新课标人教版高中数学教案学案同步练习课堂巩固[附答案]

（本文档资料包括高一必修一数学各章节的课后同步练习与答案解析）第一章1．1 1.1.1集合的含义与表示课后练习[A组课后达标]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．12．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．25．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________。

7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________。

8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________。

9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。

10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值。

[B组课后提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集。

其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________。

数列其次章章末复习内容 本章诊疗 一、数列的概念 精要总结1.数列的概念的理解。

数列的数是按肯定次序排列的，因此假如组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列，例如4，5，6，7，8，9，10与数列10,9,8,7,6.5.4是两个不同的数列.数列的定义中并没有规定数列中的数必需不同，因此同一个数在数列中可以重复消灭； 数列的性质与集合中的元素相比较：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素是不能重复消灭；③有序性：一个数列不仅与构成的数列“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素是无序的； ④数列的每一项是数，而集合中的元素还可以代表除数字的其它事物. 2.对数列通项公式的理解（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N 或它的有限子集{1,2,3,}n 为定义域的函数的解析式.（2）假如知道数列中的通项公式，依次可以用1,2,3,n 去替代公式中的n 就可以求出这个数列中的各项，同时，可以利用数列的通项公式进行验证某数是否是数列中的某项，是第几项；（32的近似值，精确到0.1,0.01,0.001，所构成的数列为1,1.4,1.41,1.414,就写不出数列的通项公式.（4）有的数列的通项公式，在形式上是不肯定是唯一确定的，例如数列：1,1,1,1--的通项可以写成(1)nn a =-也可以写为1,()1n n a n -⎧=⎨⎩为奇数，（为偶数），还可以写为+2(1)n n a =-等，但是这些数列虽然形式不一样但是实质是一样的，表示同一数列，还应留意数列的通项还可以是分段函数的形式. 3.数列与函数由于数列是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数()n a f n =，当自变量依据从小到大的挨次取值时，所对应的一列函数值，因此数列的图像是以序号为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立点，依据函数的特性来争辩数列的问题，比如数列的单调性、图像、最值等 数列的概念易错点，利用函数争辩数列往往忽视数列的定义域4. 递推数列与通项公式 （1）通项公式直接反映了na 与n 之间的关系，即na 是n 的函数，知道任意一个n 值，可以求出该项的值na ；而递推数列则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n 直接推导na ，（2）.如何用递推公式给出一个数列用递推数列公式给出一个数列，必需给出① “基础”——数列{}n a 的第1项或前几项；②递推关系————数列{}n a 的任一项na 与它的前一项1n a -（或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.（3）.给出了递推公式求数列的通项公式，常用累加、累乘、周期性等学问求解 ①假如满足1()n n a a f n --=的规律时，可以有112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+累加.②满足1()n n a g n a -=时，可以有121121n n n n n a aa a a a a a ---=累乘. ③{}n a 为周期数列，则周期为T （T 为正整数）时，n n Ta a +=，可将na 转化为12,,,Ta a a 处理.2.错例辨析例2下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由 （1）数列1,2,3，4可以表示为{1,2,3,4} （2）数列1,1,2,2与数列2,2,1,1是相同的数列 （3）数列,,,a a a a --的第21项是a -（4）数列1,2,3,,n 是无穷数列错解：（2）（4）正确剖析：上面全错 搞清数列的概念正解：（1）错误，数列的表示不能与集合表示，所以是错误的； （2）错误，两个数列的次序不同是不同的数列；（3）正确，数列的奇数项是a -，所以第21项是21a a=-；（4）错误，数列是有穷数列. 例3已知下面数列{}n a 的前n 项和为nS ，求数列{}n a 的通项公式3n n S b=+错解：()()21113323n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⋅，所以通项为1123n n n n a S S --=-=⋅.剖析：由nS 求na 肯定要分两种状况，当1n =时，11S a =，对含有参数的问题要留意参数进行争辩正解：113a S b==+，当2n ≥时，()()21113323n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⋅.当1b =-时，1a 适合此等式；当1b ≠时，1a 不适合此等式.1b ∴=-时，123n n a -=⋅；当1b ≠时，13123,2n n b n a n -+⋅=⎧=⎨⋅≥⎩. 二、 等差数列 1. 精要总结（1）从其次项起每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列，常数必需相同，即表示为1n n a a --(2)n ≥是同一个常数，(1)从函数角度看等差数列的通项公式 等差数列的通项公式1(1)n a a n d=+-，可以表示为1()n a nd a d =+-，所以na 是n 的一次函数，其图像是一系列孤立点，当0d >时，是单调递增函数，当0d <是单调递减函数，当0d =是常函数，此时数列是常数列.（2）有两点可以确定一条直线知，知道数列中的任意两项可以求出数列的通项来；由1(1)n a a n d=+-中共含有四个量，知三个量可以求出通项公式中的第四个量，即“知三求一”.利用等差数列的性质可以简便易行，那么等差数列的性质有搞清等差数列的性质，在解决数列问题时，性质优先考虑，所以等差数列常用的性质（1）m n p q +=+，那么m n p qa a a a +=+；（2）()(,*)n m a a n m d n m N =+-∈；（3）{},{}n n a b 分别是公差为12,d d 等差数列，那么数列{}n n pa qb +是公差为12pd qd +但是留意在等差数列{}n a 中，假如2m n p +=，不能推出2m n pa a a +=.熟记等差数列的求和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，关于n 的二次函数，但是没有常数项，若有常数项就不是等差数列的前n 项和，可以依据二次函数求等差数列和的最大值与最小值；也可以依据数列的单调性依据通项na 的正负确定最大项与最小项，等差数列和的性质满足每k 项的和仍成等差数列即232,,n n n n nS S S S S --仍成等差数列. 1.等差数列的前n 项的和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+是2.等差数列的前n 项和的推导过程12311,n n n n n S a a a a S a a a -=++++=+++相加可得1()2n n n a a S +=这是数列求和的方法-----倒序相加求和. 3.由等差数列求和公式若已知1,,,,n na d n S a 中的三个，可以求出其余的两个.1.等差数列前n 项和的性质有：①n S 与n a 的关系满足11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩； ②若项数为2n ，则21(),n n n S n a a +=+且+1-=,n n S a S S nd S a =奇偶奇偶；若项数为2n 1-，则21(21)(),1n n n n S n S n a a S S a S n -=--==-奇奇偶偶为中间项，.③等差数列每k 项的和仍成等差数列，即232,,n n n n nS S S S S --仍成等差数列.2.等差数列的前n 项的和公式与函数的关系来解决等差数列的前n 项和的最值问题（1）二次函数法：用求二次函数最值的方法来 求等差数列的前n 项和的最值问题，留意*n N ∈； （2）用图像法：利用二次函数的图像的对称性来确定n 的值，使nS 取最值；（3）通项法：当10a >，0d <时，n 为使0n a ≥的最大的正整数时，n S 最大，这是由于：当0n a >时，1nn S S ->即递增；当0n a <时，1n n S S -<即递减；类似地，①当1100,0,0m m m a a d S a +≥⎧><⇒⎨≤⎩为最大值；②当110,0,0m mm a a d S a +≤⎧<>⇒⎨≥⎩为最小值.2. 错例辨析例4成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数.错解：这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++，则由题设得()()()()()()223326,426,40,40.a d a d a d a d a a d a d a d -+-++++=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩ 解得13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求的四个数为2,5,8,11. 剖析：四个数成等差数列可以按3,,,3a d a d a d a d --++设，但是留意公差不是d ，而是2d ，再就是留意2,5,8,11.与与11,8,5,2.是不同的等差数列.正解：设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++，则由题设得()()()()()()223326,426,40,40.a d a d a d a d a a d a d a d -+-++++=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩ 解得13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以，所求这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 例5在等差数列{}n a 中，已知120,a =前n 项的和为n S ，且1015S S =求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出最大项.错解：设公差为d ，由于1015S S =，所以由等差数列的前n 项和公式得10915141020152022d d ⨯⨯⨯+=⨯+，即53d =-，所以520(1)3n a n =--⨯，当0n a >时，520(1)0133n n --⨯>⇒<所以当12n =时，nS 最大，12121151220()13023S ⨯=⨯+⨯-= 剖析：事实上n a >是不正确的，应当满足10,0n n a a +≥≤正解：设公差为d ，由于1015S S =，所以由等差数列的前n 项和公式得10915141020152022d d ⨯⨯⨯+=⨯+，即53d =-，由于1015S S =，所以15100S S -=，即11121314150a a a a a ++++=，又由于111512141320a a a a a +=+==，又由于10,0d a <>，所以12140,0a a ><，故当1213n n ==或时nS 有最大值，为1213130S S ==.三、等比数列 1. 精要总结（1）在等比数列中公比0q ≠，任何一项也不为零，从其次项起每一项与前一项的比是同一个常数，各项均不为零的常数列即是等差又是等比数列. （2）理解等比数列的通项公式11n n a a q -=，在通项公式中，知道1,,,na n q a 中四个量中的三个可以求出另一量，可以推广为：n mn m a a q -=，三个数,,A x B 成等比数列,那么x 是,A B的等比中项，所以x =（3）等比数列的性质 ①在等比数列{}n a 中，公比是q ，当11,0q a >>或101,0q a <<<时，{}n a 是递增数列；当11,0q a ><或01q <<，10a >时，{}n a 是单调递减数列；当1q =时，数列{}n a 是常数列，当0q <是摇摆数列；②在等比数列{}n a 中，n mn m a a q -=（,*n m N ∈）③在等比数列{}n a 中，当m n p q+=+(,,,*)m n p q N ∈时，有m n p q a a a a =.④若有穷等比数列{}n a 中，则与首末等距离的两项的积相等，即12132n n n a a a a a a --===⑤在等比数列{}n a 中，若,,(,,*)m n p m n p N ∈成等差数列，那么,,m n pa a a 成等比数列.（4）等比数列的前n 项和①等比数列的前n 项的和公式为11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，其中共涉及五个量，1,,,,n na a n q S “知三求二”②前n 项和公式的应用中，要留意前n 项和公式的分类争辩，即1q =与1q ≠时不同的表达形式，不行忽视1q =的状况，③错位相减和裂项消去法是数列求和的基本方法，其中错位相减法要留意等式两边所乘的数不能为0，首末两位不能模糊不清. （5）等比数列和的性质 等比数列的性质：①n n S Aq A=-+与指数函数对应；②232,,n n n n nS S S S S --成等比数列，公比为nq .③等比数列{}n a 中，若项数为2n ，则=S S q偶奇，若项数为21n +，则1-S a q S =奇偶，利用等比数列的性质解题，可以事半功倍.有关应用问题，关键在于理解题意，建立起函数关系，当函数关系与数列的通项公式相对应时，考虑这些项是否为特殊的等差、等比数列中的项，有关增长率问题，一般归结为等比数列的求通项、求和问题，应用等比数列通项公式和前n 项和公式便可以解决. 2. 错例辨析例6已知数列}{n a 是非零等差数列，又a 1,a 3,a 9组成一个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a ++++的值是 .错解：忘考虑公差为零的状况.剖析：223191111(2)(8)a a a a d a a d a d =⇒+=+⇒=，13912410113131616a a a a a a a a ++==++1613正解：223191111(2)(8)a a a a d a a d a d=⇒+=+⇒=或0d =，当0d ≠时，13912410113131616a a a a a a a a ++==++，当0d =时， 13924101a a a a a a ++=++.答案：1或1613例7在等比数列{}n a 中，,(0,,,*)m n m n a A a B AB m n m n N +-==>>∈，求ma错解：设公比为q ，则1111,m n m n m n m n a a q A a a q B +---+-====，两式相乘可得22(1)12211()m m m m a q AB a q AB a AB a --=⇒=⇒=⇒=剖析：一方面ma 是m na +和m na -的等比中项，另一方面ma 的符号确定ma 在等比数列中的位置，错解中没有对ma 的符号进行精确 的推断致误.正解：同上2m a AB=当n 为奇数时，m n +与m的奇偶性相反，m a =当n 为偶数时，m n +与m 的奇偶性相同，即m a 与m n a +同号，故0,0)0,0)m A B a A B ⎧>>⎪=⎨<<⎪⎩)0,0)0,0m n a A B n A B n ⎧⎪⎪∴=>>⎨⎪<<⎪⎩为奇数，为偶数，为奇数）四、数列求和的方法 1. 精要总结对于数列求和遇到等差或等比数列的可以利用等差数列与等比数列的求和公式求和，那么不是等差或等比数列的求和可以有下面的方法①拆项相消求和，一般遇到分式或根式的数列把通项拆成两项的差再求和，常用的1111111,[](1)1(1)(2)2(1)(1)(2)n n a a n n n n n n n n n n n ==-==-+++++++，n a ==，留意拆成的两项的差肯定要与na 保持全都，否则配如适当的系数；②错位相减求和，一般遇到等差数列与等比数列的积可以利用错位相减求和，就是把nS 写出来，再同乘以公比，转化为等比数列再求和，第一留意项数，再就是公比是参数时留意争辩；③倒序相加求和；向等差数列求和公式的推导，到首末两端等距离的项数的和相等，这样的数列可以利用倒序相加求和；④分项分别求和：遇到简单的数列可以把数列的通项拆成几部分在分别求和，不论接受哪一种方法，一般先求数列通项，依据通项再求和. 2. 错例辨析例8求和22111()()()n n x x x y y y ++++++错解：23211(1)111(1)(1)11()()11111nn n n n n n nx x x x y y y S x x x x y yy x x y y y ----=++++++++=+=+----剖析：没有对公比1q =进行争辩，误认为是1q ≠致误正解：（1）当1,1x y ≠≠时，(1)1111n nn nx x y S x y y --=+-- （2）当1,1x y ≠=时，(1)1n n x x S nx -=+-； （3）当1,1x y =≠时1(1)nn ny S n y y -=+-； （4）当1,1x y ==时，2n S n=例9一个数列{}n a ，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =，求这个数列的前n 项的和，错解：22212113521210,2,,,,,k k k k ka a a a a a a a ++-+-==∴构成首项为6的等差数列，2462,,,ka a a a 构成首项为2，公比为2的等比数列，21(651)2(12)57+=2221222n n n n n S S S n n +++-∴=+=++--奇偶.剖析：在求和时，奇数项与偶数项都假设含有n 项是错误的，应分奇数与偶数进行争辩. 正解：当2n m =时，13521,,,,m a a a a -构成首项为6的等差数列，2462,,,ma a a a 构成首项为2，公比为2的等比数列， 122(651)2(12)572221284nm n m m S n n +++-=+=++--.当21n m =+时，122(1)[65(1)1]2(12)57(1)(1)2221284nm n m m S n n +++++-=+=++++--。

