】【分析】（1）首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．（2）先用平方差公式分解，再化简即可．【详解】解：（1）原式()()222222x xy yx y =-+=-； （2）原式()()223a b a b ⎡⎤=--+⎣⎦()()()()33a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()4224a b a b =--()()422a b a b =--.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，注意分解要彻底．28．0x≥【解析】【分析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．【详解】3432(1)1x xx>-⎧⎨+-≥⎩①②由①得：x>-2；由②得：x≥0；所以不等式组的解集为：x≥0.在数轴上表示为：【点睛】本题在分别解完不等式后可以利用数轴或口诀“比大的小，比小的大，中间找”得到最终结果，此题考查利用数形结合解不等式组，是对学生基本运算方法、运算法则、基本性质的运用能力的考查．29．0x=【解析】【分析】先通过方程两边乘最简公分母216x-将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是不是分式方程的解.【详解】214416x x=--解：44x+=x=经检验0x=是分式方程的解.【点睛】本题考查解分式方程. 切记解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.30．见详解.【解析】【分析】由所求的点P满足PC=PD，利用线段垂直平分线定理得到P点在线段CD的垂直平分线上，再由点P到∠AOB的两边的距离相等，利用角平分线定理得到P在∠AOB的角平分线上，故作出线段CD的垂直平分线，作出∠AOB的角平分线，两线交点即为所求的P点．【详解】解：如图所示：作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，与OA、OB分别交于两点；（2）分别以这两交点为圆心，大于两交点距离的一半长为半径，在角内部画弧，两弧交于一点；（3）以O为端点，过角内部的交点画一条射线；（4）连接CD，分别为C、D为圆心，大于12CD长为半径画弧，分别交于两点；（5）过两交点画一条直线；（6）此直线与前面画的射线交于点P，∴点P为所求的点．【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及的知识有：角平分线性质，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键．。

第四章复习一、选择题（每小题4分，共20分）1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2. 下列因式分解正确的是（ ）A ．32(1)x x x x -=-B ．2269(3)a a a -+-=--C ．222()x y x y +=+D ．322(1)(1)a a a a a a -+=+-3. 已知a 为任意整数，且22(13)a a +-的值总可以被n （n 为自然数，且1n ≠）整除，则n 的值为（ ） A ．13B ．26C ．13或26D ．13的倍数4. 已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足442222b a c b c a -=-，则△ABC的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5. 已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 有（ ） A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个二、填空题（每小题4分，共20分）6. 分解因式：41x -=_______________________．7. 计算：22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________________． 8. 若代数式229x kxy y ++是完全平方式，则k 的值为________________． 9. 若22340a ab b --=，则ab的值为________________． 10. 当x =_____________时，245x x -+取得最小值．三、解答题（本大题共6小题，满分60分） 11. （12分）把下列各式因式分解．（1）22()()x x y y y x ---；（2）31m m x x ++-；（3）222(1)4a a +-；（4）2212x xy y -+-；（5）2310x x --； （6）32412x x x --．12. （8分）证明：851-能被20至30之间的两个整数整除．13. （8分）已知5x y -=，3xy =，求下列各式的值．（1）22x y +；（2）44x y +．14. （8分）已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足222166100a b c ab bc --++=，求证：2a c b +=．15. （10分）阅读下列因式分解的过程，然后解答问题．2231(1)(1)(1)[1(1)] (1)(1) (1)x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=+（1）上述因式分解的方法是_____________________． （2）分解因式：220141(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++=________________．（3）分解因式：n x x x x x x x )1()1()1(12++++++++ （其中n 为正整数）．16. （14分）阅读下列材料，然后解答问题．将下图中的1个正方形和3个长方形拼成一个大长方形，并观察这4个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．xpxqxxxqpqpx∵用间接法表示大长方形的面积为2x px qx pq +++， 用直接法表示大长方形的面积为()()x p x q ++， ∴2()()x px qx pq x p x q +++=++．我们得到了可以进行因式分解的公式：2()()()x p q x pq x p x q +++=++．（1）运用得到的公式将下列多项式分解因式． ①245x x +-；②2712y y -+．（2）如果二次三项式“22a ab b ++□□”中的“□”只能填入有理数1，2，3，4，并且填入后的二次三项式能进行因式分解，请你写出所有符合条件的二次三项式．。

