两角和与差的正切公式PPT教学课件

cos( ) cos cos sin sin
讲授新课
问题： 由两角差的余弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？
sin( )
探究1：
问题： 由两角和的余弦公式，怎样得到
两角和的正弦公式呢？
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
2
2
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
探究3： 通过什么途径可以把上面的式子 化成只含有tan 、 tan 的形式呢？
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式： tan( ) tan[ ( )]
探究4： 两角差的正切公式： tan( ) tan[ ( )]
两角差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin cos cos sin
探究1： 两角和与差的正弦公式：
S( ) : sin( ) sin cos cos sin S( ) : sin( ) sin cos cos sin
2
2
sin cos cos sin
探究1：
问题：
由两角和的正弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？
探究1： 两角差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )]

＝－ 3.
● 3．六个和与差三角函数公式之间的逻辑关系
题型一 两角和与差的正切公式的应用 例1 已知 tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求 tan 2α，
tan 2β，tan(2α＋π4)． 【解】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ
● 【名师点评】 对于这类问题，以下两个步骤缺一不可： ● (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； ● (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
题型二 两角和与差的正切公式活用 例2 求下列各式的值
(1)1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°； (2)1＋3－3ttaann1155°°； (3)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【解】 (1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. (2)原式＝1t＋ant6a0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
● 【名师点评】 (1)解答此类题型一般要用诱导公式把角化正、化小、化切为弦(统一函数 名称)，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
● (2)公式的变形运用：
● 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活应用公式T(α±β)的意识，从而不难获 得解题思路．
题型三 给值求角 例3 已知 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，
● 做一做
tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°等于( )
A. 3
B.
3 3
C．－
3 3

2．能否为例 3(1)归纳出一个一般结论？若能，试证明． [解] 一般结论：若 α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，
则 tan α－tan β－tan αtan β＝1. 证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ，
∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，
NO.3 当堂达标·夯基础
1．若 tan α＝3，tan β＝34，则 tan(α－β)等于( )
A．3
B．－3
C．13
D．－13
C
[tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ＝1＋3－3×34 34＝31.]
12345
2．若 tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则 tan α＝( )
(2)[解] ∵ 3tan A＋ 3tan B＝tan Atan B－1，
∴ 3(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴1t－antAan＋AttaannBB＝－ 33，
∴tan(A＋B)＝－
3 3.
又 0＜A＋B＜π，∴A＋B＝56π，∴C＝π6. ∵tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，tan C＝ 33， ∴tan B＋ 33＋tan B＝ 3，tan B＝ 33， ∴B＝π6，∴A＝23π， ∴△ABC 为等腰钝角三角形．
1．将例 3(1)中的角同时增加 1°结果又如何？ [解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°) ＝1t＋ant6a8n°6－8°ttaann2233°°， ∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即 tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.
核心素养

11
12
•
[例1] 已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α的值．
•
[分析] ∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴利用两角和的正切公式求解．
[解析] ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，
∴tan2α＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝1t－an(taαn＋(αβ＋)＋β)ttaann((αα－－ββ))
26
•
[点评] 已知tanα，待求式为sinα与cosα的二次式时，常用方法是将待求式的分母看作1＝sin2α＋cos2α，然后分子、分母同除以cos2α化切来求解．也可以先由tanα＝m得sinα＝mcosα代入sin2α＋cos2α＝1中，求得cos2α，再将sinα＝mcosα代入待求式求解．
∵α、β 为锐角，∴0°<α ＋β<180°，
又∵tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαt·atannββ
＝1－2＋2×3 3＝－1，
∴α＋β＝135°，选 B.
16
•
[答案] 45°
已知 tanθ＝12，tanφ＝13，且 θ，φ 均为锐角，则 θ＋φ 的 度数为________．
[解析] tan(θ＋φ)＝1t－antθa＋nθt·atannφφ
＝1－12＋12×13 13＝1，
∵θ、φ 为锐角，∴0<θ＋φ<180°，∴θ＋φ＝45°.
17
18
•
[分析] 条件式都是两角正切的和(差)与积的形式，故可考虑应用T(α±β)或其变式求解．
[例 3] 已知△ABC 中，tanB＋tanC＋ 3tanB·tanC＝ 3，且 3tanA＋ 3tanB＝tanA·tanB－1，试判断△ABC 的 形状．

1－ 3tan 75°
(2)
＝________；
3＋tan 75°
解析
答案
1－tan 60°tan 75°
1
1
原式＝
＝
＝
＝－1.
tan 60°＋tan 75° tan（60°＋75°） tan 135°
－1
(3)求值：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝________.
__________________
α·
tan β≠±1
[微思考]
你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(α＋β)与tan(α－β)吗？
sin（α＋β） sin αcos β＋cos αsin β
提示 tan(α＋β)＝
＝
cos（α＋β） cos αcos β－sin αsin β
sin α sin β
10.1.3 两角和与差的正切公式
教材知识探究
1
1
如图所示，每个小正方形的边长为 1，tan α＝ ，tan β＝ ，∠COD＝α－β.
2
3
问题
能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值.
提示 能；利用两角和与差的正切公式可求tan(α－β)，tan (α＋β)的值.
两角和与差的 正切公式
名称
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变
形，建立与待求式间的联系以实现求值.
(2)角的变换：第一从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β
－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数奇妙地建立
B.1

