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习题答案0 绪论ρ＝m 3 当y=时H u dy dum 058.1≈ 当y=时Hu dy dum 84.0≈ f = gh 的量纲为[L] F f ＝184NK=×108N/m 2 dp=×105N/m 21 水静力学1.1 Pc=m 2 h=1.2 P B -P A =m 2 P AK =m 2 P BK =m 21.3 h 1= h 2= 内侧测压管内油面与桶底的垂距为5m ，外侧测压管内油面与桶底的垂距为。
1.4 Pc=m 21.5 P M = KN/m 2 1.6 P 2-p 1=m 2 1.7 γ=BA Br A r B A ++1.8 P= 方向向下垂直底板 P ＝0 1.9 W=s W max =s1.10a=Lh H g )(2-当下游无水 P =(→) P 2=(↓)当下游有水 P =3136KN(→) P 2=(↓) T=当h 3=0时T= 当h 3=h 2=时 T ＝ 0－0转轴距闸底的距离应为 P= L D =(压力中心距水面的距离) P=P ＝ 总压力与水平方向夹角φ＝14º28´ P =353KN P = 方向向下 H=3m δ= F= (←)2 液体运动的流束理论Q=s V ＝s h w =γ2p =P K 1=m 2 Q=s Q=s μ= Q=sS 点相对压强为－／cm 2，绝对压强为cm 2 V 3=s Q=s R =(→)R= 合力与水平方向夹角β＝37º8´ R =(→) R =(→) R =(←) R=(→)α=2 34=β F=Rmv 2Q=g 2μ F=C d L222ρμm p A44.2=γm p B44.4=γQ 1=+1(2Q cos )α )cos 1(22α-=QQ R=2145KN α=54º68´ m=T 充＝24分34秒 T 放＝23分10秒3. 液流型态及水头损失3.1 d 增加，Re 减小 3.2 R e =>2000 紊流 R e =64554>500紊流 cm 0096.00=δ320=u v 当时v u x = h y m 577.0≈ Q3min1654.0m =/s 20/24.33m N =τ当Q=5000cm 3/s 时，Re=19450紊流2.00=∆δ 光滑管区027.0=λ 当Q ＝20000cm 3/s 时 Re=78200紊流775.00=∆δ 过渡粗糙区 026.0=λ 当Q ＝200000cm 3/s 时 Re=780000紊流1.70=∆δ 粗糙区 023.0=λ若l ＝100m 时Q ＝5000 cm 3/s 时 h f = Q=2000 cm 3/s 时 h f = Q ＝200000 cm 3/s 时 h f = λ＝ n= ξ= Q=s ∆h= Z=ξ=4 有压管中的恒定流当n=时 Q= m3/s 当n=时 Q=s当n=时 Q= m3/s当n=时 Q= m3/s 当n=时 Q= m3/s当n=时 Q= m3/sQm ax= m3/s Z=当n=时 H= m 当n=时 H= mHt=n取 Q= m3/s hm axv=n取时 HA＝水柱高Q1=s Q2=s ∇=H=Q2= m3/s Q3= m3/sQ1= m3/s Q2= m3/s Q3= m3/sH1=Q= m3/s PB=m2Q1= Q25 明渠恒定均匀流V=s Q= m3/sQ= m3/sQ= m3/sh=h=b=b=71m V= m/s大于V不冲＝ m/s 故不满足不冲流速的要求当n=时 i= ∇=当n=时 i= 当n=时 i=当n=时 i=i=1/3000 V=s<V允满足通航要求 n= V=s当n=时 b= h=当n=时 b= h=当n=时 b= h=hf=1mQ= m3/sQ=shm = bm= i= 2∇= Q1=s Q2= m3/s6 明渠恒定非均匀流 Vw=s Fr= 缓流hk1= hk2= h01=> hk1缓流h 02=> hk2缓流hk = Vk=s Vw=s hk> h缓流 Vw>V缓流iK=> i缓坡L很长时，水面由线为C0、bb2型。
第一章 绪论答案1-1．20℃的水2.5m 3，当温度升至80℃时，其体积增加多少？ [解] 温度变化前后质量守恒，即2211V V ρρ= 又20℃时，水的密度31/23.998m kg =ρ 80℃时，水的密度32/83.971m kg =ρ 321125679.2m V V ==∴ρρ 则增加的体积为3120679.0m V V V =-=∆ 1-2．当空气温度从0℃增加至20℃时，运动粘度ν增加15%，重度γ减少10%，问此时动力粘度μ增加多少（百分数）？ [解] 原原ρννρμ)1.01()15.01(-+==原原原μρν035.1035.1==035.0035.1=-=-原原原原原μμμμμμ此时动力粘度μ增加了3.5%。