2.2.2二次函数的性质与图象学习目标 1.掌握二次函数的概念，能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的基本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值．知识点一二次函数的概念思考结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域？答案函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R.梳理 1.二次函数的定义函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R.2．二次函数的解析式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为顶点．(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．知识点二二次函数的图象与性质思考1二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个量影响图象的开口方向？答案x2的系数a影响开口方向．思考2二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什么？答案对称轴的位置与a，b两个量有关．对称轴为x＝－b 2a.梳理二次函数的性质与图象1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈R ，不可能是偶函数．( × )3．在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一平面直角坐标系中的开口大小．( √ )类型一 二次函数的图象例1 画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)若x 1＜x 2＜1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)由图象判断x 为何值时，f (x )＞0，f (x )＝0，f (x )＜0. 解 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4的图象如图所示．(1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|＜|3－1|，故f(1)＞f(0)＞f(3)．(2)∵x1＜x2＜1，∴|x1－1|＞|x2－1|，∴f(x1)＜f(x2)．(3)由图可知：当x＞3或x＜－1时，f(x)＜0；当x＝－1或x＝3时，f(x)＝0；当－1＜x＜3时，f(x)＞0.反思与感悟(1)观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－b2a的符号．另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题．(2)比较二次函数函数值的大小的方法①若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小．②若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．跟踪训练1已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.解(1)由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，图象如图：由图象可知，函数图象开口向上， 对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－8)． (2)由图象可知，当x ＞3或x ＜－1时，y ＞0； 当x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；当－1＜x ＜3时，y ＜0. 类型二 二次函数的对称性与单调性例2 已知函数f (x )＝x 2－ax 的单调增区间为(2，＋∞)． (1)求参数a 的值；(2)求对称轴方程；(3)求在R 上的最小值． 解 (1)∵f (x )＝x 2－ax ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24， ∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫a2，＋∞. 又f (x )的单调增区间为(2，＋∞)， ∴a2＝2即a ＝4. (2)对称轴方程为x ＝2. (3)f (x )min ＝f (2)＝－4. 引申探究1．若f (x )＝x 2－ax 在(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，4] 解析 ∵a2≤2，∴a ≤4.2．若f (x )＝x 2－ax 在[1,3]上单调，求a 的范围． 解 ∵f (x )＝x 2－ax 在[1,3]上单调， ∴区间必在对称轴x ＝a2的一侧，∴a 2≤1或a2≥3， ∴a ≤2或a ≥6，即a ∈(－∞，2]∪[6，＋∞)．反思与感悟 利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系． 跟踪训练2 已知函数y ＝ax 2＋(a －1)x ＋14在[1，＋∞)上是减函数，求a 的范围．解 (1)当a ＝0时，y ＝－x ＋14在[1，＋∞)上是减函数．(2)当a ＞0时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ，＋∞上为增函数，不合题意．(3)当a ＜0时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ，＋∞上为减函数，∴－a －12a ≤1，即a ≤13，∴a ＜0.综上所述a ∈(－∞，0]．类型三 二次函数在给定区间上的最值的求法例3 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． 解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2的对称轴为x ＝a 且开口向上． ∴①当a ≤2时，f (x )在[2,4]上为增函数． ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .②当2＜a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ③当a ＞4时，f (x )在[2,4]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .综上所述f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a ≤2，2－a 2，2＜a ≤4，18－8a ，a ＞4.引申探究1．若求f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最大值，如何分类？ 解 区间[2,4]的中点为3.∵f (x )＝x 2－2ax ＋2的对称轴为x ＝a 且开口向上， ∴①当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， ②当a ＞3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .综上所述f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a ＞3.2．若f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最大值为10，求a 的值． 解 由探究1知，当a ≤3时，f (x )max ＝18－8a ＝10， ∴a ＝1；当a ＞3时，f (x )max ＝6－4a ＝10， ∴a ＝－1(舍)． 综上所述a ＝1.3．若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求a 的取值范围． 解 由探究1知：①当a ≤3时，f (x )max ＝18－8a ≤a 恒成立， ∴a ≥2，即a ∈[2,3]．②当a ＞3时，f (x )max ＝6－4a ≤a ， ∴a ≥65，∴a ＞3.综上所述a ∈[2，＋∞)．反思与感悟 二次函数最值问题的解题策略 (1)确定对称轴，抛物线的开口方向，作图． (2)在图象上标出定义域的位置．(3)观察单调性写出最值．跟踪训练3已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a.(1)若方程x2－2ax＋2a＝0无解，求实数a的取值范围；(2)若x∈[－1,2]时，f(x)≥－2恒成立，求实数a的取值范围．解(1)Δ＝(－2a)2－8a＜0，解得0＜a＜2.(2)f(x)＝x2－2ax＋2a，对称轴为x＝a.当a＞2时，f(x)min＝f(2)＝4－2a≥－2，解得2＜a≤3.当－1≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a≥－2，解得1－3≤a≤2.当a＜－1时，f(x)min＝f(－1)＝1＋4a≥－2，解得a∈∅.综上所述，a的取值范围是[1－3，3].1．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是()A．(2，－2) B．(1，－2)C．(1，－3) D．(－1，－3)答案 D解析由于y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，所以函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是(－1，－3)．2．已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数()A．对称轴为x＝1，最大值为3B．对称轴为x＝－1，最大值为5C．对称轴为x＝1, 最大值为5D．对称轴为x＝－1，最小值为3答案 C解析 由y ＝－x 2＋2x ＋4＝－(x －1)2＋5，知对称轴为x ＝1, 最大值为5. 3．二次函数y ＝4x 2－mx ＋5的对称轴为x ＝－2，则当x ＝1时，y 的值为( ) A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 答案 D解析 对称轴x ＝m8＝－2，∴m ＝－16即y ＝4x 2＋16x ＋5， 当x ＝1时，y ＝4＋16＋5＝25.4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上为减少的，则( ) A ．a ＜－2 B ．a ≤－2 C ．a ＞－2 D ．a ≥－2答案 B解析 由题意，得－a －13≥1，解得a ≤－2.5．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1在[－2，－1]上的最大值是________，最小值是________． 答案 －2 －7解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋1的对称轴为x ＝1，开口向下， ∴f (x )max ＝f (－1)＝－1－2＋1＝－2， f (x )min ＝f (－2)＝－4－4＋1＝－7.1.作二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．2．若求二次函数在某闭(或开)区间(非R )内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域．(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.一、选择题1．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增答案 C解析当m＝0时，f(x)是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3，所以f(x)的图象是开口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间(－3,1)上先增后减．2．若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则()A．f(4)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(1)＜f(4)C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)答案 B解析f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小．又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)＞f(1)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则() A．a＝1，b＝－4，c＝－11B．a＝3，b＝12，c＝11C．a＝3，b＝－6，c＝－11D．a＝3，b＝－12，c＝11答案 D解析由二次函数的图象与y轴交点坐标为(0,11)，知c＝11，又因为函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，所以－b2a＝2，4ac－b24a＝－1，解得a＝3，b＝－12.4．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是()答案 C解析 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以为a <0，b <0，所以二次函数图象的开口向下，对称轴方程x ＝－b2a<0，只有选项C 适合．5．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]答案 D解析 f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3， ∴1≤m ≤2，故选D.6．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 答案 C解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0. 二、填空题7．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的有关叙述： (1)值域为R ；(2)在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增； (3)当b ＝0时，函数是偶函数． 其中正确说法的序号为________． 答案 (3)解析 二次函数的值域不可能为R ，故(1)错；当a ＜0时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，故(2)错；当b ＝0时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋c 为偶函数，故(3)正确．8．已知函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )(a ，b 为常数)的图象关于y 轴对称，其值域为(－∞，4]，则a ＝________，b ＝________. 答案 ±2 －1解析 ∵f (x )＝bx 2＋(a ＋ab )x ＋a 2图象关于y 轴对称，∴x ＝－a ＋ab 2b ＝0，∴－a －ab ＝0，① 又∵值域为(－∞，4]，∴4a 2b －(a ＋ab )24b＝4，② 由①②可知a ＝±2，b ＝－1.9．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________． 答案 1解析 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2.故当x ＝0时，函数有最小值，当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2，∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1.10．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [0，＋∞)解析 方法一 －x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值为0，∴a ≥0.方法二 设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ≥0，f (1)＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，3上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f ⎝⎛⎭⎫12＝54，f (3)＝5，∴f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，3上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．已知函数y ＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ，当a >1时，y min ＝－1.13．已知f (x )＝x 2＋2x －1，若x ∈[a ，a ＋1]，求f (x )的最小值．解 因为f (x )＝(x ＋1)2－2，故对称轴为x ＝－1.①当a ≥－1时，则区间[a ，a ＋1]在对称轴x ＝－1的右侧，所以y ＝f (x )在此区间上是单调递增的．所以f (x )min ＝f (a )＝a 2＋2a －1.②当a ＋1≤－1，即a ≤－2时，则区间[a ，a ＋1]在对称轴的左侧，所以y ＝f (x )在此区间上是单调递减的，所以f (x )min ＝f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋2(a ＋1)－1＝a 2＋4a ＋2.③当a ＜－1＜a ＋1时，即－2＜a ＜－1时，f (x )min ＝f (－1)＝－2.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋4a ＋2，a ≤－2，－2，－2＜a ＜－1，a 2＋2a －1，a ≥－1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，如图所示，则满足等式f (a －1)＝f (5)的实数a 的值为________．答案 －2或6解析 ∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若a －1与5重合，则a －1＝5，a ＝6；若a －1与5不重合，则a －1＋52＝1， ∴a ＝－2.15．函数f (x )＝(a －1)x 2＋2ax ＋1在区间(1,2)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x ＋1在区间(1,2)上是增函数；(2)当a ＞1时，由题意知，对称轴x ＝a 1－a≤1，解得a ＞1； (3)当a ＜1时，由题意知，对称轴x ＝a 1－a≥2，解得23≤a ＜1. 综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞.。

