05_二阶线性常微分方程的级数解法解析

微分方程的级数解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

在微分方程的解法中，级数解法是一种常见且有效的方法。

本文将介绍微分方程的级数解法，并通过具体的例子来说明其应用。

一、级数解法的基本思想级数解法是通过将微分方程的解表示为级数形式，然后利用级数的性质来求解微分方程。

其基本思想是将未知函数表示为幂级数的形式，然后将其代入微分方程中，通过比较系数的方法确定级数的各项。

二、级数解法的步骤级数解法的步骤可以概括为以下几个方面：1. 假设未知函数的级数解形式，通常选择幂级数形式，如y(x)=∑(n=0)^(∞)a_n(x-x_0)^n。

2. 将级数解代入微分方程中，得到方程的各项。

3. 比较方程两边各项的系数，得到递推关系式。

4. 解递推关系式，确定级数解中的各项系数。

5. 根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间。

三、例子：求解二阶常系数线性齐次微分方程考虑一个二阶常系数线性齐次微分方程：y''(x)+ay'(x)+by(x)=0，其中a、b为常数。

假设未知函数的级数解形式为y(x)=∑(n=0)^(∞) a_nx^n。

将级数解代入微分方程中，得到：∑(n=0)^(∞) a_n(n(n-1)x^(n-2)+anx^(n-1)+bx^n)=0。

比较方程两边各项的系数，得到递推关系式：a_0=0，a_1=0，(n(n-1)a_n+a(n+1)a_(n+1)+ba_n)=0。

解递推关系式，确定级数解中的各项系数：由a_0=0可知，a_n=0(n≥0)。

根据递推关系式，可得：a_2=-ba_0/(2(2-1))=-b/2，a_3=-ba_1/(3(3-1))=0，a_4=-ba_2/(4(4-1))=b^2/(2*4)，...根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间：根据级数解的收敛性定理，级数解的有效区间至少包含级数展开点x=0。

因此，级数解的有效区间为整个实数集。

二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。

因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。

例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。

解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。

首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。

将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。

是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。

二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。

本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。

一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。

2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。

设该方程的根为λ1和λ2。

3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。

4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。

例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。

解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。

2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。

3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。

二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。

2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。

3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。

4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。

例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。

解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。

二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程是一种重要的微分方程，它是一个双重阶的微分方程，包含一个高阶导数和一个一阶导数，可以用来描述物理过程中特定变量之间的变化。

它可以用来描述复杂系统的行为，从而为我们提供一种有效的解决方法。

二阶线性常微分方程的一般形式为：y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)，其中y是一个未知函数，P(x)和Q(x)是确定的函数，f(x)是给
定的函数。

二阶线性常微分方程的解法有多种，但是最常用的是牛顿迭代法。

牛顿迭代法是一种迭代法，它可以解决二阶线性常微分方程。

牛顿迭代法的基本思想是：将二阶线性常微分方程分解为两个一阶线性常微分方程，然后采用牛顿迭代法迭代求解。

牛顿迭代法的步骤如下：（1）确定初值，即设定y(x0)和
y'(x0)的初始值；（2）求解y'(x0)的值，即求解一阶线性常微
分方程；（3）求解y(x0)的值，即求解二阶线性常微分方程；（4）将求得的y(x0)和y'(x0)作为下一次迭代的初始值，重复
步骤（2）和（3），直到满足给定精度要求为止。

二阶线性常微分方程在工程学和物理学中都有着广泛的应用，例如，可以用它来模拟物理系统的运动，从而获得精确的解决方案；也可以用它来解决水利工程中的洪水问题，从而获得最优的解决方案。

总之，二阶线性常微分方程可以用来模拟各种复杂物理过程，牛顿迭代法是一种有效的解决方法，它可以帮助我们获得更准确的解决方案。

二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程（Second-order linear ordinary differential equation）是微积分中常见的一类数学方程。

它具有以下标准形式：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)其中，y是未知函数，x是自变量，y''表示y对x的二阶导数，y'表示y对x的一阶导数。

而p(x)，q(x)，f(x)是给定的函数。

解二阶线性常微分方程需要求出其一般解或特解。

下面我们将介绍两种常见的解法方法。

1. 特征方程法对于二阶线性常微分方程而言，我们可以首先考虑其对应的特征方程。

将方程转化为特征方程后，解出特征方程的根，再根据不同情况求解方程。

特征方程形式如下：r^2 + p(x)r + q(x) = 0在解特征方程时，可能会出现以下三种情况：情况1：特征方程有两个相异实根r1和r2。

此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)其中C1和C2为待定常数。

情况2：特征方程有两个相等实根r。

此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = (C1 + C2x)e^(rx)其中C1和C2为待定常数。