1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为μρ/)5.0(002.02y hy g u -=，式中ρ、μ分别为水的密度和动力粘度，h 为水深。
试求m h 5.0=时渠底（y =0）处的切应力。
[解] μρ/)(002.0y h g dy du -=)(002.0y h g dydu -==∴ρμτ 当h =0.5m ，y =0时)05.0(807.91000002.0-⨯⨯=τPa 807.9=1-4．一底面积为45×50cm 2，高为1cm 的木块，质量为5kg ，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s ，油层厚1cm ，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。
[解] 木块重量沿斜坡分力F 与切力T 平衡时，等速下滑y u AT mg d d sin μθ== 001.0145.05.062.22sin 8.95sin ⨯⨯⨯⨯==δθμu A mg =s Pa 08376.0⋅ 1-5．已知液体中流速沿y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律y ud d μτ=，定性绘出切应力沿y[解]1-6．为导线表面红绝缘，将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。
工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。
试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ´x 、p ´y 以及压应力p x 、p y 。
解：0y x xy yx u u x y ττμ∂⎛⎫∂==+= ⎪∂∂⎝⎭24xxu p a x μμ∂'=-=-∂，24y y u p a yμμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。
试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。
（请将d 0d px=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。
由例５－1中的（11）式可得2d (1)2d h y p y yu v h x h h μ=-- （１） 当d 0d p x =时，yu v h=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。
它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。
当d 0d px≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为(1)u y y yp v h h h=-- （２） 式中2d ()2d h pp v xμ=- （３）当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。
若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2x gu zh z r q m=-，单宽流量3sin 3gh q r q m=。
第1章绪论一、选择题1．按连续介质的概念，流体质点是指（）A .流体的分子； B. 流体内的固体颗粒；C . 无大小的几何点；D. 几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
2．作用在流体的质量力包括（）A. 压力；B. 摩擦力；C. 重力；D. 惯性力。
3．单位质量力的国际单位是：（）A . N ；B. m/s；C. N/kg；D. m/s2。
4．与牛顿内摩擦定律直接有关系的因素是（）Ａ. 切应力和压强； B. 切应力和剪切变形速率；C. 切应力和剪切变形。
5．水的粘性随温度的升高而（）A . 增大；B. 减小；C. 不变；D，无关。
6．气体的粘性随温度的升高而（）A. 增大；Ｂ. 减小；Ｃ. 不变；D，无关。
7．流体的运动粘度υ的国际单位是（）Ａ. m2/s ；B. N/m2；C. kg/m ；D. N·s/ｍ28．理想流体的特征是（）Ａ. 粘度是常数；B. 不可压缩；C. 无粘性； D. 符合pV=RT。
9．当水的压强增加１个大气压时，水的密度增大约为（）Ａ. 200001；Ｂ. 100001；Ｃ. 40001。
10．水力学中，单位质量力是指作用在（）Ａ. 单位面积液体上的质量力；Ｂ. 单位体积液体上的质量力；Ｃ. 单位质量液体上的质量力；Ｄ. 单位重量液体上的质量力。
