高考数学测试卷第3章3.1.2课时练习及详解

解：（1） 原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =

第3章 三角函数、解三角形 第2讲A 组 基础关1.计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( )A.－1 B ．1 C ．0 D.12－32答案 A解析 sin 11π6＋cos 10π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.2.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6 B ．－π3 C.π6 D.π3答案 D解析 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝sin θcos θ＝ 3.又因为|θ|<π2，所以θ＝π3. 3.若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A.－2 B ．2 C ．±2 D.12答案 B解析 因为sin θcos θ＝12，所以tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝112＝2.4.已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值是( ) A.1－a2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°) ＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.5.若0≤2x ≤2π，则使1－sin 22x ＝cos2x 成立的x 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π答案 D解析 显然cos2x ≥0，因为0≤2x ≤2π，所以0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π.6.(2018·潍坊三模)在直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则sin(π－α)＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 答案 C解析 ∵角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，可得cos α＝sin 2π3＝32，sin α＝cos 2π3＝－12，∴sin(π－α)＝sin α＝－12.7.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2 答案 B解析 因为tan α＝3，所以1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1＝32＋1＋2×332－1＝2. 8.已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.答案 －74解析 因为α为钝角，所以π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74.9.化简：sin α＋πcos π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αtan －αcos 3－α－2π＝________. 答案 －1解析 原式＝－sin α－cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－tan αcos 3α＝sin αcos αcos α－sin αcos αcos 3α＝sin αcos 2α－sin αcos 2α＝－1. 10.若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________. 答案 －32解析 由已知得f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32. B 组 能力关1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋5B ．1－ 5 C.1±5D ．－1－ 5 答案 B解析 由已知得Δ＝(2m )2－4×4×m ＝4m (m －4)≥0，所以m ≤0或m ≥4，排除A ，C.又因为sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1－5或m ＝1＋5(舍去).2.已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23 答案 D解析 因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°] ＝－cos(75°＋α)＝－13.cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α) ＝－13.所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－23.3.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝( )A.22 B ．－22C. 2 D ．－ 2 答案 A解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 所以tan θtan 2θ＋1＝23，解得tan θ＝2(舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tan θ为小于1的正数)或tan θ＝22. 4.(2019·某某模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A.1 B ．－1 C ．±1 D．0 答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.5.已知A ，B 为△ABC 的两个内角，若sin(2π＋A )＝－2sin(2π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则角B ＝________.答案π6解析 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，化简得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角， ∴B ＝π6；当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不符合题意．综上知B ＝π6.6.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且满足 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，则cos 2α＋2sin2α＝________.答案 95解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝1－sin α1－sin α1＋sin α1－sin α＋1cos α＝1－sin α－cos α＋1cos α＝sin αcos α，则sin αcos α＝2，tan α＝2，而cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝95. 7.(2018·某某某某武邑中学调考)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，则原式＝1sin αcos α＝52； 当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，则原式＝1sin αcos α＝－52.。

练习 已知椭圆C： x2 y2 1过，点(0, 2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆C于A, B两点. 4
(1) 求椭圆C的焦点坐标和离心率；(2) O为坐标原点, 求△OAB的面积．
解：(1) 由已知得 a 2, b 1, 所以c 3 .
∴椭圆C 的焦点坐标为( 3, 0),( 3, 0), 离心率为e c
y B1
M •F2
A1 O A2 x •F1 B2
b x b, a y a
对称性
关于x, y轴对称，关于原点对称
顶点 离心率
A1(a, 0), A2 (a, 0), B1(0, b), B2(0, b) A1(b, 0), A2 (b, 0), B1(0, a), B2(0, a)
e c a
联立x2 2 y2 2, 消y得 (1 2k 2 )x2 4k 2 x 2k 2 2 0, 8k 2 8.
y k(x 1),
SABF2
1 2
|
F1F2
|
y1 y2
k x1 x2
k
8(k 2 1) 1 2k 2
2
∴ △ABF2面积的最大值为 2.