§2.4函数与方程2.4.1函数的零点学习目标 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．知识点函数零点的概念思考1函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．思考2函数一定都有零点吗？答案不一定．只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点．梳理 1.函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系1．f (x )＝x 2的零点是0.( √ ) 2．函数的零点是一个点．( × )类型一 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1；(2)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.解 (1)存在．因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1 ＝(8x ＋1)(－x ＋1)，所以方程－8x 2＋7x ＋1＝0有两个实根－18和1，即函数f (x )＝－8x 2＋7x ＋1的零点是－18和1.(2)存在．令f (x )＝0，即x 2＋4x －12x －2＝0，解方程得x ＝－6(x ＝2舍去)，所以函数f (x )＝x 2＋4x －12x －2的零点是－6.反思与感悟 求函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不易求根的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点． 跟踪训练1 求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2－1x ；(2)y ＝(ax －1)(x ＋2)． 解 (1)∵f (x )＝x 2－1x ，∴x ≠0.令f (x )＝0，即x 3－1＝0，∴x ＝1， ∴f (x )＝x 2－1x的零点为1.(2)①当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2. ②当a ≠0时，令y ＝0得x ＝1a 或x ＝－2.(ⅰ)当a ＝－12时，函数的零点为－2；(ⅱ)当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：当a ＝0或－12时，零点为－2；当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a ，－2.类型二 函数零点个数的判断例2 已知函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，求实数a 取何值时函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，(1)有两个零点；(2)有三个零点．解 令h (x )＝|x 2－2x －3|和g (x )＝a ，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a 的零点个数． (1)若函数有两个零点，则a ＝0或a ＞4. (2)若函数有三个零点，则a ＝4.引申探究若f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点，求a 的取值范围． 解 令f (x )＝0，得a －1＝2|x |－x 2. 令y 1＝a －1，y 2＝2|x |－x 2.∵f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点，∴y 1＝a －1，y 2＝2|x |－x 2的图象有四个不同的交点．画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示．观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.反思与感悟判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程的根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．(3)转化为两个函数图象交点问题．例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．跟踪训练2已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．解令f(x)＝|x2－6x＋8|，在平面直角坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当0<a<1时，原方程实数解的个数为4；当a>1或a＝0时，原方程实数解的个数为2.类型三函数零点性质的应用例3已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．解令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f(x)的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，f (2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a －4(a ＋1)＋a －1＜0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a －4(a ＋1)＋a －1＞0，解得0＜a ＜5， ∴a 的取值范围为(0,5)．反思与感悟 解决函数零点性质的应用问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．跟踪训练3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1＜0，f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案 D2．函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是( ) A ．(0，±2)；±2 B ．(±2,0)；±2 C ．(0，－2)；－2 D ．(－2,0)；2答案 B解析 令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2. 3．如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．[－2,6]C ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)D ．{－2,6} 答案 C解析 由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即m 2－4m －12＞0，由二次函数的图象(图略)知m＞6或m ＜－2.4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 答案 2 －8解析 ∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.5．若f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点是3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________． 答案 0，－1解析 ∵3是f (x )＝ax －b 的一个零点， ∴3a －b ＝0，即b ＝3a .∴g (x )＝bx 2＋3ax ＝3ax 2＋3ax ＝3ax (x ＋1)， ∴g (x )的零点是0，－1.1．函数的零点实质上是函数图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的零点．2．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．2．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3答案 C解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0， 所以b ＝±2.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则函数f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＜0时，x (x ＋4)＝0的解为x ＝－4；当x ≥0时，x (x －4)＝0的解为x ＝0或x ＝4.故f (x )有3个零点．4．下列说法中正确的个数是( ) ①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1；③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B. 5．若函数f (x )＝x ＋ax (a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．3 答案 A解析 f (x )＝x ＋a x 在(1,2)上有零点，即方程x ＋ax ＝0，亦即x 2＝－a 在(1,2)上有根．∴－4＜a＜－1，故选A.6．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．不能确定答案 B解析 由f (1)＝0，得a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ，∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2－4ac >0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点． 二、填空题7．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点有________个． 答案 3解析 ∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2.8．若函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，则f (1)＝________.答案 0解析 因为函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，所以32是方程2x 2－ax ＋3＝0的一个根，则2×94－32a ＋3＝0，解得a ＝5，所以f (x )＝2x 2－5x ＋3，则f (1)＝2－5＋3＝0. 9．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 答案 (－1,0)解析 ∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＜0，f (1)＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，1＋b ＞0.∴－1＜b ＜0. 10．二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 由于二次函数图象开口向上，则只需f (1)＜0，即－a ＜0，∴a ＞0. 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3. (1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围． 解 (1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4， 所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1. 所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f (1)＜0，即1－b ＋3＜0，所以b ＞4. 故b 的取值范围为(4，＋∞)．12．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 解 (1)当m ＋6＝0，即m ＝－6时， 函数为y ＝－14x －5显然有零点； 当m ＋6≠0，即m ≠－6时， 由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，m ≤－59.故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59. (2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则有 x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3.且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0符合题意，∴m 的值为－3.13．关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0.求a 为何值时：(1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；(3)方程的两个根都大于零？解 (1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f (1)<0.由f (1)<0，得1－2＋a <0，所以a <1.(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)<0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a >0，1－2＋a <0，4－4＋a <0，9－6＋a >0，解得－3<a <0. (3)由方程的两个根都大于零，得⎩⎨⎧ Δ＝4－4a >0，－－22>0，f (0)>0，解得0<a <1. 四、探究与拓展 14．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B 解析 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.15．已知函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在[－1,1]上存在零点x 0，且x 0≠±1，求实数a 的取值范围． 解 当a ＝0时，函数f (x )＝1，不合题意；当a ≠0时，函数f (x )的图象是一条直线．依题意， 有f (1)·f (－1)＜0⇔(a ＋1)(－5a ＋1)＜0⇔(a ＋1)(5a －1)＞0⇔a ＜－1或a ＞15. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞.。

