初三数学公式：方差公式(1)

方差公式变形
方差的定义：
1. 方差：是描述一组数据与其均值间离散程度的统计特征，是统计与数学中重要的概念；
2. 方差的计算公式：方差可以用下面的公式计算：σ2 ＝ Σ(X - μ)2 / (n - 1)，其中 μ 为给定数据的均值，n 为样本的数量，X 为每个样本的取值，Σ表示求和符号。

3. 方差公式变形：方差的变形公式可以写作：σ2 ＝ ΣX2 / n - (ΣX/n)2，其中X 为每个样本的取值，n 为样本的数量，Σ表示求和符号。

方差的解释：
1. 方差表示离散程度：方差是描述一组数据与其均值间离散程度的统计特征，它反映一组数据中数值变化情况的一个数字度量。

方差越大，表明所有数据与均值之间的离散程度也越大。

2. 反映一组数据的分散程度：方差是一组数据的分布特性，反映了这组数据的分散程度，方差越大说明这组数据几乎都各不相同，而数据分散程度越小就表明数据之间变化越小。

3. 方差的变形：方差的变形公式可以理解为，将除以（n-1）的值，变为了减去平均数的平方，方差的本质仍然是描述一组数据的变异性，不同的变形仅仅是将已经标准化的求和项转换为＝号便于应用的形式而已。

方差的应用：
1. 评估变量的变异性：方差可以用来评估变量的变异性，反映离散程度，越大表明变量变异性越大。

2. 比较人口特征：方差也可以用来比较两个细分人口特征之间的差异，如不同类别的年龄段、工作经验、收入水平、财富水平等。

3. 正态性检验：方差可以被用于正态性检验。

根据方差的特点，如果一组数据呈现
正态分布，那么它的方差就是期望值。

如果方差较大，则不构成正态分布；而若方差过小，也不是正态分布。

标准方差计算公式标准方差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

它反映了数据的变异程度，用数值来表示数据集中的元素与其均值之间的差异程度。

标准方差可以通过求数据集中每个元素与均值的差的平方和的平均值来计算。

它的数学公式可以通过以下步骤推导得到。

假设我们有一个包含n个元素的数据集，用x1, x2, x3, ..., xn表示。

这些元素的均值可以通过将所有元素的和除以n来计算，即：mean = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n然后，我们可以计算每个元素与均值的差的平方，即：differences = (x1 - mean)² + (x2 - mean)² + (x3 - mean)²+ ... + (xn - mean)²接下来，我们将differences除以n，得到平均差的平方，即：variance = differences / n最后，我们可以计算标准方差，即将方差的平方根，即：standard deviation = √(variance)这就是标准方差的计算公式。

