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2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分） 五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分） 向量组秩为3，……………………………………………………………（2分） 一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分） 七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分） 将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ， 因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。
2015版线性代数作业答案第一章 行列式 答案一. 填空 1. 2,5k j == 2. (1)n n - 3. 0 4. 1或2或3 5.1(1)!n n +-6. 3()a b a -7. –28，0 二. 选择题 1.d 2.b 3.c三. 计算 1. 1 2. txyz yz tz ty --- 3. –2(2)n -! 4.11()nn i i x x a -=+∑ 5.[]1(1)()n x n a x a -+--四. 1!2!3!(2)!(1)!!n n n --五. 提示：按第一列展开或数学归纳法。
六. (1)nx -第二、三章 矩阵及线性方程组 答案 (1)一．填空 1. 222123x x x ++，211213221223231323x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭2. AB BA =，3. 2()3A B +，4. 101m λ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 5. A E ，6. 2-, 94 二．选择题 1. a 2. b 3. a 4. b 5. c 6. c 三. 计算 2208328310A B C -⎛⎫--=⎪--⎝⎭四. 1.不能相乘. 2. 31062136263626243836⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭. 3.11104⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 4. 16- 五*.(1) 证: 必要性 A B +是幂等矩阵0AB BA ⇒+=222()A B A B A AB BA B A AB BA B +=+=+++=+++0AB BA ⇒+=充分性由0AB BA += 2()A B A B ⇒+=+A ,B 为同阶幂等矩阵,222()A B A AB BA B A AB BA B +=+++=+++又0AB BA += 2()A B A B ⇒+=+.(2)证必要性 由()TT T AB B A AB AB BA ==⇒=而,,AB A B 均为n 阶对称矩阵,()()T T T AB AB B A BA ===充分性 由()(),T T T AB BA AB AB B A BA =⇒===又()T AB BA AB AB =⇒=.六. 1009822100504950105001AA A E A E ⎛⎫⎪=+-=-= ⎪⎪⎝⎭第二、三章 矩阵及线性方程组 答案（2）一．填空题1. 112A - 2. -2 , 1 , 213122-⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭ 3. 22308-⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 22500 二．选择题1. c2. b3. c 三． 计算题1. 517117518751--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭2. 201030102B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭3. 1127312732683684A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭四．证明题1.证 (A 为n 阶方阵)()222()2A A E EA E A E E--=+-=220,2A E A E E A E A E +-=≠⇒+-均可逆且()()1122A E A E -+=- ()122A E A E -+-=2.证 2()a baA bA cE A A E E c c+=-⇒--= 3.证 ()()112k k KE A E A A E A A A A A---+++=+++----kE A E =-= 121()k E A E A A A --⇒-=++++4. ()100012001023020034B E A ⎛⎫ ⎪-⎪=+= ⎪-⎪-⎝⎭第二、三章 矩阵及线性方程组 答案（3）一．填空题1. 22. 03. ,r m r n ≤≤4.=5. 1002075043⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ 二．选择题1. b, 2 . c, 3. C 4. a三．计算题1. 0132002100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2. 12101313221671A --⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭ 3. 52294212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 0λ= ()2R A =5. λ=5，1μ=6.(1)=0a , (2) 312X =111211-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭第二、三章 矩阵及线性方程组 答案（4）一．