2.4第二课时 等比数列的应用一、课前准备1.课时目标 搞清等比数列的应用，利用等比数列的性质解决问题，搞清数列在实际问题中的应用，能解决与数列有关的应用问题，熟练掌握等比数列的性质解决问题2. 基础预测（1）对于正整数,m n ，,p q ，若满足m n p q +=+，则等比数列{}n a 中，满足_______. （2）等比数列{}n a 满足_______是单调递增数列，满足_______时，单调递减数列. （3）在等比数列{}n a 中满足n m >且（,*n m N ∈），则_______. （4）遇到等比数列问题，一般先求_______和_______. 二、 基本知识习题化1. 已知各项均为实数的数列{}n a 为等比数列，且满足122412,1a a a a +==，则1()a =. A.9或116 B. 19或16 C. 11916或 D.9或16 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则3132310log log log a a a +++的值为（）.A.12B.10C.8D. 32log 5+3. 在等比数列{}n a 中，已知7125,a a ⋅=则891011a a a a ⋅⋅⋅等于（）. A.10 B.25 C.50 D.754.已知数列121,,,4a a --成等差，数列1231,,,,4b b b --，成等比数列，则212a ab -的值为（） A.12 B. 12- C. 12-或12D. 14三、学法引领（1） 对于等比数列问题，搞清等比数列的通项公式，遇到等比数列问题，要先用等比数列的性质解题，能够用性质解题首先利用性质解题，不能用性质要通过计算求出首项与公比再求解.（2） 在等比数列的单调递增与递减问题，注意要由首项与公比同时确定数列是单调递增数列，即当11,0q a >>或101,0q a <<<是单调递增数列，当满足11,0q a ><或101,0q a <<>单调递减数列.（3） 利用等比数列解决应用问题，首先要确定公比，再确定首项 与项数进行求解.四、典例导析变式练习题型1 等比数列性质的应用例1 已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数. 思路导析：根据等比数列求出前三项，再求出第四项解方程求出四个数.解：依题意可设这四个数分别为:2(4)4d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,2(4)44194d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.规律总结：对于等比数列与等差数列，在设变量时越少越好，利用解方程求解.变式训练1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数题型2 等比数列的应用问题例2 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a 1=104，经过n 年后绿化的面积为a n +1，试用a n 表示a n +1；（2）求数列{a n }的第n +1项a n +1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771） 思路剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解：（1）设现有非绿化面积为b 1，经过n 年后非绿化面积为b n +1. 于是a 1+b 1=1，a n +b n =1.依题意，a n +1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a n 减去被非绿化部分1002a n 后剩余的面积10098a n ，另一部分是新绿化的面积1008b n ，于是 a n +1=10098a n +1008b n =10098a n +1008（1－a n ）=109a n +252.（2）a n +1=109a n +252，a n +1－54=109（a n －54）.数列{a n －54}是公比为109，首项a 1－54=104－54=－52的等比数列.∴a n +1=54+（－52）（109）n .（3）a n +1＞60%，54+（－52）（109）n ＞53，（109）n ＜21，n （lg9－1）＜－lg2，n ＞3lg 212lg -≈6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.规律总结：利用数列解应用问题，要首先审清题意，列出关系式，求出满足的关系式，如果有指数的问题可以求导解决. 变式训练2.某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是A.32S B.34S C.36S D.38S 题型3三 等差与 等比数列的应用例3 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。

2.3第二课时等差数列的前n 项和的应用一、 课前准备1.课时目标：搞清等差数列求和公式的推导及应用，利用等差数列前n 项和的性质解决数列问题，掌握等差数列和的性质，培养学生利用数形结合的思想解决问题的方法，能够利用等差数列的和解决实际问题.2.基础预探：(1)等差数列前n 项和的公式的有两种形式①_____与②_____. (2)常用的等差数列前n 和的性质①_____；②_____；③_____. （3）若数列{},{}n n a b 均为等比数列，且前n 项的和分别为n S 和T n ，那么___.mma b = （4）利用等差数列求和公式解决应用问题一般确定首项，公差与___. 二、基础知识习题化（1）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 （2）数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9（4）设等差数列}{n a 的前n 项和为,36,9,63==S S S n 若则987a a a ++= （ ）A ．63B ．45C ．36D ．27（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 。

三、学习引领等差数列的前n 项和的公式的(1)2n n n S na d -=+是关于n 二次函数，注意没有常数项，若有常数项不为等差数列，利用等差数列求和计算问题，首先要考虑等差数列的性质，能利用性质解决问题就利用性质来解决，遇到等差数列求和的最值问题要注意利用数形结合思想来解决，在解实际问题时，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键，注意确定首项，公差与项数；注意把所有量都用基本量1,a d 来表示，变量归一从而发现其中的规律，这就是基本思想与方法，树立目标意识，需要什么就求什么，充分合理的运用条件，时刻注意题目的目标往往也能取得与巧用性质相同的效果，从而提高思维的灵活性和对知识掌握的深刻性. 四、典型例题题型一 有n S 证明等差数列例1 数列{}n a 的前n 项和为*()n n S npa n N =∈且12a a ≠， （1） 求常数P 的值；（2） 证明：数列{}n a 是等差数列思路导析：（1）分别令1,2n =，可得；（2）由n S 与n a 的关系，分情况进行讨论，并用等差数列的的定义证明.解：（1）当1n =时，11,a pa =若1p =,122122a a pa a a +=⇒=与已知矛盾，所以1P ≠ 则10a =，当2n =时，1222a a pa +=，2121(21)02p a a a p ∴-=≠⇒=. （2）由（1）知11,02n n S na a ==， 当2n ≥时，1111(1)22n n n n n a S S na n a --=-=--11,2n n a n a n --∴=-则 132222,31n n a a n a n a ---==-以上相乘便得到 2(1)n a n a =- 12n n a a a --=，故{}n a 是以首相1a ，公差为2a 的等差数列.规律总结：遇到n S 与n a 的关系，一般是把n S 转化为n a ，一般1n n n a S S -=-≥（n 2） 变式训练1.数列{}n a ，*n a N ∈，n S 是前n 项和，21(2)8n n S a =+ （1） 求证：{}n a 是等差数列；（2） 设1302n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和的最小值. 题型 二 应用问题例2 2015年“七上八下”的防汛关键时刻，某抗洪指挥部接到预报，24销售后有一洪峰到达，为确保安全指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道放线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道放线？思路导析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道放线工程. 思路导析：解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为1225,,,a a a ，由题意可知，此数列为等差数列，且124a =，公差13d =. 25辆翻斗车完成的工作量为：12251252425125003a a a ⎛⎫+++=⨯+⨯⨯-= ⎪⎝⎭，而需要完成的工作量为2420480⨯=.500480,>∴在24小时内能构筑成第二道放线.规律总结：利用等差数列求和公式解决实际问题，关键是合理的转化把应用问题转化为数学问题，再求解，一般按审题、建模、求最值注意实际意义. 变式训练2.若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？题型三 利用等差数列和的性质解题例3 设等差数列{},{}n n a b 的前n 项的和分别为,n n S T ，若23+1n n S n T n =， 则63a b 的值为（） A.2 B.1 C.511 D. 38思路导析:利用等差数列和的性质解题，可以设出,n n S T 再求解.解：令22,(3+1)n n S n T n n λλ==，可得当2(21),2(32)n n a n b n λλ=-=+ 故6322,22a b λλ==，所以631a b =. 规律总结：充分利用的等差数列的性质解题，可以简化解题步骤，对于等差数列的前n 项和注意是2n S An Bn =+的形式，遇到两个时可以设出两个等差数列的和再求通项来解. 变式训练3. 已知等差数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且2222m n S m mS n n-=-，求m n a a 五、随堂练习1.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，249n a n =-，则n S 取最小值时，n 的值为（）. A.12 B.13 C.24 D.252.已知数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S n n =+，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为940nT =，则n =（）.A.7B.8C.9D.103. 数列{}n a 的前n 项和253()n S n n n N +=-∈，则当2n ≥时，有 A 、1n n S na na >> B 、1n n S na na << C 、1n n na S na >> D 、1n n na S na <<4. 设n S 等差数列{}n a 前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值______. 5.{}n a 等差，120032004200320040,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是___________。

第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言，图形语言和符号语言的转化。

平行，垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时 棱柱、棱锥、棱台【学习导航】 知识网络学习要求1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。

2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。

以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．互助参考７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。