11．以下关于流体粘性的说法中不正确的是（）Ａ. 粘性是流体的固有属性；Ｂ. 粘性是在运动状态下流体具有抵抗剪切变形速率能力的量度Ｃ. 流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重作用；Ｄ. 流体的粘性随温度的升高而增大。
12．已知液体中的流速分布µ－y Ａ.τ＝０；Ｂ.τ＝常数； Ｃ. τ＝ky 13 Ａ. 液体微团比液体质点大；Ｂ. Ｃ. 14．液体的汽化压强随温度升高而（ Ａ. 增大； Ｂ. 减小；Ｃ. 不变；15．水力学研究中，为简化分析推理， Ａ. 牛顿液体模型； Ｂ. 体模型；Ｅ. 连续介质模型。
水力学答案吕宏兴裴国霞等Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】2-1 解：（1）pA +γ水·ΔH=γH·Δh；所以pA =γH·Δh-γ水·ΔH=（γH=γ水）（2）测压管长度：pA =γ水·h 所以h= pA /γ水=×103/×103=3.88m2-3 解：P A -γh=pB-γ(h1+h2+h)+γHh1所以，pA -pB=γHh1-γ(h1+h2)=×× =2-6解：p A =γH(h1+h2)-γ(h1+h2)=××××解：（1）左支：绝对：pc'=p'+γh=+×2=（2）右支：pc '=pa+γ水h； h=（pc'-pa）/γ水=（）/=0.827m2-8 解：pA ==×98=（1）左支：pA=γh1h1=pA/γ==6m（2）右支：pA+γh=γHh2h2=（pA+γh）/γH=0.456m2-10解：设管嘴内的绝对压强为p',则p'+γh= paP v =pa- p'=γh=×=2-12解：(1)设容器底部面积为S，相对压强为P，对容器底部进行受力分析：由牛顿第二定律：ΣF=m·a；-（P+G)=-m·a 所以得出p·s+γ·s·h=ρ·s·h·ap=ρ·h·a -γh=γh/g·a-γh=γh(a/g-1)p=×2=㎡(2)相对压强为0 p=γh(1-a/g)=0 由式可知 a/g-1=0a=g=9.8m/s2时，p=02-142-16解：下游无水时，h1=，h2=，b=3m（1）求静水总压力P方法10：P=Ωb=1/2[γh1+γ(h1+h2)]×AB×b=1/2××(2×+××3=方法20：P=γhc A=γ(h1+h2/2)×AB×b=（2）计算P的作用点D的位置：e=l/3·（2h1+h2ˊ）/（h1+h2ˊ）=0.915m（其中hˊ=h1+h2）（3）计算T:因为ΣMa=0 则：P·AC+G·AO·cos600 其中：AC=AB-e= AO=AB/2×所以 T=158kN下游有水时，AB=,b=3m ，p A =γh 1=×=，p A=p B(1)静水总压力P 左=γ·h c1A 1=×(h 1+h 2/2）×AB ×b=P 1=（其中h c1=h 1+h 2/2 A 1=AB ×b ） e 1=P 右=γ·h c2A 2=×h 2/2×AB ×b=P 2=（其中h c2=h 2/2）e 2=l/3=3=0.71m（2） 因为ΣM a =0P 1×(AB-e 1）+G ×AO ×cos600=T ×AB ×cos600+P 2×(AB-e 2)T=已知：H=3m,b=5m,R=,θ=450 求P 及作用点 H=Rsin450=×22=3m(1)水平分力：P x =γh e A x =××3×5=(KN) (2)铅垂分力：P z =γv=γ×b=××5=(KN) 其中：=S 梯OABC —S 扇OAC =－=㎡ S 梯OABC =×[+（）]×3=㎡S 扇OAC =3604500πR 2=360450××=㎡（3）P=P Pz x22+=01.565.22022+=（KN ）（4）P 与水平面的夹角α： α=arctan PP xz =arctan5.22001.56==14015`2-192-20 解:已知b=10m，k=8m（1）夹角计算：Sinβ1=（173-170）/8=3/8=（cosβ1=8）β1=Sinβ2=（170-165）/8=5/8=（cosβ2=）β2=（2）水平方向水压力Px:(闸门宽b=10m)公式：Px =γhcAx=×4×8×10=3136kN（另法：Px=1/2××8×8×10=kN）（3）垂直方向水压力Pz=γV关键计算压力体体积V=[三角形ofc（㎡）+扇形ocd（㎡）-梯形ofed（）]×b所以 V=（+）×10=×10=106.36m3Pz=γV=×=（4）总压力P:P=(Px 2+Pz2)=作用方向α==P与水平面夹角，且过o点。
选择题（单选题） 速度v ,长度I ,重力加速度g 的无量纲集合是：（b ）lvv Iv（a ）；（b ）；（c ）；（d ） 。