标准方差的计算可以用来解决很多实际问题，例如：1.统计学中的方差分析：标准方差可以用来比较两个或多个样本之间的离散程度，从而判断它们的均值是否有显著差异。

2.财务分析中的风险评估：标准方差可以用来衡量投资组合或股票价格的波动性，从而评估其风险水平。

3.工程领域中的质量控制：标准方差可以用来衡量一组产品的质量变异程度，从而评估生产过程的稳定性。

4.生物学研究中的遗传变异分析：标准方差可以用来衡量基因型或表型的变异程度，从而研究遗传变异和表型差异之间的关系。

在实际计算中，我们往往会使用计算机软件或电子表格程序来自动计算标准方差。

这些程序通常提供了方便快捷的函数或工具，可以直接输入数据集并计算标准方差。

使用这些工具可以节省时间和精力，并减少计算错误的可能性。

总之，标准方差是一种用来衡量数据离散程度的重要统计量。

初中三年数学所有公式初一数学公式：1. 两角和与差公式：sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin bcos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b2. 绝对值的性质：|a × b| = |a| × |b|3. 二次根式化简：√(a × b) = √a × √b4. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)5. 相反数相加为0：a + (-a) = 06. 完全平方公式：a²± 2ab + b² = (a ± b)²7. 勾股定理：a² + b² = c²（适用于直角三角形）8. 三角函数的定义：sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边，tanθ = 对边/邻边9. 三角恒等式：sin²θ + cos²θ = 110. 二项式定理： (a + b)ⁿ = Σ(from k=0 to n) C(n,k) a^(n-k) b^k11. 分式的基本性质：a/b = c/d 当且仅当 ad = bc12. 分式的化简：a/b × c/d = (ac)/(bd)13. 指数法则：a^m × a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(mn)，a^m / a^n = a^(m-n)14. 对数的定义：a^x = N 当且仅当 x = log_a N15. 对数的换底公式：log_a b = log_c b / log_c a16. 对数的性质：log_a (MN) = log_a M + log_a N，log_a (M/N) = log_a M - log_a N17. 解一元一次方程：ax + b = 0 的解为 x = -b/a18. 解一元二次方程：ax² + bx + c = 0 的解为 x = [-b ±√(b² - 4ac)] / (2a)19. 解二元一次方程组：ax + by = c，dx + ey = f 的解为 x = (ef - bd) / (ae - bd)，y = (cd - af) / (ae - bd)20. 平面直角坐标系中两点距离公式：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]21. 相似三角形的性质：对应角度相等，对应边成比例22. 平行四边形的性质：对边平行且相等23. 矩形的性质：对边平行且相等，对角线相等24. 菱形的性质：四边相等，对角线相互垂直平分25. 正方形的性质：四边相等，四个角都是直角26. 圆的周长和面积公式：C = 2πr，S = πr²27. 扇形的面积公式：S = 1/2 rL（其中 L 为弧长）28. 平均数公式：若有 n 个数 a1, a2, ..., an，则它们的平均数为 (a1 + a2 + ... + an) / n29. 中位数公式：若有 n 个数 a1, a2, ..., an，将它们从小到大排序，若 n 为奇数，则中位数为第 (n+1)/2 个数；若 n 为偶数，则中位数为第 n/2 个数和第 (n/2 + 1) 个数的平均数。

方差,标准差和标准误的计算公式方差、标准差和标准误这几个概念在统计学里可太重要啦！咱们先从方差说起。

方差呢，就是一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数。

用公式表示就是：$S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i -\overline{X})^2$ 。

这里的 $S^2$ 就是方差，$n$ 是样本数量，$X_i$ 表示第 $i$ 个数据，$\overline{X}$ 是这组数据的平均值。

比如说，咱们班有 5 个同学，他们的数学考试成绩分别是 80 分、85 分、90 分、95 分和 100 分。

那这组数据的平均数就是（80 + 85 +90 + 95 + 100）÷ 5 = 90 分。

然后算方差，先算每个数据与平均数的差：80 - 90 = -10，85 - 90 = -5，90 - 90 = 0，95 - 90 = 5，100 - 90 = 10。

再把这些差平方：(-10)² = 100，(-5)² = 25，0² = 0，5² = 25，10² = 100 。

接着把这些平方后的差加起来：100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 。

最后除以样本数量 5 ，得到方差 250 ÷ 5 = 50 。

有一次我给学生们讲方差的计算，有个调皮的小家伙一直搞不懂为啥要先算差再平方。

我就跟他说：“你想想啊，如果只是算差，那有正有负，加起来可能就相互抵消啦，体现不出数据的离散程度。

平方一下，就把所有的差都变成正数，这样才能更好地反映出数据和平均数的偏离程度呀。

”这小家伙眨眨眼睛，好像突然明白了。

标准差呢，其实就是方差的平方根。

用公式表示就是：$S =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}$ 。

还拿上面那组数学成绩举例，方差是 50 ，那标准差就是 $\sqrt{50} \approx7.07$ 分。

初二数学方差公式
方差公式是：
（1）特征值x的总和
∑x=Σ（x1+x2+x3+…+xn）
（2）特征值x的平均数
均值：
X=¹/n∑x=¹/n（x1+x2+x3+…+xn）
（3）方差的公式
方差σ^2=∑(x-X)^2/n
方差公式是一种分析随机变量均值和方差的一种统计量，它可以反应
一个总体的变异特性，它作为统计分析指标被广泛使用。

它具有反应
随机变量总体变异特性的特殊优势，因此被广泛应用于社会科学研究，比如分析经济大宗商品价格、公共政策、薪酬及各种其他社会变量，
以及生物学在遗传学和表征方面的应用等研究。

根据方差公式可以计算出：
（1）每个随机变量的总体均值：根据方差公式：X=¹/n∑x，即可得随
机变量的每个总体均值。

（2）每个随机变量的每个样本均值：根据方差公式，根据每一个样本
计算出相应的总体均值，可以得到：µ=∑x/m-1，其中m为样本数，即
可得随机变量的每个样本均值。