思维特训(十二)因式分解——十字相乘法方法点津·十字相乘法(1)对于二次三项式ax2＋bx＋c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，a＝a1·a2 , c＝c1·c2,且满足b＝a1c2＋a2c1ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．(2)二次三项式x2＋px＋q的分解：p＝a＋b，q＝ab x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．(3)理解：把x2＋px＋q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号的因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同；如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p.典题精练·1．分解因式：x2＋3x＋2.分析：(＋1)×(＋2)＝＋2常数项(＋1)＋(＋2)＝＋3一次项系数解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．按以上方法分解因式：x2＋14x＋48.2．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2＋5x－7，具体步骤：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2＝2×1，把常数项－7也分解为两个因数的积，即－7＝－1×7；②按图12－TX－1所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×(－1)＋1×7＝5.图12－TX－1③这样，就可以按图12－TX－1中虚线所指，对2x2＋5x－7进行因式分解了，即2x2＋5x－7＝(2x＋7)(x－1)．请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：(1)x2＋4x＋3；(2)2x2＋3x－20.3．阅读下面的材料并完成填空：因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2＋px ＋q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b 两数满足ab＝q，a＋b＝p，则有x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．如分解因式：x2＋5x＋6.解：因为2×3＝6，2＋3＝5，所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．再如分解因式：x2－5x－6.解：因为－6×1＝－6，－6＋1＝－5，所以x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)．阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看！因式分解：(1)x2＋7x＋12；(2)x2－7x＋12；(3)x2＋4x－12；(4)x2－x－12.4．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2＋bxy＋cy2的关于x，y的二次三项式，关键是把x2项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1·a2，把y2项的系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1·c2，并使a1·c2＋a2·c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写出结果：ax2＋bxy＋cy2＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)．例：分解因式：x2－2xy－8y2.解：如图12－TX－2①，其中1＝1×1，－8＝(－4)×2，而－2＝1×2＋1×(－4)，∴x2－2xy－8y2＝(x－4y)(x＋2y)．而对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图12－TX－2②，将a分解成m，n的乘积作为一列，c分解成p，q的乘积作为第二列，f分解成j，k的乘积作为第三列．若mq＋np＝b，p k＋q j＝e，m k＋n j＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝(mx＋py＋j)(nx＋qy＋k)．图12－TX－2例：分解因式：x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2.解：如图12－TX－2③，其中1＝1×1，－3＝(－1)×3，2＝1×2，而2＝1×3＋1×(－1)，1＝(－1)×2＋3×1，3＝1×2＋1×1，∴x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝(x－y＋1)(x＋3y＋2)．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：①6x2－17xy＋12y2＝__________；②2x2－xy－6y2＋2x＋17y－12＝__________；③x2－xy－6y2＋2x－6y＝__________．(2)若关于x，y的二元二次式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．5．分解因式：(1)5x2－17x＋6；(2)20x2－43xy＋14y2；(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2；(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72.详解详析1．解：x2＋14x＋48＝(x＋6)(x＋8)．2．解：(1)x2＋4x＋3＝(x＋3)(x＋1)．(2)2x2＋3x－20＝(x＋4)(2x－5)．3．解：(1)x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)．(2)x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)．(3)x2＋4x－12＝(x＋6)(x－2)．(4)x2－x－12＝(x－4)(x＋3)．4．解：(1)①(3x－4y)(2x－3y)②(x－2y＋3)(2x＋3y－4)③(x－3y)(x＋2y＋2)(2)如图：m＝3×9＋(－8)×(－2)＝43，或m＝9×(－8)＋3×(－2)＝－78.5．解：(1)5x2－17x＋6＝(5x－2)(x－3)．(2)20x2－43xy＋14y2＝(4x－7y)(5x－2y)．(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2＝(m－3)(m＋1)x2－(m＋5)x－2＝[(m－3)x－2][(m＋1)x＋1]．(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72＝(x－4)(x－1)(x－2)(x＋1)－72＝[(x－4)(x＋1)][(x－1)(x－2)]－72＝(x2－3x－4)(x2－3x＋2)－72.设x2－3x＝t，则(t－4)(t＋2)－72＝t2－2t－80＝(t－10)(t＋8)＝(x2－3x－10)(x2－3x＋8)＝(x－5)(x＋2)(x2－3x＋8)．。

北师大版八年级下册数学各章知识点总结集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >.(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, c b c a <2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。