gglgv g 1速度v ，密度 ，压强p 的无量纲集合是：（d ）速度v ,长度I ,时间t 的无量纲集合是： t /、 l z lc ） 2 ; （d ）vt 2vt进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是： （b ）（a ）雷诺准则；（b ）弗劳德准则；（c ）欧拉准则；（d ）其他。
进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是： （a ）（a ）雷诺准则；（b ）弗劳德准则；（c ）欧拉准则；（d ）其他。
雷诺数的物理意义表示：（c ）（a ）粘滞力与重力之比；（b ）重力与惯性力之比；（c ）惯性力与粘滞力之比; 力与粘滞力之比。
明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的： （c ）（a ） 1/2 ； （b ） 1/4 ； （c ） 1/8 ； （d ） 1/32 o压力输水管模型实验，长度比尺为 8，模型水管的流量应为原型输水管流量的:（a ） 1/2 ； （b ） 1/4 ； （c ） 1/8 ； （d ） 1/16。
假设自由落体的下落距离 s 与落体的质量 m 重力加速度g 及下落时间t 瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。
•/ s Km g ts L ； mM ； g T 2L ； t T5.15.25.35.45.5 5.65.75.8 5.95.10解：(a) —P ； ( b) —v ； v P2(c)竺；(d)Po2v 压强差Vp ，密度 ，长度I ，流量Q 的无量纲集合是：（d ）(a) QVpl 2(b) _lVpQ 2 (c)⑺ it ；（b ）vl(d)(d)压（c）有量纲关系：L M T2 LT可得：0; 1 ； 2 二s Kgt答：自由落体下落距离的关系式为s Kgt 2。
水泵的轴功率 N 与泵轴的转矩 M 、角速度 有关，试用瑞利法导出轴功率表达式。
5-1. 圆管直径mm 10d =，管中水流流速s m 20v /.=，水温C 10T 0=，（1）试判别其液流型态；（2）若流速与水温不变，管径改变为mm 30，管中水流型态又如何？（3）若流速与水温不变，管流由层流转变为紊流时，管直径为多大？ 解：(1)已知水温C 10T 0=，查表得水的运动粘滞系数s m 2610304.1-⨯=ν，求得水的雷诺数2000724.153310304.101.02.0Re 6<≈⨯⨯==-νυd 此时，水流为层流。
(2)2300227.460110304.103.02.01Re 6>≈⨯⨯⨯==-νυd 此时，水流为紊流。
（3）选取临界雷诺数2000Re =，m d 013.02.0110304.12000Re 6≈⨯⨯⨯==-υν5-2．圆管直径mm 100d =，管中水流流速s cm 100v /=，水温C 10T 0=，试判别其液流型态，并求液流型态变化时的流速。
解：已知水温C 10T 0=，查表得水的运动粘滞系数m 2610304.1-⨯=ν，选取临界雷诺数2000Re =s m d 026.01.010304.12000Re 6≈⨯⨯==-νυ5-3．断面为矩形的排水沟，沟底宽cm 20b =，水深cm 15h =，流速s m 150v /.=，水温C 15T 0=，试判别其液流型态？解：已知水温C T 015=，查表得水的运动粘滞系数s m 2610304.1-⨯=ν由于明渠的水力半径m h b bh AR 06.0215.02.015.02.02=⨯+⨯=+==χ选取临界雷诺数2000Re = 500269.567.791510137.106.015.04Re 6>≈⨯⨯===-νυνυR d 此时，水流为紊流。
5-4.某油管输送流量s m Q /1067.533-⨯=的中等燃料油，其运动粘滞系数s m v /1008.626-⨯=，试求：保持为层流状态的最大管径d ？解：雷诺数：νπνπνυμρd Q d d Qd vd 44Re 2====选取临界雷诺数2000Re =：m Q d 594.020001008.61067.54Re 463≈⨯⨯⨯⨯⨯==--ππν5-5．有一管道，已知：半径cm 15r 0=,层流时水力坡度150J .=，紊流时水力坡度20J .=，试求：（1）管壁处的切应力0τ；（2）离管轴cm 10r =处的切应力τ？ 解：(1)层流时：2f 3000h r r 1510g g J 1.0109.80.15110.25Pa 2l 22τρρ-⨯===⨯⨯⨯⨯=23r 1010g J 1.0109.80.1573.5Pa 22τρ-⨯==⨯⨯⨯⨯=(2)紊流时：2f 3000h r r 1510g g J 1.0109.80.20147Pa 2l 22τρρ-⨯===⨯⨯⨯⨯=2'3r 1010g J 1.0109.80.2098Pa 22τρ-⨯==⨯⨯⨯⨯=5-6.