应用2：三角形的面积与韦达定理
②焦半径公式: 若P(x, y), 则
P(x,y)
焦点在x轴上 : PF1 a ex, PF2 a ex
F1
F2
焦点在y轴上 : PF1 a ey, PF2 a ey
y A2 F2 x
③定义: PF1 PF2 2a ④乘积最值: b2 PF1 PF2 a2
B1 O
B2
PF1 PF2 (a ex)(a ex)
l
设A( x1 ,
y1), B( x2 ,
y2 ).

3.1.2椭圆的简单几何性质12题型分类一、椭圆的简单几何性质x2y2y2x2离心率e ＝ca∈(0,1)二、直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立{y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的关系如表所示．直线与椭圆解的个数Δ两个不同的公共点两解Δ>0一个公共点一解Δ＝0没有公共点无解Δ<0（一）椭圆的简单几何性质用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．（二）求椭圆的离心率求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．（三）直线与椭圆的位置关系直线y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的位置关系：联立2222,1,y kx m x y a b =+ìïí+=ïî消去y 得一个关于x 的一元二次方程．注：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．位置关系解的个数D 的取值相交两解D >0相切一解D =0相离无解D <0（四）求相交弦长问题1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2.求弦长的方法（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：()()2221212121221=1+41+4+-=+-AB k x x x x y y y y k ．（五）椭圆的中点弦问题1、椭圆的中点弦结论：若直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=×.2、椭圆的中点弦问题（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．（六）与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围． （七）1.求解直线或曲线过定点问题的策略2.求定值问题的策略（八）椭圆的实际应用解决椭圆的实际问题的基本步骤(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系．(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系．(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．　题型12：椭圆的实际应用12-1．（2024高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为（）A．33m B．33m2C．42m D．42m312-2．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，44AB=米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（）A．13B．25C．23D．4512-3．（2024高二下·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线221(0)x ym nm n+=>>，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则m n+=（）A．39B．52C．86D．9712-4．（2024高二上·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点2F 处，灯丝与反射镜的顶点A 的距离22cm F A =，过焦点2F 且垂直于轴的弦6.4cm BC =，在x 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．13cm一、单选题1．（2024高三·全国·对口高考）通过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（ ）A ．B ．3C D ．62．（2024高二上·全国·课前预习）直线1y x =+与椭圆2212y x +=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定3．（2024高二上·全国·课后作业）方程2212516x y +=表示的曲线是（ ）A ．焦点为点()30-，与()30，，离心率为35的椭圆B ．焦点为点()03-，与()03，，离心率为35的椭圆C ．焦点为点()30-，与()30，，离心率为45的椭圆D ．焦点为点()03-，与()03，，离心率为45的椭圆4．（2024·广东广州·模拟预测）已知以()()122,0,2,0F F -为焦点的椭圆与直线40x y ++=有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·广西·一模）已知c 是椭圆22221(0x y a b a b +=>>）的半焦距，则b c a +取最大值时椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．23C D 6．（2024高二上·江西萍乡·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为30o 时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率e =（ ）A ．23B ．12C D 7．（2024高二上·黑龙江绥化·期中）直线l ：10ax y a +-+=与椭圆22132x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交8．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线y x m =+与椭圆22142x y+=相切，则实数m 的值等于（ ）A ．6±B ．C ．D ．4±9．（2024高二下·山东济南·期末）若直线2y mx =+与焦点在x 轴上的椭圆2219x y n+=总有公共点，则n 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．()4,9C ．[)4,9D ．[)()4,99,¥È+10．（2024·安徽蚌埠·三模）若椭圆22:12x y C m +=C 的长轴长为（ ）A ．6B 或C ．D ．11．（2024高二·全国·课后作业）直线2x y m +=与椭圆2214x y +=只有一个交点，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．±D ．2±12．（2024高二下·广东茂名·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，下顶点为B ，点M 为C 上的任意一点，则MB 的最大值是（ ）A B C D ．