（3）每个随机变量的总体方差：根据方差公式：σ^2=∑(x-X)^2/n，即
可算出随机变量的总体方差。

（4）每个随机变量的样本方差：根据方差公式：S^2=∑(x-µ)^2/(m-1)，即可得随机变量的样本方差。

（5）每个随机变量的标准差：根据方差公式：σ=√σ^2，即可得随机变
量的标准差。

综上所述，通过方差公式，我们可以计算出随机变量的每个总体均值、样本均值、总体和样本方差以及标准差，从而更好的了解和掌握随机
变量的变化范围。

2020年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方差与频率分布◆知识讲解 1．方差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，•叫做这组数据的方差．通常用“S 2”表示，即S 2=1n[（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2]． 2．方差的计算 （1）基本公式 S 2=1n[（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2] （2）简化计算公式（Ⅰ） S 2=1n [（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2]，也可写成S 2=1n（x 12+x 22+…+x n 2）－x 2，此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（Ⅱ） S 2=1n[（x`12+x`22+…+x`n 2）－nx x `2]． 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组数据x`1=x 1－a ，x`2=x 2－a ，…x`n =x n －a ，•那么S 2=1n[（x`12+x`22+…+x`n 2）－n x `2]，也可写成S 2=1n（x`12+x`22+…+x`n 2）－x `2．记忆方法是：•方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． 3．标准差的定义和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即(n x +- 4．方差和标准差的意义方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况． 方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小． 5．频率分布的意义前面学习的平均数与方差，反映了样本和总体的两个特征：平均水平和波动大小．但是在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布． 6．研究频率分布的一般步骤及有关概念（1）研究样本的频率分布的一般步骤：①计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③决定分点；④列频率分布表；⑤画出频率分布直方图．（2）频率分布的有关概念：①极差：最大值与最小值的差；②频数：落在各个小组内的数据的个数；③频率：每一小组的频数与数据总体（样本容量n•）的比值叫做这一小组的频率．（3）几个重要的结论：①各小组的频数之和等于数据总数；②各小组的频率之和等于1；③频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，各小长方形面积之和等于1；④各小长方形的高与该组频数成正比．◆例题解析例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（•单位：分）甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89（1）分别计算这两组数据的平均数；（2）分别计算这两组数据的方差；（3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差．【解答】（1）x甲=14（6+2+7+5）+80=85，x乙=14（5+1+5+9）+80=85．（2）S甲2=14[（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S乙2 =14[（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8．（3）∵S乙2>S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．例2 为了迎接全市体育中考，•某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：m，精确到0.01m）作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（•每组含最低值，不含最高值）．已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2：4：6：•5：3，其中1.80～2.00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题：（1）这次调查的样本容量为______，2.40～2.60这一小组的频率为_____．（2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内，并说明理由；（3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？（4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上（包括2.00m）•的约有多少人？【分析】样本容量是样本数据，不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序后再求出，然后分析落在哪个小组．【解答】（1）由于1.80～2.00小组的频数为8，占总份数中的4份，总份数是20•分，故样本容量为：8÷420=40．2.40～2.60这个小组的频率为3÷20=0.15．（2）由于样本容量是40，则中位数是第20人和第21人成绩的平均数，而第20•人和第21人的成绩均在2.00～2.20这个小组，则中位数落在2.00～2.20这个小组．（3）因为第一组到第五组人数依次为4人，8人，12人，10人，6人，•则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m．（4）初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有2540×500=350（人）．【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1，掌握它是解题的关键．◆强化训练一、填空题1．（2019，荆门市）已知数据：1，2，1，0，－1，－2，0，－1，这组数据的方差为______．2．（2019，宜昌市）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示．根据表中数据，可以认为三台包装机中，______包装机包装的茶叶质量稳定．3．2019年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成表1；将消费者打算购买住房的面积的情况整理后，制成表2，并作出部分频率分布直方图（如图）．表1 被调查的消费者年收入情况表2 被调查的消费者打算购买住房的面积的情况注：住房面积取整数请你根据以上信息，回答下列问题：（1）根据表1可得，被调查的消费者平均年收入为______万元；被调查的消费者年收入的中位数是______万元；在平均数，中位数这两个数中，更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平；（2）根据表2可得，打算购买100.5～120.5m2房子的人数是_____人；打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是____；（3）在下图中补全这个频率分布直方图．4．青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图．请你根据给出的图表回答：（1）填写频率分布表中未完成部分的数据．（2）在这个问题中，总体是________，样本容量是________． （3）在频率分布直方图中，梯形ABCD 的面积是______．（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）：________．5．甲，乙两种产品进行对比试验，•得知乙产品比甲产品的性能更稳定，如果甲，乙两种产品抽样数据的方差分别是S 甲2与S 乙2，•则它们的方差的大小关系是_______．6．已知：一组数据－1，x ，1，2，0•的平均数是0，•这组数据的方差是_____．7．若样本数据1，2，3，2的平均数是a ，中位数是b ，众数是c ，则数据a ，b ，c 的标准差是_______． 8．若已知一组数据：x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为S 2，那么另一组数据：3x 1－2，•3x 2－2，…，3x n －2的平均数为______，方差为______． 