填空题1. 1r = ()232,,,n n k k k k k ----2,n k k 任意常数2. ()(),R A R A b n ==3. 32a b =4. 2a =- 二．选择题1. c2. c3. c4. D5. d三．求解线性方程组1. 12341101x x k x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ k R ∈2. 121234335244371244100010x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四．当1,2λλ==-时 有解,1λ= 123111010x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2λ=-123121210x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭五. 1λ≠ 10λ≠ 唯一解10λ= 无解1λ= 无穷多解 12123221100010x x k k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭六．先把矩阵表达式转化为具体等式得到一个含4个未知数和两个待定常数的线性方程组，求出所有解（通解）即可解决: 当1,0a b =-=时121121k k k C k k ++-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中12,k k 为任意常数.第四章 向量组的线性相关性 答案（1）一. 填空题1. 12210a b a b -=2. ()4r A =3. 无4.0ml ≠ 二. 选择题1. a2. c3. d4. d5. c 三. 1. 线性相关 2. 线性相关 四. 可选12,αα为一个最大无关组31211599ααα=-+ 4126399ααα=+五.证明: 1. 易知1243ββββ-=- 即12340ββββ-+-= 所以1234,,,ββββ线性相关.2. 令 1122330k b k b k b ++=即 ()()()112123123222340k a k a a k a a a +++++= ()()123123233222340k k k a k k a k a +++++= 因为123,,a a a 线性无关所以 12323322023040k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 所以1230k k k ===因此123,,b b b 线性无关3. (1) 设110m m k k k ααα++= 1(,,,m k k k 不全为0)则k 一定不为0,否则上式变为110m m k k αα+=而1,,m k k 不全为0, 1,,m αα线性相关与已知1,,m αα线性无关矛盾所以11mm k k kkααα--=- (2) 设11,m m l l ααα=++ 11m m s s ααα=++则有()()1110m m m l s l s αα-++-=因为1,,m αα线性无关, 所以 i i l s = ()1,2,,i m =，即表示法唯一4.设12r ，，，ααα为向量组的一个最大无关组，任取一线性无关的部分组12r ，，，βββ，有111112211 r r r r r c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βαβαβα，记12 r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭βββB =，12 r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααA =，11111r r r c c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 得B =CA ，()()()r r r r r ≤≤=B =CA C ，故()r r =C ，矩阵C 可逆，可得-1A =C B ，从而有12r ，，，ααα与12r ，，，βββ等价，故12r ，，，βββ也是一最大无关组。
2015~2016学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设123,,2a a a =，则1321223,43,a a a a a -+=．解析：132121312131231231212323,43,23,3,=323,,=33,,=9,,=9(1)(1),,18a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+=-------=-.注释本题知识点：行列式的性质（1）行列式的某一列乘以一个倍数加到另一列；（2）行列式的某一列提一个公因数；（3）行列式某两列互换.答案：-182.已知向量组1(1,2,3)Tα=,2(,2,3)Tk α=,3(1,,1)Tk α=，0k >，如果向量组123,,a a a 线性相关，则常数k =．解析：由123,,a a a 线性相关有，1122(1)(32)0331=--=k k k k 得21,3或k k ==.注释本题知识点：n 个n 维列向量组线性相关的充分必要条件是，由他们组成的行列式等于0.答案：21,3或k k ==,结果不唯一.3.已知三阶矩阵A 的特征值互不相同，且0=A ，又123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，则方程组0=Ax 的通解为．解析：由1230=A λλλ=得特征值123,,λλλ至少有一个为0.由A 的特征值互不相同，得123,,λλλ中一个为0另两个不为0，所以由A 的秩为2.从而0=Ax 的基础解系含一个向量.由123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，得1213--ηηηη，或为0=Ax的基础解系。