情况3：特征方程有两个共轭虚根α+βi和α-βi。

此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))其中C1和C2为待定常数。

通过求解特征方程并根据不同情况求解方程，我们可以得到原方程的一般解。

2. 常数变易法除了特征方程法之外，我们还可以通过常数变易法来解决二阶线性常微分方程。

常数变易法的基本思路是，首先猜测通解形式，然后将通解带入原方程，求解待定常数。

例如，对于形如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)的方程，我们可以猜测通解形式为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)是该方程对应的齐次线性方程的一个特解，u(x)是待定函数。

二阶线性常微分方程的解法在数学中，二阶线性常微分方程是一个常见且重要的概念。

本文将介绍二阶线性常微分方程的解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、二阶线性常微分方程的定义二阶线性常微分方程是指形如下式的微分方程：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = g(x)其中y(x)是未知函数，p(x)，q(x)和g(x)是已知函数，一般假设其在所考虑的区间上连续。

二、齐次方程的解法首先，我们来研究二阶线性常微分方程的齐次形式，即g(x)为零的情况。

这类方程的解法非常有规律性。

假设y1(x)和y2(x)是二阶线性常微分方程的两个解，那么线性组合c1y1(x) + c2y2(x)也是该方程的解，其中c1和c2是任意常数。

因此，我们可以找到两个解y1(x)和y2(x)，并通过线性组合的方式得到方程的通解。

具体的解法有三种情况。

1. 两个不同实数根当方程的特征方程有两个不同的实数根r1和r2时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(r1x)和y2(x) = e^(r2x)。

2. 重根当方程的特征方程有一个重根r时，对应的两个解分别为y1(x) =e^(rx)和y2(x) = xe^(rx)。

3. 复数根当方程的特征方程有共轭复数根a±bi时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(ax)cos(bx)和y2(x) = e^(ax)sin(bx)。

三、非齐次方程的解法对于非齐次方程，我们需要借助齐次方程的解，通过特解的方法来求解。

假设y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个解，我们可以得到非齐次方程的特解为y(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)，其中u1(x)和u2(x)是待定函数。

具体的求解步骤是：1. 将待求特解y(x)代入原方程，消去齐次方程的项，得到u1'(x)y1(x) + u2'(x)y2(x) = g(x)。

二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧常微分方程是数学中的一个重要的分支，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

其中，二阶常系数常微分方程是最基本的一类常微分方程，其形式如下：$$ a\frac{{d^2y}}{{dt^2}}+b\frac{{dy}}{{dt}}+cy = 0 $$其中，a、b、c是常数，y是未知函数。

一、特征根为实数的情况1.首先，我们将二阶常系数常微分方程变形成特征方程：$$ a\lambda^2+b\lambda+c=0 $$2.求解特征方程得到两个实根，假设为λ1和λ23.根据两个实根求得特解的形式，形式如下：$$ y = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t} $$其中，C1和C2是待定常数。

二、特征根为复数的情况1.将二阶常系数常微分方程变形成特征方程。

2.求解特征方程得到两个复根，假设为α±βi。

3.根据两个复根求得特解的形式，形式如下：$$ y = e^{\alpha t}(C_1cos(\beta t) + C_2sin(\beta t)) $$其中，C1和C2是待定常数。

三、待定系数法待定系数法是一种适用于二阶常系数常微分方程有特定形式解的求解方法。

1. 如果方程右侧是其中一个函数的线性组合，我们可以假设原方程的特解为该函数的线性组合形式。

例如，如果方程右侧是常数1和指数函数e^kt的线性组合：$$ y_p(t) = A + Be^{kt} $$其中，A、B是待定常数，k是常数。

2.将上述假设代入原方程，得到一个关于A、B和k的代数方程。

3.解代数方程，求得A、B和k的值。

4. 特解为$$ y_p(t) = A + Be^{kt} $$其中，A、B是待定常数，k 是常数。

总结：以上是二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧。

通过找到二阶常系数常微分方程的特征根或使用待定系数法，我们可以求得其通解。

这些技巧在解决实际问题中非常有用，例如在振动、电路等领域的应用中常常会遇到二阶常系数常微分方程的求解。

第十二章 二阶常微分方程级数解法、本征值问题 前几章处理的问题几乎都是使用直角坐标，依据边界条件的不同，有时使用球坐标或柱坐标更为方便，也只有使用恰当的坐标才能使变量进行分离彻底。

