第二章 地球体与地图投影分解

第二章地球体与地图投影2.1 地球体一、地球的自然表面浩瀚宇宙之中地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。

事实上:通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。

二、地球的物理表面（一）大地水准面（一级逼近）假想将静止的平均海水面延伸到大陆内部，形成一个连续不断的，与地球比较接近的形体，其表面称为大地水准面。

它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。

大地水准面的意义1. 地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。

2. 起伏波动在制图学中可忽略：对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图中，均把地球当作正球体。

3. 重力等位面：可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。

三、地球体的数学表面（地球椭球体）大地水准面仍然不是一个规则的曲面。

因为重力线方向并非恒指向地心，导致处处与重力线方向正交的大地水准面也不是一个规则的曲面。

大地水准面实际上是一个起伏不平的重力等位面。

为了测量成果的计算和制图工作的需要，选用一个同大地体相近的，可以用数学方法来表达的旋转椭球体来代替地球。

这个旋转椭球是一个椭球绕其短轴旋转而成，其表面成为旋转椭球面。

椭球体三要素：长轴a（赤道半径）短轴b（极半径）椭球扁率f=(a-b)/a中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。

四、大地基准面（Geodetic datum）参考椭球体定义了地球的形状，而基准面则描述了这个椭球中心距地心的关系。

基准面是建立在选择的参考椭球体上的，且考虑到了当地复杂的地表情况。

因为参考椭球体还是不能够很好的描述地球上每个地方的具体情况，可以理解为基准面就是参考椭球向某个地方的大地水准面逼近的结果，它与参考椭球是多对一的关系。

（1）地心基准面在过去的15年，使用卫星采集数据给测量学家们提供了一个很好的模拟地球的椭球体，即地心坐标系统。

地心坐标系是使用地球的质心作为中心，目前使用最广泛的就是WGS 1984这种地心坐标系。

地球表面、参考椭球体和大地基准面的关系（2）本地基准面(Local Datum)本地基准面是将参考椭球体移动到更贴近当地地表形状的位置，参考椭球体上的某一点必然对应着地表上的某一位置，这个点就称作大地起算原点。

大地起算原点的坐标值是固定的，其他点的坐标值都可以由该点计算得到。

本地坐标系统的起始位置一般就不在地心的位置了，而是距地心一定的偏移量。

每个国家或地区均有自己的大地基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。

我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的1975地球椭球体（IAG75）建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系。

G PS测量采用的WGS84坐标系采用的是WGS84基准面和WGS1984椭球体。

五、地理坐标一、地理坐标——用经纬度表示地面点位的球面坐标。

(一)天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。

天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。

在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。

天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。

(二)大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度λ、大地纬度ϕ和大地高H 表示，量测计算中，大地经度符号为L，大地纬度的符号为B。

大地经度λ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。

东经为正，西经为负。

大地纬度ϕ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。

北纬为正，南纬为负。

（三）地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度λ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。

在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。

在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。

在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度2.2大地测量系统一、中国的大地坐标系统1、中国的大地坐标系1954年北京坐标系（北京坐标系）采用苏联Krassovsky（克拉索夫斯基）椭球参数，大地坐标原点在北京。

1980年国家大地坐标系（西安坐标系）采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地坐标原点在陕西省西安市泾阳县永乐镇北洪流村。

2、中国的大地控制网——由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。

平面控制网：按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。

高程控制网：按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。

依精度不同，分为四等。

中国高程起算面是：黄海平均海水面。

1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。

1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》其比《黄海平均海水面》上升0.029m，水准原点高程为72.2604m。

2.3地图投影的基本概念一、问题的提出将椭球面上的客观世界表现在有限的平面上,首先要实现由球面到平面的转换。

可见，地球椭球面是不可展开的面。

无论如何展开都会产生褶皱，拉伸或断裂等无规律变形，无法绘制科学，准确的地图。

因此解决球面与平面之间的矛盾——地图投影——将地球椭球面上的点转换成平面上的点。

大与小的矛盾——比例尺二、地图投影的实质建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表示）之间的函数关系，用数学式表达这种关系，就是：Array三、地图投影的变形1、投影产生变形的原因——地球的形状投影变形剖析：1、地球仪上经纬线长度特征：各纬线长度不等，赤道最长，纬度越高长度越短，到两极为零值；同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等；所有的经线长度相等；同一条经线上，纬差相同的经线弧长相差不大（在正球体上完全相等，在椭球体上由赤道向两级增长）2、地球仪上经纬网构成的球面梯形面积特征：同一纬度带内，经差相同的球面梯形面积相等；同一经度带内，纬差愈高球面梯形面积愈小。