反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

§集中的含意及其表示之阳早格格创做[自教目标]1．认识并明黑集中的含意，知讲时常使用数集及其记法;2．相识属于关系战集中相等的意思,收端相识有限集、无限集、空集的意思;3．收端掌握集中的二种表示要领—枚举法战形貌法,并能精确天表示一些简朴的集中. [知识重心]1． 集中战元素 (1)A 的元素,A,(2)A 的元素,A,2.集中中元素的个性:决定性;无序性;互同性.3.集中的表示要领:枚举法;形貌法;Venn 图.4.集中的分类:有限集;无限集;空集.5.时常使用数集及其记法:整数[预习自测]例1.下列的钻研对付象是可形成一个集中?如果能,采与适合的办法表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有下身材的共教; （3; （4）所有大于0的背数;（5）仄里曲角坐标系内,第一、三象限的仄分线上的所有面.分解：推断某些对付象是可形成集中,主假如根据集中的含意,查看是可谦脚集中元素的决定性.例2.,那么此三角形一定是 ( )A.曲角三角形B.钝角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.. 分解: 某元素属于集中A,必具备集中A 反过去,只消元素具备集中A 便一定属于集中A.例4..[课内训练]1．下列道法精确的是（）（A B ）0（CD 个元素2AB C D 3AB C ．（1，1） D4B ＝5B=. [归纳深思]1．原课时的沉面真量是集中的含意及其表示要领，易面是元素与集中间的关系以及集中元素的三个要害个性的精确使用；2．根据元素的个性举止分解，使用集中中元素的三个个性办理问题，喊搞元素分解法.那是办理有关集中问题的一种要害要领；3．决定的对付象才搞形成集中.可依据对付象的个性大概个数的几去表示集中,如个数较少的有限集中可采与枚举法,而其余的普遍采与形貌法. 4.要特天注意数教谈话、标记的典型使用. [坚韧普及]1．已知下列条件：①小于60的部分有理数；②某校下一年级的所有教死；③与2的所有解.其中不不妨表示集中的有--------------------（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2-----------------------------------------（）A 3（）A B C D4．已知集中A 是（） A ．0B ．-1C ．1D ．25．圆程组3254x yx y =+⎧⎨+=⎩的解的集中是---------------------------------------（）A ．(){}1,1-B ．(){}1,1-C ．()(){},1,1x y -D ．{}1,1-6．用枚举法表示不等式组240121x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解集中为：7．设215022x x ax ⎧⎫∈--=⎨⎬⎩⎭，则集中21902x x x a ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭中所有元素的战为： 8、用枚举法表示下列集中：⑴(){},3,,x y x y x N y N +=∈∈⑵{}3,,y x y x N y N +=∈∈9．已知A ={1，2，x 2－5x ＋9}，B ={3，x 2＋ax ＋a }，如果A ={1，2，3}，2 ∈B ，供真数a 的值.10.设集中{},3A n n Z n =∈≤，集中{}21,B y y x x A ==-∈，集中，试用枚举法分别写出集中A 、B 、C.子集、齐集、补集[自教目标]1.相识集中之间包罗关系的意思.2.明黑子集、真子集的观念.3.相识齐集的意思,明黑补集的观念. [知识重心]1.子集的观念：如果集中A 中的任性一个元素皆是集中B 中的元素（若a A ∈,则a B ∈），那么称集中A 为集中B 的子集（subset ），记做B A ⊆大概A B ⊇,.B A ⊆还不妨用Venn 图表示.咱们确定:A ∅⊆.即空集是所有集中的子集. 根据子集的定义,简单得到:⑴所有一个集中是它自己的子集,即A A ⊆.⑵子集具备传播性,即若B A ⊆且B C ⊆,则A C ⊆.2.真子集：如果B A ⊆且A B ≠,那时集中A 称为集中B 的真子集（proper subset ）.记做：A B⑴确定：空集是所有非空集中的真子集. ⑵如果A B, B C ,那么A C3.二个集中相等：如果B A ⊆与B A ⊆共时创造,那么,A B 中的元素是一般的,即A B =.4．齐集：如果集中S 包罗有咱们所要钻研的各个集中，那时S 不妨瞅A B (){}2,1,C x y y x x A ==-∈做一个齐集（Universal set ），齐集常常记做U.5．补集：设A S ⊆,由S 中不属于A 的所有元素组成的集中称为S 的子集A 的补集（complementary set ）, 记做：S A （读做A 正在S 中的补集）,即 补集的Venn 图表示: [预习自测]例1．推断以下关系是可精确：⑴{}{}a a ⊆；⑵{}{}1,2,33,2,1=；⑶{}0∅⊆； ⑷{}00∈；⑸{}0∅∈；⑹{}0∅=；例2.设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出A 的所有子集.例3.已知集中{},,2M a a d a d =++,{}2,,N a aq aq =,其中0a ≠且MN =,供q 战d的值(用a 表示).例4.设齐集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,{}5U C A =,供真数a 的值. 例5.已知{}3A x x =<,{}B x x a =<. ⑴若B A ⊆,供a 的与值范畴; ⑵若A B ⊆,供a 的与值范畴; ⑶若R C A R C B ,供a 的与值范畴. [课内训练]1． 下列关系中精确的个数为（）①0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}⊆{（0，1）}，④{（a ，b ）}＝{（b ，a ）}A ）1（B ）2 （C ）3（D ）42．集中{}8,6,4,2的真子集的个数是（）（A ）16 (B)15 (C)14 (D) 133．集中{}正方形=A ，{}矩形=B ，{}平行四边形=C ,{}梯形=D ,则底下包罗关系中不精确的是（）（A ）B A ⊆ (B) C B ⊆ (C) D C ⊆ (D) C A ⊆4．若集中 ，则_____=b ．5．已知M={x| 2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a 1}.（Ⅰ）若M ⊆N ，供真数a 的与值范畴； （Ⅱ）若M ⊇N ，供真数a 的与值范畴. [归纳深思]1.那节课咱们教习了集中之间包罗关系及补集的观念,沉面明黑子集、真子集,补集的观念,注意空集与齐集的相关知识,教会数轴表示数集. 2. 深刻明黑用集中谈话道述的数教命题，并能准确天把它翻译成相关的代数谈话大概几许谈话，抓住集中谈话背笔墨谈话大概图形谈话转移是挨启解题大门的钥匙，办理集中问题时要注意充分使用数轴战韦恩图，收挥数形分离的思维要领的巨大能力. [坚韧普及]1．四个关系式：①∅}0{⊂；②0}0{∈；③}0{∈∅；④}0{=∅.其中表述精确的是[ ] A ．①，② B ．①，③ C ．①，④ D ．②，④2．若U={x ∣x 是三角形}，P={ x ∣x 是曲角三角形}，则=P C U ----------------------[ ]A ．{x ∣x 是曲角三角形}B ．{x ∣x 是钝角三角形}C ．{x ∣x 是钝角三角形}D ．{x ∣x 是钝角三角形大概钝角三角形}3．下列四个命题：①{}0∅=；②空集不子集；③所有一个集中必有二身材集；④空集是所有一个集中的子集．其中精确的有---------------------------------------------------[ ]Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个４．谦脚关系{}1,2A ⊆{}1,2,3,4,5的集中Ａ的个数是--------------------------[ ] Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ５．若,x y R ∈，(){},A x y y x ==，(),1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则,A B 的关系是---[ ] Ａ．A B Ｂ．A B Ｃ．A =B Ｄ．A ⊆B６．设A={}5,x x x N ≤∈,B={x ∣1< x <6,x }N ∈,则=B C A７．U={x ∣},01582R x x x ∈=+-，则U 的所有子集是８．已知集中}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且谦脚B A ⊆，供真数a 的与值范畴.９．已知集中P={x ∣},062R x x x ∈=-+，S={x ∣},01R x ax ∈=+， 若S ⊆P ，供真数a 的与值集中.１０．已知M={x ∣x ,0>R x ∈}，N={x ∣x ,a >R x ∈} （1）若M N ⊆，供a 得与值范畴；（2）若M N⊇，供a得与值范畴；（3）若MC R，供a得与值范畴.C R N接集、并集[自教目标]1．明黑接集、并集的观念战意思2．掌握相识区间的观念战表示要领3．掌握有关集中的术语战标记[知识重心]1．接集定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}运算本量：(1)A∩B A，A∩B B(2) A∩A=A，A∩φ=φ(3) A∩B= B∩A(4) A B A∩B=A2．并集定义：A∪B={x| x∈A大概x∈B }运算本量：(1) A （A∪B），B （A∪B）(2) A∪A=A，A∪φ=A(3) A∪B= B∪A (4) A B A∪B=B[预习自测]1．设A={x|x＞—2}，B={x|x＜3}，供 A∩B战A∪B2．已知齐集U={x|x与不大于30的量数}，A、B是U的二身材集，且A∩C U B={5，13，23}，C U A∩B={11，19，29}，C U A∩C U B={3，7}，供A，B.3．设集中A={|a+1|，3，5}，集中B={2a+1，a2+2a，a2+2a—1}当A∩B={2，3}时，供A∪B[课内训练]1．设A=(]3,1-，B=[)4,2，供A∩B2．设A=(]1,0，B={0}，供A∪B3．正在仄里内，设A、B、O为定面，P为动面，则下列集中表示什么图形（1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}4．设A={（x,y）|y=—4x+b},B={（x,y）|y=5x—3 }，供A∩B5．设A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|x=2k—1，k∈Z}，C= {x|x=2k，k∈Z}，供A∩B，A∪C，A∪B[归纳深思]1．集中的接、并、补运算，不妨借帮数轴，还不妨借帮文氏图，它们皆是数形分离思维的体现2．分类计划是一种要害的数教思维法，精确分类计划思维，掌握分类计划思维要领.[坚韧普及]1．设齐集U={a，b，c，d，e}，N={b，d，e}集中M={a，c，d}，则C U（M∪N）等于2．设A={ x|x＜2}，B={x|x＞1}，供A∩B战A∪B3．已知集中A B，供真数a 的与值范畴4．供谦脚{1,3}∪A={1，3，5}的集中A5．设A={x|x2—x—2=0}，A∩B6、设A={（x,y）| 4x+m y =6},B={（x,y）|y=nx—3 }且A∩B={（1，2）}，则m= n=7、已知A={2，—1，x2—x+1}，B={2y，—4，x+4}，C={—1，7}且A ∩B=C，供x，y的值8、设集中2+3px+2=0}，B={x|2x2+x+q=0}，其中p，q，x∈R，且A∩时，供p的值战A∪B9、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，二车皆乘的18人，供：⑴只乘电车的人数⑵不乘电车的人数⑶乘车的人数⑷只乘一种车的人数10、设集中A={x|x2+2（a+1）x+a2—1=0}，B={x|x2+4x=0}⑴若A∩B=A，供a的值⑵若A∪B=A，供a的值集中复习课[自教目标]1．加深对付集中关系运算的认识2．对付含字母的集中问题有一个收端的相识[知识重心]1．数轴正在解集中题中应用2．若集中中含有参数，需对付参数举止分类计划 [预习自测]1．含有三个真数的集中可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{}0,,2b a a +，供20042003b a +2．已知集中A={}21|>-<x x x 或，集中B={}04|<+p x x ，当B A ⊇时，供真数p 的与值范畴3．已知齐集U={1，3，x x x 2323++}，A={1，|2x —1|}，若C U A={0}，则那样的真数x 是可存留，若存留，供出x 的值，若不存留，证明缘由 [课内训练]1．已知A={x|x<3}，B={x|x<a} （1）若B A ，供a 的与值范畴 （2）若A B ，供a 的与值范畴（3）若C R A C R B ，供a 的与值范畴2．若P={y|y=x 2，x ∈R}，Q={y| y=x 2+1，x ∈R }，则P ∩Q =3．若P={y|y=x 2，x ∈R}，Q={（x ，y ）| y=x 2，x ∈R }，则P ∩Q = 4．谦脚{a ，b} A {a ，b ，c ，d ，e}的集中A 的个数是 [归纳深思]1．由条件给出的集中要明黑它所表示的含意，即元素是什么？2．含参数问题需对付参数举止分类计划，计划时央供既不沉复也不遗漏.[坚韧普及]1．已知集中M={x|x 3—2x 2—x+2=0},则下列各数中不属于M 的一个是（）A ．—1B ．1C ．2D ．—22．设集中A= {x|—1≤x ＜2}，B={ x|x<a }，若A ∩B ≠φ，则a 的与值范畴是（）A ．a ＜2B ．a ＞—2C ．a ＞—1D ．—1≤a ≤23．集中A 、B 各有12个元素，A ∩B 中有4个元素，则A ∪B 中元素个数为4．数集M={x|N k k x ∈+=,41}，N={ x|N k k x ∈-=,412}，则它们之间的关系是⊂ ≠⊂≠5．已知集中M={（x,y ）|x+y=2 }，N={（x,y ）|x —y=4}，那么集中M ∩N=6．设集中A={x|x 2—px+15=0}，B={x|x 2—5x+q=0}，若A ∪B={2，3，5}，则A=B=7．已知齐集U=R ，A={x|x ≤3}，B={ x|0≤x ≤5}，供（C U A ）∩B8．已知集中A={x|x 2—3x+2=0}，B={x|x 2—mx+(m —1)=0}，且B A ，供真数m 的值9．已知A={x|x 2+x —6=0}，B={x|mx+1=0}，且A ∪B=A ，供真数m 的与值范畴10．