有一圆管，在管内通过s cm /013.02=ν的水，测得通过的流量为s cm Q /353=，在管长15m 的管段上测得水头损失为2cm,试求该圆管内径d ？ 解：假设为层流 雷诺数：νπνπνυμρd Q d d Qd vd 44Re 2====沿程水头损失系数：Q d d Q νπνπλ16464Re 64===422216824162d g lQ gdQ d Q l d gd l h f πνπνπυλ⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛==44402.08.9151035.010013.0168⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--πd mm 4.19≈校核：υvd=Re ，选取临界雷诺数2000Re =；将mm d 4.19=代入，2000Re <计算成立5-7.某管路直径mm 200d =，流量s m 0940Q 3/.=，水力坡度%.64J =，试求：该管道的沿程阻力系数λ值？ 解：依题知 平均流速：()s m d Q v 99.22.0094.04422≈⨯⨯==ππ 每米管长的水力坡度%.64J =，因此02.099.2%6.42.08.9222222≈⨯⨯⨯===v gdJ lv gdh f λ 5-8.做沿程水头损失实验的管道直径cm 51d .=，量测段长度m 4l =，水温C 5T 0=，试求：（1）当流量s l 030Q /.=时，管中的液流型态； （2）此时的沿程水头损失系数λ；（3）量测段沿程水头损失f h ；解：（1）依题知水温C 5T 0=时，查表得水的运动粘滞系数m 2610514.1-⨯=ν()s m d Q A Q /17.0015.01003.0441232=⨯⨯⨯===-ππυ选取临界雷诺数2000Re =：200028.168410514.1105.117.0Re 62<≈⨯⨯⨯==--νυd此时，水流为层流。
选择题（单选题）5.1 速度v ，长度l ，重力加速度g 的无量纲集合是：（b ）（a ）lvg；（b ）v gl ；（c ）l gv ；（d ）2v gl 。
5.2 速度v ，密度ρ，压强p 的无量纲集合是：（d ）（a ）pvρ；（b ）v p ρ；（c ）2pv ρ；（d ）2p v ρ。
5.3 速度v ，长度l ，时间t 的无量纲集合是：（d ）（a ）vlt；（b ）t vl ；（c ）2l vt ；（d ）l vt 。
5.4 压强差p V ，密度ρ，长度l ，流量Q 的无量纲集合是：（d ）（a ）2Q pl ρV ；（b ）2l pQ ρV ；（c ）plQ ρV ；（d 。
5.5 进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：（b ）（a ）雷诺准则；（b ）弗劳德准则；（c ）欧拉准则；（d ）其他。
5.6 进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：（a ）（a ）雷诺准则；（b ）弗劳德准则；（c ）欧拉准则；（d ）其他。
5.7 雷诺数的物理意义表示：（c ）（a ）粘滞力与重力之比；（b ）重力与惯性力之比；（c ）惯性力与粘滞力之比；（d ）压力与粘滞力之比。
5.8 明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的：（c ）（a ）1/2；（b ）1/4；（c ）1/8；（d ）1/32。
5.9 压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：（c ）（a ）1/2；（b ）1/4；（c ）1/8；（d ）1/16。
5.10 假设自由落体的下落距离s 与落体的质量m 、重力加速度g 及下落时间t 有关，试用瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。
解： ∵s Km g t αβγ=[]s L =；[]m M =；[]2g T L -=；[]t T =∴有量纲关系：2L M TL T αββγ-=可得：0α=；1β=；2γ= ∴2s Kgt =答：自由落体下落距离的关系式为2s Kgt =。
水泵的轴功率N 与泵轴的转矩M 、角速度ω有关，试用瑞利法导出轴功率表达式。
解： 令N KM αβω=量纲：[]21N MLT LT --=；[]22M ML T -=；[]1T ω-= ∴2322ML T M L T T αααβ---=⋅ 可得：1α=，1β=∴N KM ω=答：轴功率表达式为N KM ω=。
水中的声速a 与体积模量K 和密度ρ有关，试用瑞利法导出声速的表达式。