下面先介绍标量函数的梯度或矢量函数的散度在球坐标系中和柱坐标系中表示形式。

以1,2,3q q q 表示正交曲线坐标，则有()()()112233,,,,,,q q x y z q q x y z q q x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ()()()123123123,,,,,,x x q q q y y q q q z z q q q =⎧⎪=⎨⎪=⎩因：123123123123123123x x x dx dq dq dq q q q y y y dy dq dq dq q q q z z z dz dq dq dq q q q ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=++⎨⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩于是由于1q 的微小改变而引起的空间尺度变化()()()()()()22222222221111111x y z ds dx dy dz dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦同理()()()22222222222222x y z ds dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()22222223333333x y z ds dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦① 标量函数()1,2,3u q q q 的梯度u ∇的各分量为： ()()()123111222333111,,u u u u u uu u u s H q s H q s H q ∂∂∂∂∂∂∇==∇==∇==∂∂∂∂∂∂ ② 矢量函数的散度()1,2,3A q q q ∇——矢量场中单位体积的通量取由111222333,;,;,q q dq q q dq q q dq +++六个曲面围成的微小六面体 设123,,A A A 分别为A沿1,2,3q q q 增加方向的分量，于是又()()()()1,2,31122331A q q q H dq H dq H dq ∇=()()1111223312233[q dq q A H dq H dq A H dq H dq +-()()()()22233321133211333112231122]q d qq q d q q A H d q H d q A H d q H d q A H d q H d q A H d q H d q+++-+-=()()()1232133121231231A H H A H H A H H H H H q q q ⎡⎤∂∂∂++⎢⎥∂∂∂⎣⎦③()2313121231112223331u u u u u H H H H H H H H H q H q q H q q H q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∆=∇∇=⋅+⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos 1sin sin cos sin r x r H y r H r z r H r θϕθϕθϕθθ⎧==⎪==⎨⎪==⎩对于球坐标()()()11sin r u u uu u u rr r θϕθθϕ∂∂∂∇=∇=∇=∂∂∂()()()2221sin sin sin r A r A r A r A r r θϕθθθθϕ⎡⎤∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦221sin sin sin sin u u uu r r r r r r r r θθθθθϕθϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∆=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 1sin 1z x H y H r z z H ρϕρϕρϕ==⎧⎪==⎨⎪==⎩对于柱坐标()()()1z u u u u u u zρϕρρϕ∂∂∂∇=∇=∇=∂∂∂ ()()()1z A A A A z ρϕρρρρϕ⎡⎤∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦11u u u u z z ρρρρρϕρϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫∆=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦§40.1 拉普拉斯方程0u∆=a .在球坐标系中2221sin sin 0sin sin u u ur r r r r r r r θθθθθϕθϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 设()()(),,,u r R r Y θϕθϕ= 则 2s i n s i n 0s i n d R Y R YY r R d r r θθθθθϕθ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭有()222111sin 1sin sin d dR Y Y r l l R dr dr Y θθθθθϕ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()2122,222211011sin 1sin 10sin 1sin sin sin ll Y t r e d dR r l l R R r Cr D dr dr r Y Y d d d l l Y l l d d d θϕθϕθθθθθθθθϕθθϕ+=ΘΦ=⎧⎛⎫-+==+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂∂ΘΦ⎛⎫⎛⎫⎪+++=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂ΘΦ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 欧勒型方程令()()()()()()()2222222cos 220,1,2''0cos cos sin sin 1sin 12101m xm m A m B d d d d m l l x x l l d d dx dx x λθϕπϕλλϕϕϕθθθλθθ==Φ+=Φ⇒==⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪⇒⎨⎡⎤ΘΘΘ⎛⎫⎡⎤⎪++-Θ--++-Θ= ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭⎪⎣⎦⎩令b. 