期末复习(六) 平行四边形01 各个击破)命题点1 平行四边形的性质与判定【例1】 (桂林中考)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.【思路点拨】 (1)先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB ＝CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；(2)因为AB ＝CD ，∠CAB ＝∠ACD 已知，则只需要再证明一组对应角相等即可． 【解答】 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12DC. ∴BEDF.∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∴∠CAB ＝∠ACD.∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM. 又∵AB＝CD ，∴△ABN ≌△CDM(ASA)．【方法归纳】 1.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可通过三角形全等的性质进行求解．1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝6，则AO 的长度等于3．2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并说明理由．解：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是相等且平行． 理由：∵CE∥AB， ∴∠DAO ＝∠ECO.∵OA ＝OC ，∠AOD ＝∠COE， ∴△ADO ≌△CEO.∴AD ＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴CD ∥AE ，CD ＝AE.3．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF. ∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)． (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.命题点2 三角形的中位线【例2】 (邵阳中考)如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连接CD 和EF. (1)求证：DE ＝CF ； (2)求EF 的长．【思路点拨】 (1)欲证DE ＝CF ，由三角形中位线定理可知DE ＝12BC ，而条件中有CF ＝12BC 故易证得；(2)欲求EF 的长，可证四边形DEFC 是平行四边形，因此只需求出CD 的长．在等边三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，因此运用勾股定理可求出，问题获解．【解答】 (1)证明：∵D，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12BC ，且DE∥BC. ∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE ＝CF.(2)由(1)知DE∥CF，且DE ＝CF ， ∴四边形DEFC 为平行四边形．∵△ABC 是等边三角形，边长是2，点D 是AB 的中点，AB ＝BC ＝2， ∴CD ⊥AB ，∠BDC ＝90°，BD ＝12AB ＝1. ∴CD ＝BC 2－BD 2＝22－12＝ 3. ∵四边形DEFC 为平行四边形， ∴EF ＝CD ＝ 3.【方法归纳】 若题中有中点通常考虑到三角形的中线和中位线，而在等边三角形(等腰三角形)中，中线同时也是高和角平分线．4．如图，CD 是△ABC 的中线，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，EF ＝2，则BD ＝4．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝70°，求∠PMN 的度数．解：∵M，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴MP ，PN 分别是△ABD，△BCD 的中位线， ∴MP12AB, PN12CD.∴∠MPD ＝∠ABD＝20°，∠BPN ＝∠BDC＝70°. ∴∠DPN ＝110°.∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝20°＋110°＝130°. 又∵AB＝CD ，∴MP ＝PN. ∴∠PMN ＝∠PNM. ∴∠PMN ＝25°.命题点3 多边形的内角和与外角和【例3】(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)A．90°B．180°C．210°D．270°【思路点拨】由AB∥CD，推导∠B＋∠C＝180°，故∠B，∠C两角的外角和是180°，根据多边形外角和等于360°可计算∠1＋∠2＋∠3度数．【方法归纳】对于求多边形的外角和或部分外角的和的问题，都要根据任意多边形的外角和是360°以及邻角和其补角的互补关系这两个知识点，来解决问题．6．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．7．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°，求两外角和α＋β的度数．解：∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A＝∠C＝90°.又∵∠E＋∠F＝260°，∴∠EDC＋∠ABC＝(6－2)×180°－90°×2－260°＝280°.∴β＋α＝(180°－∠EDC)＋(180°－∠ABC)＝360°－(∠EDC＋∠ABC)＝80°.故两外角和α＋β的度数为80°.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知平行四边形ABCD的周长为32 cm，AB＝4 cm，则BC的长为(B)A．4 cm B．12 cmD．16 cm D．24 cm2．(西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4 C．6 D．83．(临沂中考)将一个n边形变成n＋1边形，内角和将(C)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°4．(乐山中考)如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD 的周长为(D)A．5B．7C．10D．145．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(C)A．4和7 B．5和7C．5和8 D．4和176．(葫芦岛中考)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是(A)A．60°B．65°C．55°D．50°7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(B)A．2 3 B．43C．4 D．88．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B 为顶点的网格平行四边形的个数为(D)A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题(每小题4分，共24分)9．(陕西中考)一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的边数是8．10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC或∠ABE＝∠CDF，则四边形EBFD为平行四边形．