2b13．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线y=kx-1与焦点在x 轴上的椭圆C :()222104x y b b +=>总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是（ ）A ．æççèB ．æçèC ．æççèD ．æççè14．（2024高二上·全国·课后作业）已知P 点是椭圆22142x y +=上的动点，A 点坐标为1,02æöç÷èø，则||PA 的最小值为（ ）A ．74B C ．32D ．5215．（2024高二下·云南昆明·期末）已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>分别是C 的左，右焦点，P 为C 上一点，若线段1PF 的中点在y 轴上，12π6PF F Ð=，则C 的离心率为（ ）A B ．23C D ．216．（2024高二·全国·课后作业）若椭圆22194x y +=的弦AB 被点()1,1P 平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．49130x y +-=B ．94130x y +-=C ．230x y +-=D ．340x y +-=17．（2024高二下·广西河池·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，且三角形12AF F 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C D ．2318．（2024高二·全国·课后作业）椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F ，交C 于A ，B 两点，且2ABF △的内切圆的面积是p ，若椭圆C 的离心率的取值范围为，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．B ．[]1,2C ．[]4,8D ．éë19．（2024·重庆万州·模拟预测）已知点()11,M x y ，()()2212,N x y x x ¹为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的两点，点,04æöç÷èøa P 满足PM PN =，则C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．1,14æöç÷èøB ．ö÷÷øC ．1,12æöç÷èøD ．10,2æöç÷èø20．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆2212x y +=与直线y x m =+交于A ，B 两点，且|AB |=数m 的值为（ ）A ．±1B ．±12C D ．21．（2024高二下·贵州遵义·期中）已知F 是椭圆()222210+=>>x y a b a b的右焦点，直线13y b =与椭圆交于B ，C 两点，若π2BFC Ð=，则该椭圆的离心率是（ ）A B C D 22．（2024高二下·上海浦东新·期中）直线3260x y -+=与曲线2194x xy -=的公共点的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．423．（2024·陕西西安·二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：221(0)1x y a a a +=>+的离心率为13，则椭圆C 的蒙日圆的方程为（ ）A ．2219x y +=B ．2217x y +=C ．2215x y +=D ．2214x y +=24．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>四个顶点构成的四边形的面积为，直线:260l x y -+=与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为()2,2-，则椭圆C 的方程是（ ）A ．221168x y +=B ．221324x y +=C ．2213216x y +=D ．221642x y +=25．（2024高二上·浙江·期中）已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的两个焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）A ．4-B 1C D 126．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆2221541x y a a +=+的焦点在x 轴上，则它的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，15）B ．（15C ．æççèD ．ö÷÷ø27．（2024高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆E ：(222210)x y a b a b +=>>的右焦点为2F ，左顶点为1A ，若E 上的点P 满足2PF x ^轴，121tan 2PA F Ð=，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．25C ．14D ．15二、多选题28．（2024高三下·江苏南京·开学考试）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R 的四边均与椭圆22:163x y C +=相切,则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的离心率为e =B ．椭圆C 的蒙日圆方程为226x y +=C ．椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=D ．长方形R 的面积最大值为1829．（2024高三·全国·专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P ，盘子的中心为O ，筷子与大椭圆的两交点为,A B ，点A 关于O 的对称点为C .给出下列四个命题其中正确的是（ ）A ．两椭圆的焦距长相等B ．两椭圆的离心率相等C ．PA PB =D ．BC 与小椭圆相切三、填空题30．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知M 是椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的右焦点，过M 作直线b y x c =的垂线，垂足为N ，12MN a =，则该椭圆的离心率为 .31．（2024高三上·江苏泰州·期末）若椭圆2C 的焦点在y 轴上，且与椭圆1C ：22142x y +=的离心率相同，则椭圆2C 的一个标准方程为 .32．（2024高三·全国·专题练习）直线l 与椭圆2214x y +=交于A ，B 两点，已知直线l 的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．33．（2024高三·全国·对口高考）直线10x y +-=截椭圆22143x y +=所得弦的中点M 与椭圆中心连线OM 的斜率为．34．（2024高二下·河北石家庄·阶段练习）若椭圆22:12x y C m +=，则椭圆C 的长轴长为.35．