所以，方程组0=Ax 的通解为11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.注释本题知识点：（1）矩阵行列式的值等于它的所有特征值的乘积；（2）齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩；（3）非齐次方程组和齐次方程组解之间的关系.答案：11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.4．设1(1,0,1)T α=和2(0,1,0)T α=都是方阵A 对应于特征值3的特征向量.又(3,2,3)T β=，则A β=．解析：11223, 3A A αααα==.1232βαα=+12123296(9,6,9)T A A A βαααα=+=+=.注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义；（2）把一个向量表示成其它向量的线性组合.答案：(9,6,9)T.5．若二次型123(,,)f x x x 222123122335224=---+-x x x ax x x x 为负定二次型，那么a 的取值范围是．解析：二次型的矩阵3052022-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭aA a .A 负定当且仅当-A 正定，当且仅当-A 的所有顺序主子式都大于0；当且仅当22150,90->->a a ，当且仅当33-<<a 或(3,3)∈-a .注释本题知识点：（1）二次型的矩阵；（2）矩阵正定与负定的关系；（3）矩阵正定的充分必要条件。
拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数（必修）B 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟 题 人： 周红燕书写标准答案人： 周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。
第一章 行列式第一节 数域与排列 第二节 行列式定义一、填空1.（1）0；（2）5；（3）(1)2n n -；（4）(1)2n n -；（5）(1)n n - 3.11233442a a a a 和14233142a a a a -； （由n 阶行列式的定义） 4. 正 （6(1)-，注意将行标写为标准次序）；5. 1(1)n --；6. 2,1i j ==（将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数）；7. 2- （只有主对角线上的元素相乘为3x ）； 8.(1)2n n -； 9. 0； （提示：一元n 次方程n 个根之和为1n -次项的系数，本题1n -次项为2x ，其系数为0，也即0a b c ++=，利用行列式的性质可得结果为0，超纲题）；10. (1)2n n t -- 二、1. 0 （直接利用对角线法则，也可用性质计算）；2. abcd - （按n 阶行列式的定义，只有一项不为0，乘积abcd 的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 abcd -）。
第三节 行列式的性质 第四节 行列式按行（列）展开一、1. A （B,C,D 为充分条件）； 2 . C （由教材P23定理1.4.1可得）； 3. C ；4. A （2122232411110********cc c c A A A A +++==） 二、1、0（各列都加到第一列则第一列元素全为0） ；2、(1)na -⋅；（1111det()nij n nn a a a a a =,而1111det()nij n nna a a a a ---=--,每行提公因子1-）；3、0（由n 阶行列式的定义）；4、15（1212222232324242(1)(5)23071415D a A a A a A a A =+++=-⨯-+⨯+⨯+⨯=）；5、m n -， （11121311131311111211122122232123232121222122a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=-+）；6. 85，（12121(1)045x A +=-=，可解得45x =）。
2015线性代数练习题答案1001. 二阶行列式2一、单项选择题3k?0的充分必要条件是15kA. k?k? B. ?kC.?k?D. k?2或k?3100解析：按第一行展开：23k3k?1?A11?1?1?3?k2?0k15k13?521110?5设中第一行元素的代数余子式为A11,A12,A13,A1411112. ?4?1?3则A11?A12?A13?A14=A.0 B.2C.3D.71111110?5解析：A11?A12?A13?A14=?011112?4?1?3第二个等号：行列式的性质。
1103. 已知行列式x31中，代数余子式A12?0，则|A|? x2解析：A12?所以x?21?2x1?4?2x?02福建师范大学协和学院答题纸共页，第1页代入原行列式计算。
A. -B.C.D. 04.下列结论正确的是A. 若AB?AC,则B?CB. ?AB??A?1B?1T?1C. ?AB??BTATD. 若A2?0，则A=05.设向量组?1?,?2?,?3?,和?1?,?2?,则向量组间的关系是A. 向量组?1,?2,?3能被?1,?2线性表示，但?1,?2不能被?1,?2,?3线性表示B. 向量组?1,?2能被?1,?2,?3线性表示，但?1,?2,?3不能被?1,?2线性表示C. 向量组?1,?2和?1,?2,?3等价D.向量组?1,?2不能被?1,?2,?3线性表示，且?1,?2,?3不能被?1,?2线性表示R?3R?3R?2解析：R?R1,?2可以由?1,?2,?3线性表出R?2?R?3??1,?2,?3不可以由?1,?2线性表出6. 下列不是矩阵An?n可逆的充分必要条件的是A. 矩阵A为非奇异矩阵B. A?0C. 齐次线性方程组Ax?0有唯一解D. A满秩矩阵解析：A：定义。
?10?B：例如，??不是0矩阵，但是其行列式=0，不可逆。
00??福建师范大学协和学院答题纸共页，第2页A?0才是矩阵An?n可逆的充要条件。
东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。