3、经线与纬线处处呈直角2、地图投影变形的概念与地图仪上的经纬网进行比较后发现地图投影不能保持平面与球面之间在长度（距离）、角度（形状）、面积等方面完全不变。

地图投影变形规律：1.与制图区域的大小有关，制图区域愈大，可能出现的变形亦大；2.与标准点（无变形的点）或标准线（无变形的线）的距离有关，离开标准点或标准线愈远，变形愈大。

四、变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。

这种图解方法就叫变形椭圆（底索曲线Tissot’s indictrix）。

X’=mX Y’=nY m为经线长度比，n为纬线长度比几个概念：标准点，指地图投影面上没有任何变形的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。

离开标准点愈远，变形愈大。

标准线，指地图投影面上没有任何变形的一种线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的那一条或两条线。

标准线分标准纬线和标准经线（分别简称（标纬）和（标经）），并又各自分切纬线和割纬线或切经线和割经线。

离开标准线愈远，则变形愈大。

等变形线，指投影面上变形值相等的各点的连线。

五、地图投影的分类1、按投影性质分类（1）、等角投影：投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。

等角投影面积变形大，角度不变。

适用于交通图，洋流图，风向图等（2）、等积投影：投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或 P=1，a=1/b）。

面状地物轮廓投影后面积不变。

ab =1长轴越长——短轴越短在等积投影上以破坏图形的相似性来保持面积上的相等。

因此，角度变形最大。

适用于面积精度较高的自然地图和社会经济地图。

（3）、任意投影：投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。

其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。

适用于对面积精度和角度精度没有什么特殊要求的，或对面积变形和角度变形都不希望太大的用户，一般用于参考图和中小学教学用图。

2、按投影方式分类（1）、几何投影：将椭球面上的经纬线投影到辅助面上，然后再展开成平面。

辅助面可以是平面、圆柱面和圆锥面。

①、方位投影②、圆柱投影③、圆锥投影①方位投影：以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投影，横轴投影，斜轴投影:正轴方位投影，投影面与地轴相垂直；横轴方位投影，投影面与地轴相平行；斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。

②圆锥投影：以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

正轴：圆锥轴与地轴重合；横轴：圆锥轴与地轴垂直；斜轴：圆锥轴与地轴斜交；③圆柱投影：以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

正轴：圆柱轴与地轴重合；横轴：圆柱轴与地轴垂直；斜轴：圆柱轴与地轴斜交；正轴投影的经纬线形状a.正轴方位：经线为放射状直线，纬线为同心圆；b.正轴圆柱：经纬线均为一组平行且间隔相等的直线，纬线与经线垂直；c.正轴圆锥：经线为放射状直线束，纬线为同心圆。

（2）、非几何投影（条件投影）伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影多圆锥投影条件投影的分类实质上是按投影后经纬线的形状进行分类伪方位投影（pseudo-azimuthal projection）◆纬线投影为同心圆◆中经投影成直线◆其余经线投影为相交于同心圆圆心且对称于中经的曲线伪圆锥投影（pseudo-conical projection）◆纬线投影为同心圆弧◆中经投影成经过同心圆弧圆心的直线◆其余经线投影为对称于中经的曲线伪圆柱投影（pseudo-cylindrical projection）是在圆柱投影的基础上，规定纬线仍然为平行直线，而经线则根据某些特定条件改变经线形状而设计成对称于中央经线的各类曲线的非几何投影，在具体应用中以等积性质居多，而无等角投影。

常用的投影方案：⑴桑生（Sanson）投影⑵摩尔威特（Mollweide）投影⑶古德（Goode）投影六、地图投影的命名对于一个地图投影，完整的命名参照以下四个方面进行：（1）地球（椭球）与辅助投影面的相对位置（正轴、横轴或斜轴）（2）地图投影的变形性质（等角、等面积、任意性质三种，等距离投影属于任意投影）（3）辅助投影面与地球相切、相割（割或切）（4）作为辅助投影面的可展面的种类（方位、圆柱、圆锥）如正轴等角割圆锥投影、斜轴等面积方位投影、横轴等角切椭圆柱投影（高斯-克吕格投影）等，也可以用该投影的发明者的名字命名2.4常用地图投影墨卡托投影通用横轴墨卡托投影正轴等角割圆锥投影高斯-克吕格投影1、墨卡托投影（Mercator Projection）正轴等角切圆柱投影，由荷兰制图学家Mercator （Mercator Gerardus，1512-1594）于1569年创建，故又被称为墨卡托投影。