已知集中A={x|—2＜x ＜—1大概x ＞0}，集中B={ x|a ≤x ≤b}，谦脚A ∩B={x|0＜x ≤2}，A ∪B={x|x ＞—2}，供a 、b 的值§函数的观念与图象（1）[自教目标]1．体验函数是形貌变量之间的依好关系的要害数教模型，明黑函数的观念；2．相识形成函数的果素有定义域、值域与对付应规则； [知识重心]12．函数观念的三果素：定义域、值域与对付应规则. 3．函数的相等. [预习自测]例1（1（2（2（3（4应，单值对付应的关键是元素对付应的存留性战唯一性.例2．下列各图中表示函数的是------------------------------------------[ ]⊂ ≠A B C D例3．正在下列各组函数中，)(x f 与)(x g 表示共一函数的是------------------[ ]A ．)(x f =1，)(x g =0xB ．x y =与2x y =C ．2x y =与2)1(+=x yD ．)(x f =∣x ∣，)(x g =2x63-x （x ≥0）例4 已知函数=)(x f 供)1(f 及)]1([f f 5+x （x 0<）， [课内训练]1．下列图象中表示函数y=f(x)关系的有--------------------------------( )A.(1)(2)(4)B.(1)(2)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)2．下列四组函数中，表示共一函数的是----------------------------------( ) A ．24129y x x =-+战32y x =-B ．2y x =战y x x = C ．y x =战2y x=D ．y x =战()2y x =3．下列四个命题（1）f(x)=x x -+-12蓄意思;（2）)(x f 表示的是含有x 的代数式（3）函数y=2x(x N ∈)的图象是背去线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图象是扔物线，其中精确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．0４．已知f(x)=221(1)1(1)x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，则f(33)=；5．已知f 谦脚f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f =[归纳深思]１．原课时的沉面真量是函数的定义与函数暗号()f x 的意思，易面是函数观念的明黑战精确应用；xy xy x yxy OOO O２．推断二个函数是可是共一函数，是函数观念的一个要害应用，要能紧扣函数定义的三果素举止分解，进而精确天做出推断．[坚韧普及]1--------------------[ ]A B C D2．下列各项中表示共一函数的是ABCD3) ] AB．1C．24--------------------------------[ ]ABCD5678910[自教目标]掌握供函数定义域的要领以及步调；[知识重心]1、函数定义域的供法：(1)由函数的剖析式决定函数的定义域；(2)由本量问题决定的函数的定义域；(3). [预习自测]例1．供下列函数的定义域：（1）()1f x x x =+-（2）)(x f =xx -1（3）1()21f x x=+（4）)(x f =+-x 5x-21分解：如果()f x 是整式，那么函数的定义域是真数集R ；如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母0≠的真数的集中；如果()f x 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表黑式≥0的真数的集中.★注意定义域的表示不妨是集中大概区间.例2．周少为l 的铁丝直成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边少为2x ，供此框架围成的里积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1- （1）供函数(1)f x +的定义域； （2）供函数=y )41()41(-++x f x f 的定义域.[课内训练]１．函数()1f x x x=-的定义域是―――――――――――――――――（）Ａ．(),0-∞Ｂ．()0,+∞Ｃ．[0,)+∞Ｄ．Ｒ ２．函数f(x)的定义域是[12,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（）A ［0,1］B ［2，52］ C ［0，52］ D (),3-∞３．函数()f x =()011x x -+-的定义域是：４．函数)5lg()(-=x x f 的定义域是5．函数()()1log 143++--=x x xx f 的定义域是 [归纳深思]１．函数定义域是指受节造条件下的自变量的与值；２．供函数的定义域时常是归纳为解不等式战不等式组； [坚韧普及]1．函数y =21x -+12-x 的定义域是----------------------------[ ] A ．[1-，1] B ．（),1[]1,+∞-∞- C ．[0，1] D ．{1,1-}2．已知)(x f 的定义域为[2,2-]，则)21(x f -的定义域为------------[ ] A ．[2,2-] B ．[]23,21- C ．[]3,1- D ．[,2-]233------------------------------------[ ]A45.6.7．供下列函数的定义域328.9．用少为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形里积S.10黑式.§函数的观念与图象（3）[自教目标]掌握供函数值域的基原供法；[知识重心]函数值域的供法函数的值域是由函数的定义域与对付应规则决定的，果此，央供函数的值域，普遍要从函数的定义域与对付应规则进脚分解，时常使用的要领有：（1）瞅察法；（2）图象法；（3）配要领；（4）换元法.[预习自测]例1．供下列函数的值域：（1（2（3（4（5（6分解：供函数的值域，一种时常使用的要领便是将函数的剖析式做适合的变形，通过瞅察大概利用死知的基原函数（如一次函数、二次函数等）的值域，进而逐步推出所供函数的值域（瞅察法）；大概者也不妨利用换元法举止转移供值域.例2．畴[1A2．函数y=2x2-4x-3，0≤x≤3的值域为 ( )∞)3 ( )A45．供函数[归纳深思]供函数的值域是教习中的一个易面，要领机动百般，初教时只消掌握几种时常使用的要领，如瞅察法、图象法、配要领、换元法等，正在以去的教习中还会有一些新的要领（比圆使用函数的单调性、配要领、分段计划法、不等式法等等），不妨逐步天深进战普及.[坚韧普及---------------------------------------[ ]1.A2.下列函数中，值域是的是A3.--------[ ]:.5.:.6.:.7.供下列函数的值域23（1（4568.§函数的观念与图象（4）[自教目标]1．会使用描面法做出一些简朴函数的图象，从“形”的角度进一步加深对付函数观念的明黑；2．通过对付函数图象的描画战钻研，培植数形分离的意识，普及使用数形分离的思维要领办理数教问题的本领． [知识重心]1．函数图象的观念每一个值时，便得到一系列那样的面．所有那些面组成的集中（面2．函数图象的画法画函数的图象，时常使用描面法，其基原步调是：⑴列表；⑵描面；⑶连线．正在画图历程中，一定要注意函数的定义域战值域． 3．会做图，会读（用）图 [预习自测]例1．画出下列函数的图象，并供值域：，2]；；例2y =3x 2-6x |图象的接面个数为（） （A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个例3.下图中的A. B. C. D 四个图象中，用哪三个分别形貌下列三件事最符合，并请您为剩下的一个图象写出一件事. 离启家的距离(m) 离启家的距离(m) 时间（min ）时间（min ）A B离启家的距离(m) 离启家的距离(m) 时间（min ）时间（min ）C D(1) 尔离启家不暂，创造自己把做业原记正在家里了，停下去念了一会仍旧返回家与了做业原再上教；(2) 尔骑着车一路匀速止驶，不过正在途中逢到一次接通阻碍，延误了一些时间；(3) 尔出收后，心情沉快，缓缓前进，厥后为了赶时间加快了速度. [课堂训练]1．下列四个图像中，是函数图像的是（ ）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4）2．曲线x a =()a R ∈战函数21y x =+的图象的接面个数 ( )A 至多一个B 起码有一个C 有且仅有一个D 有一个大概二个以上3．函数y=|x+1|+1的图象是 ( )4．某企业近几年的年产值如图，则年删少率最下的是（ ）（年删少率=年删少值/年产值）A ）97年B ）98年C ）99年D ）00年5．做出函数223(1y x x x =--≤-大概2x >）的图象；[归纳深思] 根据函数的剖析式画函数的图象，基原要领是描面法，但是值得指出的是：一要注意函数的定义域，二要注意对付函数剖析式的个性加以分解，充分利用已知函数的图象普及做图的速度战准确性； 函数的图象是表示函数的一种要领，通过函数的图象不妨曲瞅天表示x 与y 的对付应关系以及二个变量变更历程中的变更趋势，以去咱们会时常天使用函数剖析式与函数图象二者的有机分离去钻研函数xOyxxxyyyOOO（1）（2）（3）（4）0099989796(年）2004006008001000（万元）的本量． [坚韧普及]1．某教死离家去书院，由于怕早退，所以一启初便跑步，等跑乏了再走做余下的路，正在 下图中纵轴表示离书院距离，横轴表示出收后的时间，则下图中较切合教死走法的是（ ） d d d dO t O t O t O t A B C D 2．某工厂八年去产品C （即前t 年年产量之战）与时间t(年)的函数如下图，下列四种道法：（1）前三年中，产量删少的速度越去越快； （2）前三年中，产量删少的速度越去越缓； （3）第三年后，年产量脆持稳定； （4）第三年后，年产量逐步删少． 其中道法精确的是（）A ．（2）与（3）B ．（2）与（4）C ．（1）与（3）D ．（1）与（4）3.下列各图象中，哪一个不可能是函数)(x f y =的图象（）xA ．B ．xxC ．D ．4.函数)0(≠+=kb b kx y 的图象短亨过第一象限，则b k ,谦脚-----------[ ] A ．k 0,0><b B ．0,0<<b k C ．0,0<>b k D ．0,0>>b k5.函数c bx ax y ++=2与b ax y +=（)0≠ab 的图象只大概是---------[ ]A ．B ．C ．D ．6.函数1+=x y 的图象是----------------------------------------[ ]A ．B ．C ．D ． 7.函数1(13-=x y ≤x ≤2）的图象是xy0 0xxxxxx x xyyyyy yyy8.一次函数的图象通过面（2,0）战（-2，1），则此函数的剖析式为9.10.（1（2[自教目标]1.相识表示函数有三种基原要领:图象法、列表法、剖析法;明黑函数关系的三种表示要领具备内正在的通联，正在一定的条件下是不妨互相转移的.2.相识供函数剖析式的一些基原要领,会供一些简朴函数的剖析式.3.相识简朴的分段函数的个性以及应用.[知识重心]1.表示函数的要领,时常使用的有:剖析法,列表法战图象法.正在表示函数的基原要领中,列表法便是间接列表表示函数,图象法便是间接做图表示函数,而剖析法是通过函数剖析式表示函数.2.供函数的剖析式,普遍有三种情况⑴根据本量问题修坐函数的关系式;⑵已知函数的典型供函数的剖析式;⑶使用换元法供函数的剖析式;3．分段函数正在定义域内分歧部分上,有分歧的剖析表黑式的函数常常喊搞分段函数;注意:①分段函数是一个函数,而不是几个函数;;值范畴的并集[例题分解]例1．买买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用剖成的函数，并指出该析法、列表法、图象法将y表示例2．（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，供f(x)的表黑式；（2）已知，供f(x)的表黑式；例3︱的图象 变题③供函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域变题④做出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象，是可存得通太过类计划，将剖析式化为不含有千万于值的式子．做出f(x)的图象例4(1)供f(-3)、f[f(－3)] ； （2）若供a 的值．[课堂训练]1．用少为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形里积S一边少x （cm ）的函数，并画出函数的图象．2.若f(f(x))=2x －1，其中f(x)为一次函数，供f(x)的剖析式．3.已知f(x-3)f(x+3) 的表黑式．4．如图，根据的图象，写出y=f(x)的剖析式． [归纳深思]1. 函数关系的表示要领主要有三种: 剖析法,列表法战图象法.那三种表示要领各有劣缺面,千万不克不迭误认为惟有剖析式表示出去的对付应关系才是函数;2. 函数的剖析式是函数的一种时常使用的表示要领,央供二个变量间的函数关系,一是央供出它们之间的对付应规则,二是央供出函数的定义域;3. 无论使用哪种要领表示函数,皆不克不迭忽略函数的定义域;对付于分段函数,还必须注意正在分歧的定义范畴内,函数有分歧的对付应关系,必须先分段钻研,再合并写出函数的表黑式. [坚韧普及]1．函数f(x)=︱x+3︱的图象是------------------------------------------------------------( )2--------------------------------------------------( )A.32x + B.3x + C.32x + D.23x +3．已知一次函数的图象过面()1,0以及()0,1，则此一次函数的剖析式为------（）A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．1y x =-D ．1y x =--4．已知函数()()()221122(2)x x y f x x x x x +≤-⎧⎪==-<<⎨⎪>⎩，且()3f a =，则真数a 的值为---（）A ．1B ．1.5C ．3-D ．35．若函数()2,(),(1)1,f x x mx n f n m f =-+==-则()5f -= 6．某航空公司确定，乘机所携戴止李的沉量（kg ）与其运费（元）由如图的一次函数图象决定，那么搭客免费可携戴止李的最大沉量为7．画出函数2x0,f(x)=x0,x x ≥⎧⎨<⎩的图象，并供f(32+)+f(32-的值． 8．画出下列函数的图象(1) y=x －︱1－x ︱ (2) 21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩9．供函数y=1－︱1－x ︱的图象与x 轴所围成的启关图形的里积．。