解： a K αβμρ=量纲：[]1a LT -=；[]12K ML T--=；[]3ML ρ-=∴有 123LT M L T M L αααββ----=13120αβααβ=--⎧⎪-=-⎨⎪=+⎩⇒ 1212αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴a =其中μ为无量纲系数。
答：声速的表达式为a =受均布载荷的简支梁最大挠度max y 与梁的长度l ，均布载荷的集度q 和梁的刚度EI 有关，与刚度成反比，试用瑞利法导出最大挠度的关系式。
解： maxkl qy EIαβ= k 为系数。
量纲：[]max y L =；[]l L =；[]2q MT-=；[]4I L =；[]12E ML T--=∴有 232L M T L ML T αββ--=可得：4α=，1β=∴4maxkl qy EI=答：最大挠度的关系式为4maxkl qy EI=。
薄壁堰溢流，假设单宽流量q 与堰上水头H 、水的密度ρ及重力加速度g 有关，试用瑞利法求流量q 的关系式。
解： q kg H αβγρ=量纲：[]21q L T-=；[]2g LT-=；[]H L =；[]3ML ρ-=故有 2123L TL T M L L ααββγ---=23120αβγαβ=-+⎧⎪-=-⎨⎪=⎩⇒ 1232αγ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴32q H ==答：流量q的关系式为32q H ==。
已知文丘里流量计喉管流速v 与流量计压强差p ∆、主管直径1d 、喉管直径2d 、以及流体的密度ρ和运动黏度ν有关，试用π定理证明流速关系式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=12Re,d d p v ϕρ 证明： ()12,,,,v f p d d ρν=∆选择基本量 2,,p d ρ∆ 则：11112vp d αβγπρ=∆22222p d αβγνπρ=∆333132d p d αβγπρ=∆解得：111111231LT M L T L M L αααβγγ----=11111113120αβγααγ=-+-⎧⎪-=-⎨⎪=+⎩ ⇒ 11112012αβγ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩222222222222233221L T M L T L M L M L T αααβγγαγαβγα---+-+---==∴212α=，21β=，212γ=-33333332L M L T αγαβγα+-+--=∴30α=，31β=，30γ=∴()123,πφππ=12d v d φ⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪⎭球形固体颗粒在流体中的自由降落速度f u 与颗粒的直径d 、密度s ρ以及流体的密度ρ、动力黏度μ、重力加速度g有关，试用π定理证明自由沉降速度关系式gdd u f u f s f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=μρρρ,证明： ∵(),,,,f s u f d g ρρμ=取基本量为 ,,d g ρ则：1111f u d g αβγπρ=；2222sd g αβγρπρ=；3333d g αβγμπρ=量纲关系：111111231LT L L T M L αββγγ---=1111113120αβγβγ=+-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩ ⇒ 11112120αβγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩222223231MLL L T M L αββγγ---= ⇒ 222001αβγ=⎧⎪=⎨⎪=⎩3333311231ML T L L T M L αββγγ----= ⇒ 33332121αβγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩33313αβγ-=+-∴ ()123,fπππ=即3122,sf u dg ρμρρ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭,s f u d ρμρρ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,Re s fρρ⎛⎫= ⎪⎝⎭圆形空口出流的流速v 与作用水头H 、空口直径d 、水的密度ρ和动力黏度μ、重力加速度g 有关，试用π定理推导空口流量公式。