11．(娄底中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是9．12．(泉州中考)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝3，则AB 的长为3．14．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10 cm ，6 cm ，一条对角线的长为8 cm ；则原三角形纸片的周长是48_cm 或(32＋813)cm ．三、解答题(共52分)15．(6分)一个多边形的内角和与外角和的差为1 260度，求它的边数． 解：设多边形的边数是n ，则(n －2)·180－360＝1 260.解得n ＝11. 答：它的边数为11.16．(8分)(陕西中考)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE ，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.在△ADF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠ADF ＝∠CBE，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)． ∴∠AFD ＝∠CEB. ∴AF ∥CE.17．(8分)(永州中考)如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3. (1)求证：BN ＝DN ； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN ＝∠DAN. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN， ∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB. 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线． ∴CD ＝2MN ＝6.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10＋10＋6＋15＝41.18．(10分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使EF ＝ED ，连接CF.(1)四边形DBCF 是平行四边形吗？说明理由；(2)DE 与BC 有什么样的位置关系和数量关系？说明理由． 解：(1)四边形DBCF 是平行四边形． 理由：∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.又∵EF＝ED ，∠CEF ＝∠AED， ∴△AED ≌△CEF(SAS)． ∴AD ＝CF ，∠A ＝∠ECF. ∴AD ∥CF ，即CF∥BD.又∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD＝CF. ∴四边形DBCF 是平行四边形． (2)DE∥BC，DE ＝12BC. 理由：∵EF＝ED ，∴DE ＝12DF. 又∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF ＝BC ，DF ∥BC. ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.19．(10分)(怀化中考)已知：如图，在△ABC 中，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，AD ，其交点为点O.求证： (1)△CDE≌△DBF； (2)OA ＝OD.证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝CE ，DF ∥CE ，DB ＝DC. ∵DF ∥CE ， ∴∠C ＝∠BDF.在△CDE 和△DBF 中，⎩⎨⎧DC ＝BD ，∠C ＝∠BDF，CE ＝DF ，∴△CDE ≌△DBF(SAS)．(2)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝AE ，DF ∥AE.∴四边形DEAF 是平行四边形． ∵EF 与AD 交于点O ， ∴OA ＝OD.20．(10分)(扬州中考改编)如图，AC 为长方形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可知：AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°， ∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC.∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM. ∴AM －MN ＝CN －MN ， 即AN ＝CM.在△ANF 和△CME 中，∠FAN ＝∠ECM，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME， ∴△ANF ≌△CME(ASA)． ∴AF ＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4. 在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2， 解得x ＝5.∴S 四边形AECF ＝EC·AB＝5×6＝30.。

八年级下册数学期末总复习知识清单（北师大版）学校：_______________班级：_______________姓名：_______________目录第一章三角形的证明第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第三章图形的平移与旋转第四章因式分解第五章分式与分式方程第六章平行四边形第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质1、五种基本判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专属判定定理）2、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

【例题】如如如如如AC=AD如如ACB=如ADB=90°如如如如如如如如如如如A、1对B、2对C、3对D、4对【解析过程】如如如如ACB=如ADB=90°如AB=AB如AC=AD如如Rt如ACB如Rt如ADB如HL如如如BC=BD如如CAB=如DAB如如ABC=如ABD如如AC=AD如如CAE=如DAE如如如ACE如如ADE如SAS如如如BC=BD如如CBE=如DBE如BE=BE如如如BCE如如BDE如SAS如如如如如C如二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；【例题1】如如如如如ABC如如AB=AD=DC如如BAD=26°如如如C如如如如【解析过程】【例题2】已知实数b a 、满足0)4(|2|2=-+-b a ，则以b a 、的值为两边的等腰三角形的周长是_________【解析过程】如如如如如如如a -2=0如b -4=0如如如a=2如b=4如如a=2如如如如如如如如如如如如如如4如4如2如如 4如4如2如如如如如如如 如 如如如如如如如10如如a=2如如如如如如如如如如如如如如4如2如2如2+2=4如如如如如如如如如 如如如如如如如如如如如如10如三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。