二、选择题9．在一次射击练习中，甲，乙两人前5次射击的成绩分别为（单位：环）甲：10 8 10 10 7 乙：7 10 9 9 10则这次练习中，甲，乙两人方差的大小是（ ）A ．S 甲2>S 乙2B ．S 甲2<S 乙2C ．S 甲2=S 乙2D ．无法确定10．已知甲，乙两组数据的平均数相等，•若甲组数据的方差S 甲2=0.055，乙组数据的方差S 乙2=0.105，则（ ）A ．甲组数据比乙组数据波动大B ．乙组数据比甲组数据波动大C ．甲组数据与乙组数据的波动一样大D ．甲，乙两组数据的波动大小不能比较 11．（2019，宜昌市）衡量样本和总体的波动大小的特征数是（ ） A ．平均数 B ．众数 C ．标准差 D ．中位数12．某少年军校准备从甲，乙，丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛，他们在选拔比赛中，射靶十次的平均环数是x 甲=x 乙=x 丙=8.3，方差分别是S 甲2=1.5，S 乙2=2.8，S 丙2=3.2．那么，根据以上提供的信息，•你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定13．（2019，广州市）甲，乙两人在相同情况下，各射靶10次，•两人命中环数的平均数是x 甲=x 乙=7，方差S 甲2=1.0，S 乙2=1.2，则射击成绩较稳定的是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．一样 D ．不能确定14．为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了6次测试，成绩如表所示： 甲和乙两位同学6次测试成绩（每分钟输入汉字个数）及部分统计数据表有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断，•其中说法正确的是（ ）A ．甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定B ．甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定C ．乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定D ．乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定15．在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为S 甲2=172，S 乙2=256．下列说法：①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数； ④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的共有（• ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种16．（2019，盐城市）如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数， 那么这组数据的（ ）A ．平均数和方差都不变B ．平均数不变，方差改变C ．平均数改变，方差不变D ．平均和方差都改变 三、解答题17．某校初三（1）班，三（2）班各有49名学生，两班一次数学测验中的成绩统计如下表：（1）请你对下面的一段话给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班上可算上游！”（2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，•并提出教学建议．18．武汉市教育局在中学开展的“创新素质实践行”中，进行了小论文的评比．各校交论文的时间为5月1日至30日，•评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图，•已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为18．请回答下列问题：（1）本次活动共有多少篇论文参加评比？（2）哪组上交的论文数量最多？有多少篇？（3）经过评比，第四组和第六组分别有20篇，4篇论文获奖，•问这两组哪组获奖率较高？19．（2008，金华）九（3）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛活动，•老师将对学生的成绩按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数的分布直方图．九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表（1）频数分布表中a=_____，b=___；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）学校设定成绩在69．5分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15本及奖金50元，二等奖奖励作业本10本及奖金30元．已知这部分学生共获得作业本335本，请你求出他们共获得的奖金．九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布直方图20．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图6－28所示．（1）请填写下表：（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析．①从平均数和方差相结合看；②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．21．在“3．15”消费者权益日的活动中，对甲、•乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为1分，2分，3分，4分．（1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为_____分；乙商品的用户满意度分数的众数为_______分．（2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分．（精确到0.01）（3）请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由．参考答案1．322．乙3．（1）2.39；1.8；中位数（2）240；52% （3）略4．（1）第二列从上至下两空分别填15，50；第三列从上至下两空分别填0.5，0.3 •（2）500名学生的视力情况；50 （3）0.8 （4）该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人；或该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4.25以下的人数基本相等，各有20人左右5．S乙2<S甲2 6．2 7．0 8．3x－2 9S29．A 10．B 11．C 12．A 13．A 14．C 15．D 16．C17．（1）从平均数，众数和中位数角度分析；（2）平均分，众数均相同，但三（1）班的成绩中位数高，表示三（1）班成绩比三（2）•班好，但三（2）班标准差比三（1）班小，表示三（2）班学生成绩较整齐．18．（1）本次活动共有120篇文章参评（2）第四组上交的论文数量最多，有36篇（3）第六组获奖率最高．19．（1）2 0.125 （2）图略（3）由题中表得，有29名同学获得一等奖或二等奖．设有x名同学获得一等奖，则有（29－x）名同学获得二等奖，根据题意得15x+10（29－x）=335．解得x=9．∴50x+30（29－x）=1050，所以他们得到的奖金是1050元． 20．（1）如下表：（2）①∵平均数相同，S甲2<S乙2，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数．∴乙的成绩比甲好些．③∵平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少．∴乙的成绩比甲好些．④甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4•次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．21．（1）3 3（2）甲商场抽查用户数为：500+1000+2000+1000=4500（户），乙商场抽查用户数为：100+900+2200+1300=4500（户）．所以甲商场满意度分数的平均值=50011000220003100044500⨯+⨯+⨯+⨯≈2.78（分）．乙商场满意度分数的平均值=1001900222003130044500⨯+⨯+⨯+⨯≈3.04（分）答：甲，乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分，3.04分．（3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以乙商场的用户满意度较多．。