d解： ∵(),,,,v f H d g ρμ=取基本量为 ,,H g ρ 则：1111v H g αβγπρ=；2222d H g αβγπρ=；3333H g αβγμπρ= ∴有量纲关系：111111231LT L L T M L αββγγ---= ⇒ 11111,,022αβγ=== 22222231LL L T M L αββγγ--= ⇒ 2221,0,0αβγ===3333311231ML T L L T M L αββγγ----= ⇒ 33331,,122αβγ=== ∴ ()123,fπππ=即 3122,d v H H g μρ⎛⎫ ⎪=⎪⎝⎭1,d H vH μρ⎛⎫=⎪⎝⎭1,Re H d H ⎛⎫= ⎪⎝⎭可见，孔口出流的流速系数与dH及Re H 有关。
1,Re H d Q vA H ⎛⎫==⎪⎝⎭答：空口流量公式为1,Re H d Q H ⎛⎫=⎪⎝⎭。
用水管模拟输油管道。
已知输油管直径500mm ，管长100mm ，输油量s m /3，油的运动黏度为150×10-6s m /2。
水管直径25mm ，水的运动黏度为×10-6s m /2。
试求：（1）模型管道的长度和模型的流量；（2）如模型上测得的压强差m g )/(ρρ∆=2.35cm 水柱，输油管上的压强差p g )/(ρρ∆是多少解： 5002025l λ==；6615010148.5151.0110νλ--⨯==⨯ 以雷诺数准则设计实验。
Re p Mvd vd νν⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1207.4261148.515p M pv MM pv d d v λνν====10020p M ML L L == ∴5M L =（m ） 22227.426202970.4p p pv l MM MQ v d Q v dλλ⋅==⋅=⨯=⋅∴0.034M Q =（l/s ） ∵222p Mp p p E v v v ρρρ⎛⎫⎛⎫∆∆∆=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴222ppv MMp g v vp g ρλρ⎛⎫∆ ⎪⎝⎭==⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∴227.426 2.35 1.30v p Mp p g g λρρ⎛⎫⎛⎫∆∆==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（m ）答：（1）模型管道的长度5M L =m ，模型的流量0.034M Q =L/s ；（2）如模型上测得的压强差m g )/(ρρ∆=2.35cm 水柱，输油管上的压强差 1.30pp g ρ⎛⎫∆=⎪⎝⎭m 。
为研究输水管道上直径600mm 阀门的阻力特性，采用直径300mm ，几何相似的阀门用气流做模型实验。
已知输水管道的流量为s m /3，水的运动黏度为ν=1×10-6s m /2，空气的运动黏度为a ν=×10-5s m /2。
试求模型的气流量。
解： 以雷诺准则，则有 Re p Mvd vd νν⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴65510 1.610160032v l νλλλ--⨯⨯===22112328p p p Q v l MM MQ v A Q v A λλλ===⋅=⨯= 0.2832.26418M QQQ λ===（m 3/s ） 答：模型的气流量 2.264M Q =m 3/s 。
5.20 为研究汽车的动力特性，在风洞中进行模型实验。
已知汽车高p h =1.5m ，行车速度p v =108h km /，风洞风速a ν=45s m /，测得模型车的阻力m p =，试求模型车的高度m h 及汽车受到的阻力。
v解： ∵10810001360045 1.5p v Mv v λ⨯=== ()()222222p pp v l MMMv A p A p p p A v A ρλλρ⎛⎫⋅ ⎪∆⋅⎝⎭===⋅∆⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭风洞实验可选用雷诺准则，即 Re p Mvd vd νν⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵p M νν= ∴11.5l vλλ==∵ 1.51.01.5pm h h λ===（m ） 2222115 1.415p v l M M p p p λλ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭（kN ）另：∵6530 1.5Re 2.8101.610p vd ν-⨯⎛⎫===⨯⎪⨯⎝⎭，在阻力平方区。
则有62.810M MMv h ν≥⨯，即 2.8100.6245M h ⨯≥=（m ） 即能满足阻力自模拟条件。