人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数................................................................................ - 2 -4.1指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -4.1.1实数指数幂及其运算.................................................................................. - 2 -4.1.2指数函数的性质与图像.............................................................................. - 7 -第1课时指数函数的性质与图像.............................................................. - 7 -第2课时指数函数的性质与图像的应用................................................ - 13 -4.2对数与对数函数................................................................................................... - 19 -4.2.1对数运算 ................................................................................................... - 19 -4.2.2对数运算法则........................................................................................ - 23 -4.2.3对数函数的性质与图像............................................................................ - 28 -第1课时对数函数的性质与图像............................................................ - 28 -第2课时对数函数的性质与图像的应用................................................ - 33 -4.3指数函数与对数函数的关系............................................................................... - 39 -4.4幂函数 .................................................................................................................. - 44 -4.5增长速度的比较................................................................................................... - 49 -4.6函数的应用(二) .................................................................................................... - 54 - 第五章统计与概率.............................................................................................................. - 59 -5.1统计 ...................................................................................................................... - 59 -5.1.1数据的收集................................................................................................ - 59 -第1课时总体与样本、简单随机抽样.................................................... - 59 -第2课时分层抽样.................................................................................... - 65 -5.1.2数据的数字特征........................................................................................ - 70 -5.1.3数据的直观表示........................................................................................ - 78 -5.1.4用样本估计总体........................................................................................ - 86 -5.3概率 ...................................................................................................................... - 92 -5.3.1样本空间与事件........................................................................................ - 92 -5.3.2事件之间的关系与运算............................................................................ - 96 -5.3.3古典概型 ................................................................................................. - 102 -5.3.4频率与概率.............................................................................................. - 107 -5.3.5随机事件的独立性.................................................................................. - 110 -5.4统计与概率的应用............................................................................................. - 116 - 第六章平面向量初步........................................................................................................ - 121 -6.1平面向量及其线性运算..................................................................................... - 121 -6.1.1向量的概念.............................................................................................. - 121 -6.1.2向量的加法.............................................................................................. - 126 -6.1.3向量的减法.............................................................................................. - 132 -6.1.4数乘向量 ................................................................................................. - 137 -6.1.5向量的线性运算...................................................................................... - 141 -6.2向量基本定理与向量的坐标............................................................................. - 146 -6.2.1向量基本定理.......................................................................................... - 146 -6.2.2直线上向量的坐标及其运算.................................................................. - 151 -6.2.3平面向量的坐标及其运算...................................................................... - 154 -6.3平面向量线性运算的应用................................................................................. - 161 - 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__±n a__0不存在思考：对于式子n a中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当na 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R ．分数指数幂的意义 知识点正分数 指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数 指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的mn有什么规定？提示：mn 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__． 思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？ 提示：x ∈R ． 知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． 对点训练1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__； (2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x －2)6＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6(x －2)6＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15；a 34；a －23； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a 2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解． [解析] (1)a 15＝5a ；a 34＝4a 3；a －23＝1a 23＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：x 35；x －13； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35＝5x 3；x －13＝13x． (2)①b 3a 2·a 2b6＝b 3a 2·a b 3＝a －12． ②a－4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13 ＝a－4b 2a 13 b 23 ＝a－113b 83＝a－116b 43．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12 ·⎝⎛⎭⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)； (2)0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75； (3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ． (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33＝32＋3×(33)－33＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12]12＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14]＋2 ＝(2)14＋2＝2＋218．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练 3．化简与求值(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)－12 ·(a －12 )13． [解析] (1)原式＝(－1) －23⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32·a －23 )13·[(a －5)－12·(a －12)13] 12＝(a 0) 13·(a 52·a －23)12＝(a －4) 12＝a －2．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a )14．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像． 3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义． ②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1． 指数函数的图像和性质知识点0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)? (2)对于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，在下表中，？处y 的范围是什么？底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a 0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__． (2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __．[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式． 对点训练1．(1)函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( D ) A ．8 B ．32C ．4D ．2(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)＝__64__． [解析] (1)因为f (x )＝(2a －3)a x 为指数函数，所以2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 因为函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，所以 14＝a －2，所以a ＝2， 所以指数函数的解析式为y ＝2x ， 所以f (4)·f (2)＝24×22＝26＝64． 题型指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像( A ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ． (2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12 x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3 ， 即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是( D )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ．b ＜a ＜1＜c ＜dD ．b ＜a ＜1＜d ＜c(2)若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B ) A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析] (1)过点(1,0)作直线x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d ＜c ，b ＜a ＜1，故b ＜a ＜1＜d ＜C ．(2)y ＝a x (a ＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图像经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B ．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 对点训练3．(1)已知集合A ＝{x |y ＝21x -4}，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝____________；(2)求函数y ＝312x -4的定义域和值域．[解析] (1)要使y ＝21x -4有意义需x －4≠0，则x ≠4，即A ＝{x |x ≠4，x ∈R }，所以A ∩B ＝{0,2}．(2)要使函数y ＝312x -4有意义，只需2x －4＞0，解得x ＞2；令t ＝12x -4，则t ＞0，由于函数y ＝3t在t ∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y ＝312x -4的定义域为{x |x ＞2}，值域为{y |y ＞1}．误区警示：此题易忽略2x －4≠0，而误认为2x －4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时 指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1． 知识点 解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝b x(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c 与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y ＝0.8x ，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得 1．70.3＞1.70＝1， 0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23) 16 ＝816，33＝313 ＝(32) 16 ＝916 而8＜9.∴816 ＜916，即2＜33， 又2＝212＝(25) 110 ＝32110，55＝515＝(52) 110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．[解析] (1)∵y ＝0.3x 为减函数， 又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1．(2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 [解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞． 规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域． 对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__⎝⎛⎦⎤－∞，32__． [解析] 令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32． 题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3， 由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数m 的取值范围是__m ≥－5__．[解析] (1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2． (2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]， 则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]， 若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]， 使得g (x 2)≥f (x 1)， 则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ， 则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__． (3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__． 思考：(1)为什么负数和零没有对数？ (2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ． (2)log a a b ＝B ． 知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A ) A ．log a b ＝2 020 B ．log b a ＝2 020 C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 对点训练1．(1)如果a 5＝b (a ＞0且a ≠1，b ＞0)，则( A ) A ．log a b ＝5 B ．log a 5＝b C ．log 5a ＝bD ．log 5b ＝a(2)若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( B ) A ．[2，＋∞) B ．(2,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] (1)如果a 5＝b (a ＞0，且a ≠1，b ＞0)则化为对数式为log a b ＝5．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧t －2＞0t －2≠1，解得t ＞2且t ≠3．所以t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞) 题型利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值 典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381； (2)log 4116；(3)log 128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4． (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝⎛⎭⎫12－3＝8，所以log 128＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1． 角度2 两个特殊对数值的应用 典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80． 规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C ) A ．36 B ．39C ．24D ．23(2)log 3127＝__－3__；log 5 625＝__4__．[解析] (1)因为log 5[log 3(log 2x )]＝0， 所以log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24． (2)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3；因为54＝625， 所以log 5 625＝4． 题型对数恒等式的应用典例剖析 典例4 计算： (1)71－log 75； (2)412(log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3， 即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则素养目标·定方向2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点 积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 (1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __． (2)商的对数：__log a MN ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点 换底公式若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，则有__log a b ＝log c blog c a __．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM ．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析 典例1 计算：(1)log a 2＋log a 12(a ＞0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25； (4)2log 525＋3log 264； (5)log 2(log 216)； (6)62log 63－20log 71＋log 4116． [解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0．(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7． 规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 对点训练1．计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值． [解析] log 535＋2log 22－log 5150－log 514＝log 535＋2×12＋log 550－log 514＝log 535×5014＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ． (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a 、b 表示lg 108，lg 1825．[解析] lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a ＋3B ．lg 1825＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg 10222＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a ＋2b －2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值； (2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a．(2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y． 规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．对点训练3．(1)若3a ＝7b ＝21，求1a ＋1b的值；(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] (1)∵3a ＝7b ＝21， ∴a ＝log 321，b ＝log 721， ∴1a ＋1b ＝1log 321＋1log 721 ＝1lg 21lg 3＋1lg 21lg 7＝lg 3＋lg 7lg 21＝lg 2112lg 21＝2．(2)∵4a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 4m ，b ＝log 5m ， 又1a ＋2b ＝1，∴1log 4m ＋2log 5m ＝1， 即log m 4＋2log m 5＝1， ∴log m 100＝1，∴m ＝100．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4， ∴log2xy＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1 图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝log a(2x) B．y＝lg 10x。