（2024·辽宁·一模）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 、B 在椭圆C上，满足2120AF F F ×=uuuu r uuuu r ，11AF F B l =uuur uuu r ，若椭圆C 的离心率e Î，则实数λ取值范围为 .36．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知P 为圆22:640C x y y +-=上一点，椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>焦距为6，点P 关于直线0x y -=的对称点在椭圆M 上，则椭圆离心率的取值范围为．37．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知点F 是椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的右焦点，点F 关于直线y kx=的对称点Q 在C 上，其中1,22k éùÎêúëû，则C 的离心率的取值范围为 .38．（2024高二上·全国·课后作业）过椭圆221259x y +=的左焦点且斜率为1的弦AB 的长是．39．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）直线l 不与x 轴重合，经过点()(),00N n n ¹，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上存在两点A 、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为m .若3m n =，则椭圆C 的离心率为 .四、解答题40．（2024高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为12．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)l 经过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于A ，B 两点．已知点()3,0P -，求PA ⋅PB 的值．41．（2024高二上·陕西西安·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点)F，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设B 为椭圆C 的上顶点，直线():1l y x m m =+¹与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若BM BN ^，求直线l 的方程．42．（2024高二下·北京·期中）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>1(1,0)F -.直线1:(2)2l y x =+交椭圆C 于不同的两点,A B .(1)求椭圆C 的方程；(2)求1F AB V 的面积.43．（2024高二上·全国·课后作业）已知经过椭圆22143x y +=的右焦点2F 的直线AB 的倾斜角为π4，交椭圆于A 、B 两点，1F 是椭圆的左焦点，求1ABF V 的周长和面积．44．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知1F 、2F 是椭圆()22:2210x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P æççè在椭圆C 上，且112PF F F ^.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知A ，B 两点的坐标分别是()0,2，()1,0-，若过点A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆过点B ，求出直线l 的所有方程.45．（2024·北京海淀·模拟预测）已知曲线22:(5)(2)8(R)C m x m y m -+-=Î．(1)若曲线C 是椭圆，求m 的取值范围．(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线:4l y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ．设直线AN 与直线BM 相交于点G ．试问点G 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．46．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）已知椭圆C 的焦点分别为F 1()-，F 2()，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A ，B 两点.(1)求线段 AB 的中点坐标；(2)求△OAB 的面积.47．（2024高二下·河南洛阳·期末）已知圆22:4200S x y x ++-=，点P 是圆S 上的动点，T 是抛物线28y x =的焦点，Q 为PT 的中点，过Q 作QG PT ^交PS 于G ，记点G 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过()2,0S -的直线l 交曲线C 于点M 、N ，若MON △（O 为坐标原点），求直线l 的方程．48．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为直线1:(2)2l y x =+交椭圆C 于不同的两点,A B ，(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆左焦点为1F ，求1F AB V 的面积.49．（2024高二下·陕西商洛·期末）已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．(1)求椭圆C 的方程；(2)求APQ △面积的取值范围．50．（2024·江苏南通·模拟预测）已知椭圆22112x C y +=：的左、右顶点是双曲线22222100x y C a b a b -=>>：（，）的顶点，1C 的焦点到2C 直线l y kx t =+：与2C 相交于A ，B 两点，3OA OB ×=-uuu r uuu r .(1)求证：2281k t +=(2)若直线l 与1C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的取值范围.51．（2024高二上·山东滨州·期末）已知椭圆C 的两个焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，并且经过点P æççè．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，当线段AB 的长度最大时，求直线l 的方程．52．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>)F ，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值；(3)在（2）的条件下，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：点M 在定直线上.。