通过公式的变形，可以进一步推导出 其他形式的正切和差公式，如二倍角 公式等。
利用三角函数的减法公式和同角三角 函数的基本关系推导两角差的正切公 式。
03
两角和与差的正切函数的性 质
奇偶性
奇偶性
两角和与差的正切函数具有奇偶 性，即对于任意实数x，有tan(x)=-tan(x)，这是正切函数的基本
性质之一。
tan(15°)
tan(30° + 45°)
习题
tan(60° - 30°) tan(180° - 45°)
已知 tanα = 2/3，求 tan(α + 45°) 的值。
习题
若 tanα = -√3，求 tan(α + 15°) 的值。 若 tan2α = -√3，求 tan(α + 45°) 的值。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要计算一些特定条件下的物理量，例如振动 、波动等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问 题。
解决工程问题
在工程问题中，常常需要计算一些特定条件下的参数，例如机械、建 筑等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问题。
05
习题与解答
习题
计算下列各式的值
推导过程
利用三角函数的加法公式和减法公式 ，通过代数运算推导得出。
符号表示
01
tan(α±β)表示两角和与差的正切 函数，其中α和β为任意角度。
02
tanα和tanβ分别表示两个角的正 切值，tan(α±β)表示这两个角的 和或差的正切值。
特殊角的正切值
特殊角的正切值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊 角的正切值分别为0、√3/3、1、 √3、不存在等。

sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
公式巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1) sin15°
(2) cos75°
例2
3
5
已知 sin α＝5，cos β＝－13，且 α 为第一象限角，β 为第二象限角，
求 sin(α＋β)的值.
3
5
因为 α 为第一象限角，β 为第二象限角，sin α＝5，cos β＝－13，
4
12
所以 cos α＝5，sin β＝13，
A. 3
√
3
B. 3
C.3
D.1
1－tan 15° tan 45°－tan 15°
3
＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ 3 .
1＋tan 15° 1＋tan 45°tan 15°
例2
√
π

3
1


已知 sin α＝5，α∈2，π，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为

3
，(
4
− ) =
12
， (
13
+ ) =
3
− ，
5
跟 踪 训 练 2
已知 ∈
整体法给值求值问题

( , )，(
2
+

)
4
=
3
，则
5
=________.

3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式

75 75
0
0=（
3） 3
3、已知tan（α。+β）= 1，tanα=-2，则 tanβ＝ 。７
3
4、tan10０tan20０+ tan10０tan60０+tan20０tan60０=
1。
5、已知tanα=3，tanβ=2，α、β∈（0，
求证：α+β= 3
4
），
2
小结
两角和与差的正弦、余弦、正切
公式的内在联系：
(2)tanα
3、求值：(1) tan71o - tan26o 1 + tan71otan26o
(2)1- 3tan75o 3 + tan75o
答案: (1) 1
(2) -1
提高练习：
1、已知tanα、tanβ是方程3x２+5x-1=0的两根，
则tan（α+β）=
5 4。
2、化简
1 1
tan tan
居民膳食指南
• （二）多吃蔬菜、水果和薯类 蔬菜与水果含有丰富的维生素、矿物质和膳食纤维，深色的蔬菜
中维生素含量超过浅色蔬菜和一般水果。红黄色水果是维生素C和胡 萝卜素的丰富来源。薯类含有丰富膳食纤维、多种维生素和矿物质。 含丰富蔬菜、水果和薯类的膳食，对保持心血管健康、增强抗病能力、 减少儿童发生干眼病的危险及预防某些癌症等方面，起着十分重要的 作用。
a
例5.△ABC中，
求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明：∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴△ABC中没有直角，∴tanAtanB≠1.
∵ tan(A+B)= tan A tan B , 1 tan A tan B

根据 α，β 的任意性， 得 tan(α－β)＝1t－ antαan＋αttaann((－－ββ))＝1t＋ antαan－αttaannββ.
4.两角和与差的正切公式的变形形式较多，例如： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tatnanα(＋α＋taβn)β＝tatnanα(－α－taβn)β－1. 这些变式在解决某些问题时是十分方便的．
A.－2
B.－12
1 C.2
D.2
解析 tan α＝tanπ4－4π－α ＝11－ ＋ttaann4π4π－ －αα ＝11－ ＋33＝－12.
2.已知 A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( B )
A.1
B.2
C.－2
D.不确定
解析 (1＋tan A)·(1＋tan B) ＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B ＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B ＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B ＝2.
2.公式 T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，
如 tan 4π＝1，tan π6＝ 33，tan π3＝ 3等，
要特别注意
tan4π＋α＝11＋－ttaann
αα，tanπ4－α＝11－＋ttaann
α α.
3.公式 T(α±β)的变形应用 见到 tan α±tan β，tan αtan β 时，要有灵活应用公式 T(α±β) 的意识.学会对公式 T(α±β)进行变形应用，就不难想到解题 思路.
解：由已知得tan tan
α＋tan β＝－3 α·tan β＝4