3.1.2 指数函数(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．知识点一 不同底指数函数图象的相对位置思考 y ＝2x 与y ＝3x 都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案 经描点观察，在y 轴右侧，2x ＜3x ，即y ＝3x 图象在y ＝2x 上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x 在y ＝3x 图象上方．梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y 的值去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称． 知识点二 比较幂的大小 比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点三 解指数方程、不等式思考 若12xxa a ＜，则x 1，x 2的大小关系如何？答案 当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．所以，当0＜a ＜1时，1212xx a a x x ⇔＜＞，当a ＞1时，1212.xx a ax x ⇔＜＜此原理可用于解指数方程、不等式． 梳理 简单指数不等式的解法(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的图象求解． 知识点四 与指数函数复合的函数单调性 思考 y ＝112x⎛⎫⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝112x⎛⎫⎪⎝⎭的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？答案 由于y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝112x⎛⎫⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究y ＝112x⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，1112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜2112x ⎛⎫⎪⎝⎭，不等号方向的改变与y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关． 梳理 形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的函数的性质 (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.1．y ＝21－x 是R 上的增函数．( × )2．若0.1a >0.1b ，则a >b .( × )3．a ，b 均大于0且不等于1，若a x ＝b x ，则x ＝0.( × )4．由于y ＝a x (a >0且a ≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( × )类型一 解指数方程 例1 解下列关于x 的方程： (1)81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2； (2)22x ＋2＋3×2x －1＝0.解 (1)∵81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2， ∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)， ∴2x ＋4＝－2(x ＋2)， ∴x ＝－2.(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0， ∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0.令t ＝2x (t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0， 解得t ＝14或t ＝－1(舍去)．∴2x ＝14，解得x ＝－2.反思与感悟 (1)a f (x )＝b 型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍． 跟踪训练1 解下列方程． (1)33x －2＝81；(2)5x ＝325； (3)52x －6×5x ＋5＝0.解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34， ∴3x －2＝4，解得x ＝2. (2)∵5x ＝325，∴23255x=，∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x ，则t >0， 原方程可化为t 2－6t ＋5＝0， 解得t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x ＝1， ∴x ＝1或x ＝0.类型二 指数函数单调性的应用 命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1. 解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方． 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.50.3，又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝⎛⎭⎫1.71.50.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1，1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1.解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x 在R 上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1， 即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx 在R 上是减函数． 又∵－π＜0，∴⎝⎛⎭⎫1π－π＞⎝⎛⎭⎫1π0＝1， 即⎝⎛⎭⎫1π－π＞1.命题角度2 解指数不等式例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)．解 (1)当0<a <1时，∵a 2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}． 反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 ∵a 2＋a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋74>1， ∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 命题角度3 与指数函数复合的单调性问题例4 (1)求函数y ＝261712x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调区间；(2)求函数y ＝21181722xx⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间．解 (1)y ＝261712x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝261712x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数，∴y ＝261712x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在[3，＋∞)上是减函数．∴y ＝261712x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．(2)设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，又y ＝t 2－8t ＋17在(－∞，4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增． 令⎝⎛⎭⎫12x ≤4，得x ≥－2.∴当－2≤x 1<x 2时，4≥121122x x⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>， 即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴y ＝⎝⎛⎭⎫122x－8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞)． 同理可得减区间是(－∞，－2]．反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题．跟踪训练4 求下列函数的单调区间． (1)y ＝223x x a＋－；(2)y ＝10.2x －1.解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数． 当a >1时，y 关于u 为增函数； 当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为(－1，＋∞)． (2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}． 设y ＝1u －1，u ＝0.2x ，易知u ＝0.2x 为减函数． 而根据y ＝1u －1的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y 是关于u 的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．1．若a ＝120.5，b ＝130.5，c ＝140.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a答案 B解析 ∵y ＝0.5x 在R 上是减函数，且12＞13＞14，1113240.50.50.5.∴<<2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32C ．x ＝1D ．x ＝2答案 B解析 42x －1＝42，∴2x －1＝2，x ＝32.3．函数f (x )＝2112x -⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A 解析 ∵f (x )＝2112x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，0<12<1，∴f (x )的单调递增区间为u (x )＝x 2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x xa a -++->的解集为________．答案 (1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数， 又∵22232223x x xaa -++->，∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1.5．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________. 答案5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0， 解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)．若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0， 解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上所述a ＝5±12.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x >a y 的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解． (3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1. 当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同．当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反．(2)研究y ＝f (a x )型单调区间时，要注意a x 属于f (u )的增区间还是减区间，其中u ＝a x .一、选择题1．设x <0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b答案 B解析 ∵1<b x <a x ，x <0，∴0<a <1,0<b <1. 当x ＝－1时，1b <1a，即b >a ，∴0<a <b <1.2．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.32答案 C解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0 C ．m >n D ．m <n 答案 D解析 ∵0<5－12<1，∴f (x )＝a x ＝⎝⎛⎭⎪⎫5－12x在R 上单调递减，又∵f (m )>f (n )，∴m <n ，故选D.4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13⎝⎛⎭⎫a ＝－13舍去， 即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 故选B.5．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5， 根据y ＝2x 在R 上是增函数， 得21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2，故选D.6．设f (x )＝|3x －1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是( ) A ．3c ≤3b B ．3c >3b C ．3c ＋3a >2 D ．3c ＋3a <2 答案 D解析 f (x )＝|3x －1|的图象如下．由c ＜b ＜a 且f (c )>f (a )>f (b )可知c ，b ，a 不在同一个单调区间上． 故有c <0，a >0.∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1.∴f (c )>f (a )，即1－3c >3a －1,3c ＋3a <2.二、填空题7．函数f (x )＝24513x x --⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减区间是________． 答案 (2，＋∞)解析 函数由f (t )＝⎝⎛⎭⎫13t ，t (x )＝x 2－4x －5复合而成，其中f (t )＝⎝⎛⎭⎫13t 是减函数，t (x )＝x 2－4x －5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．8．已知0.2x ＜25，则x 的取值范围为________．答案 (－2，＋∞)解析 原不等式即5－x ＜52，∴－x ＜2，x ＞－2.9．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f (x )(mg/mL)随时间x (h)变化的规律近似满足解析式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝⎛⎭⎫13x ，x >1.规定驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________ h 后才能开车．(精确到1 h)答案 4解析 当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝⎛⎭⎫13x ≤0.02，当x ＝3时，不等式不成立，当x ＝4时，不等式成立．故至少要过4 h 后才能开车．10．若4x ＋2x ＋1＋m >1对一切实数x 成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案 [1，＋∞)解析 4x ＋2x ＋1＋m >1等价于(2x )2＋2·2x ＋1>2－m ，即(2x ＋1)2>2－m .∵2x ∈(0，＋∞)，∴2x ＋1∈(1，＋∞)，∴2－m ≤1.解得m ≥1.三、解答题11．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>0；(2)当a ＝12，x ∈[0,2]时，求f (x )的值域． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1.f (x )>0，即2·(2x )2－2x －1>0，解得2x >1或2x <－12(舍去)， ∴x >0，∴不等式f (x )>0的解集为(0，＋∞)．(2)当a ＝12时，f (x )＝4x －2x －1，x ∈[0,2]． 设t ＝2x .∵x ∈[0,2]，∴t ∈[1,4]．∴y ＝g (t )＝t 2－t －1 (1≤t ≤4)．画出g (t )＝t 2－t －1 (1≤t ≤4)的图象(如图)，可知g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g (4)＝11，∴f (x )的值域为[－1,11]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，求不等式f (x )<－12的解集．解 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立； 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1. 当x >0时，由1－2－x <－12，⎝⎛⎭⎫12x >32，得x ∈∅. 综上可知x ∈(－∞，－1)．13．已知函数f (x )＝3x ＋k ·3－x 为奇函数． (1)求实数k 的值；(2)若关于x 的不等式f (9ax 2－2x －1)＋f (1－3ax －2)<0只有一个整数解，求实数a 的取值范围．解 (1)显然f (x )的定义域为R .∵f (x )是奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝3x ＋k ·3－x ＋3－x ＋k ·3x＝(k ＋1)(3x ＋3－x )＝0对一切实数x 都成立，∴k ＝－1.(2)易得f (x )为R 上的增函数，又f (x )是奇函数，∴221(9)ax x f －－＋f (1－3ax －2)<0⇒2219ax x －－<3ax －2－1⇒2243ax x －<3ax －2⇒2ax 2－4x <ax －2⇒(ax－2)(2x －1)<0.当a ≤0时，显然不符合题意；当a >0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为⎝⎛⎭⎫12，2a ，且1<2a≤2⇒1≤a <2， ∴实数a 的取值范围是[1,2)．四、探究与拓展14．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b ＝f (0.91.1)，c ＝f (2)的大小关系是________．(按由大到小排列)答案 b >a >c解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x )关于x ＝2对称．又∵f (x )在(2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，2)上是减函数．又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，∴f (0.91.1)>f (1.10.9)>f (2)，即b >a >c .15．已知函数f (x )＝1－2x2x ＋1. (1)判断函数f (x )的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1，＋∞)时，求函数f (x )的值域．解 (1)函数f (x )为奇函数，证明如下：函数f (x )＝1－2x2x ＋1的定义域为R ，又∵f (－x )＝1－2－x 2－x ＋1＝2x －11＋2x＝－1－2x2x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)令2x ＝t ，则g (t )＝1－t t ＋1＝－1＋2t ＋1. ∵x ∈(1，＋∞)，∴t >2，∴t ＋1>3， ∴0<2t ＋1<23，∴－1<－1＋2t ＋1<－13. 故函数f (x )的值域为⎝⎛⎭⎫－1，－13.。