方差的计算公式高中数学变形方差这个概念，在高中数学里可算是个挺重要的家伙。

它能帮咱们衡量一堆数据的离散程度，也就是看看这些数据有多“分散”或者多“集中”。

方差的计算公式，咱们先来说说最常见的那个：$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 。

这里的$n$是数据的个数，$X_i$是第$i$个数据，$\overline{X}$是这组数据的平均数。

咱来举个例子感受感受。

比如说有一组数：5，7，9，11，13。

先算平均数，（5 + 7 + 9 + 11 + 13）÷ 5 = 9 。

然后算方差，（5 - 9）² + （7 - 9）² + （9 - 9）² + （11 - 9）² + （13 - 9）²，再除以 5 。

这一步步算下来，就能得出方差的值啦。

不过，在实际做题的时候，有时候这个公式用起来不太方便，就得给它变变形。

比如说，有时候会遇到这种情况：数据都比较大，算起来麻烦。

这时候咱们就可以把每个数据都减去一个常数$a$，让数据变小点，方便计算。

假设咱们减去 8 ，新的数据就是 -3，-1，1，3，5 。

新的平均数就是 1 ，方差还是按照公式来算。

还有一种变形，就是如果一组数据同时乘以一个常数$b$，那方差就变成原来的$b^2$倍。

比如说原来的数据是 2，4，6 ，方差是 4 。

如果都乘以 3 ，变成 6，12，18 ，方差就变成 36 啦。

我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生就特别迷糊，怎么也算不对。

我就一点点带着他，从最基础的平均数开始，一个数一个数地算，慢慢他就明白啦。

这让我深刻体会到，教数学不能着急，得有耐心，得让学生自己去琢磨，去感受其中的规律。

咱们再回到方差的变形公式。

有时候做题的时候，根据具体情况选择合适的变形公式，能让计算变得轻松不少。

比如说，如果数据之间的差距比较小，咱们就可以通过减去一个常数来简化计算；如果数据是成比例的，那就要考虑乘以常数对方差的影响。

mathematics计算方差方差的概念在统计学中，方差是衡量数据分布离散程度的一个指标。

它表示数据点与均值之间的平均差异平方。

方差越大，数据点越分散；方差越小，数据点越集中。

计算方差的步骤1. 计算样本均值(μ)：- 首先，将所有数据点相加- 然后，将和除以数据点的数量2. 计算每个数据点与均值的差值：- 对于每个数据点，从该点中减去均值- 这些差值称为离差3. 求离差的平方：- 对于每个离差，将其平方4. 计算离差平方的和：- 将所有离差平方相加- 离差平方的和称为平方差和 (SS) 5. 除以自由度 (df)：- 自由度是数据点数量减 1- 平方差和除以自由度得到方差方差的数学公式方差的数学公式为：```σ² = SS / df```其中：- σ²是方差- SS 是平方差和- df 是自由度方差的应用方差在统计学和概率论中有着广泛的应用，包括： - 衡量数据分布的离散程度- 进行假设检验- 估计总体参数- 建立置信区间- 进行回归分析例子假设我们有一个以下数据点的数据集：{10, 12, 14, 16, 18}1. 计算样本均值：(10 + 12 + 14 + 16 + 18) / 5 = 142. 计算离差：{10 - 14, 12 - 14, 14 - 14, 16 - 14, 18 - 14} = {-4, -2, 0, 2, 4}3. 求离差的平方：{16, 4, 0, 4, 16}4. 计算平方差和：16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 405. 计算自由度：5 - 1 = 46. 计算方差：40 / 4 = 10因此，该数据集的方差为 10。

这表明数据点相对于均值具有较大的离散性。