在柱坐标系中()()(),,)(110u z R Z z u u u z z ρϕρϕρρρρρϕρϕ=Φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()()220,1,2222222''''0cos sin 111''0'''m m A m B m d R dR dz m Z R R R d R d z dz R R Z ϕπϕλλλϕϕϕρρρμρρρρΦ+=Φ==Φ⎧-=⇒Φ+Φ=Φ=+⎪Φ⎪⎨⎪++=⇒+-=-=-⎪⎩()()()()()2222222222210:,0:,00:cosh sinh ,0mm z z z C Dz R E F d R dR z Ce De x x x m R x dx dx d R dR z C z D z h x x x m R x h dx dx μμμρρμμρμμρ-⎧==+=+⎪⎪⎪>=+++-==⎨⎪⎪<=+=-+++==⎪⎩§40.2 波动方程 230tt u a u -∆=令 ()()()()222230cos sin ,0T k a T T t C kat D katu r t T t V r V k V ⎧+=⇒=+=⇒⎨∆+=⎩→ 亥姆霍兹方程§40.3 输运方程 230t u a u -∆=令()()()()2222230,0k a t T k a T T t Ce u r t T t V r V k V -⎧'+==⎪=⇒⎨∆+=⎪⎩→ 亥姆霍兹方程§40.3 亥姆霍兹方程 230V k V ∆+=在球坐标系中： 22222211sin 0sin sin V V V r k Vr r r θθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()()()()222,,,2222211sin 10sin sin 210V r R r Y Y Yl l Y d R dR r r R r l l R dr dr θϕθϕθθθθϕ=⎧∂∂∂⎛⎫+++= ⎪⎪∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎪⎡⎤++-+=⎣⎦⎪⎩()()()()()()220,1,222222''0cos sin cos :12101m m A m B m d d mx x x l l l dx dx x ϕπϕλλϕϕϕϕΦ+=Φ==⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪⇒⎨⎡⎤ΘΘ⎪=--++-Θ=⎢⎥-⎪⎣⎦⎩阶缔合勒让德方程()()22221102x kr R r Y x xd y dy x x x l y dx dx ==⎡⎤⎛⎫−−−−−→++-+=←−−−−− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 球贝塞尔方程 在柱坐标系中：()()()()22,,222110u z R Z z u u u kV zρϕρϕρρρρρϕ=Φ⎛⎫∂∂∂∂+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()()()220,1,22222222''0cos sin 0''000cosh sinh 0m m z z A m B m Z C Dz z z Z Ce De Z C z D z h d R dR x x x m R x k dx dx ϕπϕλμμλϕϕϕμμμμμμρΦ+=Φ==-⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪==+⎧⎪⎪⎪-=>=+⎨⇒⎨⎪⎪<=+=-⎩⎪⎪⎡⎤++-==+⎪⎣⎦⎩综上所述，对于齐次的波动方程、输运方程、稳定场方程在球、柱坐标系中有如下解的形式： ①0u ∆=()()()()()()()1222221,,cos sin 0,1,21210cos 1ll u r A m B m Cr D m r d d m x x l l x dx dx x θϕπϕθθ+⎧⎛⎫=++Θ= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎡⎤ΘΘ⎪--++-Θ==⎢⎥⎪-⎣⎦⎩()()()()()()2222222222,,cos sin 0,1,210000cos sin 0m muz uz u z A m B m Z z R m Z C Dz R E F e d R dR Z Ce De x x x m R x u dx dxd R dR Z C mz D mz x x x m R x u dx dx ρϕϕϕρμρρμρμρ-⎧=+=⎪⎧⎪==+=+⎪⎪⎪⎪⇔⎨⎪⎡⎤>=+++-==⎨⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎡⎤<=++++==⎪⎣⎦⎪⎩⎩②()()()22223323cos sin 0tt k a tt T t C kat D kat u a u u V T t V k V u a u T t Ce-=+-∆==∆+=-∆==230V k V ∆+=()()()()()()()()()()()222222222,,cos sin 0,1,21210cos 110,2V r A m B m R r m d d m x x l l x dx dx x d y dy x x x l y x kr Y x xR r dxdx θϕϕϕθθ⎧⎪=+Θ=⎪⎪⎡⎤ΘΘ⎪--++-Θ==⎨⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎪++-+=== ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩ ()()()()()()222222,,cos sin 0,1,20''000cosh sinh 0uz uz V z A m B m Z z R m z C Dz Z Z z Ce De z C z D zd R dR x x x m R x k dx dx ρϕϕϕρμμμμμρ-⎧⎪=+=⎪==+⎪⎧⎪⎪-=>=+⎨⎨⎪⎪<=+⎩⎪⎪⎪⎡⎤++-==+⎣⎦⎩§41 常点邻域的级数解法用球坐标和柱坐标对齐次波动、输运、稳定场方程进行分离变量，最后问题的症结是l 阶缔合勒让德方程和贝塞尔方程等特殊函数方程。