数学方差的两个公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学方差是描述数据的分散程度或者变异程度的一种统计指标。

它衡量了数据点与其均值之间的差异程度，是一种衡量数据波动性的指标。

在统计学中，方差是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解数据的分布情况。

方差有两种不同的定义，分别是总体方差和样本方差。

两者的计算公式有所不同。

下面将分别介绍这两种方差的计算公式。

一、总体方差的计算公式总体方差是用来衡量总体数据的分散程度的指标。

对于一个总体数据集，总体方差的计算公式如下：\sigma^{2}=\frac{\sum\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{N}\sigma^{2}表示总体方差，\mu表示总体均值，x_{i}表示第i个数据点，N表示总体数据的个数。

公式中的\sum表示对所有数据点求和。

1. 计算总体均值\mu。

将所有数据点相加，并除以总体数据个数N，得到总体均值。

2. 对每个数据点x_{i}，计算其与总体均值\mu的差值(x_{i}-\mu)的平方。

样本方差的计算步骤如下：3. 将所有样本数据点x_{i}与样本均值\bar{x}的差值的平方相加，得到样本方差s^{2}。

样本方差的计算公式是统计学中常用的一种指标，用来衡量样本数据的分布情况。

和总体方差相比，样本方差的计算公式中分母是n-1而不是N，这是为了更好地估计样本方差与总体方差之间的差异。

在实际应用中，我们通常使用样本方差来估计总体方差。

方差是统计学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们理解数据的分布情况和波动性。

总体方差和样本方差是两种常用的计算公式，它们分别用于描述总体数据和样本数据的分散程度。

通过计算方差，我们可以更好地理解数据的波动情况，为后续的数据分析和决策提供参考。

【这篇文章介绍了数学方差的两个公式，对总体方差和样本方差的计算方法进行了详细介绍。

】第二篇示例：数学中的方差是一种用来衡量数据集合中各个数据与平均值的离散程度的统计量。

方差高中数学公式方差是统计学中常用的一个指标，用来衡量数据分布的离散程度。

在高中数学中，方差一般用于描述统计样本的离散程度，具体公式为：方差公式：给定一组样本数据，假设样本数据有n个，分别为x1、x2、x3 ... xn。

首先计算样本的平均值，记为x̄，然后计算每个数据与平均值的差值的平方，并求和得到sum。

方差的计算公式如下：Var = sum((xi - x̄)^2) / n其中，Var表示方差，xi表示第i个数据点，x̄表示样本数据的平均值，sum表示求和。

在高中数学中，方差的计算方法主要有以下几种：全距法、四分位差法和方差法。

下面我们逐一介绍。

1.全距法：全距法是一种简单的计算方差的方法。

全距是指一组数据中最大值与最小值的差值，全距法通过计算全距的平方来估计样本数据的离散程度。

方差=(最大值-最小值)^22.四分位差法：四分位差法是另一种简单的计算方差的方法。

四分位差是指一组数据分别位于上四分位数和下四分位数之间的数据的范围，四分位差法通过计算四分位差的平方来估计样本数据的离散程度。

方差=(上四分位数-下四分位数)^23.方差法：方差法是最常用的计算方差的方法，它可以更准确地衡量样本数据的离散程度。

具体计算方差的步骤如下：1)计算样本数据的平均值x̄。

2) 计算每个数据点与平均值的差值的平方(xi - x̄)^23) 对所有差值的平方求和得到sum。

4)除以样本数据的个数n得到方差。

方差 = sum((xi - x̄)^2) / n方差法是最常用的计算方差的方法，也是统计学中标准的方差计算方法，因为它能够更准确地估计样本数据的离散程度。